Objektif pelajaran:
- mengajar pelajar menyelesaikan persamaan darjah yang lebih tinggi menggunakan skim Horner;
- membangunkan keupayaan untuk bekerja secara berpasangan;
- mewujudkan, bersama-sama dengan bahagian utama kursus, asas untuk membangunkan kebolehan pelajar;
- membantu pelajar menilai potensinya, mengembangkan minat dalam matematik, kebolehan berfikir, dan bercakap mengenai topik tersebut.
peralatan: kad untuk kerja kumpulan, poster dengan gambar rajah Horner.
Kaedah pengajaran: syarahan, cerita, penerangan, melaksanakan latihan latihan.
Bentuk kawalan: tugasan menyemak keputusan bebas, kerja bebas.
Semasa kelas
1. Detik organisasi
2. Mengemaskini pengetahuan pelajar
Teorem yang manakah membolehkan anda menentukan sama ada nombor ialah punca? persamaan yang diberikan(merumuskan teorem)?
Teorem Bezout. Baki pembahagian polinomial P(x) oleh binomial x-c adalah sama P(c), nombor c dipanggil punca polinomial P(x) jika P(c)=0. Teorem membenarkan, tanpa melakukan operasi bahagi, untuk menentukan sama ada nombor yang diberi punca polinomial.
Apakah pernyataan yang memudahkan untuk mencari punca?
a) Jika pekali utama bagi polinomial sama dengan satu, maka punca polinomial perlu dicari di kalangan pembahagi istilah bebas.
b) Jika jumlah pekali polinomial ialah 0, maka salah satu punca ialah 1.
c) Jika jumlah pekali di tempat genap adalah sama dengan jumlah pekali di tempat ganjil, maka salah satu punca adalah sama dengan -1.
d) Jika semua pekali adalah positif, maka punca polinomial adalah nombor negatif.
e) Polinomial darjah ganjil mempunyai sekurang-kurangnya satu punca nyata.
3. Mempelajari bahan baharu
Apabila menyelesaikan integer persamaan algebra anda perlu mencari nilai akar polinomial. Operasi ini boleh dipermudahkan dengan ketara jika pengiraan dijalankan menggunakan algoritma khas yang dipanggil skema Horner. Litar ini dinamakan sempena nama saintis Inggeris William George Horner. Skim Horner ialah algoritma untuk mengira hasil bahagi dan baki pembahagian polinomial P(x) dengan x-c. Secara ringkas bagaimana ia berfungsi.
Biarkan polinomial arbitrari P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n diberikan. Membahagikan polinomial ini dengan x-c ialah perwakilannya dalam bentuk P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Separa g(x)=dalam 0 x n-1 + dalam n x n-2 +…+dalam n-2 x + dalam n-1, di mana dalam 0 =a 0, dalam n =st n-1 +a n , n =1,2,3,…n-1. Baki r(x)= st n-1 +a n. Kaedah pengiraan ini dipanggil skema Horner. Perkataan "skim" dalam nama algoritma adalah disebabkan oleh fakta bahawa pelaksanaannya biasanya diformalkan dengan cara berikut. Mula-mula, lukis jadual 2(n+2). Dalam sel kiri bawah tulis nombor c, dan di baris atas pekali polinomial P(x). Dalam kes ini, sel kiri atas dibiarkan kosong.
dalam 0 =a 0 |
dalam 1 =st 1 +a 1 |
dalam 2 = sv 1 + A 2 |
dalam n-1 =st n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=st n-1 +a n |
Nombor yang, selepas melaksanakan algoritma, ternyata ditulis dalam sel kanan bawah ialah baki pembahagian polinomial P(x) dengan x-c. Nombor-nombor lain dalam 0, dalam 1, dalam 2,... di baris bawah ialah pekali hasil bagi.
Contohnya: Bahagikan polinomial P(x)= x 3 -2x+3 dengan x-2.
Kami mendapat bahawa x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.
4. Pengukuhan bahan yang dipelajari
Contoh 1: Faktorkan polinomial P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 ke dalam faktor dengan pekali integer.
Kami sedang mencari akar keseluruhan di kalangan pembahagi istilah bebas -1: 1; -1. Mari buat jadual:
X = -1 – punca
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
Jom semak 1/2.
X=1/2 - punca |
Oleh itu, polinomial P(x) boleh diwakili dalam bentuk
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Contoh 2: Selesaikan persamaan 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
Oleh kerana jumlah pekali polinomial yang ditulis di sebelah kiri persamaan adalah sama dengan sifar, maka salah satu punca ialah 1. Mari kita gunakan skema Horner:
X=1 - punca |
Kami mendapat P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Kami akan mencari punca di antara pembahagi penggal percuma 2.
Kami mendapati bahawa tiada lagi akar yang utuh. Jom semak 1/2; -1/2.
X= -1/2 - punca |
Jawapan: 1; -1/2.
Contoh 3: Selesaikan persamaan 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.
Kami akan mencari punca persamaan ini di antara pembahagi sebutan bebas 5: 1;-1;5;-5. x=1 ialah punca persamaan, kerana jumlah pekali ialah sifar. Mari gunakan skema Horner:
Mari kita kemukakan persamaan sebagai hasil darab tiga faktor: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Memutuskan persamaan kuadratik 5x 2 -7x+5=0, kita dapat D=49-100=-51, tiada punca.
Kad 1
- Faktorkan polinomial: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Selesaikan persamaan: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
Kad 2
- Faktorkan polinomial: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- Selesaikan persamaan: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
Kad 3
- Faktorkan ke dalam: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- Selesaikan persamaan: x 3 -2x 2 +4x-8=0
Kad 4
- Faktorkan ke dalam: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- Selesaikan persamaan: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Merumuskan
Menguji pengetahuan semasa menyelesaikan secara berpasangan dijalankan di dalam kelas dengan mengenal kaedah tindakan dan nama jawapan.
Kerja rumah:
Selesaikan persamaan:
a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2x 3 -x-2=0
kesusasteraan
- N.Ya. Vilenkin et al., Algebra dan permulaan analisis, gred 10 ( kajian yang mendalam Matematik): Pencerahan, 2005.
- U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Penyelesaian persamaan darjah yang lebih tinggi: Volgograd, 2007.
- S.B. Gashkov, Sistem nombor dan aplikasinya.
Slaid 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) - ahli matematik Inggeris. Dilahirkan di Bristol. Dia belajar dan bekerja di sana, kemudian di sekolah-sekolah di Bath. Kerja asas algebra. Pada tahun 1819 menerbitkan kaedah untuk pengiraan anggaran punca sebenar polinomial, yang kini dipanggil kaedah Ruffini-Horner (kaedah ini diketahui oleh orang Cina pada abad ke-13 Skim untuk membahagikan polinomial dengan binomial x-a dinamakan). selepas Horner.
Slaid 4
SKIM HORNER
Kaedah pembahagian polinomial ke- darjah pada binomial linear - a, berdasarkan fakta bahawa pekali bagi hasil tak lengkap dan selebihnya adalah berkaitan dengan pekali polinomial boleh bahagi dan dengan formula:
Slaid 5
Pengiraan mengikut skema Horner diletakkan dalam jadual:
Contoh 1. Bahagikan hasil bahagi ialah x3-x2+3x - 13 dan selebihnya ialah 42=f(-3).
Slaid 6
Kelebihan utama kaedah ini ialah kekompakan rakaman dan keupayaan pembahagian pantas polinomial kepada binomial. Sebenarnya, skema Horner adalah satu lagi bentuk merekodkan kaedah pengelompokan, walaupun, tidak seperti yang terakhir, ia benar-benar bukan visual. Jawapan (pemfaktoran) diperoleh di sini dengan sendirinya, dan kita tidak melihat proses untuk mendapatkannya. Kami tidak akan melibatkan diri dalam pengesahan yang ketat terhadap skim Horner, tetapi hanya akan menunjukkan cara ia berfungsi.
Slaid 7
Contoh 2.
Mari kita buktikan bahawa polinomial P(x)=x4-6x3+7x-392 boleh dibahagi dengan x-7, dan cari hasil bagi pembahagian itu. Penyelesaian. Menggunakan skema Horner, kita dapati P(7): Dari sini kita memperoleh P(7)=0, i.e. baki apabila membahagi polinomial dengan x-7 sama dengan sifar dan, oleh itu, polinomial P(x) ialah gandaan (x-7) Selain itu, nombor dalam baris kedua jadual ialah pekali bagi hasil bagi P(x) dibahagikan dengan (x-7), oleh itu P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
Slaid 8
Faktorkan polinomial x3 – 5x2 – 2x + 16.
Polinomial ini mempunyai pekali integer. Jika integer ialah punca polinomial ini, maka ia adalah pembahagi 16. Oleh itu, jika y diberi polinomial terdapat punca keseluruhan, maka ini hanya boleh menjadi nombor ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Dengan pengesahan terus, kami yakin bahawa nombor 2 ialah punca polinomial ini, iaitu, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), di mana Q(x) ialah polinomial darjah kedua
Slaid 9
Nombor 1, −3, −8 yang terhasil ialah pekali polinomial, yang diperoleh dengan membahagikan polinomial asal dengan x – 2. Ini bermakna hasil pembahagian ialah: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Darjah polinomial yang terhasil daripada pembahagian sentiasa 1 kurang daripada darjah polinomial yang asal. Jadi: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Belakang ke hadapan
Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat kerja ini, sila muat turun versi penuh.
Jenis pelajaran: Pengajaran dalam menguasai dan memantapkan pengetahuan asas.
Tujuan pelajaran:
- Perkenalkan pelajar kepada konsep punca polinomial dan ajar mereka cara mencarinya. Meningkatkan kemahiran dalam menggunakan skema Horner untuk mengembangkan polinomial dengan kuasa dan membahagi polinomial dengan binomial.
- Belajar mencari punca-punca persamaan menggunakan skema Horner.
- Membangunkan pemikiran abstrak.
- Memupuk budaya pengkomputeran.
- Pembangunan hubungan antara disiplin.
Semasa kelas
1. Detik organisasi.
Maklumkan topik pelajaran, rumuskan matlamat.
2. Menyemak kerja rumah.
3. Mempelajari bahan baharu.
Biarkan Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polinomial untuk x darjah n, di mana a 0 , a 1 ,...,a n diberi nombor, dan a 0 tidak sama dengan 0. Jika polinomial F n (x) dibahagikan dengan baki dengan binomial x-a, maka hasil bagi (tidak lengkap) ialah polinomial Q n-1 (x) darjah n-1, baki R ialah nombor, dan kesamaan adalah benar F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Polinomial F n (x) boleh dibahagikan dengan binomial (x-a) hanya dalam kes R=0.
Teorem Bezout: Baki R daripada membahagi polinomial F n (x) dengan binomial (x-a) adalah sama dengan nilai polinomial F n (x) pada x=a, i.e. R=Pn(a).
Sedikit sejarah. Teorem Bezout, walaupun nampak mudah dan jelas, adalah salah satu daripadanya teorem asas teori polinomial. Teorem ini mengaitkan sifat algebra polinomial (yang membolehkan kita bekerja dengan polinomial sebagai integer) dengan sifat berfungsi(yang membenarkan polinomial dianggap sebagai fungsi). Satu cara untuk menyelesaikan persamaan darjah yang lebih tinggi ialah memfaktorkan polinomial di sebelah kiri persamaan. Pengiraan pekali polinomial dan selebihnya ditulis dalam bentuk jadual yang dipanggil skema Horner.
Skim Horner ialah algoritma untuk membahagi polinomial, ditulis untuk kes khas apabila hasil bagi sama dengan binomial x–a.
Horner William George (1786 - 1837), ahli matematik Inggeris. Penyelidikan utama melibatkan teori persamaan algebra. Membangunkan kaedah untuk penyelesaian anggaran persamaan pada sebarang darjah. Pada tahun 1819, beliau memperkenalkan kaedah penting untuk algebra membahagikan polinomial dengan binomial x - a (skim Horner).
Kesimpulan formula am untuk skim Horner.
Membahagi polinomial f(x) dengan baki dengan binomial (x-c) bermakna mencari polinomial q(x) dan nombor r supaya f(x)=(x-c)q(x)+r
Mari kita tulis kesaksamaan ini secara terperinci:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Mari kita samakan pekali pada darjah yang sama:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Demonstrasi litar Horner menggunakan contoh.
Latihan 1. Dengan menggunakan skema Horner, kita bahagikan polinomial f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 dengan baki dengan binomial x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, dengan g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 baki.
Peluasan polinomial dalam kuasa binomial.
Menggunakan skema Horner, kita mengembangkan polinomial f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 dalam kuasa binomial (x+2).
Akibatnya, kita harus memperoleh pengembangan f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Skim Horner sering digunakan apabila menyelesaikan persamaan darjah ketiga, keempat dan lebih tinggi, apabila mudah untuk mengembangkan polinomial menjadi binomial x-a. Nombor a dipanggil punca polinomial F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, jika pada x=a nilai polinomial F n (x) adalah sama dengan sifar: F n (a)=0, i.e. jika polinomial boleh dibahagikan dengan binomial x-a.
Sebagai contoh, nombor 2 ialah punca polinomial F 3 (x)=3x 3 -2x-20, kerana F 3 (2)=0. ia bermaksud. Bahawa pemfaktoran polinomial ini mengandungi faktor x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Mana-mana polinomial F n(x) darjah n 1 tidak boleh mempunyai lagi n akar sebenar.
mana-mana keseluruhan akar persamaan dengan pekali integer ialah pembahagi bagi sebutan bebasnya.
Jika pekali utama persamaan ialah 1, maka semua akar rasional persamaan, jika wujud, adalah integer.
Penyatuan bahan yang dipelajari.
Untuk menyatukan bahan baharu, pelajar dijemput melengkapkan nombor daripada buku teks 2.41 dan 2.42 (ms 65).
(2 pelajar menyelesaikan di papan tulis, dan selebihnya, setelah membuat keputusan, semak tugasan dalam buku nota dengan jawapan di papan tulis).
Merumuskan.
Setelah memahami struktur dan prinsip operasi skema Horner, ia juga boleh digunakan dalam pelajaran sains komputer, apabila isu penukaran integer daripada sistem nombor perpuluhan kepada sistem binari dan sebaliknya dipertimbangkan. Asas untuk memindahkan dari satu sistem nombor ke yang lain adalah teorem am berikut
Teorem. Untuk menukar nombor bulat Ap daripada hlm-sistem nombor kepada sistem nombor asas d perlu Ap bahagikan secara berurutan dengan baki dengan nombor d, ditulis dalam yang sama hlm sistem -ary sehingga hasil bahagi yang terhasil menjadi sama dengan sifar. Baki daripada bahagian itu ialah d-digit berangka Iklan, bermula daripada kategori termuda hinggalah yang paling senior. Semua tindakan mesti dijalankan dalam hlm-sistem nombor. Bagi seseorang, peraturan ini hanya sesuai apabila hlm= 10, i.e. semasa menterjemah daripada sistem perpuluhan. Bagi komputer, sebaliknya, ia adalah "lebih mudah" untuk menjalankan pengiraan dalam sistem binari. Oleh itu, untuk menukar "2 kepada 10", pembahagian berurutan dengan sepuluh dalam sistem binari digunakan, dan "10 kepada 2" ialah penambahan kuasa sepuluh. Untuk mengoptimumkan pengiraan prosedur "10 dalam 2", komputer menggunakan skim pengkomputeran ekonomi Horner.
Kerja rumah. Adalah dicadangkan untuk menyelesaikan dua tugasan.
pertama. Dengan menggunakan skema Horner, bahagikan polinomial f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 dengan binomial (x-3).
ke-2. Cari punca integer bagi polinomial f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (dengan mengambil kira bahawa sebarang punca integer bagi persamaan dengan pekali integer ialah pembahagi bagi sebutan bebasnya).
kesusasteraan.
- Kurosh A.G. “Kursus Algebra Tinggi.”
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. dan lain-lain Gred 10 "Algebra dan permulaan analisis matematik."
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Menggunakan ini program matematik anda boleh membahagi polinomial dengan lajur.
Program untuk membahagikan polinomial dengan polinomial tidak hanya memberikan jawapan kepada masalah, ia menyediakan penyelesaian terperinci dengan penjelasan, i.e. memaparkan proses penyelesaian untuk menguji pengetahuan dalam matematik dan/atau algebra.
Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah Menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.
Dengan cara ini anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan anda sendiri. adik-adik lelaki atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.
Jika anda memerlukan atau permudahkan polinomial atau darab polinomial, maka untuk ini kita mempunyai atur cara yang berasingan Penyederhanaan (pendaraban) polinomial
Bahagikan polinomial Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.
Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...
Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.
Permainan, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Membahagi polinomial kepada polinomial (binomial) dengan lajur (penjuru)
Dalam algebra membahagi polinomial dengan lajur (penjuru)- algoritma untuk membahagi polinomial f(x) dengan polinomial (binomial) g(x), yang darjahnya kurang daripada atau sama dengan darjah polinomial f(x).
Algoritma pembahagian polinomial demi polinomial ialah bentuk umum pembahagian lajur nombor yang boleh dilaksanakan dengan mudah dengan tangan.
Untuk sebarang polinomial \(f(x) \) dan \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), terdapat polinomial unik \(q(x) \) dan \(r( x ) \), sedemikian
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
dan \(r(x)\) mempunyai darjah yang lebih rendah daripada \(g(x)\).
Matlamat algoritma untuk membahagikan polinomial kepada lajur (penjuru) adalah untuk mencari hasil bahagi \(q(x) \) dan baki \(r(x) \) bagi dividen yang diberi \(f(x) \) dan pembahagi bukan sifar \(g(x) \)
Contoh
Mari bahagikan satu polinomial dengan polinomial lain (binomial) menggunakan lajur (penjuru):
\(\besar \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)
Hasil bagi dan baki polinomial ini boleh didapati dengan melakukan langkah-langkah berikut:
1. Bahagikan elemen pertama dividen dengan elemen tertinggi pembahagi, letakkan hasilnya di bawah garis \((x^3/x = x^2)\)
|
3. Tolak polinomial yang diperoleh selepas pendaraban daripada dividen, tulis hasilnya di bawah garis \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)
|
|
4. Ulang 3 langkah sebelumnya, menggunakan polinomial yang ditulis di bawah garis sebagai dividen.
|
|
5. Ulang langkah 4.
|
|
6. Tamat algoritma.
Oleh itu, polinomial \(q(x)=x^2-9x-27\) ialah hasil bagi pembahagian polinomial, dan \(r(x)=-123\) ialah baki pembahagian polinomial.
Hasil pembahagian polinomial boleh ditulis dalam bentuk dua kesamaan:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
atau
\(\besar(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \besar(\frac(-123)(x-3)) \)