Salah satu bidang matematik yang paling sukar dihadapi oleh pelajar ialah trigonometri. Ia tidak menghairankan: untuk menguasai bidang pengetahuan ini secara bebas, anda memerlukan pemikiran spatial, keupayaan untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen menggunakan formula, memudahkan ungkapan, dan dapat menggunakan nombor pi dalam pengiraan. Di samping itu, anda perlu boleh menggunakan trigonometri semasa membuktikan teorem, dan ini memerlukan sama ada memori matematik yang dibangunkan atau keupayaan untuk memperoleh rantai logik yang kompleks.
Asal-usul trigonometri
Membiasakan diri dengan sains ini harus bermula dengan definisi sinus, kosinus dan tangen sudut, tetapi pertama-tama anda perlu memahami apa yang dilakukan oleh trigonometri secara umum.
Dari segi sejarah, objek utama kajian dalam bahagian ini sains matematik ialah segi tiga tepat. Kehadiran sudut 90 darjah memungkinkan untuk menjalankan pelbagai operasi yang membolehkan seseorang menentukan nilai semua parameter rajah yang dipersoalkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Pada masa lalu, orang melihat corak ini dan mula menggunakannya secara aktif dalam pembinaan bangunan, navigasi, astronomi dan juga dalam seni.
Peringkat pertama
Pada mulanya, orang bercakap tentang hubungan antara sudut dan sisi secara eksklusif menggunakan contoh segi tiga tepat. Kemudian formula khas ditemui yang memungkinkan untuk meluaskan sempadan penggunaan dalam Kehidupan seharian cabang matematik ini.
Kajian trigonometri di sekolah hari ini bermula dengan segi tiga tepat, selepas itu pelajar menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fizik dan menyelesaikan masalah abstrak. persamaan trigonometri, kerja yang bermula di sekolah menengah.
Trigonometri sfera
Kemudian, apabila sains mencapai tahap perkembangan seterusnya, formula dengan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen mula digunakan dalam geometri sfera, di mana peraturan yang berbeza digunakan, dan jumlah sudut dalam segi tiga sentiasa lebih daripada 180 darjah. Bahagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu mengetahui kewujudannya sekurang-kurangnya kerana permukaan bumi, dan permukaan mana-mana planet lain adalah cembung, yang bermaksud bahawa sebarang tanda permukaan akan berada di dalamnya ruang tiga dimensi"berbentuk arka".
Ambil glob dan benang. Pasangkan benang pada mana-mana dua titik pada glob supaya ia tegang. Sila ambil perhatian - ia telah mengambil bentuk arka. Geometri sfera memperkatakan bentuk sedemikian, yang digunakan dalam geodesi, astronomi dan bidang teori dan gunaan lain.
Segitiga kanan
Setelah mengetahui serba sedikit tentang cara-cara menggunakan trigonometri, mari kembali kepada asas trigonometri untuk memahami lebih lanjut apakah sinus, kosinus, tangen, pengiraan apa yang boleh dilakukan dengan bantuan mereka dan formula apa yang perlu digunakan.
Langkah pertama ialah memahami konsep yang berkaitan dengan segi tiga tepat. Pertama, hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Ia adalah yang terpanjang. Kami ingat bahawa mengikut teorem Pythagoras, ia nilai berangka sama dengan punca hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain.
Contohnya, jika kedua-dua sisi masing-masing ialah 3 dan 4 sentimeter, panjang hipotenus ialah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini kira-kira empat setengah ribu tahun yang lalu.
Dua sisi yang tinggal, yang membentuk sudut tegak, dipanggil kaki. Di samping itu, kita mesti ingat bahawa jumlah sudut dalam segitiga ialah sistem segi empat tepat koordinat ialah 180 darjah.
Definisi
Akhir sekali, dengan pemahaman yang kukuh tentang asas geometri, seseorang boleh beralih kepada definisi sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut.
Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki bertentangan(iaitu sisi bertentangan dengan sudut yang dikehendaki) kepada hipotenus. Kosinus sudut ialah nisbah kaki bersebelahan kepada hipotenus.
Ingat bahawa sinus atau kosinus tidak boleh lebih daripada satu! kenapa? Kerana hipotenus secara lalai adalah yang paling panjang Tidak kira berapa panjang kaki itu, ia akan lebih pendek daripada hipotenus, yang bermaksud nisbah mereka akan sentiasa kurang daripada satu. Oleh itu, jika dalam jawapan anda kepada masalah anda mendapat sinus atau kosinus dengan nilai lebih daripada 1, cari ralat dalam pengiraan atau penaakulan. Jawapan ini jelas tidak betul.
Akhir sekali, tangen suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Membahagi sinus dengan kosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: mengikut formula, kita bahagikan panjang sisi dengan hipotenus, kemudian bahagikan dengan panjang sisi kedua dan darab dengan hipotenus. Oleh itu, kita mendapat hubungan yang sama seperti dalam definisi tangen.
Cotangent, dengan itu, ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut ke sisi yang bertentangan. Kami mendapat hasil yang sama dengan membahagikan satu dengan tangen.
Jadi, kita telah melihat definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kita boleh beralih kepada formula.
Formula paling mudah
Dalam trigonometri anda tidak boleh melakukan tanpa formula - bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Tetapi inilah yang diperlukan apabila menyelesaikan masalah.
Formula pertama yang anda perlu tahu apabila mula belajar trigonometri mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut adalah sama dengan satu. Formula ini adalah akibat langsung daripada teorem Pythagoras, tetapi ia menjimatkan masa jika anda perlu mengetahui saiz sudut dan bukannya sisi.
Ramai pelajar tidak dapat mengingati formula kedua, yang juga sangat popular apabila menyelesaikan tugas sekolah: hasil tambah satu dan kuasa dua tangen sudut adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus sudut itu. Lihat lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti dalam formula pertama, hanya kedua-dua belah identiti dibahagikan dengan kuasa dua kosinus. Ternyata operasi matematik yang mudah menjadikan formula trigonometri tidak dapat dikenali sepenuhnya. Ingat: mengetahui apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen, peraturan penukaran dan beberapa formula asas anda boleh pada bila-bila masa menarik balik yang diperlukan lagi formula kompleks pada sehelai kertas.
Formula untuk sudut berganda dan penambahan hujah
Dua lagi formula yang perlu anda pelajari adalah berkaitan dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbezaan sudut. Mereka dibentangkan dalam rajah di bawah. Sila ambil perhatian bahawa dalam kes pertama, sinus dan kosinus didarab kedua-dua kali, dan dalam kes kedua, hasil darab berpasangan sinus dan kosinus ditambah.
Terdapat juga formula yang dikaitkan dengan hujah dalam bentuk sudut berganda. Mereka sepenuhnya diperolehi daripada yang sebelumnya - sebagai latihan cuba dapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudut beta.
Akhir sekali, ambil perhatian bahawa formula sudut berganda boleh disusun semula untuk mengurangkan kuasa sinus, kosinus, alfa tangen.
Teorem
Dua teorem utama dalam trigonometri asas ialah teorem sinus dan teorem kosinus. Dengan bantuan teorem ini, anda boleh dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus dan tangen, dan oleh itu luas rajah, dan saiz setiap sisi, dsb.
Teorem sinus menyatakan bahawa dengan membahagikan panjang setiap sisi segitiga dengan sudut bertentangan, kita dapat nombor yang sama. Selain itu, nombor ini akan sama dengan dua jejari bulatan yang dihadkan, iaitu, bulatan yang mengandungi semua titik segi tiga yang diberikan.
Teorem kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras, mengunjurkannya ke mana-mana segi tiga. Ternyata daripada hasil tambah kuasa dua dua sisi, tolak hasil darabnya dengan kosinus berganda sudut bersebelahan - nilai yang terhasil akan sama dengan kuasa dua sisi ketiga. Oleh itu, teorem Pythagoras ternyata menjadi kes khas teorem kosinus.
Kesilapan yang tidak berhati-hati
Walaupun mengetahui apa itu sinus, kosinus dan tangen, adalah mudah untuk melakukan kesilapan disebabkan oleh ketiadaan fikiran atau kesilapan dalam pengiraan yang paling mudah. Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, mari kita lihat yang paling popular.
Pertama, anda tidak seharusnya menukar pecahan kepada perpuluhan sehingga anda mendapat keputusan akhir - anda boleh meninggalkan jawapan sebagai pecahan sepunya, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam syarat. Transformasi sedemikian tidak boleh dipanggil kesilapan, tetapi harus diingat bahawa pada setiap peringkat masalah akar baru mungkin muncul, yang, menurut idea pengarang, harus dikurangkan. Dalam kes ini, anda akan membuang masa anda untuk perkara yang tidak perlu operasi matematik. Ini benar terutamanya untuk nilai seperti punca tiga atau punca dua, kerana ia ditemui dalam masalah pada setiap langkah. Perkara yang sama berlaku untuk membundarkan nombor "hodoh".
Selanjutnya, ambil perhatian bahawa teorem kosinus digunakan untuk mana-mana segi tiga, tetapi bukan teorem Pythagoras! Jika anda tersilap terlupa untuk menolak dua kali hasil darab sisi yang didarab dengan kosinus sudut di antara mereka, anda bukan sahaja akan mendapat hasil yang salah sepenuhnya, tetapi anda juga akan menunjukkan kekurangan pemahaman sepenuhnya tentang subjek. Ini lebih teruk daripada kesilapan yang tidak berhati-hati.
Ketiga, jangan mengelirukan nilai untuk sudut 30 dan 60 darjah untuk sinus, kosinus, tangen, kotangen. Ingat nilai ini, kerana sinus ialah 30 darjah sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mengelirukan mereka, akibatnya anda pasti akan mendapat hasil yang salah.
Permohonan
Ramai pelajar tidak tergesa-gesa untuk mula belajar trigonometri kerana mereka tidak memahami maksud praktikalnya. Apakah sinus, kosinus, tangen untuk seorang jurutera atau ahli astronomi? Ini adalah konsep yang anda boleh mengira jaraknya bintang yang jauh, ramalkan kejatuhan meteorit, hantar siasatan penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, adalah mustahil untuk membina bangunan, mereka bentuk kereta, mengira beban pada permukaan atau trajektori objek. Dan ini hanya yang paling contoh yang jelas! Lagipun, trigonometri dalam satu bentuk atau yang lain digunakan di mana-mana, dari muzik ke perubatan.
Akhirnya
Jadi anda sinus, kosinus, tangen. Anda boleh menggunakannya dalam pengiraan dan berjaya menyelesaikan masalah sekolah.
Keseluruhan trigonometri datang kepada fakta bahawa menggunakan parameter segitiga yang diketahui anda perlu mengira yang tidak diketahui. Terdapat enam parameter secara keseluruhan: panjang tiga sisi dan magnitud tiga penjuru. Satu-satunya perbezaan dalam tugas terletak pada fakta bahawa data input yang berbeza diberikan.
Anda kini tahu cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau hipotenus yang diketahui. Oleh kerana istilah ini tidak lebih daripada nisbah, dan nisbah ialah pecahan, matlamat utama masalah trigonometri adalah mencari punca-punca persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematik sekolah biasa akan membantu anda.
Sinus dan kosinus pada asalnya timbul daripada keperluan untuk mengira kuantiti dalam segi tiga tepat. Adalah diperhatikan bahawa jika ukuran darjah sudut dalam segi tiga tepat tidak diubah, maka nisbah bidang, tidak kira berapa banyak sisi ini berubah panjang, sentiasa kekal sama.
Ini adalah bagaimana konsep sinus dan kosinus diperkenalkan. Resdung sudut akut dalam segi tiga tegak ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus, dan kosinus ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan hipotenus.
Teorem kosinus dan sinus
Tetapi kosinus dan sinus boleh digunakan untuk lebih daripada segi tiga tepat. Untuk mencari nilai sudut tumpul atau akut atau sisi mana-mana segi tiga, cukup menggunakan teorem kosinus dan sinus.
Teorem kosinus agak mudah: “Segi empat sama sisi segi tiga sama dengan jumlah segi empat sama dua sisi yang lain tolak dua kali hasil darab sisi-sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka.”
Terdapat dua tafsiran teorem sinus: kecil dan lanjutan. Menurut kanak-kanak kecil: "Dalam segitiga, sudut adalah berkadar dengan sisi bertentangan." Teorem ini sering mengembang disebabkan oleh sifat bulatan yang dihadkan bagi segi tiga: "Dalam segitiga, sudut adalah berkadar dengan sisi bertentangan, dan nisbahnya adalah sama dengan diameter bulatan yang dihadkan."
Derivatif
Derivatif ialah alat matematik yang menunjukkan betapa cepat fungsi berubah berbanding dengan perubahan dalam hujahnya. Derivatif digunakan dalam geometri, dan dalam beberapa disiplin teknikal.
Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu mengetahui nilai jadual derivatif fungsi trigonometri: sinus dan kosinus. Terbitan sinus ialah kosinus, dan kosinus ialah sinus, tetapi dengan tanda tolak.
Aplikasi dalam matematik
Sinus dan kosinus terutamanya sering digunakan dalam menyelesaikan segi tiga tepat dan masalah yang berkaitan dengannya.
Kemudahan sinus dan kosinus juga dicerminkan dalam teknologi. Adalah mudah untuk menilai sudut dan sisi menggunakan teorem kosinus dan sinus, pecah angka kompleks dan objek menjadi segi tiga "mudah". Jurutera yang sering berurusan dengan pengiraan nisbah bidang dan ukuran darjah menghabiskan banyak masa dan usaha untuk mengira kosinus dan sinus sudut bukan jadual.
Kemudian jadual Bradis datang untuk menyelamatkan, mengandungi beribu-ribu nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut yang berbeza. DALAM zaman Soviet beberapa guru memaksa pelajar mereka menghafal muka surat jadual Bradis.
Radian - magnitud sudut lengkok, panjang sama dengan jejari atau 57.295779513° darjah.
Darjah (dalam geometri) - 1/360 bahagian bulatan atau 1/90 bahagian sudut tepat.
π = 3.141592653589793238462… ( nilai anggaran Nombor Pi).
Jadual kosinus untuk sudut: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Sudut x (dalam darjah) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sudut x (dalam radian) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| kerana x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Mari kita berurusan dengan konsep mudah: sinus dan kosinus dan pengiraan kosinus kuasa dua dan sinus kuasa dua.
Sinus dan kosinus dikaji dalam trigonometri (kajian segi tiga sudut tegak).
Oleh itu, mula-mula mari kita ingat konsep asas segi tiga tepat:
Hipotenus- sisi yang sentiasa terletak bertentangan dengan sudut tepat (sudut 90 darjah). Hipotenus ialah sisi terpanjang bagi segi tiga sudut tegak.
Baki dua sisi dalam segi tiga tepat dipanggil kaki.
Anda juga harus ingat bahawa tiga sudut dalam segitiga sentiasa ditambah sehingga 180°.
Sekarang mari kita beralih kepada kosinus dan sinus sudut alfa (∠α)(ini boleh dipanggil mana-mana sudut tidak langsung dalam segitiga atau digunakan sebagai sebutan x - "x", yang tidak mengubah intipati).
Sinus sudut alfa (sin ∠α)- ini adalah sikap bertentangan kaki (sisi bertentangan dengan sudut yang sepadan) dengan hipotenus. Jika anda melihat rajah, maka dosa ∠ABC = AC / BC
Kosinus sudut alfa (cos ∠α)- sikap bersebelahan ke sudut kaki ke hipotenus. Melihat semula rajah di atas, cos ∠ABC = AB / BC
Dan hanya sebagai peringatan: kosinus dan sinus tidak akan lebih besar daripada satu, kerana mana-mana gulungan lebih pendek daripada hipotenus (dan hipotenus ialah sisi terpanjang bagi mana-mana segi tiga, kerana sisi terpanjang terletak bertentangan dengan sudut terbesar dalam segi tiga) .
Kosinus kuasa dua, sinus kuasa dua
Sekarang mari kita beralih kepada formula trigonometri asas: mengira kuasa dua kosinus dan kuasa dua sinus.
Untuk mengiranya, anda harus ingat identiti trigonometri asas:
sin 2 α + cos 2 α = 1(segiempat sinus ditambah kuasa dua kosinus satu sudut sentiasa sama dengan satu).
Daripada identiti trigonometri kita membuat kesimpulan tentang sinus:
sin 2 α = 1 - cos 2 α
sinus segi empat sama alfa sama dengan satu tolak kosinus alfa sudut berganda dan bahagikan semuanya dengan dua.
sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2
Daripada identiti trigonometri kita membuat kesimpulan tentang kosinus:
cos 2 α = 1 - sin 2 α
atau lebih pilihan yang sukar formula: kosinus segi empat sama alfa adalah sama dengan satu ditambah kosinus alfa sudut berganda dan juga membahagikan semuanya dengan dua.
cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Kedua-dua formula yang lebih kompleks untuk kuasa dua sinus dan kuasa dua kosinus ini juga dipanggil "mengurangkan kuasa untuk fungsi trigonometri kuasa dua." Itu. ada ijazah kedua, mereka menurunkannya kepada yang pertama dan pengiraan menjadi lebih mudah.
Saya tidak akan cuba meyakinkan anda untuk tidak menulis helaian curang. Tulis! Termasuk helaian tipu pada trigonometri. Kemudian saya bercadang untuk menerangkan mengapa helaian cheat diperlukan dan mengapa helaian cheat berguna. Dan berikut adalah maklumat tentang cara untuk tidak belajar, tetapi ingat beberapa rumus trigonometri. Jadi - trigonometri tanpa helaian tipu Kami menggunakan persatuan untuk menghafal.
1. Formula tambahan:
Kosinus sentiasa "datang berpasangan": kosinus-kosinus, sinus-sinus.
Dan satu perkara lagi: kosinus adalah "tidak mencukupi". "Semuanya salah" untuk mereka, jadi mereka menukar tanda: "-" kepada "+", dan sebaliknya.
Sinus - "campuran": sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Formula jumlah dan perbezaan:
kosinus sentiasa "datang berpasangan". Dengan menambah dua kosinus - "kolobok", kita mendapat sepasang kosinus - "koloboks". Dan dengan menolak, kita pasti tidak akan mendapat sebarang kolobok. Kami mendapat beberapa sinus. Juga dengan tolak di hadapan.
Sinus - "campuran" :
3. Formula untuk menukar produk kepada jumlah dan perbezaan.
Bilakah kita mendapat pasangan kosinus? Apabila kita menambah kosinus. sebab tu
Bilakah kita mendapat beberapa sinus? Apabila menolak kosinus. Dari sini:
"Campuran" diperolehi apabila menambah dan menolak sinus. Apa yang lebih menyeronokkan: menambah atau menolak? Betul, lipat. Dan untuk formula mereka mengambil tambahan:
Dalam formula pertama dan ketiga, jumlahnya adalah dalam kurungan. Menyusun semula tempat syarat tidak mengubah jumlahnya. Perintah itu penting hanya untuk formula kedua. Tetapi, untuk tidak keliru, untuk kemudahan mengingati, dalam ketiga-tiga formula dalam kurungan pertama kita mengambil perbezaan
dan kedua - jumlah
Helaian tipu dalam poket anda memberikan anda ketenangan fikiran: jika anda terlupa formula, anda boleh menyalinnya. Dan ia memberi anda keyakinan: jika anda gagal menggunakan helaian tipu, anda boleh mengingati formula dengan mudah.
Contoh:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0.416…\)
Hujah dan maksud
Kosinus sudut akut
Kosinus sudut akut boleh ditentukan menggunakan segi tiga tepat - ia sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.
Contoh :
1) Biarkan sudut diberikan dan kita perlu menentukan kosinus sudut ini.
2) Mari kita lengkapkan sebarang segi tiga tepat pada sudut ini.
3) Setelah mengukur sisi yang diperlukan, kita boleh mengira kosinus.
Kosinus bagi suatu nombor
Bulatan nombor membolehkan anda menentukan kosinus sebarang nombor, tetapi biasanya anda mendapati kosinus nombor entah bagaimana berkaitan dengan: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Sebagai contoh, untuk nombor \(\frac(π)(6)\) - kosinus akan sama dengan \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Dan untuk nombor \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ia akan sama dengan \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (kira-kira \ (-0 ,71\)).
Untuk kosinus untuk nombor lain yang sering ditemui dalam amalan, lihat.
Nilai kosinus sentiasa terletak dalam julat dari \(-1\) hingga \(1\). Dalam kes ini, kosinus boleh dikira untuk sebarang sudut dan nombor.
Kosinus mana-mana sudut
Terima kasih kepada bulatan nombor anda boleh menentukan kosinus bukan sahaja sudut lancip, tetapi juga kosinus, negatif dan lebih besar daripada \(360°\) ( giliran penuh). Cara melakukan ini lebih mudah dilihat sekali daripada mendengar \(100\) kali, jadi lihat gambar.
Sekarang penjelasan: katakan kita perlu menentukan kosinus sudut KOA dengan ukuran darjah dalam \(150°\). Menggabungkan titik TENTANG dengan pusat bulatan, dan sisi okey– dengan paksi \(x\). Selepas ini, ketepikan \(150°\) lawan jam. Kemudian ordinat titik A akan menunjukkan kepada kita kosinus sudut ini.
Jika kita berminat dengan sudut dengan ukuran darjah, contohnya, dalam \(-60°\) (sudut KOV), lakukan perkara yang sama, tetapi tetapkan \(60°\) mengikut arah jam.
Dan akhirnya, sudut lebih besar daripada \(360°\) (sudut CBS) - semuanya serupa dengan yang bodoh, hanya selepas pusingan penuh mengikut arah jam, kita pergi ke bulatan kedua dan "mendapat kekurangan darjah". Khususnya, dalam kes kami, sudut \(405°\) diplotkan sebagai \(360° + 45°\).
Mudah untuk meneka bahawa untuk memplot sudut, contohnya, dalam \(960°\), anda perlu membuat dua pusingan (\(360°+360°+240°\)), dan untuk sudut dalam \(2640 °\) - keseluruhan tujuh.
Seperti yang anda boleh gantikan, kedua-dua kosinus nombor dan kosinus sudut arbitrari ditakrifkan hampir sama. Hanya cara titik ditemui pada bulatan berubah.
Tanda kosinus mengikut sukuan
Menggunakan paksi kosinus (iaitu, paksi absis, diserlahkan dengan warna merah dalam rajah), mudah untuk menentukan tanda kosinus di sepanjang bulatan berangka (trigonometri):
Di mana nilai pada paksi adalah dari \(0\) hingga \(1\), kosinus akan mempunyai tanda tambah (suku I dan IV - kawasan hijau),
- di mana nilai pada paksi adalah dari \(0\) hingga \(-1\), kosinus akan mempunyai tanda tolak (kawasan II dan III - kawasan ungu).
Kaitan dengan fungsi trigonometri lain:
- sudut yang sama (atau nombor): utama identiti trigonometri\(\sin^2x+\cos^2x=1\)- sudut yang sama (atau nombor): dengan formula \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- dan sinus sudut yang sama (atau nombor): formula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
Untuk formula lain yang paling biasa digunakan, lihat.
Penyelesaian persamaan \(\cosx=a\)
Penyelesaian kepada persamaan \(\cosx=a\), dengan \(a\) ialah nombor tidak lebih daripada \(1\) dan tidak kurang daripada \(-1\), i.e. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Jika \(a>1\) atau \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Contoh . Selesaikan persamaan trigonometri \(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\).Penyelesaian:
Mari kita selesaikan persamaan menggunakan bulatan nombor. Untuk ini:
1) Mari kita bina paksi.
2) Mari bina bulatan.
3) Pada paksi kosinus (paksi \(y\)) tandakan titik \(\frac(1)(2)\) .
4) Lukiskan serenjang dengan paksi kosinus melalui titik ini.
5) Tandakan titik persilangan serenjang dan bulatan.
6) Mari kita tandatangani nilai mata ini: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Mari tuliskan semua nilai yang sepadan dengan titik ini menggunakan formula \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);
Jawapan: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)
Fungsi \(y=\cos(x)\)
Jika kita memplot sudut dalam radian di sepanjang paksi \(x\), dan nilai kosinus yang sepadan dengan sudut ini di sepanjang paksi \(y\), kita mendapat graf berikut:
Graf ini dipanggil dan mempunyai sifat berikut:
Domain definisi ialah sebarang nilai x: \(D(\cos(x))=R\)
- julat nilai – daripada \(-1\) hingga \(1\) termasuk: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- genap: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- berkala dengan kala \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- titik persilangan dengan paksi koordinat:
paksi absis: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), di mana \(n ϵ Z\)
Paksi Y: \((0;1)\)
- selang ketekalan tanda:
fungsi adalah positif pada selang: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi adalah negatif pada selang: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), di mana \(n ϵ Z\)
- selang kenaikan dan penurunan:
fungsi bertambah pada selang: \((π+2πn;2π+2πn)\), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi berkurangan pada selang: \((2πn;π+2πn)\), di mana \(n ϵ Z\)
- maksimum dan minimum fungsi:
fungsi mempunyai nilai maksimum \(y=1\) pada titik \(x=2πn\), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi mempunyai nilai minimum \(y=-1\) pada titik \(x=π+2πn\), di mana \(n ϵ Z\).