Bagaimana litar horner berfungsi. Persamaan dalam matematik yang lebih tinggi Punca rasional polinomial

Kajian objek sedemikian analisis matematik sebagai fungsi mempunyai hebat maksudnya dan dalam bidang sains yang lain. Contohnya, dalam analisis ekonomi tingkah laku sentiasa diperlukan untuk dinilai fungsi keuntungan, iaitu untuk menentukan yang terbesar maksudnya dan membangunkan strategi untuk mencapainya.

Arahan

Kajian tentang sebarang tingkah laku hendaklah sentiasa dimulakan dengan mencari domain definisi. Biasanya dengan syarat tugas tertentu adalah perlu untuk menentukan yang terbesar maksudnya fungsi sama ada di seluruh kawasan ini, atau dalam selang waktu tertentu dengan sempadan terbuka atau tertutup.

Berdasarkan , yang terbesar ialah maksudnya fungsi y(x0), di mana bagi mana-mana titik dalam domain takrifan ketaksamaan y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) dipegang. Secara grafik, titik ini akan menjadi yang tertinggi jika nilai hujah diletakkan di sepanjang paksi absis, dan fungsi itu sendiri di sepanjang paksi ordinat.

Untuk menentukan yang terhebat maksudnya fungsi, ikut algoritma tiga langkah. Sila ambil perhatian bahawa anda mesti boleh bekerja dengan satu sisi dan , serta mengira derivatif. Jadi, biarkan beberapa fungsi y(x) diberikan dan anda perlu mencari yang terbesar maksudnya pada selang waktu tertentu dengan nilai sempadan A dan B.

Ketahui sama ada selang ini berada dalam skop definisi fungsi. Untuk melakukan ini, anda perlu mencarinya dengan mempertimbangkan semua sekatan yang mungkin: kehadiran pecahan dalam ungkapan, punca kuasa dua dll. Domain definisi ialah set nilai hujah yang mana fungsi itu masuk akal. Tentukan sama ada selang yang diberikan subsetnya. Jika ya, maka pergi ke peringkat seterusnya.

Cari terbitan fungsi dan selesaikan persamaan yang terhasil dengan menyamakan terbitan kepada sifar. Dengan cara ini anda akan mendapat nilai mata pegun yang dipanggil. Nilaikan sama ada sekurang-kurangnya satu daripadanya tergolong dalam selang A, B.

Pada peringkat ketiga, pertimbangkan perkara ini dan gantikan nilainya ke dalam fungsi. Bergantung pada jenis selang waktu, lakukan langkah tambahan berikut. Jika terdapat segmen bentuk [A, B], titik sempadan dimasukkan dalam selang ini ditunjukkan dengan tanda kurungan. Kira Nilai fungsi untuk x = A dan x = B. Jika selang terbuka (A, B), nilai sempadan ditebuk, i.e. tidak termasuk di dalamnya. Selesaikan had sebelah untuk x→A dan x→B. Selang gabungan bentuk [A, B) atau (A, B), satu daripada sempadannya kepunyaannya, yang lain tidak Cari had sebelah kerana x cenderung kepada nilai tertusuk, dan gantikan yang satu lagi fungsi. Selang dua belah tak terhingga (-∞, +∞) atau selang tak terhingga satu sisi bagi bentuk: , (-∞, B, teruskan mengikut prinsip yang telah diterangkan, dan untuk). yang tidak terhingga, cari had untuk x→-∞ dan x→+∞, masing-masing.

Tugas pada peringkat ini

Pernyataan masalah 2:

Diberi fungsi yang ditakrifkan dan berterusan pada selang tertentu. Anda perlu mencari nilai terbesar (terkecil) bagi fungsi pada selang ini.

Asas teori.
Teorem (Teorem Weierstrass Kedua):

Jika fungsi ditakrifkan dan berterusan dalam selang tertutup, maka ia mencapai nilai maksimum dan minimum dalam selang ini.

Fungsi ini boleh mencapai nilai terbesar dan terkecil sama ada dengan titik dalaman jurang atau di sempadannya. Mari kita gambarkan semua pilihan yang mungkin.

Penjelasan:
1) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik .
2) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik.
3) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (ini ialah titik minimum).
4) Fungsi adalah malar pada selang, i.e. ia mencapai nilai minimum dan maksimum pada mana-mana titik dalam selang, dan nilai minimum dan maksimum adalah sama antara satu sama lain.
5) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (walaupun pada hakikatnya fungsi itu mempunyai kedua-dua maksimum dan minimum pada selang ini).
6) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada satu titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada satu titik (ini ialah titik minimum).
Ulasan:

"Maksimum" dan "nilai maksimum" adalah perkara yang berbeza. Ini berikutan daripada definisi maksimum dan pemahaman intuitif frasa "nilai maksimum".

Algoritma untuk menyelesaikan masalah 2.



4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.

Contoh 4:

Tentukan nilai terbesar dan terkecil bagi suatu fungsi pada segmen.
Penyelesaian:
1) Cari terbitan bagi fungsi tersebut.

2) Cari titik pegun(dan mata yang mencurigakan untuk ekstrem), menyelesaikan persamaan . Beri perhatian kepada titik di mana tiada terbitan terhingga dua sisi.

3) Kira nilai fungsi pada titik pegun dan pada sempadan selang.

4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai terbesarnya pada titik dengan koordinat .

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .

Anda boleh mengesahkan ketepatan pengiraan dengan melihat graf fungsi yang dikaji.


Ulasan: Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik maksimum, dan minimumnya pada sempadan segmen.

Kes khas.

Katakan kita perlu mencari maksimum dan nilai minimum beberapa fungsi pada selang waktu. Selepas melengkapkan titik pertama algoritma, i.e. pengiraan terbitan, ia menjadi jelas bahawa, sebagai contoh, ia hanya memerlukan nilai negatif ke atas keseluruhan segmen yang dipertimbangkan. Ingat bahawa jika terbitan negatif, maka fungsinya berkurangan. Kami mendapati bahawa fungsi berkurangan sepanjang keseluruhan segmen. Keadaan ini ditunjukkan dalam graf No. 1 pada permulaan artikel.

Fungsi berkurangan pada segmen, i.e. ia tidak mempunyai titik ekstrem. Daripada gambar itu jelas bahawa fungsi itu akan mengambil nilai terkecilnya pada sempadan kanan segmen, dan nilai tertinggi- di sebelah kiri. jika derivatif pada segmen adalah positif di mana-mana, maka fungsi meningkat. Nilai terkecil berada di sempadan kiri segmen, yang terbesar adalah di sebelah kanan.

Dari sudut pandangan praktikal, minat yang paling besar ialah menggunakan derivatif untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi. Apakah kaitan ini? Memaksimumkan keuntungan, meminimumkan kos, menentukan beban optimum peralatan... Dalam erti kata lain, dalam banyak bidang kehidupan kita perlu menyelesaikan masalah mengoptimumkan beberapa parameter. Dan ini adalah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Perlu diingatkan bahawa nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi biasanya dicari pada selang X tertentu, iaitu sama ada keseluruhan domain fungsi atau sebahagian daripada domain definisi. Selang X itu sendiri boleh menjadi segmen, selang terbuka , selang tak terhingga.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mencari nilai terbesar dan terkecil secara eksplisit fungsi yang diberikan satu pembolehubah y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita lihat secara ringkas definisi utama.

Nilai terbesar bagi fungsi tersebut itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Nilai terkecil bagi fungsi tersebut y=f(x) pada selang X dipanggil nilai sedemikian itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Takrifan ini adalah intuitif: nilai terbesar (paling kecil) bagi sesuatu fungsi ialah nilai terbesar (paling kecil) diterima pada selang yang dipertimbangkan di abscissa.

Titik pegun– ini adalah nilai hujah di mana terbitan fungsi menjadi sifar.

Mengapakah kita memerlukan titik pegun apabila mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem Fermat. Daripada teorem ini, ia mengikuti bahawa jika fungsi boleh dibezakan mempunyai ekstrem (minimum tempatan atau maksimum tempatan) pada satu titik, maka titik ini adalah pegun. Oleh itu, fungsi sering mengambil nilai terbesar (terkecil) pada selang X pada salah satu titik pegun dari selang ini.

Juga, fungsi selalunya boleh mengambil nilai terbesar dan terkecil pada titik di mana terbitan pertama fungsi ini tidak wujud, dan fungsi itu sendiri ditakrifkan.

Mari kita jawab dengan segera salah satu soalan yang paling biasa mengenai topik ini: "Adakah sentiasa mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) fungsi"? Tidak, tidak selalu. Kadangkala sempadan selang X bertepatan dengan sempadan domain takrifan fungsi, atau selang X adalah tak terhingga. Dan beberapa fungsi pada infiniti dan di sempadan domain definisi boleh mengambil kedua-dua nilai infiniti besar dan infiniti kecil. Dalam kes ini, tiada apa yang boleh dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Untuk kejelasan, kami akan memberikan ilustrasi grafik. Lihat gambar dan banyak lagi akan menjadi lebih jelas.

Pada segmen

Dalam rajah pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam segmen [-6;6].

Pertimbangkan kes yang digambarkan dalam rajah kedua. Jom tukar segmen kepada . Dalam contoh ini, nilai terkecil fungsi dicapai pada titik pegun, dan yang terbesar pada titik dengan absis sepadan dengan sempadan kanan selang.

Dalam Rajah 3, titik sempadan segmen [-3;2] ialah absis bagi titik yang sepadan dengan nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi.

Pada selang waktu terbuka

Dalam rajah keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam. selang terbuka (-6;6) .

Pada selang , tiada kesimpulan boleh dibuat tentang nilai terbesar.

Pada infiniti

Dalam contoh yang dibentangkan dalam rajah ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik pegun dengan abscissa x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada sempadan kanan selang. Pada infiniti tolak, nilai fungsi secara asimptotik menghampiri y=3.

Sepanjang selang itu, fungsi tidak mencapai nilai terkecil mahupun terbesar. Apabila x=2 menghampiri dari kanan, nilai fungsi cenderung tolak infiniti (garis lurus x=2 ialah asimtot menegak), dan kerana absis cenderung kepada tambah infiniti, nilai fungsi secara asymptotically menghampiri y=3. Ilustrasi grafik contoh ini ditunjukkan dalam Rajah 8.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan pada segmen.

Mari kita tulis algoritma yang membolehkan kita mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

1. Kami dapati domain sesuatu fungsi dan semak sama ada ia mengandungi keseluruhan segmen .
2. Kami mendapati semua titik di mana terbitan pertama tidak wujud dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik tersebut ditemui dalam fungsi dengan hujah di bawah tanda modulus dan dalam fungsi kuasa dengan eksponen pecahan-rasional). Jika tiada mata seperti itu, maka teruskan ke titik seterusnya.
3. Kami menentukan semua titik pegun yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan sifar, menyelesaikan persamaan yang terhasil dan pilih punca yang sesuai. Jika tiada titik pegun atau tiada satu pun daripadanya jatuh ke dalam segmen, kemudian teruskan ke titik seterusnya.
4. Kami mengira nilai fungsi pada titik pegun terpilih (jika ada), pada titik di mana terbitan pertama tidak wujud (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
5. Daripada nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai terbesar dan terkecil fungsi yang diperlukan.

Mari analisa algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Contoh.

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

• pada segmen;
• pada segmen [-4;-1] .

Penyelesaian.

Domain fungsi ialah keseluruhan set nombor nyata, kecuali sifar, iaitu . Kedua-dua segmen termasuk dalam domain definisi.

Cari terbitan bagi fungsi berkenaan dengan:

Jelas sekali, terbitan fungsi wujud di semua titik segmen dan [-4;-1].

Kami menentukan titik pegun daripada persamaan. Satu-satunya punca sebenar ialah x=2. Titik pegun ini jatuh ke dalam segmen pertama.

Untuk kes pertama, kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun, iaitu, untuk x=1, x=2 dan x=4:

Oleh itu, nilai terbesar fungsi dicapai pada x=1, dan nilai terkecil – pada x=2.

Untuk kes kedua, kami mengira nilai fungsi hanya pada hujung segmen [-4;-1] (kerana ia tidak mengandungi satu titik pegun):

Dengan perkhidmatan ini anda boleh cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi satu pembolehubah f(x) dengan penyelesaian diformatkan dalam Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, oleh itu, adalah perlu untuk mencari ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah. Anda juga boleh mencari selang peningkatan dan penurunan fungsi.

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

y=

pada segmen [ ;]

Sertakan teori

Peraturan untuk memasukkan fungsi:

Syarat yang diperlukan untuk ekstrem fungsi satu pembolehubah

Persamaan f" 0 (x *) = 0 ialah syarat yang perlu ekstrem bagi fungsi satu pembolehubah, i.e. pada titik x * terbitan pertama bagi fungsi mesti lenyap. Ia mengenal pasti titik pegun x c di mana fungsi tidak bertambah atau berkurang.

Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem fungsi satu pembolehubah

Biarkan f 0 (x) dua kali boleh dibezakan berkenaan dengan x, tergolong dalam set D. Jika pada titik x * syarat dipenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Kemudian titik x * ialah titik minimum tempatan (global) fungsi.

Jika pada titik x * syarat dipenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Kemudian titik x * ialah maksimum tempatan (global).

Contoh No 1. Cari yang terhebat dan nilai terkecil fungsi: pada segmen .
Penyelesaian.

Titik genting ialah satu x 1 = 2 (f’(x)=0). Titik ini tergolong dalam segmen. (Titik x=0 tidak kritikal, kerana 0∉).
Kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik kritikal.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawapan: f min = 5 / 2 pada x=2; f maks =9 pada x=1

Contoh No. 2. Dengan menggunakan terbitan tertib tinggi, cari ekstrem bagi fungsi y=x-2sin(x) .
Penyelesaian.
Cari terbitan bagi fungsi: y’=1-2cos(x) . Kami akan mencari titik kritikal: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Kami dapati y’’=2sin(x), hitung , yang bermaksud x= π / 3 +2πk, k∈Z ialah titik minimum bagi fungsi; , yang bermaksud x=- π / 3 +2πk, k∈Z ialah titik maksimum fungsi.

Contoh No. 3. Siasat fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Penyelesaian. Di sini adalah perlu untuk mencari extrema fungsi. Jika extremum x=0, maka ketahui jenisnya (minimum atau maksimum). Jika di antara titik yang ditemui tiada x = 0, maka hitung nilai fungsi f(x=0).
Perlu diingat bahawa apabila terbitan pada setiap sisi titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin tidak habis walaupun untuk fungsi yang boleh dibezakan: boleh berlaku bahawa untuk kejiranan kecil yang sewenang-wenangnya pada satu sisi titik x 0 atau pada kedua-dua belah tanda perubahan terbitan. Pada titik ini adalah perlu untuk menggunakan kaedah lain untuk mengkaji fungsi untuk ekstrem.