Untuk memahami topik ini, mari kita pertimbangkan fungsi yang digambarkan pada graf // Mari tunjukkan bagaimana graf fungsi membolehkan anda menentukan sifatnya.
Mari kita lihat sifat-sifat fungsi menggunakan contoh
Domain definisi fungsi ialah rentang [ 3.5; 5.5].
Julat nilai fungsi ialah rentang [ 1; 3].
1. Pada x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5, nilai fungsi ialah sifar.
Nilai hujah di mana nilai fungsi adalah sifar dipanggil fungsi sifar.
//itu. untuk fungsi ini nombornya ialah -3;-1;1.5; 4.5 ialah sifar.
2. Pada selang masa [ 4.5; 3) dan (1; 1.5) dan (4.5; 5.5] graf fungsi f terletak di atas paksi absis, dan dalam selang (-3; -1) dan (1.5; 4.5) di bawah paksi absis, ini dijelaskan seperti berikut: pada selang [4.5; 3) dan (1; 1.5) dan (4.5; 5.5] fungsi mengambil nilai positif, dan pada selang (-3; -1) dan ( 1.5; 4.5) negatif.
Setiap selang yang ditunjukkan (di mana fungsi mengambil nilai tanda yang sama) dipanggil selang tanda malar bagi fungsi f.//i.e. sebagai contoh, jika kita mengambil selang (0; 3), maka ia bukan selang tanda malar bagi fungsi ini.
Dalam matematik, apabila mencari selang tanda malar fungsi, adalah lazim untuk menunjukkan selang panjang maksimum. //Itu. selang (2; 3) ialah selang ketekalan tanda fungsi f, tetapi jawapannya hendaklah termasuk selang [4.5; 3) mengandungi selang (2; 3).
3. Jika anda bergerak sepanjang paksi-x dari 4.5 ke 2, anda akan perasan bahawa graf fungsi turun, iaitu nilai fungsi berkurangan. //Dalam matematik adalah kebiasaan untuk mengatakan bahawa pada selang [ 4.5; 2] fungsi berkurangan.
Apabila x bertambah daripada 2 kepada 0, graf fungsi itu naik, i.e. nilai fungsi meningkat. //Dalam matematik adalah kebiasaan untuk mengatakan bahawa pada selang [ 2; 0] fungsi bertambah.
Fungsi f dipanggil jika untuk mana-mana dua nilai argumen x1 dan x2 daripada selang ini supaya x2 > x1, ketaksamaan f (x2) > f (x1) dipegang. // atau fungsi dipanggil meningkat dalam beberapa selang, jika untuk sebarang nilai argumen dari selang ini, nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar.//i.e. lagi banyak x, lagi banyak y.
Fungsi f dipanggil berkurangan dalam tempoh tertentu, jika untuk mana-mana dua nilai argumen x1 dan x2 dari selang ini sehingga x2 > x1, ketaksamaan f(x2) berkurangan pada beberapa selang, jika untuk sebarang nilai argumen dari selang ini nilai yang lebih besar daripada argumen sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil. //itu. semakin banyak x, semakin kurang y.
Jika fungsi meningkat ke atas keseluruhan domain definisi, maka ia dipanggil semakin meningkat.
Jika fungsi berkurangan ke atas keseluruhan domain definisi, maka ia dipanggil semakin berkurangan.
Contoh 1. graf fungsi meningkat dan menurun masing-masing.
Contoh 2.
Tentukan fenomena. Adakah fungsi linear f(x) = 3x + 5 bertambah atau berkurang?
Bukti. Mari kita gunakan definisi. Biarkan x1 dan x2 menjadi nilai arbitrari bagi hujah, dan x1< x2., например х1=1, х2=7
Bahagian ini mengandungi bahan rujukan mengenai fungsi asas utama dan sifatnya. Klasifikasi fungsi asas diberikan. Di bawah ialah pautan kepada subseksyen yang membincangkan sifat-sifat fungsi tertentu - graf, formula, terbitan, antiterbitan (kamiran), pengembangan siri, ungkapan melalui pembolehubah kompleks.
Halaman rujukan untuk fungsi asas
Klasifikasi fungsi asas
Fungsi algebra ialah fungsi yang memenuhi persamaan:
,
di mana ialah polinomial dalam pembolehubah bersandar y dan pembolehubah tidak bersandar x. Ia boleh ditulis sebagai:
,
dimanakah polinomial.
Fungsi algebra dibahagikan kepada polinomial (keseluruhan fungsi rasional), fungsi rasional dan fungsi tidak rasional.
Keseluruhan fungsi rasional, yang juga dipanggil polinomial atau polinomial, diperoleh daripada pembolehubah x dan nombor terhingga nombor menggunakan operasi aritmetik tambah (tolak) dan darab. Selepas membuka kurungan, polinomial dikurangkan kepada bentuk kanonik:
.
Fungsi rasional pecahan, atau ringkasnya fungsi rasional, diperoleh daripada pembolehubah x dan nombor terhingga nombor menggunakan operasi aritmetik tambah (tolak), darab dan bahagi. Fungsi rasional boleh dikurangkan kepada bentuk
,
di mana dan adalah polinomial.
Fungsi tidak rasional ialah fungsi algebra yang tidak rasional. Sebagai peraturan, fungsi tidak rasional difahami sebagai akar dan komposisinya dengan fungsi rasional. Punca darjah n ditakrifkan sebagai penyelesaian kepada persamaan
.
Ia ditetapkan seperti berikut:
.
Fungsi transendental dipanggil fungsi bukan algebra. Ini adalah eksponen, trigonometri, hiperbolik dan fungsi songsangnya.
Gambaran keseluruhan fungsi asas asas
Semua fungsi asas boleh diwakili sebagai bilangan terhingga operasi tambah, tolak, darab dan bahagi yang dilakukan pada ungkapan bentuk:
z t .
Fungsi songsang juga boleh dinyatakan dalam sebutan logaritma. Fungsi asas asas disenaraikan di bawah.
Fungsi kuasa:
y(x) = x p ,
di mana p ialah eksponen. Ia bergantung kepada asas darjah x.
Songsangan bagi fungsi kuasa juga adalah fungsi kuasa:
.
Untuk nilai integer bukan negatif bagi eksponen p, ia adalah polinomial. Untuk nilai integer p - fungsi rasional. Dengan makna rasional - fungsi tidak rasional.
Fungsi transendental
Fungsi eksponen:
y(x) = a x ,
di mana a ialah asas darjah. Ia bergantung kepada eksponen x.
Fungsi songsang ialah logaritma kepada asas a:
x = log a y.
Eksponen, e kepada kuasa x:
y(x) = e x ,
Ini ialah fungsi eksponen yang derivatifnya sama dengan fungsi itu sendiri:
.
Asas eksponen ialah nombor e:
≈ 2,718281828459045...
.
Fungsi songsang ialah logaritma asli - logaritma ke pangkal nombor e:
x = ln y ≡ log e y.
Fungsi trigonometri:
Sinus: ;
Kosinus: ;
Tangen: ;
Kotangen: ;
Di sini i ialah unit khayalan, i 2 = -1.
Fungsi trigonometri songsang:
Arcsine: x = arcsin y,
;
Kosinus arka: x = arccos y,
;
Artangen: x = arctan y,
;
Arka tangen: x = arcctg y,
.
Had dan kesinambungan
set
Di bawah ramai difahami sebagai koleksi objek homogen. Objek yang membentuk satu set dipanggil elemen atau titik daripada orang ramai ini. Set dilambangkan dengan huruf besar dan elemennya dengan huruf kecil. Jika a ialah unsur set A, maka entri digunakan aÎ A. Jika b bukan unsur set A, maka ia ditulis seperti ini: b Ï A. Set yang tidak mengandungi satu unsur dipanggil set kosong dan dilambangkan seperti berikut: Ø.
Jika set B terdiri daripada sebahagian daripada unsur-unsur set A atau bertepatan dengannya, kemudian set B dipanggil subset set dan menandakan BÌ A.
Dua set dipanggil sama rata, jika ia terdiri daripada unsur yang sama.
Persatuan dua set A Dan B dipanggil set C, yang terdiri daripada semua elemen yang dimiliki oleh sekurang-kurangnya satu set: C=AÈ B.
Dengan menyeberang dua set A Dan B dipanggil set C, yang terdiri daripada semua elemen kepunyaan setiap set ini: C=AÇ B.
Dengan perbezaan set A Dan B dipanggil set E A, yang tidak termasuk dalam set B: .
Supplement set AÌ B dipanggil set C, yang terdiri daripada semua elemen set B, bukan milik A.
Set yang unsurnya ialah nombor nyata dipanggil berangka:
Di mana NÌ ZÌ QÌ R, sayaÌ R Dan R=sayaÈ Q.
Sekumpulan X, yang unsur-unsurnya memenuhi ketaksamaan dipanggil segmen(segmen) dan dilambangkan dengan [ a; b]; ketidaksamaan a<x<b – selang waktu dan dilambangkan dengan () ; ketidaksamaan dan - selang separuh dan ditandakan dengan dan masing-masing. Anda juga sering perlu berurusan dengan selang tak terhingga dan selang separuh: , , , dan . Ia mudah untuk memanggil mereka semua pada selang waktu .
Selang, i.e. set mata yang memenuhi ketaksamaan (di mana ), dipanggil -kejiranan titik a.
Konsep fungsi. Sifat asas sesuatu fungsi
Jika setiap elemen x set X satu elemen dipadankan y set Y, kemudian mereka mengatakan bahawa di set X diberi fungsi y=f(x). Di mana x dipanggil pembolehubah bebas atau hujah, A y – pembolehubah bersandar atau fungsi, A f menunjukkan hukum surat menyurat. Sekumpulan X dipanggil domain definisi fungsi, dan satu set Y – julat nilai fungsi.
Terdapat beberapa cara untuk menentukan fungsi.
1) Kaedah analisis - fungsi diberikan oleh formula bentuk y=f(x).
2) Kaedah jadual - fungsi ditentukan oleh jadual yang mengandungi nilai argumen dan nilai fungsi yang sepadan y=f(x).
3) Kaedah grafik - menggambarkan graf fungsi, i.e. set mata ( x; y) satah koordinat, abscissas yang mewakili nilai hujah, dan ordinat mewakili nilai fungsi yang sepadan y=f(x).
4) Kaedah lisan - fungsi diterangkan oleh peraturan untuk komposisinya. Sebagai contoh, fungsi Dirichlet mengambil nilai 1 jika x ialah nombor rasional dan 0 jika x– nombor tak rasional.
Ciri-ciri utama fungsi berikut dibezakan.
1 Genap dan ganjil Fungsi y=f(x) dipanggil malah, jika untuk sebarang nilai x dari domain definisinya berpuas hati f(–x)=f(x), Dan ganjil, Jika f(–x)=–f(x). Jika tiada persamaan yang disenaraikan berpuas hati, maka y=f(x) dipanggil fungsi umum. Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang paksi Oy, dan graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan.
2 Monotony Fungsi y=f(x) dipanggil semakin meningkat (semakin berkurangan) pada selang waktu X, jika nilai argumen yang lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil). biarlah x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 . Kemudian fungsi meningkat pada selang X, Jika f(x 2)>f(x 1), dan berkurangan jika f(x 2)<f(x 1).
Bersama-sama dengan fungsi meningkat dan menurun, fungsi tidak menurun dan tidak meningkat dipertimbangkan. Fungsi itu dipanggil tidak berkurangan (tidak meningkat), jika pada x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 ketidaksamaan berlaku f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).
Fungsi bertambah dan berkurangan, serta fungsi tidak bertambah dan tidak berkurang dipanggil monotonik.
3 Terhad Fungsi y=f(x) dipanggil bersempadan pada selang X, jika terdapat nombor positif sedemikian M>0, apakah | f(x)|≤M untuk sesiapa xÎ X. Jika tidak fungsi itu dikatakan tidak terhad X.
4 Kekerapan Fungsi y=f(x) dipanggil berkala dengan tempoh T≠0, jika ada x daripada domain fungsi f(x+T)=f(x). Dalam perkara yang berikut, mengikut tempoh kita maksudkan tempoh positif terkecil bagi suatu fungsi.
Fungsi itu dipanggil eksplisit, jika ia diberikan oleh formula borang y=f(x). Jika fungsi diberikan oleh persamaan F(x, y)=0, tidak dibenarkan berbanding pembolehubah bersandar y, maka ia dipanggil tersirat.
biarlah y=f(x) ialah fungsi pembolehubah bebas yang ditakrifkan pada set X dengan julat Y. Mari padankan setiap satu yÎ Y makna tunggal xÎ X, di mana f(x)=y.Kemudian fungsi yang terhasil x=φ (y), ditakrifkan pada set Y dengan julat X, dipanggil terbalik dan ditetapkan y=f –1 (x). Graf bagi fungsi songsang bersama adalah simetri berkenaan dengan pembahagi dua suku koordinat pertama dan ketiga.
Biarkan fungsi y=f(u) ialah fungsi pembolehubah u, ditakrifkan pada set U dengan julat Y, dan pembolehubah u pula adalah fungsi u=φ (x), ditakrifkan pada set X dengan julat U. Kemudian diberikan pada set X fungsi y=f(φ (x)) dipanggil fungsi kompleks(komposisi fungsi, superposisi fungsi, fungsi fungsi).
Fungsi asas
Fungsi asas utama termasuk:
- fungsi kuasa y=x n; y=x–n Dan y=x 1/ n;
- fungsi eksponen y=a x;
- fungsi logaritma y=log a x;
- fungsi trigonometri y=dosa x, y=kos x, y=tg x Dan y=ctg x;
- fungsi trigonometri songsang y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x Dan y=arcctg x.
Daripada fungsi asas asas, fungsi baharu boleh diperoleh menggunakan operasi algebra dan superposisi fungsi.
Fungsi yang dibina daripada fungsi asas asas menggunakan bilangan terhingga operasi algebra dan bilangan terhingga operasi superposisi dipanggil rendah.
Algebra ialah fungsi di mana bilangan terhingga operasi algebra dilakukan pada hujah. Fungsi algebra termasuk:
· keseluruhan fungsi rasional (polinomial atau polinomial)
· fungsi pecahan-rasional (nisbah dua polinomial)
· fungsi tidak rasional (jika operasi pada hujah termasuk mengekstrak akar).
Sebarang fungsi bukan algebra dipanggil transendental. Fungsi transendental termasuk eksponen, logaritma, trigonometri, dan fungsi trigonometri songsang.
gimnasium Rusia
ABSTRAK
Selesai
pelajar kelas 10 "F" Burmistrov Sergey
Penyelia
guru matematik
Yulina O.A.
Nizhny Novgorod
Fungsi dan sifatnya
fungsi- pergantungan berubah-ubah di daripada pembolehubah x , jika setiap nilai X sepadan dengan satu nilai di .
Pembolehubah x- pembolehubah bebas atau hujah.
Pembolehubah y- pembolehubah bersandar
Nilai fungsi- maksudnya di, sepadan dengan nilai yang ditentukan X .
Skop fungsi ialah semua nilai yang diambil oleh pembolehubah bebas.
Julat fungsi (set nilai) - semua nilai yang diterima oleh fungsi.
Fungsinya adalah sama- kalau untuk sesiapa X f(x)=f(-x)
Fungsinya ganjil- kalau untuk sesiapa X daripada domain takrifan fungsi kesamaan f(-x)=-f(x)
Meningkatkan fungsi- jika ada x 1 Dan x 2, seperti itu x 1
<
x 2, ketidaksamaan berlaku f(
x 1
)
Mengurangkan fungsi- jika ada x 1 Dan x 2, seperti itu x 1 < x 2, ketidaksamaan berlaku f( x 1 )>f( x 2 )
Kaedah untuk menentukan fungsi
¨ Untuk menentukan fungsi, anda perlu menentukan cara di mana, untuk setiap nilai argumen, nilai fungsi yang sepadan boleh ditemui. Cara paling biasa untuk menentukan fungsi adalah menggunakan formula di =f(x), Di mana f(x)- ungkapan dengan pembolehubah X. Dalam kes ini, mereka mengatakan bahawa fungsi diberikan oleh formula atau fungsi itu diberikan secara analitikal.
¨ Dalam amalan ia sering digunakan jadual cara untuk menentukan fungsi. Dengan kaedah ini, jadual disediakan yang menunjukkan nilai fungsi untuk nilai argumen yang tersedia dalam jadual. Contoh fungsi jadual ialah jadual segi empat sama dan jadual kubus.
Jenis fungsi dan sifatnya
1) Fungsi malar - fungsi yang diberikan oleh formula y= b , di mana b- beberapa nombor. Graf fungsi malar y=b ialah garis lurus selari dengan paksi absis dan melalui titik (0;b) pada paksi ordinat.
2) Perkadaran langsung - fungsi yang diberikan oleh formula y= kx , di mana k¹0. Nombor k dipanggil faktor perkadaran .
Sifat fungsi y=kx :
1. Domain fungsi ialah set semua nombor nyata
2. y=kx- fungsi ganjil
3. Apabila k>0 fungsi meningkat, dan apabila k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Fungsi linear- fungsi, yang diberikan oleh formula y=kx+b, Di mana k Dan b - nombor nyata. Jika khususnya k=0, maka kita mendapat fungsi malar y=b; Jika b=0, maka kita mendapat perkadaran langsung y=kx .
Sifat fungsi y=kx+b :
1. Domain - set semua nombor nyata
2. Fungsi y=kx+b bentuk am, i.e. tidak genap mahupun ganjil.
3. Apabila k>0 fungsi meningkat, dan apabila k<0 убывает на всей числовой прямой
Graf bagi fungsi tersebut ialah lurus .
4)Perkadaran songsang- fungsi yang diberikan oleh formula y=k /X, di mana k¹0 Nombor k dipanggil pekali perkadaran songsang.
Sifat fungsi y=k / x:
1. Domain - set semua nombor nyata kecuali sifar
2. y=k / x - fungsi ganjil
3. Jika k>0, maka fungsi berkurangan pada selang (0;+¥) dan pada selang (-¥;0). Jika k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Graf bagi fungsi tersebut ialah hiperbola .
5)Fungsi y=x2
Sifat fungsi y=x2:
2. y=x2 - malah berfungsi
3. Pada selang waktu fungsi berkurangan
Graf bagi fungsi tersebut ialah parabola .
6)Fungsi y=x 3
Sifat fungsi y=x 3:
1. Domain definisi - keseluruhan garis nombor
2. y=x 3 - fungsi ganjil
3. Fungsi bertambah sepanjang garis nombor keseluruhan
Graf bagi fungsi tersebut ialah parabola padu
7)Fungsi kuasa dengan eksponen semula jadi - fungsi yang diberikan oleh formula y=xn, Di mana n- nombor asli. Apabila n=1 kita memperoleh fungsi y=x, sifatnya dibincangkan dalam perenggan 2. Untuk n=2;3 kita perolehi fungsi y=x 2 ; y=x 3 . Sifat mereka dibincangkan di atas.
Biarkan n menjadi nombor genap arbitrari yang lebih besar daripada dua: 4,6,8... Dalam kes ini, fungsi y=xn mempunyai sifat yang sama dengan fungsi y=x 2. Graf fungsi menyerupai parabola y=x 2, hanya cabang graf untuk |x|>1 naik lebih curam n lebih besar, dan untuk |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Biarkan n menjadi nombor ganjil arbitrari yang lebih besar daripada tiga: 5,7,9... Dalam kes ini, fungsi y=xn mempunyai sifat yang sama dengan fungsi y=x 3 . Graf fungsi itu menyerupai parabola padu.
8)Fungsi kuasa dengan eksponen integer negatif - fungsi yang diberikan oleh formula y=x -n , di mana n- nombor asli. Untuk n=1 kita memperoleh y=1/x; sifat-sifat fungsi ini dibincangkan dalam perenggan 4.
Biarkan n ialah nombor ganjil yang lebih besar daripada satu: 3,5,7... Dalam kes ini, fungsi y=x -n pada dasarnya mempunyai sifat yang sama dengan fungsi y=1/x.
Biarkan n ialah nombor genap, contohnya n=2.
Sifat fungsi y=x -2 :
1. Fungsi ditakrifkan untuk semua x¹0
2. y=x -2 - malah berfungsi
3. Fungsi berkurangan sebanyak (0;+¥) dan meningkat sebanyak (-¥;0).
Mana-mana fungsi dengan n lebih besar daripada dua mempunyai sifat yang sama.
9)Fungsi y= Ö X
Sifat fungsi y= Ö X :
1. Domain definisi - sinar)