Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana setiap nombor lebih besar (atau kurang) daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Topik ini sering kelihatan rumit dan tidak dapat difahami. Indeks huruf penggal ke- perkembangan, perbezaan kemajuan - semua ini entah bagaimana mengelirukan, ya... Mari kita fikirkan maksudnya janjang aritmetik dan semuanya akan menjadi lebih baik serta-merta.)
Konsep janjang aritmetik.
Janjang aritmetik adalah konsep yang sangat mudah dan jelas. Adakah anda mempunyai sebarang keraguan? Sia-sia.) Tengok sendiri.
Saya akan menulis siri nombor yang belum selesai:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bolehkah anda melanjutkan siri ini? Apakah nombor yang akan datang selepas lima? Semua orang... eh..., pendek kata, semua orang akan sedar bahawa nombor 6, 7, 8, 9, dan lain-lain akan datang seterusnya.
Mari kita rumitkan tugas. Saya memberi anda siri nombor yang belum selesai:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Anda akan dapat menangkap corak, melanjutkan siri dan nama ketujuh nombor baris?
Jika anda menyedari bahawa nombor ini adalah 20, tahniah! Bukan sahaja anda rasa perkara utama janjang aritmetik, tetapi juga berjaya menggunakannya dalam perniagaan! Jika anda belum memahaminya, baca terus.
Sekarang mari menterjemahkan perkara utama daripada sensasi ke dalam matematik.)
Perkara utama pertama.
Janjang aritmetik berkaitan dengan siri nombor. Ini mengelirukan pada mulanya. Kami sudah biasa menyelesaikan persamaan, melukis graf dan semua itu... Tetapi di sini kami memanjangkan siri, mencari nombor siri itu...
Tidak mengapa. Cuma perkembangan adalah kenalan pertama dengan cabang matematik yang baharu. Bahagian ini dipanggil "Siri" dan berfungsi secara khusus dengan siri nombor dan ungkapan. Biasakan diri.)
Perkara utama kedua.
Dalam janjang aritmetik, sebarang nombor adalah berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Dalam contoh pertama, perbezaan ini adalah satu. Walau apa pun nombor yang anda ambil, ia lebih satu daripada yang sebelumnya. Dalam kedua - tiga. Sebarang nombor adalah tiga lebih daripada yang sebelumnya. Sebenarnya, detik inilah yang memberi kita peluang untuk memahami corak dan mengira nombor seterusnya.
Perkara utama ketiga.
Momen ini tidak menarik, ya... Tetapi ia sangat-sangat penting. Inilah dia: setiap satu nombor kemajuan berdiri di tempatnya. Ada nombor pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dsb. Jika anda mencampurkannya secara rawak, corak akan hilang. Janjang aritmetik juga akan hilang. Yang tinggal hanyalah siri nombor.
Itulah keseluruhannya.
Sudah tentu, dalam topik baru terma dan jawatan baharu muncul. Anda perlu mengenali mereka. Jika tidak, anda tidak akan memahami tugas itu. Sebagai contoh, anda perlu memutuskan sesuatu seperti:
Tulis enam sebutan pertama janjang aritmetik (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.
Menginspirasikan?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, dengan cara itu, tidak boleh menjadi lebih mudah. Anda hanya perlu memahami maksud istilah dan sebutan. Sekarang kita akan menguasai perkara ini dan kembali kepada tugas.
Terma dan sebutan.
Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana setiap nombor adalah berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Kuantiti ini dipanggil . Mari kita lihat konsep ini dengan lebih terperinci.
Perbezaan janjang aritmetik.
Perbezaan janjang aritmetik ialah amaun yang menggunakan sebarang nombor kemajuan lebih yang sebelumnya.
satu perkara penting. Sila beri perhatian kepada perkataan itu "lebih". Secara matematik, ini bermakna setiap nombor janjang adalah dengan menambah perbezaan janjang aritmetik dengan nombor sebelumnya.
Untuk mengira, katakan kedua nombor siri, anda perlu pertama nombor tambah perbezaan janjang aritmetik ini. Untuk pengiraan kelima- perbezaan itu perlu tambah Kepada keempat, baik, dll.
Perbezaan janjang aritmetik Boleh jadi positif, maka setiap nombor dalam siri itu akan menjadi nyata lebih daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil semakin meningkat. Contohnya:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Di sini setiap nombor diperolehi dengan menambah nombor positif, +5 kepada yang sebelumnya.
Perbezaannya mungkin negatif, maka setiap nombor dalam siri itu akan menjadi kurang daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil (anda tidak akan percaya!) semakin berkurangan.
Contohnya:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Di sini setiap nombor juga diperolehi dengan menambah kepada yang sebelumnya, tetapi sudah nombor negatif, -5.
Dengan cara ini, apabila bekerja dengan kemajuan, sangat berguna untuk menentukan sifatnya dengan segera - sama ada ia meningkat atau menurun. Ini banyak membantu untuk menavigasi keputusan, mengesan kesilapan anda dan membetulkannya sebelum terlambat.
Perbezaan janjang aritmetik biasanya dilambangkan dengan huruf d.
Bagaimana untuk mencari d? Sangat mudah. Ia adalah perlu untuk menolak daripada sebarang nombor dalam siri sebelumnya nombor. Tolak. Dengan cara ini, hasil penolakan dipanggil "perbezaan".)
Mari kita definisikan, sebagai contoh, d untuk meningkatkan janjang aritmetik:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kami mengambil sebarang nombor dalam siri yang kami mahu, sebagai contoh, 11. Kami menolak daripadanya nombor sebelumnya, mereka. 8:
Ini adalah jawapan yang betul. Untuk janjang aritmetik ini, perbezaannya ialah tiga.
Anda boleh mengambilnya sebarang nombor kemajuan, kerana untuk perkembangan tertentu d-sentiasa sama. Sekurang-kurangnya di suatu tempat di awal baris, sekurang-kurangnya di tengah, sekurang-kurangnya di mana-mana. Anda tidak boleh mengambil nombor pertama sahaja. Hanya kerana nombor pertama tiada yang sebelumnya.)
By the way, mengetahui itu d=3, mencari nombor ketujuh janjang ini adalah sangat mudah. Mari tambah 3 kepada nombor kelima - kita dapat nombor keenam, ia akan menjadi 17. Mari tambah tiga kepada nombor keenam, kita dapat nombor ketujuh - dua puluh.
Mari kita tentukan d untuk janjang aritmetik menurun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Saya mengingatkan anda bahawa, tanpa mengira tanda-tanda, untuk menentukan d perlukan dari sebarang nombor ambil yang sebelumnya. Pilih mana-mana nombor kemajuan, contohnya -7. Nombornya sebelum ini ialah -2. Kemudian:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Perbezaan janjang aritmetik boleh menjadi sebarang nombor: integer, pecahan, tidak rasional, sebarang nombor.
Terma dan sebutan lain.
Setiap nombor dalam siri dipanggil ahli janjang aritmetik.
Setiap ahli perkembangan mempunyai nombor sendiri. Nombornya betul-betul teratur, tanpa sebarang helah. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dsb. Sebagai contoh, dalam janjang 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah sebutan pertama, lima adalah kedua, sebelas adalah keempat, baik, anda faham...) Harap faham dengan jelas - nombor itu sendiri boleh menjadi apa-apa sahaja, keseluruhan, pecahan, negatif, apa sahaja, tetapi penomboran nombor- betul-betul teratur!
Bagaimana untuk menulis perkembangan dalam pandangan umum? Tiada soalan! Setiap nombor dalam siri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan janjang aritmetik, huruf biasanya digunakan a. Nombor ahli ditunjukkan oleh indeks di bahagian bawah sebelah kanan. Kami menulis istilah yang dipisahkan dengan koma (atau titik bertitik), seperti ini:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- ini adalah nombor pertama, a 3- ketiga, dsb. Tiada yang mewah. Siri ini boleh ditulis secara ringkas seperti ini: (a n).
Kemajuan berlaku terhingga dan tidak terhingga.
muktamad perkembangan mempunyai bilangan ahli yang terhad. Lima, tiga puluh lapan, apa sahaja. Tetapi ia adalah nombor terhingga.
tak terhingga kemajuan - mempunyai nombor tak terhingga ahli, seperti yang anda fikirkan.)
Tuliskan perkembangan terhingga anda boleh melalui siri seperti ini, semua istilah dan titik di penghujung:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
Atau seperti ini, jika terdapat ramai ahli:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
Dalam entri pendek anda perlu menunjukkan bilangan ahli tambahan. Contohnya (untuk dua puluh ahli), seperti ini:
(a n), n = 20
Perkembangan tak terhingga boleh dikenali dengan elipsis di hujung baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.
Kini anda boleh menyelesaikan tugasan. Tugas-tugasnya mudah, semata-mata untuk memahami maksud janjang aritmetik.
Contoh tugas tentang janjang aritmetik.
Mari kita lihat tugas yang diberikan di atas secara terperinci:
1. Tulis enam sebutan pertama janjang aritmetik (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.
Kami memindahkan tugas kepada bahasa yang jelas. Janjang aritmetik tak terhingga diberikan. Nombor kedua perkembangan ini diketahui: a 2 = 5. Perbezaan perkembangan diketahui: d = -2.5. Kita perlu mencari sebutan pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam bagi janjang ini.
Untuk kejelasan, saya akan menulis satu siri mengikut keadaan masalah. Enam sebutan pertama, di mana sebutan kedua ialah lima:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + d
Gantikan kepada ekspresi a 2 = 5 Dan d = -2.5. Jangan lupa tentang tolak!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Penggal ketiga ternyata kurang daripada penggal kedua. Semuanya logik. Jika bilangannya lebih besar daripada yang sebelumnya negatif nilai, yang bermaksud nombor itu sendiri akan kurang daripada yang sebelumnya. Kemajuan semakin berkurangan. Baiklah, mari kita ambil kira.) Kami mengira sebutan keempat siri kami:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Jadi, sebutan dari ketiga hingga keenam telah dikira. Hasilnya ialah siri berikut:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Ia kekal untuk mencari penggal pertama a 1 Oleh kedua terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Jadi, perbezaan janjang aritmetik d tidak boleh ditambah kepada a 2, A bawa pergi:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Itu sahaja. Jawapan tugasan:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Secara sepintas lalu, saya ingin ambil perhatian bahawa kami telah menyelesaikan tugasan ini berulang cara. ini perkataan yang menakutkan hanya bermaksud mencari ahli perkembangan mengikut nombor sebelumnya (bersebelahan). Kami akan melihat cara lain untuk bekerja dengan kemajuan di bawah.
Satu kesimpulan penting boleh dibuat daripada tugasan mudah ini.
Ingat:
Jika kita mengetahui sekurang-kurangnya satu sebutan dan perbezaan janjang aritmetik, kita boleh mencari sebarang sebutan janjang ini.
Adakah anda ingat? Kesimpulan mudah ini membolehkan anda menyelesaikan kebanyakan masalah kursus sekolah mengenai topik ini. Semua tugas berkisar tiga utama parameter: ahli janjang aritmetik, perbezaan janjang, nombor anggota janjang itu. Semua.
Sudah tentu, semua algebra sebelumnya tidak dibatalkan.) Ketaksamaan, persamaan dan perkara lain dilampirkan pada janjang. Tetapi mengikut perkembangan itu sendiri- semuanya berkisar pada tiga parameter.
Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa tugasan popular mengenai topik ini.
2. Tulis janjang aritmetik terhingga sebagai satu siri jika n=5, d = 0.4, dan a 1 = 3.6.
Semuanya mudah di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu ingat bagaimana sebutan janjang aritmetik dikira, mengiranya dan menuliskannya. Adalah dinasihatkan untuk tidak terlepas perkataan dalam syarat tugas: "akhir" dan " n=5". Supaya tidak dikira sehingga anda benar-benar biru di muka.) Terdapat hanya 5 (lima) ahli dalam perkembangan ini:
a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
Ia kekal untuk menulis jawapan:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Tugas lain:
3. Tentukan sama ada nombor 7 akan menjadi ahli janjang aritmetik (a n), jika a 1 = 4.1; d = 1.2.
Hmm... Siapa tahu? Bagaimana untuk menentukan sesuatu?
Bagaimana-bagaimana... Tuliskan perkembangan dalam bentuk siri dan lihat sama ada akan ada tujuh di sana atau tidak! Kami mengira:
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Kini jelas kelihatan bahawa kami baru bertujuh tergelincir antara 6.5 dan 7.7! Tujuh tidak termasuk dalam siri nombor kami, dan, oleh itu, tujuh tidak akan menjadi ahli janjang yang diberikan.
Jawapan: tidak.
Berikut adalah masalah berdasarkan pilihan sebenar GIA:
4. Beberapa sebutan berturut-turut janjang aritmetik ditulis:
...; 15; X; 9; 6; ...
Berikut adalah siri yang ditulis tanpa akhir dan permulaan. Tiada nombor ahli, tiada perbezaan d. Tidak mengapa. Untuk menyelesaikan masalah, cukup memahami maksud janjang aritmetik. Mari lihat dan lihat apa yang mungkin untuk mengetahui dari siri ini? Apakah tiga parameter utama?
Nombor ahli? Tiada satu pun nombor di sini.
Tetapi terdapat tiga nombor dan - perhatian! - perkataan "konsisten" dalam keadaan. Ini bermakna bahawa nombor-nombor itu betul-betul teratur, tanpa jurang. Adakah terdapat dua dalam baris ini? jiran nombor yang diketahui? Ya, saya ada! Ini adalah 9 dan 6. Oleh itu, kita boleh mengira perbezaan janjang aritmetik! Tolak daripada enam sebelumnya nombor, i.e. sembilan:
Ada perkara kecil yang tinggal. Apakah nombor yang akan menjadi nombor sebelumnya untuk X? lima belas. Ini bermakna X boleh didapati dengan mudah dengan penambahan mudah. Tambahkan beza janjang aritmetik kepada 15:
Itu sahaja. Jawapan: x=12
Kami menyelesaikan sendiri masalah berikut. Nota: masalah ini tidak berdasarkan formula. Semata-mata untuk memahami maksud janjang aritmetik.) Kami hanya menulis satu siri nombor dan huruf, melihat dan memikirkannya.
5. Cari sebutan positif pertama janjang aritmetik jika a 5 = -3; d = 1.1.
6. Adalah diketahui bahawa nombor 5.5 adalah ahli janjang aritmetik (a n), di mana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan bilangan n ahli ini.
7. Adalah diketahui bahawa dalam janjang aritmetik a 2 = 4; a 5 = 15.1. Cari 3 .
8. Beberapa sebutan berturut-turut janjang aritmetik ditulis:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Cari sebutan janjang yang ditunjukkan oleh huruf x.
9. Kereta api mula bergerak dari stesen, meningkatkan kelajuan secara seragam sebanyak 30 meter seminit. Berapakah kelajuan kereta api itu selepas lima minit? Berikan jawapan anda dalam km/jam.
10. Adalah diketahui bahawa dalam janjang aritmetik a 2 = 5; a 6 = -5. Cari 1.
Jawapan (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
Adakah semuanya berjaya? Hebat! Anda boleh menguasai janjang aritmetik pada tahap yang lebih tinggi dalam pelajaran berikut.
Tidakkah semuanya berjaya? Tiada masalah. Dalam Seksyen Khas 555, semua masalah ini diselesaikan sekeping demi sekeping.) Dan, sudah tentu, teknik praktikal yang mudah diterangkan yang segera menyerlahkan penyelesaian kepada tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, sepintas lalu!
By the way, dalam teka-teki kereta api terdapat dua masalah yang orang sering tersandung. Satu adalah semata-mata dari segi perkembangan, dan yang kedua adalah umum untuk sebarang masalah dalam matematik, dan juga fizik. Ini ialah terjemahan dimensi dari satu ke satu sama lain. Ia menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.
Dalam pelajaran ini kita melihat makna asas janjang aritmetik dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah mengenai topik ini. Tambah d kepada nombor, tulis satu siri, semuanya akan diselesaikan.
Penyelesaian jari berfungsi dengan baik untuk kepingan baris yang sangat pendek, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika sirinya lebih panjang, pengiraan menjadi lebih rumit. Sebagai contoh, jika dalam masalah 9 dalam soalan kita ganti "lima minit" pada "tiga puluh lima minit" masalah akan menjadi lebih teruk.)
Dan terdapat juga tugas yang mudah pada dasarnya, tetapi tidak masuk akal dari segi pengiraan, sebagai contoh:
Satu janjang aritmetik (a n) diberikan. Cari 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Jadi apa, adakah kita akan menambah 1/6 banyak, banyak kali?! Awak boleh bunuh diri!?
Anda boleh.) Jika anda tidak tahu formula mudah untuk membuat keputusan tugasan yang serupa mungkin dalam satu minit. Formula ini akan ada dalam pelajaran seterusnya. Dan masalah ini diselesaikan di sana. Dalam satu minit.)
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Ya, ya: janjang aritmetik bukan mainan untuk anda :) Nah, kawan-kawan, jika anda membaca teks ini, maka bukti had dalaman memberitahu saya bahawa anda belum tahu apa itu janjang aritmetik, tetapi anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOOO!) ingin tahu. Oleh itu, saya tidak akan menyeksa anda dengan perkenalan yang panjang dan akan terus ke intinya.
Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa set nombor:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Apakah persamaan kesemua set ini? Pada pandangan pertama, tiada apa-apa. Tetapi sebenarnya ada sesuatu. Iaitu: setiap elemen seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama.
Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah nombor berturut-turut, setiap satu seterusnya menjadi satu lebih daripada yang sebelumnya. Dalam kes kedua, perbezaan antara siri nombor berdiri sudah bersamaan dengan lima, tetapi perbezaan ini masih tetap. Dalam kes ketiga, terdapat akar sama sekali. Walau bagaimanapun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya hanya meningkat sebanyak $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahawa nombor ini tidak rasional).
Jadi: semua jujukan tersebut dipanggil janjang aritmetik. Mari kita berikan definisi yang ketat:
Definisi. Urutan nombor di mana setiap nombor seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama dipanggil janjang aritmetik. Jumlah yang berbeza nombor dipanggil perbezaan janjang dan paling kerap dilambangkan dengan huruf $d$.
Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ ialah janjang itu sendiri, $d$ ialah perbezaannya.
Dan hanya beberapa nota penting. Pertama, kemajuan hanya dipertimbangkan dipesan urutan nombor: mereka dibenarkan untuk dibaca dengan ketat mengikut urutan yang ditulis - dan tidak ada yang lain. Nombor tidak boleh disusun semula atau ditukar.
Kedua, urutan itu sendiri boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, set (1; 2; 3) jelas merupakan janjang aritmetik terhingga. Tetapi jika anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah perkembangan yang tidak berkesudahan. Elipsis selepas empat nampaknya membayangkan bahawa terdapat beberapa lagi nombor yang akan datang. Tidak terhingga banyak, contohnya.
Saya juga ingin ambil perhatian bahawa perkembangan boleh meningkat atau menurun. Kami telah melihat peningkatan - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut ialah contoh perkembangan menurun:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Okay, okay: contoh terakhir mungkin kelihatan terlalu rumit. Tetapi yang lain, saya fikir, anda faham. Oleh itu, kami memperkenalkan definisi baharu:
Definisi. Janjang aritmetik dipanggil:
- meningkat jika setiap elemen seterusnya lebih besar daripada yang sebelumnya;
- menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Di samping itu, terdapat urutan yang dipanggil "pegun" - ia terdiri daripada nombor berulang yang sama. Contohnya, (3; 3; 3; ...).
Hanya satu soalan yang tinggal: bagaimana untuk membezakan kemajuan yang semakin meningkat daripada yang semakin berkurangan? Nasib baik, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda nombor $d$, i.e. perbezaan perkembangan:
- Jika $d \gt 0$, maka janjang meningkat;
- Jika $d \lt 0$, maka kemajuan itu jelas berkurangan;
- Akhirnya, terdapat kes $d=0$ - dalam kes ini keseluruhan janjang dikurangkan kepada urutan pegun nombor yang sama: (1; 1; 1; 1; ...), dsb.
Mari cuba kira perbezaan $d$ untuk tiga janjang menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengambil mana-mana dua elemen bersebelahan (contohnya, yang pertama dan kedua) dan tolak nombor di sebelah kiri dari nombor di sebelah kanan. Ia akan kelihatan seperti ini:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Seperti yang kita dapat lihat, dalam ketiga-tiga kes perbezaan sebenarnya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita mengetahui lebih kurang definisinya, tiba masanya untuk mengetahui cara perkembangan diterangkan dan sifat yang dimilikinya.
Istilah kemajuan dan formula berulang
Oleh kerana unsur-unsur jujukan kami tidak boleh ditukar, ia boleh dinomborkan:
\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \kanan\)\]
Unsur individu set ini dipanggil ahli janjang. Mereka ditunjukkan oleh nombor: ahli pertama, ahli kedua, dsb.
Di samping itu, seperti yang telah kita ketahui, istilah jiran kemajuan dikaitkan dengan formula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Anak panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Ringkasnya, untuk mencari sebutan $n$th bagi sesuatu janjang, anda perlu mengetahui sebutan $n-1$th dan perbezaan $d$. Formula ini dipanggil berulang, kerana dengan bantuannya anda boleh mencari sebarang nombor hanya dengan mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya, semua yang sebelumnya). Ini sangat menyusahkan, jadi terdapat formula yang lebih licik yang mengurangkan sebarang pengiraan kepada sebutan pertama dan perbezaan:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]
Anda mungkin telah menemui formula ini. Mereka suka memberikannya dalam semua jenis buku rujukan dan buku penyelesaian. Dan dalam mana-mana buku teks matematik yang masuk akal ia adalah salah satu yang pertama.
Namun, saya cadangkan anda berlatih sedikit.
Tugasan No 1. Tuliskan tiga sebutan pertama janjang aritmetik $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.
Penyelesaian. Jadi, kita tahu sebutan pertama $((a)_(1))=8$ dan perbezaan janjang $d=-5$. Mari kita gunakan formula yang baru diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Jawapan: (8; 3; −2)
Itu sahaja! Sila ambil perhatian: perkembangan kami semakin berkurangan.
Sudah tentu, $n=1$ tidak boleh digantikan - istilah pertama sudah diketahui oleh kami. Walau bagaimanapun, dengan menggantikan perpaduan, kami yakin bahawa walaupun untuk penggal pertama formula kami berfungsi. Dalam kes lain, semuanya bermuara kepada aritmetik cetek.
Tugasan No. 2. Tuliskan tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik jika sebutan ketujuhnya bersamaan dengan −40 dan sebutan ketujuh belasnya bersamaan dengan −50.
Penyelesaian. Mari kita tulis keadaan masalah dalam istilah biasa:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \betul.\]
Saya meletakkan tanda sistem kerana keperluan ini mesti dipenuhi serentak. Sekarang mari kita ambil perhatian bahawa jika kita menolak yang pertama daripada persamaan kedua (kita mempunyai hak untuk melakukan ini, kerana kita mempunyai sistem), kita mendapat ini:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Begitulah mudahnya untuk mencari perbezaan kemajuan! Apa yang tinggal ialah menggantikan nombor yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan sistem. Sebagai contoh, dalam yang pertama:
\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]
Sekarang, mengetahui sebutan pertama dan perbezaannya, ia masih perlu mencari sebutan kedua dan ketiga:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
sedia! Masalah selesai.
Jawapan: (−34; −35; −36)
Perhatikan sifat janjang yang menarik yang kami temui: jika kita mengambil sebutan $n$th dan $m$th dan menolaknya antara satu sama lain, kami mendapat perbezaan janjang yang didarab dengan nombor $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]
Harta yang mudah tetapi sangat berguna yang pasti anda perlu tahu - dengan bantuannya anda boleh mempercepatkan penyelesaian banyak masalah perkembangan dengan ketara. Di sini terang itu contoh:
Tugasan No. 3. Sebutan kelima suatu janjang aritmetik ialah 8.4, dan sebutan kesepuluhnya ialah 14.4. Cari sebutan kelima belas janjang ini.
Penyelesaian. Oleh kerana $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kami perlu mencari $((a)_(15))$, kami perhatikan berikut:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, oleh itu $5d=6$, dari mana kita mempunyai:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]
Jawapan: 20.4
Itu sahaja! Kami tidak perlu mencipta sebarang sistem persamaan dan mengira sebutan pertama dan perbezaan - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.
Sekarang mari kita lihat satu lagi jenis masalah - mencari istilah negatif dan positif sesuatu janjang. Bukan rahsia lagi bahawa jika janjang meningkat, dan sebutan pertamanya negatif, maka lambat laun istilah positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat perkembangan yang semakin berkurangan lambat laun akan menjadi negatif.
Pada masa yang sama, ia tidak selalu mungkin untuk mencari detik ini secara "head-on" dengan meneliti elemen secara berurutan. Selalunya, masalah ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui formula, pengiraan akan mengambil beberapa helai kertas—kita hanya akan tertidur semasa kita menemui jawapannya. Oleh itu, mari kita cuba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.
Tugasan No. 4. Berapakah bilangan sebutan negatif yang terdapat dalam janjang aritmetik −38.5; −35.8; ...?
Penyelesaian. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari mana kita segera mencari perbezaannya:
Ambil perhatian bahawa perbezaan adalah positif, jadi perkembangan meningkat. Penggal pertama adalah negatif, jadi sememangnya pada satu ketika kita akan tersandung pada nombor positif. Satu-satunya persoalan ialah bila ini akan berlaku.
Mari cuba untuk mengetahui berapa lama (iaitu sehingga nombor asli $n$) negatif bagi istilah kekal:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\maks ))=15. \\ \end(align)\]
Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahawa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sebaliknya, kami berpuas hati dengan hanya nilai integer nombor (lebih-lebih lagi: $n\in \mathbb(N)$), jadi nombor terbesar yang dibenarkan adalah tepat $n=15$, dan dalam kes tidak 16 .
Tugasan No. 5. Dalam janjang aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Cari nombor satu istilah positif perkembangan ini.
Ini akan menjadi masalah yang sama seperti yang sebelumnya, tetapi kami tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi istilah jiran diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, jadi kita boleh mencari perbezaan janjang itu dengan mudah:
Di samping itu, mari kita cuba untuk menyatakan sebutan kelima melalui yang pertama dan perbezaan menggunakan formula standard:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Sekarang kita meneruskan dengan analogi dengan tugasan sebelumnya. Mari kita ketahui pada titik mana dalam urutan nombor positif kita akan muncul:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Anak panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
minimum penyelesaian integer daripada ketidaksamaan ini ialah nombor 56.
Sila ambil perhatian: dalam tugasan terakhir semuanya turun ke ketidaksamaan yang ketat, jadi pilihan $n=55$ tidak sesuai dengan kami.
Sekarang kita telah belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah mudah, mari kita beralih kepada yang lebih kompleks. Tetapi pertama, mari kita kaji satu lagi sifat janjang aritmetik yang sangat berguna, yang akan menjimatkan banyak masa dan sel yang tidak sama pada masa hadapan :)
Min aritmetik dan lekukan sama
Mari kita pertimbangkan beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari cuba tandai mereka pada garis nombor:
Istilah janjang aritmetik pada garis nomborSaya secara khusus menandakan istilah arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan beberapa $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dsb. Kerana peraturan yang saya akan beritahu anda sekarang berfungsi sama untuk mana-mana "segmen".
Dan peraturannya sangat mudah. Mari kita ingat formula berulang dan tuliskannya untuk semua ahli yang ditanda:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Walau bagaimanapun, persamaan ini boleh ditulis semula secara berbeza:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Jadi apa? Dan hakikat bahawa istilah $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini bersamaan dengan $d$. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - ia juga dikeluarkan daripada $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama bersamaan dengan $2d$. Kita boleh meneruskan iklan infinitum, tetapi maknanya digambarkan dengan baik oleh gambar
Istilah janjang terletak pada jarak yang sama dari pusat Apakah maknanya bagi kita? Ini bermakna $((a)_(n))$ boleh didapati jika nombor jiran diketahui:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Kami telah memperoleh pernyataan yang sangat baik: setiap sebutan janjang aritmetik adalah sama dengan min aritmetik bagi sebutan jirannya! Selain itu: kita boleh berundur dari $((a)_(n))$ kami ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan formulanya masih betul:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Itu. kita boleh mencari beberapa $((a)_(150))$ dengan mudah jika kita tahu $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, kerana $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, nampaknya fakta ini tidak memberi kita apa-apa yang berguna. Walau bagaimanapun, dalam amalan, banyak masalah disesuaikan khas untuk menggunakan min aritmetik. Lihatlah:
Tugasan No. 6. Cari semua nilai $x$ yang mana nombor $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ ialah sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik (dalam susunan yang ditunjukkan).
Penyelesaian. Sejak nombor yang ditentukan ialah ahli janjang, bagi mereka keadaan min aritmetik dipenuhi: unsur pusat $x+1$ boleh dinyatakan dalam sebutan unsur jiran:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Ia ternyata klasik persamaan kuadratik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawapannya.
Jawapan: −3; 2.
Tugasan No. 7. Cari nilai $$ yang mana nombor $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk janjang aritmetik (dalam susunan itu).
Penyelesaian. Jom luahkan lagi ahli biasa melalui min aritmetik bagi sebutan jiran:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Persamaan kuadratik sekali lagi. Dan sekali lagi terdapat dua punca: $x=6$ dan $x=1$.
Jawapan: 1; 6.
Jika dalam proses menyelesaikan masalah anda menghasilkan beberapa nombor yang kejam, atau anda tidak pasti sepenuhnya tentang ketepatan jawapan yang ditemui, maka terdapat teknik hebat yang membolehkan anda menyemak: adakah kami telah menyelesaikan masalah dengan betul?
Katakan dalam masalah No. 6 kita menerima jawapan −3 dan 2. Bagaimanakah kita boleh menyemak bahawa jawapan ini betul? Mari kita pasangkannya ke dalam keadaan asal dan lihat apa yang berlaku. Biar saya ingatkan anda bahawa kita mempunyai tiga nombor ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang mesti membentuk janjang aritmetik. Mari kita gantikan $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Kami mendapat nombor −54; −2; 50 yang berbeza dengan 52 sudah pasti merupakan janjang aritmetik. Perkara yang sama berlaku untuk $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Sekali lagi perkembangan, tetapi dengan perbezaan 27. Oleh itu, masalah itu telah diselesaikan dengan betul. Mereka yang ingin boleh menyemak masalah kedua sendiri, tetapi saya akan katakan dengan segera: semuanya betul di sana juga.
Secara umum, semasa menyelesaikan masalah terakhir, kami terjumpa satu lagi fakta menarik, yang juga perlu diingat:
Jika tiga nombor adalah sedemikian sehingga kedua adalah tengah aritmetik dahulu dan terakhir, maka nombor ini membentuk janjang aritmetik.
Pada masa hadapan, memahami kenyataan ini akan membolehkan kita "mereka bentuk" secara literal perkembangan yang diperlukan, berdasarkan keadaan masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "pembinaan" sedemikian, kita harus memberi perhatian kepada satu lagi fakta, yang secara langsung mengikuti apa yang telah dibincangkan.
Mengumpul dan menjumlahkan elemen
Mari kembali ke paksi nombor semula. Mari kita perhatikan terdapat beberapa ahli perkembangan, antara yang, mungkin. bernilai banyak ahli lain:
Terdapat 6 elemen yang ditanda pada garis nomborMari cuba ungkapkan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ia sangat mudah:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Sekarang ambil perhatian bahawa jumlah berikut adalah sama:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Ringkasnya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen janjang, yang secara keseluruhannya adalah sama dengan beberapa nombor $S$, dan kemudian mula melangkah dari unsur-unsur ini ke sisi bertentangan(ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk menjauh), kemudian jumlah unsur yang akan kita temui juga akan sama$S$. Ini boleh diwakili dengan paling jelas secara grafik:
Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama Kefahaman fakta ini akan membolehkan kita menyelesaikan masalah secara lebih asas tahap tinggi kesukaran daripada yang kami pertimbangkan di atas. Sebagai contoh, ini:
Tugasan No. 8. Tentukan beza janjang aritmetik di mana sebutan pertama ialah 66, dan hasil darab sebutan kedua dan kedua belas adalah terkecil yang mungkin.
Penyelesaian. Mari kita tulis semua yang kita tahu:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Jadi, kita tidak tahu perbezaan kemajuan $d$. Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian akan dibina di sekeliling perbezaan, kerana produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ boleh ditulis semula seperti berikut:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengeluarkannya pengganda biasa 11 daripada kurungan kedua. Oleh itu, hasil darab yang dikehendaki ialah fungsi kuadratik berkenaan dengan pembolehubah $d$. Oleh itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafnya akan menjadi parabola dengan cawangan ke atas, kerana jika kita mengembangkan kurungan, kita mendapat:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Seperti yang anda lihat, pekali istilah tertinggi ialah 11 - ini nombor positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:
jadual fungsi kuadratik- parabola
Sila ambil perhatian: nilai minimum parabola ini mengambil $((d)_(0))$ pada puncaknya dengan absis. Sudah tentu, kita boleh mengira absis ini menggunakan skema standard (terdapat formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi lebih munasabah untuk diperhatikan bahawa bucu yang dikehendaki terletak pada simetri paksi parabola, oleh itu titik $((d)_(0))$ adalah sama jarak dari punca persamaan $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Itulah sebabnya saya tidak tergesa-gesa untuk membuka kurungan: dalam bentuk asalnya, akarnya sangat, sangat mudah dicari. Oleh itu, absis adalah sama dengan min nombor aritmetik−66 dan −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Apakah yang diberikan oleh nombor yang ditemui kepada kita? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil(by the way, kami tidak pernah mengira $((y)_(\min ))$ - ini tidak diperlukan daripada kami). Pada masa yang sama, nombor ini adalah perbezaan daripada janjang asal, i.e. kami jumpa jawapannya.
Jawapan: −36
Tugasan No. 9. Antara nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga nombor supaya bersama-sama nombor ini membentuk satu janjang aritmetik.
Penyelesaian. Pada asasnya, kita perlu membuat urutan lima nombor, dengan nombor pertama dan terakhir sudah diketahui. Mari kita nyatakan nombor yang hilang oleh pembolehubah $x$, $y$ dan $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Ambil perhatian bahawa nombor $y$ ialah "tengah" jujukan kami - ia adalah sama jarak dari nombor $x$ dan $z$, dan daripada nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika dari nombor $x$ dan $z$ kita masuk pada masa ini kita tidak boleh mendapatkan $y$, maka keadaannya berbeza dengan penghujung perkembangan. Mari kita ingat maksud aritmetik:
Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari nombor yang tinggal. Ambil perhatian bahawa $x$ terletak di antara nombor $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru kami temui. sebab tu
Dengan menggunakan penaakulan yang sama, kita dapati nombor yang tinggal:
sedia! Kami menjumpai ketiga-tiga nombor. Mari kita tuliskannya dalam jawapan mengikut urutan yang harus disisipkan di antara nombor asal.
Jawapan: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Tugasan No. 10. Di antara nombor 2 dan 42, masukkan beberapa nombor yang, bersama-sama dengan nombor ini, membentuk janjang aritmetik, jika anda tahu bahawa jumlah nombor pertama, kedua dan terakhir nombor yang dimasukkan ialah 56.
Penyelesaian. Lebih-lebih lagi tugas yang sukar, yang, bagaimanapun, diselesaikan mengikut skema yang sama seperti yang sebelumnya - melalui min aritmetik. Masalahnya ialah kita tidak tahu dengan tepat berapa banyak nombor yang perlu dimasukkan. Oleh itu, mari kita anggap untuk kepastian bahawa selepas memasukkan semua akan ada tepat $n$ nombor, dan yang pertama daripada mereka ialah 2, dan yang terakhir ialah 42. Dalam kes ini, janjang aritmetik yang diperlukan boleh diwakili dalam bentuk:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa nombor $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh daripada nombor 2 dan 42 di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain, iaitu . ke tengah urutan. Dan ini bermakna
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Tetapi ungkapan yang ditulis di atas boleh ditulis semula seperti berikut:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita boleh mencari perbezaan janjang itu dengan mudah:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Anak panah kanan d=5. \\ \end(align)\]
Apa yang tinggal ialah mencari istilah yang tinggal:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Oleh itu, sudah pada langkah ke-9 kita akan tiba di hujung kiri urutan - nombor 42. Secara keseluruhan, hanya 7 nombor yang perlu dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Jawapan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Masalah perkataan dengan janjang
Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa secara relatif tugasan mudah. Nah, semudah itu: bagi kebanyakan pelajar yang belajar matematik di sekolah dan belum membaca apa yang ditulis di atas, masalah ini mungkin kelihatan sukar. Walau bagaimanapun, ini adalah jenis masalah yang muncul dalam OGE dan Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, jadi saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.
Tugasan No. 11. Pasukan itu menghasilkan 62 bahagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka menghasilkan 14 bahagian lagi berbanding bulan sebelumnya. Berapa banyak bahagian yang dihasilkan oleh pasukan pada bulan November?
Penyelesaian. Jelas sekali, bilangan bahagian yang disenaraikan mengikut bulan akan mewakili janjang aritmetik yang semakin meningkat. Selain itu:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November ialah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Oleh itu, 202 bahagian akan dikeluarkan pada bulan November.
Tugasan No. 12. Bengkel penjilidan buku mengikat 216 buku pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya ia mengikat 4 buku lebih banyak berbanding bulan sebelumnya. Berapakah bilangan buku yang diikat oleh bengkel itu pada bulan Disember?
Penyelesaian. Semuanya sama:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$
Disember ialah bulan ke-12 yang terakhir dalam tahun ini, jadi kami mencari $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Ini jawapannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Disember.
Nah, jika anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan tahniah kepada anda: anda telah berjaya menyelesaikan "kursus pejuang muda" dalam janjang aritmetik. Anda boleh beralih ke pelajaran seterusnya dengan selamat, di mana kita akan mengkaji formula untuk jumlah kemajuan, serta penting dan sangat akibat yang berguna daripada dia.
Konsep urutan nombor membayangkan kesesuaian setiap nombor asli kepada beberapa nilai sebenar. Siri nombor sedemikian boleh sama ada sewenang-wenang atau mempunyai sifat-sifat tertentu– kemajuan. DALAM kes yang terakhir setiap elemen (ahli) seterusnya bagi jujukan boleh dikira menggunakan yang sebelumnya.
Janjang aritmetik - urutan nilai berangka, di mana ahli jirannya berbeza antara satu sama lain oleh nombor yang sama (harta yang serupa semua elemen siri, bermula dari yang ke-2, mempunyai). Nombor ini– perbezaan antara sebutan sebelumnya dan seterusnya adalah malar dan dipanggil perbezaan janjang.
Perbezaan kemajuan: definisi
Pertimbangkan urutan yang terdiri daripada nilai j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j tergolong dalam set nombor asli N. Janjang aritmetik, mengikut takrifannya, ialah jujukan di mana a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. Nilai d ialah perbezaan yang dikehendaki bagi janjang ini.
d = a(j) – a(j-1).
Serlahkan:
- Kemajuan yang semakin meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Mengurangkan perkembangan, kemudian d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Perkembangan perbezaan dan unsur sewenang-wenangnya
Jika 2 sebutan arbitrari bagi janjang diketahui (i-th, k-th), maka perbezaan untuk urutan tertentu boleh ditentukan berdasarkan hubungan:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, yang bermaksud d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Perbezaan janjang dan sebutan pertamanya
Ungkapan ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kes di mana bilangan unsur jujukan diketahui.
Perbezaan kemajuan dan jumlahnya
Jumlah bagi sesuatu janjang ialah hasil tambah sebutannya. Untuk mengira jumlah nilai daripada elemen j pertamanya, gunakan formula yang sesuai:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi sejak a(j) = a(1) + d(j – 1), kemudian S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.