Untuk menentukan sama ada angka ini Terdapat beberapa ciri selari. Mari kita lihat tiga ciri utama segi empat selari.
1 tanda segi empat selari
Jika dua sisi segiempat sama dan selari, maka segiempat ini akan menjadi segiempat selari.
Bukti:
Pertimbangkan segi empat ABCD. Biarkan sisi AB dan CD selari. Dan biarkan AB=CD. Mari kita lukis pepenjuru BD di dalamnya. Ia akan membahagikan segi empat ini kepada dua segi tiga sama: ABD dan CBD.
Segitiga ini adalah sama antara satu sama lain pada dua sisi dan sudut di antara mereka (BD - sisi biasa, AB = CD mengikut keadaan, sudut1 = sudut2 sebagai sudut baring bersilang dengan BD sekan bagi garis selari AB dan CD.), dan oleh itu sudut3 = sudut4.
Dan sudut ini akan terletak bersilang apabila garis BC dan AD bersilang dengan BD sekan. Ia berikutan daripada ini bahawa BC dan AD adalah selari antara satu sama lain. Kami mempunyai itu dalam segi empat ABCD sisi bertentangan adalah selari berpasangan, dan oleh itu segiempat ABCD ialah segiempat selari.
Tanda selari 2
Jika dalam segiempat sisi bertentangan adalah sama berpasangan, maka segiempat ini akan menjadi segiempat selari.
Bukti:
Pertimbangkan segi empat ABCD. Mari kita lukis pepenjuru BD di dalamnya. Ia akan membahagikan segi empat ini kepada dua segi tiga sama: ABD dan CBD.
Kedua-dua segi tiga ini akan sama antara satu sama lain pada tiga sisi (BD ialah sisi sepunya, AB = CD dan BC = AD mengikut keadaan). Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut1 = sudut2. Ia berikutan bahawa AB adalah selari dengan CD. Dan oleh kerana AB = CD dan AB adalah selari dengan CD, maka menurut kriteria pertama segi empat selari, segiempat ABCD akan menjadi segi empat selari.
3 tanda segi empat selari
Jika pepenjuru segiempat bersilang dan dibelah dua oleh titik persilangan, maka segiempat ini akan menjadi segi empat selari.
Pertimbangkan segi empat ABCD. Mari kita lukis dua pepenjuru AC dan BD di dalamnya, yang akan bersilang pada titik O dan dibelah dua oleh titik ini.
Segitiga AOB dan COD akan sama antara satu sama lain, mengikut tanda pertama kesamaan segi tiga. (AO = OC, BO = OD mengikut keadaan, sudut AOB = sudut COD sebagai sudut menegak.) Oleh itu, AB = CD dan sudut 1 = sudut 2. Daripada kesamaan sudut 1 dan 2, kita mempunyai bahawa AB adalah selari dengan CD. Kemudian kita mempunyai bahawa dalam segiempat ABCD sisi AB adalah sama dengan CD dan selari, dan mengikut kriteria pertama segi empat selari, segiempat ABCD akan menjadi segi empat selari.
saya. Jika dua sisi bertentangan bagi segiempat adalah selari dan sama, maka segiempat itu ialah segiempat selari.
Tugasan 1. Daripada bucu B dan D segi empat selari ABCD, di mana AB≠ BC dan sudut A adalah akut, serenjang BK dan DM dilukis ke garis lurus AC. Buktikan bahawa BMDK sisi empat ialah segi empat selari.
Bukti.
Oleh kerana VC dan DM berserenjang dengan garis lurus AC yang sama, maka VC II DM. Selain itu, VK dan DM ialah ketinggian yang dilukis segi tiga samaΔ ABC dan Δ CDA dari bucu sudut yang sama∠B dan ∠D ke sisi AC yang sama, oleh itu BC = DM. Kami mempunyai: dua sisi BC dan DM segi empat BMDK adalah selari dan sama, yang bermaksud bahawa BMDK ialah segi empat selari, yang perlu dibuktikan.
II. Jika sisi bertentangan sebuah segiempat sama berpasangan, maka segiempat ini ialah segiempat selari.
Tugasan 2. Pada sisi AB, BC, CD dan DA segi empat ABCD titik M, N, P dan Q ditandakan masing-masing supaya AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Buktikan bahawa ABCD dan MNPQ ialah segiempat selari.
Bukti.
1. Mengikut keadaan dalam segi empat ABCD, sisi bertentangan terdiri daripada segmen yang sama, oleh itu sama, i.e. AD=BC, AB=CD. Oleh itu, ABCD ialah segiempat selari.
2. Pertimbangkan Δ MBN dan Δ PDQ. BM=DP dan BN=DQ mengikut syarat. ∠B =∠D sebagai sudut bertentangan segi empat selari ABCD. Ini bermakna Δ MBN = Δ PDQ pada dua sisi dan sudut di antara mereka (tanda pertama kesamaan segi tiga). Dan dalam segi tiga sama bertentangan sudut yang sama terletak sisi yang sama. Oleh itu MN=PQ. Kami telah membuktikan bahawa sisi bertentangan MN dan PQ bagi segi empat MNPQ adalah sama. Begitu juga, daripada kesamaan segi tiga Δ MAQ dan Δ PCN ia mengikuti bahawa sisi MQ dan PN adalah sama, yang merupakan sisi bertentangan MNPQ segiempat. Kami mempunyai: sisi bertentangan MNPQ segiempat adalah sama secara berpasangan. Oleh itu, segiempat MNPQ ialah segiempat selari. Masalah selesai.
III. Jika pepenjuru segiempat bersilang dan dibelah dua oleh titik persilangan, maka segiempat itu ialah segiempat selari.
Tugasan 3. Diagonal bagi segi empat selari ABCD bersilang pada titik O. Buktikan bahawa segiempat MNPQ, yang bucunya ialah titik tengah bagi segmen OA, OB, OC dan OD, ialah segiempat selari.
Bukti.
Mengikut sifat pepenjuru bagi segi empat selari ABCD, pepenjuru AC dan BD dibahagikan kepada separuh oleh titik persilangan, i.e. OA=OS dan OB=OD. Diagonal bagi segi empat MNPQ juga bersilang pada titik O, yang akan menjadi titik tengah setiap satu daripadanya. Sesungguhnya, oleh kerana bucu segiempat MNPQ mengikut keadaan titik tengah segmen OA, OC, OB dan OD, maka BN=ON=OQ=DQ dan AM=OM=OP=CP. Akibatnya, MP pepenjuru dan NQ bagi MNPQ segiempat dibelah dua pada titik persilangan, oleh itu, MNPQ segiempat ialah segiempat selari, yang perlu dibuktikan.
Belakang ke hadapan
Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat kerja ini, sila muat turun versi penuh.
Tujuan pelajaran: mempertimbangkan ciri segi empat selari dan menyatukan pengetahuan yang diperoleh dalam proses menyelesaikan masalah.
Tugasan:
- pendidikan: membangunkan keupayaan untuk menggunakan ciri segi empat selari untuk menyelesaikan masalah;
- membangun: pembangunan pemikiran logik, perhatian, kemahiran kerja bebas, kemahiran harga diri;
- pendidikan: memupuk minat dalam subjek, keupayaan untuk bekerja dalam satu pasukan, budaya komunikasi.
Jenis pelajaran: mempelajari bahan baharu, penyatuan utama.
peralatan: papan interaktif, projektor, kad tugas, pembentangan.
Semasa kelas
1. Detik organisasi.
U: Selamat petang, kawan-kawan! Hari ini dalam kelas kita akan bercakap lagi tentang segi empat selari. Kita perlu menyelesaikan banyak tugasan, membuktikan teorem dan belajar cara mengaplikasikannya apabila menyelesaikan masalah. Moto pelajaran kami ialah kata-kata Le Carbusier: "Segala sesuatu di sekeliling adalah geometri."
2. Mengemaskini pengetahuan pelajar.
Tinjauan teori
Berikan beberapa pelajar tugasan individu pada kad mengenai topik tersebut sifat segi empat selari(semua orang memilih tugas secara bebas pada slaid pembentangan melalui hiperpautan, menghalakan penunjuk tetikus pada rajah, tetapi bukan pada nombor), dengar secara individu kepada setiap responden.
Dengan selebihnya - buktikan sifat tambahan segi empat selari. (Mula-mula bincangkan bukti secara lisan, kemudian semak dengan papan putih interaktif).
1°. Pembahagi bagi sudut segi empat selari memotong segi tiga sama kaki daripadanya.
2°. Pembahagi dua sudut bersebelahan bagi segi empat selari adalah berserenjang, dan pembahagi dua sudut bertentangan adalah selari atau terletak pada garis lurus yang sama.
Selepas penyediaan, dengar bukti sifat tambahan segi empat selari.
ABCD -paralelogram,
AE ialah pembahagi dua sudut BAD.
Buktikan: ABE ialah sama kaki.
Bukti:
Oleh kerana ABCD ialah segiempat selari, oleh itu BC || AD, maka sudut EAD = sudut BEA terletak bersilang dengan garis selari BC dan AD dan sekan AE. AE ialah pembahagi dua sudut BAD, yang bermaksud sudut BAE = sudut EAD, oleh itu sudut BAE = sudut BEA.
Dalam ABE, sudut BAE = sudut BEA, yang bermaksud ABE adalah sama kaki dengan tapak AE.
Soalan cadangan:
Rumuskan tanda segi tiga sama kaki.
Sudut yang manakah dalam BAE boleh sama? kenapa?
ABCD -paralelogram,
BE ialah pembahagi bagi sudut CBA,
AE ialah pembahagi dua sudut BAD.
Soalan cadangan:
Bilakah garis AE dan CK akan selari?
Adakah sudut BEA dan<3? Почему?
Dalam kes apakah AE dan CK akan bertepatan?
Bersedia untuk mempelajari bahan baru
Kerja hadapan dengan kelas (secara lisan).
- Apakah maksud perkataan "sifat" dan "watak"? Beri contoh.
- Apakah teorem songsang?
- Adakah bertentangan dengan kenyataan ini sentiasa benar? Beri contoh.
3. Penjelasan bahan baharu.
U.: Setiap objek mempunyai sifat dan ciri tersendiri. Tolong beritahu saya bagaimana sifat berbeza daripada tanda.
Mari cuba memahami isu ini menggunakan contoh mudah. Objek yang diberikan ialah musim luruh. Namakan sifatnya: Ciri-cirinya:
- Apakah penyataan yang merupakan sifat dan atribut objek yang berkaitan antara satu sama lain? (jawapan: songsang)
- Apakah sifat yang telah kita pelajari dalam kursus geometri? Nyatakan mereka. (namakan beberapa)
Adakah mungkin untuk membina pernyataan sebaliknya yang benar untuk mana-mana harta? (jawapan berbeza).
Mari kita semak ini pada sifat berikut:
Kesimpulan: Adakah mungkin untuk membina pernyataan sebaliknya yang benar untuk mana-mana harta? (tidak, bukan untuk sesiapa)
Sekarang, mari kita kembali ke segi empat kita, ingat sifatnya dan rumuskan penyataan berbalik mereka, iaitu:.. (jawapan - ciri segi empat selari). Jadi, topik pelajaran hari ini ialah: "Tanda-tanda segiempat selari."
Jadi, namakan sifat segi empat selari.
Merumus pernyataan yang songsang dengan sifat. (Murid merumus tanda, guru membetulkannya dan merumusnya semula)
Mari kita buktikan tanda-tanda ini. Tanda pertama secara terperinci, yang kedua ringkas, yang ketiga adalah sendiri di rumah.
4. Pengukuhan bahan yang dipelajari.
Bekerja dalam buku kerja: selesaikan masalah No. 11 di papan putih interaktif, panggil pelajar yang kurang bersedia ke papan tulis.
Penyelesaian kepada masalah No. 379 (tulis penyelesaian pada papan putih interaktif). Daripada bucu B dan D segi empat selari ABCD, di mana AB BC dan A adalah akut, serenjang BC dan DM dilukis ke garis lurus AC. Buktikan bahawa BMDK segiempat ialah segiempat selari.
saya. Jika dua sisi bertentangan bagi segiempat adalah selari dan sama, maka segiempat itu ialah segiempat selari.
Tugasan 1. Daripada bucu B dan D segi empat selari ABCD, di mana AB≠ BC dan sudut A adalah akut, serenjang BK dan DM dilukis ke garis lurus AC. Buktikan bahawa BMDK sisi empat ialah segi empat selari.
Bukti.
Oleh kerana VC dan DM berserenjang dengan garis lurus AC yang sama, maka VC II DM. Selain itu, BC dan DM ialah altitud yang dilukis dalam segi tiga sama Δ ABC dan Δ CDA dari bucu sudut yang sama ∠B dan ∠D ke sisi AC yang sama, oleh itu, BC = DM. Kami mempunyai: dua sisi BC dan DM segi empat BMDK adalah selari dan sama, yang bermaksud bahawa BMDK ialah segi empat selari, yang perlu dibuktikan.
II. Jika sisi bertentangan sebuah segiempat sama berpasangan, maka segiempat ini ialah segiempat selari.
Tugasan 2. Pada sisi AB, BC, CD dan DA segi empat ABCD titik M, N, P dan Q ditandakan masing-masing supaya AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Buktikan bahawa ABCD dan MNPQ ialah segiempat selari.
Bukti.
1. Dengan syarat, dalam segi empat ABCD, sisi bertentangan terdiri daripada segmen yang sama, oleh itu ia adalah sama, i.e. AD=BC, AB=CD. Oleh itu, ABCD ialah segiempat selari.
2. Pertimbangkan Δ MBN dan Δ PDQ. BM=DP dan BN=DQ mengikut syarat. ∠B =∠D sebagai sudut bertentangan bagi segi empat selari ABCD. Ini bermakna Δ MBN = Δ PDQ pada dua sisi dan sudut di antara mereka (tanda pertama kesamaan segi tiga). Dan dalam segi tiga sama, sisi yang sama terletak bertentangan dengan sudut yang sama. Oleh itu MN=PQ. Kami telah membuktikan bahawa sisi bertentangan MN dan PQ bagi segi empat MNPQ adalah sama. Begitu juga, dari kesamaan segi tiga Δ MAQ dan Δ PCN ia mengikuti bahawa sisi MQ dan PN adalah sama, yang merupakan sisi bertentangan MNPQ segiempat. Kami mempunyai: sisi bertentangan MNPQ segiempat adalah sama secara berpasangan. Oleh itu, segiempat MNPQ ialah segiempat selari. Masalah selesai.
III. Jika pepenjuru segiempat bersilang dan dibelah dua oleh titik persilangan, maka segiempat itu ialah segiempat selari.
Tugasan 3. Diagonal bagi segi empat selari ABCD bersilang pada titik O. Buktikan bahawa segiempat MNPQ, yang bucunya ialah titik tengah bagi segmen OA, OB, OC dan OD, ialah segiempat selari.
Bukti.
Mengikut sifat pepenjuru bagi segi empat selari ABCD, pepenjuru AC dan BD dibahagikan kepada separuh oleh titik persilangan, i.e. OA=OS dan OB=OD. Diagonal bagi segi empat MNPQ juga bersilang pada titik O, yang akan menjadi titik tengah setiap satu daripadanya. Sesungguhnya, oleh kerana bucu segiempat MNPQ mengikut keadaan titik tengah segmen OA, OC, OB dan OD, maka BN=ON=OQ=DQ dan AM=OM=OP=CP. Akibatnya, MP pepenjuru dan NQ bagi MNPQ segiempat dibelah dua pada titik persilangan, oleh itu, MNPQ segiempat ialah segiempat selari, yang perlu dibuktikan.