Had pertama yang luar biasa ialah kesamaan berikut:
\begin(persamaan)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
Oleh kerana untuk $\alpha\to(0)$ kita mempunyai $\sin\alpha\to(0)$, mereka mengatakan bahawa had pertama yang luar biasa mendedahkan ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Secara umumnya, dalam formula (1), bukannya pembolehubah $\alpha$, sebarang ungkapan boleh diletakkan di bawah tanda sinus dan dalam penyebut, selagi dua syarat dipenuhi:
- Ungkapan di bawah tanda sinus dan dalam penyebut secara serentak cenderung kepada sifar, i.e. terdapat ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$.
- Ungkapan di bawah tanda sinus dan dalam penyebut adalah sama.
Konsekuensi dari had pertama yang luar biasa juga sering digunakan:
\begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan)
Sebelas contoh diselesaikan di halaman ini. Contoh No. 1 ditumpukan kepada pembuktian formula (2)-(4). Contoh No. 2, No. 3, No. 4 dan No. 5 mengandungi penyelesaian dengan ulasan terperinci. Contoh No. 6-10 mengandungi penyelesaian tanpa ulasan, kerana penjelasan terperinci telah diberikan dalam contoh sebelumnya. Penyelesaiannya menggunakan beberapa formula trigonometri yang boleh didapati.
Biar saya ambil perhatian bahawa kehadiran fungsi trigonometri ditambah dengan ketidakpastian $\frac (0) (0)$ tidak semestinya bermakna penggunaan had luar biasa pertama. Kadangkala transformasi trigonometri yang mudah sudah memadai - sebagai contoh, lihat.
Contoh No 1
Buktikan bahawa $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Oleh kerana $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, maka:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Oleh kerana $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ dan $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , itu:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Mari kita buat perubahan $\alpha=\sin(y)$. Oleh kerana $\sin(0)=0$, maka daripada keadaan $\alpha\to(0)$ kita mempunyai $y\to(0)$. Di samping itu, terdapat kejiranan sifar di mana $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, jadi:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Kesamaan $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ telah dibuktikan.
c) Mari buat penggantian $\alpha=\tg(y)$. Oleh kerana $\tg(0)=0$, maka keadaan $\alpha\to(0)$ dan $y\to(0)$ adalah bersamaan. Di samping itu, terdapat kejiranan sifar di mana $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, oleh itu, berdasarkan keputusan titik a), kita akan mempunyai:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Kesamaan $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ telah dibuktikan.
Persamaan a), b), c) sering digunakan bersama-sama dengan had pertama yang luar biasa.
Contoh No. 2
Hitung had $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
Oleh kerana $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ dan $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. dan pengangka dan penyebut pecahan secara serentak cenderung kepada sifar, maka di sini kita berhadapan dengan ketidakpastian bentuk $\frac(0)(0)$, i.e. selesai. Di samping itu, jelas bahawa ungkapan di bawah tanda sinus dan dalam penyebut bertepatan (iaitu, dan berpuas hati):
Jadi, kedua-dua syarat yang disenaraikan di permulaan halaman dipenuhi. Ia berikutan daripada ini bahawa formula itu boleh digunakan, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\kanan))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Jawab: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Contoh No. 3
Cari $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Oleh kerana $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ dan $\lim_(x\to(0))x=0$, maka kita sedang berhadapan dengan ketidakpastian bentuk $\frac (0 )(0)$, i.e. selesai. Walau bagaimanapun, ungkapan di bawah tanda sinus dan dalam penyebut tidak bertepatan. Di sini anda perlu melaraskan ungkapan dalam penyebut kepada bentuk yang dikehendaki. Kita memerlukan ungkapan $9x$ untuk berada dalam penyebut, maka ia akan menjadi benar. Pada asasnya, kami kehilangan faktor $9$ dalam penyebut, yang tidak begitu sukar untuk dimasukkan—hanya darabkan ungkapan dalam penyebut dengan $9$. Sememangnya, untuk mengimbangi pendaraban sebanyak $9$, anda perlu segera membahagikan $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Sekarang ungkapan dalam penyebut dan di bawah tanda sinus bertepatan. Kedua-dua syarat untuk had $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ dipenuhi. Oleh itu, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Dan ini bermakna bahawa:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Jawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Contoh No. 4
Cari $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Oleh kerana $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ dan $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, di sini kita berhadapan dengan ketidakpastian borang $\frac(0)(0)$. Walau bagaimanapun, bentuk had pertama yang luar biasa dilanggar. Pengangka yang mengandungi $\sin(5x)$ memerlukan penyebut $5x$. Dalam situasi ini, cara paling mudah ialah membahagikan pengangka dengan $5x$, dan serta-merta darab dengan $5x$. Di samping itu, kami akan melakukan operasi yang serupa dengan penyebut, mendarab dan membahagi $\tg(8x)$ dengan $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Mengurangkan sebanyak $x$ dan mengambil pemalar $\frac(5)(8)$ di luar tanda had, kita dapat:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Ambil perhatian bahawa $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ memenuhi sepenuhnya keperluan untuk had pertama yang luar biasa. Untuk mencari $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ formula berikut boleh digunakan:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Jawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Contoh No. 5
Cari $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Oleh kerana $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ingat bahawa $\cos(0)=1$) dan $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, maka kita sedang berhadapan dengan ketidakpastian bentuk $\frac(0)(0)$. Walau bagaimanapun, untuk menggunakan had pertama yang luar biasa, anda harus menyingkirkan kosinus dalam pengangka, beralih kepada sinus (untuk kemudian menggunakan formula) atau tangen (untuk kemudian menggunakan formula). Ini boleh dilakukan dengan transformasi berikut:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\kanan)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\kanan)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Mari kembali ke had:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\kanan) $$
Pecahan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ sudah hampir dengan bentuk yang diperlukan untuk had luar biasa pertama. Mari kita usahakan sedikit dengan pecahan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, laraskannya kepada had pertama yang luar biasa (perhatikan bahawa ungkapan dalam pengangka dan di bawah sinus mesti sepadan):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2$$
Mari kembali ke had yang sedang dipertimbangkan:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\kiri(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2\kanan)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Jawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Contoh No. 6
Cari had $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Oleh kerana $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ dan $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, maka kita sedang berhadapan dengan ketidakpastian $\frac(0)(0)$. Marilah kita mendedahkannya dengan bantuan had pertama yang luar biasa. Untuk melakukan ini, mari kita beralih daripada kosinus kepada sinus. Oleh kerana $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, maka:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Melewati sinus dalam had yang diberikan, kita akan mempunyai:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\kanan)^2\cdot(9x^2))(\kiri(\frac(\sin(x))(x)\kanan)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\kanan)^2)(\displaystyle\lim_(x \ke(0))\kiri(\frac(\sin(x))(x)\kanan)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Jawab: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Contoh No. 7
Hitung had $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ tertakluk kepada $\alpha\neq \ beta$.
Penjelasan terperinci telah diberikan sebelum ini, tetapi di sini kami hanya ambil perhatian bahawa sekali lagi terdapat ketidakpastian $\frac(0)(0)$. Mari kita beralih daripada kosinus kepada sinus menggunakan formula
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Menggunakan formula ini, kita dapat:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\kanan)\cdot\sin\kiri(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\kanan))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\kanan))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\kanan))(x)\kanan)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\kanan))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\kanan)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\kanan))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\kanan))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Jawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.
Contoh No. 8
Cari had $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Oleh kerana $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ingat bahawa $\sin(0)=\tg(0)=0$) dan $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, maka di sini kita berhadapan dengan ketidakpastian bentuk $\frac(0)(0)$. Mari kita pecahkan seperti berikut:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\kiri(1-\cos(x)\kanan))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\kanan)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\kanan) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Jawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Contoh No. 9
Cari had $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Oleh kerana $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ dan $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, maka wujud ketidakpastian bentuk $\frac(0)(0)$. Sebelum meneruskan pengembangannya, adalah mudah untuk membuat perubahan pembolehubah sedemikian rupa sehingga pembolehubah baharu cenderung kepada sifar (perhatikan bahawa dalam formula pembolehubah $\alpha \hingga 0$). Cara paling mudah ialah memperkenalkan pembolehubah $t=x-3$. Walau bagaimanapun, demi kemudahan transformasi selanjutnya (manfaat ini boleh dilihat dalam perjalanan penyelesaian di bawah), adalah wajar membuat penggantian berikut: $t=\frac(x-3)(2)$. Saya ambil perhatian bahawa kedua-dua penggantian boleh digunakan dalam kes ini, cuma penggantian kedua akan membolehkan anda bekerja kurang dengan pecahan. Oleh kerana $x\to(3)$, maka $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\kanan| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ kepada(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\kanan) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Jawab: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Contoh No. 10
Cari had $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Sekali lagi kita berhadapan dengan ketidakpastian $\frac(0)(0)$. Sebelum meneruskan pengembangannya, adalah mudah untuk membuat perubahan pembolehubah sedemikian rupa sehingga pembolehubah baharu cenderung kepada sifar (perhatikan bahawa dalam formula pembolehubah ialah $\alpha\to(0)$). Cara paling mudah ialah memperkenalkan pembolehubah $t=\frac(\pi)(2)-x$. Oleh kerana $x\to\frac(\pi)(2)$, maka $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\kiri|\frac(0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\kanan| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\kanan))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\kiri(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\kanan)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Jawab: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Contoh No. 11
Cari had $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Dalam kes ini kita tidak perlu menggunakan had indah pertama. Sila ambil perhatian bahawa kedua-dua had pertama dan kedua mengandungi hanya fungsi dan nombor trigonometri. Selalunya dalam contoh seperti ini adalah mungkin untuk memudahkan ungkapan yang terletak di bawah tanda had. Selain itu, selepas penyederhanaan dan pengurangan beberapa faktor yang disebutkan di atas, ketidakpastian itu hilang. Saya memberikan contoh ini untuk satu tujuan sahaja: untuk menunjukkan bahawa kehadiran fungsi trigonometri di bawah tanda had tidak semestinya bermakna penggunaan had pertama yang luar biasa.
Oleh kerana $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ingat bahawa $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) dan $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (biar saya ingatkan anda bahawa $\cos\frac(\pi)(2)=0$), maka kita ada menangani ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Walau bagaimanapun, ini tidak bermakna kita perlu menggunakan had indah pertama. Untuk mendedahkan ketidakpastian, adalah cukup untuk mengambil kira bahawa $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Terdapat penyelesaian yang sama dalam buku penyelesaian Demidovich (No. 475). Bagi had kedua, seperti dalam contoh sebelumnya dalam bahagian ini, kita mempunyai ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Mengapa ia timbul? Ia timbul kerana $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ dan $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Kami menggunakan nilai ini untuk mengubah ungkapan dalam pengangka dan penyebut. Matlamat tindakan kami adalah untuk menulis jumlah dalam pengangka dan penyebut sebagai produk. Ngomong-ngomong, selalunya dalam jenis yang serupa adalah mudah untuk menukar pembolehubah, dibuat sedemikian rupa sehingga pembolehubah baharu cenderung kepada sifar (lihat, sebagai contoh, contoh No. 9 atau No. 10 di halaman ini). Walau bagaimanapun, dalam contoh ini tidak ada gunanya menggantikan, walaupun jika dikehendaki, menggantikan pembolehubah $t=x-\frac(2\pi)(3)$ adalah mudah untuk dilaksanakan.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ kepada\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\kanan )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\kanan))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \kiri(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\kiri(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\left( -\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Seperti yang anda lihat, kami tidak perlu menggunakan had indah pertama. Sudah tentu, anda boleh melakukan ini jika anda mahu (lihat nota di bawah), tetapi ia tidak perlu.
Apakah penyelesaian menggunakan had luar biasa pertama? tunjukkan\sembunyi
Menggunakan had luar biasa pertama yang kita dapat:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\kiri(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ kanan))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\kanan) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\left(-\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Jawab: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Bagi mereka yang ingin mengetahui cara mencari had, dalam artikel ini kita akan membincangkan perkara ini. Kami tidak akan mendalami teori; guru biasanya memberikannya di kuliah. Jadi "teori membosankan" harus dicatatkan dalam buku nota anda. Jika ini tidak berlaku, maka anda boleh membaca buku teks yang diambil dari perpustakaan institusi pendidikan atau dari sumber Internet lain.
Jadi, konsep had adalah agak penting dalam mempelajari kursus matematik yang lebih tinggi, terutamanya apabila anda menjumpai kalkulus kamiran dan memahami kaitan antara had dan kamiran. Bahan ini akan melihat contoh mudah, serta cara untuk menyelesaikannya.
Contoh penyelesaian
| Contoh 1 |
| Kira a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \hingga \infty) \frac(1)(x) $ |
| Penyelesaian |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \hingga \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Orang sering menghantar had ini kepada kami dengan permintaan untuk membantu menyelesaikannya. Kami memutuskan untuk menyerlahkannya sebagai contoh yang berasingan dan menjelaskan bahawa had ini hanya perlu diingat, sebagai peraturan. Jika anda tidak dapat menyelesaikan masalah anda, hantarkan kepada kami. Kami akan memberikan penyelesaian terperinci. Anda akan dapat melihat kemajuan pengiraan dan mendapatkan maklumat. Ini akan membantu anda mendapatkan gred anda daripada guru anda tepat pada masanya! |
| Jawab |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
Perkara yang perlu dilakukan dengan ketidakpastian bentuk: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Contoh 3 |
| Selesaikan $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Penyelesaian |
|
Seperti biasa, kita mulakan dengan menggantikan nilai $ x $ ke dalam ungkapan di bawah tanda had. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Apa yang seterusnya sekarang? Apa yang harus berlaku pada akhirnya? Oleh kerana ini adalah ketidakpastian, ini bukan jawapan lagi dan kami meneruskan pengiraan. Oleh kerana kita mempunyai polinomial dalam pengangka, kita akan memfaktorkannya menggunakan formula yang biasa kepada semua orang dari sekolah $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Adakah awak ingat? Hebat! Sekarang teruskan dan gunakannya dengan lagu :) Kami mendapati bahawa pengangka $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Kami terus menyelesaikan dengan mengambil kira transformasi di atas: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Jawab |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Mari kita tolak had dalam dua contoh terakhir kepada infiniti dan pertimbangkan ketidakpastian: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Contoh 5 |
| Kira $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Penyelesaian |
|
$ \lim \limits_(x \kepada \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Apa nak buat? Apa patut saya buat? Jangan panik, kerana yang mustahil itu mungkin. Ia adalah perlu untuk mengeluarkan x dalam kedua-dua pengangka dan penyebut, dan kemudian mengurangkannya. Selepas ini, cuba kira had. Mari kita cuba... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \kepada \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Menggunakan definisi daripada Contoh 2 dan menggantikan infiniti untuk x, kita dapat: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Jawab |
| $$ \lim \limits_(x \kepada \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Algoritma untuk mengira had
Jadi, mari kita ringkaskan contoh dan buat algoritma untuk menyelesaikan had:
- Gantikan titik x ke dalam ungkapan berikutan tanda had. Jika nombor atau infiniti tertentu diperoleh, maka had itu diselesaikan sepenuhnya. Jika tidak, kita mempunyai ketidakpastian: "sifar dibahagi dengan sifar" atau "infiniti dibahagikan dengan infiniti" dan teruskan ke langkah seterusnya dalam arahan.
- Untuk menghapuskan ketidakpastian "sifar dibahagikan dengan sifar," anda perlu memfaktorkan pengangka dan penyebut. Kurangkan yang serupa. Gantikan titik x ke dalam ungkapan di bawah tanda had.
- Jika ketidakpastian ialah "infiniti dibahagikan dengan infiniti," maka kita mengambil kedua-dua pengangka dan penyebut x ke tahap yang paling tinggi. Kami memendekkan X. Kami menggantikan nilai x dari bawah had ke dalam ungkapan yang tinggal.
Dalam artikel ini anda mempelajari asas penyelesaian had, yang sering digunakan dalam kursus Kalkulus. Sudah tentu, ini bukan semua jenis masalah yang ditawarkan oleh pemeriksa, tetapi hanya had yang paling mudah. Kami akan bercakap tentang jenis tugasan lain dalam artikel akan datang, tetapi anda perlu mempelajari pelajaran ini terlebih dahulu untuk bergerak ke hadapan. Mari kita bincangkan apa yang perlu dilakukan jika terdapat akar, darjah, kaji fungsi setara yang sangat kecil, had yang luar biasa, peraturan L'Hopital.
Jika anda tidak dapat mengetahui hadnya sendiri, jangan panik. Kami sentiasa gembira untuk membantu!
Had memberi semua pelajar matematik banyak masalah. Untuk menyelesaikan had, kadangkala anda perlu menggunakan banyak helah dan memilih daripada pelbagai kaedah penyelesaian yang betul-betul sesuai untuk contoh tertentu.
Dalam artikel ini kami tidak akan membantu anda memahami had keupayaan anda atau memahami had kawalan, tetapi kami akan cuba menjawab soalan: bagaimana untuk memahami had dalam matematik yang lebih tinggi? Pemahaman datang dengan pengalaman, jadi pada masa yang sama kami akan memberikan beberapa contoh terperinci penyelesaian had dengan penjelasan.
Konsep had dalam matematik
Soalan pertama ialah: apakah had ini dan had apa? Kita boleh bercakap tentang had jujukan dan fungsi berangka. Kami berminat dengan konsep had fungsi, kerana inilah yang paling kerap dihadapi oleh pelajar. Tetapi pertama, definisi paling umum had:
Katakan terdapat beberapa nilai berubah. Jika nilai ini dalam proses perubahan tanpa had menghampiri nombor tertentu a , Itu a – had nilai ini.
Untuk fungsi yang ditakrifkan dalam selang waktu tertentu f(x)=y nombor sedemikian dipanggil had A , yang mana fungsi cenderung apabila X , cenderung ke titik tertentu A . titik A tergolong dalam selang di mana fungsi itu ditakrifkan.
Kedengarannya rumit, tetapi ia ditulis dengan sangat ringkas:
Lim- dari bahasa Inggeris had- had.
Terdapat juga penjelasan geometri untuk menentukan had, tetapi di sini kita tidak akan menyelidiki teori itu, kerana kita lebih berminat dengan aspek praktikal dan bukannya aspek teoritis isu tersebut. Apabila kita berkata demikian X cenderung kepada beberapa nilai, ini bermakna pembolehubah tidak mengambil nilai nombor, tetapi menghampirinya hampir tidak terhingga.
Mari kita berikan contoh khusus. Tugasnya adalah untuk mencari had.
Untuk menyelesaikan contoh ini, kami menggantikan nilai x=3 menjadi fungsi. Kita mendapatkan:
Dengan cara ini, jika anda berminat, baca artikel berasingan mengenai topik ini.
Dalam contoh X boleh cenderung kepada sebarang nilai. Ia boleh menjadi sebarang nombor atau infiniti. Berikut ialah contoh apabila X cenderung kepada infiniti:
Secara intuitif, semakin besar nombor dalam penyebut, semakin kecil nilai fungsi yang akan diambil. Jadi, dengan pertumbuhan tanpa had X maksudnya 1/x akan berkurangan dan menghampiri sifar.
Seperti yang anda lihat, untuk menyelesaikan had, anda hanya perlu menggantikan nilai yang anda ingin usahakan ke dalam fungsi X . Walau bagaimanapun, ini adalah kes yang paling mudah. Selalunya mencari had tidak begitu jelas. Dalam had terdapat ketidakpastian jenis 0/0 atau infiniti/infiniti . Apa yang perlu dilakukan dalam kes sedemikian? Resort untuk muslihat!
Ketidakpastian dalam
Ketidakpastian bentuk infiniti/infiniti
Biar ada had:
Jika kita cuba menggantikan infiniti ke dalam fungsi, kita akan mendapat infiniti dalam kedua-dua pengangka dan penyebut. Secara umum, patut dikatakan bahawa terdapat unsur seni tertentu dalam menyelesaikan ketidakpastian tersebut: anda perlu perhatikan bagaimana anda boleh mengubah fungsi sedemikian rupa sehingga ketidakpastian itu hilang. Dalam kes kami, kami membahagikan pengangka dan penyebut dengan X dalam ijazah senior. Apa yang akan berlaku?
Daripada contoh yang telah dibincangkan di atas, kita tahu bahawa istilah yang mengandungi x dalam penyebut akan cenderung kepada sifar. Maka penyelesaian kepada had adalah:
Untuk menyelesaikan ketidakpastian jenis infiniti/infiniti bahagikan pengangka dan penyebut dengan X ke tahap tertinggi.
By the way!
Untuk pembaca kami kini terdapat diskaun 10% pada
Satu lagi jenis ketidakpastian: 0/0 Seperti biasa, menggantikan nilai ke dalam fungsi x=-1 0 memberi
dalam pengangka dan penyebut. Lihat sedikit lebih dekat dan anda akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik dalam pengangka. Mari cari akar dan tulis:
Jom kurangkan dan dapatkan: 0/0 Jadi, jika anda berhadapan dengan ketidakpastian jenis
– faktorkan pengangka dan penyebut.
Untuk memudahkan anda menyelesaikan contoh, kami membentangkan jadual dengan had beberapa fungsi:
Peraturan L'Hopital dalam
Satu lagi cara yang berkesan untuk menghapuskan kedua-dua jenis ketidakpastian. Apakah intipati kaedah tersebut?
Jika terdapat ketidakpastian dalam had, ambil terbitan pengangka dan penyebut sehingga ketidakpastian hilang.
Peraturan L'Hopital kelihatan seperti ini: Perkara penting
: had di mana terbitan pengangka dan penyebut berdiri bukannya pengangka dan penyebut mesti wujud.
Dan sekarang - contoh sebenar: 0/0 Terdapat ketidakpastian biasa
. Mari kita ambil terbitan pengangka dan penyebut:
Voila, ketidakpastian diselesaikan dengan cepat dan elegan.
Kami berharap anda akan dapat menggunakan maklumat ini secara praktikal dan mencari jawapan kepada soalan "cara menyelesaikan had dalam matematik yang lebih tinggi." Jika anda perlu mengira had jujukan atau had fungsi pada satu titik, tetapi langsung tiada masa untuk kerja ini, hubungi perkhidmatan pelajar profesional untuk penyelesaian yang cepat dan terperinci. HAD , -A,
1. m. Edge, bahagian akhir sesuatu. Ini adalah had melampau wilayah Perm. Mamin-Sibiryak, Kawan-kawan. Nampaknya ada dan tidak akan ada had untuk hutan ini. Belov, Eves. || trans. Penghujung, penghujung, penyiapan smth.[Pesakit] tidak memikirkan tentang penghujungnya yang semakin hampir - tentang had ke arah mana dia bergegas dengan kelajuan yang memeningkan. Gladkov, Tenaga. Bagi mereka, dia adalah orang tua yang menghampiri penghujung hidupnya, yang mana bahagian terakhir wanita kekal - penjagaan ibu. Lavrenev, Wanita Tua. Hanya malapetaka yang dapat menamatkan perselisihan Nikita dengan dirinya sendiri.
2. Fedin, Saudara. (pl. h., -had ov ). Ciri semula jadi atau konvensional yang menjadi sempadan sesuatu. wilayah; sempadan A. N. Tolstoy, Di manakah tanah Rusia berasal? Menemui dirinya di luar tanah ayahnya, Chaliapin meninggal dunia kerana nostalgia - rindu akan tanah airnya. Gribachev, Berezka dan lautan. || apa atau yang. Rupa bumi, ruang, tertutup dalam smb. sempadan. Hutan Ashaga menerima pemburu ke kawasan perlindungan mereka. Tikhonov, Pelangi Berganda. Pada malam musim bunga putih ini, Nightingales bergema dengan pujian bergemuruh mereka di seluruh hutan. Pasternak, Malam Putih. Secara beransur-ansur, muzik bilik bergerak melangkaui rumah orang kaya dan bangsawan dan mula dipersembahkan di dewan konsert, di mana kita masih mendengarnya hari ini. Kabalevsky, Kira-kira tiga ikan paus dan banyak lagi. || Trad.-penyair. Wilayah, negara. Dan putera raja menyuburkan anak panah-Nya yang taat dengan racun itu, dan dengan itu dia menghantar kematian kepada jirannya di negeri asing. Pushkin, Anchar. Saya masih ingat bagaimana matahari terbakar, naik ke langit musim sejuk, ketika sebuah pesawat terbang dari tanah jauh ke Moscow. Smelyakov, Dalam ingatan Dimitrov. || Tempoh masa yang dihadkan oleh sesetengah pihak. istilah (biasanya dalam kombinasi dalam). Mereka mengatakan bahawa orang pergi ke Orenburg dengan kereta api, dan mungkin saya akan pergi, tetapi semuanya akan dalam masa 14 hari. L. Tolstoy, Surat kepada S. A. Tolstoy, 4 September. 1876.
3. biasanya jamak h. (pl. h., -had) Belov, Eves. || Ukur, had sesuatu; rangka kerja. Dalam batas kesopanan. □ Akhir kata, semua bersabar 365 ada had. Pisarev, puisi anumerta Heine. - Setakat ini, saya tidak melampaui hak yang diberikan kepada saya oleh undang-undang sebagai komander armada. Stepanov, Pelabuhan Arthur. Pengetahuan Fyodor Andreevich tentang masa lalu tanah airnya sangat sederhana, terutamanya dalam had "kursus pendek". E. Nosov, Jangan ada sepuluh rubel. || Darjah tertinggi smth. Had impian. □ Kekuatan rakyat, fizikal dan moral, dibawa ke tahap keletihan. V. Kozhevnikov, Penerjun Payung. Negara saya, dorongan anda adalah hebat untuk mencapai had akhir dalam segala-galanya! Vinokurov, "Antarabangsa".
4. Mat. Kuantiti malar yang mendekati kuantiti berubah, bergantung pada kuantiti berubah yang lain, dengan perubahan tertentu pada kuantiti yang terakhir. Had urutan nombor.
Pada had- 1) dalam tekanan yang melampau. Saraf ke had; 2) ke tahap kerengsaan yang melampau. [Galya:] Saya sendiri takut dengan dia hari ini. Dia berada di tepi. Pogodin, Bunga segar.
Sumber (versi bercetak): Kamus bahasa Rusia: Dalam 4 jilid / RAS, Institut Linguistik. penyelidikan; Ed. A. P. Evgenieva. - ed. ke-4, dipadamkan. - M.: Rus. bahasa; sumber polygraph, 1999; (versi elektronik):
Had fungsi- nombor a akan menjadi had bagi beberapa kuantiti berubah jika, dalam proses perubahannya, kuantiti berubah ini menghampiri a.
Atau dengan kata lain, nombor A ialah had fungsi y = f(x) pada titik x 0, jika untuk sebarang jujukan mata dari domain takrifan fungsi , tidak sama x 0, dan yang menumpu ke titik x 0 (lim x n = x0), jujukan nilai fungsi yang sepadan menumpu kepada nombor A.
Graf fungsi yang hadnya, diberi hujah yang cenderung kepada infiniti, adalah sama dengan L:
Maknanya A ialah had (nilai had) fungsi f(x) pada titik x 0 dalam kes untuk sebarang urutan mata 
, yang menumpu kepada x 0, tetapi yang tidak mengandungi x 0 sebagai salah satu elemennya (iaitu di kawasan yang tertusuk x 0), jujukan nilai fungsi 
menumpu kepada A.
Had fungsi mengikut Cauchy.
Maknanya A akan jadi had fungsi f(x) pada titik x 0 jika bagi mana-mana nombor bukan negatif yang diambil terlebih dahulu ε nombor bukan negatif yang sepadan akan ditemui δ = δ(ε) supaya bagi setiap hujah x, memenuhi syarat 0 < | x - x0 | < δ , ketidaksamaan akan dipenuhi | f(x)A |< ε .
Ia akan menjadi sangat mudah jika anda memahami intipati had dan peraturan asas untuk mencarinya. Apakah had fungsi f (x) di x berusaha untuk a sama A, ditulis seperti ini:
Selain itu, nilai yang cenderung kepada pembolehubah x, boleh bukan sahaja nombor, tetapi juga infiniti (∞), kadangkala +∞ atau -∞, atau mungkin tiada had langsung.
Untuk memahami bagaimana cari had bagi sesuatu fungsi, sebaiknya lihat contoh penyelesaian.
Ia adalah perlu untuk mencari had fungsi f (x) = 1/x di:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Mari cari penyelesaian kepada had pertama. Untuk melakukan ini, anda hanya boleh menggantikannya x nombor yang cenderung, i.e. 2, kita dapat:
Mari cari had kedua fungsi tersebut. Di sini gantikan 0 tulen x mustahil, kerana Anda tidak boleh membahagi dengan 0. Tetapi kita boleh mengambil nilai hampir sifar, sebagai contoh, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 dan seterusnya, dan nilai fungsi f (x) akan meningkat: 100; 1000; 10000; 100,000 dan seterusnya. Oleh itu, boleh difahami bahawa apabila x→ 0 nilai fungsi yang berada di bawah tanda had akan meningkat tanpa had, i.e. berusaha ke arah infiniti. Yang bermaksud:
Mengenai had ketiga. Keadaan yang sama seperti dalam kes sebelumnya, adalah mustahil untuk menggantikannya ∞ dalam bentuk yang paling tulen. Kita perlu mempertimbangkan kes kenaikan tanpa had x. Kami menggantikan 1000 satu demi satu; 10000; 100000 dan seterusnya, kita mempunyai nilai fungsi itu f (x) = 1/x akan menurun: 0.001; 0.0001; 0.00001; dan seterusnya, cenderung kepada sifar. Itulah sebabnya:
Ia adalah perlu untuk mengira had fungsi 
Bermula untuk menyelesaikan contoh kedua, kita melihat ketidakpastian. Dari sini kita dapati tahap tertinggi pengangka dan penyebut - ini x 3, kami mengeluarkannya daripada kurungan dalam pengangka dan penyebut dan kemudian mengurangkannya dengan:
Jawab 
Langkah pertama masuk mencari had ini, gantikan nilai 1 sebaliknya x, mengakibatkan ketidakpastian. Untuk menyelesaikannya, mari kita memfaktorkan pengangka dan lakukan ini menggunakan kaedah mencari punca persamaan kuadratik x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Jadi pengangkanya ialah:
Jawab 
Ini ialah takrifan nilai khususnya atau kawasan tertentu di mana fungsi jatuh, yang dihadkan oleh had.
Untuk menyelesaikan had, ikut peraturan:
Setelah memahami intipati dan utama peraturan untuk menyelesaikan had, anda akan mendapat pemahaman asas tentang cara menyelesaikannya.