An ialah aritmetik. Jumlah janjang aritmetik

Nota penting!
1. Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Bagaimana untuk melakukan ini dalam penyemak imbas anda ditulis di sini:
2. Sebelum anda mula membaca artikel itu, perhatikan pelayar kami sepenuhnya sumber yang berguna Untuk

Urutan nombor

Jadi, mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:
Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka (dalam kes kami, ada mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya sehingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan nombor
Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor ke) sentiasa sama.
Nombor dengan nombor dipanggil sebutan ke-jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Katakan kita mempunyai urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Contohnya:

dll.
Urutan nombor ini dipanggil janjang aritmetik.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh pengarang Rom Boethius pada abad ke-6 dan difahami lebih banyak lagi. dalam erti kata yang luas, seperti urutan nombor tak terhingga. Nama "aritmetik" dipindahkan dari teori perkadaran berterusan, yang dikaji oleh orang Yunani kuno.

Ini ialah urutan nombor, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan ditetapkan.

Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:

a)
b)
c)
d)

faham? Mari bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
bukan janjang aritmetik - a, d.

Mari kita kembali ke perkembangan yang diberikan() dan cuba cari nilai ahli ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.

1. Kaedah

Kita boleh menambah nombor janjang kepada nilai sebelumnya sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:

Jadi, sebutan ke janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.

2. Kaedah

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai sebutan ke-kemajuan itu? Penjumlahan akan mengambil masa lebih daripada satu jam, dan bukan fakta bahawa kita tidak akan membuat kesilapan semasa menambah nombor.
Sudah tentu, ahli matematik telah menghasilkan cara yang tidak perlu menambah perbezaan janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya. Perhatikan gambar yang dilukis dengan lebih dekat... Pasti anda sudah perasan corak tertentu iaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat apakah nilai sebutan ke-dalam janjang aritmetik ini terdiri daripada:

Dengan kata lain:

Cuba cari sendiri nilai ahli janjang aritmetik tertentu dengan cara ini.

Adakah anda mengira? Bandingkan nota anda dengan jawapan:

Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang betul-betul sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami menambah secara berurutan istilah janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini- mari kita bawa dia ke pandangan umum dan kita dapat:

Persamaan janjang aritmetik.

Janjang aritmetik boleh meningkat atau menurun.

Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Contohnya:

Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Contohnya:

Formula terbitan digunakan dalam pengiraan sebutan dalam kedua-dua sebutan meningkat dan menurun bagi janjang aritmetik.
Mari kita semak ini dalam amalan.
Kami diberi janjang aritmetik yang terdiri daripada nombor berikut: Mari kita semak apakah nombor ke janjang aritmetik ini jika kita menggunakan formula kita untuk mengiranya:

Sejak itu:

Oleh itu, kami yakin bahawa formula beroperasi dalam kedua-dua janjang aritmetik yang menurun dan meningkat.
Cuba cari sendiri sebutan ke dan ke bagi janjang aritmetik ini.

Mari bandingkan hasilnya:

Sifat janjang aritmetik

Mari kita rumitkan masalah - kita akan memperoleh sifat janjang aritmetik.
Katakan kita diberi syarat berikut:
- janjang aritmetik, cari nilai.
Mudah, anda katakan dan mula mengira mengikut formula yang anda sudah tahu:

Mari, ah, kemudian:

benar sekali. Ternyata kita mula-mula mencari, kemudian menambahnya pada nombor pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai kecil, maka tidak ada yang rumit mengenainya, tetapi bagaimana jika kita diberi nombor dalam keadaan? Setuju, terdapat kemungkinan membuat kesilapan dalam pengiraan.
Sekarang fikirkan sama ada mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan sebarang formula? Sudah tentu ya, dan itulah yang akan kami cuba kemukakan sekarang.

Mari kita nyatakan istilah yang diperlukan bagi janjang aritmetik sebagai, formula untuk mencarinya diketahui oleh kita - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:

istilah janjang sebelumnya ialah:
istilah janjang seterusnya ialah:

Mari kita rumuskan istilah janjang sebelumnya dan seterusnya:

Ternyata jumlah terma janjang sebelumnya dan seterusnya ialah nilai berganda bagi istilah janjang yang terletak di antara mereka. Dalam erti kata lain, untuk mencari nilai istilah janjang dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, anda perlu menambahnya dan membahagikannya dengan.

Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari selamatkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, ia sama sekali tidak sukar.

Syabas! Anda tahu hampir segala-galanya tentang kemajuan! Tinggal untuk mengetahui hanya satu formula, yang, menurut legenda, mudah disimpulkan sendiri oleh salah seorang ahli matematik terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematik" - Karl Gauss...

Apabila Carl Gauss berumur 9 tahun, seorang guru, sibuk memeriksa kerja pelajar di kelas lain, bertanya masalah berikut di dalam kelas: "Kira jumlah semua nombor asli daripada kepada (mengikut sumber lain sehingga) termasuk.” Bayangkan guru terkejut apabila salah seorang pelajarnya (ialah Karl Gauss) seminit kemudian memberikan jawapan yang betul untuk tugas itu, manakala kebanyakan rakan sekelas daredevil, selepas pengiraan yang panjang, menerima keputusan yang salah...

Carl Gauss muda melihat corak tertentu yang anda juga boleh perasan dengan mudah.
Katakan kita mempunyai janjang aritmetik yang terdiri daripada sebutan -th: Kita perlu mencari jumlah sebutan janjang aritmetik ini. Sudah tentu, kita boleh menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas itu memerlukan mencari jumlah istilahnya, seperti yang dicari oleh Gauss?

Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Lihat dengan teliti nombor yang diserlahkan dan cuba lakukan pelbagai operasi matematik dengan mereka.

Sudahkah anda mencubanya? Apa yang awak perasan? Betul! Jumlah mereka adalah sama

Sekarang beritahu saya, berapakah jumlah pasangan sebegitu yang terdapat dalam janjang yang diberikan kepada kita? Sudah tentu, tepat separuh daripada semua nombor, iaitu.
Berdasarkan fakta bahawa jumlah dua sebutan janjang aritmetik adalah sama, dan pasangan yang serupa adalah sama, kita dapati bahawa jumlah keseluruhan adalah sama dengan:
.
Oleh itu, formula untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Dalam beberapa masalah kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan perkembangannya. Cuba gantikan formula sebutan ke dalam formula jumlah.
Apa yang awak dapat?

Syabas! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor yang bermula dari th sama dengan dan jumlah nombor bermula dari th.

Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss mendapati bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu yang anda putuskan?

Malah, formula untuk jumlah sebutan bagi janjang aritmetik telah dibuktikan oleh saintis Yunani purba Diophantus pada abad ke-3, dan sepanjang masa ini orang cerdik menggunakan sepenuhnya sifat janjang aritmetik.
Sebagai contoh, bayangkan Mesir Purba dan yang paling banyak pembinaan berskala besar masa itu - pembinaan piramid... Gambar menunjukkan sebelahnya.

Di manakah perkembangan di sini, anda katakan? Lihat dengan teliti dan cari corak dalam bilangan blok pasir dalam setiap baris dinding piramid.

Mengapa bukan janjang aritmetik? Kira berapa banyak blok yang diperlukan untuk membina satu dinding jika bata blok diletakkan di pangkalan. Saya harap anda tidak akan mengira semasa menggerakkan jari anda merentasi monitor, anda masih ingat formula terakhir dan semua yang kami katakan tentang janjang aritmetik?

DALAM dalam kes ini perkembangan kelihatan seperti seperti berikut: .
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan sebutan bagi suatu janjang aritmetik.
Mari kita gantikan data kita ke dalam formula terakhir (kira bilangan blok dalam 2 cara).

Kaedah 1.

Kaedah 2.

Dan kini anda boleh mengira pada monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan bilangan blok yang ada dalam piramid kami. faham? Syabas, anda telah menguasai jumlah sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.
Sudah tentu, anda tidak boleh membina piramid dari blok di pangkalan, tetapi dari? Cuba kira berapa banyak bata pasir yang diperlukan untuk membina dinding dengan keadaan ini.
Adakah anda berjaya?
Jawapan yang betul ialah blok:

Latihan

Tugasan:

Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan melakukan squats dalam seminggu jika dia melakukan squats pada sesi latihan pertama?
Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
Apabila menyimpan balak, pembalak menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap satu lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak?

Jawapan:

Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
(minggu = hari).
Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu melakukan squat sekali sehari.
Pertama nombor ganjil, nombor terakhir.
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan nombor ganjil dalam ialah separuh, bagaimanapun, mari kita semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari sebutan ke satu janjang aritmetik:
Nombor memang mengandungi nombor ganjil.
Mari kita gantikan data yang ada ke dalam formula:
Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama.
Mari kita ingat masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, maka secara keseluruhan terdapat sekumpulan lapisan, iaitu.
Mari kita gantikan data ke dalam formula:
Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.

Mari kita ringkaskan

- urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia boleh meningkat atau menurun.
Mencari formula Sebutan ke-1 suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di manakah bilangan nombor dalam kemajuan.
Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:

, di manakah bilangan nilai.

PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH

Urutan nombor

Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:

Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka. Tetapi kita sentiasa boleh mengatakan yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor.

Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satu daripadanya boleh diberikan nombor unik.

Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan nombor unik. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.

Nombor dengan nombor dipanggil ahli ke-jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Ia adalah sangat mudah jika sebutan ke-jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula

menetapkan urutan:

Dan formulanya adalah urutan berikut:

Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya ialah). Atau (, perbezaan).

formula penggal ke-n

Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah ke, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang menggunakan formula ini, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:

Nah, adakah ia jelas sekarang apakah formulanya?

Dalam setiap baris yang kita tambah, didarab dengan beberapa nombor. yang mana satu? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:

Jauh lebih mudah sekarang, bukan? Kami menyemak:

Tentukan sendiri:

Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.

Penyelesaian:

Sebutan pertama adalah sama. Apakah perbezaannya? Inilah yang:

(Inilah sebabnya ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan sebutan berturut-turut janjang).

Jadi, formulanya:

Maka sebutan keseratus adalah sama dengan:

Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?

Menurut legenda, ahli matematik yang hebat Karl Gauss, sebagai budak lelaki berusia 9 tahun, mengira jumlah ini dalam beberapa minit. Dia perasan bahawa jumlah nombor pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua terakhir adalah sama, jumlah ketiga dan ke-3 dari hujung adalah sama, dan seterusnya. Berapakah jumlah pasangan sedemikian? Betul, tepat separuh daripada bilangan semua nombor, iaitu. Jadi,

Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Contoh:
Cari jumlah semua nombor dua digit, gandaan.

Penyelesaian:

Nombor yang pertama ialah ini. Setiap yang berikutnya diperoleh dengan menambah tarikh sebelumnya. Oleh itu, nombor yang kita minati membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama dan perbezaannya.

Formula istilah ke-1 untuk janjang ini:

Berapakah bilangan yang terdapat dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?

Sangat mudah: .

Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:

Jawapan: .

Sekarang tentukan sendiri:

Setiap hari atlet berlari lebih meter daripada hari sebelumnya. Berapakah jumlah kilometer yang dia akan lari dalam seminggu, jika pada hari pertama dia berlari km m?
Seorang penunggang basikal menempuh lebih banyak kilometer setiap hari berbanding hari sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu menempuh perjalanan sejauh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
Harga peti sejuk di kedai menurun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.

Jawapan:

Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
.
Jawapan:
Di sini ia diberikan: , mesti dijumpai.
Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam tugasan sebelumnya:
.
Gantikan nilai:
Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya adalah.
Mari kita mengira laluan yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula istilah ke-:
(km).
Jawapan:
Diberi: . Cari: .
Ia tidak boleh menjadi lebih mudah:
(gosok).
Jawapan:

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Ini ialah urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.

Janjang aritmetik boleh bertambah () dan berkurangan ().

Contohnya:

Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

ditulis oleh formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Ia membolehkan anda mencari istilah janjang dengan mudah jika istilah jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.

Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik

Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:

Di manakah bilangan nilai.

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...

Untuk apa?

Untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersatu, untuk kemasukan ke kolej mengikut bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi yang terbuka di hadapan mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.

Anda akan memerlukan menyelesaikan masalah melawan masa.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan mempunyai masa.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini -
Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk KESELURUHAN hayat tapak.

Dan kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.

"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Jumlah janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari asas kepada agak kukuh.

Pertama, mari kita fahami maksud dan formula jumlahnya. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah itu semudah moo. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua istilahnya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula datang untuk menyelamatkan.

Formula untuk jumlahnya adalah mudah:

Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan membersihkan banyak perkara.

S n - jumlah janjang aritmetik. Hasil penambahan semua orang ahli, dengan pertama Oleh terakhir. Ini penting. Mereka menambah tepat Semua ahli berturut-turut, tanpa ponteng atau ponteng. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan dari sebutan kelima hingga ke dua puluh - permohonan langsung formula akan mengecewakan.)

a 1 - pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.

a n- terakhir ahli kemajuan. Nombor terakhir siri ini. Nama yang tidak begitu biasa, tetapi apabila digunakan pada jumlah itu, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n - nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan istilah tambahan.

Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Soalan rumit: ahli mana yang akan menjadi yang terakhir jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?)

Untuk menjawab dengan yakin, anda perlu memahami maksud asas janjang aritmetik dan... baca tugasan dengan teliti!)

Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah muktamad, tertentu langsung tidak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira sama ada perkembangan diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: satu siri nombor, atau formula untuk sebutan ke-n.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya... Tetapi tidak mengapa, dalam contoh di bawah kami mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugasan pada jumlah janjang aritmetik.

pertama sekali, maklumat yang berguna:

Kesukaran utama dalam tugasan yang melibatkan jumlah janjang aritmetik ialah definisi yang betul unsur-unsur formula.

Penulis tugasan menyulitkan elemen yang sama ini dengan imaginasi tanpa batas.) Perkara utama di sini adalah untuk tidak takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup untuk menguraikannya. Mari lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertamanya.

Kerja bagus. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menggunakan formula, apakah yang perlu kita ketahui? Ahli pertama a 1, penggal lepas a n, ya nombor ahli terakhir n.

Di mana saya boleh mendapatkan nombor ahli terakhir? n? Ya, di sana, dengan syarat! Ia berkata: cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, nombor apa yang akan ada? terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n Kami akan menggantikan ke dalam formula a 10, dan sebaliknya n- sepuluh. Saya ulangi, bilangan ahli terakhir bertepatan dengan bilangan ahli.

Ia kekal untuk menentukan a 1 Dan a 10. Ini mudah dikira menggunakan formula untuk sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukan ini? Hadiri pelajaran sebelumnya, tanpa ini tidak mungkin.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

Kami telah mengetahui maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Yang tinggal hanyalah menggantikannya dan mengira:

Itu sahaja. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 =2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertamanya.

Kami segera menulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kita mencari nilai sebarang istilah dengan nombornya. Kami mencari penggantian mudah:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Apa yang tinggal ialah menggantikan semua elemen ke dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n Kami hanya menggantikan formula untuk sebutan ke-n dan dapatkan:

Jom bawa yang serupa, kami dapat formula baru jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik:

Seperti yang anda lihat, ia tidak diperlukan di sini penggal ke- a n. Dalam sesetengah masalah formula ini banyak membantu, ya... Anda boleh ingat formula ini. Adakah mungkin dalam saat yang tepat mudah untuk memaparkannya, seperti di sini. Lagipun, anda sentiasa perlu mengingati formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n.)

Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):

3. Cari hasil tambah semua nombor dua digit positif yang merupakan gandaan tiga.

Wah! Baik ahli pertama anda, mahupun yang terakhir, mahupun kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan mengeluarkan semua unsur jumlah janjang aritmetik daripada keadaan. Kita tahu apa itu nombor dua digit. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) A terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya...

Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika anda menambah 2 atau 4 pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi boleh dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik: d = 3. Ia akan berguna!)

Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:

Apakah nombor itu? n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut... Nombor sentiasa berturut-turut, tetapi ahli kami melompat melebihi tiga. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh menuliskan janjang, keseluruhan siri nombor, dan mengira bilangan ahli dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang berfikir. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika kita menggunakan formula untuk masalah kita, kita dapati bahawa 99 ialah sebutan ketiga puluh bagi janjang itu. Itu. n = 30.

Mari kita lihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:

Kami melihat dan bergembira.) Kami menarik keluar dari pernyataan masalah semua yang diperlukan untuk mengira jumlah:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Yang tinggal hanyalah aritmetik asas. Kami menggantikan nombor ke dalam formula dan mengira:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki popular:

4. Diberi janjang aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari hasil tambah sebutan dari dua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat formula untuk jumlah dan... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlah dari yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, sudah tentu, menulis keseluruhan perkembangan dalam satu siri, dan menambah istilah dari 20 hingga 34. Tetapi... entah bagaimana ia bodoh dan mengambil masa yang lama, bukan?)

Ada lagi penyelesaian yang elegan. Mari bahagikan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan menjadi dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dari dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya dengan jumlah syarat bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Daripada ini kita dapat melihat bahawa mencari jumlah S 20-34 boleh penolakan mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama ahli, i.e. cukup terpakai kepada mereka formula standard jumlah. Jom mulakan?

Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada penyataan masalah:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah bagi 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengira mereka menggunakan formula untuk sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:

a 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

a 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

Tiada apa yang tinggal. Daripada jumlah 34 sebutan, tolak jumlah 19 sebutan:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jawapan: 262.5

Satu nota penting! Terdapat helah yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira sesuatu yang nampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil yang lengkap. “Tipuan dengan telinga anda” semacam ini sering menyelamatkan anda dalam masalah jahat.)

Dalam pelajaran ini kita melihat masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

Nasihat praktikal:

Apabila menyelesaikan sebarang masalah yang melibatkan jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.

Formula untuk penggal ke-n:

Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari dan ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.

5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.

Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah 24 sebutan pertamanya.

Luar biasa?) Ini formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, masalah seperti itu sering dijumpai di Akademi Sains Negeri.

7. Vasya menyimpan wang untuk percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang kegemaran saya (diri saya) beberapa hari kebahagiaan). Hidup dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Belanja 500 rubel pada hari pertama, dan pada setiap hari berikutnya belanjakan 50 rubel lebih daripada yang sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Adakah ia sukar?) Adakah ia akan membantu? formula tambahan daripada tugasan 2.

Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Jenis pelajaran: pelajaran mempelajari bahan baharu.

Objektif pelajaran: Pembentukan konsep janjang aritmetik sebagai salah satu jenis jujukan, terbitan formula untuk sebutan ke-n, membiasakan diri dengan sifat ciri ahli janjang aritmetik. Penyelesaian masalah.

Objektif pelajaran:

Pendidikan- memperkenalkan konsep janjang aritmetik; formula penggal ke-n; sifat ciri, yang dimiliki oleh ahli janjang aritmetik.
Perkembangan- mengembangkan keupayaan untuk membandingkan konsep matematik, mencari persamaan dan perbezaan, kebolehan memerhati, corak perasan, sebab dengan analogi; membangunkan keupayaan untuk membina dan mentafsir model matematik beberapa situasi sebenar.
Pendidikan- menggalakkan minat dalam matematik dan aplikasinya, aktiviti, kemahiran berkomunikasi, pertahankan pandangan anda dengan alasan.

Peralatan: komputer, projektor multimedia, persembahan (Lampiran 1)

Buku teks: Algebra 9, Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.N.

Rancangan pengajaran:

Detik organisasi, penyataan masalah
Mengemas kini pengetahuan kerja lisan
Mempelajari bahan baharu
Penyatuan utama
Merumuskan pelajaran
Kerja rumah

Untuk meningkatkan kejelasan dan kemudahan bekerja dengan bahan, pelajaran disertai dengan pembentangan. Walau bagaimanapun, ini bukanlah satu keperluan dan pelajaran yang sama boleh diajar di bilik darjah yang tidak dilengkapi dengan peralatan multimedia. Untuk tujuan ini, data yang diperlukan boleh disediakan di papan atau dalam bentuk jadual dan poster.

Kemajuan pelajaran

I. Detik organisasi, penyataan masalah.

salam.

Topik pelajaran hari ini ialah janjang aritmetik. Dalam pelajaran ini kita akan mempelajari apa itu janjang aritmetik, apakah bentuk amnya, kita akan mengetahui cara membezakan janjang aritmetik daripada jujukan lain dan menyelesaikan masalah yang menggunakan sifat janjang aritmetik.

II. Mengemas kini pengetahuan, kerja lisan.

Urutan () diberikan oleh formula: =. Apakah nombor ahli bagi jujukan ini jika ia ialah 144? 225? 100? Adakah nombor 48 ahli urutan ini? 49? 168?

Telah diketahui tentang urutan () bahawa, . Apakah kaedah menentukan urutan ini dipanggil? Cari empat sebutan pertama bagi jujukan ini.

Adalah diketahui tentang urutan () bahawa . Apakah kaedah menentukan urutan ini dipanggil? Cari jika?

III. Mempelajari bahan baharu.

Kemajuan ialah urutan kuantiti, setiap satu daripadanya berada dalam pergantungan tertentu pada yang sebelumnya, biasa kepada keseluruhan janjang. Istilah ini kini sebahagian besarnya ketinggalan zaman dan hanya terdapat dalam gabungan "janjang aritmetik" dan "janjang geometri".

Istilah "kemajuan" berasal dari bahasa Latin (kemajuan, yang bermaksud "bergerak ke hadapan") dan diperkenalkan oleh pengarang Rom Boethius (abad ke-6). Istilah ini dalam matematik pernah digunakan untuk merujuk kepada mana-mana urutan nombor yang dibina mengikut undang-undang yang membolehkan urutan ini diteruskan selama-lamanya dalam satu arah. Pada masa ini, istilah "kemajuan" tidak digunakan dalam erti kata asalnya yang luas. Dua jenis janjang tertentu yang penting - aritmetik dan geometri - telah mengekalkan nama mereka.

Pertimbangkan urutan nombor:

2, 6, 10, 14, 18, :.
11, 8, 5, 2, -1, :.
5, 5, 5, 5, 5, :.

Apakah sebutan ketiga bagi urutan pertama? Ahli seterusnya? Ahli sebelumnya? Apakah perbezaan antara sebutan kedua dan pertama? Ahli ketiga dan kedua? Keempat dan ketiga?

Jika jujukan itu dibina mengikut undang-undang yang sama, simpulkan apakah perbezaan antara sebutan keenam dan kelima bagi jujukan pertama? Antara tujuh dan enam?

Namakan dua sebutan seterusnya bagi setiap jujukan. Mengapa anda fikir begitu?

(Jawapan pelajar)

apa harta bersama adakah urutan ini mempunyai? Nyatakan harta ini.

(Jawapan pelajar)

Urutan nombor mempunyai sifat ini dipanggil janjang aritmetik. Jemput pelajar untuk cuba merumus definisi sendiri.

Takrif janjang aritmetik: janjang aritmetik ialah jujukan di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama:

( - janjang aritmetik, jika , di manakah beberapa nombor.

Nombor d, menunjukkan berapa banyak perbezaan ahli urutan seterusnya daripada yang sebelumnya, dipanggil perbezaan janjang: .

Mari kita lihat urutan sekali lagi dan bercakap tentang perbezaannya. Apakah ciri yang ada pada setiap jujukan dan apakah kaitannya?

Jika perbezaan dalam janjang aritmetik adalah positif, maka janjang itu meningkat: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Jika dalam janjang aritmetik perbezaannya adalah negatif ( , maka janjang itu berkurangan: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Jika perbezaan adalah sifar () dan semua sebutan janjang adalah sama dengan nombor yang sama, jujukan itu dipanggil pegun: 5, 5, 5, 5, :.

Bagaimana untuk menetapkan janjang aritmetik? Mari kita pertimbangkan masalah berikut.

Tugasan. Terdapat 50 tan arang batu di dalam gudang pada 1hb. Setiap hari selama sebulan, lori dengan 3 tan arang batu tiba di gudang. Berapa banyak arang batu yang akan ada di gudang pada 30hb, jika tiada arang batu yang digunakan dari gudang pada masa ini.

Jika kita menulis jumlah arang batu dalam stok untuk setiap nombor, kita mendapat janjang aritmetik. Bagaimana untuk menyelesaikan masalah ini? Adakah anda benar-benar perlu mengira jumlah arang batu pada setiap hari dalam bulan itu? Adakah mungkin untuk melakukannya tanpa ini? Kami ambil perhatian bahawa menjelang 30hb, 29 kereta dengan arang batu akan tiba di gudang. Oleh itu, pada 30hb akan ada 50 + 329 = 137 tan arang batu di gudang.

Oleh itu, dengan hanya mengetahui sebutan pertama janjang aritmetik dan perbezaannya, kita boleh mencari sebarang sebutan bagi jujukan itu. Adakah ini selalu berlaku?

Mari kita analisa bagaimana setiap sebutan bagi jujukan bergantung pada sebutan pertama dan perbezaannya:

Oleh itu, kita telah memperoleh formula bagi sebutan ke-n bagi janjang aritmetik.

Contoh 1. Jujukan () ialah janjang aritmetik. Cari jika dan .

Mari kita gunakan formula untuk penggal ke-n ,

Jawapan: 260.

Pertimbangkan masalah berikut:

Dalam janjang aritmetik, sebutan genap telah dipadamkan: 3, :, 7, :, 13: Adakah mungkin untuk memulihkan nombor yang hilang?

Pelajar mungkin akan terlebih dahulu mengira perbezaan janjang itu dan kemudian mencari sebutan janjang yang tidak diketahui. Kemudian anda boleh meminta mereka mencari hubungan antara ahli jujukan yang tidak diketahui, yang sebelumnya dan yang seterusnya.

Penyelesaian: Marilah kita mengambil kesempatan daripada fakta bahawa dalam janjang aritmetik perbezaan antara sebutan jiran adalah malar. Biarkan menjadi ahli urutan yang dikehendaki. Kemudian

Komen. Harta ini janjang aritmetik ialah sifat cirinya. Ini bermakna dalam mana-mana janjang aritmetik setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik yang sebelumnya dan yang berikutnya ( . Dan, sebaliknya, sebarang jujukan di mana setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik yang sebelumnya dan yang berikutnya adalah janjang aritmetik.

IV. Penyatuan utama.

No. 575 ab - secara lisan
No. 576 avd - secara lisan
No. 577b - secara bebas dengan pengesahan

Jujukan (adalah janjang aritmetik. Cari jika dan

Mari kita gunakan formula untuk sebutan ke-n,

Jawapan: -24.2.

Cari sebutan ke-23 dan ke-n bagi janjang aritmetik -8; -6.5; :

Penyelesaian: Sebutan pertama janjang aritmetik ialah -8. Mari cari perbezaan janjang aritmetik; untuk melakukan ini, kita perlu menolak yang sebelumnya daripada sebutan seterusnya bagi urutan: -6.5-(-8) = 1.5.

Mari kita gunakan formula untuk penggal ke-n.

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Jujukan nombor. Janjang aritmetik"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Bantuan pendidikan di kedai dalam talian "Integral" untuk buku teks gred 9
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Jadi apakah janjang aritmetik?

Urutan berangka di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, sama dengan jumlah nombor sebelumnya dan beberapa nombor tetap dipanggil janjang aritmetik.

Janjang aritmetik ialah janjang berangka yang ditakrifkan secara berulang.

Mari tuliskan borang berulang: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, nombor d – perbezaan janjang. a dan d ialah nombor tertentu yang diberi.

Contoh. 1,4,7,10,13,16... Janjang aritmetik dengan $a=1, d=3$.

Contoh. 3,0,-3,-6,-9... Janjang aritmetik dengan $a=3, d=-3$.

Contoh. 5,5,5,5,5... Janjang aritmetik dengan $a=5, d=0$.

Janjang aritmetik mempunyai sifat monotonisitas: jika perbezaan janjang itu lebih besar daripada sifar, maka jujukan itu meningkat, jika perbezaan janjang itu kurang daripada sifar, maka jujukan itu berkurangan.

Jika janjang aritmetik mempunyai bilangan unsur terhingga, maka janjang itu dipanggil janjang aritmetik terhingga.

Jika urutan $a_(n)$ diberikan, dan ia adalah janjang aritmetik, maka lazimnya untuk menandakan: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Janjang aritmetik juga boleh dinyatakan dalam bentuk analisis. Mari lihat bagaimana untuk melakukan ini:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Kami dengan mudah melihat corak: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Formula kami dipanggil formula sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.

Mari kita kembali kepada contoh kami dan tuliskan formula kami untuk setiap contoh.

Contoh. 1,4,7,10,13,16... Janjang aritmetik, di mana a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Contoh. 3,0,-3,-6,-9... Janjang aritmetik, yang mana a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Contoh. Diberi janjang aritmetik: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Diketahui bahawa $a_(1)=5$, $d=3$. Cari $a_(23)$.
b) Diketahui bahawa $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Cari n.
c) Diketahui bahawa $d=-1$, $a_(22)=15$. Cari $a_(1)$.
d) Diketahui bahawa $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Cari d.
Penyelesaian.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Contoh. Apabila membahagi sebutan kesembilan suatu janjang aritmetik dengan sebutan kedua, hasil bahagi kekal 7, dan apabila bahagi sebutan kesembilan dengan yang kelima, hasil bahagi ialah 2, dan selebihnya ialah 5. Cari sebutan ketiga puluh janjang itu.
Penyelesaian.
Mari kita tulis secara berurutan formula 2,5 dan 9 sebutan janjang kita.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Kami juga tahu dari syarat:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Atau:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Mari kita buat sistem persamaan:
$\mulakan(kes)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\tamat(kes)$.
$\mulakan(kes)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\tamat(kes)$.
Setelah menyelesaikan sistem yang kita dapat: $d=6, a_(1)=1$.
Mari cari $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Jumlah janjang aritmetik terhingga

Marilah kita mempunyai janjang aritmetik terhingga. Persoalannya timbul: adakah mungkin untuk mengira jumlah semua ahlinya?
Mari cuba memahami isu ini.
Biarkan janjang aritmetik terhingga diberikan: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Mari kita perkenalkan notasi untuk jumlah sebutannya: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Mari kita lihat contoh khusus, berapakah jumlahnya?

Mari kita diberi janjang aritmetik 1,2,3,4,5...100.
Marilah kita membentangkan jumlah ahlinya seperti ini:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Tetapi formula yang serupa boleh digunakan untuk sebarang janjang aritmetik:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Mari kita tulis formula kita kes am: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, di mana $k<1$.
Mari terbitkan formula untuk mengira jumlah sebutan bagi janjang aritmetik, tulis formula dua kali dalam susunan yang berbeza:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Mari kita tambah formula ini bersama-sama:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Terdapat n istilah di sebelah kanan kesamaan kita, dan kita tahu bahawa setiap daripadanya adalah sama dengan $a_(1)+a_(n)$.
Kemudian:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Formula kami juga boleh ditulis semula dalam bentuk: sejak $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
maka $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Selalunya adalah lebih mudah untuk menggunakan formula khusus ini, jadi adalah baik untuk mengingatinya!

Contoh. Janjang aritmetik terhingga diberikan.
Cari:
a) $s_(22), jika a_(1)=7, d=2$.
b) d, jika $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Penyelesaian.
a) Mari kita gunakan formula jumlah kedua $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 =$616.
b) Dalam contoh ini, kita akan menggunakan formula pertama: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Contoh. Cari hasil tambah semua nombor dua digit ganjil.
Penyelesaian.
Syarat janjang kami ialah: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Mari cari nombor penggal terakhir janjang:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Sekarang mari cari jumlahnya: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=$2475.

Contoh. Lelaki itu pergi mendaki. Adalah diketahui bahawa pada jam pertama mereka berjalan 500 m, selepas itu mereka mula berjalan 25 meter kurang daripada pada jam pertama. Berapa jam yang diperlukan untuk mereka mencapai 2975 meter?
Penyelesaian.
Laluan yang dilalui dalam setiap jam boleh diwakili sebagai janjang aritmetik:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Perbezaan janjang aritmetik ialah $d=-25$.
Jarak yang diliputi dalam 2975 meter ialah jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik.
$S_(n)=2975$, dengan n ialah jam yang dibelanjakan dalam perjalanan.
Kemudian:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=$5950.
Bahagikan kedua belah pihak dengan 25.
$40n-(n-1)n=$238.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Jelas sekali, adalah lebih logik untuk memilih $n=7$.
Jawab. Lelaki itu berada di jalan raya selama 7 jam.

Sifat ciri janjang aritmetik

Kawan-kawan, diberi janjang aritmetik, mari kita pertimbangkan tiga sebutan berturut-turut bagi janjang itu: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
Kami tahu bahawa:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Mari kita satukan ungkapan kita:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

Jika janjang adalah terhingga, maka kesamaan ini berlaku untuk semua istilah kecuali yang pertama dan terakhir.
Jika tidak diketahui terlebih dahulu apakah bentuk jujukan itu, tetapi diketahui bahawa: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Kemudian kita boleh dengan selamat mengatakan bahawa ini adalah janjang aritmetik.

Urutan berangka ialah janjang aritmetik apabila setiap ahli janjang ini adalah sama dengan min aritmetik dua ahli janjang yang berjiran dengan janjang kita (jangan lupa bahawa untuk janjang terhingga keadaan ini tidak dipenuhi untuk ahli janjang pertama dan terakhir) .

Contoh. Cari x sehingga $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – tiga sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik.
Penyelesaian. Mari gunakan formula kami:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1.4$.
Mari kita semak, ungkapan kita akan mengambil bentuk: -2,2; -2.4; -2.6.
Jelas sekali, ini adalah sebutan janjang aritmetik dan $d=-0.2$.

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

1. Cari sebutan kedua puluh satu janjang aritmetik 38;30;22…
2. Cari sebutan kelima belas janjang aritmetik 10,21,32...
3. Diketahui bahawa $a_(1)=7$, $d=8$. Cari $a_(31)$.
4. Diketahui bahawa $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Cari n.
5. Cari hasil tambah tujuh belas sebutan pertama janjang aritmetik 3;12;21….
6. Cari x sehingga $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – tiga sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik.

Sebagai contoh, urutan $2$; $5$; $8$; $11$; $14$... ialah janjang aritmetik, kerana setiap elemen berikutnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan tiga (boleh diperoleh daripada yang sebelumnya dengan menambah tiga):

Dalam janjang ini, perbezaan $d$ adalah positif (sama dengan $3$), dan oleh itu setiap sebutan seterusnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya. Perkembangan sedemikian dipanggil semakin meningkat.

Walau bagaimanapun, $d$ juga boleh menjadi nombor negatif. Contohnya, dalam janjang aritmetik $16$; $10$; $4$; $-2$; $-8$... perbezaan janjang $d$ adalah sama dengan tolak enam.

Dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya akan menjadi lebih kecil daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil semakin berkurangan.

tatatanda janjang aritmetik

Kemajuan ditunjukkan oleh huruf Latin kecil.

Nombor yang membentuk janjang dipanggil ahli(atau unsur-unsur).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan janjang aritmetik, tetapi dengan indeks berangka yang sama dengan bilangan elemen dalam susunan.

Sebagai contoh, janjang aritmetik $a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right$\) terdiri daripada unsur $a_1=2$; $a_2=5$; $a_3=8$ dan seterusnya.

Dalam erti kata lain, untuk janjang $a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right$\)

Menyelesaikan masalah janjang aritmetik

Pada dasarnya, maklumat yang dibentangkan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah janjang aritmetik (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh syarat $b_1=7; d=4$. Cari $b_5$.
Penyelesaian:

Jawapan: $b_5=23$

Contoh (OGE). Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberikan: $62; 49; 36…$ Cari nilai sebutan negatif pertama janjang ini..
Penyelesaian:

	Kami diberi elemen pertama jujukan dan mengetahui bahawa ia adalah janjang aritmetik. Iaitu, setiap elemen berbeza daripada jirannya dengan nombor yang sama. Mari kita ketahui yang mana satu dengan menolak yang sebelumnya daripada elemen seterusnya: $d=49-62=-13$.
	Sekarang kita boleh memulihkan perkembangan kita kepada elemen (negatif pertama) yang kita perlukan.
	sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: $-3$

Contoh (OGE). Diberi beberapa unsur berturutan bagi janjang aritmetik: $…5; x; 10; 12.5...$ Cari nilai unsur yang ditetapkan oleh huruf $x$.
Penyelesaian:

	Untuk mencari $x$, kita perlu tahu berapa banyak perbezaan elemen seterusnya daripada yang sebelumnya, dengan kata lain, perbezaan janjang. Mari cari daripada dua unsur jiran yang diketahui: $d=12.5-10=2.5$.
	Dan kini kita boleh mencari dengan mudah apa yang kita cari: $x=5+2.5=7.5$.
	sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: $7,5$.

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditakrifkan oleh keadaan berikut: $a_1=-11$; $a_(n+1)=a_n+5$ Cari hasil tambah enam sebutan pertama janjang ini.
Penyelesaian:

Kita perlu mencari jumlah enam sebutan pertama janjang itu. Tetapi kita tidak tahu maknanya; kita hanya diberikan unsur pertama. Oleh itu, kita mula-mula mengira nilai satu demi satu, menggunakan apa yang diberikan kepada kita:

$n=1$; $a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6$
$n=2$; $a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1$
$n=3$; $a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4$
Dan setelah mengira enam elemen yang kita perlukan, kita dapati jumlahnya.

$S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=$
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

Jumlah yang diperlukan telah ditemui.

Jawapan: $S_6=9$.

Contoh (OGE). Dalam janjang aritmetik $a_(12)=23$; $a_(16)=51$. Cari perbezaan janjang ini.
Penyelesaian:

Jawapan: $d=7$.

Formula penting untuk janjang aritmetik

Seperti yang anda lihat, banyak masalah mengenai janjang aritmetik boleh diselesaikan hanya dengan memahami perkara utama - bahawa janjang aritmetik ialah rantai nombor, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambah nombor yang sama kepada yang sebelumnya ( perbezaan perkembangan).

Walau bagaimanapun, kadangkala terdapat situasi apabila membuat keputusan "head-on" adalah sangat menyusahkan. Sebagai contoh, bayangkan bahawa dalam contoh pertama kita perlu mencari bukan elemen kelima $b_5$, tetapi tiga ratus lapan puluh enam $b_(386)$. Adakah kita perlu menambah empat $385$ kali? Atau bayangkan bahawa dalam contoh terakhir anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan penat mengira...

Oleh itu, dalam kes sedemikian, mereka tidak menyelesaikan perkara "secara langsung", tetapi menggunakan formula khas yang diperoleh untuk janjang aritmetik. Dan yang utama ialah formula untuk sebutan ke-n janjang dan formula untuk jumlah $n$ sebutan pertama.

Formula bagi $n$ sebutan ke: $a_n=a_1+(n-1)d$, dengan $a_1$ ialah sebutan pertama janjang;
$n$ – nombor elemen yang diperlukan;
$a_n$ – sebutan janjang dengan nombor $n$.

Formula ini membolehkan kita mencari dengan cepat walaupun elemen tiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbezaan janjang.

Contoh. Janjang aritmetik ditentukan oleh syarat: $b_1=-159$; $d=8.2$. Cari $b_(246)$.
Penyelesaian:

Jawapan: $b_(246)=1850$.

Formula untuk jumlah n sebutan pertama: $S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n$, di mana

$a_n$ – sebutan terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh keadaan $a_n=3.4n-0.6$. Cari hasil tambah bagi sebutan $25$ pertama bagi janjang ini.
Penyelesaian:

$S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2 )$ $\cdot 25$		Untuk mengira jumlah bagi dua puluh lima sebutan pertama, kita perlu mengetahui nilai sebutan pertama dan dua puluh lima. Kemajuan kami diberikan oleh formula sebutan ke-n bergantung pada bilangannya (untuk butiran lanjut, lihat). Mari kita hitung elemen pertama dengan menggantikan satu untuk $n$.
$n=1;$ $a_1=3.4·1-0.6=2.8$		Sekarang mari kita cari sebutan kedua puluh lima dengan menggantikan dua puluh lima bukannya $n$.
$n=25;$ $a_(25)=3.4·25-0.6=84.4$		Nah, sekarang kita boleh mengira jumlah yang diperlukan dengan mudah.
$S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2)$ $\cdot 25=$ $=$ $\frac(2.8+84.4)(2)$ $\cdot 25 =$$1090$		Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: $S_(25)=1090$.

Untuk jumlah $n$ sebutan pertama, anda boleh mendapatkan formula lain: anda hanya perlu $S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2)$ \ (\cdot 25\ ) bukannya $a_n$ gantikan formula untuknya $a_n=a_1+(n-1)d$. Kami mendapat:

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama: $S_n=$$\frac(2a_1+(n-1)d)(2)$ $\cdot n$, di mana

$S_n$ – jumlah yang diperlukan bagi $n$ elemen pertama;
$a_1$ – sebutan penjumlahan pertama;
$d$ – perbezaan janjang;
$n$ – bilangan elemen secara keseluruhan.

Contoh. Cari hasil tambah bagi sebutan $33$-ex pertama bagi janjang aritmetik: $17$; $15.5$; $14$…
Penyelesaian:

Jawapan: $S_(33)=-231$.

Masalah janjang aritmetik yang lebih kompleks

Kini anda mempunyai semua maklumat yang anda perlukan untuk menyelesaikan hampir semua masalah janjang aritmetik. Mari kita selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana anda bukan sahaja perlu menggunakan formula, tetapi juga berfikir sedikit (dalam matematik ini boleh berguna ☺)

Contoh (OGE). Cari hasil tambah semua sebutan negatif janjang itu: $-19.3$; $-19$; $-18.7$…
Penyelesaian:

$S_n=$$\frac(2a_1+(n-1)d)(2)$ $\cdot n$		Tugas ini sangat serupa dengan yang sebelumnya. Kita mula menyelesaikan perkara yang sama: mula-mula kita dapati $d$.
$d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3$		Sekarang kami ingin menggantikan $d$ ke dalam formula untuk jumlah... dan di sini satu nuansa kecil muncul - kami tidak tahu $n$. Dalam erti kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambah. Bagaimana untuk mengetahui? Mari kita fikirkan. Kami akan berhenti menambah elemen apabila kami mencapai elemen positif pertama. Iaitu, anda perlu mengetahui bilangan elemen ini. Bagaimana? Mari tuliskan formula untuk mengira mana-mana unsur janjang aritmetik: $a_n=a_1+(n-1)d$ untuk kes kami.
$a_n=a_1+(n-1)d$
$a_n=-19.3+(n-1)·0.3$		Kita memerlukan $a_n$ untuk menjadi lebih besar daripada sifar. Mari kita ketahui apa $n$ ini akan berlaku.
$-19.3+(n-1)·0.3>0$
$(n-1)·0.3>19.3$ $\|:0.3$		Kami membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan $0.3$.
$n-1>$$\frac(19.3)(0.3)$		Kami memindahkan tolak satu, tidak lupa untuk menukar tanda-tanda
$n>$$\frac(19.3)(0.3)$ $+1$		Jom kira...
$n>65,333…$		... dan ternyata unsur positif pertama akan mempunyai nombor $66$. Oleh itu, yang terakhir negatif mempunyai $n=65$. Untuk berjaga-jaga, mari kita semak ini.
$n=65;$ $a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1$ $n=66;$ $a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2$		Jadi kita perlu menambah elemen $65$ pertama.
$S_(65)=$ $\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)$$\cdot 65$ $S_(65)=$$(-38.6+19.2)(2)$$\cdot 65=-630.5$		Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: $S_(65)=-630.5$.

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh syarat: $a_1=-33$; $a_(n+1)=a_n+4$. Cari jumlah dari $26$th hingga $42$ elemen inklusif.
Penyelesaian:

$a_1=-33;$ $a_(n+1)=a_n+4$	Dalam masalah ini, anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi bukan bermula dari yang pertama, tetapi dari $26$th. Untuk kes sedemikian kami tidak mempunyai formula. Bagaimana untuk membuat keputusan? Mudah sahaja - untuk mendapatkan jumlah dari $26$th hingga $42$th, anda mesti mencari jumlah dari $1$th hingga $42$th, dan kemudian tolak daripadanya jumlah dari pertama hingga $25$th (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kami $a_1=-33$, dan perbezaan $d=4$ (lagipun, empat yang kami tambahkan pada elemen sebelumnya untuk mencari yang seterusnya). Mengetahui ini, kita dapati jumlah unsur $42$-y yang pertama.
$S_(42)=$ $\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)$$\cdot 42=$ $=$$\frac(-66+164)(2)$ $\cdot 42=2058$	Sekarang jumlah unsur $25$ pertama.
$S_(25)=$ $\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)$$\cdot 25=$ $=$$\frac(-66+96)(2)$ $\cdot 25=375$	Dan akhirnya, kami mengira jawapannya.
$S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683$

Jawapan: $S=1683$.

Untuk janjang aritmetik, terdapat beberapa lagi formula yang tidak kami pertimbangkan dalam artikel ini kerana kegunaan praktikalnya yang rendah. Walau bagaimanapun, anda boleh mencari mereka dengan mudah.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Untuk mengira jumlah bagi dua puluh lima sebutan pertama, kita perlu mengetahui nilai sebutan pertama dan dua puluh lima. Kemajuan kami diberikan oleh formula sebutan ke-n bergantung pada bilangannya (untuk butiran lanjut, lihat). Mari kita hitung elemen pertama dengan menggantikan satu untuk \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Sekarang mari kita cari sebutan kedua puluh lima dengan menggantikan dua puluh lima bukannya \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Nah, sekarang kita boleh mengira jumlah yang diperlukan dengan mudah.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Jawapannya sudah sedia.

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tugas ini sangat serupa dengan yang sebelumnya. Kita mula menyelesaikan perkara yang sama: mula-mula kita dapati \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Sekarang kami ingin menggantikan \(d\) ke dalam formula untuk jumlah... dan di sini satu nuansa kecil muncul - kami tidak tahu \(n\). Dalam erti kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambah. Bagaimana untuk mengetahui? Mari kita fikirkan. Kami akan berhenti menambah elemen apabila kami mencapai elemen positif pertama. Iaitu, anda perlu mengetahui bilangan elemen ini. Bagaimana? Mari tuliskan formula untuk mengira mana-mana unsur janjang aritmetik: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kes kami.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Kita memerlukan \(a_n\) untuk menjadi lebih besar daripada sifar. Mari kita ketahui apa \(n\) ini akan berlaku.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(\|:0.3\)		Kami membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Kami memindahkan tolak satu, tidak lupa untuk menukar tanda-tanda
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Jom kira...
\(n>65,333…\)		... dan ternyata unsur positif pertama akan mempunyai nombor \(66\). Oleh itu, yang terakhir negatif mempunyai \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita semak ini.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Jadi kita perlu menambah elemen \(65\) pertama.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Jawapannya sudah sedia.

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dalam masalah ini, anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi bukan bermula dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Untuk kes sedemikian kami tidak mempunyai formula. Bagaimana untuk membuat keputusan? Mudah sahaja - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th hingga \(42\)th, anda mesti mencari jumlah dari \(1\)th hingga \(42\)th, dan kemudian tolak daripadanya jumlah dari pertama hingga \(25\)th (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kami \(a_1=-33\), dan perbezaan \(d=4\) (lagipun, empat yang kami tambahkan pada elemen sebelumnya untuk mencari yang seterusnya). Mengetahui ini, kita dapati jumlah unsur \(42\)-y yang pertama.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sekarang jumlah unsur \(25\) pertama.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dan akhirnya, kami mengira jawapannya.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

An ialah aritmetik. Jumlah janjang aritmetik

Urutan nombor

Sifat janjang aritmetik

Latihan

Mari kita ringkaskan

PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH

Urutan nombor

formula penggal ke-n

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik

Jumlah janjang aritmetik.

Contoh tugasan pada jumlah janjang aritmetik.

Jika anda suka laman web ini...

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Jujukan nombor. Janjang aritmetik"

Jadi apakah janjang aritmetik?

Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Jumlah janjang aritmetik terhingga

Sifat ciri janjang aritmetik

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

tatatanda janjang aritmetik

Kemajuan ditunjukkan oleh huruf Latin kecil.

Menyelesaikan masalah janjang aritmetik

Formula penting untuk janjang aritmetik

Formula bagi \(n\) sebutan ke: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) ialah sebutan pertama janjang;
\(n\) – nombor elemen yang diperlukan;
\(a_n\) – sebutan janjang dengan nombor \(n\).

Formula untuk jumlah n sebutan pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

Masalah janjang aritmetik yang lebih kompleks

	Untuk mencari \(x\), kita perlu tahu berapa banyak perbezaan elemen seterusnya daripada yang sebelumnya, dengan kata lain, perbezaan janjang. Mari cari daripada dua unsur jiran yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).
	Dan kini kita boleh mencari dengan mudah apa yang kita cari: \(x=5+2.5=7.5\).
	sedia. Anda boleh menulis jawapan.

An ialah aritmetik. Jumlah janjang aritmetik

Urutan nombor

Sifat janjang aritmetik

Latihan

Mari kita ringkaskan

PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH

Urutan nombor

formula penggal ke-n

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik

Jumlah janjang aritmetik.

Contoh tugasan pada jumlah janjang aritmetik.

Jika anda suka laman web ini...

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Jujukan nombor. Janjang aritmetik"

Jadi apakah janjang aritmetik?

Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Jumlah janjang aritmetik terhingga

Sifat ciri janjang aritmetik

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

tatatanda janjang aritmetik

Kemajuan ditunjukkan oleh huruf Latin kecil.

Menyelesaikan masalah janjang aritmetik

Formula penting untuk janjang aritmetik

Formula bagi \(n\) sebutan ke: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) ialah sebutan pertama janjang; \(n\) – nombor elemen yang diperlukan; \(a_n\) – sebutan janjang dengan nombor \(n\).

Formula untuk jumlah n sebutan pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

Masalah janjang aritmetik yang lebih kompleks

Formula bagi \(n\) sebutan ke: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) ialah sebutan pertama janjang;
\(n\) – nombor elemen yang diperlukan;
\(a_n\) – sebutan janjang dengan nombor \(n\).