Закон за симетрија на кристалите. Научна работа на тема „симетрија на кристали“

СИМЕТРИЈА НА КРИСТАЛИ- својството на кристалите да се комбинираат со себе за време на ротации, рефлексии, паралелни преноси или за време на дел или комбинација од овие операции. лок. Обликот (сечењето) на кристалот се одредува според симетријата на неговата атомска структура, а рабовите ја одредуваат и симетријата на физичката структура. својствата на кристалот.

Ориз. 1. а - кварцен кристал; 3 - оска на симетрија од 3 ред, - оски од 2 ред; б - кристал на воден натриум метасиликат; m - рамнина на симетрија.

На сл. 1 Априкажан е кварцен кристал. лок. неговата форма е таква што со ротирање за 120° околу оската 3 може да се порамни со себе (компатибилна еднаквост). Натриум метасиликатен кристал (сл. 1, б)се трансформира во себе со рефлексија во рамнината на симетрија m (раквост на огледалото). Ако - функција која опишува објект, на пр. обликот на кристал во тридимензионален простор или k--l. неговото својство, а операцијата ги трансформира координатите на сите точки на објектот, тогаш ее операција или трансформација на симетрија, а F е симетричен објект ако се исполнети следните услови:

Во макс. Во општата формулација, симетријата е непроменливост (непроменливост) на предметите и законите при одредени трансформации на променливите што ги опишуваат. Кристалите се предмети во тродимензионален простор, па така класиката. Теоријата на СК е теорија на симетрични трансформации на тродимензионалниот простор во себе, земајќи го предвид фактот дека внатрешниот. атомската структура на кристалите е дискретна, тридимензионална периодична. За време на трансформациите на симетрија, просторот не се деформира, туку се трансформира како цврста целина. Ваквите трансформации се жлебови. ортогонални или изометриски и. По трансформацијата на симетријата, деловите од објектот што биле на едно место се совпаѓаат со деловите што се на друго место. Ова значи дека симетричниот објект има еднакви делови (компатибилни или огледални).

SK се манифестира не само во нивната структура и својства во реалниот тродимензионален простор, туку и во описот на енергијата. електронски спектар на кристалот (види Теорија на зоната), кога се анализираат процесите Дифракција на Х-зраци, неутронска дифракцијаИ електронска дифракцијаво кристали кои користат реципрочен простор (види Обратна решетка) и така натаму.

Симетрични групи на кристали. Кристал може да има повеќе од една карактеристика. . Така, кварцен кристал (сл. 1, А)се комбинира со себе не само кога се ротира 120° околу својата оска 3 (операција gi), но и кога се ротира околу оска 3 на 240° (работа g 2), &исто така и при вртење за 180° околу оските 2 X, 2 години, 2 W(операции g 3, g 4, g 5). Секоја операција на симетрија може да се поврзе со елемент на симетрија - права линија, рамнина или точка, во однос на која се изведува дадената операција. На пример, оската 3 или секири 2 x, 2 y, 2 wсе оски на симетрија, рамнина Т(сл. 1,б) - рамнина на симетрија на огледалото итн. Збир на операции на симетрија (g 1 , g 2 , ..., g n )од даден кристал формира група за симетрија во смисла на математика. теории групи. Доследно извршувањето на две операции на симетрија е исто така операција на симетрија. Во групната теорија ова се нарекува производ на операции:. Секогаш постои операција за идентитет g 0, што не менува ништо во кристалот, се нарекува. идентификација, геометриски одговара на неподвижноста на објектот или неговата ротација за 360° околу која било оска. Се нарекува бројот на операции кои формираат група G. групна нарачка.

Симетричните групи на просторни трансформации се класифицираат: по број Пдимензии на просторот во кој се дефинирани; по број Тдимензии на просторот, во кој објектот е периодичен (тие се соодветно назначени) и според одредени други карактеристики. За опишување на кристалите се користат различни групи на симетрија, од кои најважни се точките групи на симетрија кои го опишуваат надворешниот изглед. кристална форма; нивните имиња исто така кристалографски. часови; вселенски симетрични групи кои ја опишуваат атомската структура на кристалите.

Групи за симетрија на точки. Операции за симетрија на точки се: ротации околу оската на редослед на симетрија Нпод агол еднаков на 360°/N(Сл. 2, а); одраз во рамнината на симетрија Т(одраз на огледалото, Сл. 2, б);инверзија (симетрија околу точка, Сл. 2, в); инверзивни вртења (комбинација на вртење под агол 360°/N sво исто време инверзија, Сл. 2, г). Наместо инверзивни ротации, понекогаш се разгледуваат еквивалентни ротации на огледалото.Геометриски можните комбинации на операции со симетрија на точки одредуваат една или друга група за симетрија на точки, која обично се прикажува во стереографска форма. проекции. За време на трансформациите на симетрија на точки, барем една точка од објектот останува неподвижна - се трансформира во себе. Во него се вкрстуваат сите елементи на симетрија, а таа е центар на стереографските. проекции. Примери на кристали кои припаѓаат на различни точки групи се дадени на сл. 3.

Ориз. 2. Примери за операции на симетрија: а - ротација; б - одраз; в - инверзија; d - ротација на инверзија од 4-ти ред; d - спирална ротација од 4-ти ред; e - лизгачки одраз.

Ориз. 3. Примери на кристали кои припаѓаат на различни точки групи (кристалографски класи): a - до класа m (една рамнина на симетрија); б - до класа (центар на симетрија или центар на инверзија); а - до класа 2 (една оска на симетрија од 2-ри ред); g - до класа (една инверзивна-ротациона оска од 6-ти ред).

Трансформации на симетрија на точки опишан со линеарни равенки

или матрица на коефициенти

На пример, кога се врти околу оска x 1под агол - =360°/N матрица Дима форма:

и кога се рефлектира во рамнина x 1 x 2 Dима форма:

Бројот на точки групи е бесконечен. Меѓутоа, кај кристалите, поради присуството на кристални честички. решетки, можни се само операции и, соодветно, оски на симетрија до 6-ти ред (освен 5-тиот; во кристална решетка не може да има оска на симетрија од 5-ти ред, бидејќи со помош на пентагонални фигури е невозможно да се пополни простор без празнини ). Операциите на симетрија на точки и соодветните елементи на симетрија се означени со симболи: оски 1, 2, 3, 4, 6, оски на инверзија (центар на симетрија или центар на инверзија), (исто така познат како рамнина на симетрија m), ( Сл. 4).

Ориз. 4. Графички ознаки на елементи со симетрија на точки: а - круг - центар на симетрија, оски на симетрија, нормално на рамнината на цртежот; б - оска 2, паралелна со рамнината на цртање; в - оски на симетрија, паралелни или коси на рамнината на цртање; g - рамнина на симетрија, нормална на рамнината на цртежот; г - рамнини на симетрија паралелни со рамнината на цртање.

За да се опише група за симетрија на точки, доволно е да наведете една или повеќе. операциите на симетрија што го генерираат, останатите негови операции (доколку ги има) ќе настанат како резултат на интеракцијата на генерирачките. На пример, за кварцот (сл. 1, а) генерираните операции се 3 и една од операциите 2, а во оваа група има вкупно 6 операции. Меѓународните ознаки на групи вклучуваат симболи на генераторските операции на симетрија. Точките групи се обединуваат според точкастата симетрија на обликот на единицата ќелија (со периоди a, б, си агли) во 7 системи (Табела 1).

Групи кои содржат освен Гл. секири Нрамнини на симетрија Т, се означени како N/m, ако или Nm, ако оската лежи во рамнината Т. Ако групата покрај Гл. има неколку оски. низ него минуваат рамнини на симетрија, тогаш се означува Nmm.

Табела 1.- Точки групи (класи) на кристална симетрија

Групите што содржат само ротации опишуваат кристали што се состојат само од компатибилни еднакви делови (групи од 1-виот вид). Групите што содржат рефлексии или инверзивни ротации опишуваат кристали кои имаат делови слични на огледало (групи од втор вид). Кристалите опишани по групи од 1-виот вид можат да се кристализираат во две енантиоморфни форми („десно“ и „лево“, од кои секоја не содржи елементи на симетрија од вториот вид), туку едни на други како огледало (види. Енантиоморфизам).

Групи на SK носат геом. што значи: секоја од операциите одговара, на пример, на ротација околу оската на симетрија, рефлексија во рамнина. Одредени точки групи во смисла на групна теорија, која ги зема предвид само правилата за интеракција на операциите во дадена група (но не и нивното геометриско значење), излегуваат дека се идентични или изоморфни една со друга. Тоа се, на пример, групите 4 и tt2, 222. Вкупно има 18 апстрактни групи изоморфни на една или повеќе од 32-те точки групи на S. k.

Ограничете ги групите. Функциите кои ја опишуваат зависноста на различните својства на кристалот од насоката имаат одредена симетрија на точки која е уникатно поврзана со групата на симетрија на кристалниот аспект. Или се совпаѓа со него или е повисоко од него по симетрија ( Нојмановиот принцип).

Во однос на макроскопски својства, кристал може да се опише како хомогена континуирана средина. Затоа, многу од својствата на кристалите кои припаѓаат на една или друга група за симетрија на точки се опишани со т.н. групи на гранични точки кои содржат оски на симетрија од бесконечен ред, означени со симболот. Присуството на оска значи дека објектот е порамнет со себе кога се ротира низ кој било агол, вклучително и бесконечно мал. Има 7 такви групи (сл. 5). Така, вкупно има 32 + 7 = 39 точки групи кои ја опишуваат симетријата на својствата на кристалите. Знаејќи ја групата на симетрија на кристали, може да се укаже на можноста за присуство или отсуство на одредени физички својства во неа. својства (види Кристална физика).

Ориз. 5. Стереографски проекции на 32 кристалографски и 2 икосаедрални групи. Групите се распоредени во колони по семејство, чии симболи се дадени во горниот ред. Долниот ред ја прикажува граничната група на секое семејство и покажува бројки што ја илустрираат граничната група.

Групи за симетрија на просторот. Просторната симетрија на атомската структура на кристалите е опишана со групи на просторна симетрија. Тие се нарекуваат исто така и Федоровски во чест на Е. С. Федоров кој ги нашол во 1890 година; овие групи беа независно развиени во истата година од A. Schoenflies. За разлика од точките групи, кои беа добиени како генерализација на законите на кристалните форми. полиедри (S.I. Gessel, 1830, A.V. Gadolin, 1867), вселенските групи биле производ на математичката геологија. теорија која предвидуваше експеримент. определување на кристалната структура со помош на дифракција на Х-зраци. зраци.

Операциите карактеристични за атомската структура на кристалите се 3 некомпланарни преводи a, b, c, кои ја одредуваат тродимензионалната периодичност на кристалното. решетки. Кристално. се смета дека решетката е бесконечна во сите три димензии. Таква математика. приближувањето е реално, бидејќи бројот на елементарни ќелии во набљудуваните кристали е многу голем. Пренесување на структурата на вектори а, б, вили било кој вектор каде стр 1, стр 2, стр 3- кои било цели броеви, ја комбинира структурата на кристалот со себе и, според тоа, е операција на симетрија (преводна симетрија).

Phys. дискретност на кристално супстанцијата се изразува во нејзината атомска структура. Вселенските групи се групи на трансформација во себе на тридимензионален хомоген дискретен простор. Дискретноста лежи во фактот што не сите точки на таков простор се симетрично еднакви една со друга, на пример. атом од еден тип и атом од друг тип, јадро и електрони. Условите на хомогеност и дискретност се одредени со фактот што вселенските групи се тридимензионално периодични, т.е. секоја група содржи подгрупа преводи Т- кристален решетки.

Поради можноста за комбинирање на преводи и операции на симетрија на точки во решетка во групи, покрај операциите на симетрија на точки, се јавуваат операции и соодветните елементи на преводна симетрија. компонента - спирални оски од различни редови и рамнини на лизгачки одраз (сл. 2, г, ѓ).

Во согласност со точкастата симетрија на обликот на единечната клетка (елементарен паралелепипед), просторните групи, како точките групи, се поделени на 7 кристалографски сингонија(Табела 2). Нивната понатамошна поделба одговара на емитувањето. групи и нивните соодветни Право до решетките. Постојат 14 Bravais решетки, од кои 7 се примитивни решетки на соодветните системи, тие се означени Р(освен ромбоедар Р). Други - 7 центрирани. решетки: основа (страна) - центрирано А(лицето е центрирано п.н.е.), Б(раб ac), C (ab);тело-центрирано I, фокусирано на лице (на сите 3 лица) Ф. Земајќи го предвид центрирањето за операцијата на превод тсе додаваат центрирање трансфери кои одговараат на центарот т в. Ако ги комбинирате овие операции една со друга т + т са со операциите на точки групи на соодветниот систем, тогаш се добиваат 73 просторни групи, повикани. симморфни.

Табела 2.-Групи за симетрија на просторот

Врз основа на одредени правила, нетривијалните подгрупи може да се извлечат од симморфните вселенски групи, што дава уште 157 несимморфни вселенски групи. Има вкупно 230 просторни групи.Операции на симетрија при трансформација на точка Xво симетрично еднаков на него (а со тоа и целиот простор во себе) се пишуваат во форма: , каде Д- точкести трансформации, - компоненти на спирален пренос или рефлексија на лизгање, - операции на преведување. Групата Браве. Операции на спирална симетрија и соодветните елементи на симетрија - спиралните оски имаат агол. компонента (N = 2, 3, 4, 6) и преведувачки t s = tq/N, Каде т- преводот на решетката, ротацијата на се случува истовремено со преводот долж оската Zh, q- индекс на спирална ротација. Општ симбол за спирални оски Nq(сл. 6). Оските на завртките се насочени долж гл. оски или дијагонали на единицата ќелија. Оските 3 1 и 3 2, 4 1 и 4 3, 6 1 и 6 5, 6 2 и 6 4 одговараат во парови на десно и лево спирално вртење. Покрај операцијата на симетрија на огледалото во вселенските групи, можни се и рамнини на рефлексија на пасење a. б, в:рефлексијата се комбинира со преводот за половина од соодветниот период на решетка. Превод на лице на ќелија за половина од дијагоналата одговара на т.н. клиноплан лизга n, покрај тоа, во тетрагонални и кубни. групи, можни се „дијамантски“ авиони г.

Ориз. 6. а - Графички ознаки на оските на завртките нормално на рамнината на сликата; б - оската на завртката што лежи во рамнината на сликата; c - рамнини на одраз на пасење, нормални на рамнината на сл., каде што a, b, c се периодите на единечната ќелија по чии оски се појавува лизгање (преводна компонента a/2), n - дијагонална рамнина на одраз на пасење [преводна компонента (a + b)/ 2], d - рамнина на лизгање со дијамант; g - истото во рамнината за цртање.

Во табелата 2 ги дава меѓународните симболи на сите 230 вселенски групи во согласност со нивната припадност на една од 7-те сингонии и класата на симетрија на точки.

Емитување компонентите на операциите на микросиметрија на вселенските групи не се манифестираат макроскопски во точки групи; на пример, спиралната оска при сечењето на кристалите се појавува како соодветна едноставна ротациона оска. Затоа, секоја од 230-те групи е макроскопски слична (хомоморфна) со една од групите со 32 точки. На пример, до група на точки - ттт 28 вселенски групи се мапирани хомоморфно.

Ознаката Schönflies за вселенските групи е ознака на соодветната група на точки (на пример, Табела 1), на која историски прифатениот реден број е доделен погоре, на пример. . Меѓународните ознаки го означуваат симболот на решетката Bravais и операциите на генерирање на симетрија на секоја група - итн. Редоследот на распоредот на просторните групи во табелата. 2 во меѓународните ознаки одговара на бројот (надредениот знак) во ознаките Schönflies.

На сл. Слика 7 покажува слика на просторите. групи - Rptaспоред International Crystallographic. табели. Операциите (и нивните соодветни елементи) на симетријата на секоја просторна група, означени за единицата ќелија, дејствуваат на целата кристална. просторот, целата атомска структура на кристалот и едни на други.

Ориз. 7. Слика на групата - Rpt во меѓународни табели.

Ако наведете внатре во единечната ќелија k-n. точка x (x 1 x 2 x 3), тогаш операциите на симетрија го трансформираат во точки симетрично еднакви на него низ кристалното. простор; има бесконечен број такви точки. Но, доволно е да се опише нивната позиција во една елементарна ќелија, и овој сет веќе ќе се множи со решетки преводи. Збир на точки добиени од дадена операција g iгрупи G - x 1, x 2,..., x n-1, повикан правилен систем на поени (PST). На сл. 7 на десната страна е локацијата на елементите на симетријата на групата, лево е сликата на PST на општата позиција на оваа група. Точки во општа положба се оние точки кои не се наоѓаат на елементот за симетрија на точки на просторната група. Бројот (повеќето) на таквите точки е еднаков на редоследот на групата. Точките лоцирани на елемент (или елементи) со симетрија на точки формираат PST на одредена позиција и ја имаат соодветната симетрија, нивниот број е цел број пати помал од мноштвото на PST на општа позиција. На сл. 7 лево, круговите означуваат точки на општа положба, има 8 од нив во единечната ќелија, симболите „+“ и „-“, „1/2+“ и „1/2-“ значат координати + z, -z, 1/2 + z, соодветно, 1/2 - z. Запирките или нивното отсуство значат парно огледална еднаквост на соодветните точки во однос на рамнините на симетрија m што постојат во оваа група во на= 1/4 и 3/4. Ако точката падне на рамнината m, тогаш таа не се удвојува со оваа рамнина, како во случајот со точките во општата положба, а бројот (множина) на таквите точки во одредена позиција е 4, нивната симетрија е m. Истото се случува кога точка ќе ги погоди центрите на симетрија.

Секоја просторна група има свои групи на PST. Постои само еден правилен систем на поени во општата позиција за секоја група. Но, некои од PST на одредена ситуација може да испаднат да бидат исти за различни групи. Меѓународните табели укажуваат на мноштвото на PST, нивната симетрија и координати и сите други карактеристики на секоја вселенска група. Важноста на концептот на PST лежи во фактот дека во секој кристален. структура која припаѓа на дадена вселенска група, атомите или центрите на молекулите се наоѓаат долж PST (еден или повеќе). Во структурната анализа, распределбата на атомите во еден или повеќе. PST на дадена вселенска група се врши земајќи ја предвид хемијата. f-ly кристали и податоци за дифракција. експеримент, ви овозможува да ги пронајдете координатите на точките на одредени или општи позиции во кои се наоѓаат атомите. Бидејќи секој PST се состои од еден или повеќекратен број на Bravais решетки, распоредот на атомите може да се замисли како збир на Bravais решетки „втурнати една во друга“. Ова претставување е еквивалентно на фактот дека вселенската група содржи превод како подгрупа. Храбра група.

Подгрупи на групи на кристална симетрија. Ако дел од операцијата е k-l. самите групи формираат група G r (g 1,...,g m),, потоа презимето. подгрупа на првата. На пример, подгрупите од групата точки 32 (сл. 1, а) се групата 3 и група 2 . Исто така меѓу просторите. групи постои хиерархија на подгрупи. Просторните групи можат да имаат како подгрупи точки групи (има 217 такви просторни групи) и подгрупи, кои се вселенски групи од понизок ред. Според тоа, постои хиерархија на подгрупи.

Улогата на вселенските групи на кристална симетрија. Групите на кристали за симетрија на просторот се основата на теоретската теорија. кристалографија, дифракција и други методи за определување на атомската структура на кристалите и опишување на кристална. структури.

Дифракционата шема добиена со дифракција на Х-зраци е неутронографијаили електронска дифракција, ви овозможува да поставите симетрични и геометриски. карактеристики реципрочна решеткакристал, а со тоа и самата кристална структура. Така се одредуваат точкастата група на кристалот и единечната ќелија; Врз основа на карактеристичните изумирања (отсуство на одредени рефлексии на дифракција), се одредуваат типот на решетката Bravais и членството во одредена вселенска група. Поставувањето на атомите во единечна ќелија се определува од севкупноста на интензитетите на дифракционите рефлексии.

Вселенските групи играат важна улога во кристална хемија. Идентификувани се повеќе од 100 илјади кристални честички. структури неоргански, органски и биолошки врски. Секој кристал припаѓа на една од 230 вселенски групи. Се покажа дека скоро сите вселенски групи се реализирани во светот на кристалите, иако некои од нив се почести од другите. Постојат статистички податоци за распространетоста на вселенските групи за различни видови хемикалии. врски. Досега, само 4 групи не се пронајдени меѓу проучуваните структури: Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. Теоријата што ја објаснува распространетоста на одредени вселенски групи ги зема предвид големините на атомите што ја сочинуваат структурата, концептот на блиско пакување на атоми или молекули, улогата на „пакувачки“ елементи на симетрија - лизгачки рамнини и оски за завртки.

Во физиката на цврста состојба се користи теоријата на групни претстави со помош на матрици и специјални функции. функции, за вселенските групи овие функции се периодични. Да, во теорија структурни фазни транзицииВториот вид вселенска група на симетрија на помалку симетричната (ниска температура) фаза е подгрупа на вселенската група од посиметричната фаза и фазната транзиција е поврзана со една од нередуцираните претстави на вселенската група на високосиметричната фаза. Теоријата на претставување исто така ви овозможува да ги решите проблемите на динамиката кристална решетка, неговите електронски и магнетни. структури, голем број на физички својства. Во теоретски Во кристалографијата, вселенските групи овозможуваат да се развие теоријата за поделба на просторот на еднакви области, особено полиедарни.

Симетрија на проекции, слоеви и синџири. Кристални проекции структурите на рамнината се опишани со рамни групи, нивниот број е 17. За да се опишат тродимензионални објекти периодични во 1 или 2 насоки, особено фрагменти од кристалната структура, може да се користат дводимензионално периодични и еднодимензионално периодични групи. Овие групи играат важна улога во проучувањето на биологијата. структури и молекули. На пример, групите ја опишуваат структурата на биолошките. мембрани, групи на синџир молекули (сл. 8, А), вируси во облик на прачка, тубуларни кристали на глобуларни протеини (сл. 8, б), во која молекулите се распоредени според спирална (спирална) симетрија, што е можно во групи (види. Биолошки кристал).

Ориз. 8. Објекти со спирална симетрија: а - молекула на ДНК; б - тубуларен кристал на протеин фосфорилаза (електронска микроскопска слика, зголемување 220.000).

Структура на квазикристали. Квазикристал(на пр., A1 86 Mn 14) имаат икозаедра. симетрија на точки (сл. 5), што е невозможно кај кристалите. решетки. Редоследот на долг дострел кај квазикристалите е квазипериодичен, опишан врз основа на теоријата за речиси периодични. функции. Структурата на квазикристалите може да се претстави како проекција на тридимензионален простор на шестдимензионална периодична структура. кубни решетки со оски од 5-ти ред. Квазикристалите со петдимензионална симетрија во повисоката димензија можат да имаат 3 типа на Bravais решетки (примитивни, насочени кон телото и насочени кон лицето) и 11 вселенски групи. Др. можни типови на квазикристали - натрупување дводимензионални мрежи на атоми со оски од 5-, 7-, 8-, 10-, 12... реда, со периодичност по третата насока нормална на мрежите.

Генерализирана симетрија. Дефиницијата за симетрија се заснова на концептот на еднаквост (1,б) при трансформација (1,а). Сепак, физички (и математички) објектот може да биде еднаков на себе во некои аспекти, а не еднаков во други. На пример, дистрибуција на јадра и електрони во кристал антиферомагнетможе да се опише со користење на обична просторна симетрија, но ако се земе предвид распределбата на магнетизмот во неа. моменти (сл. 9), потоа „обични“, класични. симетријата повеќе не е доволна. Генерализациите на овој вид на симетрија вклучуваат анти-симетрија и боја сниметрија.

Ориз. 9. Распределба на магнетни моменти (стрелки) во единечната ќелија на феримагнетниот кристал, опишана со употреба на генерализирана симетрија.

Кај антисиметријата, покрај три просторни променливи x 1, x 2, x 3се воведува дополнителна, 4-та променлива. Ова може да се толкува на таков начин што при трансформација (1,а) функцијата Фне само што може да биде еднакво на себе, како во (1, б), туку и „антиеднакво“ - ќе го промени знакот. Постојат 58 точки антисиметрични групи и 1651 просторни антисиметрични групи (групи Шубнпков).

Ако дополнителна променлива стекнува не две вредности, туку повеќе (можно 3,4,6,8, ..., 48) , потоа т.н Белов симетрија на бои.

Така, познати се 81 бодовна група и 2942 групи. Основни примени на генерализирана симетрија во кристалографија - опис на магнет. структури.

Пронајдени се и други антисиметрични групи (повеќе, итн.). Сите точки и просторни групи на четиридимензионален простор и повисоки димензии се теоретски изведени. Врз основа на разгледување на симетријата на (3 + К)-димензионален простор, исто така е можно да се опишат модуларности кои се несоодветни во три насоки. структури (види Непропорционална структура).

Др. генерализација на симетријата - симетрија на сличност, кога еднаквоста на делови од фигурата се заменува со нивната сличност (сл. 10), криволинеарна симетрија, статистичка. симетрија воведена кога се опишува структурата на нарушените кристали, цврсти раствори, течни кристалии сл.

Ориз. 10. Фигура со симетрија на сличност.

Осветлено:Шубников А.В., К о п ц и к В. А., Симетријата во науката и уметноста, 2. изд., М., 1972; Федоров Е.С., Симетрија и структура на кристали, М., 1949; Шубников А.В., Симетрија и антисиметрија на конечни фигури, М., 1951; Меѓународни табели за рендгенска кристалографија, с. 1 - Групи за симетрија, Бирмингем, 1952 година; Ковалев О.В., Нередуцирани претстави на вселенски групи, К., 1961; V eil G., Симетрија, транс. од англиски, М., 1968; Модерна кристалографија, том 1 - Вајнштајн Б.К., Симетрија на кристали. Методи на структурна кристалографија, М., 1979; G a l i u l i n R. V., Кристалографска геометрија, М., 1984; Меѓународни табели за кристалографија, с. А - Симетрија на вселенска група, Дордрехт - , 1987 година. Б. ДО. Вајнштајн.

Во структурата на кристалите, на трансформациите на конечна симетрија вклучени во групата за точкеста симетрија, се додаваат бесконечни симетрични трансформации.

Основна бесконечна трансформација - емитување,тие. бескрајно повторувачки пренос по една права линија до исто одредено растојание, наречен период на превод. Комбинацијата на преводи со секој од елементите на симетрија генерира нови елементи на симетрија, кои бескрајно се повторуваат во просторот. Така, множеството на заедничко дејствувачки рамнини на симетрија и паралелно преведување за износ еднаков на половина од периодот на преведување по должината на рамнината е рамнина на лизгачка рефлексија.Симетрична трансформација со лизгачка рефлексивна рамнина може да се опише со покажување како се менуваат координатите на произволна точка X, Y, Z. Комбинацијата на оската на симетрија и транслација долж оваа оска, дејствувајќи заедно, ја дава спиралната оска на симетрија. Спиралните оски во кристалниот простор можат да бидат само од редот 2,3,4 и 6. Постојат леви и десни спирални оски.

Секоја структура се карактеризира со својот сет на елементарни преводи или емитувана група,што одредува просторна решетка.

Во зависност од односот на големини и меѓусебната ориентација на трите главни преводи a, b, c, се добиваат решетки кои се разликуваат една од друга по својата симетрија. Симетријата го ограничува бројот на можни решетки. Ситекристалните структури се опишани со 14 преведувачки групи што одговараат на 14 Bravais решетки. Bravais решеткасе нарекува бесконечен систем на точки, кој се формира со преводно повторување на една точка.

14-те Bravais решетки се разликуваат една од друга по обликот на единечните ќелии и по симетријата и се поделени во 6 системи (види табела).

Единечните ќелии во Bravais решетки се избрани така што 1) нивната симетрија одговара на симетријата на целата решетка (поточно, таа мора да се совпаѓа со симетријата на холоедралната класа на системот на кој припаѓа кристалот), 2) бројот на прави агли и еднакви страни е максимум, а 3) волуменските ќелии се минимални.

Во структурата на кристалот, Wrawe решетки може да се вметнат една во друга, а на местата на различни решетки може да има и идентични и различни атоми, и сферично симетрични и со вистинска кристалографска симетрија. Сите типови на структури се опишани со 230 групи на просторна симетрија, кои се формираат од комбинации на елементи на симетрија на бесконечни структури. (Вселенска групасиметријата е комбинација на сите можни трансформации на симетрија на кристалната структура).

Множењето на елементите на симетрија на структурите ги почитува теоремите 1-6. Покрај тоа, поради додавање на бескрајни повторувања, се појавуваат нови комбинации.

Теорема 7.Последователно одразување во две паралелни рамнини на симетрија е еквивалентно на превод на параметарот t=2a, каде што a е растојанието помеѓу рамнините.

Теорема 7а. Секое преведување t може да се замени со рефлексија во две паралелни рамнини одделени една од друга со растојание T/2 .

Теорема 8.Рамнината на симетријата и транслацијата нормална на неа со параметарот t генерираат нови „вметнати“ рамнини на симетрија паралелни со генерирачката, слични по тип на неа и оддалечени од неа.

Теорема 9. Рамнина на симетрија и транслација t, правење агол со рамнината , генерира лизгачка рефлексивна рамнина паралелна со генерирачката и оддалечена од неа во насока на преведување за износот ( т/2), грев количината на лизгање по генерираната рамнина е еднаква на t*cos

Теорема 10.Оска на симетрија со агол на ротација а транслацијата Т нормално на него ја генерира истата оска на симетрија, паралелна со дадената, која се наоѓа на растојание (t/2) sin( ) и се наоѓа на линија нормална на преводот во средината.

Теорема 11.и транслација t и транслација t нормално на неа генерираат спирална оска со ист агол и ист превод, паралелен со дадениот, оддалечен од неа за (t/2) грев(/2) и се наоѓа на права нормална на транслација t во нејзината средина.

Теорема 12. Оска на симетрија со агол на ротација и превод т правење агол со него , генерира спирална оска на симетрија.

Теорема 13.Спирална оска на симетрија со агол на ротација и транслација t 1 и превод t, правејќи агол со оската генерира спирална оска на симетрија со ист агол на ротација.

Теорема 14. Инверзивно-ротациона оска со агол на ротација и превод нормално на него генерира иста инверзивно-ротациона оска паралелна со генерирачката.

Теорема 15. Инверзија - ротациона оска со агол на ротација и емитува , агол со оваа оска , генерира инверзивна оска со иста ротација паралелно со оваа.

ЗАДАЧИ

1. Запишете матрица за сите операции на симетрија вклучени во групата точки mmm.

2. Најдете го матричниот приказ и редоследот на групата симетрија на нискотемпературната модификација на кварцот.

3. Ојлеровата теорема е добро позната: резултатот на две пресекни оски на симетрија е третата оска на симетрија, која минува низ точката на пресек на првите две. Користејќи го матричното претставување на елементите на симетрија, илустрирај ја теоремата на Ојлер користејќи го примерот од класата 4 2 2.

4. Кристалот се ротира за 90°, проследен со рефлексија во центарот на инверзија, а потоа се ротира за 180° околу насока нормална на оската на првата ротација. Најдете матричен приказ на операцијата на симетрија што води до истиот резултат.

5. Кристалот се ротира за 120°, а потоа се рефлектира во центарот на инверзија. Најдете матричен приказ на операцијата на симетрија што води до истиот резултат. Во која група на елементи на симетрија припаѓа оваа операција?

Сите информации за кристалите неопходни за решавање на проблемите се види вотабели на крајот од описот.

6. Користејќи го матричниот приказ на елементите на симетрија, пронајдете операција на симетрија чие дејство би го дало истиот резултат како и дејството на две оски од втор ред што се сечат под агол од 90°.

7. Најдете матричен приказ на операцијата на симетријата, чие дејство го дава истиот резултат како и дејството на оските од втор ред лоцирани под агол од 60° една до друга. Во која група на елементи на симетрија припаѓа оваа операција?

8. Најдете го матричниот приказ и редот на точкастата симетрична група на калиум дихидроген фосфат (KDP) за стандарден и нестандарден (4m2) избор на кристалофизички координатни оски.

9. Најдете го матричниот приказ на групата за симетрија на точки 6 2 2.

10. Најдете го матричниот приказ и редоследот на групата 6.

11. Користејќи го матричното претставување на операциите на симетрија, проверете ја валидноста на теоремата на ОјЛЕР користејќи го примерот на групата точки 2 2 2,

12. Потврдете ја валидноста на Ојлеровата теорема користејќи го примерот на оските од втор ред лоцирани под агол од 45° една до друга.

13. Кој е редот на следните групи на симетрија: m t, 2 2 2, 4 m m, 422?

14. Запишете го генераторскиот систем за групата 4/ммм.

15. Користејќи го примерот на групата за симетрија на точки 2/m, проверете дали се задоволени сите аксиоми на групата.

16. Користејќи го матричниот приказ на операциите на симетрија, проверете ја валидноста на теоремата: комбинацијата на оска со парен ред и рамнина нормална на неа го дава центарот на симетрија.

17. Докажете дека во кристалната решетка нема оска на симетрија од петти ред.

18. Колкав е бројот на атоми во единечна ќелија во случај на а) едноставни, б) центрирани на телото и в) кубни решетки со центарот на лицето?

19. Колкав е бројот на атоми во единечната ќелија на хексагонална блиску спакувана решетка?

20. Определете ги отсечките што се отсечени на оските на решетката со рамнината (125).

21. Најдете ги индексите на рамнините што минуваат низ нодалните точки на кристалната решетка со координати 9 10 30, ако параметрите на решетката a = 3, б=5 и c==6.

22. Дадени се лицата (320) и (11О). Најдете го симболот на рабовите на нивното вкрстување,

23. Дадени се два рабови и . Најдете го симболот на лицето во кое лежат истовремено.

24. Положбата на рамнините во хексагоналниот систем се одредува со помош на четири индекси. Најдете го индексот i во (100), (010), (110) и (211) рамнините на хексагоналниот систем.

25. Единечната клетка на магнезиум припаѓа на хексагоналниот систем и има параметри a=3,20 и c=5,20. Определете ги реципрочните решетки вектори.

26. Изрази ги аглите помеѓу реципрочните решетки вектори во однос на аглите на директната решетка.

27. Покажете дека инверзната кубна решетка во центарот на телото ќе биде кубна во центарот на лицето.

28. Најдете ги реципрочните решетки вектори за калцитниот кристал (CaCO 3), ако а=6,36 , =46°6".

29. Докажи дека растојанието помеѓу рамнините (hkl) на кристалната решетка е еднаква на реципрочната должина на векторот r*hkl од почетокот до точката hkl на реципрочната решетка.

30. Во триклиничката решетка на цијанит (Al 2 O 3, SiO 2) параметрите a, b, c и аглите , , единица ќелија се соодветно еднакви на 7,09; 7,72; 5.56 И; 90°55 ; 101°2; 105°44. Одреди го растојанието помеѓу рамнините (102).

31. Колкави се растојанијата помеѓу рамнините (100), (110) и (111) во кубна решетка со параметарот а

32. Определи го аголот помеѓу рамнините (201) и (310) во ромбичен сулфур со параметри на решетка a=10.437 ,б=12,845 И, СО. =24,369

33. Пресметај го аголот помеѓу (111) и (102) рамнините на тетрагонален галиум кристал со параметри на решетка a=4,50 ,ц= 7,64 8.

34. Најдете го аголот формиран од (100) и (010) лицата на кубниот кристал.

35. Докажи дека во кубен кристал која било насока е нормална на рамнината (hkl) со истите вредности на Милеровите индекси.

36. Одреди го аголот помеѓу цврстата дијагонала и работ на коцката.

37. Определи го аголот помеѓу две насоки и во кристал од триглицин сулфат ((NH 2 CH 2 COOH) 3 *H 2 SO 4) со параметри на единицата ќелија a = 9,42 ,б=12,64,ц=5,73 и агол на моноклиничност =PO°23 .

38. Пресметај го аголот помеѓу две прави и во ромбична решетка од бакар сулфат со параметри на решетка а =4,88 ,б=6,66 И. C = 8,32 .

СИМЕТРИЈА НА КРИСТАЛИ

Својството на кристалите да се усогласат со себе за време на ротации, рефлексии, паралелни преноси или дел или комбинација од овие операции. Симетријата значи можност за трансформирање на објект што го комбинира со себе. Симетрија лок. Обликот (сечењето) на кристалот се одредува според симетријата на неговата атомска структура, а рабовите ја одредуваат и симетријата на физичката структура. својствата на кристалот.

Ориз. 1. а - кварцен кристал: 3 - оска на симетрија од 3 ред, 2x, 2y, 2w - оски од 2 ред; б - кристал на воден натриум метасиликат: m - рамнина на симетрија.

На сл. 1, а прикажан е кварцен кристал. лок. неговата форма е таква што со ротирање за 120° околу оската 3 може да се порамни со себе (компатибилна еднаквост). Кристалот на натриум метасиликат (сл. 1, 6) се трансформира во себе со рефлексија во рамнината на симетрија m (раквост на огледалото).

Ако F(xlx2.x3) е функција која опишува објект, на пример. кристална форма во тродимензионален простор или к.-л. неговото својство, а операцијата g(x1, x2, x3) ги трансформира координатите на сите точки на објектот, тогаш g е операција или трансформација на симетријата, а F е симетричен објект ако се исполнети следните услови:

Во најопштата формулација - непроменливоста (непроменливоста) на предметите и законите при одредени трансформации на променливите што ги опишуваат. Кристалите се предмети во тродимензионален простор, па така класиката. теорија на S. k. - теорија на симетрични. трансформации на тродимензионалниот простор во себе, земајќи го предвид фактот дека внатрешниот. атомската структура на кристалите е тридимензионално периодична, односно е опишана како. При трансформациите на симетрија, таа не се деформира, туку се трансформира како крута целина. Таквите трансформации се нарекуваат ортогонални или изометриски. Потоа, делови од објектот лоцирани на едно место се совпаѓаат со делови лоцирани на друго место. Ова значи дека симетричниот објект има еднакви делови (компатибилни или огледални).

SK се манифестира не само во нивната структура и својства во реалниот тродимензионален простор, туку и во описот на енергијата. електронски спектар на кристалот (види ТЕОРИЈА НА БЕНД), кога се анализираат процесите на дифракција на Х-зраци. зраци и електрони во кристалите во реципрочен простор (види ОБРАТНА РЕШЕТКА) итн.

Група за симетрија на кристали. Кристал може да има повеќе од една карактеристика. операции на симетрија. Така, кварцниот кристал (слика 1, а) е усогласен со себе не само кога се ротира за 120 ° околу оската 3 (операција g1), туку и кога се ротира околу оската 3 за 240 ° (операција g2), како и кога ротира за 180 ° околу оските 2x, 2y, 2w (операции g3, g4, g5). Секој може да се поврзе со елемент на симетрија - права линија, рамнина или точка, во однос на која се изведува дадената операција. На пример, оската 3 или оските 2x, 2y, 2w се оски на симетрија, рамнината m (сл. 1.6) е рамнина на симетрија на огледалото итн. Множеството операции на симетрија (g1, g2, ..., gn) на даден кристал формира симетрична група G во смисла на математика. групна теорија. Доследно извршувањето на две операции на симетрија е исто така операција на симетрија. Секогаш постои идентитетска операција g0 која не менува ништо во кристалот, наречена идентификација, која геометриски одговара на неподвижноста на објектот или неговата ротација за 360° околу која било оска. Се нарекува бројот на операции кои формираат група G. групна нарачка.

Групите на симетрија се класифицираат: според бројот n на димензиите на просторот во кои се дефинирани; според бројот m на димензиите на просторот, во кој објектот е периодичен (соодветно се означуваат со Gnm) и според одредени други карактеристики. За да се опишат кристалите, се користи распаѓање. групи на симетрија, од кои најважни се . G33, опишувајќи ја атомската структура на кристалите и точки групи на симетрија и G30, опишувајќи ја нивната надворешна форма. Презимиња исто така и кристалографски класи.

Групи за симетрија на точки. Операциите на симетрија на точки се: ротации околу оската на симетрија од ред N низ агол еднаков на 360°/N (сл. 2, а), рефлексија во рамнината на симетрија ( ; сл. 2, б), инверзија Т (симетрија околу точка; Сл. 2, в), инверзивни вртења N= (комбинација на вртење низ агол од 360°/N со истовремена инверзија; Сл. 2, г).

Ориз. 2. Наједноставни операции на симетрија: а - ротација; б - одраз; в - инверзија; d - ротација на инверзија од 4-ти ред; d - спирална ротација од 4-ти ред; e - лизгачки одраз.

Наместо инверзивни вртења, понекогаш се разгледуваат N= огледални вртења. Геометриски можните комбинации на овие операции одредуваат една или друга група за симетрија на точки, која обично се прикажува во стереографска форма. проекции. За време на трансформациите на симетрија на точки, барем една точка од објектот останува неподвижна - се трансформира во себе. Во него се вкрстуваат сите симетрии, а тој е центар на стереографските. проекции. Примери на кристали кои припаѓаат на распаѓање. точки групи се дадени на сл. 3.

Ориз. 3. Примери на кристали кои припаѓаат на различни точки групи (кристалографски класи): o - до класа m (една рамнина на симетрија); б - до класа в (центар на симетрија); в - до класа 2 (една оска на симетрија од 2-ри ред); g - до класа 6 (една инверзивна-ротациона оска од 6-ти ред).

Трансформациите на симетрија на точки g(x1, x2, x3) = x"1, x"2, x"3 се опишани со линеарни равенки:

т.е., матрицата на коефициентот, (aij). На пример, кога се ротира околу оската x1 под агол a=360°/N коефициент. има форма:

и кога се рефлектира во x1, x2 рамнината изгледа вака:

Бројот на групи со точки Go е бесконечен. Меѓутоа, кај кристалите, поради присуството на кристаи. решетки, можни се само операции и, соодветно, оски на симетрија до 6-ти ред (освен 5-тиот; во кристална решетка не може да има оски на симетрија од 5-ти ред, бидејќи со користење на пентагони е невозможно да се пополнат без празнини), кои се означени со симболи: 1, 2, 3, 4, 6, како и оските на инверзија 1 (познато како центар на симетрија), 2 (ака рамнина на симетрија), 3, 4, 6. Затоа, бројот на точки кристалографски. симетрични групи кои го опишуваат надворешниот обликот на кристалите е ограничен, има само 32 од нив (види табела). Во меѓународните Ознаките на точките групи вклучуваат симболи на операциите на симетрија што ги генерираат. Овие групи се комбинираат според симетријата на обликот на единечната ќелија (со периоди o, b, c и агли a, b, g) во 7 системи.

Групите што содржат само ротации ги опишуваат оние што се состојат само од компатибилни еднакви делови (групи од првиот вид). Групите што содржат рефлексии или инверзивни ротации опишуваат кристали кои имаат делови слични на огледало (групи од втор вид). Кристалите опишани по групи од 1-виот вид можат да се кристализираат во две енантиоморфни форми („десно“ и „лево“, од кои секоја не содржи елементи на симетрија од вториот вид), туку огледало еднакво една на друга (види ЕНАНТИОМОРФИЗАМ).

Точките групи ја опишуваат симетријата не само на кристалите, туку и на сите конечни фигури. Во живата природа често се забележува симетрија со оски од 5-ти, 7-ми ред и повисоко, што е забрането во кристалографијата. На пример, да се опише правилната структура на сферична вируси, во чии лушпи се почитуваат принципите на густо пакување на молекули, се покажа дека е важен икозаедралот 532 (види БИОЛОШКИ КРИСТАЛИ).

Ограничете ги групите. Функции кои ја опишуваат зависноста на различни. својствата на кристалот во зависност од насоката, имаат одредена точка симетрија, уникатно поврзана со групата на симетрија на сечењето на кристалите. Тој или се совпаѓа со него или е повисок од него по симетрија (Нојмановиот принцип).

Многу од својствата на кристалите кои припаѓаат на одредени групи на симетрија на точки се опишани со таканаречената КРИСТАЛНА ФИЗИКА).

Просторната симетрија на атомската структура на кристалите е опишана со празни места. групи на симетрија G33 (исто така наречени Федоровови групи во чест на Е. С. Федоров кој ги открил во 1890 година). Операциите карактеристични за решетка се три некомпланарни a, b, c, наречени. преводи, кои ја одредуваат тродимензионалната периодичност на атомската структура на кристалите. Поместувањето (преносот) на структурата во векторите a, b, c или кој било вектор t=р1a+p2b+p3c, каде што p1, p2, p3 се позитивни или негативни цели броеви, ја комбинира структурата на кристалот со себе и затоа, е операција на симетрија (симетрија на превод).

Поради можноста за комбинирање на преводи и операции на симетрија на точки во решетка во групите G33, се јавуваат операции и соодветните елементи на преводна симетрија. компонента - оските за завртки диспар. редови и рамнина на одраз на пасење (сл. 2, д, ѓ). Познати се вкупно 230 простори. групи на симетрија G33, кој било кристал припаѓа на една од овие групи. Емитување елементите на микросиметријата не се макроскопски манифестирани, на пример. Спиралната оска при сечењето на кристалите се појавува како соодветна едноставна ротациона оска. Затоа, секоја од 230 групи G33 е макроскопски слична (хомоморфна) со една од групите со 32 точки. На пример, 28 празни места се пресликуваат хомоморфно на групата точки mmm. групи. Множеството преводи својствени за дадена вселенска група е нејзината преводна подгрупа, или Bravais решетка; Има 14 такви решетки.

Симетрија на слоеви и синџири. За да се опишат предметите периодични во 1 или 2 насоки, особено фрагменти од кристалната структура, може да се користат групите G32 - дводимензионално периодични и G31 - еднодимензионално периодични во тридимензионален простор. Овие групи играат важна улога во проучувањето на биол. структури и молекули. На пример, групите G| опишете ја структурата на биол. мембрани, групи на молекули со синџир G31 (сл. 5, а) вируси во форма на прачка, тубуларни кристали на глобуларни протеини (сл. 5, б), во кои тие се распоредени според спиралната (спирална) симетрија можна во групите G31 (види БИОЛОШКИ КРИСТАЛИ ).

Ориз. 5. Објекти со спирална симетрија: а - ДНК; б - тубуларен кристал на протеин фосфорилаза (електронска микроскопска слика, зголемување 220000).

Генерализирана симетрија. Дефиницијата за симетрија се заснова на концептот на еднаквост (1, б) под трансформација (1, а). Сепак, физички (и математички) објектот може да биде еднаков на себе во некои аспекти, а не еднаков во други. На пример, јадрата и електроните во антиферомагнетниот кристал може да се опишат со користење на обични простори. симетрија, но ако се земе предвид магнетната моменти (сл. 6), потоа обични“, класични. симетријата повеќе не е доволна. Ваквите генерализации на симетријата вклучуваат антисиметрија и . Во антисиметрија покрај три празни места. на променливите x1, x2, x3 се воведува дополнителна 4-та променлива x4=±1. Ова може да се толкува на таков начин што за време на трансформацијата (1, а) функцијата F не само што може да биде еднаква на себе, како во (1, б), туку и „антиеднакво“ - знак за промена. Конвенционално, таквата операција може да се прикаже со промена на бојата (сл. 7).

Ориз. 6. Распределба на магнетни моменти (стрелки) во единечната ќелија на феримагнетниот кристал, опишана со употреба на генерализирана симетрија.

Има 58 C30 точки антисиметрични групи и 1651 празни места. антисиметрија G33,a (група Шубниковски). Ако дополнителната променлива стекнува не две вредности, туку неколку. (можните броеви се 3, 4, 6, 8, ..., 48), тогаш се појавува симетријата на боите на Белов. Така, познати се 81 група точки G30,ts и 2942 групи C33,ts. Главните примени на генерализираната симетрија во кристалографијата се описот на магнетите. структури.

Ориз. 7. Фигура опишана со точкаста антисиметрична група.

Др. генерализации на симетријата: симетрија на сличност, кога еднаквоста на делови од фигурата се заменува со нивната сличност (сл. 8), криволинеарна симетрија, статистичка. симетрија воведена при опишување на структурата на растроените кристали, цврсти раствори, течни кристали итн.

Физички енциклопедиски речник. - М.: Советска енциклопедија. Главен уредник А.М.Прохоров. 1983 .

СИМЕТРИЈА НА КРИСТАЛИ

Својството на кристалите да се комбинираат со себе за време на ротации, рефлексии, паралелни преноси или за време на дел или комбинација од овие операции. Симетрија лок. Обликот (сечењето) на кристалот се одредува според симетријата на неговата атомска структура, што ја одредува и симетријата на физичката структура. својствата на кристалот.

На сл. 1 Априкажан е кварцен кристал. лок. неговата форма е таква што б) се трансформира во себе со рефлексија во рамнината на симетрија m (огледална еднаквост). Ако - функција која опишува објект, на пр. кристална форма во тродимензионален простор или к.-л. неговото својство, а операцијата ги трансформира координатите на сите точки на објектот, тогаш ее операција или трансформација на симетријата, а F е симетричен објект,

Во макс. Во општата формулација, симетријата е непроменливост (непроменливост) на предметите и законите при одредени трансформации на променливите што ги опишуваат. SK се манифестира не само во нивната структура и својства во реалниот тродимензионален простор, туку и во описот на енергијата. електронски спектар на кристалот (види Теорија на зона),кога се анализираат процесите Дифракција на Х-зраци, неутронска дифракцијаИ електронска дифракцијаво кристали кои користат реципрочен простор (види Обратна решетка) тоа. П.

Симетрични групи на кристали. Кристалот може да има повеќе од една карактеристика, анескен. операции на симетрија. Така, кварцен кристал (сл. 1, А)се комбинира со себе не само кога се ротира 120° околу својата оска 3 (операција ги), noi при вртење околу оска 3 на 240° (работа g 2), иисто така и при вртење за 180° околу оските 2 X, 2 години, 2 W(операции g 3, g 4, g 5Секоја операција на симетрија може да се поврзе со елемент на симетрија - права линија, 3 или оска 2 x, 2 y, 2 wсе оски на симетрија, рамнина Т(сл. 1,б) - рамнина на симетрија на огледалото итн. Збир на операции на симетрија (g 1 , g 2 ,..., g n )од даден кристал формира група за симетрија во смисла на математика. теории групи.Доследно извршувањето на две операции на симетрија е исто така операција на симетрија. Во групната теорија ова се нарекува производ на операции: Секогаш постои операција за идентитет g 0,не менува ништо во кристалот, наречен. идентификација, геометриски одговара на неподвижноста на објектот или неговата ротација за 360° околу која било оска. Се нарекува бројот на операции кои формираат група G. групна нарачка.

Симетричните групи на просторни трансформации се класифицираат: по број . димензии на просторот во кој се дефинирани; по број . димензии на просторот, во кој објектот е периодичен (тие се соодветно назначени) и според одредени други карактеристики. За да се опишат кристалите, се користат различни групи на симетрија, од кои најважни се оние кои го опишуваат надворешниот изглед. кристална форма; нивните имиња исто така кристалографски. класи, групи за просторна симетрија кои ја опишуваат атомската структура на кристалите.

Групи за симетрија на точки.Операции за симетрија на точки се: ротации околу оската на редослед на симетрија Нпод агол еднаков на 360°/N(Сл. 2, а); одраз во рамнината на симетрија Т(одраз на огледалото, б); инверзија (симетрија околу точка, Сл. 2, в); инверзивни вртења (комбинација на вртење под агол 360°/N sво исто време инверзија, Сл. 2, г). Наместо инверзивни ротации, понекогаш се разгледуваат еквивалентни ротации на огледалото.Геометриски можните комбинации на операции со симетрија на точки одредуваат една или друга група за симетрија на точки, која обично се прикажува во стереографска форма.

Ориз. 2. Примери за операции на симетрија: а - ротација; б - одраз; в- инверзија; d - ротација на инверзија од 4-ти ред; г - ротација на завртката од 4-ти ред; e - лизгачки одраз.

Ориз. 3. Примери на кристали кои припаѓаат на различни точки групи (кристалографски класи): а - до класа m (една рамнина на симетрија); b - до класа (центар на симетрија или центар на инверзија); а - до класа 2 (една оска на симетрија од 2-ри ред); g - до класа (една инверзивна-ротациона оска од 6-ти ред).

Трансформации на симетрија на точки опишан со линеарни равенки

или матрица на коефициенти

На пример, кога се врти околу оска x 1под агол -=360°/N матрица Дима форма:

и кога се рефлектира во рамнина x 1 x 2 Dима форма:

Бројот на точки групи е бесконечен. Меѓутоа, кај кристалите, поради присуството на кристални честички. решетки, можни се само операции и, соодветно, оски на симетрија до 6-ти ред (освен 5-тиот; во кристална решетка не може да има оска на симетрија од 5-ти ред, бидејќи со помош на пентагонални фигури е невозможно да се пополни простор без празнини Операциите на симетрија на точки и соодветните елементи на симетријата се означени со симболи: оски 1, 2, 3, 4, 6, оски на инверзија (центар на симетрија или центар на инверзија), (познати и како рамнина на симетрија m) , (сл. 4).

Ориз. 4. Графички ознаки на елементи на симетрија на точки: а - круг - центар на симетрија, оски на симетрија нормално на рамнината на цртање б - оска 2, паралелна со рамнината на цртање; в - оски на симетрија, паралелни или коси на рамнината на цртање; g - рамнина на симетрија, нормална на рамнината на цртежот; г - рамнини на симетрија паралелни на рамнината на цртежот.

За да се опише група за симетрија на точки, доволно е да наведете една или повеќе. b, c и агли) во 7 системи (Табела 1).

Групи кои содржат освен Гл. секири Нрамнини на симетрија Т,се означени како N/mако или Nm,ако оската лежи во рамнината Т.Доколку групата покрај има неколку оски. низ него минуваат рамнини на симетрија, тогаш се означува Nmm.

Табела 1.- Точки групи (класи) на кристална симетрија

Групи на SK носат геом. што значи: секоја од операциите одговара, на пример, на ротација околу оската на симетрија, рефлексија во рамнина. во дадена група (но не и нивното геом. значење) испаѓаат исти или изоморфни едни на други. Тоа се, на пример, групите 4 и tt2, 222. Вкупно има 18 апстрактни групи изоморфни на една или неколку од 32-те точки групи на S. k.

Точките групи ја опишуваат симетријата не само на кристалите, туку и на сите конечни фигури. Во живата природа, често се забележува симетрија на точки со оски од 5-ти, 7-ми ред и повисоко, што е забрането во кристалографијата. Да се опише правилната структура на сферична вируси, во чии лушпи се почитуваат принципите на густо пакување на молекулите, а некои неоргански. молекулите се покажаа како важни икозаедарски. (цм. Биолошки кристал).Икозаеднички. симетрија е забележана и кај квазикристали.

Ограничете ги групите. Функциите кои ја опишуваат зависноста на различните својства на кристалот од насоката имаат одредена симетрија на точки, уникатно поврзана со групата на симетрија на кристалниот аспект. Или се совпаѓа со него или е повисоко од него по симетрија ( Нојманов принцип).

Ориз. 5. Стереографски проекции на 32 кристалографски и 2 икосаедрални групи. Групите се распоредени во колони според семејства, чии симболи се дадени во горниот ред. Долниот ред ја прикажува граничната група на секое семејство и покажува бројки што ја илустрираат граничната група.

Групи за симетрија на просторот.Просторната симетрија на атомската структура на кристалите е опишана со групи на просторна симетрија. Тие се нарекуваат Федоров, исто така, во чест на Е. полиедра (S.I. Gessel, 1830, A. Операциите карактеристични за атомската структура на кристалите се некомпланарни преводи a, b , Со , кои ја одредуваат тродимензионалната периодичност на кристалното. решетки. Кристално. се смета дека решетката е бесконечна во сите три димензии. Таква математика. реално, a, b, c или кој било вектор каде стр 1, стр 2, стр 3 -кои било цели броеви, Phys. дискретност на кристално супстанцијата се изразува во нејзината атомска структура. се групи на трансформација во себе на тридимензионален хомоген дискретен простор. Дискретноста лежи во фактот што не сите точки на таков простор се симетрично еднакви една со друга, на пример. еден и друг атом, јадра и електрони. Условите на хомогеност и дискретност се одредени со фактот што вселенските групи се тридимензионално периодични, т.е. секоја група содржи подгрупа преводи Т- кристален решетки.

Поради можноста за комбинирање на преводи и операции на симетрија на точки во решетка во групи, покрај операциите на симетрија на точки, се јавуваат операции и соодветните елементи на симетрија со транслација. компонента - спирални оски од различни редови и рамнини на лизгачки одраз (сл. 2, г, ѓ).

Во согласност со точкастата симетрија на обликот на единечната клетка (елементарен паралелепипед), просторните групи, како точките групи, се поделени на 7 кристалографски сингонија(Табела 2). Нивната понатамошна поделба одговара на емитувањето. групи и нивните соодветни Право до решетките.Има 14 Bravais решетки, од кои 7 се примитивни решетки од соодветните системи, P (освен ромбоедарот Р).Други - 7 центрирани. A (лицето е центрирано п.н.е.), Б(раб ac), C (ab);тело-центрирано I, фокусирано на лице (на сите 3 лица) Ф.Земајќи го предвид центрирањето за операцијата на превод тсе додаваат центрирање трансфери кои одговараат на центарот tc.Ако ги комбинирате овие операции една со друга т+ т са со операциите на точки групи од соодветниот систем, тогаш се добиваат 73просторни групи наречени. симморфни.

Табела 2.-Групи за симетрија на просторот

Врз основа на одредени правила, нетривијалните подгрупи може да се извлечат од симморфните вселенски групи, што дава уште 157 несимморфни вселенски групи. Има вкупно 230 просторни групи.Операции на симетрија при трансформација на точка Xво симетрично еднаков на него (а со тоа и целиот простор во себе) се пишуваат во форма:, каде Д-точкести трансформации, - компоненти на спирален пренос или рефлексија на лизгање, - операции на преведување. Групата Браве. Операции на спирална симетрија и соодветните елементи на симетрија - спиралните оски имаат агол. компонента (N = 2, 3, 4, 6) и преведувачки t s = tq/N,Каде т-мрежно емитување, свртете се на се случува истовремено со транслацијата по должината на оската Zh, q-индекс на спирална ротација. Општ симбол за спирални оски Nq(сл. 6). Оските на завртките се насочени долж гл. оски или дијагонали на единицата ќелија. Оските 3 1 и 3 2, 4 1 и 4 3, 6 1 и 6 5, 6 2 и 6 4 одговараат во парови на десно и лево спирално вртење. Покрај работата на симетријата на огледалата во вселенските групи, можни се и лизгачки рефлексивни рамнини, б, в:рефлексијата се комбинира со преводот за половина од соодветниот период на решетка. Поместувањето на половина од дијагоналата на лицето на ќелијата одговара на n. клиноплан лизга n, покрај тоа, во тетрагонални и кубни. г.

Ориз. 6. а - Графички ознаки на оските на завртките нормално на рамнината на сликата; б - оската на завртката што лежи во рамнината на сликата; c - рамнини на рефлексија на лизгање, нормални на рамнината на сл., каде што a, b, c се периодите на единицата ќелија по чии оски се појавува лизгање (преводна компонента a/2), n - дијагонална рамнина на рефлексија на пасење [преводна компонента (a + b)/2], d - рамнина на лизгање со дијаманти; г - истото во рамнината на цртежот.

Во табелата 2 ги дава меѓународните симболи на сите 230 вселенски групи во согласност со нивната припадност на еден од 7-те системи и класата на симетрија на точки.

Емитување компонентите на операциите на микросиметрија на вселенските групи не се појавуваат макроскопски во точки групи; на пример, спиралната оска при сечењето на кристалите се појавува како соодветно едноставна ротациона оска. Затоа, секоја од 230-те групи е макроскопски слична (хомоморфна) со една од групите со 32 точки. На пример, до група на точки - ттт 28 вселенски групи се мапирани хомоморфно.

Ознаката Schönflies на вселенските групи е ознака на соодветната група на точки (на пример, Табела 1), на која историски прифатената , е доделена погоре. Во меѓународната нотација, симболот на решетката Bravais и операциите на генерирање на симетрија на секоја група се означени, итн. Редоследот на распоредот на групите на простор во Табела 2 во меѓународна нотација одговара на бројот (надредениот знак) во ознаката Schönflies.

Ориз. 7. Слика на групата -Ppta во меѓународните табели.

Ако во единечната ќелија поставите k.-n. точка x (x 1 x 2 x 3),тогаш операциите на симетрија го трансформираат во симетрично еднакви точки низ кристалното. простор; има бесконечен број такви точки. Но, доволно е да се опише нивната позиција во една елементарна ќелија, и овој сет веќе ќе се множи со решетки преводи. Збир на точки добиени од дадена операција g iгрупи G - x 1, x 2,..., x n-1, повикан правилен систем на точки (PST).На Сл. 7 на десната страна е локацијата на елементите на симетријата на групата, лево е сликата на PST на општата позиција на оваа група. Точките на општа положба се оние точки кои не се наоѓаат на елементот за симетрија на точки на просторната група. Бројот (повеќето) на таквите точки е еднаков на редоследот на групата. y= 1/4 и 3/4. Ако точка падне на рамнина, тогаш таа не се удвојува со оваа рамнина, како во случајот со точките во општата положба.За секоја просторна група има свои множества на PST. Постои само еден правилен систем на поени во општата позиција за секоја група. Но, некои од посебните одредби на PST може да се покажат исти за различни групи. Меѓународните табели укажуваат на мноштвото на PST, нивната симетрија и координати и сите други карактеристики на секоја вселенска група. Важноста на концептот на PST лежи во фактот дека во секој кристален. структура која припаѓа на дадена просторна група,

Подгрупи на групи на кристална симетрија.Доколку дел од операцијата самата формира група G r (g 1,...,g m),потоа презимето подгрупа на првата. На пример, подгрупите на групата точки32 (сл. 1, а) се групата 3 и група 2. Исто така меѓу просторите. групи постои хиерархија на подгрупи. Просторните групи можат да имаат како подгрупи точки групи (има 217 такви просторни групи) и подгрупи, кои се просторни групи од понизок ред. Според тоа, постои хиерархија на подгрупи.

Повеќето групи на кристали со вселенска симетрија се различни едни од други и како апстрактни групи; бројот на апстрактни групи изоморфни на 230 вселенски групи е 219. 11 огледало еднакви (енантиоморфни) просторни групи се апстрактно еднакви - едната има само деснак, другата лева спирална оски. Тоа се, на пример, П 3 1 21 и П 3 2 21. И двете од овие вселенски групи се мапираат хомоморфно на точкаста група32, на која припаѓа кварцот, но кварцот е соодветно десен или леворак: симетријата на просторната структура во овој случај е изразена макроскопски, Улогата на вселенската симетрија групи на кристали.Групите на кристали за симетрија на просторот се основата на теоретската теорија. кристалографија,дифракција и други методи за определување на атомската структура на кристалите и опишување на кристално. Дифракционата шема добиена со дифракција на Х-зраци е неутронографијаили електронографија,ви овозможува да поставите симетрични и геометриски. реципрочна решетка на кристалот, а со тоа и самата кристална структура. Така се одредуваат точкастата група на кристалот и единечната ќелија; Врз основа на карактеристичните изумирања (отсуство на одредени рефлексии на дифракција), се одредуваат типот на решетката Bravais и членството во одредена просторна група. Поставувањето на атомите во единечна ќелија се определува со тоталитетот на интензитетите на рефлексиите на дифракција.

Вселенските групи играат важна улога во кристална хемија.Идентификувани се повеќе од 100 илјади кристални честички. структури неоргански, органски и биолошки врски. Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. Теоријата што ја објаснува распространетоста на технологијата и другите вселенски групи ги зема предвид големините на составните атоми, концептот на блиско пакување на атоми или молекули, улогата на „пакувачки“ елементи на симетрија - лизгачки рамнини и оски за завртки.

Во физиката на цврста состојба се користи теоријата на групни претстави со помош на матрици и специјални функции. функции, за вселенските групи овие функции се периодични. структурни фазни транзиции од втор вид, групата на просторна симетрија на помалку симетричната (нискотемпературна) фаза е подгрупа на вселенската група од посиметричната фаза, а фазната транзиција е поврзана со една од нередуцираните претстави на просторот група на високо симетрична фаза. Теоријата на претставување исто така ви овозможува да ги решите проблемите на динамиката кристална решетка,неговите електронски и магнетни структури, голем број на физички својства. Во теоретски Симетрија на проекции, слоеви и синџири.Кристални проекции Структурната рамнина е опишана со рамни групи, нивниот број е 17. За да се опишат тродимензионални објекти периодични во 1 или 2 насоки, особено фрагменти од структурата на кристалите, може да се користат дводимензионално периодични и еднодимензионално периодични групи. Овие групи играат важна улога во проучувањето на биологијата. опишете ја структурата на биолошките мембрани, групи на синџир молекули (сл. 8, А),вируси во облик на прачка, тубуларни кристали, глобуларни протеини (сл. 8, б),во кој тие се распоредени според спирална (спирална) симетрија, што е можно во групи (види. Биолошки кристал).

Структура на квазикристали.Квазикристал(на пример, A1 86 Mn 14) имаат икосаедра. симетрија на точки (сл. 5), што е невозможно кај кристалите. Генерализирана симетрија.Дефиницијата за симетрија се заснова на концептот на еднаквост (1,б) при трансформација (1,а). Сепак, физички (и математички) објектот може да биде еднаков на себе во некои аспекти, а не еднаков во други. На пример, дистрибуција на јадра и електрони во кристал антиферомагнетможе да се опише со користење на обична просторна симетрија, но ако се земе предвид распределбата на магнетните полиња во неа. моменти (сл. 9), потоа „обични“, класични. симетријата повеќе не е доволна.

Ориз. 9. Распределба на магнетни моменти (стрелки) во елементарната ќелија на феримагнетниот кристал, опишана со употреба на генерализирана симетрија.

Ако дополнителна променлива стекнува не две вредности, туку повеќе (можно 3,4,6,8, ..., 48), тогаш т.н Белов симетрија на бои.

Така, познати се 81 бодовна група и 2942 групи. Основни примени на генерализирана симетрија во кристалографија - опис на магнет. Пронајдени се и други антисиметрични групи (повеќе, итн.). Сите точки и просторни групи на четиридимензионалниот простор со највисоки димензии се теоретски изведени. Врз основа на разгледувањето на симетријата на (3 + К)-димензионален простор, исто така е можно да се опишат модуларности кои се несоодветни во три насоки. Несоодветна структура).

Др. генерализација на симетријата - симетрија на сличност, кога еднаквоста на делови од фигурата се заменува со нивната сличност (сл. 10), криволинеарна симетрија, статистичка. цврсти раствори, течни кристали итн.

Ориз. 10. Фигура со симетрија на сличност.Голем енциклопедиски речник

Регуларноста на атомската структура, надворешниот облик и физичките својства на кристалите, што се состои во тоа што кристалот може да се комбинира со себе преку ротации, рефлексии, паралелни преноси (преводи) и други трансформации на симетрија... енциклопедиски речник

Својството на кристалите да се усогласат со себе во различни позиции со ротација, рефлексија, паралелни преноси или дел или комбинација од овие операции. Симетријата на надворешниот облик (сече) на кристал се определува со симетријата на неговиот атомски... ...

Регуларност на атомската структура, лок. форми и физички својства на кристалите, што се состои во тоа што еден кристал може да се комбинира со себе преку ротации, рефлексии, паралелни преноси (преводи) и други трансформации на симетрија, како и... ... Природна наука. енциклопедиски речник

Кристална симетрија- својството на кристалите да се комбинираат со себе со ротација, рефлексија, паралелно пренесување или комбинација од овие операции. Симетријата на надворешниот облик (сече) се определува со симетријата на неговата атомска структура, што ја одредува и ... Енциклопедиски речник на металургијата

Симетрија (од грчкиот симетрија - пропорционалност) во математиката, 1) симетрија (во потесна смисла) или рефлексија (огледало) во однос на рамнината a во просторот (во однос на права линија a на рамнина), - трансформација на простор (авион), со ... ... Голема советска енциклопедија

Карактеристиката на молекулата, одредена со множеството можни операции на симетрија на точки за нејзината рамнотежна конфигурација. Четири операции на симетрија на точки (ротација околу оска под одреден агол помал или еднаков на 360°; рефлексија од рамнина; инверзија... ... Физичка енциклопедија

I Симетрија (од грчката пропорционалност на симетрија) во математиката, 1) симетрија (во потесна смисла) или рефлексија (огледало) во однос на рамнината α во просторот (во однос на правата a на рамнината), трансформација на просторот .. ... Голема советска енциклопедија

- (од грчката пропорционалност), концепт што го карактеризира преминувањето на предметите во себе или едни во други кога се определува над нив. трансформации (S. трансформации); во широка смисла, својството на непроменливост (непроменливост) на некои... ... Филозофска енциклопедија

- (од грчката симетрија пропорционалност) закони на физиката. Доколку законите со кои се воспоставува односот помеѓу количините што го карактеризираат физичкиот систем, или одредување на промената на овие количини со текот на времето, не се менуваат при одредени операции... ... Физичка енциклопедија, Е.С. Федоров. Публикацијата ги вклучува класичните дела на Евграф Степанович Федоров за кристалографија. Најголемото достигнување на E. S. Fedorov беше ригорозното изведување на сите можни вселенски групи (1891). Тоа ...

Појавата на кристали добиени со различни методи, на пример, одгледувани од топење или раствор, може значително да се разликува едни од други. Во исто време, едно од првите откритија во кристалографијата беше утврдувањето на фактот дека аглите помеѓу лицата на кристал од иста супстанција се непроменети. Таквата постојаност на аглите, како што е сега познато, се должи на редовното распоредување на атоми или групи атоми внатре во кристалот, односно присуство на одредена симетрија во распоредот на атомите во кристална цврста материја.

Преводна симетрија. Концептот на преводна симетрија на кристал значи дека во кристал може да се избере најмал дел, наречен единечна ќелија, чиешто просторно повторување е емитува -Во три насоки (по должината на рабовите на ќелијата) се формира целиот кристал. Концептите на преводна симетрија и елементарна клетка на кристал беа научна генерализација на експерименталниот факт дека во кристали од иста супстанција може ментално да се изолира основен геометриски елемент од кој може да се конструира целиот кристал. Длабокото научно значење на овие концепти беше откриено подоцна, со развојот на методи за рендгенска структурна анализа на цврсти материи.

Единечна клетка може да содржи една или повеќе молекули, атоми или јони, чиј просторен распоред во клетката е фиксиран. Единечната ќелија е електрично неутрална. Ако единечната клетка која се повторува во кристал е претставена со точка, тогаш како резултат на преводното повторување на оваа точка во три насоки (не нужно нормално), ќе се добие тродимензионално множество точки, наречено кристалната решетка на супстанцијата. Во овој случај, самите точки се нарекуваат јазли на кристалната решетка. Кристалната решетка може да се карактеризира со вектори на основните преводи А (И а 2,како што е прикажано за дводимензионалниот случај на сл. 1.14.

Како што може да се види на сл. 1.14, изборот на вектори на главните преводи не е недвосмислен. Главната работа е дека позицијата на сите еквивалентни точки на кристалната решетка може да се опише со линеарна комбинација на вектори на основни преводи. Во овој случај, се формира множеството од сите вектори на решетка Bravais решеткакристал. Краевите на векторите на решетката ја одредуваат положбата на точките на јазлите во решетката.

Ориз. 1.14. Опции за можен избор на вектори на превод a 1 и a 2 и примитивна решетка (опции 1,2,3,4)

Паралелепипедот изграден на векторите на основните преводи се нарекува примитивна кристална клетка, чиј избор во кристалот е исто така двосмислен. Единица ќелија 4 во Сл. 1.14, конструиран низ средните точки на векторите на транслација, се нарекува Винерска ќелија - Сеиц.

Кристалографски индекси. Ако во единечната ќелија J? на дводимензионална кристална решетка прикажана на сл. 1.14, нацртајте праволиниски отсечки паралелни со векторот а 2и поминувајќи низ јазлите a и |3, тогаш тие ќе го поделат векторот i на три еднакви делови. При емитување на ќелија 3 покрај вектори на транслација А (И а 2кристалната решетка ќе биде исполнета со прави линии, а сите јазли на кристалната решетка ќе бидат на овие линии. Слична операција може да се изврши во тридимензионална кристална решетка со поминување на систем од рамнини низ неа, и во овој случај, сите јазли на тридимензионалната кристална решетка ќе се појават на овие рамнини. Овие рамнини се нарекуваат кристалографски решетки рамнини. Очигледно е дека многу различни фамилии на кристалографски рамнини можат да се извлечат низ кристалната решетка. Исто така, очигледно е дека колку е помало растојанието помеѓу рамнините во едно семејство, толку е помала густината на јазлите на кристалната решетка што паѓаат на секоја рамнина (на дадена фамилија рамнини).

Се карактеризираат кристалографски рамнини Милерови индекси,означено со три броја затворени во загради ( hkl). Овие бројки се еднакви на бројот на отсечки на кои се дели семејството на кристалографски рамнини со векторите на главните преводи. Ако рамнините се паралелни со кој било вектор на превод, тогаш вредноста на соодветниот Милер индекс е еднаква на нула. Ако рамнините ја сечат негативната насока на кој било вектор на превод, тогаш на соодветниот индекс му се доделува негативна вредност со ставање на цртичка над овој индекс. Она што е кажано за дводимензионална кристална решетка, со дадените семејства на авиони (10), (01) И (12), како и авион од семејството (12), добро илустрирано на сл. 1.15.

Ориз. 1.15. Кристалографски рамнини }