Статистичка физика и термодинамика. Динамички и статистички закони

Предавање 2.

Термодинамика, статистичка физика, информациска ентропија

1. Информации од термодинамиката и статистичката физика. Дистрибутивна функција. Лиувиловата теорема. Микроканонска дистрибуција. Првиот закон на термодинамиката. Адијабатски процеси. Ентропија. Статистичка тежина. Формулата на Болцман. Втор закон на термодинамиката. Реверзибилни и неповратни процеси.

2. Шенонова информативна ентропија. Бицки, јаткасти плодови, трити, итн. Врска помеѓу ентропијата и информацијата.

Овој дел припаѓа на предавањето 1. Подобро е да се разгледа во делот V („Концептот на заплеткување на квантните состојби“).

LE CNOT е прикажан како:

Вредноста на (qu)bit ја складираме додека (qu)bit b се менува според законот XOR:

малку б(цел = цел) ја менува својата состојба ако и само ако состојбата на контролниот бит анатпревари 1; Во исто време, состојбата на контролниот бит не се менува.

Логичката операција XOR (CNOT) илустрира зошто класичните податоци можат да се клонираат, но квантните податоци не. Забележете дека во општиот случај, со квантни податоци ќе ги разбереме суперпозициите на формата

, (1)

каде и се сложени броеви или амплитуди на состојби, и, .

Според табелата за вистинитост, ако XOR се примени на Булови податоци во кои вториот бит е во состојба „0“ (б), а првиот е во состојба „Х“ (а), тогаш првиот бит не се менува, а вториот станува негова копија:

U XOR (X, 0) = (X, X), каде што X = „0“ или „1“.

Во квантниот случај, податоците означени со симболот „X“ треба да се сметаат за суперпозиција (1):

.

Физички, податоците може да се кодираат, на пример, во основата на поларизација |V> = 1, |H> = 0 (H,V)= (0,1):

И

Може да се види дека државното копирање всушност се случува. Теоремата за без клонирање вели дека е невозможно да се копира произволна квантна состојба. Во разгледуваниот пример, копирањето се случи затоа што операцијата беше извршена на сопствена основа (|0>, |1>), т.е. В приватенслучај на квантна состојба.

Се чини дека операцијата XOR може да се користи и за копирање на суперпозиции на две Булови состојби, како што е |45 0 > ? |V> + |H>:

Но, тоа не е вистина! Унитарноста на квантната еволуција бара суперпозицијата на влезните состојби да се трансформира во соодветна суперпозиција на излезните состојби:

(2)

Ова е т.н заплеткана состојба (Ф+), во која секој од двата излезни кубита нема одредена вредност (во овој случај, поларизација). Овој пример покажува дека логичките операции извршени на квантни објекти следат различни правила отколку во класичните пресметковни процеси.

Се поставува следното прашање: Се чини дека е во излезен режим Аповторно може да се претстави како суперпозиција , како состојбата на модата б. Како да се покаже дека тоа не е така, т.е. дека воопшто нема смисла да се зборува за режимски (битни) состојби? аи мода (бит) б?

Да ја користиме аналогијата на поларизација кога

(3).

Постојат два начина. Патеката 1 е подолга, но поконзистентна. Неопходно е да се пресметаат просечните вредности на параметрите на Стоукс за двата излезни режими. Просеците се земени од брановата функција (2). Ако сите освен испаднат дека се нула, тогаш оваа состојба е неполаризирана, т.е. измешана и суперпозиција (3) нема смисла. Работиме во претставата Хајзенберг, кога операторите се трансформираат, но брановата функција не е.

Значи, го наоѓаме во мода а.

- вкупен интензитет на зракот a,

- пропорција на вертикална поларизација,

- споделување +45 0-ти поларизација,

- учество на десната кружна поларизација.

Функцијата на брановите над која се врши просекот е земена во форма (2):

каде се операторите на раѓање и уништување во модови аИ бработи според правилата:

(Направете ги пресметките во дел V (види тетратка). Таму, исто така, пресметајте ја веројатноста за регистрирање совпаѓања или корелатор на формата }

Патеката II е повизуелна, но помалку „искрена“!

Ајде да ја најдеме зависноста на интензитетот на светлината во режимот ана аголот на ротација на Polaroid поставен во овој режим. Ова е стандарден квантен оптички начин за проверка на состојбата (2) - интензитетот не треба да зависи од ротацијата. Во исто време, слична зависност од бројот на натпревари има формата

. Ваквите зависности први ги добија Е. Фрај (1976) и А. Аспек (1985) и често се толкуваат како доказ за нелокалноста на квантната механика.

Значи, експерименталната ситуација е прикажана на сликата:

А-приоритет

каде е операторот за уништување во режим a. Познато е дека трансформацијата на операторите на два ортогонално поларизирани режими x и y кога светлината минува низ полароид ориентиран под агол има форма:

.

(само првиот, четвртиот, петтиот и осмиот член се разликуваат од нула) =

(само првиот и осмиот член се разликуваат од нула) = - не зависи од аголот?!

Физички, ова се случува затоа што брановата функција (2) не е факторизирана и нема смисла да се зборува за состојби во режими АИ бодделно. Така, не може да се тврди дека режимот a е во состојба на суперпозиција (3)!

Коментар. Направените пресметки (начин II) воопшто не докажуваат дека државата е во мода Анеполаризиран. На пример, ако има кружно поларизирана светлина во овој режим, резултатот би бил ист. Ригорозен доказ - на пример, преку параметрите на Стоукс (во делот V).

Забележете дека постапувајќи на ист начин, можеме да докажеме дека состојбата во режимот a пред елементот CNOT е поларизирана.

Овде, просекот мора да се изврши преку брановата функција на почетната состојба (3). Резултатот изгледа вака:

тие. максималните брои се постигнуваат на = 45 0 .

Информации и ентропија.

Без воведување на „оперативниот“ термин „информации“ засега, ќе расправаме користејќи „секојдневен“ јазик. Оние. информацијата е одредено знаење за некој објект.

Следниот пример покажува дека концептите информации и ентропија се тесно поврзани. Да разгледаме идеален гас во термодинамичка рамнотежа. Гасот се состои од огромен број на молекули кои се движат во волумен V. Параметрите на состојбата се притисок и температура. Бројот на состојби на таков систем е огромен. Ентропијата на гасот при рамнотежа на ТД е максимална и, како што следува од формулата на Болцман, се определува со бројот на микросостојби на системот. Во исто време, не знаеме ништо за тоа каква специфична состојба има системот во даден момент во времето - информациите се минимални. Да речеме дека некако успеавме, користејќи многу брз уред, да ја „ѕирнеме состојбата на системот во даден момент во времето. Така добивме некои информации за неа. Можете дури и да замислите дека ги фотографиравме не само координатите на молекулите, туку и нивните брзини (на пример, правејќи неколку фотографии една по друга). Покрај тоа, во секој момент од времето кога ни се достапни информациите за состојбата на системот, ентропијата се стреми кон нула, бидејќи системот е само во една специфична состојба од сета нивна огромна разновидност, и оваа состојба е многу нерамнотежа. Овој пример покажува дека информациите и ентропијата се навистина некако поврзани, а природата на врската веќе се појавува: колку повеќе информации, толку помалку ентропија.

Информации од термодинамика и статистичка физика.

Физичките величини што ги карактеризираат макроскопските состојби на телата (многу молекули) се нарекуваат термодинамички (вклучувајќи енергија, волумен). Меѓутоа, постојат количини кои се појавуваат како резултат на дејството на чисто статистички закони и имаат значење кога се применуваат само на макроскопските системи. Такви, на пример, се ентропијата и температурата.

Класична статистика

*Лиовиловата теорема. Функцијата на дистрибуција е константна по фазните траектории на потсистемот (зборуваме за квази затворени потсистеми, така што теоремата важи само за не многу големи временски периоди, при што потсистемот се однесува како затворен).

Еве - - функција на дистрибуција или густина на веројатност. Се воведува преку веројатност w откривање на потсистем во елемент на фазен простор во овој момент во времето: dw = ( стр 1 ,..., п.с , q 1 ,..., qs ) dpdq , и

Наоѓањето на статистичката дистрибуција за кој било потсистем е главната задача на статистиката. Ако е позната статистичката дистрибуција, тогаш е можно да се пресметаат веројатностите на различни вредности на какви било физички величини во зависност од состојбите на овој потсистем (т.е. од вредностите на координатите и моментите):

.

*Микроканонска дистрибуција.

Распределбата за множеството од два потсистеми (се претпоставува дека се затворени, т.е. слабо комуницираат) е еднаква. Затоа - логаритам на функцијата на дистрибуција - вредност адитив. Од Лиувиловата теорема произлегува дека функцијата на распределба мора да биде изразена во однос на такви комбинации на променливите p и q кои, кога потсистемот се движи како затворен систем, мора да останат константни (таквите величини се нарекуваат интеграли на движење). Ова значи дека самата функција на дистрибуција е интеграл на движење. Покрај тоа, неговиот логаритам е исто така интеграл на движењето, и адитив. Севкупно, во механиката има седум интеграли на движење - енергија, три компоненти на импулсот и три компоненти на аголниот моментум - (за потсистем a: Е а (стр, q), П А (стр, q), МА (стр, q)). Единствената адитивна комбинација на овие количини е

Покрај тоа, коефициентите (има седум од нив) мора да останат исти за сите потсистеми на даден затворен систем и се избрани од условите за нормализација (4).

За да се исполни условот за нормализација (4), потребно е функцијата (стр, q) контактирал со точките Е 0, P 0, M 0 до бесконечност. Попрецизна формулација го дава изразот

Микроканонска дистрибуција.

Присуството на - функции осигурува дека тие исчезнуваат за сите точки од фазниот простор во кој барем една од количините Е, Р, М не е еднаква на неговата дадена (просечна) вредност Е 0, P 0, M 0 .

Од шест интеграли П И М може да се елиминира со затворање на системот во цврста кутија во која лежи.

.

Физичка ентропија

Повторно го користиме концептот на идеален гас.

Нека монатомски идеален гас со густина nи температура Тзафаќа волумен В. Температурата ќе ја мериме во енергетски единици - Болцмановата константа нема да се појави. Секој гасен атом има просечна кинетичка енергија на топлинско движење еднаква на 3Т/2. Според тоа, вкупната топлинска енергија на гасот е еднаква на

Познато е дека притисокот на гасот е еднаков на стр = nT. Ако гасот може да разменува топлина со надворешната средина, тогаш законот за зачувување на гасната енергија изгледа вака:

. (5)

Така, промената на внатрешната енергија на гасот може да се случи и поради работата што ја врши и поради примањето одредена количина топлина dQод надвор. Оваа равенка го изразува првиот закон на термодинамиката, т.е. закон за зачувување на енергијата. Се претпоставува дека гасот е во рамнотежа, т.е. стр = констниз целиот волумен.

Ако претпоставиме дека гасот е исто така во состојба на TD рамнотежа, Т =конст, тогаш релацијата (5) може да се смета како елементарен процес на варијација на параметрите на гасот кога тие се менуваат многу бавно, кога рамнотежата на ТД не е нарушена. Токму за такви процеси се воведува концептот на ентропија S со користење на релацијата

Така, се тврди дека покрај внатрешната енергија, гасот во рамнотежа има уште една внатрешна карактеристика поврзана со термичкото движење на атомите. Според (5, 6) при постојан волумен dV= 0, промената на енергијата е пропорционална со промената на температурата и во општиот случај

Бидејќи Каде Н = nV = консте вкупниот број на атоми на гас, тогаш последната релација може да се запише како

По интеграцијата добиваме

Изразот во квадратни загради ја претставува ентропијата по честичка.

Така, ако и температурата и волуменот се променат на таков начин што ВТ 3/2 останува константна, тогаш ентропијата S не се менува. Според (6), тоа значи дека гасот не разменува топлина со надворешната средина, т.е. гасот е одделен од него со топлинско-изолациски ѕидови. Овој процес се нарекува адијабатски.

Затоа што

каде што = 5/3 се нарекува адијабатски експонент. Така, за време на адијабатски процес, температурата и притисокот се менуваат со густина според законот

Болцман формула

Како што следува од теоремата на Лиувил, функцијата на дистрибуција? има остар максимум на E = E 0 (просечна вредност) и е ненула само во близина на оваа точка. Ако ја внесете ширината E на кривата (E), дефинирајќи ја како ширина на правоаголник чија висина е еднаква на вредноста на функцијата (E) во максималната точка, а плоштината е еднаква на единство (со соодветна нормализација). Можеме да се движиме од интервалот на енергетските вредности до бројот на состојби Г со енергии кои припаѓаат на Е (ова е, всушност, просечната флуктуација на енергијата на системот). Тогаш вредноста Γ го карактеризира степенот на размачкување на макроскопската состојба на системот над неговите микроскопски состојби. Со други зборови, за класичните системи Г е големината на регионот на фазен простор во кој даден потсистем го поминува речиси целото свое време.Во квази-класичната теорија се воспоставува кореспонденција помеѓу обемот на регионот на фазен простор и бројот на квантни состојби по него.Имено, за секоја квантна состојба во фазниот простор има ќелија со волумен, каде што s е бројот на степени на слобода

Вредноста Γ се нарекува статистичка тежина на макроскопската состојба; може да се напише како:

Логаритмот на статистичката тежина се нарекува ентропија:

каде - статистичка тежина = број на микросостојби опфатени со макросостојбата на системот што се разгледува.

.

Во квантната статистика се покажува дека = 1. Тогаш

Каде што под се подразбира статистичка матрица (густина). Поради линеарноста на логаритмот на функцијата за дистрибуција на енергија (*), каде што се врши просек над функцијата на дистрибуција.

Бидејќи бројот на состојби во секој случај не е помал од една, ентропијата не може да биде негативна. S ја одредува густината на нивоата во енергетскиот спектар на макроскопскиот систем. Поради адитивноста на ентропијата, можеме да кажеме дека просечните растојанија помеѓу нивоата на макроскопското тело се намалуваат експоненцијално со зголемување на неговата големина (т.е. бројот на честички во него). Највисоката вредност на ентропијата одговара на целосна статистичка рамнотежа.

Карактеризирајќи ја секоја макроскопска состојба на системот со дистрибуција на енергија помеѓу различни потсистеми, можеме да кажеме дека голем број последователно поминати состојби од системот одговараат на сè поверојатна дистрибуција на енергија. Ова зголемување на веројатноста е големо поради неговата експоненцијална природа eS- експонентот содржи адитивна величина - ентропија. Тоа. процесите што се случуваат во нерамнотежен затворен систем се одвиваат на таков начин што системот континуирано се движи од состојби со пониска ентропија во состојби со повисока ентропија. Како резултат на тоа, ентропијата ја достигнува највисоката можна вредност, што одговара на целосна статистичка рамнотежа.

Така, ако затворениот систем во одреден момент во времето е во нерамнотежна макроскопска состојба, тогаш најверојатната последица во следните времиња ќе биде монотоно зголемување на ентропијата на системот. Ова - вториот закон на термодинамиката (Р. Клаузиус, 1865). Нејзината статистичка оправданост е дадена од Л. Болцман во 1870 година. Друга дефиниција:

ако во одреден момент ентропијата на затворениот систем е различна од максималната, тогаш во следните моменти ентропијата не се намалува. Се зголемува или, во екстремен случај, останува константна. Според овие две можности, сите процеси што се случуваат со макроскопски тела обично се делат на неповратен И реверзибилна . Неповратни - оние процеси кои се придружени со зголемување на ентропијата на целиот затворен систем (не може да се случат процеси кои би биле нивни повторувања во обратен редослед, бидејќи во овој случај ентропијата би морала да се намали). Забележете дека намалувањето на ентропијата може да биде предизвикано од флуктуации. Реверзибилна се процеси во кои ентропијата на затворениот систем останува константна и кои, според тоа, можат да се појават и во спротивна насока. Строго реверзибилен процес претставува идеален ограничувачки случај.

За време на адијабатските процеси, системот не апсорбира или ослободува топлина ? П = 0 .

Коментар: (суштински). Изјавата дека затворениот систем мора да премине во состојба на рамнотежа за доволно долго време (подолго од времето на релаксација) се однесува само на систем под стационарни надворешни услови. Пример е однесувањето на голем регион од Универзумот достапен за нашето набљудување (својствата на природата немаат ништо заедничко со својствата на системот за рамнотежа).

Информации.

Да разгледаме лента поделена на ќелии - класичен регистар. Ако во секоја ќелија може да се стави само еден од двата знака, тогаш се вели дека ќелијата содржи малку информации. Очигледно е (види предавање 1) дека во регистарот кој содржи Нклетки содржани Нмалку информации и може да се напишат во него 2 Нпораки. Значи, информациската ентропија се мери во битови:

(7)

Еве П Н = 2 Н- вкупниот број на различни пораки. Од (7) е јасно дека информациската ентропија е едноставно еднаква на минималниот број на бинарни ќелии со кои може да се снимаат некои информации.

Дефиницијата (7) може да се преработи поинаку. Да имаме многу П Нразни пораки. Ајде да ја најдеме веројатноста дека пораката што ни треба ќе се совпадне со една случајно избрана од вкупниот број П Нразни пораки. Очигледно е еднакво на П Н = 1/ П Н. Тогаш дефиницијата (7) ќе биде напишана како:

(8)

Колку е поголем бројот на клетки Н, толку е помала веројатноста за тоа П Ни колку е поголема информациската ентропија Х Бсодржани во оваа конкретна порака.

Пример . Бројот на буквите од азбуката е 32 (без буквата ё). Бројот 32 е петтата сила од два 32 = 2 5. За да се совпадне секоја буква со одредена комбинација на бинарни броеви, треба да имате 5 ќелии. Со додавање на големи букви на мали букви, го удвојуваме бројот на знаци што сакаме да ги кодираме - ќе има 64 = 2 6 - т.е. се додаваат дополнителни малку информации Х Б= 6. Еве Х Б- количината на информации по буква (мали или големи букви). Сепак, таквата директна пресметка на ентропијата на информациите не е целосно точна, бидејќи има букви во азбуката кои се поретки или почести. На оние букви што се појавуваат поретко може да им се даде поголем број ќелии, а за буквите што се појавуваат често, може да се заштедат пари и да се дадат оние регистерски состојби кои зафаќаат помал број ќелии. Точната дефиниција на информациската ентропија беше дадена од Шенон:

(9)

Формално, изведувањето на оваа врска може да се оправда на следниов начин.

Погоре покажавме

поради адитивноста на логаритмот на дистрибутивната функција и неговата линеарност во енергија.

Нека стр- функција на дистрибуција на некоја дискретна вредност f i (на пример, буквата „o“ во овој текст). Ако ја користите функцијата стрконструирајте ја функцијата за распределба на веројатност на различни вредности на количината ѓ = ѓ 1 , ѓ 2 ,... f Н, тогаш оваа функција ќе има максимум на , каде и (нормализација). Тогаш p()= 1 и (општо земено, ова е точно за класата на функции што го задоволуваат условот (*))

Збирот се врши над сите знаци (букви од азбуката), и стр iзначи веројатност за појава на симбол со број јас. Како што можете да видите, овој израз ги опфаќа и често користените букви и буквите чија веројатност да се појават во дадена порака е мала.

Бидејќи изразот (9) го користи природниот логаритам, соодветната единица на информации се нарекува „нат“.

Изразот (9) може да се преработи како

каде што заградите значат вообичаено класично просекување со помош на функцијата за распределба p i.

Коментар . Во следните предавања ќе се покаже дека за квантните состојби

каде е матрицата за густина. Формално, изразите (10) и (11) се исти, но има значителна разлика. Класичното просекување се врши преку ортогонални (сопствени) состојби на системот, додека за квантниот случај може да има и неортогонални состојби (суперпозиции). Затоа секогаш H квант H класа !

Формулите (8) и (9) користат логаритми во различни основи. Во (8) - врз основа на основата 2, и во (9) - врз основа на основата e. Информативните ентропии што одговараат на овие формули можат лесно да се изразат една преку друга. Да ја користиме релацијата во која М е произволен број

.

Потоа, со оглед на тоа и добиваме

- бројот на битови е речиси еден и пол пати поголем од бројот на nat!

Расудувајќи на сличен начин, можеме да ја добиеме врската помеѓу ентропиите изразени во трити и битови:

Во компјутерската технологија, информациите се користат во бинарна база (во битови). За расудување во физиката, попогодно е да се користат информации за Шенон (во Нат), кои можат да карактеризираат какви било дискретни информации. Секогаш можете да го најдете бројот на соодветните битови.

ОДНОС НА ЕНТРОПИЈА И ИНФОРМАЦИИ. Демонот на Максвел

Овој парадокс првпат бил разгледан од Максвел во 1871 година (види Сл. 1). Оставете некоја „натприродна“ сила да го отвори и затвори вентилот во сад поделен на два дела и кој содржи гас. Вентилот се контролира според правилото дека се отвора ако брзите молекули кои се движат од десно кон лево го допрат или ако бавните молекули го погодат движејќи се во спротивна насока. Така, демонот воведува температурна разлика помеѓу два волумена без да врши работа, што го нарушува вториот закон на термодинамиката.

Демонот на Максвел. Демонот воспоставува разлика во притисокот со отворање на амортизерот кога бројот на молекули на гас што го погодуваат од лево го надминува бројот на удари од десната страна. Ова може да се направи на целосно реверзибилен начин, сè додека меморијата на демонот ги складира случајните резултати од неговите набљудувања на молекулите. Затоа, меморијата на демонот (или неговата глава) се загрева. Неповратниот чекор не е дека информациите се акумулираат, туку тие информации се губат кога демонот подоцна ќе ја исчисти меморијата. Погоре: Пополнувањето на меморијата на демонот со делови од информации е случаен процес. На десната страна на линијата со точки е празна мемориска област (сите ќелии се во состојба 0, лево се случајни битови). Подолу е демон.

Направени се голем број обиди да се реши парадоксот или да се истера демонот. На пример, се претпоставуваше дека демонот не може да извлече информации без да работи или без да го наруши (т.е. загревање) на гасот - но се покажа дека тоа не е така! Другите обиди се сведуваа на фактот дека вториот принцип може да биде прекршен под влијание на одредени „разумни“ или „мислечки“ сили (суштества). Во 1929 г Лео Зилард значително го „напреди“ решението на проблемот, сведувајќи го на минимална формулација и истакнувајќи ги суштинските компоненти. Главната работа што треба да ја направи Демонот е да утврди дали една молекула се наоѓа десно или лево од лизгачкиот вентил, што би овозможило извлекување на топлина. Овој уред беше наречен мотор Szilard. Сепак, Силард не го реши парадоксот бидејќи неговата анализа не зеде предвид како мерењето со кое демонот знае дали молекулата е десно или лево влијае на зголемувањето на ентропијата (види слика Szilard_demon.pdf). Моторот работи на циклус од шест чекори. Моторот е цилиндар со клипови на краевите. Во средината се вметнува размавта. Работата на туркање на партицијата може да се сведе на нула (ова го покажа Зилард). Има и мемориски уред (MU). Може да биде во една од трите држави. „Празно“, „Молекула десно“ и „Молекула од лево“. Почетна состојба: UP = „Празно“, клиповите се притиснати, преградата е продолжена, молекулата има просечна брзина, која се одредува според температурата на термостатот (слајд 1).

1. Партицијата е вметната, оставајќи ја молекулата десно или лево (слајд 2).

2. Меморискиот уред одредува каде се наоѓа молекулата и се движи во „десна“ или „лева“ состојба.

3. Компресија. Во зависност од состојбата на UE, клипот се движи од страната каде што нема молекула. Оваа фаза не бара работа. Бидејќи вакуумот е компримиран (слајд 3).

4. Септумот е отстранет. Молекулата почнува да врши притисок врз клипот (слајд 4).

5. Работен удар. Молекулата удира во клипот, предизвикувајќи тој да се движи во спротивна насока. Енергијата на молекулата се пренесува на клипот. Како што се движи клипот, неговата просечна брзина треба да се намали. Сепак, тоа не се случува, бидејќи ѕидовите на садот се на константна температура. Затоа, топлината од термостатот се пренесува на молекулата, одржувајќи ја нејзината брзина константна. Така, за време на работниот удар, топлинската енергија испорачана од термостатот се претвора во механичка работа што ја врши клипот (слајд 6).

6. Чистење на UE, враќање во состојба „Празно“ (слајд 7). Циклусот е завршен (слајд 8 = слајд 1).

Изненадувачки е што овој парадокс не беше решен дури во 1980-тите. За тоа време беше утврдено дека, во принцип, секој процес може да се направи на реверзибилен начин, т.е. без „плаќање“ по ентропија. Конечно, Бенет во 1982 г ја утврди дефинитивната врска помеѓу оваа изјава и парадоксот на Максвел. Тој предложи дека демонот всушност може да знае каде се наоѓа молекулата во моторот на Зилард без да работи или да ја зголеми ентропијата на околината (термостатот) и на тој начин да врши корисна работа во еден циклус на моторот. Меѓутоа, информациите за положбата на молекулата мора да останат во меморијата на демонот (rsi.1). Како што се извршуваат повеќе циклуси, се повеќе и повеќе информации се акумулираат во меморијата. За да го заврши термодинамичкиот циклус, демонот мора да ги избрише информациите зачувани во меморијата. Токму оваа операција на бришење информации мора да се класифицира како процес на зголемување на ентропијата на околината, како што бара вториот принцип. Ова го комплетира фундаментално физичкиот дел од демонскиот уред на Максвел.

Овие идеи добија одреден развој во делата на Д.Д. Кадомцев.

Да разгледаме идеален гас кој се состои од само една честичка (Кадомцев, „динамика и информации“). Ова не е апсурдно. Ако една честичка е затворена во сад со волумен V со ѕидови на температура Т, тогаш порано или подоцна таа ќе дојде во рамнотежа со овие ѕидови. Во секој момент од времето е во многу специфична точка во просторот и со многу специфична брзина. Ќе ги спроведеме сите процеси толку бавно што честичката ќе има време, во просек, да го пополни целиот волумен и постојано да ја менува големината и насоката на брзината при нееластични судири со ѕидовите на садот. Така, честичката врши просечен притисок на ѕидовите и има температура Та неговата дистрибуција на брзина е максвелова со температура Т. Овој систем на една честичка може да се компресира адијабатски, неговата температура може да се промени, давајќи му можност да дојде во рамнотежа со ѕидовите на садот.

Просечен притисок на ѕидот кај Н = 1 , еднакви стр= Т/В, а просечната густина n = 1/ В. Да го разгледаме случајот на изотермичен процес кога Т =конст. Од првиот почеток во Т =конст. И стр= Т/Вдобиваме

, затоа што

Оттука откриваме дека промената на ентропијата не зависи од температурата, па

Тука е воведена константата на интеграција: „големина на честички“<

Работете во изотермичен процес

работата се определува со разликата во ентропијата.

Да претпоставиме дека имаме идеални прегради кои можат да се користат за да се подели садот на делови без да се троши енергија. Ајде да го поделиме нашиот сад на два еднакви делови со волумен В/2 секој. Во овој случај, честичката ќе биде во една од половините - но не знаеме која. Да речеме дека имаме уред кој ни овозможува да одредиме во кој дел се наоѓа честичката, на пример, прецизна вага. Потоа, од симетрична дистрибуција на веројатност од 50% до 50% во две половини, добиваме 100% веројатност за една од половините - се случува „колапс“ на распределбата на веројатноста. Според тоа, новата ентропија ќе биде помала од оригиналната ентропија за износот

Со намалување на ентропијата може да се работи. За да го направите ова, доволно е да ја поместите партицијата кон празниот волумен додека не исчезне. Работата ќе биде еднаква на Ако ништо не се промени во надворешниот свет, тогаш со повторување на овие циклуси, можно е да се изгради машина за вечно движење од втор вид. Ова е демонот на Максвел во верзијата на Силард. Но, вториот закон на термодинамиката забранува добивање работа само преку топлина. Тоа значи дека нешто мора да се случува во надворешниот свет. Што е ова? Откривање на честичка во една од половините менува информации за честичка - Од двете можни половини, само една е означена, во која се наоѓа честичката. Ова знаење одговара на еден дел од информациите. Процесот на мерење ја намалува ентропијата на честичката (пренесување во нерамнотежна состојба) и ги зголемува информациите за системот (честичката) за точно иста количина. Ако постојано ги делите на половина претходно добиените половини, четвртини, осми итн., тогаш ентропијата постојано ќе се намалува, а информациите ќе се зголемуваат! Со други зборови

Колку повеќе се знае за физичкиот систем, толку е помала неговата ентропија. Ако сè е познато за системот, тоа значи дека сме го префрлиле во високо нерамнотежна состојба, кога неговите параметри се колку што е можно подалеку од вредностите на рамнотежата. Ако во нашиот модел честичката може да се смести во елементарна ќелија од волумен В 0 , потоа во исто време С = 0 , и информациите ја достигнуваат својата максимална вредност бидејќи веројатноста pminнајдете честичка во дадена ќелија е еднаква на В 0 / В. Ако во следните моменти честичката почне да пополнува поголем волумен, тогаш информациите ќе се изгубат и ентропијата ќе се зголеми. Нагласуваме дека треба да платите за информации (според вториот закон) со зголемување на ентропијата С енадворешен систем, и навистина, ако за еден бит информација уредот (надворешниот систем) ја зголеми својата ентропија за помалку од еден бит, тогаш би можеле да го смениме топлинскиот мотор. Имено, со проширување на волуменот окупиран од некоја честичка, би ја зголемиле нејзината ентропија за количина ln2 добивање работа Tln2 , а вкупната ентропија на системот на честички плус уред би се намалила. Но, тоа е невозможно според вториот принцип. Формално, , затоа, намалувањето на ентропијата на системот (честичка) е придружено со зголемување на ентропијата на уредот.

Значи, информациска ентропијае мерка за недостаток (или степен на несигурност) на информации за фактичката состојба на физичкиот систем.

Шенонова информативна ентропија:

, каде што (ова се однесува на системи на две нивоа, како што се битови: „0“ и „1“. Ако димензијата е n, Тоа Х = log n. Да, за n = 3, N =дневник 3 и, = 3.)

Количина на информации Јас(или едноставно информации) за состојбата на класичниот систем, добиени како резултат на мерења со надворешен уред поврзан со системот што се разгледува со некој комуникациски канал, се дефинира како разлика во информациската ентропија што одговара на почетната несигурност на системот држава Х 0 , и информациска ентропија на конечната состојба на системот по мерењето Х. Така,

Јас + Х = Х 0 = конст .

Во идеален случај, кога нема бучава и пречки создадени од надворешни извори во каналот за комуникација, конечната распределба на веројатноста по мерењето се намалува на една специфична вредност p n= 1, т.е. Х = 0, а максималната вредност на информациите добиени при мерењето ќе се одреди: Имакс = Х 0 . Така, Шеноновата информациска ентропија на системот има значење на максималната информација содржана во системот; може да се одреди под идеални услови за мерење на состојбата на системот во отсуство на бучава и пречки, кога ентропијата на крајната состојба е нула:

Да разгледаме класичен логички елемент кој може да биде во една од двете подеднакво веројатни логички состојби „0“ и „1“. Таквиот елемент, заедно со околината - термостатот и сигналот генериран од надворешен термички изолиран објект, формира единствен нерамнотежен затворен систем. Преминот на елемент во една од состојбите, на пример, во состојбата „0“, одговара на намалување на статистиката. тежината на неговата состојба во споредба со почетната состојба е 2 пати (за системи на три нивоа - 3 пати). Ајде да го најдеме намалувањето информациска ентропијаШенон, што одговара на зголемување на количината на информации за елемент за еден, што се нарекува малку:

Затоа, информациската ентропија го одредува бројот на битови кои се потребни за кодирање на информациите во системот или пораката за која станува збор.

ЛИТЕРАТУРА

1. Д. Ландау, И. Лифшиц. Статистичка физика. Дел 1. Наука, М 1976 година.

2. М.А.Леонтович. Вовед во термодинамиката. Статистичка физика. Москва, Наука, 1983. - 416 стр.

3. Б.Б.Кадомцев. Динамика и информации. UFN, 164, бр.5, 449 (1994).

10. Основни постулати на статистичката термодинамика

Кога се опишуваат системи што се состојат од голем број честички, може да се користат два пристапи: микроскопски и макроскопски. Во првиот пристап, базиран на класична или квантна механика, микросостојбата на системот се карактеризира детално, на пример, координатите и моментите на секоја честичка во секој момент во времето. Микроскопскиот опис бара решавање на класични или квантни равенки на движење за огромен број променливи. Така, секоја микросостојба на идеален гас во класичната механика е опишана со 6 Нпроменливи ( Н- број на честички): 3 Нкоординати и 3 Нимпулсни проекции.

Макроскопскиот пристап, кој го користи класичната термодинамика, ги карактеризира само макросостојбите на системот и користи мал број променливи за ова, на пример, три: температура, волумен и број на честички. Ако системот е во рамнотежна состојба, тогаш неговите макроскопски параметри се константни, додека неговите микроскопски параметри се менуваат со текот на времето. Ова значи дека за секоја макросостојба има неколку (всушност, бесконечно многу) микросостојби.

Статистичката термодинамика воспоставува врска помеѓу овие два пристапа. Основната идеја е оваа: ако секоја макросостојба има многу микросостојби поврзани со неа, тогаш секоја од нив придонесува за макросостојбата. Тогаш својствата на макросостојбата може да се пресметаат како просек кај сите микросостојби, т.е. сумирање на нивните придонеси земајќи ги предвид статистичките пондери.

Просекот над микросостојбите се врши со користење на концептот на статистички ансамбл. Ансамбле бесконечно збир на идентични системи сместени во сите можни микросостојби што одговараат на една макросостојба. Секој систем на ансамблот е една микросостојба. Целиот ансамбл е опишан од некои функција на дистрибуцијапо координати и моменти ( стр, q, т), што е дефинирано на следниов начин:

(стр, q, т) dp dqе веројатноста ансамблот да се наоѓа во елемент за волумен dp dqблиска точка ( стр, q) во моментот на времето т.

Значењето на функцијата на дистрибуција е тоа што ја одредува статистичката тежина на секоја микросостојба во макросостојбата.

Од дефиницијата следат елементарните својства на функцијата за распределба:

1. Нормализација

. (10.1)

2. Позитивна сигурност

(стр, q, т) i 0 (10,2)

Многу макроскопски својства на системот може да се дефинираат како средна вредностфункции на координати и моменти ѓ(стр, q) по ансамбл:

На пример, внатрешната енергија е просекот на Хамилтоновата функција Х(стр,q):

Постоењето на функција на дистрибуција е суштината основен постулат на класичната статистичка механика:

Макроскопската состојба на системот е целосно специфицирана со некоја дистрибутивна функција која ги задоволува условите (10.1) и (10.2).

За системи за рамнотежа и рамнотежни ансамбли, функцијата на дистрибуција не зависи експлицитно од времето: = ( стр,q). Експлицитната форма на функцијата за дистрибуција зависи од типот на ансамблот. Постојат три главни типа на ансамбли:

1) Микроканонскиансамблот опишува изолирани системи и се карактеризира со следните променливи: Е(енергија), В(волумен), Н(број на честички). Во изолиран систем, сите микросостојби се подеднакво веројатни ( постулат на еднаква претходна веројатност):

2) Канонски ансамблопишува системи кои се во топлинска рамнотежа со нивната околина. Термичката рамнотежа се карактеризира со температура Т. Затоа, функцијата на дистрибуција зависи и од температурата:

(10.6)

(к= 1,38 10 -23 J/K - Болцманова константа). Вредноста на константата во (10.6) се одредува со условот за нормализација (види (11.2)).

Посебен случај на канонската распределба (10.6) е Максвел дистрибуцијасо брзина v, што важи за гасови:

(10.7)

(м- маса на молекула на гас). Израз (v) г v ја опишува веројатноста дека молекулата има апсолутна вредност на брзината помеѓу v и v+ г v. Максимумот на функцијата (10,7) ја дава најверојатната брзина на молекулите, а интегралниот

Просечна брзина на молекулите.

Ако системот има дискретни нивоа на енергија и е опишан квантно механички, тогаш наместо Хамилтоновата функција Х(стр,q) користете го операторот Хамилтон Х, и наместо функцијата распределба - операторот на матрицата на густина:

(10.9)

Дијагоналните елементи на матрицата за густина даваат веројатност дека системот е внатре јас-та енергетска состојба и има енергија Е јас:

(10.10)

Вредноста на константата се определува со условот за нормализација: С јас = 1:

(10.11)

Именителот на овој израз се нарекува збир над состојби (види Поглавје 11). Тој е од клучно значење за статистичката проценка на термодинамичките својства на системот.Од (10.10) и (10.11) може да се најде бројот на честички N iимајќи енергија Е јас:

(10.12)

(Н- вкупен број на честички). Распределбата на честичките (10.12) преку енергетските нивоа се нарекува Болцман дистрибуција, а броителот на оваа дистрибуција е Болцмановиот фактор (множител). Понекогаш оваа распределба е напишана во различна форма: ако има неколку нивоа со иста енергија Е јас, потоа тие се комбинираат во една група со собирање на Болцмановите фактори:

(10.13)

(g i- број на нивоа на енергија Е јас, или статистичка тежина).

Многу макроскопски параметри на термодинамички систем може да се пресметаат со помош на Болцмановата распределба. На пример, просечната енергија се дефинира како просек на нивоата на енергија земајќи ги предвид нивните статистички пондери:

, (10.14)

3) Големиот канонски ансамблопишува отворени системи кои се во топлинска рамнотежа и способни за размена на материи со околината. Термичката рамнотежа се карактеризира со температура Т, а рамнотежата во бројот на честички е хемискиот потенцијал. Затоа, функцијата на дистрибуција зависи од температурата и хемискиот потенцијал. Овде нема да користиме експлицитен израз за дистрибутивната функција на големиот канонски ансамбл.

Во статистичката теорија е докажано дека за системи со голем број на честички (~ 10 23) сите три типа ансамбли се еквивалентни еден на друг. Употребата на кој било ансамбл води до истите термодинамички својства, затоа изборот на еден или друг ансамбл за опишување на термодинамички систем е диктиран само од практичноста на математичката обработка на функциите на дистрибуција.

ПРИМЕРИ

Пример 10-1.Молекулата може да биде на две нивоа со енергија од 0 и 300 cm -1. Која е веројатноста дека молекулата ќе биде на горното ниво на 250 o C?

Решение. Неопходно е да се примени Болцмановата дистрибуција и да се претвори спектроскопската единица на енергија cm -1 во џули, користете го множителот hc (ч= 6,63 10 -34 J. s, в= 3 10 10 cm/s): 300 cm -1 = 300 6,63 10 -34 3 10 10 = 5,97 10 -21 Ј.

Одговори. 0.304.

Пример 10-2.Молекулата може да биде на ниво со енергија 0 или на едно од трите нивоа со енергија Е. На која температура а) сите молекули ќе бидат на пониско ниво, б) бројот на молекули на пониско ниво ќе биде еднаков на бројот на молекулите на горните нивоа, в) бројот на молекули на пониското ниво ќе биде три пати помалку од бројот на молекули на горните нивоа?

Решение. Да ја искористиме распределбата на Болцман (10.13):

А) Н 0 / Н= 1; експ(- Е/kT) = 0; Т= 0. Како што температурата се намалува, молекулите се акумулираат на пониски нивоа.

б) Н 0 / Н= 1/2; експ(- Е/kT) = 1/3; Т = Е / [к ln(3)].

V) Н 0 / Н= 1/4; експ(- Е/kT) = 1; Т= . При високи температури, молекулите се рамномерно распоредени низ енергетските нивоа, бидејќи сите Болцманови фактори се скоро исти и еднакви на 1.

Одговори. А) Т= 0; б) Т = Е / [к ln(3)]; V) Т = .

Пример 10-3.Кога некој термодинамички систем се загрева, популацијата на некои нивоа се зголемува, а други се намалува. Користејќи го Болцмановиот закон за дистрибуција, одреди колкава треба да биде енергијата на едно ниво за нејзиното население да се зголемува со зголемување на температурата.

Решение. Зафатеноста е пропорција на молекули лоцирани на одредено енергетско ниво. По услов, дериватот на оваа количина во однос на температурата мора да биде позитивен:

Во вториот ред ја користевме дефиницијата за просечна енергија (10.14). Така, населението се зголемува со температурата за сите нивоа над просечната енергија на системот.

Одговори. .

ЗАДАЧИ

10-1. Молекулата може да биде на две нивоа со енергија од 0 и 100 cm -1. Која е веројатноста молекулата да биде на најниско ниво на 25 o C?

10-2. Молекулата може да биде на две нивоа со енергија од 0 и 600 cm -1. На која температура ќе има двојно повеќе молекули на горното ниво отколку на пониското ниво?

10-3. Молекулата може да биде на ниво со енергија 0 или на едно од трите нивоа со енергија Е. Најдете ја просечната енергија на молекулите: а) при многу ниски температури, б) при многу високи температури.

10-4. Кога некој термодинамички систем се лади, популацијата на некои нивоа се зголемува, а други се намалува. Користејќи го Болцмановиот закон за дистрибуција, одреди колкава треба да биде енергијата на едно ниво за да се зголеми нејзината популација со намалување на температурата.

10-5. Пресметајте ја најверојатната брзина на молекулите на јаглерод диоксид на температура од 300 К.

10-6. Пресметајте ја просечната брзина на атомите на хелиум во нормални услови.

10-7. Пресметајте ја најверојатната брзина на молекулите на озонот на температура од -30 o C.

10-8. На која температура просечната брзина на молекулите на кислород е еднаква на 500 m/s?

10-9. Под некои услови, просечната брзина на молекулите на кислород е 400 m/s. Која е просечната брзина на молекулите на водородот во исти услови?

10-10. Колкав е уделот на молекулите што тежат м, имајќи брзина над просекот на температура Т? Дали оваа фракција зависи од масата на молекулите и температурата?

10-11. Користејќи ја Максвеловата распределба, пресметајте ја просечната кинетичка енергија на движење на молекулите со маса мна температура Т. Дали оваа енергија е еднаква на кинетичката енергија при просечна брзина?

Статистичка физика и термодинамика

Статистички и термодинамички методи на истражување . Молекуларната физика и термодинамиката се гранки на физиката во кои студираат макроскопски процесиво телата, поврзани со огромниот број на атоми и молекули содржани во телата. За проучување на овие процеси, се користат два квалитативно различни и меѓусебно комплементарни методи: статистички (молекуларна кинетичка) И термодинамички. Првата лежи во основата на молекуларната физика, втората - термодинамиката.

Молекуларна физика - гранка на физиката која ја проучува структурата и својствата на материјата врз основа на молекуларните кинетички концепти, врз основа на фактот дека сите тела се состојат од молекули во континуирано хаотично движење.

Идејата за атомската структура на материјата беше изразена од античкиот грчки филозоф Демокрит (460-370 п.н.е.). Атомизмот повторно бил оживеан дури во 17 век. и се развива во дела чиишто погледи за структурата на материјата и топлинските појави биле блиски до современите. Ригорозниот развој на молекуларната теорија датира од средината на 19 век. и е поврзан со делата на германскиот физичар R. Clausius (1822-1888), J. Maxwell и L. Boltzmann.

Процесите што ги проучува молекуларната физика се резултат на комбинираното дејство на огромен број молекули. Законите на однесување на огромен број молекули, како статистички закони, се изучуваат со употреба статистички метод. Овој метод се заснова на фактот дека својствата на макроскопскиот систем на крајот се одредуваат од својствата на честичките на системот, карактеристиките на нивното движење и во просеквредности на динамичките карактеристики на овие честички (брзина, енергија, итн.). На пример, температурата на телото се одредува со брзината на хаотичното движење на неговите молекули, но бидејќи во секој момент од времето различните молекули имаат различни брзини, таа може да се изрази само преку просечната вредност на брзината на движење на молекули. Не можете да зборувате за температурата на една молекула. Така, макроскопските карактеристики на телата имаат физичко значење само во случај на голем број молекули.

Термодинамика- гранка на физиката која ги проучува општите својства на макроскопските системи во состојба на термодинамичка рамнотежа и процесите на транзиција помеѓу овие состојби. Термодинамиката не ги зема предвид микропроцесите што се во основата на овие трансформации. Ова термодинамички методразлични од статистичките. Термодинамиката се заснова на два принципа - основни закони воспоставени како резултат на генерализација на експерименталните податоци.

Обемот на примена на термодинамиката е многу поширок од оној на молекуларната кинетичка теорија, бидејќи не постојат области од физиката и хемијата во кои термодинамичкиот метод не може да се користи. Меѓутоа, од друга страна, термодинамичкиот метод е донекаде ограничен: термодинамиката не кажува ништо за микроскопската структура на материјата, за механизмот на појавите, туку само воспоставува врски помеѓу макроскопските својства на материјата. Молекуларната кинетичка теорија и термодинамиката се надополнуваат една со друга, формирајќи единствена целина, но се разликуваат во различни методи на истражување.

Основни постулати на молекуларната кинетичка теорија (МКТ)

1. Сите тела во природата се состојат од огромен број ситни честички (атоми и молекули).

2. Овие честички се во континуирано хаотичен(неуредно) движење.

3. Движењето на честичките е поврзано со температурата на телото, поради што се нарекува термичко движење.

4. Честичките комуницираат едни со други.

Доказ за валидноста на MCT: дифузија на супстанции, Брауново движење, топлинска спроводливост.

Физичките количини што се користат за опишување на процесите во молекуларната физика се поделени во две класи:

микропараметри– величини кои го опишуваат однесувањето на поединечни честички (маса на атом (молекула), брзина, импулс, кинетичка енергија на поединечни честички);
макро параметри– количини кои не можат да се редуцираат на поединечни честички, туку ги карактеризираат својствата на супстанцијата како целина. Вредностите на макропараметрите се одредуваат со резултат на истовремено дејство на огромен број честички. Макро параметри се температура, притисок, концентрација итн.

Температурата е еден од основните концепти кој игра важна улога не само во термодинамиката, туку и во физиката воопшто. Температура- физичка големина што ја карактеризира состојбата на термодинамичка рамнотежа на макроскопски систем. Во согласност со одлуката на XI Генерална конференција за тежини и мерки (1960), во моментов можат да се користат само две температурни ваги - термодинамичкиИ Меѓународен практичен, дипломирал соодветно во келвини (К) и степени Целзиусови (°C).

На термодинамичката скала, точката на замрзнување на водата е 273,15 K (во исто

притисок како во меѓународната практична скала), затоа, по дефиниција, термодинамичка температура и меѓународна практична температура

скалата се поврзани со односот

Т= 273,15 + т.

Температура Т = 0 K се нарекува нула келвин.Анализата на различни процеси покажува дека 0 K е недостижна, иако е можно приближување до него колку што е можно поблиску. 0 K е температурата на која теоретски треба да престане целото термичко движење на честичките на супстанцијата.

Во молекуларната физика, врската е изведена помеѓу макропараметрите и микропараметрите. На пример, притисокот на идеален гас може да се изрази со формулата:

позиција:роднина; top:5.0pt">- маса на една молекула, - концентрација, font-size: 10.0pt">Од основната МКТ равенка можете да добиете равенка погодна за практична употреба:

font-size: 10.0pt">Идеален гас е идеализиран модел на гас во кој се верува дека:

1. внатрешниот волумен на молекулите на гасот е занемарлив во споредба со волуменот на контејнерот;

2. не постојат сили на интеракција помеѓу молекулите (привлекување и одбивање на далечина;

3. судирите на молекулите едни со други и со ѕидовите на садот се апсолутно еластични.

Идеален гас е поедноставен теоретски модел на гас. Но, состојбата на многу гасови под одредени услови може да се опише со оваа равенка.

За да се опише состојбата на реалните гасови, мора да се воведат корекции во равенката на состојбата. Присуството на одбивни сили кои се спротивставуваат на пенетрацијата на други молекули во волуменот окупиран од молекулата значи дека вистинскиот слободен волумен во кој можат да се движат молекулите на вистински гас ќе биде помал. Кадеб - моларниот волумен окупиран од самите молекули.

Дејството на привлечните гасни сили доведува до појава на дополнителен притисок врз гасот, наречен внатрешен притисок. Според пресметките на Ван дер Валс, внатрешниот притисок е обратно пропорционален на квадратот на моларниот волумен, т.е. А -ван дер Валсова константа, која ги карактеризира силите на меѓумолекуларната привлечност,Вм - моларен волумен.

На крајот ќе добиеме равенка на состојбата на реалниот гасили ван дер Валсова равенка:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Физичко значење на температурата: температурата е мерка за интензитетот на топлинското движење на честичките на супстанциите. Концептот температура не е применлив за поединечна молекула. ​​Само за доволно голем број на молекули создаваат одредена количина супстанција, има смисла да се вклучи терминот температура.

За идеален монатомски гас, можеме да ја напишеме равенката:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Првото експериментално определување на молекуларните брзини го изврши германскиот физичар О. Стерн (1888-1970). Неговите експерименти исто така овозможија да се процени распределбата на брзина на молекулите.

„Конфронтацијата“ помеѓу потенцијалните енергии на врзување на молекулите и енергиите на термичкото движење на молекулите (кинетичките молекули) доведува до постоење на различни збирни состојби на материјата.

Термодинамика

Со броење на бројот на молекули во даден систем и проценување на нивната просечна кинетичка и потенцијална енергија, можеме да ја процениме внатрешната енергија на даден системУ.

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>За идеален монатомски гас.

Внатрешната енергија на системот може да се промени како резултат на различни процеси, на пример, извршување на работа на системот или пренесување топлина на него. Значи, со туркање на клипот во цилиндар во кој има гас, го компресираме овој гас, како резултат на што неговата температура се зголемува, т.е., со што се менува (зголемува) внатрешната енергија на гасот. Од друга страна, температурата на гасот и неговата внатрешна енергија може да се зголемат со предавање одредена количина топлина на него - енергија што се пренесува во системот од надворешни тела преку размена на топлина (процес на размена на внатрешни енергии кога телата доаѓаат во контакт со различни температури).

Така, можеме да зборуваме за две форми на пренос на енергија од едно тело на друго: работа и топлина. Енергијата на механичкото движење може да се претвори во енергија на топлинско движење, и обратно. При овие трансформации се почитува законот за зачувување и трансформација на енергијата; во однос на термодинамичките процеси овој закон е првиот закон на термодинамиката, воспоставена како резултат на генерализација на вековните експериментални податоци:

Затоа, во затворена јамка font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Ефикасност на топлинскиот мотор: .

Од првиот закон за термодинамика произлегува дека ефикасноста на топлинскиот мотор не може да биде повеќе од 100%.

Постулирајќи го постоењето на различни форми на енергија и поврзаноста меѓу нив, првиот принцип на ТД не кажува ништо за насоката на процесите во природата. Во целосна согласност со првиот принцип, може ментално да се конструира мотор во кој би се извршила корисна работа со намалување на внатрешната енергија на супстанцијата. На пример, наместо гориво, топлински мотор би користел вода, а со ладење на водата и претворање во мраз би се работело. Но, таквите спонтани процеси не се случуваат во природата.

Сите процеси во природата можат да се поделат на реверзибилни и неповратни.

Долго време, еден од главните проблеми во класичната природна наука остана проблемот на објаснување на физичката природа на неповратноста на реалните процеси. Суштината на проблемот е дека движењето на материјалната точка, опишано со Њутновиот закон II (F = ma), е реверзибилно, додека голем број материјални точки се однесуваат неповратно.

Ако бројот на честички што се испитуваат е мал (на пример, две честички на слика а)), тогаш нема да можеме да одредиме дали временската оска е насочена од лево кон десно или од десно кон лево, бидејќи секоја низа од рамки е подеднакво можно. Тоа е она што е реверзибилен феномен. Ситуацијата значително се менува ако бројот на честички е многу голем (сл. б)). Во овој случај, насоката на времето се одредува недвосмислено: од лево кон десно, бидејќи е невозможно да се замисли дека рамномерно распоредените честички сами по себе, без никакви надворешни влијанија, ќе се соберат во аголот на „кутијата“. Ова однесување, кога состојбата на системот може да се промени само во одредена низа, се нарекува неповратен. Сите реални процеси се неповратни.

Примери на неповратни процеси: дифузија, топлинска спроводливост, вискозен проток. Речиси сите реални процеси во природата се неповратни: ова е придушување на нишалото, еволуција на ѕвезда и човечки живот. Неповратноста на процесите во природата, како што беше, ја поставува насоката на временската оска од минатото кон иднината. Англискиот физичар и астроном А. Едингтон фигуративно го нарекол ова својство на времето „стрела на времето“.

Зошто, и покрај реверзибилноста на однесувањето на една честичка, ансамбл од голем број такви честички се однесува неповратно? Која е природата на неповратноста? Како да се оправда неповратноста на реалните процеси врз основа на Њутновите закони за механика? Овие и други слични прашања ги загрижија главите на најистакнатите научници од 18-19 век.

Втор закон на термодинамиката го поставува правецот мрзеливост на сите процеси во изолирани системи. Иако вкупната количина на енергија во изолиран систем е зачувана, неговиот квалитативен состав се менува неповратно.

1. Во формулацијата на Келвин, вториот закон е: „Не постои можен процес чиј единствен резултат би бил апсорпција на топлина од грејачот и целосно претворање на оваа топлина во работа“.

2. Во друга формулација: „Топлината може спонтано да се пренесе само од позагреано тело на помалку загреано тело“.

3. Третата формулација: „Ентропијата во затворен систем може само да се зголеми“.

Втор закон на термодинамиката го забранува постоењето машина за вечно движење од втор вид , т.е. машина способна да работи со пренесување на топлина од ладно тело на топло. Вториот закон на термодинамиката укажува на постоење на две различни форми на енергија - топлина како мерка за хаотичното движење на честичките и работа поврзана со наредено движење. Работата секогаш може да се претвори во нејзината еквивалентна топлина, но топлината не може целосно да се претвори во работа. Така, нарушената форма на енергија не може да се трансформира во наредена без никакви дополнителни дејства.

Ја завршуваме трансформацијата на механичката работа во топлина секогаш кога ќе го притиснеме педалот на сопирачката во автомобил. Но, без никакви дополнителни дејства во затворен циклус на работа на моторот, невозможно е да се пренесе целата топлина во работата. Дел од топлинската енергија неизбежно се троши на загревање на моторот, плус подвижниот клип постојано работи против силите на триење (ова исто така троши снабдување со механичка енергија).

Но, значењето на вториот закон на термодинамиката се покажа уште подлабоко.

Друга формулација на вториот закон за термодинамика е следнава изјава: ентропијата на затворен систем е функција која не се намалува, односно за време на секој реален процес таа или се зголемува или останува непроменета.

Концептот на ентропија, воведен во термодинамиката од Р. Клаузиус, првично бил вештачки. Извонредниот француски научник А. Поенкаре за ова напишал: „Ентропијата изгледа малку мистериозна во смисла дека оваа количина е недостапна за ниту едно од нашите сетила, иако има вистинска сопственост на физичките величини, бидејќи, барем во принцип, таа е целосно мерливи“

Според дефиницијата на Клаузиус, ентропијата е физичка големина чијшто прираст е еднаков на количината на топлина , примен од системот, поделен со апсолутната температура:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Во согласност со вториот закон на термодинамиката, во изолираните системи, т.е. системи кои не разменуваат енергија со околината, нарушената состојба (хаос) не може самостојно да се трансформира во ред Така, во изолираните системи, ентропијата може само да се зголемува.Овој модел се нарекува принцип на зголемување на ентропијата. Според овој принцип, секој систем се стреми кон состојба на термодинамичка рамнотежа, која се поистоветува со хаос. Бидејќи зголемувањето на ентропијата ги карактеризира промените со текот на времето во затворените системи, ентропијата делува како еден вид стрели на времето.

Состојбата со максимална ентропија ја нарековме нарушена, а состојбата со ниска ентропија подредена. Статистичкиот систем, ако се остави сам на себе, оди од подредена во нарушена состојба со максимална ентропија која одговара на дадените надворешни и внатрешни параметри (притисок, волумен, температура, број на честички итн.).

Лудвиг Болцман го поврза концептот на ентропија со концептот на термодинамичка веројатност: font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Така, секој изолиран систем, оставен сам на себе, со текот на времето преминува од состојба на ред во состојба на максимална неред (хаос).

Од овој принцип следи песимистичка хипотеза за топлинска смрт на универзумот,формулирани од R. Clausius и W. Kelvin, според кои:

· енергијата на Универзумот е секогаш константна;

· Ентропијата на универзумот секогаш се зголемува.

Така, сите процеси во Универзумот се насочени кон постигнување состојба на термодинамичка рамнотежа, што одговара на состојбата на најголем хаос и неорганизираност. Сите видови енергија се деградираат, претворајќи се во топлина, а ѕвездите ќе го прекинат своето постоење, ослободувајќи енергија во околниот простор. Константна температура ќе биде воспоставена само неколку степени над апсолутната нула. Во овој простор ќе бидат расфрлани безживотни, оладени планети и ѕвезди. Нема да има ништо - нема извори на енергија, нема живот.

Оваа мрачна перспектива била предвидена од физиката до 1960-тите, иако заклучоците од термодинамиката биле во спротивност со резултатите од истражувањето во биологијата и општествените науки. Така, Дарвиновата еволутивна теорија сведочеше дека живата природа се развива првенствено во насока на подобрување и сложеност на новите видови растенија и животни. Историјата, социологијата, економијата и другите општествени и хумани науки, исто така, покажаа дека во општеството, и покрај индивидуалните цик-цак на развојот, генерално се забележува напредок.

Искуството и практичната активност покажаа дека концептот на затворен или изолиран систем е прилично груба апстракција што ја поедноставува реалноста, бидејќи во природата е тешко да се најдат системи кои не комуницираат со околината. Противречноста почна да се решава кога во термодинамиката, наместо концептот на затворен изолиран систем, беше воведен фундаменталниот концепт на отворен систем, односно систем кој разменува материја, енергија и информации со околината.

Методи Образование За оваа страница Библиотека Мат. форуми

Библиотека > Книги за физика > Статистичка физика

Пребарајте ја библиотеката по автори и клучни зборови од насловот на книгата:

Статистичка физика

• Aizenshits R. Статистичка теорија на неповратни процеси. М.: Издавачка куќа. Странски лит., 1963 (djvu)
• Анселм А.И. Основи на статистичка физика и термодинамика. М.: Наука, 1973 (djvu)
• Ахизер А.И., Пелетмински С.В. Методи на статистичка физика. М.: Наука, 1977 година (djvu)
• Базаров И.П. Методолошки проблеми на статистичката физика и термодинамика. М.: Издавачка куќа на Московскиот државен универзитет, 1979 година (djvu)
• Богољубов Н.Н. Избрани трудови за статистичка физика. М.: Издавачка куќа на Московскиот државен универзитет, 1979 година (djvu)
• Богољубов Н.Н. (Џуниор), Садовников Б.И. Некои прашања од статистичка механика. М.: Повисоко. училиште, 1975 година (djvu)
• Бонч-Бруевич В.Л., Тјабликов С.В. Метод на функција на Грин во статистичката механика. М.: Fizmatlit, 1961 година (djvu, 2,61 Mb)
• Василиев А.М. Вовед во статистичка физика. М.: Повисоко. училиште, 1980 година (djvu)
• Власов А.А. Нелокална статистичка механика. М.: Наука, 1978 (djvu)
• Гибс Џ.В. Основни принципи на статистичката механика (претставени со посебна примена на рационалното основање на термодинамиката). M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
• Гуров К.П. Основи на кинетичка теорија. Метод Н.Н. Богољубова. М.: Наука, 1966 (djvu)
• Заславски Г.М. Статистичка неповратност во нелинеарни системи. М.: Наука, 1970 (djvu)
• Захаров А.Ју. Решетки модели на статистичка физика. Велики Новгород: НовСУ, 2006 година (pdf)
• Захаров А.Ју. Функционални методи во класичната статистичка физика. Велики Новгород: НовСУ, 2006 година (pdf)
• Ios G. Курс за теоретска физика. Дел 2. Термодинамика. Статистичка физика. Квантна теорија. Нуклеарна физика. М.: Образование, 1964 година (djvu)
• Ishihara A. Статистичка физика. М.: Мир, 1973 година (djvu)
• Каданов Л., Беим Г. Квантна статистичка механика. Методи на функција на Грин во теоријата на рамнотежни и нерамнотежни процеси. М.: Мир, 1964 година (djvu)
• Katz M. Веројатност и поврзани прашања во физиката. М.: Мир, 1965 година (djvu)
• Katz M. Неколку веројатносни проблеми на физиката и математиката. М.: Наука, 1967 година (djvu)
• Kittel Ch.Елементарна статистичка физика. М.: ИЛ, 1960 (djvu)
• Kittel Ch. Статистичка термодинамика. М: Наука, 1977 година (djvu)
• Козлов В.В. Термичка рамнотежа според Гибс и Поенкаре. Москва-Ижевск: Институт за компјутерски истражувања, 2002 година (djvu)
• Компаниец А.С. Законите на физичката статистика. Шок бранови. Супергуста супстанција. М.: Наука, 1976 (djvu)
• Компаниец А.С. Курс теоретска физика. Том 2. Статистички закони. М.: Образование, 1975 година (djvu)
• Коткин Г.Л. Предавања по статистичка физика, НСУ (pdf)
• Крилов Н.С. Работи на поткрепување на статистичката физика. М.-Л.: Од Академијата на науките на СССР, 1950 година (djvu)
• Kubo R. Статистичка механика. М.: Мир, 1967 година (djvu)
• Landsberg P. (ed.) Проблеми во термодинамиката и статистичката физика. М.: Мир, 1974 година (djvu)
• Левич В.Г. Вовед во статистичката физика (второ издание) М.: GITTL, 1954 (djvu)
• Libov R. Вовед во теоријата на кинетичките равенки. М.: Мир, 1974 година (djvu)
• Mayer J., Geppert-Mayer M. Статистичка механика. М.: Мир, 1980 година (djvu)
• Минлос Р.А. (уред.) Математика. Ново во странската наука-11. Гибс наведува во статистичката физика. Дигест на статии. М.: Мир, 1978 (djvu)
• Ноздрев В.Ф., Сенкевич А.А. Курс по статистичка физика. М.: Повисоко. училиште, 1965 година (djvu)
• Prigogine I. Нерамнотежна статистичка механика. М.: Мир, 1964 година (djvu)
• Радушкевич Л.В. Курс по статистичка физика (второ издание) М.: Образование, 1966 година (djvu)
• Курс по физика на Reif F. Berkeley. Том 5. Статистичка физика. М.: Наука, 1972 година (djvu)
• Румер Ју.Б., Ривкин М.Ш. Термодинамика, статистичка физика и кинетика. М.: Наука, 1972 година (djvu)
• Румер Ју.Б., Ривкин М.Ш. Термодинамика, статистичка физика и кинетика (второ издание). М.: Наука, 1977 година (djvu)
• Ruel D. Статистичка механика. М.: Мир, 1971 година (djvu)
• Савуков В.В. Појаснување на аксиоматските принципи на статистичката физика. СПб.: Балт. држава техн. Унив. „Военмех“, 2006 година

СТАТИСТИЧКИ, статистички дел. физика, посветена на поткрепување на законите врз основа на законите на интеракцијата. и движењата на честичките кои го сочинуваат системот. За системи во рамнотежна состојба, статистиката овозможува пресметување, снимање, фаза и хемиски услови. . Статистиката за нерамнотежа дава оправдување за односите (равенки за пренос на енергија, импулс, маса и нивните гранични услови) и овозможува да се пресметаат кинетиката вклучени во равенките на преносот. коефициенти. Статистиката утврдува количини. врска помеѓу микро- и макро-својствата на физичките. и хем. системи Статистичките методи на пресметка се користат во сите области на современата наука. теоретски .

Основни концепти.За статистички макроскопски описи системи J. Gibbs (1901) предложи да се користат концептите на статистички. ансамбл и фазен простор, што овозможува да се применат методи на теорија на веројатност за решавање проблеми. Статистички ансамбл - збирка од многу голем број идентични множина системи. честички (т.е. „копии“ од системот што се разгледува) лоцирани во иста макросостојба, што се одредува со ; Микросостојбите на системот може да се разликуваат. Основни статистички ансамбли - микроканонски, канонски, големи канонски. и изобарско-изотермална.

Микроканонски Гибсовиот ансамбл се користи кога се разгледува (не се разменува енергијата E со) со постојан волумен V и број на идентични честички N (E, V и N-системи). Канонич. Гибсовиот ансамбл се користи за опишување системи со постојан волумен кои се во термална c (апсолутна температура T) со константен број на честички N (V, T, N). Големиот канон. Ансамблот Гибс се користи за опишување на оние лоцирани во термална c (температура Т) и материјал со резервоар од честички (сите честички се разменуваат низ „ѕидовите“ што го опкружуваат системот со волумен V). на таков систем - V, T и m - хемиски потенцијал на честички. Изобарно-изотермална Ансамблот Гибс се користи за опишување на системи во топлинска и крзно. s на константа P (T, P, N).

Фазен простор во статистика механиката е повеќедимензионален простор, чии оски се сите генерализирани координати q i и придружните импулси p i (i = 1,2,..., M) на систем со М степени на слобода. За систем кој се состои од N, q i и p i одговараат на Декартовската координатна и компонента на импулсот (a = x, y, z) на одредено j и M = 3N. Множеството координати и моменти се означуваат со q и p, соодветно. Состојбата на системот е претставена со точка во фазен простор со димензија 2M, а промената на состојбата на системот во времето е претставена со движење на точка по линија, наречена. фаза на траекторија. За статистички За да се опише состојбата на системот, воведени се концептите на фазен волумен (елемент на волуменот на фазниот простор) и функцијата на дистрибуција f(p, q), што ја карактеризира густината на веројатноста за наоѓање точка што ја претставува состојбата на систем во елемент од фазен простор во близина на точка со координати p, q. Наместо фазен волумен, се користи концептот на дискретна енергија. спектар на систем со конечен волумен, бидејќи состојбата на поединечна честичка не се определува со импулс и координати, туку со бранова функција, пресек на стационарна динамика. состојбата на системот одговара на енергијата. опсег .

Дистрибутивна функцијакласичен системот f(p, q) ја карактеризира густината на веројатноста за имплементација на даден микросостојби (p, q) во волуменскиот елемент dГ на фазен простор. Веројатноста N честички да бидат во бесконечно мал волумен на фазен простор е еднаква на:

каде што dГ N е елементот на фазниот волумен на системот во единици од h 3N, h е Планкова константа; делител N! го зема предвид фактот дека преуредувањето на идентитетите. честичките не ја менуваат состојбата на системот. Функцијата за распределба го задоволува условот за нормализирање t f(p, q)dГ N = 1, бидејќи системот е сигурно во k.-l. состојба. За квантните системи, функцијата на дистрибуција ја одредува веројатноста w i, N за наоѓање систем од N честички во дадено множество квантни броеви i, со енергија E i, N, предмет на нормализација

Просечната вредност во времето t (т.е. споредбескрајно мал временски интервал од t до t + dt) било кој физички. вредноста A(p, q), која е функција од координатите и моментите на сите честички во системот, се пресметува со помош на функцијата на дистрибуција според правилото (вклучително и за нерамнотежни процеси):

Интеграцијата преку координатите се врши низ целиот волумен на системот, а интеграцијата преку импулсите од - , до +, . Термодинамичка состојба системите треба да се сметаат како граница t: , . За состојби на рамнотежа, функциите на дистрибуција се одредуваат без да се реши равенката на движење на честичките што го сочинуваат системот. Формата на овие функции (иста за класичните и квантните системи) е воспоставена од Џ. Гибс (1901).

Во микроканон. Во ансамблот Гибс, сите микросостојби со дадена енергија Е се подеднакво веројатни и функцијата на дистрибуција за класичната системите имаат форма:

f(p,q) = A г,

Каде d - Диракова делта функција, H(p, q) - Хамилтонова функција, која е збир на кинетиката. и потенцијал енергиите на сите честички; константата A се одредува од условот за нормализирање на функцијата f(p, q). За квантните системи, со точност на спецификација еднаква на вредноста на D E, во согласност со помеѓу енергијата и времето (помеѓу моментумот и координатите на честичките), функцијата w (E k) = -1, ако EE k E + D E, и w (E k ) = 0 ако E k< Е и E k >E + D E. Вредност g(E, N, V)-t. повикани статистички , еднаков на бројот во енергија. слој D E. Важна статистичка врска е врската помеѓу системот и статистичкиот. :

S(E, N, V) = klng(E, N, V), каде што k-Болцмановата константа.

Во канон. Во ансамблот Гибс, веројатноста системот да биде во микросостојба одредена од координатите и моментите на сите N честички или вредностите на E i,N има форма: f(p, q) = exp (/kT) ; w i,N = exp[(F - E i,N)/kT],каде што без F. енергија (), во зависност од вредностите на V, T, N:

F = -kTlnZ N,

каде Z N -статистичка. збир (во случај на квантен систем) или статистички. интеграл (во случај на класичен систем), определен од условот за нормализирање на функциите w i,N или f(p, q):

Z N = t exp[-H(p, q)/kT]dpdq/(N!h 3N)

(збир над r над сите системи, а интеграцијата се врши низ целиот фазен простор).

Во големиот канон. Гибсовата функција за дистрибуција на ансамблот f(p, q) и статистичка. збирот X, определен од условот за нормализација, има форма:

Каде W - термодинамички потенцијал во зависност од променливите V, T, m (збирот се врши над сите позитивни цели броеви N). Во изобарско-изотермална Дистрибуција на ансамблот на Гибс и статистичка функција. збирот Q, определен од условот за нормализација, има форма:

каде G-системи (изобарско-изотермичен потенцијал, слободен).

Да се ​​пресмета термодинамиката функции, можете да користите која било дистрибуција: тие се еквивалентни една на друга и одговараат на различни физички. Услови. Микроканонски Се применува Гибсовата распределба. arr. во теоретски истражување. За да се решат конкретни проблеми, се разгледуваат ансамбли, во кои доаѓа до размена на енергија со околината (канонска и изобарско-изотермална) или размена на енергија и честички (голем канонски ансамбл). Последново е особено погодно за изучување на фаза и хемија. . Статистички збировите на Z N и Q овозможуваат да се одредат F, G, како и термодинамиката. својства на системот добиени со диференцијација на статистички. износи според соодветните параметри (по 1 село): внатрешно. енергија U = RT 2 (9 lnZ N /9 T) V, H = RT 2 (9 lnQ/9 T) P, S = RlnZ N + RT(9 lnZ N /9 T) V = = R ln Q + RT (9 ln Q/9 T) P, при постојан волумен С V = 2RT(9 lnZ N/9 T) V + RT 2 (9 2 lnZ N/9 T 2) V, при константа С Р = 2RT (9 lnZ N /9 T) P + + RT 2 (9 2 lnZ N /9 T 2) P итн. Респ. сите овие количини добиваат статистичка значајност. значење. Така, таа се поистоветува со просечната енергија на системот, што ни овозможува да ја сметаме како движење на честичките што го сочинуваат системот; бесплатно енергијата е поврзана со статистичките збирот на системот, ентропија - со бројот на микросостојби g во дадена макросостојба, или статистички. макросостојба, а со тоа и со нејзината веројатност. Значењето како мерка за веројатноста на состојба е зачувано во однос на произволни (нерамнотежни) состојби. Во состојба на изолација. системот ја има максималната можна вредност за дадено надворешно. услови (E, V, N), т.е. рамнотежната состојба е најмногу. веројатна состојба (со макс. статистички ). Затоа, преминот од нерамнотежна состојба во состојба на рамнотежа е процес на премин од помалку веројатни состојби во поверојатни. Ова е статистичката точка. значењето на законот за зголемување, според кој може само да се зголемува (види). На t-re апс. од нула, секој систем е фундаментално состојба во која w 0 = 1 и S = ​​0. Оваа изјава е (види). Важно е дека за недвосмислено определување е неопходно да се користи квантниот опис, бидејќи во класичен статистика м.б. се дефинира само до произволен термин.

Идеални системи. Пресметка на статистички суми на повеќето системи е тешка задача. Тоа е значително поедноставено ако придонесот на потенцијалот. енергијата во вкупната енергија на системот може да се занемари. Во овој случај, целосната функција на дистрибуција f(p, q) за N честички на идеален систем се изразува преку производот на функциите на дистрибуција со една честичка f 1 (p, q):

Распределбата на честичките меѓу микросостојбите зависи од нивната кинетика. енергија и од квантните светци во системот, порадипоради идентитетот на честичките. Сите честички се поделени во две класи: фермиони и бозони. Типот на статистика што ги почитуваат честичките е единствено поврзан со нивната .

Статистиката на Ферми-Дирак ја опишува дистрибуцијата во систем на идентитети. честички со полуцел број 1/2, 3/2,... во единици ђ = h/2p. Се нарекува честичка (или квазичестичка) која се покорува на наведената статистика. фермион. Фермионите вклучуваат во, и, со непарни, со непарни разлики и броеви, квазичестички (на пример, дупки во) итн. Оваа статистика беше предложена од Е. Ферми во 1926 година; во истата година, П. Дирак ја открил својата квантна механика. значење. Брановата функција на фермионскиот систем е антисиметрична, т.е. го менува својот знак при преуредување координати и какви било идентитети. честички. Секоја може да содржи не повеќе од една честичка (види). Просечниот број на фермионски честички n i во состојба со енергија E i се одредува со функцијата за дистрибуција на Ферми-Дирак:

n i =(1+exp[(E i - m)/kT]) -1,

каде што i е збир на квантни броеви кои ја карактеризираат состојбата на честичката.

Статистиката на Бозе-Ајнштајн опишува системи на идентитети. честички со нула или цел број (0, ђ, 2ђ, ...). Се нарекува честичка или квазичестичка што се покорува на наведената статистика. бозон. Оваа статистика беше предложена од С. Бозе (1924) за фотоните и развиена од А. Ајнштајн (1924) во однос на , на пример, сметани како композитни честички на парен број фермиони. со парен вкупен број и (деутрон, 4 Тој јадро и др.). Бозоните вклучуваат и фонони во и течност 4 He, ексцитони во и. Брановата функција на системот е симетрична во однос на пермутацијата на кој било идентитет. честички. Броевите за пополнување на никаков начин не се ограничени, т.е. Било кој број на честички може да постои во една состојба. Просечниот број на честички n i бозони во состојба со енергија E i е опишан со функцијата за дистрибуција Бозе-Ајнштајн:

n i =(exp[(E i - m)/kT]-1) -1.

Статистиката на Болцман е посебен случај на квантна статистика, кога квантните ефекти може да се занемарат (високи температури). Ја разгледува распределбата на честичките по моменти и координати во фазниот простор на една честичка, а не во фазниот простор на сите честички, како во Гибсовата распределба. Како минимум единици за волумен на фазен простор, кој има шест димензии (три координати и три проекции на импулсот на честичките), во согласност со квантната механика. , не можете да изберете јачина помала од h 3 . Просечниот број на честички n i во состојба со енергија E i е опишан со функцијата за распределба на Болцман:

n i =exp[( m -E i)/kT].

За честички кои се движат според класичните закони. механика во надворешни потенцијал поле U(r), статистички рамнотежна функција на распределбата f 1 (p,r) над моментите p и координатите r на честичките има форма:f 1 (p,r) = A exp( - [p 2 /2m + U(r)]/kT). Еве стр 2 /2t-кинетичка. енергија од маса w, од условот за нормализација се одредува константата A. Овој израз често се нарекува Максвел-Болцманова дистрибуција, а Болцмановата дистрибуција се нарекува. функција

n(r) = n 0 exp[-U(r)]/kT],

каде n(r) = t f 1 (p, r)dp - густина на бројот на честички во точката r (n 0 - густина на бројот на честички во отсуство на надворешно поле). Болцмановата дистрибуција ја опишува дистрибуцијаталадни во гравитационото поле (барометриско f-la), а високо дисперзирани честички во полето на центрифугалните сили, во недегенерирани, а се користи и за пресметување на распределбата во разредена. p-max (во волуменот и на границата со) итн. При U(r) = 0, Максвел-Болцмановата распределба следи од Максвел-Болцмановата распределба, која ја опишува распределбата на брзините на честичките во статистичка состојба. (Џ. Максвел, 1859). Според оваа распределба, веројатниот број по единица волумен на компонентите на брзината, кои лежат во интервалите од u i до u i + du i (i = x, y, z), се одредува со следнава функција:

Дистрибуцијата Максвел не зависи од интеракцијата. помеѓу честички и е точно не само за , туку и за (ако е возможен класичен опис за нив), како и за брауновите честички суспендирани во и . Се користи за броење на бројот на судири меѓу себе за време на хемиски реакции. област и од површината.

Износ по држава.Статистички износ во канонски Гибсовиот ансамбл се изразува преку збирот над состојбите на еден Q 1:

каде што E i е енергијата на i-тото квантно ниво (i = O одговара на нултата рамнина), g i е статистичка. i-то ниво. Во општ случај, поединечните типови на движење и групите во, како и движењето во целина се меѓусебно поврзани, но приближно тие можат да се сметаат за независни. Тогаш збирот над државите може да биде претставен во форма на производ од поединечни компоненти поврзани со чекорите. движење (Q пост) и со интрамол. движења (Q int):

Q 1 = Q пост · Q int, Q пост = l (V/N),

Каде l = (2p mkT/h 2) 3/2. За Q ext го претставува збирот на електронските и нуклеарните состојби; за Q int - збир на електронски, нуклеарни, осцилации. и ротираат. државите. Во опсегот на температури од 10 до 10 3 K, обично се користи приближен опис, во кој секој од наведените типови на движење се разгледува независно: Q in = Q el · Q отров · Q ротација · Q count /g, каде што g е бројот, идентитетот еднаков на бројот. конфигурации кои се појавуваат за време на ротацијата, составени од идентични или групи.

Збирот на состојбите на електронското движење Q el е еднаков на статистички. Р т бас. електронска состојба. Во множина случаи бас. нивото е недегенерирано и одвоено од најблиското возбудено ниво, што значи. енергија: (P t = 1). Меѓутоа, во некои случаи, на пр. за O 2, Р t = з, во основа. состојба, моментот на количеството на движење е различен од нула и се одвива, а енергијата може. доста ниско. Збирот над состојбите на отровот Q, поради дегенеративноста на нуклеарните, е еднаков на:

каде што s i е спинот на јадрото i, производот се превзема над сите . Збир по состојби на осцилација. движењекаде v i -фреквенции мали флуктуации, n е бројот во. Збирот по држава ќе се ротира. движењата на полиатомски со големи моменти на инерција може да се сметаат класично [приближување на висока температура, T/q i 1, каде q i = h 2 /8p 2 kI i (i = x, y, z), I t е главниот момент на инерција на ротација околу оската i]: Q време = (p T 3 /q x q y q z) 1/2. За линеарни со момент на инерција I статистички. збир Q време = T/q, каде што q = h 2 /8p 2 *kI.

При пресметување на температури над 10 3 К, неопходно е да се земе предвид анхармоничноста на вибрациите, ефектите на интеракцијата. осцилира и ротираат. степени на слобода (види), како и електронски состојби, популација на возбудени нивоа итн. При ниски температури (под 10 К), неопходно е да се земат предвид квантните ефекти (особено за диатомските). Добро, ајде да го ротираме. движењето на хетеронуклеарното АБ е опишано со следнава формула:

Ротација на l-број. состојби, а за хомонуклеарни A 2 (особено за H 2, D 2, T 2) нуклеарни и ротираат. интеракција на степени на слобода Пријателсо другар: П отров. ротираат Q отров ·Q ротација

Познавањето на збирот над состојбите овозможува да се пресмета термодинамиката. Светци и, вкл. хем. , рамнотежен степен на јонизација итн. Важно во теоријата на стомачни. брзини r-tions има способност да го пресмета процесот на формирање на активирање. комплекс (транзициска состојба), која е претставена како модификација. честичка, една од вибрациите. степени на слобода сечењето се заменува со степенот на слобода на влезот. движења.

Неидеални системи.Во интеракција заедно. Во овој случај, збирот над состојбите на ансамблот не се намалува на производот на збировите над состојбите на поединечните. Ако претпоставиме дека интермол. интеракција не влијаат на внатрешните држави, статистички збир на системот во класична приближување за , што се состои од N идентитети. честичките имаат форма:

Каде

Еве<2 N-конфигурација. интегрален земајќи ја предвид интеракцијата. . Наиб, често потенцијален. енергија U се смета како збир на пар потенцијали: U = =каде U(r ij) е централниот потенцијал. сили во зависност одрастојанијата r ij помеѓу i и j. Придонесот на повеќе честички кон потенцијалот исто така се земени предвид. енергија, ориентациони ефекти итн. Потребата да се пресмета конфигурацијата. интеграл се јавува кога се разгледува кој било кондензатор. фази и фазни граници. Точно решение на проблемот со множина. телата е речиси невозможно, затоа, да се пресметаат статистички податоци. збирови и сите термодинамички. во, добиени од статистички. збирови со диференцијација според соодветните параметри, користете разл. приближни методи.

Според т.н метод на групни проширувања, состојбата на системот се смета како збир на комплекси (групи) кои се состојат од различни броеви и конфигурации. интегралот се разложува на множество од групни интеграли. Овој пристап ни овозможува да замислиме каква било термодинамика. функционираат во форма на низа степени на густина. Наиб. Важен однос од овој вид е виријалното ниво на државата.

За теоретски описите на својствата на густата, и растворите на не-електролити и интерфејси во овие системи се попогодни од директното пресметување на статистички податоци. сума е метод на функции за дистрибуција на n-честички. Во него, наместо да брои статистика. секоја држава со фиксна енергијата ги користи односите помеѓу функциите на дистрибуција f n, кои ја карактеризираат веројатноста честичките да бидат истовремено во точки во просторот со координати r 1,..., r n; за n = N f N = b t f(p, r)dp (овде и подолу q i = r i). Функцијата со една честичка f 1 (r 1) (n = 1) ја карактеризира распределбата на густината на супстанцијата. За оваа периодична. f-ција со максимум кај кристалните јазли. структури; за или во отсуство на надворешни полето е константна вредност еднаква на макроскопска. густина на реката Функцијата за дистрибуција со две честички (n = 2) ја карактеризира веројатноста за наоѓањедве честички во точките 1 и 2, го одредува т.н. корелација функција g(|r 1 - r 2 |) = f 2 (r 1, r 2)/r 2, карактеризирајќи ја меѓусебната корелација во распределбата на честичките. Обезбедува релевантни експериментални информации.

Дистрибутивните функции со димензии n и n + 1 се поврзани со бесконечен систем на испреплетени интегродиференцијали. Равенки Богољубов-Борн-Грин-Кирквуд-Ивон, чиешто решение е исклучително тешко, затоа се земаат предвид ефектите од корелација помеѓу честичките со воведување на декомп. апроксимации, кои одредуваат како функцијата f n се изразува преку функции со помала димензија. Респ. развиена од неколку приближни методи за пресметување на функциите f n, а преку нив сите термодинамички. карактеристики на системот што се разгледува. Наиб. Користени се апроксимациите Perkus-Ievik и hyperchain.

Модели на кондензатори со решетка. состојбите нашле широка примена во термодинамиката. разгледување на речиси сите физичко-хемиски. задачи. Целиот волумен на системот е поделен на локални региони со карактеристична големина по редослед на големината u 0 . Во принцип, во различни модели големината на локалната област може да биде и поголеми и помали од u 0 ; во повеќето случаи тие се исти. Преминот кон дискретна дистрибуција во просторот значително ја поедноставува пресметката на диф. . Решетките модели ја земаат предвид интеракцијата. заедно; енергетска интеракција енергично опишан. параметри. Во голем број случаи, моделите со решетки дозволуваат точни решенија, што овозможува да се оцени природата на употребените приближувања. Со нивна помош, можно е да се разгледаат повеќечестички и специфични. интеракција, ориентација ефекти, итн.

Нумерички методи за определување на термодинамиката. St.-in стануваат сè поважни како што се развива компјутерската технологија. технологија. Во методот Монте Карло, директно се пресметуваат повеќедимензионални интеграли, што овозможува директно да се добијат статистички податоци. просечно забележановредности A(r1.....r N) според кое било од статистичките ансамбли(на пример, А е енергијата на системот). Значи, во канон. термодинамички ансамбл просекот изгледа вака:

Овој метод е применлив за скоро сите системи; просечните вредности добиени со негова помош за ограничени волумени (N = 10 2 -10 5) служат како добра апроксимација за опишување на макроскопските својства. објекти и може да се сметаат како точни резултати.

Во методот што велат. Динамиката на состојбата на системот се разгледува со користење на нумеричката интеграција на Њутновите равенки за движење на секоја честичка (N = = 10 2 -10 5) при дадени потенцијали на меѓучестичка интеракција. Рамнотежните карактеристики на системот се добиваат со просекување на траектории преку фази (над брзини и координати) во текот на долги времиња, по воспоставувањето на Максвеловата дистрибуција на честичките над брзините (т.н. период на термализација).

Ограничувања во употребата на нумеричките методи во основните. утврдени од можностите на компјутерот. Специјалист. ќе пресмета. техниките ви овозможуваат да ги заобиколите тешкотиите поврзани со фактот дека не се разгледува вистински систем, туку мал волумен; ова е особено важно кога се земаат предвид потенцијалите за интеракција на долг дострел, транзициите итн.

Физичката кинетика е дел од статистиката. физика, која дава оправдување за односите што го опишуваат преносот на енергија, импулс и маса, како и влијанието на надворешните влијанија врз овие процеси. полиња. Кинетички. макроскопски коефициенти карактеристики на континуиран медиум кои ги одредуваат зависностите на физичките текови. количини (топлина, импулс, маса на компоненти и сл.) одградиентните текови кои ги предизвикуваат овие текови се хидродинамички. брзина и сл.Потребно е да се разликуваат Onsager коефициентите вклучени во равенките кои ги поврзуваат тековите со термодинамиката. сили (термодинамичка равенка на движење), и коефициенти на пренос (, итн.) вклучени во равенката за пренос. Првиот м.б. изразени преку вториот со користење на односите меѓу макроскопски. карактеристики на системот, па во иднина ќе се разгледуваат само коефициенти. трансфер.

Да се ​​пресмета макроскопски коефициент пренос, потребно е да се изврши просечно мерење на веројатностите за реализација на елементарни трансфери со помош на функцијата за дистрибуција на нерамнотежа. Главната тешкотија е тоа што аналитот. формата на функцијата за распределба f(p, q, t) (t-време) е непозната (за разлика од состојбата на рамнотежа на системот, која е опишана со помош на функциите на распределба на Гибс добиени на t: , ). Разгледајте ги функциите за распределба на n-честички f n (r, q, t), кои се добиени од функциите f (p, q, t) со просекување на координатите и моментите на преостанатите (N - n) честички:

За нив, можеби. Составен е систем на равенки што овозможува да се опишат произволни нерамнотежни состојби. Решавањето на овој систем на равенки е многу тешко. Како по правило, во кинетичка теорија и гасовити квазичестички (фермиони и бозони), се користи само равенката за функцијата за распределба на една честичка f 1. Под претпоставка дека не постои корелација помеѓу состојбите на ниту една честичка (хипотеза за молекуларен хаос), т.н. кинетички Болцманова равенка (Л. Болцман, 1872). Оваа равенка ја зема предвид промената на распределбата на честичките под влијание на надворешни влијанија. сили F(r, m) и судири на парови помеѓу честички:

Каде f 1 (u, r, t) и функциите на дистрибуција на честички досудири, f " 1 (u", r, t) и функции на дистрибуцијапо судир; u и -брзини на честичките пред судирот, u" и -брзини на истите честички по судирот, и = |u -|-модул на релативната брзина на честичките што се судираат, q - аголот помеѓу релативната брзина на u - честички кои се судираат и линијата што ги поврзува нивните центри , s (u,q )dW -диференцијален ефективен пресек за расејување на честички со цврст агол dW во лабораторискиот координатен систем, во зависност од законот за интеракција на честичките. За модел во форма на еластични крути сфери со радиус R, се претпоставува s = 4R 2 cosq Во рамките на класичната механика, диференцијалниот пресек е изразен во однос на параметрите на судир b и e (соодветното растојание на ударот и азимуталниот агол на правата на центри): s dW = bdbde , а се сметаат за центри на сили со потенцијал во зависност од растојанието.За квантни изрази за диференцијалот Ефективниот пресек се добива врз основа на , земајќи го предвид влијанието на ефектите врз веројатноста на судир.

Доколку системот е во статистички , судирниот интеграл Stf е еднаков на нула и решението на кинетиката. Болцмановата равенка ќе биде распределбата на Максвел. За нерамнотежни состојби, решенијата на кинетичката. Болцмановите равенки обично се бараат во форма на сериско проширување на функцијата f 1 (u, r, m) во мали параметри во однос на функцијата за распределба Максвел. Во наједноставната (релаксација) апроксимација, интегралот на судир е приближен како Stgas; за (вообичаената функција на дистрибуција со една честичка f 1 на молекулите во течности не ги открива спецификите на појавите и потребно е разгледување на функцијата на дистрибуција со две честички f 2. Меѓутоа, за доволно бавни процеси и во случаи кога скалите на просторните нехомогености се значително помали од скалата на корелација помеѓу честичките, можете да користите локална рамнотежна функција на дистрибуција на една честичка со температура, хемиски потенцијали и хидродинамичка брзина, кои одговараат на малиот волумен што се разгледува... За него можете да најдете корекција пропорционална на градиентите на температура, хидродинамичка брзина и хемиски потенцијали на компонентите, и пресметување на тековите на импулсите, енергијата и супстанциите, како и оправдување на равенката Навиер-Стоукс и... Во овој случај, коефициентите на пренос испадна дека е пропорционална на просторно-временската корелација функции на тековите на енергија, импулс и супстанции секоја компонента.

За да се опише материјата на и на интерфејсите, широко се користи моделот на кондензатор на решетка. фази. состојбата на системот е фундаментално опишана. кинетички главната равенка во однос на функцијата за распределба P(q, t):

каде P(q,t)= t f(p,q,t)du- функција на дистрибуција, во просек преку импулсите (брзините) на сите N честички, опишувајќи ја распределбата на честичките преку јазлите на структурата на решетката (нивниот број е N y, N< N y), q- номер узла или его координата. В модели "решеточного " частица может находиться в узле (узел занят) или отсутствовать (узел свободен); W(q : q") е веројатноста системот да премине по единица време од состојба q, опишана со целосен сет на координати на честички, во друга состојба q". Првата сума го опишува придонесот на сите процеси во кои се врши транзиција кон дадена состојба q, втората сума го опишува излезот од оваа состојба. Во случај на рамнотежна дистрибуција на честички (t : , ) P(q) = exp[-H(q)/kT]/Q, каде што Q-статистичка. збир, H(q) е енергијата на системот во состојба q. Веројатните за транзиција го задоволуваат деталниот принцип: W(q" : q)exp[-H(q")/kT] = W(q: q")exp[-H(q)/kT]. Врз основа на равенките за функциите P(q,t) се конструира кинетичка равенка. равенки за функции за распределба на n-честички, кои се добиваат со просекување на локациите на сите други (N - n) честички. За малите h во границата со, раст, фазни трансформации итн. За меѓуфазниот пренос, поради разликите во карактеристичните времиња на процесите на миграција на елементарните честички, важна улога игра типот на граничните услови на фазните граници.

За мали системи (број на јазли N y = 10 2 - 10 5) системот на равенки во однос на функцијата P(q,t) може да биде решени нумерички со помош на методот Монте Карло. Фазата на системот до состојба на рамнотежа ни овозможува да ги разгледаме разликите. минливи процеси во проучувањето на кинетиката на фазните трансформации, растот, кинетиката на површинските реакции итн. и да ја одреди нивната динамика. карактеристики, вклучително и коефициент. трансфер.

За да се пресмета коефициентот. пренос во гасовити, течни и цврсти фази, како и на фазни граници, активно се користат различни варијанти на методот на мол. динамика, која ни овозможува детално да ги следиме системите од време од ~10 -15 s до ~10 -10 s (во моменти од редот од 10 -10 - 10 -9 s и повеќе, т.н. Ланжевинова равенка е се користи, оваа равенка Њутновите формули содржат стохастички член на десната страна).

За системи со хемиски p-tions врз природата на дистрибуцијата на честичките е многу под влијание на односот помеѓу карактеристичните времиња на пренос и нивните хемиски. трансформации. Ако брзината на хемиски трансформацијата е мала, распределбата на честичките не се разликува многу од случајот кога нема решение. Ако брзината на дистрибуцијата е голема, нејзиното влијание врз природата на распределбата на честичките е големо и невозможно е да се користат просечни честички (т.е. функции на дистрибуција со n = 1), како што се прави при користење. Потребно е подетално да се опише дистрибуцијата користејќи ги функциите на дистрибуција f n со n > 1. Важно при опишувањето на реакцијата. честичките течат на површината и брзините имаат гранични услови (види).

Лит.: Кубо Р., Статистичка механика, транс. од англиски, М., 1967; Зубарев Д.Н., Нерамнотежа статистичка, М., 1971; Ишихара А., Статистичка физика, транс. од англиски, М., 1973; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М Л