(од работно искуство)
наставник по математика
гимназија бр.8 именувана по Л.М. Марашинова
Рибинск, 2010 година
Вовед 3
1. Софтверско-содржински дизајн на стохастичка линија во средно училиште 4
3. Методолошки забелешки: од работно искуство 10
4. График на веројатност – визуелна алатка на теоријата на веројатност 13
5. Модул „Ентропија и информации“ - мета-предмет од училишниот предмет Теорија на веројатност 19
6.Организација на проектни и истражувачки активности на студентите при совладување на предметот теорија на веројатност 24
Анекс 1. Тематски сајт „Теорија на веројатност“. Апстрактен и мултимедијален прирачник 27
Прилог 2. Анализа на образовни и методолошки комплекси за ефективноста на воведувањето на стохастичката линија во училишното образование 31
Додаток 3. Контролен тест. Електронски контролен систем 33
Додаток 4. Тест бр.1 34
Прилог 5. Технолошка карта на тема „Елементи на теоријата на веројатност“ 36
Прилог 7. Презентација за часот „Предмет теорија на веројатност. Основни поими“ 53
Прилог 8. Технолошка карта за конструирање на часот „Условна веројатност. Вкупна веројатност“ 60
Прилог 9. Технолошка карта за конструирање на часот „Случајни настани и коцкање“ 63
Прилог 10. Методолошки прирачник „Ентропија и информации. Решавање на логички проблеми“. 36-ти. 66
Прилог 11. „Ентропија и информации“ мултимедија – комплекс. ЦД – диск, наставно помагало. 12-ти. 67
Прилог 12. Книга од тематскиот модул „Ентропија и информации“ 68
Прилог 13. Технолошка карта за конструирање на часот „Решавање логички проблеми со пресметување ентропија и количина на информации“ 69
Прилог 14. Тематски апстракт „Историја на формирањето на теоријата на веројатност“ 73
Прилог 16. Презентација на лансирањето на проектот „Теорија на веројатност и живот“ 78
Прилог 17. Книга „Од теорија на веројатност до теорија на коцкање“ во рамките на проектот „Теорија на веројатност и живот“ 80
Прилог 18. Презентација „Децата во светот на возрасните пороци“ во рамките на проектот „Теорија на веројатност и живот“ 81
Прилог 19. Апстракт од истражувачката работа „Веројатни игри“ за ученици од 8 одделение 83
Прилог 20. Презентација за истражувачката работа „Игри на веројатност“ 86
Вовед
Современото општество поставува прилично високи барања од своите членови во однос на способноста да анализираат случајни фактори, да ги проценат шансите, да поставуваат хипотези, да го предвидат развојот на ситуацијата, да донесуваат одлуки во ситуации од веројатна природа, во ситуации на несигурност и да демонстрираат комбинирано размислување. што е неопходно во нашиот свет презаситен со информации. .
Најефективниот начин за развивање на овие вештини е во курсот „Теорија на веројатност и математичка статистика“, потребата за која научниците ќе ја проучуваат во руските училишта се дебатира во минатиот век. Во различни периоди од формирањето на руското образование, пристапите кон стохастичката линија се менуваа од негово целосно исклучување од математичкото образование во средно училиште до делумно и целосно проучување на основните концепти. Еден од главните аспекти на модернизацијата на руското училишно математичко образование во 21 век е вклучувањето на веројатностичко теоретско знаење во општото образование. Стохастичката линија (комбинација од елементи на теоријата на веројатност и математичка статистика) е наменета да формира разбирање за детерминизмот и случајноста, да помогне да се сфати дека многу закони на природата и општеството се веројатни по природа, реалните феномени и процеси се опишани со веројатни модели .
Како студент на Јарославскиот државен педагошки универзитет именуван по К.Д. Ушински, под водство на професорот В.В. Афанасиев, бев доста активно вклучен во овој конкретен курс, методи за решавање проблеми и проучување на теоретско знаење, барање применети можности. Воведувањето на теоријата на веројатност во стандардите на втората генерација ја зголеми релевантноста на формираното тело на знаење, разбирањето на важноста на човековата веројатна култура и потребата да се бараат методолошки и дидактички „нагласи“.
Практичното значење и новитет на презентираното работно искуство лежи во неговата авторска ексклузивна употреба на систематски графикони во решавањето на проблемите, во методолошкиот и дидактичкиот мета-субјект на формирањето на информациската култура. Програмските барања на стандардите се продолжуваат во проектните и истражувачките активности на наставникот и учениците. Отвореноста на искуството е потврдена со работна тематска веб-страница 1, односно можноста за повторено емитување и толкување.
На страниците на ова дело е претставено искуството од програмската и содржинска конструкција на стохастичката линија на математиката воопшто и теоријата на веројатност особено, а се нудат методолошки совети за употреба на методолошки и дидактички техники за изучување теорија и примена. тоа во пракса. Карактеристика на искуството на авторот во совладувањето на курсот по теорија на веројатност е презентацијата на предметот со систематска употреба на графикони, што го прави предметниот материјал повизуелен и достапен. Се предлагаат опции за користење на современи интерактивни алатки за учење и контрола на знаење: интерактивна табла, електронски системи за контрола на знаењето. Во прилозите се претставени конкретни резултати од заедничката работа на наставникот и учениците од гимназијата бр.8 именувана по Л.М. Марашинова.
Софтверско-содржински дизајн на стохастичка линија во средно училиште
Проблемот на избор на соодветен образовен и методолошки комплекс кој најцелосно го придружува воспитно-образовниот процес, и изборот на оние дидактички техники кои ќе овозможат оптимално спроведување на бараните задачи на стохастичкото образование, станува итен. Детална суштинска анализа на системите за настава и учење во сила во времето на 2007 година е претставена на страниците на тематската страница на авторот 2 (Прилог 2).
Анализата на одобрените воспитно-методолошки комплекси покажува дека задолжителното совладување на стохастичката линија по математика во основно училиште и во 3-та фаза на образование, само учебникот на Г.В. Дорофеев и И.Ф. Шаригина го предлага следново:
5-то одделение – во темата „Природни броеви“ – „Анализа на податоци“
Одделение 6 - Комбинаторика (6 часа) и веројатност за случајни настани (9 часа)
Одделение 7 - Фреквенција и веројатност (6 часа);
8 одделение – Веројатност и статистика (5 часа)
Деветто одделение – Статистички истражувања (9 часа)
Одделение 8-9: множества и елементи на комбинаторика.
10-11 одделение – Елементи на комбинаторика и теорија на веројатност. Елементи на теоријата на веројатност и математичка статистика.
За да се компензира недостатокот на содржина во учебниците, авторите на некои од нив развија дополнителни параграфи за предметот алгебра за 7-9 одделение, нудејќи планирање на наставата: А.Г. Мордкович и П.В. Семенов; М.В. Ткачев и Н.Е. Федоров „Елементи на статистика и веројатност“
Вакви прирачници сè уште не се развиени за други образовни и методолошки комплекси. Излезот за наставникот - практика од сегашната ситуација е да ја развие авторската програма за работа, изборен предмет, земајќи ги предвид сите противречности што се појавија во однос на воведувањето на стохастичката линија во средношколскиот курс и предложените начини за реши ги.
Имајќи предвид дека ниту една наука не треба да ја совладува учениците одделно, изолирано едни од други, направив обид да најдам значајна интерпенетрација на геометријата, алгебрата, аритметиката, информатиката и стохастиката.
Финансирање на математичката секција на основното училиште
„Елементи на логика, комбинаторика, статистика и теорија на веројатност“ (45 часа)
5
Аритметика:
операции со природни броеви
Сетови и комбинаторика
Класа
6
Веројатност за случајни настани
Аритметика:
операции со дропки;
просек
Класа
Статистички податоци, случајни променливи
Компјутерски науки:
Работа со дијаграми (Excel)
7-мо одделение
Доказ
Геометрија: Докажување теореми
8
Геометриска веројатност
Геометрија:
области на фигури;
Класа
Финансирање на математичка секција во средно училиште
„Елементи на комбинаторика, статистика, теорија на веројатност“
20 часа – база, 25 часа – проф. хуманитарен,
Формули за комбинаторика
Решавање на комбинаторни проблеми
Табеларен и графички приказ на податоците
Некомпатибилни настани
нивната веројатност
Елементарни и сложени настани
Решавање на практични задачи со употреба на веројатни методи, метод на графикони
20 часа – проф. математички
Одделение 10
Така, преку креативно градење програма за работа, наставникот има можност да ја користи образовната база на други секции или наука, создавајќи услови за метасубјективност на секое прашање. Но, креативноста на наставникот не завршува тука. Многу поголеми можности за пројавување на авторството и соодветно на креативноста на наставникот по математика се појавуваат со изборот на дидактички техники за воведување и понатамошна примена на основните поими од предметот стохастика. Структурно авторска визија за спиралатаосновата на концептите на теоријата на веројатност во средно училиште во врска со дополнителното образование е како што следува
Основни концепти на теоријата на веројатност
Секоја точна наука не ги проучува самите феномени што се случуваат во природата и општеството, туку нивните математички модели, односно описот на појавите користејќи збир на строго дефинирани симболи и операции на нив. Во исто време, за да се конструира математички модел на реален феномен, во многу случаи доволно е да се земат предвид само главните фактори и обрасци кои овозможуваат да се предвиди резултатот од експериментот (набљудување, експеримент) врз основа на неговиот дадени првични услови. Сепак, има многу проблеми за кои е неопходно да се земат предвид случајните фактори кои додаваат елемент на неизвесност на исходот од експериментот.
Теорија на веројатност- математичка наука која ги проучува обрасците својствени за масовните случајни појави. Во овој случај, феномените што се проучуваат се разгледуваат во апстрактна форма, без оглед на нивната специфична природа. Односно, теоријата на веројатност не ги разгледува самите реални појави, туку нивните поедноставени шеми - математички модели. Предмет на теоријата на веројатност се математички модели на случајни појави (настани). Во исто време, под случајна појаваразберете феномен чиј исход е невозможно да се предвиди (кога истото искуство се повторува постојано, секој пат се одвива малку поинаку). Примери на случајни појави: грб испаѓа при фрлање паричка, добивка купена лотарија, резултат од мерење на количина, времетраење на телевизија итн. Целта на теоријата на веројатност е да се направи прогноза на терен на случајни појави, да влијае на текот на овие појави и да ги контролира, ограничувајќи го опсегот на случајноста. Во моментов, практично не постои поле на науката во која веројатностите методи не се користат до еден или друг степен.
Случаен настан(или едноставно: настан) е секој исход од искуство што може или не може да се случи. Настаните обично се означуваат со големи букви од латинската азбука: A, B, C, ....
Ако појавата на еден настан во едно испитување исклучува појава на друг, таквите настани се нарекуваат некомпатибилни. Ако, при разгледување на група настани, може да се случи само еден од нив, тогаш тој се нарекува единственото можно. Веќе неколку векови математичарите добиваат најголемо внимание подеднакво можни настани(една од страните на коцката испаѓа).
Примери: а) при фрлање коцка, просторот на елементарните настани P се состои од шест точки: P = (1,2,3,4,5,6); б) фрли ја паричката двапати по ред, потоа P = (GG, GR, RG, RR), каде што G е „грбот“, P е „решетката“ и вкупниот број на исходи (моќ P) | P| = 4; в) фрлајте паричка до првото појавување на „грбот“, потоа P = (G, RG, RRG, RRRG,...). Во овој случај, P се нарекува дискретен простор на елементарни настани.
Човек обично не е заинтересиран за тоа каков специфичен исход се јавува како резултат на испитување, туку дали исходот припаѓа на едно или друго подмножество од сите исходи. Сите оние подмножества на А за кои, според експерименталните услови, можен е одговор од еден од двата типа: „исходот му припаѓа на А“ или „исходот не му припаѓа на А“, ќе ги наречеме настани. Во примерот б), множеството A = (GG, GR, RG) е настан кога се појавува барем еден „грб“. Настанот А се состои од три елементарни исходи на просторот P, затоа |A| = 3.
Збир на два настани A и B е настанот C=A+B, кој се состои од извршување на настанот A или настанот B. Производот на настаните А и Бсе нарекува настан D=A·B, кој се состои во заедничко извршување на настанот A и настанот B. Наспроти настанот A е настан кој се состои во непојавување на A и, според тоа, го надополнува со P. Ако секоја појава на настанот А е проследен со појавата на Б, потоа напишете А до Б и кажете дека А му претходи на Б или А повлекува Б.
Историски гледано, првата дефиниција на концептот на веројатност е дефиницијата што во моментов се нарекува класична или класична веројатност: класична веројатностнастан А се нарекува однос на бројот на поволни исходи (задолжителен да се случи) со вкупниот број некомпатибилни само можни и подеднакво можни исходи: P(A) = m/n, каде што m е бројот на исходи поволни за настанот А. ; n е вкупниот број на некомпатибилни само можни и подеднакво можни исходи. Во однос на значењето на случајноста, сите настани може да се класифицираат на следниов начин:
Се повикуваат неколку настани зглоб, доколку појавата на еден од нив во едно судење не ја исклучува појавата на други настани во истото судење. Во спротивно настаните се нарекуваат некомпатибилни.
Двата настани се нарекуваат зависни, ако веројатноста за еден настан зависи од појавата или непојавувањето на друг. Двата настани се нарекуваат независна, ако веројатноста за еден настан не зависи од појавата или непојавувањето на друг. Неколку настани се нарекуваат колективно независни ако секој од нив и која било комбинација од други настани се независни настани. Се повикуваат неколку настани независни во пар, ако кој било два од овие настани се независни.
Барањето за заедничка независност е посилно од барањето за независност во парови. Ова значи дека неколку настани можат да бидат независни во парови, но нема да бидат независни во агрегат. Ако неколку настани се независни во агрегат, тогаш следи нивната парна независност. Поради фактот што во иднина често ќе биде потребно да се земат предвид веројатностите на некои настани во зависност од појавата или непојавувањето на други, неопходно е да се воведе друг концепт.
Условна веројатност RA(B)е пресметана веројатноста за настанот Б со оглед на тоа дека настанот А веќе се случил.
Еден од најважните концепти во теоријата на веројатност (заедно со случаен настан и веројатност) е концептот случајна променлива.
Случајна променлива се подразбира како количина која како резултат на експериментот зема една или друга вредност, а однапред не се знае која. Примери за случајна променлива вклучуваат: 1) X - бројот на поени што се појавуваат при фрлање коцка; 2) Y - бројот на истрели пред првиот удар во целта; 3) Z - време на работа на уредот, итн. Случајна променлива која зема конечни или броиви збир на вредности се нарекува дискретни. Ако збирот на можни вредности на случајна променлива е неброен, тогаш се нарекува таква вредност континуирано.
Односно, дискретна случајна променлива зема поединечни вредности изолирани една од друга, а континуирана случајна променлива може да земе какви било вредности од одреден интервал (на пример, вредности на сегмент, на целата бројна линија итн. .). Случајните променливи X и Y (примери 1) и 2)) се дискретни. Случајната променлива Z (пример 3)) е континуирана: нејзините можни вредности припаѓаат на интервалот. Пример. Експериментот се состои од фрлање паричка 2 пати. Може да земете во предвид случаен настан - појава на грб и случајна променлива X - број на појавувања на грбот.
Главните карактеристики на случајната променлива се карактеристиките на позицијата (математичко очекување, режим, медијана) и карактеристики на дисперзија (варијанса, стандардна девијација).
Очекувана вредностсе пресметува со помош на формулата M[X]=Σxipi и ја карактеризира просечната вредност на случајна променлива.
Мода (М 0 ) – ова е вредноста на случајна променлива за која соодветната вредност на веројатноста е максимална.
Средна дискретна случаен изборколичина (Me) е таква вредност x k во низа можни вредности на случајна променлива, која ја зема со одредени вредности на веројатност, така што е приближно подеднакво веројатно процесот да заврши пред x k или да продолжи по него.
Варијанса(растурање) на дискретна случајна променлива е математичкото очекување на квадратното отстапување на случајната променлива од нејзиното математичко очекување: D[X]=M(X-M[X]) 2 = M[X 2 ]-M 2 [X] .
Стандардна девијацијаслучајна променлива X е позитивната вредност на квадратниот корен на варијансата: σ[X]=.
Проблемите поврзани со концептите на случаен настан и случајна променлива може ефективно да се разгледаат преку графичка илустрација користејќи графикон на веројатност, на чии рабови се впишани соодветните вредности на веројатност.
Нека веројатноста за победа на еден натпревар за првиот играч е еднаква на 0,3, а веројатноста за победа за вториот играч, соодветно, еднаква на 0,7. Како да се подели облогот во овој случај?
Одговор: пропорционален на веројатноста за победа.
|
X |
x1 |
x2 |
…… |
xn |
…. |
|
Р |
стр1 |
стр2 |
…… |
рn |
.. |
Секое правило (табела, функција, график) што ви овозможува да ги пронајдете веројатностите за произволни настани, особено, означувајќи ги веројатностите на поединечните вредности на случајна променлива или збир од овие вредности, се нарекува закон за распределба на случајна променлива(или едноставно: дистрибуција). Тие велат за случајна променлива дека „го почитува даден закон за дистрибуција“ - врска што воспоставува врска помеѓу можните вредности на случајна променлива и соодветните веројатности. Законот за распределба на дискретна случајна променлива обично се дава во форма на табела, каде што вредностите на случајната променлива се запишани во горната линија, а соодветните веројатности p i се запишани во долната линија под секоја xi Законот за дистрибуција може да има геометриска илустрација во форма на графикон за дистрибуција.
Тарасевич Алена Константиновна, студент на Државниот универзитет во Смоленск, Смоленск [заштитена е-пошта];
Морозова Елена Валентиновна, кандидат за академски степен на педагошки науки, позиција вонреден професор на Катедрата за информатички и образовни технологии, Државниот универзитет во Смоленск, Смоленск [заштитена е-пошта]
Карактеристики на изучување на основите на теоријата на веројатност во училишен курс по математика
Прибелешка. Статијата е посветена на особеностите на проучувањето на основите на теоријата на веројатност во училишниот курс по математика. Посебно внимание се посветува на целите на наставата, карактеристиките и периодите, како и примерите за изучување на оваа дисциплина користејќи специјално креирани програми.
Клучни зборови: методи на изучување на теоријата на веројатност на училиште, начини на изучување на основните поими, методи на настава по математика.
Проучувањето на основите на теоријата на веројатност во училишниот курс по математика има некои карактеристики. Од една страна, ова е прилично обемен и тежок процес, кој понекогаш е тешко да се совлада дури и на посвесна возраст, а да не зборуваме за училишна возраст, сепак, во моментот никој не се сомнева во потребата да се вклучи оваа дисциплина во пред - универзитетски курс, бидејќи помага да се развијат голем број вештини кај детето, кои ќе му бидат корисни не само во понатамошното образование, туку и во животот воопшто. Неопходно е да се научат учениците да размислуваат, земајќи ги предвид сите видови на веројатности. Односно, треба да ги научите да примаат, анализираат и обработуваат информации, да преземаат избалансирани, намерни активности во различни ситуации со неочекувани исходи. Учениците секојдневно во животот се соочуваат со вакви ситуации. Играта и храброста заземаат дефинитивно, значајно место во животот. Сите овие прашања се однесуваат на споредбата на концептите „веројатност“ и „сигурност“, тешкотијата да се избере токму најдоброто од неколкуте опции за акција, проценката на веројатноста за успех и фијаско, идејата за доброто и злото. во игри и во ситуации од реалниот живот - сето ова, се разбира, е во кругот вистински и неопходни хоби на тинејџер Математичките активности на учениците мора да одат надвор од опсегот на готови веројатни модели. Завршувањето на задачите од страна на учениците, кои потоа им помагаат да донесуваат одлуки во реални животни ситуации, игра огромна улога и бара правилно и искусно предавање на материјалот од страна на наставникот. Познавањето на стохастиката е еден од најважните фактори во идниот учинок на наставникот по математика. Потребен ни е повеќеслоен поглед на стохастиката, вклучително и како посебна методологија која вклучува веројатност и статистички заклучоци во нивните меѓусебни врски.Наставникот мора темелно да ги знае и да ги разбере причините за ризикот од донесување погрешни одлуки при анализата на настаните што се случуваат случајно. На пример, погрешното разбирање може да произлезе од малку статистички информации. Наставниците развиваат необични пристапи во наставата. Наставникот, при одредувањето на нивото на знаење на учениците од сите видови стохастички вештини, може да наиде на некои тешкотии, на пример, кога решаваат проблеми, учениците често мораат, така да се каже, да размислуваат разумно и да не постапуваат строго според алгоритмот. , правила, па нивните одговори на истите прашања може да бидат различни, различни. Во овој случај, задачата на наставникот ќе биде да го оцени правото на ученикот на грешка, бидејќи тоа е можно. Треба да се има на ум дека најразвиените деца брзо почнуваат да прават работи поврзани со спроведување на експерименти и истражувања што нè интересираат и го преземаат, така да се каже, старателството над своите другари.
Затоа, важно е да се разликува нивото на вештини и способности поединечно и без помош од аутсајдери за да се извлечат заклучоци за она што е изучувано. Кога почнува да им предава стохастика на студентите, наставникот мора да разбере зошто има потреба да се воведе нова програма во курсот. Правилното разбирање од училишниот наставник за целите на наставата по стохастика, јасното разбирање на нивниот однос со математиката и местото на стохастиката во низа други теми, познавањето на крајните барања за оваа подготовка на учениците е главната основа за наставникот по математика да имплементира нова линија Треба да се напомене дека наставата на која било гранка од математиката има позитивно влијание врз менталниот развој на адолесцентите, бидејќи им дава вештини за правилно логично размислување, базирано исклучиво на правилни и неопходни концепти. Сето горенаведено во целост се однесува на предавањето на теоријата на веројатност, но учењето на „законот на случајноста“ има многу поголемо значење, надминувајќи го вообичаеното. Со проучување на курс по теорија на веројатност, студентот почнува да разбира како да ги применува техниките на логично размислување кога се соочува со несигурност (а во пракса има огромен број такви случаи).
Сето горенаведено може да се дефинира како цели на изучување на оваа дисциплина, но што точно ни претставува во училишниот курс, што учат учениците и кои основни концепти се наоѓаат таму?
Ако пристапиме детално и чекор по чекор, тогаш подобро е училишниот курс за теорија на веројатност да го започнеме во 5-то одделение, каде ќе се воведат основните дефиниции за теоријата на веројатност со специфични, „живи“, разбирливи примери. Почетокот на теоријата на веројатност е комбинаториката, каде што проблемите се решаваат со брутална сила, односно студентите ги истражуваат сите можни решенија. Се разбира, неопходно е да се размисли за решавање на комбинаторни проблеми користејќи дрво на можни опции.
Следната фаза од обуката за учениците е разгледување на настани: случајни, сигурни, невозможни, подеднакво можни, подеднакво веројатни настани, кои се илустрирани со секојдневни примери.Потребно е да се разгледа и правилото за множење, кое е ново средство за решавање комбинаторни проблеми, што звучи вака: „ако првиот елемент од одреден пар може да се избере на m начини и за секој од овие начини вториот елемент може да се избере на n начини, тогаш овој пар може да се избере на m*n начини .“ Неопходно е да се илустрираат можностите на ова правило со конкретни примери.
Посебно поглавје треба да ги разгледа главните статистички карактеристики: аритметичка средина (аритметичката средина на низа броеви е количник на делење на збирот на овие броеви со нивниот број), режим (режим е број на серија што најчесто се јавува во оваа серија), опсег (опсег е разликата помеѓу најголемите и најмалите вредности на податочна серија), медијана (средна е број што ја дели серијата податоци на два дела, еднакви по број на членови), што треба да биде илустрирано со многу примери од животот.Најважно во учењето е да се земат предвид примери кои се однесуваат на практиката, опишани се различни животни примери кои ќе бидат корисни и интересни за децата.
Откако го анализиравме погоре, можеме да ја формулираме класичната дефиниција за теоријата на веројатност, која првпат беше дадена во делата на францускиот математичар Лаплас, а исто така да ги разгледаме елементите на комбинаториката: поставеност и комбинација. Класичната дефиниција може да се илустрира со помош на табела: Табела 1 Решавање проблеми со користење на класичната дефиниција
Веќе во средно училиште се изучуваат статистичко истражување, се воведува дефиниција за статистика (наука која ги проучува, обработува и анализира квантитативните податоци за широк спектар на масовни феномени во животот), нови концепти за земање примероци, репрезентативност, општа популација, рангирање, се зема предвид големината на примерокот. Воведен е нов начин на графичко прикажување на резултатите од полигонот. Истражени се нови концепти на варијанса на примерокот и стандардна девијација.
Проучувањето на второто бара не само разбирање на основите дадени претходно, туку и подетален и внимателен став, бидејќи во математиката, како и во животот, колку подалеку одите, толку станува потешко.
Секако, како и во сите дисциплини, училишниот курс по изучување на теоријата на веројатност има своја посебна методологија за изучување на теоремите, од кои главни се теоремата за собирање на веројатности и последици од нив и теоремата за множење на веројатностите. Проучувањето на теоремите мора да се докаже со конкретни примери што ја илустрираат нивната примена, но тоа ќе го оставиме на училишните наставници, а ние самите едноставно ќе ја објавиме содржината на овие теореми, па така, теоремата за собирање на веројатности звучи вака: „ веројатноста за збир на два некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани“, и, соодветно, формулата за оваа теорема е P(A + B) = P(A) + P(B). Теорема за множење на веројатноста „Веројатноста на производот на два настани е еднаква на производот на веројатноста за еден настан со условната веројатност на другиот, под услов да се случил првиот настан“, формулата за тоа изгледа вака: P(AB ) = P(A)*P(B/A). Заедно со овие теореми, предметот по математика ја проучува и теоријата на множества - гранка на математиката во која се изучуваат општите својства на множествата - збирки елементи од произволна природа кои имаат некакво заедничко својство. Доколку студентите имаат познавање од теоријата на множества, тие ќе да може да ја види врската помеѓу операциите на настани и операциите на множества . Благодарение на ова, студентите ќе можат да заклучат дека предметите и односите во теоријата на веројатност се слични на предметите и односите во теоријата на множества. основните информации.Експеримент Број n можни исходи од експериментот Настан А Број m исходи.поволни за овој настан Веројатност за настанот A: P (A) = m/n Фрли паричка 2 Главата дошле 11/2 Нацртај испит тикет 24 Нацртај несреќен тикет 11/24 Фрли коцка 6 Коцките покажуваат парен број поени 33/6 = 1/2 Играј на лотарија 250 Добиени со купување на еден тикет 1010/250 = 1/25
Во процесот на проучување на операциите на настани, неопходно е да се користат што е можно повеќе примери кои ја одразуваат не само суштината на овие операции, туку и разликите во нив. Учениците лесно можат да го најдат збирот и производот на настаните користејќи ја дефиницијата. Тешкотијата лежи во развивањето кај учениците разбирање и свесност за суштината на операциите на настани. За да го направите ова, можете да користите различни задачи за работа со операции на настани.Проблемот со кој може да се сретнете при објаснувањето на оваа тема е тешкотијата да се изолираат едноставни настани. Решението е очигледно, се е прашање на искуство, колку повеќе проблеми се решаваат, толку повеќе разбирање и минимум погрешни проценки. Проучувањето на оваа тема ќе ги доведе учениците до многу подетално разбирање и разбирање на концептите како „елементарни настани“ , „некомпатибилни настани“, „веродостојни настани“, „невозможни настани“, „спротивни настани“, бидејќи сите овие концепти можат да се дефинираат врз основа на операциите на настани. Се разбира, секој систем има свои недостатоци и коментари. Еден од недостатоците на општоприфатената дефиниција за веројатност е неговата ограничена употреба, бидејќи е погодна само за класични експерименти, кои не се среќаваат толку често во современата практика.Најважно е да се увериме дека учениците научиле дека воведеното дефиницијата за веројатност е многу специфична во нејзината употреба, поради што има потреба од проучување на повеќе пристапи за толкување на концептот на веројатност. Еден од најважните пристапи од практична гледна точка е статистичкиот пристап за дефинирање на концептот на „веројатност“. Неговата имплементација се смета за следна фаза во формирањето на веројатно-теоретските концепти кај студентите. Совладувањето на статистичката дефиниција на концептот на „веројатност“ е важно за неговата последователна примена во деловите на математичката статистика за да се проценат статистичките карактеристики на широка класа на феномени од различна природа. Практиката покажа дека проучувањето на теоријата на веројатност е многу трудоинтензивно и тежок процес за учениците во училиштето, а исто толку тежок е и за наставниците, во однос на неговото пренесување на учениците. Затоа, не поедноставува никакви грешки и недостатоци, кои, да речеме, можат да се направат на часовите по уметност и музика, пред се затоа што е конзистентна, структурна, а секоја честичка од нејзината структура се надополнува.
Врски до изворите 1. Морозова Е.В. Начини на развој на логично размислување и логично размислување на учениците во контекст на модернизација на училишното образование // Современи проблеми на науката и образованието. – 2014 година. – бр.5; URL: http://www.scienceeducation.ru/ru/article/view?id=14962 (датум на пристап: 02/10/2016).2.G.V. Дорофеев, И.Ф. Шаригин, С.Б. Суворова. Учебник: Алгебра. VII одделение: студија за општообразовни институции/–М.: Просвешчение 2014 –288 стр.3.Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и други.Алгебра. 8 одделение: воспитно, за општо образование. институции / А45; Изменето од G. V. Дорофеева; Рос. акад. Наука, Рос. акад. образование, издавачка куќа „Просветителство“.- 5. изд. -М. : Образование, 2010.-288 стр.4 Види: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шаригин, С.Б. Суворова. Учебник: Алгебра. VII одделение: студија за општообразовни институции/–М.: Просвешчение 2014 –288 стр.5.
Н.Л.Стефанов, Н.С.Подходов. Методи и технологија на наставата по математика. Тек на предавања: прирачник за универзитети /. -М. : Bustard, 2005. -416 стр.6.
Види: N. L. Stefanov, N. S. Podkhodov. Методи и технологија на наставата по математика. Тек на предавања: прирачник за универзитети /. -М. : Bustard, 2005. -416 стр.
На ученик за теоријата на веројатност. Љутикас В.С.
Учебник по изборен предмет за ученици од 8-10 одделение.
2. ed., додадете. -М.; Просветителство, 1983.-127 стр.
Целта на овој прирачник е да ги наведе најосновните информации од теоријата на веројатност и да го научи младиот читател како да ги применува при решавање на практични проблеми.
Формат: djvu/zip
Големина: 1,7 MB
/Преземи датотека
СОДРЖИНА
Еден збор до читателот..........................
I. Нешто од минатото на теоријата на веројатност............. 4
II. Случајни настани и операции на нив.............. 10
1. Случаен настан................... -
2. Збир на елементарни настани........... 12
3. Врски меѓу настани............... -
4. Операции на настани..................... 14
5. Комплетна група на настани.......................... 21
III. Наука за броење на бројот на комбинации - комбинаторика... 22
1. Општи правила на комбинаторика........................ 23
2. Избор на елементи................... 24
3. Примероци со повторувања................... 28
4. Сложена комбинаторика................... 32
IV. Веројатност за настан...................... 35
V. Операции на веројатности................................ 42
1. Веројатност за збир на некомпатибилни настани......... -
2. Веројатност на збирот на компатибилни настани.......... 44
3. Условни веројатности........................ 46
4. Веројатност за продукција на независни настани....... 48
5. Формула на вкупна веројатност................... 50
VI. Самостојни повторени тестови.........55
1. Формулата на Џ. Бернули................. -
2. Формула Моивр-Лапласова........................ 60
3. Поасонова формула................... 62
4. Лапласова формула................... 65
VII. Дискретни случајни променливи и нивните карактеристики.. 68
1. Математичко очекување................ 70
2. Варијанса................................... 76
3. Нееднаквоста на Чебишев и законот за големи броеви...... 80
4. Дистрибуција на Поасон................... 84
VIII. Континуирани случајни променливи и нивните карактеристики. 88
1. Густина на дистрибуција................90
2. Математичко очекување................93
3. Дисперзија................................... 95
4. Нормална дистрибуција................ -
5. Концептот на теоремата на Лјапунов................... 98
6. Експоненцијална распределба..................... 102
IX. Малку чудно, но интересно.......... 104
1. Паметна игла (проблем Буфон) ............... -
2. Проблемот на Шевалие де Мере................................. 106
3. Дај ми ја капата................... 108
4. Метеоролошки парадокс 110
5. Да ги одржуваме клиентите среќни............ -
6. Бертрандовиот парадокс...... 111
7. Случајност или систем?................................ 11З
8. Делото е расчистено................... 114
9. „Битка“ ...................... 115
10. Посета на дедо................................. 116
Користена литература........................ 118
Додаток................................ 119
Одговори.......................... 125
Испратете ја вашата добра работа во базата на знаење е едноставна. Користете ја формата подолу
Студентите, дипломираните студенти, младите научници кои ја користат базата на знаење во нивните студии и работа ќе ви бидат многу благодарни.
Објавено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ЗА ОБРАЗОВАНИЕ НА РЕПУБЛИКА БЕЛОРУСИЈА
ОБРАЗОВНА ИНСТИТУЦИЈА „БЕЛОРУСКА ДРЖАВНА ПЕДАГОШКА
УНИВЕРЗИТЕТ НА ИМЕ НА М.ТЕНК
ФИЗИКОМАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ
КАТЕДРА ЗА МЕТОДИ НА НАСТАВА ПО МАТЕМАТИКА
ТЕОРИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТИ ВО УЧИЛИШЕН ПРЕДМЕТ ПО МАТЕМАТИКА
Минск, 2016 година
ВОВЕД
Прашањето за подобрување на математичкото образование во домашните училишта беше покренато во раните 60-ти години на 20 век од извонредните математичари Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, И.И. Кикоин, А.И. Маркушевич, А.Ја. Хинчин. Б.В. Гнеденко напиша: „Прашањето за воведување елементи на веројатничко и статистичко знаење во училишниот курс по математика е одамна задоцнето и не може да толерира дополнително одложување. Законите на строга определба, кон чие проучување е целосно насочено нашето училишно образование, само еднострано ја откриваат суштината на околниот свет. Случајната природа на многу феномени на реалноста е надвор од вниманието на нашите ученици. Како резултат на тоа, нивните идеи за природата на многу природни и општествени процеси се еднострани и несоодветни за модерната наука. Неопходно е да се запознаат со статистички закони кои ги откриваат повеќеслојните врски помеѓу постоењето на предметите и појавите“. ВО И. Левин напишал: „...Статистичката култура неопходна за... активност мора да се негува уште од рана возраст. Не случајно во развиените земји се посветува големо внимание на ова: учениците се запознаваат со елементите на теоријата на веројатност и статистиката уште од првите училишни години и во текот на своето образование стекнуваат веројатност и статистички пристапи за анализа на вообичаени ситуации кои се среќаваат во секојдневниот живот. живот.” Со реформата на 80-тите, елементите на теоријата на веројатност и статистиката беа вклучени во програмите на специјализираните часови, особено физика, математика и природни науки, како и во изборниот предмет за изучување математика. Имајќи ја предвид итната потреба да се развијат одредени квалитети на размислувањето на студентите, се појавуваат авторски развојни предмети за изборни предмети за теоријата на веројатност. Пример за ова може да биде курсот на Н.Н. Авдеева за статистика за 7 и 9 одделение и курс на елементи од математичка статистика за 10 одделение гимназија. Во 10-то одделение беа спроведени тестови, чии резултати, како и набљудувањата на наставниците и анкетата на учениците, покажаа дека предложениот материјал е доста достапен за учениците, предизвика голем интерес за нив, покажувајќи ја специфичната примена на математика до решавање на практични проблеми во науката и технологијата. Процесот на воведување елементи на теоријата на веројатност во задолжителниот училишен предмет по математика се покажа како многу тежок. Постои мислење дека за да се совладаат принципите на теоријата на веројатност, неопходен е прелиминарен фонд на идеи, концепти и навики кои се фундаментално различни од оние што ги развиваат учениците за време на традиционалното образование како дел од запознавањето со законите на строго условувачките феномени. . Затоа, според голем број професори по математичари, теоријата на веројатност треба да биде вклучена во училишната математика како самостоен дел, кој би обезбедил формирање, систематизација и развој на идеи за веројатноста на појавите на светот околу нас. Бидејќи изучувањето на теоријата на веројатност неодамна беше воведено во училишниот курс, во моментов има проблеми со имплементацијата на овој материјал во училишните учебници. Исто така, поради специфичноста на овој предмет, мала е и количината на методолошка литература. Според пристапите наведени во огромното мнозинство на литература, се верува дека главната работа при проучувањето на оваа тема треба да биде практичното искуство на студентите, затоа се препорачува да се започне обука со прашања во кои е неопходно да се најде решение за проблемот поставен на позадината на реална ситуација. За време на процесот на учење, не треба да ги докажувате сите теореми, бидејќи на ова се троши многу време, додека целта на курсот е да се развијат корисни вештини, а способноста за докажување теореми не е една од таквите вештини. Потеклото на теоријата на веројатност настанало во потрага по одговор на прашањето: колку често се случува даден настан во поголема серија тестови со случајни исходи што се случуваат под исти услови? Кога ја проценуваме можноста да се случи некој настан, често велиме: „Многу е можно“, „Сигурно ќе се случи“, „Тоа е малку веројатно“, „Никогаш нема да се случи“. Со купување на лотарија, може да победите или не; Утре на час по математика може или не може да ве повикаат на таблата; На следните избори владејачката партија може да победи или не. Ајде да погледнеме едноставен пример. Што мислите, колку луѓе треба да бидат во одредена група за барем двајца од нив да имаат ист роденден со 100% веројатност (се мисли на денот и месецот без да се земе предвид годината на раѓање)? Ова не значи престапна година, т.е. година со 365 дена. Одговорот е очигледен - во групата треба да има 366 луѓе. Сега друго прашање: колку луѓе мора да има за да се најде пар со ист роденден со веројатност од 99,9%? На прв поглед, сè е едноставно - 364 луѓе. Всушност, доволни се 68 луѓе! За да извршиме такви интересни пресметки и да направиме необични откритија за себе, ќе го проучуваме овој дел од математиката „Теорија на веројатност“.
ГЛАВА I. ЛИНИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТА-СТАТИСТИКА ВО ОСНОВЕН УЧИЛИШЕН ПРЕДМЕТ ПО МАТЕМАТИКА
1.1 Статистичко размислување и училишно математичко образование
Секоја ера поставува свои барања за математичката наука и математичкото образование. Во моментов се погласни се гласовите на методолозите кои се залагаат за зајакнување на веројатностичко-статистичката линија во училишниот курс по математика, почнувајќи од средното образование. Но, многу професори по математика долго време не се среќаваат со прашања од комбинаторика, теорија на веројатност, статистика, т.е. со сè што е вклучено во веројатностичко-статистичка насока на математиката. Тие треба да го прошират своето знаење за длабински прашања. Најавторитарен истражувач кај нас во областа на теоријата на веројатност и математичката статистика беше Борис Владимирович Гнеденко (1912-1995). Тој беше автор на многу статии во списанието Математика на училиште.
Што и како да се предава на училиште, очигледно, секогаш ќе биде еден од вечните проблеми што постојано се појавуваат дури и откако ќе им биде дадено подобро решение од претходното. И тоа е неизбежно, бидејќи нашите научни сознанија и пристапи за објаснување на појавите околу нас постојано се прошируваат. Несомнено е дека содржината на училишната настава треба да се менува со напредокот на науката, заостанувајќи малку зад неа и давајќи им можност на новите научни идеи и концепти да добијат психолошки и методолошки прифатливи форми.
Меѓутоа, да се верува дека содржината и природата на училишниот курс во одредена наука треба целосно да се определат од состојбата на соодветната научна гранка на знаење и преовладувачките идеи за нејзините централни концепти, би било сериозна грешка. Огромното мнозинство на ученици нема да станат специјалисти во оваа област на науката. Во нив ќе има и претставници на други научни интереси и практични области на дејност, како и претставници на либерални професии - писатели, актери, уметници. Затоа е од суштинско значење за сите ученици да се учат на училиште за воспоставените научни концепти и да се здобијат со цврста основа на научно знаење, како и способност за логично размислување и јасно изразување на своите мисли. Училиштето мора да даде идеја дека науката и нејзиниот концепт се тесно поврзани со практиката, од која црпи формулации на своите проблеми, идеи, а потоа се враќа да практикува нови можности за решавање на нејзините главни проблеми, создавање нови методи за неа. Без ова образованието ќе биде нецелосно, разведено од животот и ќе им создаде бројни тешкотии на учениците. Затоа, содржината на училишното образование треба да биде под влијание на широко разбраните барања на практиките на нашето време и догледна иднина.
Избори и референдуми, банкарски заеми и осигурителни полиси, табели за вработување и графикони на социолошки истражувања моќно влегоа во нашите животи. Општеството почнува да се проучува подлабоко и да се стреми да прави предвидувања за себе и за природните појави кои бараат идеи за веројатноста. Дури и временските извештаи во весниците пишуваат дека има „40% шанси за дожд утре“.
Целосното постоење на граѓанинот во сложено, променливо и разновидно општество е директно поврзано со правото на примање информации, неговата достапност и веродостојност, правото на информиран избор, кој не може да се направи без можност за избор и прогнози врз основа на анализа и обработка на често нецелосни и контрадикторни информации.
Мораме да ги научиме децата да живеат во веројатноста ситуација. Ова значи извлекување, анализа и обработка на информации, донесување информирани одлуки во различни ситуации со случајни исходи. Ориентацијата кон демократски принципи на размислување, кон мултиваријантен можен развој на реални ситуации и настани, кон формирање на личноста, способност да се живее и работи во сложен свет постојано променлив, неминовно бара развој на веројатност и статистичко размислување кај помладите. генерација. Овој проблем може да се реши на училишен курс по математика врз основа на збир на прашања поврзани со описна статистика и елементи на математичката статистика, со формирање на комбинаторно и веројатностичко размислување (12). Сепак, не само социо-економската ситуација ја диктира потребата од развивање на веројатностичко размислување кај новата генерација. Законите за веројатност се универзални. Тие станаа основа за опишување на научната слика на светот. Современата физика, хемија, биологија, демографија, социологија, лингвистика, филозофија, целиот комплекс на социо-економски науки се изградени и развиени на веројатностатистичка основа. Тинејџер не е одделен од овој свет со празен ѕид, а во животот постојано се соочува со веројатни ситуации. Играта и возбудата се суштински дел од животот на детето. Низа прашања поврзани со односот помеѓу концептите на „веројатност“ и „сигурност“, проблемот со изборот на најдоброто од неколкуте опции за решение, проценката на степенот на ризик и шансите за успех, идејата за правда и неправда во игри и судири во реалниот живот - сето тоа несомнено е во сферата на вистинските интереси на тинејџер. Училишните курсеви по математика треба да преземат подготовка за решавање на ваквите проблеми.
Денес во науката концептот на случајност доби фундаментално значење и самоуверено го пробива својот пат кон изнаоѓање оптимални решенија. Постои особено итна потреба да се воведе концептот на случајност во училишната настава, а тоа е предизвикано не само од научни и практични барања, туку и од чисто методолошки размислувања. Во исто време, класичниот систем на руското образование се заснова, пред сè, на јасно детерминистички принципи и пристапи и во математиката и во другите предмети. Ако не се отстрани, тогаш барем ослабената противречност помеѓу детерминистичката слика за светот формирана во ѕидовите на училиштето и современите научни идеи засновани на веројатни статистички закони е невозможна без воведување на основите на статистиката и теоријата на веројатност во задолжителното училишно образование. Современиот концепт на училишното математичко образование е фокусиран, пред сè, на земање предвид на индивидуалноста на детето, неговите интереси и склоности. Ова ги одредува критериумите за избор на содржина, развој и имплементација на нови, интерактивни наставни методи и промени во барањата за математичка подготовка на ученикот. Во исто време, самото запознавање на учениците со многу уникатна област на математиката, каде што помеѓу црното и белото има цел спектар на бои и нијанси, можности и опции и помеѓу недвосмисленото „да“ и „не“ има и „можеби“ (и ова „можеби“ се посветува на строга квантитативна проценка!), помага да се елиминира вкоренетото чувство дека она што се случува на часот по математика на никаков начин не е поврзано со надворешниот свет, со секојдневниот живот.
Според податоците од физиолозите и психолозите, како и од бројните набљудувања на наставниците по математика, постои пад на интересот за процесот на учење воопшто и за математиката особено. На часовите по математика во основно училиште, од петто до деветто одделение, спроведени според вообичаената шема и на традиционален материјал, ученикот често има чувство на непробоен ѕид помеѓу апстрактните и формалните предмети што се прикажуваат и околниот свет. Тоа е веројатноста-статистичка линија или, како што неодамна се нарекува, стохастичка линија, чие проучување е невозможно без потпирање на процесите забележани во околниот свет, на реалното животно искуство на детето, што може да придонесе за враќање на интересот за самиот предмет „математика“, промовирајќи го неговото значење и универзалност. Конечно, концептот на отворено општество, процесите на европска и светска интеграција се нераскинливо поврзани со меѓусебното зближување на земјите и народите, вклучително и во областа на образованието. Русија, имајќи една од најмоќните и светски признати традиции на училишното математичко образование, во исто време останува можеби единствената развиена земја каде основниот училишен курс по математика не ги вклучува основите на статистиката и теоријата на веројатност. Појавените трендови во економските трансформации кај нас сугерираат дека во многу блиска иднина општеството ќе биде барано од организатори и учесници во нов тип на производство, каков што ќе треба да станат многу матуранти. Стохастичката култура толку неопходна за нивните активности мора да се негува уште од рана возраст. Не случајно во развиените земји се посветува големо внимание на ова: учениците се запознаваат со елементите на теоријата на веројатност и статистиката уште од првите училишни години и во текот на своето образование стекнуваат веројатност и статистички пристапи за анализа на вообичаени ситуации кои се среќаваат во секојдневниот живот. животот.
Може да се дадат многу примери на пристапи за проучување на веројатност и статистички материјал во средното училиште, бидејќи во текот на изминатите две децении речиси секоја земја го воведе овој материјал во училишната програма и предложи еден или повеќе пристапи за неговото проучување. Интересни дела се појавија во Полска, Шведска, Израел и Франција. Проблемите поврзани со создавањето систем за изучување на веројатност и статистички материјал во средното образование кај нас не се доволно опфатени. Анализата на пристапите кои ни се познати за проучување на елементите на теоријата на веројатност и статистиката во средните училишта во различни земји ни овозможува да ги извлечеме следните заклучоци:
Во огромното мнозинство земји, овој материјал започнува да се изучува во основно училиште;
Во текот на сите години на студирање, студентите се запознаваат со веројатност и статистички пристапи за анализа на емпириски податоци, при што применетите задачи и анализата на реалните ситуации играат главна улога;
Во процесот на учење, голема улога имаат задачите кои бараат од учениците да работат во мали групи, самостојно да собираат податоци, да ги сумираат резултатите од групната работа, да спроведуваат независно истражување, практична работа, да поставуваат експерименти, да спроведуваат мала лабораториска работа, да подготвуваат долго - порочни задачи на курсот - сето тоа е диктирано од оригиналноста на веројатностичко - статистичкиот материјал, неговата тесна поврзаност со практичните активности;
Студијата за стохастиката се разложува на веројатност и статистички компоненти, кои се тесно поврзани меѓусебно; во многу земји тие се дополнети со мал фрагмент од комбинаторика.
Кај нас веќе се направени неуспешни обиди да се воведе концептот на веројатност за настан во училишниот курс по математика. Поради својата изолираност и туѓост во однос на традиционалниот училишен курс, овој материјал набрзо беше отстранет од програмите и учебниците.
Одредено искуство во предавањето на елементите на теоријата на веројатност е акумулирано во училиштата со длабинско изучување на математиката, но тоа само го потврдува фактот дека обидите да се реши проблемот со воведување на нов изолиран дел во традиционалниот математички курс се осудени на неуспех. Проучувањето на елементите на теоријата на веројатност како затворен дел од програмата поврзана со „чиста“ теоретска математика целосно се дискредитираше себеси во очите на наставниците и доведе до фактот дека некои од нив генерално изразуваат сомнежи дека може и треба да се учел во средно училиште. Во исто време, наставниците по физика, хемија и биологија чувствуваат итна потреба да ги изразат основните закони на овие науки на јазикот на веројатните концепти. На крајот на краиштата, моменталната состојба на човечкото знаење за светот ни овозможува да веруваме дека случајната природа е вродена во главните (основни) феномени на микросветот.
Појавувањето во училишната програма на веројатностичко-статистичка линија, насочена кон запознавање на учениците со веројатноста на повеќето феномени во околната реалност, ќе помогне во зајакнувањето на неговиот општ културен потенцијал, појавата на нови, длабоко поткрепени интердисциплинарни врски и хуманитаризацијата. на училишното математичко образование.
При изборот на материјал за нов училишен курс, потребно е да се земе предвид општото образовно значење и идеолошкиот потенцијал на предложените теми. Важно е правилно да се процени какво знаење му треба на модерната личност во секојдневниот живот и активности, што од тоа ќе му треба на ученикот за да учи други училишни предмети, да го продолжи своето образование, каков придонес ова знаење може да даде во формирањето на различни аспекти на интелигенција на ученикот. Исто така, неопходно е да се осигура дека предложената содржина дава можности за органско комбинирање на новиот едукативен материјал со традиционалните и придонесува за развој на меѓупредметни врски.
И кај нас денес е неизбежен процес на влегување на стохастиката како рамноправна компонента во задолжителното училишно математичко образование.
Сите државни образовни документи од последниве години содржат веројатност-статистичка линија во основниот училишен математички курс, заедно со познати линии како „Броеви“, „Функции“, „Равенки и неравенки“, „Геометриски фигури“ итн.
1.2 Психолошки и педагошки аспекти на изучување на теоријата на веројатност во средно училиште
теорија на веројатност училишен просек
Истражувањата на психолозите (Ј. Пијаже, Е. Фишбејн) покажуваат дека личноста првично е слабо прилагодена на веројатност за проценка, на свесност и правилно толкување на веројатните статистички информации. Истото го потврдуваат и експериментите спроведени од Е. А. Бунимович (Москва, еден од авторите на учебниците што содржат елементи на стохастика) врз основа на гимназијата во Москва бр. 710, гимназијата Јарослав бр. 20 и гимназијата Калуга бр. 2. Во експериментални студии веројатните идеи на класовите на постарите ученици кои започнале напреден курс по математика, но сè уште не ги проучувале деловите за веројатност. Резултатите од студијата јасно укажуваат дека дури и доброто познавање и разбирање на другите гранки на математиката само по себе не обезбедува развој на веројатностичко размислување и не ги елиминира дури ни тривијалните веројатни предрасуди и заблуди (7).
Да дадеме еден пример. Учениците беа прашани:
„На една спортска лото карта (6 од 49) бројките се пречкртани
1, 2, 3, 4, 5 и 6,
а од друга
5, 12, 17, 23, 35 и 41.
Кој збир на броеви мислите дека е поверојатно да победи?
Од сите учесници во експериментот, 22% од средношколците одговориле дека втората картичка е поверојатна. Речиси идентичен одговор од двајца ученици од различни училишта (Москва и Јарослав) е интересен: „Всушност, и двата случаи се подеднакво веројатни, но вториот случај е поверојатен“, изразувајќи очигледна противречност помеѓу секојдневните и научните идеи на учениците.
Интересно е што специјализираните хемиски и биолошки економски часови, каде што курсот по математика е многу подлабок од основниот, но нема веројатен и статистички материјал, даваат скоро ист резултат (до 30% од одговорите - „победа во вториот сет е поверојатно“). Резултатите од одговорите на слично прашање во тестот понуден во 1998 година на наставниците по математика на курсевите за напредна обука во Москва не се разликуваат многу од презентираните податоци.
Да забележиме, инаку, дека познатиот љубител на математички игри и парадокси, Мартин Гарднер, во слична прилика напишал дека всушност е поисплатливо да се пречкртаат комбинациите 1, 2, 3, 4, 5 и 6 или друга „редовна“ комбинација. Шансите за победа се исти, но износот на добивка може да испадне значително поголем, бидејќи тешко дека некој би помислил да ги прецрта броевите од 1 до 6, па затоа, ако имате среќа, нема да имате да го сподели наградниот фонд со кој било.
На возраст од основно училиште, голем дел од идеите на учениците за светот сè уште се недоволно формирани; исто така, недостасува математички апарат (првенствено едноставни дропки) за објаснување на идеите за веројатноста. Во исто време, основите на описната статистика, табелите и столбовите графикони, како и основите на комбинаториката, систематско пребарување на можни опции во мал сет на предмети, се можни, па дури и неопходни за да се воведат во курсот за основно училиште. .
Да се започне со презентирање на основите на теоријата на веројатност во средно училиште е неефективен. Желбата за брзо формализирање на знаењето, развиена до оваа возраст, формирана од традиционален курс по математика, желбата да се научи на час, пред сè, одреден сет на правила, алгоритми и методи на пресметување, всушност го заменува формирањето на веројатни претстави со формални учење на формули за комбинаторика и пресметки на веројатност според класичниот Лапласов модел.
Неопходно е да се започне со воведување на елементи на статистичко размислување на училиште по повеќе предмети, а не само во предметот математика. Неопходно е да се осигура дека на часовите по ботаника и зоологија, астрономија и физика, руски јазик и историја, разумни забелешки за случајноста на феномените што ги проучува оваа научна дисциплина се прават од време на време на вистинското место. Нормално, математиката не може да остане на страна. Децата ги добиваат своите први идеи за случајниот свет од нивно набљудување во животот околу нив. Истовремено, важните карактеристични карактеристики на набљудуваните појави се разјаснуваат при собирањето на статистички информации и нивното визуелно прикажување. Способноста да се запишуваат статистички информации и да се презентираат во форма на едноставни табели и дијаграми сама по себе го карактеризира студентот да има одредено статистичко искуство. Ги одразува првите, иако сè уште не целосно реализирани, идеи за двосмисленоста и варијабилноста на реалните појави, за случајните, сигурни и невозможни резултати од набљудувањата, за специфичните видови статистички агрегати, нивните карактеристики и општи својства. Овие вештини овозможуваат да се формира правилна идеја не само за феномени со изразена случајност, туку и за такви појави, чија случајна природа не е очигледна и е заматена од многу фактори кои ја комплицираат перцепцијата.
Во секојдневниот живот и на работа, матурантот постојано е соочен со потребата да добие и обработи одредени информации. На часовите по физика, хемија, биологија, при изведување на лабораториска и практична работа, студентот мора да биде способен да ги формализира резултатите од набљудувањата и експериментите; На часовите по географија, историја и општествени студии, тој треба да користи табели и референтни книги и да ги согледа информациите претставени во графичка форма. Овие вештини се неопходни за секој човек, бидејќи статистичкиот материјал, претставен во различни форми, постојано се наоѓа во сите извори на информации наменети за масовна публика - во весници, списанија, книги, на телевизија итн.
Разбирањето на природата на стохастичкиот феномен што се проучува е поврзано со способноста да се нагласи главната работа, да се видат карактеристиките и трендовите при испитување на табели, графикони и графикони. Наједноставните вештини за „читање“ на табели и графикони овозможуваат да се забележат некои обрасци на набљудуваните феномени, да се видат зад формите на прикажување на статистичките податоци специфичните својства на феномените со нивните вродени карактеристики и причинско-последични врски.
Типични карактеристики на феномените што се проучуваат, нивните општи трендови може да се идентификуваат со користење на просечни статистички карактеристики. Способноста да се користат го карактеризира присуството на идеи на ученикот поврзани со централните тенденции во светот на среќата. Разбирањето на значењето на наједноставните просеци, како што е аритметичката средина, е неопходно за секој ученик.
Стохастичката природа на околните феномени не може да се открие без да се разбере степенот на варијабилност. Затоа, постои потреба од квантитативна проценка на ширењето на статистичките податоци, што придонесува за подлабоко разбирање на суштината на појавите и процесите и овозможува споредување на статистичките агрегати според степенот на нивната варијација.
Една од најважните компоненти на стохастичкото размислување е разбирањето на стабилната случајност во светот, уредноста на случајните факти. Невозможно е да им се дозволи на учениците да согледаат поединечни аспекти на случајни феномени спонтано согледани во животот без никакви врски. Централното место овде е окупирано од идеи поврзани со различни експериментални претстави на законот за големи броеви. Наједноставниот и најпристапниот начин е да се формулираат идеи за веројатноста како „теоретски очекувана“ вредност на фреквенцијата како што се зголемува бројот на набљудувања. Во исто време, разбирањето на врската помеѓу веројатноста и нејзиниот емпириски прототип - фреквенција - води до свесност за статистичката стабилност на фреквенцијата. Во исто време, важна улога игра разбирањето дека пред експериментот може да се изврши квантитативна проценка на можноста за појава на одреден настан, врз основа на одредени теоретски размислувања. Така, доаѓаме до пресметување на веројатностите во класичната шема.
Во случај кога при наставата по математика не се развива веројатна интуиција, наместо правилни идеи и поими, учениците стекнуваат лажни ставови и донесуваат погрешни проценки.
Една од важните цели на изучувањето на веројатниот статистички материјал во училиштето е развојот на веројатна интуиција, формирање на соодветни идеи за својствата на случајните појави. Навистина, во животот многу често треба да ги процените шансите, да поставувате хипотези и предлози, да го предвидите развојот на ситуацијата, да зборувате за можностите за потврдување на одредена хипотеза итн. идејата за веројатност, која се учи во процес на организирано, систематско проучување, се разликува од обичниот, секојдневниот токму поради тоа што е носител на идеи за стабилност, обрасци во светот на случајноста, ни овозможува најцелосно и правилно да извлечеме заклучоци од достапните информации.
Да забележиме дека и раната формализирање и другата крајност, која сега се рефлектира во некои експериментални програми - бескрајните дискусии за веројатноста надвор од курсот на математиката, надвор од изградбата на веројатносни модели, се подеднакво неефикасни, па дури и опасни.
ГЛАВА 2. ОСНОВНИ ПОИМИ
2.1 Елементи на комбинаторика
Изучувањето на предметот треба да започне со изучување на основите на комбинаториката, а паралелно треба да се изучува и теоријата на веројатност, бидејќи комбинаториката се користи при пресметување на веројатностите. Методите на комбинаторика се широко користени во физиката, хемијата, биологијата, економијата и другите области на знаење. Во науката и практиката, често има проблеми во кои треба да се решат, неопходно е да се создадат различни комбинации од конечен број елементи и да се брои бројот на комбинации. Ваквите проблеми се нарекуваат комбинаторни задачи, а гранката на математиката во која се разгледуваат овие проблеми се нарекува комбинаторика. Комбинаториката ги проучува начините за броење на бројот на елементи во конечни множества. Формулите за комбинаторика се користат за пресметување на веројатностите. Размислете за множество X кое се состои од n елементи. Од ова множество ќе избереме различни подредени подмножества Y од k елементи. Со поставување на n елементи од множеството X во k елементи подразбираме кое било подредено множество елементи од множеството X. Ако изборот на елементи од множеството Y од X се случува со враќање, т.е. Секој елемент од множеството X може да се избира неколку пати, потоа бројот на сместувања од n до k се наоѓа со формулата (поставувања со повторувања). Доколку изборот е направен без враќање, т.е. Секој елемент од множеството X може да се избере само еднаш, тогаш бројот на сместувања од n до k се означува и се одредува со еднаквоста (поставувања без повторувања). Посебен случај на поставување на n=k се нарекува пермутација на n елементи. Бројот на сите пермутации на n елементи е еднаков на Нека сега е избрано подмножество Y од множеството X (редоследот на елементите во подмножеството не е важен). Комбинации од n елементи по k се подмножества на k елементи кои се разликуваат едни од други за најмалку еден елемент. Вкупниот број на сите комбинации од n до k се означува со и е еднаков на Равенствата важат: , При решавање на комбинаторички задачи се користат следниве правила: Правилото за збир. Ако некој објект А може да се избере од множество објекти на m начини, а друг објект Б може да се избере на n начини, тогаш или A или B може да се одберат на m + n начини. Правило за производот. Ако објектот А може да се избере од множество објекти на m начини, и по секој таков избор, објектот Б може да се избере на n начини, тогаш пар објекти (A, B) во наведениот редослед може да се избере во m* n начини.
2.2 Теорија на веројатност
Во секојдневниот живот, во практичните и научните активности, често набљудуваме одредени појави и спроведуваме одредени експерименти. Настанот што може или не може да се случи за време на набљудување или експеримент се нарекува случаен настан. На пример, на таванот виси сијалица - никој не знае кога ќе изгори. Секој случаен настан е последица на дејството на многу случајни променливи (сила со која се фрла паричката, обликот на паричката и многу повеќе). Невозможно е да се земе предвид влијанието на сите овие причини врз резултатот, бидејќи нивниот број е голем, а законите на дејствување се непознати. Моделите на случајни настани се изучуваат од посебна гранка на математиката наречена теорија на веројатност. Теоријата на веројатност не си поставува задача да предвиди дали еден настан ќе се случи или не - таа едноставно не може да го направи тоа. Ако зборуваме за масивни хомогени случајни настани, тогаш тие се предмет на одредени обрасци, имено веројатност. Прво, да ја погледнеме класификацијата на настаните. Се прави разлика помеѓу заеднички и незаеднички настани. Настаните се нарекуваат заеднички ако појавата на еден од нив не ја исклучува појавата на другиот. Во спротивно, настаните се нарекуваат некомпатибилни. На пример, се фрлаат две коцки. Настанот А е тркалање од три точки на првата матрица, а настанот Б е тркалање од три точки на втората матрица. А и Б се заеднички настани. Нека продавницата добие серија чевли со ист стил и големина, но различни бои. Настан А - кутија земена по случаен избор ќе содржи црни чевли, настан Б - кутијата ќе содржи кафени чевли, А и Б се некомпатибилни настани. Настанот се нарекува сигурен ако е сигурен дека ќе се случи во услови на дадено искуство. Настанот се нарекува невозможен ако не може да се случи во услови на дадено искуство. На пример, случајот кога ќе се земе стандарден дел од серија стандардни делови е сигурен, но нестандарден дел е невозможен. Настанот се нарекува можен или случаен, ако како резултат на искуство може да се појави, но може да не се појави. Пример за случаен настан може да биде идентификација на дефекти на производот при проверка на серија готови производи, несовпаѓање помеѓу големината на преработениот производ и наведениот или неуспех на една од врските во автоматизираниот контролен систем. Настаните се нарекуваат подеднакво можни ако, според условите за тестирање, ниту еден од овие настани не е објективно повозможен од другите. На пример, една продавница нека биде снабдена со светилки (во еднакви количини) од неколку производствени погони. Настаните кои вклучуваат купување на сијалица од која било од овие фабрики се подеднакво можни. Важниот концепт е комплетната група на настани. Неколку настани во даден експеримент формираат комплетна група ако барем еден од нив сигурно ќе се појави како резултат на експериментот. На пример, урна содржи десет топки, шест од нив се црвени, четири се бели, а пет топки имаат броеви. А - појава на црвена топка со едно извлекување, Б - појава на бела топка, В - појава на нумерирана топка. Настаните A,B,C формираат комплетна група на заеднички настани. Настанот може да биде спротивен или дополнителен. Спротивен настан се подразбира како настан кој нужно мора да се случи доколку не се случи некој настан А. Спротивните настани се некомпатибилни и се единствените можни. Тие формираат целосна група на настани. На пример, ако една серија на произведени производи се состои од добри и неисправни производи, тогаш кога еден производ ќе се отстрани, може да испадне дека е или добар - настан А или дефектен - настан. Ајде да погледнеме на пример. Тие фрлаат коцка (т.е. мала коцка со точките 1, 2, 3, 4, 5, 6 печатени на страните). Кога фрлате матрица, на горниот дел може да се појават една точка, две точки, три точки итн. Секој од овие исходи е случаен. Ние направивме таков тест. Коцките беа фрлени 100 пати и беше забележан колку пати се случил настанот „коцката постигна 6“. Се испостави дека во оваа серија експерименти „шестката“ паднала 9 пати. Бројот 9, кој покажува колку пати предметниот настан се случил во ова испитување, се нарекува фреквенција на овој настан, а односот на фреквенцијата со вкупниот број на испитувања, еднаков, се нарекува релативна фреквенција на овој настан. Општо земено, нека одреден тест се врши повеќепати под исти услови и секој пат се запишува дали настанот А кој ни е интересен се случил или не. Веројатноста на настанот се означува со големата буква P. Тогаш веројатноста на настанот А ќе се означи со: P(A). Класична дефиниција за веројатност: Веројатноста на настанот А е еднаква на односот на бројот на случаи m, поволни за него, од вкупниот број n на единствено можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи до бројот n, т.е. веројатноста за настан е неопходно: да се разгледаат различни исходи од тестот; најдете збир на единствено можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи, пребројте го нивниот вкупен број n, бројот на случаи m, поволни за даден настан; извршете ја пресметката користејќи ја формулата. Од формулата произлегува дека веројатноста за настан е ненегативен број и може да варира од нула до еден во зависност од тоа колкава пропорција е поволниот број случаи од вкупниот број случаи: Размислете за друг пример. Во кутијата има 10 топки. 3 од нив се црвени, 2 се зелени, останатите се бели. Најдете ја веројатноста дека топката нацртана по случаен избор ќе биде црвена, зелена или бела. Појавата на црвени, зелени и бели топчиња сочинуваат целосна група на настани. Да означиме појава на црвена топка како настан А, појава на зелена топка како настан Б и појава на бела топка како настан В. Потоа, во согласност со формулите напишани погоре, добиваме: ; ; Забележете дека веројатноста за појава на еден од двата некомпатибилни настани во пар е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани. Релативната фреквенција на настанот А е односот на бројот на искуства како резултат на кој настан А се случил со вкупниот број на искуства. Разликата помеѓу релативната фреквенција и веројатноста е во тоа што веројатноста се пресметува без директно експериментирање, а релативната фреквенција се пресметува по експериментирање. Значи, во примерот дискутиран погоре, ако 5 топчиња се извлечени по случаен избор од кутијата и 2 од нив се црвени, тогаш релативната фреквенција на појавување на црвеното топче е еднаква на: Како што можете да видите, оваа вредност го прави не се совпаѓа со пронајдената веројатност. Со доволно голем број извршени експерименти, релативната фреквенција малку се менува, флуктуирајќи околу еден број. Овој број може да се земе како веројатност за некој настан. Геометриска веројатност. Класичната дефиниција на веројатноста претпоставува дека бројот на елементарни исходи е конечен, што исто така ја ограничува неговата употреба во пракса. Во случај кога има тест со бесконечен број на исходи, се користи дефиницијата за геометриска веројатност - точката што паѓа во регионот. При определување на геометриската веројатност, се претпоставува дека има регион N и во него помал регион M. Точка се фрла по случаен избор на областа N (ова значи дека сите точки од областа N се „еднакви“ во однос на дали таму паѓа случајно фрлена точка). Настанот А е „фрлената точка ја погодува областа М“. Регионот M се нарекува поволен за настанот A. Веројатноста да падне во кој било дел од регионот N е пропорционална со мерката на овој дел и не зависи од неговата локација и облик. Областа до која се протега геометриската веројатност може да биде: отсечка (мерката е должина) геометриска фигура на рамнината (мерката е плоштина) геометриско тело во просторот (мерката е волумен) Да дадеме дефиниција за геометриска веројатност за случај на авионска фигура. Нека регионот М е дел од регионот N. Настанот А се состои од случајно фрлена точка на регионот N што паѓа во регионот M. Геометриската веројатност на настанот A е односот на областа на регионот M со областа на регионот N : Во овој случај, веројатноста случајно фрлената точка да ја погоди границата на регионот се смета за еднаква на нула. Размислете за пример: Механички часовник со 12-часовен бројчаник се расипа и престана да работи. Најдете ја веројатноста часовникот да застане во 5 часот, но да не достигне 8 часот. Решение. Бројот на исходи е бесконечен; ја применуваме дефиницијата за геометриска веројатност. Оттука, секторот помеѓу 5 и 8 часот е дел од областа на целиот бројчаник. Операции на настани: Настаните А и Б се вели дека се еднакви ако спроведувањето на настанот А повлекува имплементација на настанот Б и обратно. Сојуз или збир на настани е настанот А, што значи појава на барем еден од настаните. А= Пресекот или производот на настаните е настанот А, кој се состои во имплементација на сите настани. A=? Разликата помеѓу настаните A и B се нарекува настан C, што значи дека настанот A се случува, но настанот B не се случува C=A\B Пример: A + B - „се тркала a 2; 4; 6 или 3 поени" A B - "6 поени се тркалаат" A - B - "2 и 4 поени се тркалаат" Дополнително на настанот А е настан што значи дека настанот А не се случува. Елементарни исходи на искуството се оние резултати од искуството кои меѓусебно се исклучуваат и како резултат на искуството се случува еден од овие настани, а каков и да е настанот А, според елементарниот исход што се случува може да се процени дали овој настан се случува или не се случува. Множеството на сите елементарни исходи на искуството се нарекува простор на елементарни настани. Својства на веројатност: Својство 1. Ако сите случаи се поволни за даден настан А, тогаш овој настан дефинитивно ќе се случи. Следствено, предметниот настан е сигурен и веројатноста за негово појавување, бидејќи во овој случај Својство 2. Ако не постои ниту еден случај поволен за даден настан А, тогаш овој настан не може да се случи како резултат на искуство. Следствено, предметниот настан е невозможен, а веројатноста за негово појавување, бидејќи во овој случај m = 0: Својство 3. Веројатноста за појава на настани кои формираат целосна група е еднаква на еден. Својство 4. Веројатноста за појава на спротивен настан се одредува на ист начин како и веројатноста за појава на настанот А: каде што (n-m) е бројот на случаи поволни за појава на спротивен настан. Оттука, веројатноста за појава на спротивен настан е еднаква на разликата помеѓу еден и веројатноста за појава на настанот А: Собирање и множење на веројатности. Настанот А се нарекува посебен случај на настанот Б ако кога се случува А се случува и Б. Фактот дека А е посебен случај на Б, пишуваме А?Б. За настаните А и Б се вели дека се еднакви ако секој од нив е посебен случај на другиот. Еднаквоста на настаните A и B се пишува A = B. Збирот на настаните A и B е настанот A + B, кој се јавува ако и само ако се случи барем еден од настаните: A или B. Теорема за собирање на веројатности 1. Веројатноста за појава на еден од двата некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани. P=P+P Забележете дека формулираната теорема важи за кој било број на некомпатибилни настани: ако случајните настани формираат целосна група на некомпатибилни настани, тогаш еднаквоста P+P+…+P=1 Производот на настаните A и B се нарекува настанот AB, кој се случува тогаш и само кога двата настани А и Б се случуваат истовремено. Случајните настани А и Б се нарекуваат заеднички ако двата од овие настани можат да се случат за време на даден тест. Теорема за собирање на веројатности 2. Веројатноста за збир на заеднички настани се пресметува со формулата P=P+P-P Примери на задачи на теоремата за собирање. На испитот по геометрија студентот добива едно прашање од листата на испитни прашања. Веројатноста дека ова е прашање со впишан круг е 0,2. Веројатноста дека ова е прашање на тема „Паралелограм“ е 0,15. Нема прашања кои истовремено се однесуваат на овие две теми. Најдете ја веројатноста дека студентот ќе добие прашање за една од овие две теми на испитот. Решение. Веројатноста за збир на два некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани: 0,2 + 0,15 = 0,35. Одговор: 0,35. Во трговски центар две идентични машини продаваат кафе. Веројатноста дека машината ќе остане без кафе до крајот на денот е 0,3. Веројатноста дека двете машини ќе останат без кафе е 0,12. Најдете ја веројатноста дека на крајот од денот ќе остане кафе во двете машини. Решение. Да ги разгледаме настаните А - „кафето ќе снема во првата машина“, Б - „кафето ќе снема во втората машина“. Потоа A·B - „кафето ќе снема во двете машини“, A + B - „кафето ќе снема барем во една машина“. По услов P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. Настаните А и Б се заеднички, веројатноста за збир на два заеднички настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани без веројатноста за нивниот производ: P(A + B) = P(A) + P(B) ? P(A·B) = 0,3 + 0,3 ? 0,12 = 0,48. Според тоа, веројатноста за спротивниот настан, дека кафето ќе остане во двете машини, е еднаква на 1? 0,48 = 0,52. Одговор: 0,52. Настаните А и Б се нарекуваат независни ако појавата на еден од нив не ја менува веројатноста за појава на другиот. За настанот А се вели дека е зависен од настанот Б ако веројатноста за настанот А се менува во зависност од тоа дали настанот Б се случува или не. Условната веројатност P(A|B) на настанот А е веројатноста пресметана со оглед на тоа дека настанот B се случил. Слично, P(B|A) ја означува условната веројатност на настанот B со оглед на тоа дека се случува A. За независни настани, по дефиниција, P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B) Теорема за множење за зависни настани Веројатноста на производот на зависните настани е еднаква на производот be0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296. Одговор: 0,0296.
Во 2003 година беше донесена одлука да се вклучат елементи на теоријата на веројатност во училишниот курс по математика на сеопфатно училиште (упатство бр. 03-93ин/13-03 од 23 септември 2003 година на Министерството за образование на Руската Федерација „За воведувањето на елементите на комбинаториката, статистиката и теоријата на веројатност во содржината на математичкото образование основно училиште“, „Математиката на училиште“, бр. 9, 2003 година). Во тоа време, елементите на теоријата на веројатност беа присутни во различни форми повеќе од десет години во добро познати училишни учебници за алгебра за различни паралелки (на пример, I.F. „Алгебра: Учебници за 7-9 одделение на општите образовни институции“, уредено од Г.В. Но, презентацијата на материјалот за теоријата на веројатност кај нив, по правило, не беше систематска, а наставниците, најчесто, не се повикуваа на овие делови и не ги вклучуваа во наставната програма. Документот усвоен од Министерството за образование во 2003 година предвидува постепено, етапно вклучување на овие делови во училишните курсеви, давајќи ѝ можност на наставната заедница да се подготви за соодветните промени. Во 2004-2008 г Се издаваат голем број учебници како дополнување на постоечките учебници за алгебра. Ова се публикациите на Тјурин Ју.Н., Макаров А.А., Висоцки И.Р., Јашченко И.В. „Теорија на веројатност и статистика“, Тјурин Ју.Н., Макаров А.А., Висоцки И.Р., Јашченко И.В. „Теорија на веројатност и статистика: Прирачник за наставници“, Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г. „Алгебра: елементи на статистика и теорија на веројатност: учебник. Прирачник за ученици од 7-9 одделение. општо образование институции“, Ткачева М.В., Федорова Н.Е. „Елементи на статистика и веројатност: Учебник. Прирачник за 7-9 одделение. општо образование институции“. Беа објавени и методолошки прирачници за помош на наставниците. Во текот на неколку години, сите овие наставни помагала се тестирани во училиштата. Во услови кога заврши преодниот период на воведување во училишните програми, а деловите статистика и теорија на веројатност зазедоа свое место во наставните програми од 7-9 одделенија, анализа и разбирање на доследноста на основните дефиниции и нотации користени во овие учебници се задолжителни. Сите овие учебници се создадени во отсуство на традиции на предавање на овие делови од математиката на училиште. Ова отсуство, намерно или несвесно, ги испровоцира авторите на учебниците да ги споредуваат со постоечките учебници за универзитетите. Вториот, во зависност од воспоставените традиции во поединечните специјализации на високото образование, честопати дозволуваше значителни терминолошки несовпаѓања и разлики во ознаките на основните концепти и евидентирањето на формулите. Анализата на содржината на горенаведените училишни учебници покажува дека тие денес овие карактеристики ги наследиле од учебниците за високо образование. Со поголем степен на точност може да се констатира дека изборот на специфичен едукативен материјал за новите делови од математиката за училиште, кои се однесуваат на концептот „случаен“, во моментов се случува на најслучаен начин, сè до имињата и ознаки. Затоа, тимови од автори на водечки училишни учебници за теорија на веројатност и статистика одлучија да ги здружат силите под покровителство на Московскиот институт за отворено образование за да развијат договорени позиции за обединување на основните дефиниции и ознаки што се користат во училишните учебници за теоријата на веројатност и статистиката. Да го анализираме воведувањето на темата „Теорија на веројатност“ во училишните учебници. Општи карактеристики: Содржината на наставата на темата „Елементи на теоријата на веројатност“, истакната во „Програмата за општообразовни установи. Математика“, обезбедува понатамошен развој на математичките способности на учениците, ориентација кон професии значително поврзани со математиката и подготовка за студирање на универзитет. Специфичноста на математичката содржина на темата што се разгледува ни овозможува да ја специфицираме идентификуваната главна задача за длабинско проучување на математиката на следниов начин. 1. Продолжете со откривање на содржината на математиката како дедуктивен систем на знаење. - да изгради систем на дефиниции на основните поими; - идентификува дополнителни својства на воведените концепти; - воспоставува врски меѓу воведени и претходно изучени концепти. 2. Систематизирај некои веројатни методи за решавање проблеми; ја откриваат оперативната структура на барање решенија за одредени видови проблеми. 3. Создадете услови за студентите да ја разберат и сфатат главната идеја за практичното значење на теоријата на веројатност преку анализа на главните теоретски факти. Откријте практична примена на теоријата изучувана во оваа тема. Постигнувањето на образовните цели ќе биде олеснето со решавање на следните задачи: 1. Да се формира идеја за различни начини на одредување на веројатноста за настан (статистички, класичен, геометриски, аксиоматски) 2. Да се развие знаење за основните операции на настани и способноста да се користат за да се опишат некои настани преку други. 3. Откријте ја суштината на теоријата на собирање и множење на веројатности; утврдете ги границите на употреба на овие теореми. Прикажи ги нивните апликации за изведување формули за вкупна веројатност. 4. Идентификувајте алгоритми за пронаоѓање на веројатностите на настаните а) според класичната дефиниција за веројатност; б) за теоријата на собирање и множење; в) според формулата 0,99 + 0,98P(A|Bn) Размислете за пример: Автоматска линија произведува батерии. Веројатноста дека завршената батерија е неисправна е 0,02. Пред пакувањето, секоја батерија поминува низ контролен систем. Веројатноста дека системот ќе одбие неисправна батерија е 0,99. Веројатноста дека системот погрешно ќе одбие работна батерија е 0,01. Најдете ја веројатноста дека батеријата случајно избрана од пакетот ќе биде одбиена. Решение. Ситуација во која батеријата ќе биде одбиена може да настане како резултат на следните настани: A - „батеријата е навистина неисправна и е правилно отфрлена“ или B - „батеријата работи, но е отфрлена по грешка“. Ова се некомпатибилни настани, веројатноста за нивниот збир е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани. Имаме: P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,02P(A|B3) + … + P(Bn)P(A|B2) + P(B3)P(A|B1) ) + Р(В2) веројатност на еден од нив на условна веројатност на другиот, под услов првото да се случило: P(A B) = P(A) P(B|A) P(A B) = P(B) P (А| Б) (во зависност од тоа кој настан се случил прв). Последица на теоремата: Теорема за множење за независни настани. Веројатноста за производ од независни настани е еднаква на производот на нивните веројатности: P(A B) = P(A) P(B) Ако A и B се независни, тогаш паровите се независни: (;), (; B ), (А;). Примери на задачи на теоремата за множење: Ако велемајсторот А. игра бело, тогаш тој победи против велемајсторот Б. со веројатност 0,52. Ако А. игра црно, тогаш А. победува против Б. со веројатност 0,3. Велемајсторите А. и Б. играат по две партии, а во вториот натпревар ја менуваат бојата на фигурите. Најдете ја веројатноста дека А. победи двата пати. Решение. Можноста за победа на првиот и вториот гем не зависи еден од друг. Веројатноста за производ на независни настани е еднаква на производот на нивните веројатности: 0,52 · 0,3 = 0,156. Одговор: 0,156. Во продавницата има две платежни машини. Секој од нив може да биде погрешен со веројатност 0,05, без разлика на другата машина. Најдете ја веројатноста дека барем една машина работи. Решение. Ајде да ја најдеме веројатноста дека и двете машини се неисправни. Овие настани се независни, веројатноста за нивно појавување е еднаква на производот од веројатностите на овие настани: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Настан кој се состои во тоа што работи барем една машина, спротивното. Според тоа, неговата веројатност е 1? 0,0025 = 0,9975. Одговор: 0,9975. Формула на вкупна веројатност Последица на теоремите за собирање и множење на веројатностите е формулата на вкупната веројатност: Веројатност P(A) на настанот А, кој може да се случи само ако еден од настаните (хипотези) B1, B2, B3 . .. Се појавува Bn, формирајќи целосна група на парно некомпатибилни настани, е еднаква на збирот на производите на веројатностите на секој од настаните (хипотези) B1, B2, B3, ..., Bn според соодветните условни веројатности на настан А: P(A) = P(B1) вкупна веројатност. 5. Направете рецепт кој ви овозможува рационално да изберете еден од алгоритмите при решавање на одреден проблем. Идентификуваните образовни цели за изучување на елементите на теоријата на веројатност ќе ги дополниме со поставување на развојни и образовни цели. Развојни цели: да се формира кај учениците одржлив интерес за предметот, да се идентификуваат и развијат математичките способности; во процесот на учење, развивајте говор, размислување, емоционално-волни и конкретно-мотивациони области; самостојно откривање на нови начини на решавање проблеми и задачи од страна на учениците; примена на знаењето во нови ситуации и околности; развиваат способност за објаснување факти, врски меѓу појавите, преобразување на материјалот од една форма на претставување во друга (вербална, знаковно-симболичка, графичка); научете да ја демонстрирате правилната примена на методите, видете ја логиката на расудувањето, сличностите и разликите на појавите. Образовни цели: да се формираат кај учениците морални и естетски идеи, систем на погледи на светот, способност да се следат нормите на однесување во општеството; да ги формира потребите на поединецот, мотивите за општествено однесување, активностите, вредностите и вредносните ориентации; да воспитува личност способна за самообразование и самообразование. Да го анализираме учебникот за алгебра за 9 одделение „Алгебра: елементи на статистика и теорија на веројатност“ Макаричев Ју.Н. Овој учебник е наменет за учениците од 7-9 одделение, ги надополнува учебниците: Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. „Алгебра 7“, „Алгебра 8“, „Алгебра 9“, уредена од Телјаковски С.А. Книгата се состои од четири параграфи. Секој параграф содржи теоретски информации и релевантни вежби. На крајот од параграфот има вежби за повторување. За секој параграф се дадени дополнителни вежби на повисоко ниво на сложеност во споредба со главните вежби. Согласно „Програмата за општообразовни установи“, за изучување на темата „Теорија на веројатност и статистика“ на училишниот предмет алгебра се издвоени 15 часа. Материјалот на оваа тема спаѓа во одделение 9 и е претставен во следните параграфи: §3 „Елементи на комбинаторика“ содржи 4 точки: Примери за комбинаторни задачи. Едноставните примери го демонстрираат решението на комбинаторните проблеми со набројување можни опции. Овој метод е илустриран со конструирање дрво на можни опции. Се разгледува правилото за множење. Преуредувања. Се воведува самиот концепт и формулата за пресметување на пермутации. Пласмани. Концептот е претставен со конкретен пример. Изведена е формулата за бројот на места. Комбинации. Поим и формула за бројот на комбинации. Целта на овој дел е да им даде на учениците различни начини за опишување на сите можни елементарни настани во различни типови на случајни искуства. §4 „Почетни информации од теоријата на веројатност“. Презентацијата на материјалот започнува со преглед на експериментот, по што се воведуваат концептите „случаен настан“ и „релативна фреквенција на случаен настан“. Воведена е статистичката и класичната дефиниција на веројатноста. Ставот завршува со ставот „додавање и множење на веројатности“. Се разгледуваат теоремите за собирање и множење на веројатностите и се воведуваат придружните концепти на некомпатибилни, спротивни, независни настани. Овој материјал е наменет за ученици кои имаат интерес и способност за математика и може да се користи за индивидуална работа или во воннаставни активности со ученици. Методолошките препораки за овој учебник се дадени во голем број написи од Макаричев и Миндјук („Елементи на комбинаторика во училишен курс за алгебра“, „Почетни информации од теоријата на веројатност во училишен курс за алгебра“). И, исто така, некои критички коментари за овој учебник се содржани во написот на Студенецкаја и Фадеева, што ќе помогне да се избегнат грешки при работа со овој учебник. Цел: премин од квалитативен опис на настани во математички опис. Тема „Теорија на веројатност“ во учебниците на Мордкович А.Г., Семенов П.В. за 9-11 одделение. Во моментов, еден од актуелните учебници во училиштето е учебникот на Мордкович А.Г., Семенов П.В. „Настани, веројатности, статистичка обработка на податоци“, има и дополнителни поглавја за 7-9 одделение. Ајде да го анализираме. Според „Работната програма за алгебра“, се доделуваат 20 часа за изучување на темата „Елементи на комбинаторика, статистика и теорија на веројатност“. Материјалот на тема „Теорија на веројатност“ е опфатен во следните параграфи: § 1. Наједноставни комбинаторни задачи. Правило за множење и дрво на опции. Преуредувања. Започнува со разгледување на едноставни комбинаторни проблеми, се разгледува табела на можни опции, која го покажува принципот на правилото за множење. Потоа се разгледуваат дрвја на можни опции и пермутации. По теоретскиот материјал следуваат вежби за секоја од потточките. § 2. Избор на неколку елементи. Комбинации. Прво, формулата се прикажува за 2 елементи, потоа за три, а потоа општата за n елементи. § 3. Случајни настани и нивните веројатности. Воведена е класичната дефиниција за веројатност. Предноста на овој прирачник е тоа што е еден од ретките што содржи параграфи во кои се дискутираат табелите и дрвјата на опции. Овие точки се неопходни, бидејќи токму табелите и стеблата на опции ги учат учениците на презентација и првична анализа на податоците. И во овој учебник успешно е воведена формулата за комбинација, прво за два елементи, потоа за три и генерализирана за n елементи. На комбинаторика, материјалот е исто толку успешно претставен. Секој пасус содржи вежби, што ви овозможува да го консолидирате материјалот. Коментарите за овој учебник се содржани во написот на Студенецкаја и Фадеева. Во 10 одделение, три параграфи се посветени на оваа тема. Во првиот од нив, „Правило на множење. Пермутации и фактори“, покрај самото правило за множење, главниот акцент беше ставен на изведувањето од ова правило на два главни комбинаторни идентитети: за бројот на пермутации и за бројот на сите можни подмножества на множество составено од n елементи. Во исто време, факторите беа воведени како пригоден начин за скратување на одговорот во многу специфични комбинаторни проблеми пред самиот концепт на „пермутација“. Во вториот став од одделение 10 „Избор на повеќе елементи. Биномни коефициенти“ се сметаат за класични комбинаторни проблеми поврзани со истовремен (или секвенцијален) избор на неколку елементи од дадено конечно множество. Најзначајниот и вистински нов за руското средно училиште беше последниот став „Случајни настани и нивните веројатности“. Ја испитуваше класичната шема на веројатност, ги анализираше формулите P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P()=1-P(A), P(A)=1- P() и како да ги користите. Ставот заврши со транзиција кон независни повторувања на тестот со два исхода. Ова е најважниот веројатностичен модел од практична гледна точка (Бернули тестови), кој има значителен број на примени. Последниот материјал формираше премин помеѓу содржината на едукативниот материјал во 10-то и 11-то одделение. Во 11-то одделение два параграфа од учебникот и една проблемска книга се посветени на темата „Елементи на теоријата на веројатност“. § 22 се занимава со геометриски веројатности, § 23 го повторува и проширува знаењето за независно повторување на тестови со два исхода.
Слични документи
Теоријата на веројатност е гранка на математиката која ги проучува моделите на случајни појави: случајни настани, случајни променливи, нивните својства и операции на нив. Методи за решавање проблеми во теоријата на веројатност, одредување на математичко очекување и варијанса.
тест, додаден на 04.02.2012 година
Проучувањето на теоријата на веројатност за време на училишната програма им овозможува на учениците да развијат логично размислување, способност за апстрактирање и истакнување на суштината. Историја на теоријата на веројатност и нејзините научни основи. Видови настани. Операции со случајни настани.
теза, додадена 22.01.2009 година
Проучување на обрасците на масовните случајни појави. Степенот на поврзаност помеѓу теоријата на веројатност и статистиката. Невозможни, можни и одредени настани. Статистичка, класична, геометриска, аксиоматска дефиниција на веројатноста. Формула на Бејс.
апстракт, додаден 05/08/2011
Главните насоки на развој на линијата равенки и неравенки во училишниот курс по математика, неговата поврзаност со нумеричкиот и функционалниот систем. Карактеристики на студијата, аналитички и графички методи за решавање на равенки и неравенки кои содржат параметри.
работа на курсот, додадена на 01.02.2015 година
Одредување на веројатноста за тестирање на неисправни структури. Пресметка на веројатноста дека од сто новороденчиња во градот N ќе доживеат 50 години. Пресметка на математичко очекување и варијанса. Одредување на непознатата константа C и исцртување на графикот на функцијата p(x).
работа на курсот, додадена на 27.10.2011 година
Теоријата на веројатност како математичка наука која ги проучува обрасците во масовни хомогени случаи, појави и процеси, предметот, основните поими и елементарните настани. Одредување на веројатноста за настан. Анализа на главните теореми на теоријата на веројатност.
мамење лист, додаде 12/24/2010
Практично решение на проблеми во теоријата на веројатност. Проблем со условна веројатност. Проблем со пресметување на веројатноста. Проблем со формулата за вкупна веројатност. Проблем на теоремата за повторување на експериментите. Проблем со множење на веројатноста. Проблем со дијаграм на случај.
тест, додаден на 24.09.2008 година
Развој на методолошки аспекти на учење на студентите елементи на теоријата на веројатност. Методи на дефинирање, редослед на прикажување на толкувања на веројатност и формирање на аксиоматски концепт. Решени проблеми во изучувањето на геометриската веројатност.
работа на курсот, додадена 07/03/2011
Истражување на J. Cardano и N. Tartaglia во областа на решавање на примарни проблеми на теоријата на веројатност. Придонесот на Паскал и Ферма во развојот на теоријата на веројатност. Дело од Х. Хајгенс. Први студии за демографија. Формирање на концептот на геометриска веројатност.
работа на курсот, додадена на 24.11.2010 година
Концептот и својствата на рамни криви, историјата на нивното истражување. Методи на формирање и видови на рамни криви. Криви студирал на училишен курс по математика. Изработка на план за изборна настава по математика на тема „Криви“ во специјализирано училиште.
Како што знаете, заедницата има две полици за книги посветени на литература за теоријата на веројатност и математичка статистика
Литература за теоријата на веројатност и математичка статистика (дел 1)
Литература за теоријата на веројатност и математичка статистика (дел 2)
Сепак, содржи главно книги за студенти и наставници.
Овој запис ќе биде посветен на книги за теорија на веројатност и математичка статистика за ученици и наставници.
Некои од нив се веќе објавени во заедницата.
Книгите се подредени по азбучен ред.
Книги за теорија на веројатност и математичка статистика за ученици и наставници
| Статистика на Бродски Ја. Веројатност. Комбинаторика М.: Издавачка куќа Оникс ДОО: Издавачка куќа Мир и Едукација ДОО, 2008. - 544 стр.: ил. - (Училишен курс по математика). ISBN 978-5-488-01369-8 (Оникс издавачка куќа ДОО) Овој учебник детално ги опишува основите на описната и математичката статистика, елементите на теоријата на веројатност и комбинаториката. За секој параграф има контролни прашања и задачи за самостојно решавање. Покрај тоа, секое поглавје содржи дополнителни задачи. На крајот од книгата се дадени одговори и упатства за сите проблеми. Прирачникот е наменет за средношколци, студенти и студенти помлади кои студираат на нематематички специјалности. Пронајден на веб. Преземи (pdf/zip, 5.14 Mb) mediafire.com || ifile.it |
 |
Бунимович Б.А., Буличев В.А. Веројатност и статистика. Одделение 5-9: Прирачник за општо образование. тетратка авенија М.: Бустард, 2002. - 160 стр.: илустр. - (Теми за училишни курсеви). ISBN 5-7107-4582-0 Прирачникот го содржи потребниот теоретски и практичен материјал за изучување на веројатностичко-статистичката линија, која денес станува составен дел на училишниот математички курс. Изучувањето на веројатноста се очекува да биде дел од основниот предмет по математика за 5-9 одделение. За успешно совладување, доволно е да го совладате основниот теоретски материјал и да ги решите задачите од групата А. Прирачникот може да се користи заедно со кој било постоечки учебник по математика. Обезбедено од Robot Преземи (djvu/rar, 2,41 MB) ifolder.ru || онлајн диск |
 |
Варга Т. Математика 1. Табели на текови, удирани карти, веројатности: (Математички игри и експерименти) Пер. со него. - М.: Педагогија, 1978. - 112 стр., ил. Книгата открива ефективни начини да се воведат такви делови од модерната математика во училишната настава како вовед во теоријата на веројатност, дијаграми на текови и пробиени карти. Авторот се фокусира на усвојувањето на математички поими од страна на децата на возраст од 10-14 години преку забавни игри. Пронајден на веб Преземи (djvu/rar, 1,74 MB) ifolder.ru || онлајн диск |
 |
Варга Тамаш, Естер Немени-Червенак, Марија Халмос Математика 2. Авион и простор. Дрвја и графикони. Комбинаторика и веројатност. (Математички игри и експерименти). Пер. со него. E.Ya. Габович. М.: Педагогија, 1978. – 112 стр. со болен. Книгата открива ефективни начини за рано воведување во училишната настава на голем број поими за геометријата на многуаголниците и полиедрите, воведувањето на такви концепти на модерната математика како наједноставните графикони, дрвја и веројатноста, како и нивните наједноставни примени. Поглавје 3 од книгата е продолжение на поглавје 3 од книгата „Математика 1“, заедно со што ја формираат основата на вовед во теоријата на веројатност за средношколци и средношколци. Авторот се фокусира на стекнување математички поими од страна на деца на возраст од 10-14 години преку забавни игри. Публикацијата е наменета за методолозите и наставниците кои организираат експериментална работа за да утврдат ефективни методи на настава по математика. Ви благодарам многу за книгатаАк-сакал Преземи (djvu, 2,6 MB) ifolder.ru || онлајн диск |
 |
Vysotsky I. R., Yashchenko I. V. Единствен државен испит 2012. Математика. Проблем Б10. Теорија на веројатност. Работна тетратка М.: MTsNMO, 2012. -48 стр. ISBN 978-5-94057-860-4 Во различни фази на обука, прирачникот ќе помогне да се обезбеди израмнет пристап кон организирање на повторување, да се следи и самостојно да се следи знаењето на тема „Теорија на веројатност“. Работната книга е фокусирана на една академска година, но доколку е потребно, ќе ви овозможи брзо да ги пополните празнините во знаењето на матурантот. Тетратката е наменета за средношколци, професори по математика и родители. Обезбедена книгаРоботот Преземи (djvu/rar, 690 kb) rghost.ru || онлајн диск |
| Евич Л.Н., Олховаја Л.С., Ковалевскаја А.С. Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2012 год. Елементи на теоријата на веројатност и статистика: едукативен прирачник / Уредено од F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. - Ростов-на-Дон: Легија-М, 2011. - 32 стр. - (Подготовка за обединет државен испит) ISBN 978-5-91724-116-6 Прирачникот го содржи потребниот материјал за само-подготовка за Единствениот државен испит по математика во деловите „Теорија на веројатност“, „Комбинаторика“, „Статистика“: демо верзија со решенија за задачи; 8 нови тематски авторски образовни и обучувачки тестови за погоре споменатите делови, составени земајќи ги предвид спецификациите на Единствениот државен испит-2012 година; проблематична книга наменета за подетален развој на различни видови тест задачи. Книгата е наменета за дипломирани студенти на општообразовни институции, наставници и методолози. Фала за книгаташиевг Преземи (djvu, 489,39 KB) Преземи (djvu, 489,39 KB) rghost |
 |
Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Вовед во теоријата на веројатност. - М., Наука, 1982. - 160 стр. - Библиска книга „Кванта“. Број 23 Книгата ги воведува основните концепти на теоријата на веројатност користејќи едноставни примери. Заедно со комбинаторната дефиниција на веројатноста, се разгледува и статистичката дефиниција. Детално е анализирано случајно одење по права линија, кое ги опишува физичките процеси на еднодимензионалното брауновско движење на честичките, како и голем број други примери. За ученици, студенти, наставници, луѓе кои се занимаваат со самообразование. Пронајден на веб Преземи (djvu, 1,9 MB) Rapida || rghost.ru |
 |
Кордемски Б.А. Математиката ја проучува случајноста. Прирачник за студенти. М., „Просветителство“, 1975. -223 стр. (Светот на знаењето). Целта што си ја поставил авторот на оваа книга е да му помогне на читателот самостојно да ги совлада почетните концепти и методи на теоријата на веројатност и наједноставниот апарат за математичка статистика. Ова е книга за едукативно читање со молив во рака и работна тетратка на маса. Во почетниот дел од книгата преовладува слободна форма на презентација, неограничена од рамката на програмата, користејќи забавен и разигран материјал; Постепено книгата „станува посериозна“, но не ја губи достапноста за средношколците и читателите кои веќе завршиле средно училиште. За самостојно тестирање на ефективноста на стекнатото знаење и „веројатничкото размислување“, претпоследното поглавје нуди околу педесет проблеми со скици. Некои докази, заклучоци и теоретски коментари се вклучени во последното поглавје, „Прилог“. Обезбедена книгаРоботот Преземете (djvu/rar, 4,17 MB, 600dpi+OCR) папка или онлајн диск |
 |
Макаричев Ју.Н.Алгебра: елементи на статистика и теорија на веројатност: учебник. прирачник за ученици 7-9 одд. општо образование институции / Ју.Н.Макаричев, Н.Г. Миндјук; Изменето од С.А. Телјаковски. 3-то издание - М.: Образование, 2005. - 78 стр. : лошо - ISBN 5-09-014164-9. Овој прирачник е наменет за проучување на веројатност и статистички материјал при работа на учебниците „Алгебра, 7“, „Алгебра, 8“, „Алгебра, 9“ од Ју.Н.Макаричева, Н.Г.Миндјук, К.И.Пешкова, С.Б. , ед. С.А. Телјаковски. Книга обезбедена од acub Преземи (djvu, 1.3 mb)mediafire.com || ifolder.ru |
| Мордкович А. Г., П. В. Семенов. Настани. Веројатности. Статистичка обработка на податоци: Дополнителни ставови од предметот алгебра 7-9 одделение. општо образование институции 5-ти ед. - М., 2008. - 112 стр. : болен. ISBN 978-5-346 01012-8 Прирачникот е наменет да ги запознае студентите со елементите на теоријата на веројатност и математичката статистика. Голем број примери ги прикажуваат почетните концепти, идеи и методи на комбинаторика, теорија на веројатност и статистика. Дадени се проблеми со решенија и одговори, како и вежби со зголемен степен на сложеност за самостојна работа на учениците (вклучувајќи одговори). Содржи препораки за приближно планирање на наставата на едукативен материјал. Обезбедена книгаакуб Преземи (djvu, 1,14 MB) Можноста за преземање на оваа датотека е блокирана на барање на носителот на авторските права. |
 |
F. Mosteller Педесет забавни проблеми со веројатност со решенија. - Пер. од англиски М.: Наука. Гл. ед. физика и математика lit., 1975.- 112 стр. Книгата всушност содржи 57 забавни проблеми (седум проблеми се дискутираат наместо решени). Повеќето задачи се лесни. Само неколку од нив бараат познавање на курсот за анализа, но дури и во овие случаи, необучен читател сепак ќе може да ја разбере изјавата за проблемот и одговорот. Книгата е упатена до широк круг читатели: средношколци, професори, студенти. Пронајден на веб Преземи (djvu, 1.9 mb)alleng.ru || mediafire.com |
| Тарасов Л.В. Не е случајно. Експериментален учебник од развоен тип по интегративен предмет Шаблони на околниот свет Москва. „Авангарда“. 1994. - 162 стр. 5-87868-058-0 Оваа книга е од серијалот на експериментални развојни учебници на интегративниот предмет „Шаблони на околниот свет“. Во VI одделение овој предмет се нарекува „Неслучајна шанса“. Врз основа на докажаните препораки на психолозите, модерната педагогија одамна ја препозна потребата за запознавање на учениците со идеите и методите на комбинаторика и теоријата на веројатност и развојот на нивното променливо размислување врз основа на тоа. Училиштата во многу земји низ светот воведоа соодветни образовни предмети. Во нашата земја, Б.В.Гнеденко отсекогаш бил страстен ентузијаст за вклучување на веројатни идеи и пристапи во средното образование. Притисни. Книгата не е многу слична на учебник. Цртежите на Ешер, парчиња митови, дијалози на омилените детски литературни ликови - Алис Л. Керол, Вини Пу, Мајмун и Слон итн. Може да се користи како книга за забавно читање на оваа тема. Обезбедена книгаРоботот Преземи (djvu/rar, 3,59 MB) ifolder.ru || онлајн диск |
 |
Тјурин Ју Н. и други Теорија на веројатност и статистика / Ју.Н.Тјурин, А.А. Макаров, И.Р. Висоцки, И.В.Јашченко. - М: МТсНМО: АД „Московски учебници“, 2004.- 256 стр.: ил. ISBN 5-94057-161-1 djvu верзијата пронајдена од Guest Преземи (djvu, 4,58 MB) ifolder.ru || mediafire.com || rghost.ru Обезбедена pdf верзија (копирана страница по страница од reshlib). jagger777 Преземи (pdf, 8,6 MB) ifolder.ru || rghost.ru |
 |
Tyurin Yu. N. et al. Теорија и статистика на веројатност / Yu. N. Tyurin, A. A. Makarov, I. R. Vysotsky, I. V. Yashchenko. - 2. ed., ревидирана. - М.: МТсНМО: ОЈСЦ „Московски учебници“, 2008. -256 стр.: ил. ISBN 987-5-94057-319-7 Учебникот за основите на теоријата на веројатност и статистиката е наменет за ученици од 7-9 одделение на општообразовните институции. Може да се користи и во средните училишта. Оваа книга подеднакво внимание посветува на статистиката и теоријата на веројатност и нивната улога во проучувањето на појавите во околниот свет. Книгата е наменета за почетно запознавање на учениците со формите на прикажување и опис на податоците во статистиката, разговори за случајни настани, веројатности и нивните својства. Прилозите даваат примерна самостојна и тестна работа за 7, 8 и 9 одделение, а се напишани објаснувања за поимите кои се сретнале. Авторите се обидоа да ја направат презентацијата едноставна и не го злоупотребија математичкиот формализам. Пронајден на веб Преземи (djvu, 1,8 MB)mediafire.com ||ifolder.ru |
 |
Шевелева Н.В. Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин математика (алгебра, елементи на статистика и теорија на веројатност). 9-то одделение М.: Национално образование, 2011. - 144 стр. : болен. - (Краток курс). ISBN 978-5-905084-55-3 Прирачникот е наменет за учениците од 9-то одделение. Тој дава информации за главните теми од курсот за алгебра за 9-то одделение, како и за делот „Елементи на статистиката и теоријата на веројатност“ во концизна и достапна форма. Особено внимание се посветува на анализата на решенија за типични проблеми. Книгата ќе им биде корисна на учениците во процесот на учење, како и при повторување на материјалот со цел негово систематизирање и подготовка за испитот. Обезбедена книгаРоботот Преземи (djvu/rar, 1,96 MB) ifolder.ru || дух |
 |
Shor E. Во светот на несреќите. Кишињев, Издавачка куќа „Картија Молдовенјаска“, 1977. - 90 стр. Читателот ќе патува во демографијата, математичката статистика, психолингвистиката и заедно со јунаците на По ќе учествува во решавањето на мистериозниот текст. За успех на ваквата екскурзија, тој најпрво ќе стекне разбирање за веројатноста и методите на нејзино пресметување, а од него не се бара посебна математичка обука. Читателот ќе се врати од патувањето збогатен со концептите и методите на теоријата на веројатност и познавањето на областите на нејзината примена. Брошурата ќе биде корисна за сите заинтересирани за светот на среќата. Пронајден на веб Преземи (djvu, 1,05 MB) ifolder.ru || mediafire.com |
Книги за комбинаторика
Избор на книги од Н.Ја Виленкин
Vilenkin N.Ya Комбинаторика. - М., Наука, 1969. -328 стр.
Виленкин Н.Ја. Популарна комбинаторика. -М., Наука, 1975. - 208 стр.
Виленкин Н.Ја., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: ФИМА, МТСНМО, 2006. - 400 стр.
е во делот Литература за теоријата на веројатност и математичка статистика (дел 1) .
Следни книги
Виленкин Н, Ја Индукција. Комбинаторика. Прирачник за наставници. М., „Просветителство“, 1976 година
Ezhov I. I., Skorokhod A. V., Yadrenko M. K. Елементи на комбинаторика. - М., Главна редакција на физичко-математичката литература на издавачката куќа Наука, 1977 г.
Савељев Л.Ја. (д) Олимпијада. Алгебра. Комбинаторика. - Новосибирск, НСУ, 1979 година.
се во делот Литература за подготовка за математички олимпијади (II дел).
Тестови по математика (теорија на веројатност и статистика) за 7 одделение
Тест за теорија на веројатност и статистика од 24.04.2008 година
(содржи опции 1-2 од тестот за теорија и статистика на веројатност, одговори и критериуми за оценување на тестот за теорија и статистика на веројатност и демо верзии на тестот за теорија на веројатност и статистика за одделение 7)
Преземи (pdf/rar, 1,38 MB) ifolder.ru || онлајн диск
Тестови по математика (теорија на веројатност и статистика) за 8 одделение, составена од Московскиот институт за отворено образование (МИОО).
Тест за теорија на веројатност и статистика од 12.05.2011 година
Тест за теорија на веројатност и статистика од 19.05.2010 година
Тест за теорија на веројатност и статистика од 19.05.2009 година
(содржи опции 1-2 од тестот за теорија на веројатност и статистика, одговори и критериуми за оценување на тестот за теорија и статистика на веројатност и демо верзии на тестот за теорија на веројатност и статистика за 8 одделение)
Преземи (pdf/rar, 1,01 MB) ifolder.ru || онлајн диск
Се бара
Afanasyev V. За учениците од училиштата за веројатноста во игрите. Вовед во теоријата на веројатност
Ивашев-Мусатов О.С. Почетоци на теоријата на веројатност за ученици
Просветов Г.И. Теорија на веројатност и статистика за ученици: проблеми и решенија