Испратете ја вашата добра работа во базата на знаење е едноставна. Користете ја формата подолу

Студентите, дипломираните студенти, младите научници кои ја користат базата на знаење во нивните студии и работа ќе ви бидат многу благодарни.

Објавено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ЗА ОБРАЗОВАНИЕ НА РЕПУБЛИКА БЕЛОРУСИЈА

ОБРАЗОВНА ИНСТИТУЦИЈА „БЕЛОРУСКА ДРЖАВНА ПЕДАГОШКА

УНИВЕРЗИТЕТ ИМЕНО ПО М.ТЕНК

ФИЗИКОМАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

КАТЕДРА ЗА МЕТОДИ НА НАСТАВА ПО МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТИ ВО УЧИЛИШНИОТ ПРЕДМЕТ ПО МАТЕМАТИКА

Минск, 2016 година

ВОВЕД

Прашањето за подобрување на математичкото образование во домашните училишта беше покренато во раните 60-ти години на 20 век од извонредните математичари Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, И.И. Кикоин, А.И. Маркушевич, А.Ја. Хинчин. Б.В. Гнеденко напиша: „Прашањето за воведување елементи на веројатничко и статистичко знаење во училишниот курс по математика е одамна задоцнето и не може да толерира дополнително одложување. Законите на строга определба, кон чие проучување е целосно насочено нашето училишно образование, само еднострано ја откриваат суштината на околниот свет. Случајната природа на многу феномени на реалноста е надвор од вниманието на нашите ученици. Како резултат на тоа, нивните идеи за природата на многу природни и општествени процеси се еднострани и несоодветни за модерната наука. Неопходно е да ги запознаеме со статистички закони кои ги откриваат повеќеслојните врски помеѓу постоењето на предмети и феномени“. ВО И. Левин напишал: „...Статистичката култура неопходна за... активност мора да се негува уште од рана возраст. Не случајно во развиените земји се посветува големо внимание на ова: учениците се запознаваат со елементите на теоријата на веројатност и статистиката уште од првите училишни години и во текот на своето образование стекнуваат веројатност и статистички пристапи за анализа на вообичаени ситуации кои се среќаваат во секојдневниот живот. живот.” Со реформата на 80-тите, елементите на теоријата на веројатност и статистиката беа вклучени во програмите на специјализираните часови, особено физика, математика и природни науки, како и во изборниот предмет за изучување математика. Имајќи ја предвид итната потреба да се развијат индивидуалните квалитети на размислувањето на студентите, се појавуваат авторски развојни предмети за изборни предмети за теоријата на веројатност. Пример за ова може да биде курсот на Н.Н. Авдеева за статистика за 7 и 9 одделение и курс на елементи од математичка статистика за 10 одделение гимназија. Во 10-то одделение беа спроведени тестови, чии резултати, како и набљудувањата на наставниците и анкетата на учениците, покажаа дека предложениот материјал е доста достапен за учениците, предизвика голем интерес за нив, покажувајќи ја специфичната примена на математика до решавање на практични проблеми во науката и технологијата. Процесот на воведување елементи на теоријата на веројатност во задолжителниот училишен предмет по математика се покажа како многу тежок. Постои мислење дека за да се совладаат принципите на теоријата на веројатност, неопходен е прелиминарен фонд на идеи, концепти и навики кои се фундаментално различни од оние што ги развиваат учениците за време на традиционалното образование како дел од запознавањето со законите на строго условувачките феномени. . Затоа, според голем број професори по математичари, теоријата на веројатност треба да биде вклучена во училишната математика како самостоен дел, кој би обезбедил формирање, систематизација и развој на идеи за веројатноста на појавите на светот околу нас. Бидејќи изучувањето на теоријата на веројатност неодамна беше воведено во училишниот курс, во моментов има проблеми со имплементацијата на овој материјал во училишните учебници. Исто така, поради специфичноста на овој предмет, мала е и количината на методолошка литература. Според пристапите наведени во огромното мнозинство на литература, се верува дека главната работа при проучувањето на оваа тема треба да биде практичното искуство на студентите, затоа се препорачува да се започне обука со прашања во кои е неопходно да се најде решение за проблемот поставен на позадината на реалната ситуација. За време на процесот на учење, не треба да ги докажувате сите теореми, бидејќи на ова се троши многу време, додека целта на курсот е да се развијат корисни вештини, а способноста за докажување теореми не е една од таквите вештини. Потеклото на теоријата на веројатност настанало во потрага по одговор на прашањето: колку често се случува даден настан во поголема серија тестови со случајни исходи што се случуваат под исти услови? Кога ја проценуваме можноста да се случи некој настан, често велиме: „Многу е можно“, „Сигурно ќе се случи“, „Тоа е малку веројатно“, „Никогаш нема да се случи“. Со купување на лотарија, може да победите или не; Утре на час по математика може или не може да ве повикаат на таблата; На следните избори владејачката партија може да победи или не. Ајде да погледнеме едноставен пример. Што мислите, колку луѓе треба да бидат во одредена група за барем двајца од нив да имаат ист роденден со 100% веројатност (се мисли на денот и месецот без да се земе предвид годината на раѓање)? Ова не значи престапна година, т.е. година со 365 дена. Одговорот е очигледен - во групата треба да има 366 луѓе. Сега друго прашање: колку луѓе мора да има за да се најде пар со ист роденден со веројатност од 99,9%? На прв поглед, сè е едноставно - 364 луѓе. Всушност, доволни се 68 луѓе! За да извршиме такви интересни пресметки и да направиме необични откритија за себе, ќе го проучуваме овој дел од математиката „Теорија на веројатност“.

ГЛАВА I. ЛИНИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТА-СТАТИСТИКА ВО ОСНОВЕН УЧИЛИШЕН ПРЕДМЕТ ПО МАТЕМАТИКА

1.1 Статистичко размислување и училишно математичко образование

Секоја ера поставува свои барања за математичката наука и математичкото образование. Во моментов се погласни се гласовите на методолозите кои се залагаат за зајакнување на веројатностичко-статистичката линија во училишниот курс по математика, почнувајќи од средното образование. Но, многу професори по математика долго време не се среќаваат со прашања од комбинаторика, теорија на веројатност, статистика, т.е. со сè што е вклучено во веројатностичко-статистичка насока на математиката. Тие треба да го прошират своето знаење за длабински прашања. Најавторитарен истражувач кај нас во областа на теоријата на веројатност и математичката статистика беше Борис Владимирович Гнеденко (1912-1995). Тој беше автор на многу статии во списанието Математика на училиште.

Што и како да се предава на училиште, очигледно, секогаш ќе биде еден од вечните проблеми што постојано се појавуваат дури и откако ќе им биде дадено подобро решение од претходното. И тоа е неизбежно, бидејќи нашите научни сознанија и пристапи за објаснување на појавите околу нас постојано се прошируваат. Несомнено е дека содржината на училишната настава треба да се менува со напредокот на науката, заостанувајќи малку зад неа и давајќи им можност на новите научни идеи и концепти да добијат психолошки и методолошки прифатливи форми.

Меѓутоа, да се верува дека содржината и природата на училишниот курс во одредена наука треба целосно да се определат од состојбата на соодветната научна гранка на знаење и преовладувачките идеи за нејзините централни концепти, би било сериозна грешка. Огромното мнозинство на ученици нема да станат специјалисти во оваа област на науката. Во нив ќе има и претставници на други научни интереси и практични области на дејност, како и претставници на либерални професии - писатели, актери, уметници. Затоа е од суштинско значење за сите ученици да се учат на училиште за воспоставените научни концепти и да се здобијат со цврста основа на научно знаење, како и способност за логично размислување и јасно изразување на своите мисли. Училиштето мора да даде идеја дека науката и нејзиниот концепт се тесно поврзани со практиката, од која црпи формулации на своите проблеми, идеи, а потоа се враќа да практикува нови можности за решавање на нејзините главни проблеми, создавање нови методи за неа. Без ова образованието ќе биде нецелосно, разведено од животот и ќе им создаде бројни тешкотии на учениците. Затоа, содржината на училишното образование треба да биде под влијание на широко разбраните барања на практиките на нашето време и догледна иднина.

Избори и референдуми, банкарски заеми и осигурителни полиси, табели за вработување и графикони на социолошки истражувања моќно влегоа во нашите животи. Општеството почнува да се проучува подлабоко и да се стреми да прави предвидувања за себе и за природните појави кои бараат идеи за веројатноста. Дури и временските извештаи во весниците пишуваат дека има „40% шанси за дожд утре“.

Целосното постоење на граѓанинот во сложено, променливо и разновидно општество е директно поврзано со правото на примање информации, неговата достапност и веродостојност, правото на информиран избор, кој не може да се направи без можност за избор и прогнози врз основа на анализа и обработка на често нецелосни и контрадикторни информации.

Мораме да ги научиме децата да живеат во веројатноста ситуација. Ова значи извлекување, анализа и обработка на информации, донесување информирани одлуки во различни ситуации со случајни исходи. Ориентацијата кон демократски принципи на размислување, кон мултиваријантен можен развој на реални ситуации и настани, кон формирање на личноста, способност да се живее и работи во сложен свет постојано променлив, неминовно бара развој на веројатност и статистичко размислување кај помладите. генерација. Овој проблем може да се реши на училишен курс по математика врз основа на збир на прашања поврзани со описна статистика и елементи на математичката статистика, со формирање на комбинаторно и веројатностичко размислување (12). Меѓутоа, не само социо-економската ситуација ја диктира потребата од развивање на веројатностичко размислување кај новата генерација. Законите за веројатност се универзални. Тие станаа основа за опишување на научната слика на светот. Современата физика, хемија, биологија, демографија, социологија, лингвистика, филозофија, целиот комплекс на социо-економски науки се изградени и развиени на веројатностатистичка основа. Тинејџерот не е одделен од овој свет со празен ѕид, а во животот постојано се соочува со веројатност. Играта и возбудата се суштински дел од животот на детето. Низа прашања поврзани со односот помеѓу концептите на „веројатност“ и „сигурност“, проблемот со изборот на најдоброто од неколкуте опции за решение, проценката на степенот на ризик и шансите за успех, идејата за правда и неправда во игри и судири во реалниот живот - сето тоа несомнено е во сферата на вистинските интереси на тинејџер. Училишните курсеви по математика треба да преземат подготовка за решавање на ваквите проблеми.

Денес во науката концептот на случајност доби фундаментално значење и самоуверено го пробива својот пат кон изнаоѓање оптимални решенија. Постои особено итна потреба да се воведе концептот на случајност во училишната настава, а тоа е предизвикано не само од научни и практични барања, туку и од чисто методолошки размислувања. Во исто време, класичниот систем на руското образование се заснова, пред сè, на јасно детерминистички принципи и пристапи и во математиката и во другите предмети. Ако не се отстрани, тогаш барем ослабената противречност помеѓу детерминистичката слика за светот формирана во ѕидовите на училиштето и современите научни идеи засновани на веројатни статистички закони е невозможна без воведување на основите на статистиката и теоријата на веројатност во задолжителното училишно образование. Современиот концепт на училишното математичко образование е фокусиран, пред сè, на земање предвид на индивидуалноста на детето, неговите интереси и склоности. Ова ги одредува критериумите за избор на содржина, развој и имплементација на нови, интерактивни наставни методи и промени во барањата за математичка подготовка на ученикот. Во исто време, самото запознавање на учениците со многу уникатна област на математиката, каде што помеѓу црното и белото има цел спектар на бои и нијанси, можности и опции и помеѓу недвосмисленото „да“ и „не“ има и „можеби“ (и ова „можеби“ се посветува на строга квантитативна проценка!), помага да се елиминира вкоренетото чувство дека она што се случува на часот по математика на никаков начин не е поврзано со надворешниот свет, со секојдневниот живот.

Според податоците од физиолозите и психолозите, како и од бројните набљудувања на наставниците по математика, постои пад на интересот за процесот на учење воопшто и за математиката особено. На часовите по математика во основно училиште, од петто до деветто одделение, спроведени според вообичаената шема и на традиционален материјал, ученикот често има чувство на непробоен ѕид помеѓу апстрактните и формалните предмети што се прикажуваат и околниот свет. Тоа е веројатноста-статистичка линија или, како што неодамна се нарекува, стохастичка линија, чие проучување е невозможно без потпирање на процесите забележани во околниот свет, на реалното животно искуство на детето, што може да придонесе за враќање на интересот за самиот предмет „математика“, промовирајќи го неговото значење и универзалност. Конечно, концептот на отворено општество, процесите на европска и светска интеграција се нераскинливо поврзани со меѓусебното зближување на земјите и народите, вклучително и во областа на образованието. Русија, имајќи една од најмоќните и светски признати традиции на училишното математичко образование, во исто време останува можеби единствената развиена земја каде основниот училишен курс по математика не ги вклучува основите на статистиката и теоријата на веројатност. Појавените трендови во економските трансформации кај нас сугерираат дека во многу блиска иднина општеството ќе биде барано од организатори и учесници во нов тип на производство, каков што ќе треба да станат многу матуранти. Стохастичката култура толку неопходна за нивните активности мора да се негува уште од рана возраст. Не случајно во развиените земји се посветува големо внимание на ова: учениците се запознаваат со елементите на теоријата на веројатност и статистиката уште од првите училишни години и во текот на своето образование стекнуваат веројатност и статистички пристапи за анализа на вообичаени ситуации кои се среќаваат во секојдневниот живот. животот.

Може да се дадат многу примери на пристапи за проучување на веројатност и статистички материјал во средното училиште, бидејќи во текот на изминатите две децении речиси секоја земја го воведе овој материјал во училишната програма и предложи еден или повеќе пристапи за неговото проучување. Интересни дела се појавија во Полска, Шведска, Израел и Франција. Проблемите поврзани со создавањето систем за изучување на веројатност и статистички материјал во средното образование кај нас не се доволно опфатени. Анализата на пристапите кои ни се познати за проучување на елементите на теоријата на веројатност и статистиката во средните училишта во различни земји ни овозможува да ги извлечеме следните заклучоци:

Во огромното мнозинство земји, овој материјал започнува да се изучува во основно училиште;

Во текот на сите години на студирање, студентите се запознаваат со веројатност и статистички пристапи за анализа на емпириски податоци, при што применетите задачи и анализата на реалните ситуации играат главна улога;

Во процесот на учење, голема улога имаат задачите кои бараат од учениците да работат во мали групи, самостојно да собираат податоци, да ги сумираат резултатите од групната работа, да спроведуваат независно истражување, практична работа, да поставуваат експерименти, да спроведуваат мала лабораториска работа, да подготвуваат долго - порочни задачи на курсот - сето тоа е диктирано од оригиналноста на веројатностичко - статистичкиот материјал, неговата тесна поврзаност со практичните активности;

Проучувањето на стохастиката се разложува на веројатност и статистички компоненти, кои се тесно поврзани меѓусебно во многу земји тие се надополнети со мал фрагмент од комбинаторика;

Кај нас веќе се направени неуспешни обиди да се воведе концептот на веројатност за настан во училишниот курс по математика. Поради својата изолираност и туѓост во однос на традиционалниот училишен курс, овој материјал набрзо беше отстранет од програмите и учебниците.

Одредено искуство во предавањето на елементите на теоријата на веројатност е акумулирано во училиштата со длабинско изучување на математиката, но тоа само го потврдува фактот дека обидите да се реши проблемот со воведување на нов изолиран дел во традиционалниот математички курс се осудени на неуспех. Проучувањето на елементите на теоријата на веројатност како затворен дел од програмата поврзана со „чиста“ теоретска математика целосно се дискредитираше себеси во очите на наставниците и доведе до фактот дека некои од нив генерално изразуваат сомнежи дека може и треба да се учел во средно училиште. Во исто време, наставниците по физика, хемија и биологија чувствуваат итна потреба да ги изразат основните закони на овие науки на јазикот на веројатните концепти. На крајот на краиштата, моменталната состојба на човечкото знаење за светот ни овозможува да веруваме дека случајната природа е вродена во главните (основни) феномени на микросветот.

Појавувањето во училишната програма на веројатностичко-статистичка линија, насочена кон запознавање на учениците со веројатноста на повеќето феномени во околната реалност, ќе помогне во зајакнувањето на неговиот општ културен потенцијал, појавата на нови, длабоко поткрепени интердисциплинарни врски и хуманитаризацијата. на училишното математичко образование.

При изборот на материјал за нов училишен курс, потребно е да се земе предвид општото образовно значење и идеолошкиот потенцијал на предложените теми. Важно е правилно да се процени какво знаење му треба на модерната личност во секојдневниот живот и активности, што од тоа ќе му треба на ученикот за да учи други училишни предмети, да го продолжи своето образование, каков придонес ова знаење може да даде во формирањето на различни аспекти на интелигенција на ученикот. Исто така, неопходно е да се осигура дека предложената содржина дава можности за органско комбинирање на новиот едукативен материјал со традиционалните и придонесува за развој на меѓупредметни врски.

И кај нас денес е неизбежен процес на влегување на стохастиката како рамноправна компонента во задолжителното училишно математичко образование.

Сите државни образовни документи од последниве години содржат веројатност-статистичка линија во основниот училишен математички курс, заедно со познати линии како „Броеви“, „Функции“, „Равенки и неравенки“, „Геометриски фигури“ итн.

1.2 Психолошки и педагошки аспекти на изучување на теоријата на веројатност во средно училиште

теорија на веројатност училишен просек

Истражувањата на психолозите (Ј. Пијаже, Е. Фишбејн) покажуваат дека личноста првично е слабо прилагодена на веројатност за проценка, на свесност и правилно толкување на веројатните статистички информации. Истото го потврдуваат и експериментите спроведени од Е. А. Бунимович (Москва, еден од авторите на учебниците што содржат елементи на стохастика) врз основа на гимназијата во Москва бр. 710, гимназијата Јарослав бр. 20 и гимназијата Калуга бр. 2. Во експериментални студии веројатните идеи на класовите на постарите ученици кои започнале напреден курс по математика, но сè уште не ги проучувале деловите за веројатност. Резултатите од студијата јасно укажуваат дека дури и доброто познавање и разбирање на другите гранки на математиката само по себе не обезбедува развој на веројатностичко размислување и не ги елиминира дури ни тривијалните веројатни предрасуди и заблуди (7).

Да дадеме еден пример. Учениците беа прашани:

„На една спортска лото карта (6 од 49) бројките се пречкртани

1, 2, 3, 4, 5 и 6,

а од друга

5, 12, 17, 23, 35 и 41.

Која група на броеви мислите дека е поголема веројатноста да победи?

Од сите учесници во експериментот, 22% од средношколците одговориле дека втората картичка е поверојатна. Речиси идентичен одговор од двајца ученици од различни училишта (Москва и Јарослав) е интересен: „Всушност, и двата случаи се подеднакво веројатни, но вториот случај е поверојатен“, изразувајќи очигледна противречност помеѓу секојдневните и научните идеи на учениците.

Интересно е што специјализираните хемиски и биолошки економски часови, каде што курсот по математика е многу подлабок од основниот, но нема веројатен и статистички материјал, даваат скоро ист резултат (до 30% од одговорите - „победа во вториот сет е поверојатно“). Резултатите од одговорите на слично прашање во тестот понуден во 1998 година на наставниците по математика на курсевите за напредна обука во Москва не се разликуваат многу од презентираните податоци.

Да забележиме, инаку, дека познатиот љубител на математички игри и парадокси, Мартин Гарднер, во слична прилика напишал дека всушност е поисплатливо да се пречкртаат комбинациите 1, 2, 3, 4, 5 и 6 или друга „редовна“ комбинација. Шансите за победа се исти, но износот на добивка може да испадне значително поголем, бидејќи тешко дека некој би помислил да ги прецрта броевите од 1 до 6 и затоа, ако имате среќа, нема да мора споделете го наградниот фонд со кој било.

На возраст од основно училиште, голем дел од идеите на учениците за светот се сè уште недоволно формирани, исто така, недостасува математички апарат (првенствено едноставни дропки) за објаснување на идеите за веројатноста. Во исто време, основите на описната статистика, табелите и столбовите графикони, како и основите на комбинаториката, систематско пребарување на можни опции во мал сет на предмети, се можни, па дури и неопходни за да се воведат во курсот за основно училиште. .

Започнувањето со презентирање на основите на теоријата на веројатност во средно училиште е неефективно. Желбата за брзо формализирање на знаењето, развиена до оваа возраст, формирана од традиционален курс по математика, желбата да се научи на час, пред сè, одреден сет на правила, алгоритми и методи на пресметување, всушност го заменува формирањето на веројатни претстави со формални учење на формули на комбинаторика и пресметки на веројатност според класичниот Лапласов модел.

Неопходно е да се започне со воведување на елементи на статистичко размислување на училиште по повеќе предмети, а не само во предметот математика. Неопходно е да се осигура дека на часовите по ботаника и зоологија, астрономија и физика, руски јазик и историја, разумни забелешки за случајноста на феномените што ги проучува оваа научна дисциплина се прават од време на време на вистинското место. Нормално, математиката не може да остане на страна. Децата ги добиваат своите први идеи за случајниот свет од нивно набљудување во животот околу нив. Истовремено, важните карактеристични карактеристики на набљудуваните појави се разјаснуваат при собирањето на статистички информации и нивното визуелно прикажување. Способноста да се запишуваат статистички информации и да се презентираат во форма на едноставни табели и дијаграми сама по себе го карактеризира студентот да има одредено статистичко искуство. Ги одразува првите, иако сè уште не целосно реализирани, идеи за двосмисленоста и варијабилноста на реалните појави, за случајните, сигурни и невозможни резултати од набљудувањата, за специфичните видови статистички агрегати, нивните карактеристики и општи својства. Овие вештини овозможуваат да се формира правилна идеја не само за феномени со изразена случајност, туку и за такви појави, чија случајна природа не е очигледна и е заматена од многу фактори кои ја комплицираат перцепцијата.

Во секојдневниот живот и на работа, матурантот постојано е соочен со потребата да добие и обработи одредени информации. На часовите по физика, хемија, биологија, при изведување на лабораториска и практична работа, студентот мора да биде способен да ги формализира резултатите од набљудувањата и експериментите; На часовите по географија, историја и општествени студии, тој треба да користи табели и референтни книги и да ги согледа информациите претставени во графичка форма. Овие вештини се неопходни за секој човек, бидејќи статистичкиот материјал, претставен во различни форми, постојано се наоѓа во сите извори на информации наменети за масовна публика - во весници, списанија, книги, на телевизија итн.

Разбирањето на природата на стохастичкиот феномен што се проучува е поврзано со способноста да се нагласи главната работа, да се видат карактеристиките и трендовите при испитување на табели, графикони и графикони. Наједноставните вештини за „читање“ на табели и графикони овозможуваат да се забележат некои обрасци на набљудуваните феномени, да се видат зад формите на прикажување на статистичките податоци специфичните својства на феномените со нивните вродени карактеристики и причинско-последични врски.

Типични карактеристики на феномените што се проучуваат, нивните општи трендови може да се идентификуваат со користење на просечни статистички карактеристики. Способноста да се користат го карактеризира присуството на идеи на ученикот поврзани со централните тенденции во светот на среќата. Разбирањето на значењето на наједноставните просеци, како што е аритметичката средина, е неопходно за секој ученик.

Стохастичката природа на околните феномени не може да се открие без да се разбере степенот на варијабилност. Затоа, постои потреба од квантитативна проценка на ширењето на статистичките податоци, што придонесува за подлабоко разбирање на суштината на појавите и процесите и овозможува споредување на статистичките агрегати според степенот на нивната варијација.

Една од најважните компоненти на стохастичкото размислување е разбирањето на стабилната случајност во светот, уредноста на случајните факти. Невозможно е да им се дозволи на учениците да согледаат поединечни аспекти на случајни феномени спонтано согледани во животот без никакви врски. Централното место овде е окупирано од идеи поврзани со различни експериментални претстави на законот за големи броеви. Наједноставниот и најпристапниот начин е да се формулираат идеи за веројатноста како „теоретски очекувана“ вредност на фреквенцијата како што се зголемува бројот на набљудувања. Во исто време, разбирањето на врската помеѓу веројатноста и нејзиниот емпириски прототип - фреквенција - води до свесност за статистичката стабилност на фреквенцијата. Во исто време, важна улога игра разбирањето дека пред експериментот може да се изврши квантитативна проценка на можноста за појава на одреден настан, врз основа на одредени теоретски размислувања. Така, доаѓаме до пресметување на веројатностите во класичната шема.

Во случај кога при наставата по математика не се развива веројатна интуиција, наместо правилни идеи и поими, учениците стекнуваат лажни ставови и донесуваат погрешни проценки.

Една од важните цели на изучувањето на веројатниот статистички материјал во училиштето е развојот на веројатна интуиција, формирање на соодветни идеи за својствата на случајните појави. Навистина, во животот многу често треба да ги процените шансите, да поставувате хипотези и предлози, да го предвидите развојот на ситуацијата, да зборувате за можностите за потврдување на одредена хипотеза итн. идејата за веројатност, која се учи во процес на организирано, систематско проучување, се разликува од обичниот, секојдневниот токму поради тоа што е носител на идеи за стабилност, обрасци во светот на случајноста, ни овозможува најцелосно и правилно да извлечеме заклучоци од достапните информации.

Да забележиме дека и раната формализирање и другата крајност, која сега се рефлектира во некои експериментални програми - бескрајните дискусии за веројатноста надвор од курсот на математиката, надвор од изградбата на веројатносни модели, се подеднакво неефикасни, па дури и опасни.

ГЛАВА 2. ОСНОВНИ ПОИМИ

2.1 Елементи на комбинаторика

Изучувањето на предметот треба да започне со изучување на основите на комбинаториката, а паралелно треба да се изучува и теоријата на веројатност, бидејќи комбинаториката се користи при пресметување на веројатностите. Методите на комбинаторика се широко користени во физиката, хемијата, биологијата, економијата и другите области на знаење. Во науката и практиката, често има проблеми во кои треба да се решат, неопходно е да се создадат различни комбинации од конечен број елементи и да се брои бројот на комбинации. Ваквите проблеми се нарекуваат комбинаторни задачи, а гранката на математиката во која се разгледуваат овие проблеми се нарекува комбинаторика. Комбинаториката ги проучува начините за броење на бројот на елементи во конечни множества. Формулите за комбинаторика се користат за пресметување на веројатностите. Размислете за множество X кое се состои од n елементи. Од ова множество ќе избереме различни подредени подмножества Y од k елементи. Со поставување на n елементи од множеството X во k елементи подразбираме кое било подредено множество елементи од множеството X. Ако изборот на елементи од множеството Y од X се случува со враќање, т.е. Секој елемент од множеството X може да се избира неколку пати, потоа бројот на сместувања од n до k се наоѓа со формулата (поставувања со повторувања). Доколку изборот е направен без враќање, т.е. Секој елемент од множеството X може да се избере само еднаш, тогаш бројот на сместувања од n до k се означува и се одредува со еднаквоста (поставувања без повторувања). Посебен случај на поставување на n=k се нарекува пермутација на n елементи. Бројот на сите пермутации на n елементи е еднаков на Нека сега е избрано подмножество Y од множеството X (редоследот на елементите во подмножеството не е важен). Комбинации од n елементи по k се подмножества на k елементи кои се разликуваат едни од други за најмалку еден елемент. Вкупниот број на сите комбинации од n до k се означува со и е еднаков на Равенствата важат: , При решавање на комбинаторички задачи се користат следниве правила: Правилото за збир. Ако некој објект А може да се избере од множество објекти на m начини, а друг објект Б може да се избере на n начини, тогаш или A или B може да се одберат на m + n начини. Правило за производот. Ако објектот А може да се избере од множество објекти на m начини, и по секое такво селекција, објектот Б може да се избере на n начини, тогаш пар објекти (A, B) во наведениот редослед може да се избере во m* n начини.

2.2 Теорија на веројатност

Во секојдневниот живот, во практичните и научните активности, често набљудуваме одредени појави и спроведуваме одредени експерименти. Настанот што може или не може да се случи за време на набљудување или експеримент се нарекува случаен настан. На пример, на таванот виси сијалица - никој не знае кога ќе изгори. Секој случаен настан е последица на дејството на многу случајни променливи (сила со која се фрла паричката, обликот на паричката и многу повеќе). Невозможно е да се земе предвид влијанието на сите овие причини врз резултатот, бидејќи нивниот број е голем, а законите на дејствување се непознати. Моделите на случајни настани се изучуваат од посебна гранка на математиката наречена теорија на веројатност. Теоријата на веројатност не си поставува задача да предвиди дали еден настан ќе се случи или не - таа едноставно не може да го направи тоа. Ако зборуваме за масивни хомогени случајни настани, тогаш тие се предмет на одредени обрасци, имено веројатност. Прво, да ја погледнеме класификацијата на настаните. Се прави разлика помеѓу заеднички и незаеднички настани. Настаните се нарекуваат заеднички ако појавата на еден од нив не ја исклучува појавата на другиот. Во спротивно, настаните се нарекуваат некомпатибилни. На пример, се фрлаат две коцки. Настанот А е ролна од три точки на првата матрица, а настанот Б е тркалање од три точки на втората матрица. А и Б се заеднички настани. Нека продавницата добие серија чевли со ист стил и големина, но различни бои. Настан А - кутија земена по случаен избор ќе содржи црни чевли, настан Б - кутијата ќе содржи кафени чевли, А и Б се некомпатибилни настани. Настанот се нарекува сигурен ако е сигурен дека ќе се случи во услови на дадено искуство. Настанот се нарекува невозможен ако не може да се случи во услови на дадено искуство. На пример, случајот кога ќе се земе стандарден дел од серија стандардни делови е сигурен, но нестандарден дел е невозможен. Настанот се нарекува можен или случаен, ако како резултат на искуство може да се појави, но може да не се појави. Пример за случаен настан може да биде идентификација на дефекти на производот за време на проверката на серија готови производи, несовпаѓање помеѓу големината на преработениот производ и наведениот или неуспех на една од врските во автоматизираниот контролен систем. . Настаните се нарекуваат подеднакво можни ако, според условите за тестирање, ниту еден од овие настани не е објективно повозможен од другите. На пример, една продавница нека биде снабдена со светилки (во еднакви количини) од неколку производствени погони. Настаните кои вклучуваат купување на сијалица од која било од овие фабрики се подеднакво можни. Важен концепт е комплетната група на настани. Неколку настани во даден експеримент формираат комплетна група ако барем еден од нив сигурно ќе се појави како резултат на експериментот. На пример, урна содржи десет топки, шест од нив се црвени, четири се бели, а пет топки имаат броеви. А - појава на црвена топка со едно извлекување, Б - појава на бела топка, В - појава на нумерирана топка. Настаните A,B,C формираат комплетна група на заеднички настани. Настанот може да биде спротивен или дополнителен. Спротивниот настан се подразбира како настан кој нужно мора да се случи ако некој настан А не се случи Спротивните настани се некомпатибилни и се единствените можни. Тие формираат целосна група на настани. На пример, ако една серија на произведени производи се состои од добри и неисправни производи, тогаш кога еден производ ќе се отстрани, може да испадне дека е или добар - настан А или дефектен - настан. Ајде да погледнеме пример. Тие фрлаат коцка (т.е. мала коцка со точките 1, 2, 3, 4, 5, 6 печатени на страните). При фрлање матрица, на горниот дел може да се појават една точка, две точки, три точки итн. Секој од овие исходи е случаен. Ние направивме таков тест. Коцките беа фрлени 100 пати и беше забележан колку пати се случил настанот „коцката постигна 6“. Се испостави дека во оваа серија експерименти „шестката“ паднала 9 пати. Бројот 9, кој покажува колку пати предметниот настан се случил во ова испитување, се нарекува фреквенција на овој настан, а односот на фреквенцијата со вкупниот број на испитувања еднаков на се нарекува релативна фреквенција на овој настан. Општо земено, нека одреден тест се врши повеќепати под исти услови и секој пат се евидентира дали настанот А кој ни е интересен се случил или не. Веројатноста за настанот се означува со големата буква P. Тогаш веројатноста на настанот А ќе се означи со: P(A). Класична дефиниција на веројатноста: Веројатноста на настанот А е еднаква на односот на бројот на случаи m, поволни за него, од вкупниот број n на единствено можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи до бројот n, т.е. веројатноста за настан е неопходно: да се разгледаат различни исходи од тестот; најдете збир на единствено можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи, пребројте го нивниот вкупен број n, бројот на случаи m, поволни за даден настан; извршете ја пресметката користејќи ја формулата. Од формулата произлегува дека веројатноста за настан е ненегативен број и може да варира од нула до еден во зависност од тоа колкава пропорција е поволниот број случаи од вкупниот број случаи: Размислете за друг пример. Во кутијата има 10 топки. 3 од нив се црвени, 2 се зелени, останатите се бели. Најдете ја веројатноста дека топката по случаен избор ќе биде црвена, зелена или бела. Појавата на црвени, зелени и бели топчиња сочинуваат целосна група на настани. Да означиме појава на црвена топка како настан А, појава на зелена топка како настан Б и појава на бела топка како настан В. Потоа, во согласност со формулите напишани погоре, добиваме: ; ; Забележете дека веројатноста за појава на еден од двата некомпатибилни настани во пар е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани. Релативната фреквенција на настанот А е односот на бројот на искуства како резултат на кој настан А се случил со вкупниот број на искуства. Разликата помеѓу релативната фреквенција и веројатноста е во тоа што веројатноста се пресметува без директно експериментирање, а релативната фреквенција се пресметува по експериментирање. Така, во примерот дискутиран погоре, ако 5 топчиња се извлечени по случаен избор од кутијата и 2 од нив се црвени, тогаш релативната фреквенција на појавување на црвеното топче е еднаква на: Како што можете да видите, оваа вредност го прави не се совпаѓа со пронајдената веројатност. Со доволно голем број извршени експерименти, релативната фреквенција малку се менува, флуктуирајќи околу еден број. Овој број може да се земе како веројатност за некој настан. Геометриска веројатност. Класичната дефиниција за веројатност претпоставува дека бројот на елементарни исходи е конечен, што исто така ја ограничува неговата употреба во пракса. Во случај кога има тест со бесконечен број на исходи, се користи дефиницијата за геометриска веројатност - точката што паѓа во регионот. При определување на геометриската веројатност, се претпоставува дека има регион N и во него помал регион M. Точка се фрла случајно на регионот N (ова значи дека сите точки од областа N се „еднакви“ во однос на дали таму паѓа случајно фрлена точка). Настанот А е „фрлената точка ја погодува областа М“. Регионот M се нарекува поволен за настанот A. Веројатноста да падне во кој било дел од регионот N е пропорционална со мерката на овој дел и не зависи од неговата локација и облик. Областа до која се протега геометриската веројатност може да биде: отсечка (мерката е должина) геометриска фигура на рамнината (мерката е плоштина) геометриско тело во просторот (мерката е волумен) Да дадеме дефиниција за геометриска веројатност за случај на авионска фигура. Нека регионот М е дел од регионот N. Настанот А се состои од случајно фрлена точка на регионот N што паѓа во регионот M. Геометриската веројатност на настанот A е односот на областа на регионот M со областа на регионот N : Во овој случај, веројатноста случајно фрлената точка да ја погоди границата на регионот се смета за еднаква на нула. Размислете за пример: Механички часовник со 12-часовен бројчаник се расипа и престана да работи. Најдете ја веројатноста часовникот да застане во 5 часот, но да не достигне 8 часот. Решение. Бројот на исходи е бесконечен, ја применуваме дефиницијата за геометриска веројатност. Оттука, секторот помеѓу 5 и 8 часот е дел од областа на целиот бројчаник. Операции на настани: Настаните А и Б се вели дека се еднакви ако спроведувањето на настанот А повлекува имплементација на настанот Б и обратно. Сојуз или збир на настани е настанот А, што значи појава на барем еден од настаните. А= Пресекот или производот на настаните е настанот А, кој се состои во имплементација на сите настани. A=? Разликата помеѓу настаните A и B се нарекува настан C, што значи дека настанот A се случува, но настанот B не се случува C=A\B Пример: A + B - „a 2 се тркала; 4; 6 или 3 поени" A B - "6 поени се тркалаат" A - B - "2 и 4 поени се тркалаат" Дополнително на настанот А е настан што значи дека настанот А не се случува. Елементарни исходи на искуството се оние резултати од искуството кои меѓусебно се исклучуваат и како резултат на искуството се случува еден од овие настани, а каков и да е настанот А, според елементарниот исход што се случува може да се процени дали овој настан се случува или не се случува. Множеството на сите елементарни исходи на искуството се нарекува простор на елементарни настани. Својства на веројатност: Својство 1. Ако сите случаи се поволни за даден настан А, тогаш овој настан дефинитивно ќе се случи. Следствено, предметниот настан е сигурен и веројатноста за негово појавување, бидејќи во овој случај Својство 2. Ако не постои ниту еден случај поволен за даден настан А, тогаш овој настан не може да се случи како резултат на искуство. Следствено, предметниот настан е невозможен, а веројатноста за негово појавување, бидејќи во овој случај m = 0: Својство 3. Веројатноста за појава на настани кои формираат целосна група е еднаква на еден. Својство 4. Веројатноста за појава на спротивен настан се одредува на ист начин како и веројатноста за појава на настанот А: каде што (n-m) е бројот на случаи поволни за појава на спротивен настан. Оттука, веројатноста за појава на спротивен настан е еднаква на разликата помеѓу еден и веројатноста за појава на настанот А: Собирање и множење на веројатности. Настанот А се нарекува посебен случај на настанот Б, ако кога се случува А, се случува и Б Фактот дека А е посебен случај на Б, пишуваме А?Б. За настаните А и Б се вели дека се еднакви ако секој од нив е посебен случај на другиот. Еднаквоста на настаните A и B се пишува A = B. Збирот на настаните A и B е настанот A + B, кој се јавува ако и само ако се случи барем еден од настаните: A или B. Теорема за собирање на веројатности 1. Веројатноста за појава на еден од двата некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани. P=P+P Забележете дека формулираната теорема важи за кој било број на некомпатибилни настани: ако случајните настани формираат целосна група на некомпатибилни настани, тогаш еднаквоста P+P+…+P=1 Производот на настаните A и B се нарекува настанот AB, кој се случува тогаш и само кога двата настани А и Б се случуваат истовремено. Случајните настани А и Б се нарекуваат заеднички ако двата од овие настани можат да се случат за време на даден тест. Теорема за собирање на веројатности 2. Веројатноста за збир на заеднички настани се пресметува со формулата P=P+P-P Примери на задачи на теоремата за собирање. На испитот по геометрија студентот добива едно прашање од листата на испитни прашања. Веројатноста дека ова е прашање со впишан круг е 0,2. Веројатноста дека ова е прашање на тема „Паралелограм“ е 0,15. Нема прашања кои истовремено се однесуваат на овие две теми. Најдете ја веројатноста дека студентот ќе добие прашање за една од овие две теми на испитот. Решение. Веројатноста за збир на два некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани: 0,2 + 0,15 = 0,35. Одговор: 0,35. Во трговски центар две идентични машини продаваат кафе. Веројатноста дека машината ќе остане без кафе до крајот на денот е 0,3. Веројатноста дека двете машини ќе останат без кафе е 0,12. Најдете ја веројатноста дека на крајот од денот ќе остане кафе во двете машини. Решение. Да ги разгледаме настаните А - „кафето ќе снема во првата машина“, Б - „кафето ќе снема во втората машина“. Потоа A·B - „кафето ќе снема во двете машини“, A + B - „кафето ќе снема барем во една машина“. По услов P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. Настаните А и Б се заеднички, веројатноста за збир на два заеднички настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани без веројатноста за нивниот производ: P(A + B) = P(A) + P(B) ? P(A·B) = 0,3 + 0,3 ? 0,12 = 0,48. Според тоа, веројатноста за спротивниот настан, дека кафето ќе остане во двете машини, е еднаква на 1? 0,48 = 0,52. Одговор: 0,52. Настаните А и Б се нарекуваат независни ако појавата на еден од нив не ја менува веројатноста за појава на другиот. За настанот А се вели дека е зависен од настанот Б ако веројатноста за настанот А се менува во зависност од тоа дали настанот Б се случува или не. Условната веројатност P(A|B) на настанот А е веројатноста пресметана со оглед на тоа дека настанот B се случил. Слично на тоа, P(B|A) ја означува условната веројатност на настанот B со оглед на тоа дека A се случува. За независни настани, по дефиниција, P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B) Теорема за множење за зависни настани Веројатноста на производот на зависните настани е еднаква на производот be0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296. Одговор: 0,0296.

Во 2003 година беше донесена одлука да се вклучат елементи на теоријата на веројатност во училишниот курс по математика на сеопфатно училиште (упатство бр. 03-93ин/13-03 од 23 септември 2003 година на Министерството за образование на Руската Федерација „За воведувањето на елементите на комбинаториката, статистиката и теоријата на веројатност во содржината на математичкото образование основно училиште“, „Математиката на училиште“, бр. 9, 2003 година). Во тоа време, елементите на теоријата на веројатност беа присутни во различни форми повеќе од десет години во добро познати училишни учебници за алгебра за различни паралелки (на пример, I.F. „Алгебра: Учебници за 7-9 одделение на општите образовни институции“, уредено од Г.В. Но, презентацијата на материјалот за теоријата на веројатност кај нив, по правило, не беше систематска, а наставниците, најчесто, не се повикуваа на овие делови и не ги вклучуваа во наставната програма. Документот усвоен од Министерството за образование во 2003 година предвидува постепено, етапно вклучување на овие делови во училишните курсеви, давајќи ѝ можност на наставната заедница да се подготви за соодветните промени. Во 2004-2008 г Се издаваат голем број учебници како дополнување на постоечките учебници за алгебра. Ова се публикациите на Тјурин Ју.Н., Макаров А.А., Висоцки И.Р., Јашченко И.В. „Теорија на веројатност и статистика“, Тјурин Ју.Н., Макаров А.А., Висоцки И.Р., Јашченко И.В. „Теорија на веројатност и статистика: Прирачник за наставници“, Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г. „Алгебра: елементи на статистика и теорија на веројатност: учебник. Прирачник за ученици од 7-9 одделение. општо образование институции“, Ткачева М.В., Федорова Н.Е. „Елементи на статистика и веројатност: Учебник. Прирачник за 7-9 одделение. општо образование институции“. Беа објавени и методолошки прирачници за помош на наставниците. Во текот на неколку години, сите овие наставни помагала се тестирани во училиштата. Во услови кога заврши преодниот период на воведување во училишните програми, а деловите статистика и теорија на веројатност зазедоа свое место во наставните програми од 7-9 одделенија, анализа и разбирање на доследноста на основните дефиниции и нотации користени во овие учебници се задолжителни. Сите овие учебници се создадени во отсуство на традиции на предавање на овие делови од математиката на училиште. Ова отсуство, намерно или несвесно, ги испровоцира авторите на учебниците да ги споредуваат со постоечките учебници за универзитетите. Вториот, во зависност од воспоставените традиции во поединечните специјализации на високото образование, честопати дозволуваше значителни терминолошки несовпаѓања и разлики во ознаките на основните концепти и евидентирањето на формулите. Анализата на содржината на горенаведените училишни учебници покажува дека тие денес овие карактеристики ги наследиле од високошколските учебници. Со поголем степен на точност, може да се констатира дека изборот на специфичен едукативен материјал за новите делови од математиката за училиште, кои се однесуваат на концептот „случаен“, моментално се случува на најслучаен начин, сè до имињата и ознаки. Затоа, тимови од автори на водечки училишни учебници за теорија на веројатност и статистика одлучија да ги здружат силите под покровителство на Московскиот институт за отворено образование за да развијат договорени позиции за обединување на основните дефиниции и ознаки што се користат во училишните учебници за теоријата на веројатност и статистиката. Да го анализираме воведувањето на темата „Теорија на веројатност“ во училишните учебници. Општи карактеристики: Содржината на наставата на темата „Елементи на теоријата на веројатност“, истакната во „Програмата за општообразовни установи“, обезбедува понатамошен развој на математичките способности на учениците, ориентација кон професии значително поврзани со математиката и подготовка за. студирање на универзитет. Специфичноста на математичката содржина на темата што се разгледува ни овозможува да ја специфицираме идентификуваната главна задача за длабинско проучување на математиката на следниов начин. 1. Продолжете со откривање на содржината на математиката како дедуктивен систем на знаење. - да изгради систем на дефиниции на основните поими; - идентификува дополнителни својства на воведените концепти; - воспоставува врски меѓу воведени и претходно изучени концепти. 2. Систематизирај некои веројатни методи за решавање проблеми; ја откриваат оперативната структура на барање решенија за одредени видови проблеми. 3. Создадете услови за студентите да ја разберат и сфатат главната идеја за практичното значење на теоријата на веројатност преку анализа на главните теоретски факти. Откријте практична примена на теоријата изучувана во оваа тема. Постигнувањето на образовните цели ќе биде олеснето со решавање на следните задачи: 1. Да се ​​формира идеја за различни начини на одредување на веројатноста за настан (статистички, класичен, геометриски, аксиоматски) 2. Да се ​​развие знаење за основните операции на настани и способноста да се користат за да се опишат некои настани преку други. 3. Откријте ја суштината на теоријата на собирање и множење на веројатности; утврдете ги границите на употреба на овие теореми. Прикажи ги нивните апликации за изведување формули за вкупна веројатност. 4. Идентификувајте алгоритми за пронаоѓање на веројатностите на настаните а) според класичната дефиниција за веројатност; б) за теоријата на собирање и множење; в) според формулата 0,99 + 0,98P(A|Bn) Размислете за пример: Автоматска линија произведува батерии. Веројатноста дека завршената батерија е неисправна е 0,02. Пред пакувањето, секоја батерија поминува низ контролен систем. Веројатноста дека системот ќе одбие неисправна батерија е 0,99. Веројатноста дека системот погрешно ќе одбие работна батерија е 0,01. Најдете ја веројатноста дека батеријата случајно избрана од пакетот ќе биде одбиена. Решение. Може да настане ситуација во која батеријата ќе биде отфрлена како резултат на следните настани: A - „батеријата е навистина неисправна и е правилно отфрлена“ или B - „батеријата работи, но е отфрлена по грешка“. Ова се некомпатибилни настани, веројатноста за нивниот збир е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани. Имаме: P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,02P(A|B3) + … + P(Bn)P(A|B2) + P(B3)P(A|B1) ) + Р(В2) веројатност на еден од нив на условна веројатност на другиот, под услов првото да се случило: P(A B) = P(A) P(B|A) P(A B) = P(B) P (А| Б) (во зависност од тоа кој настан се случил прв). Последица на теоремата: Теорема за множење за независни настани. Веројатноста за производ од независни настани е еднаква на производот на нивните веројатности: P(A B) = P(A) P(B) Ако A и B се независни, тогаш паровите се независни: (;), (; B ), (А;). Примери на задачи на теоремата за множење: Ако велемајсторот А. игра бело, тогаш тој победи против велемајсторот Б. со веројатност 0,52. Ако А. игра црно, тогаш А. победува против Б. со веројатност 0,3. Велемајсторите А. и Б. играат по две партии, а во вториот натпревар ја менуваат бојата на фигурите. Најдете ја веројатноста дека А. победи двата пати. Решение. Можноста за победа на првиот и вториот гем не зависи еден од друг. Веројатноста за производ на независни настани е еднаква на производот на нивните веројатности: 0,52 · 0,3 = 0,156. Одговор: 0,156. Во продавницата има две платежни машини. Секој од нив може да биде неисправен со веројатност 0,05, без разлика на другата машина. Најдете ја веројатноста дека барем една машина работи. Решение. Ајде да ја најдеме веројатноста дека и двете машини се неисправни. Овие настани се независни, веројатноста за нивно појавување е еднаква на производот од веројатностите на овие настани: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Настан кој се состои во тоа што работи барем една машина, спротивното. Според тоа, неговата веројатност е 1? 0,0025 = 0,9975. Одговор: 0,9975. Формула на вкупна веројатност Последица на теоремите за собирање и множење на веројатностите е формулата на вкупната веројатност: Веројатност P(A) на настанот А, кој може да се случи само ако еден од настаните (хипотези) B1, B2, B3 . .. Се појавува Bn, формирајќи целосна група на парно некомпатибилни настани, е еднаква на збирот на производите на веројатностите на секој од настаните (хипотези) B1, B2, B3, ..., Bn според соодветните условни веројатности на настан А: P(A) = P(B1) вкупна веројатност. 5. Направете рецепт кој ви овозможува рационално да изберете еден од алгоритмите при решавање на одреден проблем. Идентификуваните образовни цели за изучување на елементите на теоријата на веројатност ќе ги дополниме со поставување на развојни и образовни цели. Развојни цели: да се формира кај учениците одржлив интерес за предметот, да се идентификуваат и развијат математичките способности; во процесот на учење, развивајте говор, размислување, емоционално-волни и конкретно-мотивациони области; самостојно откривање на нови начини на решавање проблеми и задачи од страна на учениците; примена на знаењето во нови ситуации и околности; развиваат способност за објаснување факти, врски меѓу појавите, преобразување на материјалот од една форма на претставување во друга (вербална, знаковно-симболичка, графичка); научете да ја демонстрирате правилната примена на методите, видете ја логиката на расудувањето, сличностите и разликите на појавите. Образовни цели: да се формираат кај учениците морални и естетски идеи, систем на погледи на светот, способност да се следат нормите на однесување во општеството; да ги формира потребите на поединецот, мотивите за општествено однесување, активностите, вредностите и вредносните ориентации; да воспитува личност способна за самообразование и самообразование. Да го анализираме учебникот за алгебра за 9 одделение „Алгебра: елементи на статистика и теорија на веројатност“ Макаричев Ју.Н. Овој учебник е наменет за учениците од 7-9 одделение, ги надополнува учебниците: Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. „Алгебра 7“, „Алгебра 8“, „Алгебра 9“, уредена од Телјаковски С.А. Книгата се состои од четири параграфи. Секој параграф содржи теоретски информации и релевантни вежби. На крајот од параграфот има вежби за повторување. За секој параграф се дадени дополнителни вежби на повисоко ниво на сложеност во споредба со главните вежби. Според „Програмата за општообразовни установи“, за изучување на темата „Теорија на веројатност и статистика“ на училишниот предмет алгебра се издвоени 15 часа. Материјалот на оваа тема спаѓа во одделение 9 и е претставен во следните параграфи: §3 „Елементи на комбинаторика“ содржи 4 точки: Примери за комбинаторни задачи. Едноставните примери го демонстрираат решението на комбинаторните проблеми со набројување можни опции. Овој метод е илустриран со конструирање дрво на можни опции. Се разгледува правилото за множење. Преуредувања. Се воведува самиот концепт и формулата за пресметување на пермутации. Пласмани. Концептот е претставен со конкретен пример. Изведена е формулата за бројот на места. Комбинации. Поим и формула за бројот на комбинации. Целта на овој дел е да им даде на учениците различни начини за опишување на сите можни елементарни настани во различни типови на случајни искуства. §4 „Почетни информации од теоријата на веројатност“. Презентацијата на материјалот започнува со преглед на експериментот, по што се воведуваат концептите „случаен настан“ и „релативна фреквенција на случаен настан“. Воведена е статистичката и класичната дефиниција на веројатноста. Ставот завршува со ставот „додавање и множење на веројатности“. Се разгледуваат теоремите за собирање и множење на веројатностите и се воведуваат придружните концепти на некомпатибилни, спротивни, независни настани. Овој материјал е наменет за ученици кои имаат интерес и способност за математика и може да се користи за индивидуална работа или во воннаставни активности со ученици. Методолошките препораки за овој учебник се дадени во голем број написи од Макаричев и Миндјук („Елементи на комбинаторика во училишен курс за алгебра“, „Почетни информации од теоријата на веројатност во училишен курс за алгебра“). И, исто така, некои критички коментари за овој учебник се содржани во написот на Студенецкаја и Фадеева, што ќе помогне да се избегнат грешки при работа со овој учебник. Цел: премин од квалитативен опис на настани во математички опис. Тема „Теорија на веројатност“ во учебниците на Мордкович А.Г., Семенов П.В. за 9-11 одделение. Во моментов, еден од актуелните учебници во училиштето е учебникот на Мордкович А.Г., Семенов П.В. „Настани, веројатности, статистичка обработка на податоци“, има и дополнителни поглавја за 7-9 одделение. Ајде да го анализираме. Според „Работната програма за алгебра“, се доделуваат 20 часа за изучување на темата „Елементи на комбинаторика, статистика и теорија на веројатност“. Материјалот на тема „Теорија на веројатност“ е опфатен во следните параграфи: § 1. Наједноставни комбинаторни задачи. Правило за множење и дрво на варијанти. Преуредувања. Започнува со разгледување на едноставни комбинаторни проблеми, се разгледува табела на можни опции, која го покажува принципот на правилото за множење. Потоа се разгледуваат дрвја на можни опции и пермутации. По теоретскиот материјал следуваат вежби за секоја од потточките. § 2. Избор на неколку елементи. Комбинации. Прво, формулата се прикажува за 2 елементи, потоа за три, а потоа општата за n елементи. § 3. Случајни настани и нивните веројатности. Воведена е класичната дефиниција за веројатност. Предноста на овој прирачник е тоа што е еден од ретките што содржи параграфи во кои се дискутираат табелите и дрвјата на опции. Овие точки се неопходни, бидејќи токму табелите и стеблата на опции ги учат учениците на презентација и првична анализа на податоците. И во овој учебник успешно е воведена формулата за комбинација, прво за два елементи, потоа за три и генерализирана за n елементи. На комбинаторика, материјалот е исто толку претставен. Секој пасус содржи вежби, што ви овозможува да го консолидирате материјалот. Коментарите за овој учебник се содржани во написот на Студенецкаја и Фадеева. Во 10 одделение, три параграфи се посветени на оваа тема. Во првиот од нив, „Правило на множење. Пермутации и фактори“, покрај самото правило за множење, главниот акцент беше ставен на изведувањето од ова правило на два главни комбинаторни идентитети: за бројот на пермутации и за бројот на сите можни подмножества на множество составено од n елементи. Во исто време, факторите беа воведени како пригоден начин за скратување на одговорот во многу специфични комбинаторни проблеми пред самиот концепт на „пермутација“. Во вториот став од одделение 10 „Избор на повеќе елементи. Биномни коефициенти“ се сметаат за класични комбинаторни проблеми поврзани со истовремен (или секвенцијален) избор на неколку елементи од дадено конечно множество. Најзначајниот и вистински нов за руското средно училиште беше последниот став „Случајни настани и нивните веројатности“. Ја испитуваше класичната шема на веројатност, ги анализираше формулите P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P()=1-P(A), P(A)=1- P() и начини за нивно користење. Ставот заврши со транзиција кон независни повторувања на тестот со два исхода. Ова е најважниот веројатностичен модел од практична гледна точка (Бернули тестови), кој има значителен број на примени. Последниот материјал формираше премин помеѓу содржината на едукативниот материјал во 10-то и 11-то одделение. Во 11-то одделение два параграфа од учебникот и една проблемска книга се посветени на темата „Елементи на теоријата на веројатност“. § 22 се занимава со геометриски веројатности.

Слични документи

Теоријата на веројатност е гранка на математиката која ги проучува моделите на случајни појави: случајни настани, случајни променливи, нивните својства и операции на нив. Методи за решавање проблеми во теоријата на веројатност, одредување на математичко очекување и дисперзија.

тест, додаден на 04.02.2012 година


Проучувањето на теоријата на веројатност за време на училишната програма им овозможува на учениците да развијат логично размислување, способност за апстрактирање и истакнување на суштината. Историја на теоријата на веројатност и нејзините научни основи. Видови настани. Операции со случајни настани.

теза, додадена 22.01.2009 година


Проучување на обрасците на масовните случајни појави. Степенот на поврзаност помеѓу теоријата на веројатност и статистиката. Невозможни, можни и одредени настани. Статистичка, класична, геометриска, аксиоматска дефиниција на веројатноста. Формула на Бејс.

апстракт, додаден 05/08/2011


Главните насоки на развој на линијата равенки и неравенки во училишниот курс по математика, неговата поврзаност со нумеричкиот и функционалниот систем. Карактеристики на студијата, аналитички и графички методи за решавање на равенки и неравенки кои содржат параметри.

работа на курсот, додадена на 01.02.2015 година


Одредување на веројатноста за тестирање на неисправни структури. Пресметка на веројатноста дека од сто новороденчиња во градот N ќе доживеат 50 години. Пресметка на математичко очекување и варијанса. Одредување на непознатата константа C и исцртување на графикот на функцијата p(x).

работа на курсот, додадена на 27.10.2011 година


Теоријата на веројатност како математичка наука која ги проучува обрасците во масовни хомогени случаи, појави и процеси, предметот, основните поими и елементарните настани. Одредување на веројатноста за настан. Анализа на главните теореми на теоријата на веројатност.

мамење лист, додаде 12/24/2010


Практично решение на проблеми во теоријата на веројатност. Проблем со условна веројатност. Проблем со пресметување на веројатноста. Проблем со формула за вкупна веројатност. Проблем на теоремата за повторување на експериментите. Проблем со множење на веројатноста. Проблем со дијаграм на случај.

тест, додаден на 24.09.2008 година


Развој на методолошки аспекти на учење на студентите елементи на теоријата на веројатност. Методи на дефинирање, редослед на прикажување на толкувања на веројатност и формирање на аксиоматски концепт. Решени проблеми во изучувањето на геометриската веројатност.

работа на курсот, додаде 07/03/2011


Истражување на J. Cardano и N. Tartaglia во областа на решавање на примарни проблеми на теоријата на веројатност. Придонесот на Паскал и Ферма во развојот на теоријата на веројатност. Дело од Х. Хајгенс. Први студии за демографија. Формирање на концептот на геометриска веројатност.

работа на курсот, додадена на 24.11.2010 година


Концептот и својствата на рамни криви, историјата на нивното истражување. Методи на формирање и видови на рамни криви. Криви студирал на училишен курс по математика. Изработка на план за изборна настава по математика на тема „Криви“ во специјализирано училиште.

Сите книги може да се преземат бесплатно и без регистрација.

НОВО. Корољук В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В. Турбин А.Ф. Прирачник за теорија на веројатност и математичка статистика. 2. ед. преработен додадете. 1985 година 640 стр. djvu. 13,2 MB.
Референтната книга е проширено и ревидирано издание на книгата „Прирачник за теорија на веројатност и математичка статистика“ уредена од В. С. Во однос на широчината на опфатот на главните идеи, методи и конкретни резултати на модерната теорија на веројатност, теоријата на случајни процеси и делумно математичката статистика, Прирачникот е единствената публикација од ваков вид.
За научници и инженери.

преземете

НОВО. Ф. Мостлер, Р. Рурк, Џ. Томас. Веројатност. 1969 година 432 стр. pdf. 12,6 MB.
Оваа книга, напишана од група познати американски математичари и педагози, е елементарен вовед во теоријата на веројатност и статистиката - гранки на математиката кои сега наоѓаат сè поголема примена во науката и во практиката. Напишан со жив и живописен јазик, содржи многу примери, главно извлечени од секојдневниот живот. И покрај фактот дека за читање на книгата е доволно математичко средно училиште, тоа е сосема правилен вовед во теоријата на веројатност. Во оваа книга го прочитав она што никогаш не сум го видел кај другите.

. . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Андронов А.М., Копитов Е.А., Гринглаз Л.Ја. Теорија на веројатност и математичка статистика. 2004 година 460 стр. djvu. 6,7 MB.
Од издавачот:
Еве еден проширен учебник за теорија на веројатност и математичка статистика. Традиционалниот материјал е дополнет со прашања како што се веројатностите на комбинации на случајни настани, случајни прошетки, линеарни трансформации на случајни вектори, нумеричко определување на нестационарни веројатности на состојби на дискретни Маркови процеси, употреба на методи за оптимизација за решавање проблеми на математичка статистика. , и регресивни модели. Главната разлика помеѓу предложената книга и познатите учебници и монографии за теоријата на веројатност и математичката статистика е нејзиниот фокус на постојано користење на персонален компјутер при изучување на материјалот. Презентацијата е придружена со бројни примери за решавање на проблемите што се разгледуваат во опкружувањето на пакетите Mathcad и STATISTICA. Книгата е напишана врз основа на повеќе од триесетгодишно искуство на авторите во наставата по дисциплините теорија на веројатност, математичка статистика и теорија на случајни процеси за студенти од различни специјалности на високообразовни институции. Тоа е од практичен интерес како за студентите, така и за професорите од универзитетите, така и за сите заинтересирани за примена на современи веројатносни и статистички методи.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Агекјан. Теорија на веројатност за астрономи и физичари. 260 страници Големина 1,7 MB. Книгата содржи материјал за да можат физичарите и астрономите да го користат при обработката на резултатите од мерењето. Корисна книга за пресметување на грешки.

Преземи

И.И. Баврин. Теорија на веројатност, математичка статистика. 2005 година. 161 стр. djv. 1,7 MB.
Основите на теоријата на веројатност и математичката статистика се наведени во примената на физиката, хемијата, биологијата, географијата, екологијата, дадени се вежби за самостојна работа. Сите основни концепти и одредби се илустрирани со анализирани примери и проблеми
За студенти од природните науки специјалитети на педагошките универзитети Може да се користат од студенти на други универзитети

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Бородин А.Н. Основен курс по теорија на веројатност и математичка статистика. 1999 година 224 стр. djvu. 3,6 MB.
Учебникот содржи систематска презентација на главните делови од основниот курс по теорија на веројатност и математичка статистика. Еден нов дел е додаден на традиционалните делови - „Повторлива процедура за проценка“, поради посебната важност на оваа постапка за апликациите. Теоретскиот материјал е проследен со голем број примери и проблеми од различни области на знаење.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . преземете

Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теорија на веројатност. Статистика по математика. 2005 година. 296 стр. djvu. 2,8 MB.
Првиот дел ги испитува основните концепти на теоријата на веројатност, користејќи релативно едноставни математички конструкции, но, сепак, презентацијата се заснова на аксиоматската конструкција предложена од академик А. Н. Колмогоров. Во вториот дел се наведени основните концепти на математичката статистика. Разгледани се најчестите проблеми на проценка на непознати параметри и тестирање на статистички хипотези и опишани се главните методи за нивно решавање. Секоја од горенаведените одредби е илустрирана со примери. Прикажаниот материјал генерално одговара на државниот образовен стандард.
Студенти, дипломирани студенти и универзитетски наставници, истражувачи во различни специјалности и оние кои сакаат да добијат прва идеја за теоријата на веројатност и математичката статистика.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преземи

В.Н. Вапник. Враќање на зависности од емпириски податоци. 1979 година 449 стр. djvu. 6,3 MB.
Монографијата е посветена на проблемот на враќање на зависностите врз основа на емпириски податоци. Го испитува методот на минимизирање на ризикот на примероци со ограничен волумен, според кој, при враќање на функционална зависност, треба да се избере функција која задоволува одреден компромис помеѓу вредноста што ја карактеризира нејзината „сложеност“ и вредноста што го карактеризира степенот на нејзината приближност. на севкупноста на емпириските податоци. Примената на овој метод на три главни проблеми на обновувањето на зависноста се разгледува: проблемот на препознавање на шаблонот за учење, враќање на регресијата и толкување на резултатите од индиректните експерименти. Се покажа дека земајќи го предвид ограничениот обем на емпириски податоци, се овозможува решавање на проблеми со препознавање шаблони со голема димензија на просторот на карактеристиките, враќање на зависностите на регресијата во отсуство на модел на функцијата што се обновува и добивање стабилни решенија за лошо поставени проблеми на толкување на резултатите од индиректните експерименти. Прикажани се соодветните алгоритми за враќање на зависностите.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

А.И. Волковец, А.Б. Гуринович. Теорија на веројатност и математичка статистика. Белешки за предавање. 2003 година 84 стр. PDF. 737 KB.
Забелешките од предавањата за предметот „Теорија на веројатност и математичка статистика“ опфаќаат 17 предавања на теми дефинирани со стандардната програма за работа за изучување на оваа дисциплина. Целта на студијата е совладување на основните методи на формализиран опис и анализа на случајни појави, обработка и анализа на резултатите од физичките и нумеричките експерименти. За изучување на оваа дисциплина на студентот му е потребно знаењето стекнато од изучувањето на деловите „Серија“, „Множества и операции врз нив“, „Диференцијално и интегрално пресметување“ од предметот виша математика.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Володин. Предавања за теорија на веројатност и математичка статистика. 2004 година 257 страници Големина 1,4 MB. PDF. Теоријата се фокусира на методи за конструирање на веројатни модели и имплементација на овие методи на реални проблеми во природните науки. Статистиката се фокусира на методите за пресметување на ризикот од специфични статистички правила.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Венцел, Овчаров. Теорија на веројатност и нејзините инженерски апликации. 2000 година. 480 стр. djvu. 10,3 MB.
Книгата дава систематско прикажување на основите на теоријата на веројатност од гледна точка на нивната практична примена во следните специјалности: кибернетика, применета математика, компјутери, автоматизирани системи за контрола, теорија на механизми, радио инженерство, теорија на доверливост, транспорт, комуникации, итн. И покрај разновидноста на полињата, кои ги вклучуваат апликациите, сите тие се проткаени со единствена методолошка основа.
За студенти на високотехнички образовни институции. Тоа може да биде корисно за наставниците, инженерите и истражувачите од различни профили кои во своите практични активности се соочуваат со потребата да поставуваат и решаваат проблеми поврзани со анализа на случајни процеси.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Венцел, Овчаров. Теорија на веројатност. 1969 година 365 стр. djvu. 8,3 MB.
Книгата е збирка на задачи и вежби. Сите проблеми имаат одговор, а повеќето имаат решенија.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Н.Ј. ВИЛЕНКИН, В.Г. ПОТАПОВ. ПРАКТИЧЕН ПРОБЛЕМ ЗА ТЕОРИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТИ СО ЕЛЕМЕНТИ НА КОМБИНАТОРИКА И МАТЕМАТИЧКА СТАТИСТИКА. Тетратка. 1979 година 113 стр djvu. 1,3 MB.
Книгата што му е ставена на внимание на читателот е практична проблематична книга за предметот „Теорија на веројатност“. Проблематичната книга се состои од три поглавја, кои пак се поделени во параграфи. На почетокот на секој пасус, многу накратко се дадени основни теоретски информации, потоа детално се дадени типични примери и, на крајот, се нудат проблеми за самостојно решавање, опремени со одговори и упатства. Проблематичната книга содржи и текстови на лабораториска работа, чија имплементација ќе му помогне на вонредниот студент подобро да ги разбере основните концепти на математичката статистика.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преземи

Гмурман. Теорија на веројатност и математичка статистика. 2003 година 480 стр DJVU. 5,8 MB.
Книгата го содржи во основа целиот програмски материјал за теоријата на веројатност и математичката статистика. Големо внимание се посветува на статистичките методи за обработка на експериментални податоци. На крајот од секое поглавје има проблеми со одговорите. Наменет за студенти и поединци кои користат веројатност и статистички методи во решавањето на практични проблеми.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Колмогоров. Теорија на веројатност. Големина 2,0 MB.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Кибзун и сор. Теорија на веројатност и математичка статистика. Ух. додаток. Основен курс со примери и задачи. Големина 1,7 MB. дјву. 225 стр.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

М. Кац. Статистичка независност во теоријата на веројатност, анализа и теорија на броеви. 152 страници djv. 1,3 MB.
Книгата на многу достапен и фасцинантен начин ја прикажува примената на некои идеи од теоријата на веројатност во други области од математиката. Најголемиот дел од книгата е посветен на концептот на статистичка независност.
Книгата ќе биде корисна и интересна за студенти, математичари, физичари и инженери.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

М. Кац. Веројатност и поврзани прашања во физиката. 408 стр. djv. 3,8 MB.
Авторот им е познат на советските читатели од преводот на неговото дело „Статистичка независност во теоријата на веројатност, анализа и теорија на броеви“ (ИЛ, 1963). Неговата нова книга е главно посветена на еден од најинтересните проблеми во физиката: да опише како систем од многу голем број честички (гас во сад) доаѓа во состојба на рамнотежа и да објасни како неповратноста на ова процесот во времето е во согласност со временската реверзибилност на оригиналните равенки. Најголемо внимание се посветува на веројатниот аспект на проблемот; се разгледуваат статистички модели кои ги симулираат главните карактеристики на проблемот. Првите две поглавја се исто така од независен интерес - користејќи добро избрани примери, авторот покажува како концептот на веројатност се појавува во математичките и физичките проблеми и каков аналитички апарат се користи од теоријата на веројатност. Ова издание вклучува написи од Кац и други автори поврзани со прашањата покренати во книгата.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Кендал. Стјуарт. Мултиваријантна статистичка анализа и временски серии. 375 стр DJVU. 8,2 MB.
Книгата е последен том од тритомниот курс за статистика на М. „Статистички заклучоци и врски“.
Книгата содржи информации за анализа на варијанса, експериментален дизајн, теорија на примерок, мултиваријатна анализа и временски серии.
Како и првите два тома, книгата содржи многу практични препораки и примери за нивната примена, а презентацијата комбинира повеќе или помалку детално резиме на главните резултати со релативно краток список на голем број поконкретни информации.
Книгата ќе биде од интерес за студенти на додипломски и постдипломски студии од областа на математичката статистика, како и за широк спектар на научници кои се занимаваат со нејзините примени.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Кендал. Стјуарт. ТЕОРИЈА НА ДИСТРИБУЦИИ. Том 1. 590 стр. 10,3 MB. 6,1 MB.
Содржина: Дистрибуции на фреквенции. Мерки на локација и дисперзија. Моменти и полунепроменливи. Карактеристични функции. Стандардна дистрибуција. Калкулус на веројатност. Веројатност и статистички заклучок. Случаен избор. Стандардни грешки. Точни распределби на примероци. Приближување на распределбите на примероците. Приближување на распределбите на примероците. Редна статистика. Повеќеваријантна нормална дистрибуција и квадратни форми. Распределби поврзани со нормална.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Кендал. Стјуарт. СТАТИСТИЧКИ НАОДИ И ВРСКИ. Том 2. 900 стр. djvu. 10,3 MB.
Книгата содржи информации за теоријата на проценка, тестирање на хипотези, корелациона анализа, регресија, непараметриски методи и секвенцијална анализа.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Н.Ш. Кремер. Теорија на веројатност и математичка статистика. Тетратка. 2. ed., ревидирана. додадете. 2004 година 575 стр. djvu. 12,2 MB.
Ова не е само учебник, туку и краток водич за решавање проблеми. Основите на теоријата на веројатност и презентираната математичка статистика се придружени со голем број проблеми (вклучувајќи ги и економските), дадени со решенија и за самостојна работа. Во овој случај, акцентот е ставен на основните концепти на курсот, нивното теоретско и веројатностичко значење и примена. Дадени се примери за употреба на веројатни и математичко-статистички методи при проблеми со редици и модели на финансиски пазар.
За додипломски и постдипломски студенти на економски специјалности и области, како и универзитетски наставници, истражувачи и економисти.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Кобзар А.И. Применета математичка статистика. За инженери и научници. 2006 година 814 стр. djvu. 7,7 MB.
Книгата дискутира за начините за анализа на набљудувањата користејќи методи на математичка статистика. Секвенцијално, на јазик достапен за специјалист - не математичар, се претставени современи методи за анализа на распределбите на веројатноста, проценување на параметрите на дистрибуцијата, тестирање на статистички хипотези, проценка на односите помеѓу случајни променливи и планирање на статистички експеримент. Главното внимание е посветено на објаснување на примери за примена на методи на современа математичка статистика.
Книгата е наменета за инженери, истражувачи, економисти, доктори, дипломирани студенти и студенти кои сакаат брзо, економично и на високо професионално ниво да го искористат целиот арсенал на современа математичка статистика за да ги решат своите применети проблеми.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преземи

М.Л. Краснов. Теорија на веројатност. Тетратка. 2001 година. 296 стр. djvu. 3,9 MB.
Кога проучува различни феномени во природата и општеството, истражувачот се соочува со два вида експерименти - оние чии резултати се недвосмислено предвидени во дадени услови и оние чии резултати не можат недвосмислено да се предвидат под услови контролирани од истражувачот, туку може да се направи само претпоставка за опсегот на можни резултати. Во првиот случај зборуваме за детерминистички феномени, во вториот за појави кои се по случаен карактер. Во исто време, тие значат дека априори (однапред, пред да се спроведе експеримент или да се заврши набљудувањето на феноменот), во првиот случај можеме да го предвидиме резултатот, но во вториот - не. За она што следи, не е важно што ја предизвикува таквата непредвидливост - законите на природата кои се во основата на феноменот што се проучува или нецелосноста на информациите за процесите што го предизвикуваат овој феномен. Важна околност е присуството на самиот факт на непредвидливост. Теоријата на веројатност, на чии основи е посветен овој дел, има за цел да му даде можност на истражувачот да опише ваков вид на експерименти и феномени и му дава сигурна алатка за проучување на реалноста во ситуации каде што е невозможен детерминистички опис.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Е.Л. Кулешов. Теорија на веројатност. Предавања за физичари. 2002 година 116 стр djvu. 919 KB.
За постарите студенти.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . преземете

Лазакович, Сташуленок, Јаблонски. Курс за теорија на веројатност. Упатство. 2003 година 322 стр. PDF. 2,9 MB.
Учебникот се заснова на едногодишен курс на предавања што авторите им ги читале неколку години на студентите на Механичко-математичкиот факултет на Белорускиот државен универзитет. Книгата ги содржи следните делови: простори на веројатност, независност, случајни променливи, нумерички карактеристики на случајни променливи, карактеристични функции, гранични теореми, основи на теоријата на случајни процеси, елементи на математичка статистика и апликации кои содржат табели на основни распределби на веројатност и вредностите на некои од нив. Повеќето поглавја вклучуваат додатоци кои содржат придружни материјали и теми за независно проучување.
Презентацијата е придружена со голем број примери, вежби и проблеми кои ги илустрираат основните поими и ги објаснуваат можните примени на докажаните искази.
За студенти од математички специјалности.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Лоев М. Теорија на веројатност. 1962 година 449 стр. djvu. 6,2 MB.
Книгата е обемен систематски курс по современа теорија на веројатност, напишан на високо теоретско ниво. Врз основа на теоријата на мерки, авторот ги проучува случајните настани, случајните променливи и нивните секвенци, функциите на дистрибуција и карактеристичните функции, граничните теореми на теоријата на веројатност и случајните процеси. Презентацијата е придружена со голем број задачи со различен степен на тежина.
Книга за студенти на додипломски и постдипломски студии по математика кои студираат теорија.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Лвовски Б.Н. Статистички методи за конструирање на емпириски формули: Учебник. додаток. 2. ed., ревидирана. додадете. 1988 година 239 стр. djvu. 2,3 MB.
Второто издание на прирачникот ги прикажува главните методи за обработка на експериментални податоци. Детално се опишани методите за прелиминарна обработка на резултатите од набљудувањето. Се разгледуваат статистички методи за конструирање емпириски формули, метод на максимална веројатност, метод на просеци и кофлуентна анализа. Опфатена е методологијата за планирање и обработка на активни експерименти. Дадени се основите на анализата на варијансата.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Ју.Д. Уредник Максимов. Веројатни гранки на математиката. Тетратка. 2001 година. 581 стр djvu. 7,4 MB.
Секции: !. Теорија на веројатност. 2. Математичка статистика. 3. Теорија на случајни процеси. 4. Теорија на редици.
Учебник за дипломирани технички науки.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Максимов Ју.Д. Математика. Вишуск 9. Теорија на веројатност. Детален преглед. Прирачник за униваријатни континуирани дистрибуции. 2002 година 98 стр. djv. 4,3 MB.
Прирачникот е во согласност со државниот образовен стандард и тековните програми од дисциплината „Математика“ за диплома за обука во сите општи технички и економски области. серија на референтни белешки во математиката, објавена од издавачката куќа SPBPU, за разлика од основниот синопсис, тука се доказите за теоремите и изводите на формули испуштени во основниот синопсис, и референтна книга за еднодимензионални континуирани распределби прирачник е наменет за студенти од втора година на општи технички факултети и економски специјалности Може да се користи и за насоката „Техничка физика“.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Ј. Невеу. Математички основи на теоријата на веројатност. 1969 година 310 стр. djv. 3,0 MB.
Авторот на книгата е познат по неговата работа за примена на методи на функционална анализа и теорија на мерење на проблеми во теоријата на веројатност. Оваа маестрално напишана книга содржи компактна и воедно комплетна презентација на основите на теоријата на веројатност. Вклучени се многу корисни додатоци и вежби.
Книгата може да послужи како добар учебник за студенти на додипломски и постдипломски студии кои сакаат сериозно да ја проучуваат теоријата на случајни процеси и одлична референца за специјалисти.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Д.Т. Пишување. Белешки за предавање за теоријата на веројатност и математичката статистика. 2004 година 256 стр. djvu. 1,4 MB.
Оваа книга е курс на предавања за теорија на веројатност и математичка статистика. Првиот дел од книгата содржи основни концепти и теореми на теоријата на веројатност, како што се случајни настани, веројатност, случајни функции, корелација, условна веројатност, законот за големи броеви и гранични теореми. Вториот дел од книгата е посветен на математичката статистика, ги наведува основите на методот на земање примероци, теоријата на проценка и тестирањето на хипотезите. Презентирањето на теоретскиот материјал е придружено со разгледување на голем број примери и проблеми и се одвива на пристапен, што построг јазик.
Наменет за студенти на економски и технички универзитети.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Поддубнаја О.Н. Предавања за теорија на веројатност. 2006 година 125 стр. pdf. 2,0 MB.
Јасно напишано. Предностите на курсот, на пример, го вклучуваат фактот дека теоретските изјави се објаснуваат со примери.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Ју.В. Прохоров, Ју.А. Розанов. Теорија на веројатност. Основни концепти. Гранични теореми. Случајни процеси. 1967 година 498 стр. djvu. 7,6 MB.
Книгата е напишана од познати американски математичари и е посветена на една од важните современи области на теоријата на веројатност, која не е доволно отсликана во литературата на руски јазик. Авторите гравитираат кон значајни резултати, а не кон максимална општост тие разгледуваат голем број примери и примени. Книгата успешно комбинира високо научно ниво на презентација и во исто време достапност за студентската публика.
За специјалисти по теорија на веројатност, физичари, инженери, дипломирани студенти и студенти.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Poincaré A. Теорија на веројатност. 1999 година 284 стр. djv. 700 KB.
Книгата е еден од деловите на курсот на предавања на А. Поенкаре. Ги испитува и општите основи на теоријата на веројатност и нетрадиционалните прашања кои практично не се содржани во ниту еден курс. Различни апликации во физиката, математиката и механиката се разгледуваат.
Книгата е корисна за широк спектар на читатели - физичари, математичари, историчари на науката.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Pytyev Yu. P. Shishmarev I. A. Курс по теорија на веројатност и математичка статистика за физичари. Тетратка додаток. Московскиот државен универзитет 1983 година. 256 стр. djvu. 4,6 MB.
Книгата е заснована на шестмесечен курс на предавања што ги одржаа авторите на Факултетот за физика. Големо внимание се посветува на теоријата на случајни процеси: Марков и стационарни. Презентацијата е математички ригорозна, иако не се заснова на употребата на интегралот Lebesgue. Делот од курсот посветен на математичката статистика содржи делови фокусирани на апликации за проблеми со автоматизација, планирање, анализа и интерпретација на физички експерименти. Претставена е статистичката теорија на мерниот и пресметковниот комплекс „уред + компјутер“, што овозможува значително подобрување на параметрите на вистинската експериментална опрема со обработка на податоци на компјутер. Вклучува елементи на теоријата за тестирање на статистички хипотези кои се користат во задачата за толкување на експериментални податоци.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . преземете

Савељев. Елементарна теорија на веројатност. Учебник, Државен универзитет во Новосибирск, 2005 година.
Дел 1 е посветен на теоријата. Големина 660 KB. Дел 2 е посветен на анализа на примери. Големина 810 KB. Дел 3. Интеграли на Риман и Стилјес. 240 стр. djvu. 5,0 MB. Дел 3 од прирачникот детално ги опишува елементите на диференцијалното и интегралното сметање што беа користени во дел I. Материјалот од прирачниците на авторот „Предавања за математичка анализа, 2.1“ (Новосибирск, НСУ, 1973) и „Интеграција на униформно мерливи функции “ (Новосибирск, НСУ) е комбинирано , 1984 година). Главниот објект е интегралот Stieltjes. Тој е дефиниран како ограничена линеарна функционалност на просторот на функции без сложени дисконтинуитети, што беше дискутирано во Дел 1. Интегралот Stieltjes е широко користен не само во теоријата на веројатност, туку и во геометријата, механиката и другите области на математиката. Додатокот во дел 3 од прирачникот го надополнува додатокот во дел 2. За комплетноста на презентацијата, некои делови од дел 1 се повторуваат во дел 3. Додатокот го задржува нумерирањето на страниците и параграфите во прирачникот од авторот на „Предавања за Математичка анализа“.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи дел 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи дел 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи дел 3

Саврасов Ју.С. Оптимални решенија. Предавања за методите на мерна обработка. 2000 година. 153 стр djvu. 1,1 MB.
Се сметаат методите за обработка на мерење кои обезбедуваат најцелосно извлекување на корисни информации за измерените параметри или набљудуваните појави. Презентираните методи се однесуваат на полето на теоријата на веројатност, математичката статистика, теоријата на одлуки, теоријата на корисност и теоријата за филтрирање за динамички системи со дискретно време. Материјалот на книгата се базира на предавања што авторот ги одржал во 1994-1997 година. студенти од трета година на основниот оддел „Радиофизика“ на Московскиот институт за физика и технологија. Во предложената форма, книгата ќе биде корисна за студенти по физика и технички специјалности, инженери од областа на радарот, обработка на информации и автоматизирани системи за контрола.
Многу примери се дискутирани.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преземи

Самојленко Н.И., Кузнецов А.И., Костенко А.Б. Тетратка. 2009 година. 201 стр. PDF. 2,1 MB.
Во учебникот се претставени основните поими и методи на теоријата на веројатност. Дадените методи се илустрирани со типични примери. Секоја тема завршува со практичен дел за самостојно стекнување на вештини за користење методи на теорија на веројатност при решавање на стохастички проблеми.
За студентите на универзитетот.
Примери од учебникот: фрлање паричка - искуство, паѓање глави или опашки - настани; цртање карта од преференциска палуба - искуство, појава на црвен или црн костум - настани; одржувањето на предавање е искуство, присуството на студент на предавање е настан.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Секели. Парадокси на теоријата на веројатност и математичка статистика. Големина 3,8 MB. дјв. 250 стр.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преземи

Севастијанов Б.А. Курс за теорија на веројатност и математичка статистика. Тетратка. 1982 година 255 стр. djvu. 2,8 MB.
Книгата е заснована на едногодишен курс на предавања што авторот ги држи неколку години на математичкиот оддел на Механико-математичкиот факултет на Московскиот државен универзитет. Основните концепти и факти на теоријата на веројатност првично се воведени за конечната шема. Очекуваната вредност генерално се дефинира на ист начин како и интегралот на Лебег, но од читателот не се очекува да има никакво претходно знаење за интеграцијата на Лебез.
Книгата ги содржи следните делови: независни тестови и Марков синџири, гранични теореми на Моивр - Лаплас и Поасон, случајни променливи, карактеристични и генерирачки функции, законот за големи броеви, централна гранична теорема, основни концепти на математичка статистика, тестирање на статистички хипотези , статистички проценки, интервали на доверба .
За помлади студенти на универзитет и колеџ кои студираат теорија на веројатност.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

А.Н. Соболевски. Теорија на веројатност и математичка статистика за физичари. 2007 47 стр djv. 515 KB.
Учебникот содржи презентација на основите на теоријата на веројатност и математичката статистика за студентите по физика од теоретска специјализација. Заедно со класичниот материјал (независна тест шема на Бернули, конечни хомогени Марков синџири, процеси на дифузија), значително внимание се посветува на теми како што се теоријата на големи отстапувања, концептот на ентропија во нејзините различни варијанти, стабилни закони и распределби на веројатност со моќност- распаѓање на законот, стохастичко диференцијално сметање. Учебникот е наменет за студенти од различни области од теоретската и математичката физика.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .преземи

Тарасов L. V. Шаблони на околниот свет. Во 3 книги. 2004 година дјву.
1. Шанса, неопходност, веројатност. 384 стр. 6,8 MB.
Оваа книга е прилично популарен и во исто време строго научен детален вовед во теоријата на веројатност, вклучувајќи детална анализа на проблемите што се разгледуваат, широки генерализации од филозофска природа и дигресии од историска природа. Книгата има јасно едукативен карактер; неговиот материјал е строго структуриран, изграден врз основа на докази, опремен со голем број графикони и дијаграми; претставени се значителен број оригинални проблеми, од кои дел се обработени во книгата, а дел се понудени на читателот за самостојно решавање. Книгата е комплетно дело и воедно е прва книга од тритомниот серијал на авторот.
2. Веројатност во современото општество. 360 стр. 4,5 MB.
Оваа книга ја демонстрира фундаменталната улога на теоријата на веројатност во современото општество, која се заснова на високо развиени информатички технологии. Книгата е прилично популарен и во исто време строго научен, детален вовед во оперативното истражување и теоријата на информации. Има јасно дефиниран едукативен карактер; неговиот материјал е строго структуриран, изграден врз основа на докази, опремен со голем број графикони и дијаграми; претставени се значителен број проблеми, од кои дел се обработени во книгата, а дел се понудени на читателот за самостојно решавање.
3. 440 страници 7,5 MB. Еволуција на природните научни сознанија.
Овде, во популарна и систематизирана форма, се анализира еволуцијата на природонаучните слики на светот: од научните програми на антиката до механичката слика, потоа до електромагнетната слика и, конечно, до модерната слика. Преминот од динамични (строго определени) обрасци кон статистички (веројатни) обрасци се демонстрира додека научното разбирање на човекот за околниот свет постепено се продлабочува. Еволуцијата на концептите на квантна физика, физика на елементарни честички и космологија се испитува доволно детално. Како заклучок, се дискутираат идеите за самоорганизација на отворени нерамнотежни системи (појава на дисипативни структури).
За широк круг читатели и пред се за средношколци (почнувајќи од 9-то одделение), како и за ученици од техничките училишта и високообразовните институции.

Кликнете на копчето погоре „Купи хартиена книга“Оваа книга можете да ја купите со испорака низ Русија и слични книги по најдобра цена во хартиена форма на веб-страниците на официјалните онлајн продавници Лавиринт, Озон, Буквоед, Read-Gorod, Litres, My-shop, Book24, Books.ru.

Со кликнување на копчето „Купи и преземеј е-книга“, можете да ја купите оваа книга во електронска форма во официјалната онлајн продавница за литри, а потоа да ја преземете на веб-страницата на литри.

Со кликнување на копчето „Најди слични материјали на други сајтови“, можете да пребарувате слични материјали на други сајтови.

На копчињата погоре можете да ја купите книгата во официјалните онлајн продавници Labirint, Ozon и други. Исто така, можете да пребарувате поврзани и слични материјали на други сајтови.

Име: На ученик за теоријата на веројатност. 1983 година.

Целта на овој прирачник е да ги наведе најосновните информации од теоријата на веројатност и да го научи младиот читател да ги применува при решавање на практични проблеми.

Оваа мала книга ќе ви го открие, доколку покажете доволно желба и упорност, светот на среќата. Всушност, светот останува таков каков што е, но не е прикажан од вообичаената страна.
„Излегува дека само со користење на јазикот на науката на случајноста - теоријата на веројатност - може да се опишат многу феномени и ситуации.
Постепено, додека ја читате оваа книга, ќе го продлабочите своето знаење за теоријата и ќе можете да го искористите за решавање на практични проблеми на кои неодамна не сте знаеле како да им пристапите. Во оваа фаза, задачите ја објаснуваат и илустрираат теоријата.
Јасно е да се презентираат најелементарните информации од теоријата на веројатност, да се научи младиот читател да ги применува при решавање на практични проблеми - ова е главната цел што ја следи авторот. А за да се постигне оваа цел, авторот, без да тврди оригиналност во математичкото расудување, се обидел да тргне од можностите и интересите на учениците.

СОДРЖИНА
Еден збор до читателот
Јас Нешто од минатото на теоријата на веројатност 4
II Случајни настани и операции на нив 10
1 Случаен настан
2 Многу елементарни настани 12
3 Врски меѓу настаните
4 Операции на настани 14
5 Комплетирајте ја групата настани 21
III Наука за броење на бројот на комбинации - комбинаторика 22
1 Општи правила на комбинаторика 23
2 Избор на елементи 24
3 Примероци со повторувања 28
4 Сложена комбинаторика 32
IV Веројатност за настан 35
V Операции на веројатности 42
1 Веројатност за збир на некомпатибилни настани -
2 Веројатност за збир на компатибилни настани 44
3 Условни веројатности 46
4 Веројатност за производ од независни настани 48
5 Формула за вкупна веројатност 50
VI Независни повторно тестирања 55
1 Формула I на Бернули
2 Moivre-Laplace формула 60
3 Поасонова формула 62
4 Лапласова формула 65
VII Дискретни случајни променливи и нивните карактеристики 68
1 Математичко очекување 70
2 Варијанса 76
3 Нееднаквоста на Чебишев и законот за големи броеви 80
4 Поасон дистрибуција 84
VIII Континуирани случајни променливи и нивните карактеристики 88
1 Густина на дистрибуција 90
2 Математичко очекување 93
3 Варијанса 95
4 Нормална дистрибуција
5 Концепт на теоремата на Лјапунов 98
6 Експоненцијална распределба 102
IX Малку чудно, но интересно 104
1 Паметна игла (проблем со Буфон)
2 Проблемот на Шевалие де Мере 106
3 Дај ми ја капата 108
4 Метеоролошки парадокс 110
5 За да ги задоволат клиентите
6 Бертрандовиот парадокс 111
7 Случајност или систем? 11З
8 Решен криминал 114
9 „Битка“ 115
10 Посета на дедо 116
Користена литература 118
Додаток 119
Одговори 125

Теоријата на веројатност е математичка наука која ги проучува моделите на случајни појави. Познавањето на обрасците што управуваат со масовните случајни настани ни овозможува да предвидиме како ќе продолжат овие настани. Методите на теоријата на веројатност се широко користени во различни гранки на науката и технологијата: во теоријата на доверливост, теоријата на редици, теоретската физика, геодезијата, астрономијата, теоријата на грешки, теоријата на контрола, теоријата на комуникација и во многу други теоретски и применети науки. Теоријата на веројатност служи за поткрепување на математичката статистика.

Примери на настани сигурни случаен невозможно 1. ПО ЗИМАТА ДОАЃА ПРОЛЕТ. 2. ПО НОЌТА ДОАЃА УТРОТО. 3. КАМЕНОТ ПАЃА. 4. ВОДАТА СТАНУВА ПОТОПЛА КОГА СЕ ГРЕЕ. 1. НАЈДЕТЕ БОГАТСТВО. 2. СЕНДВИЧОТ ПАЃА ПУТЕР. 3. ЧАСОТ СЕ ОТКАЖА ВО УЧИЛИШТЕТО. 4. ПОЕТОТ КОРИСТИ ВЕЛОСИПЕД. 5. ВО КУЌАТА ЖИВЕЕ МАЧКА. 1. РОДЕНДЕН 30 ФЕВРУАРИ. 2. ПРИ ФРЛАЊЕ НА МУРИЦАТА ИМА 7 ТОЧКИ. 3. ЧОВЕКОТ СЕ РАЃА СТАР И СТАНУВА СЕКОЈ ДЕН ПОМЛАД.

Дефиниција на веројатност. Веројатноста на настанот А е односот на бројот на исходи поволни за овој настан со вкупниот број на некомпатибилни елементарни исходи кои формираат целосна група: P(A) = m / n, каде што m е бројот на елементарни исходи кои фаворизираат А; n е бројот на сите можни елементарни исходи од тестот.

Затоа, следните три својства може да се запишат. 1. Веројатноста за сигурен настан е еднаква на еден. Затоа, ако настанот е сигурен, тогаш секој елементарен исход од тестот го фаворизира настанот, тогаш m = n, и P(A) = m / n = n / n = Веројатноста за невозможен настан е нула. Затоа, ако некој настан е невозможен, тогаш ниту еден елементарен исход од тестот не го фаворизира настанот, тогаш m = 0, и P (A) = m / n = 0 / n = Веројатноста за случаен настан е позитивен број помеѓу нула и еден. Следствено, случаен настан е фаворизиран само од дел од вкупниот број елементарни исходи на тестот, потоа 0

Спротивниот настан од предметниот настан, А, е настан што не се случува ако се случи А. И обратно. На пример, настаните А – „парен број навиткани точки“ и Б – „непарен број навиткани поени“ при фрлање матрица се спротивни. Теорема: Збирот на веројатностите на спротивни настани е еднаков на 1. Тоа е: или p+q=1. Пример: Веројатноста дека денот ќе биде врнежлив е p=0,7. Најдете ја веројатноста дека денот ќе биде чист. Решение: Настаните „денот ќе биде дождлив“ и „денот ќе биде чист“ се спротивни. Затоа, саканата веројатност: q=1-p=1-0,7 = 0,3.

Дејства на настани 1. Настанот C се нарекува збир A+B ако се состои од сите елементарни настани вклучени и во A и B. Во Венов дијаграм, збирот A+B е прикажан: Ако настаните A и B се заеднички, тогаш збирот A +B значи дека настанот A, или настанот B, или двата настани се случуваат. Ако настаните се некомпатибилни, тогаш настанот A + B е дека само A или B мора да се случи, тогаш + се заменува со зборот „или“. Дејства на настани 1. Настанот C се нарекува збир A+B ако се состои од сите елементарни настани вклучени и во A и B. Во Венов дијаграм, збирот A+B е прикажан: Ако настаните A и B се заеднички, тогаш збирот A +B значи дека настанот A, или настанот B, или двата настани се случуваат. Ако настаните се некомпатибилни, тогаш настанот A + B е дека само A или B мора да се случи, тогаш + се заменува со зборот „или“.

Теорема за собирање на веројатности на заеднички настани. Теорема: Веројатноста за појава на најмалку еден од двата заеднички настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани без веројатноста за нивно заедничко појавување: P(A+B)=P(A)+P(B) – P(AB) Пример: Веројатноста за погодување на целта при пукање на првиот и вториот пиштол се соодветно еднакви на p1=0,7 и p2=0,8. Пронајдете ја веројатноста за удар со еден салво од барем еден од пиштолите. Решение: Веројатноста секој пиштол да ја погоди целта не зависи од резултатот од пукањето од другиот пиштол, затоа настаните А (погоден од првиот пиштол) и Б (погоден од вториот пиштол) се независни. Веројатност за настанот A*B (погоди и двата пиштола) P(A*B)=P(A)*P(B)=0.7*0.8=0.56 Потребна веројатност P(A+B)=P(A)+P(B) )-P(AB) = 0,7+0,8-0,56=0,94

Овој пример би можел да се реши на друг начин, користејќи ја формулата за веројатноста за појава на барем еден настан. Да речеме дека како резултат на тестот може да се појават 2 независни независни настани или некои од нив. Дополнително, дадени се веројатностите за појава на секој од овие настани. За да ја пронајдеме веројатноста дека ќе се случи барем еден од овие настани, ја користиме следнава теорема. Теорема. Веројатноста за појава на барем еден од настаните A1 и A2, кои се независни во агрегат, е еднаква на разликата помеѓу еден и производот од веројатностите на спротивни настани: P(A) = 1q1*q2.

Теорема за собирање на веројатностите на некомпатибилни настани Ако настаните A и B се некомпатибилни, тогаш настанот A + B е дека A или B мора да се случи, тогаш + се заменува со зборот „или“. Теорема: Веројатноста за појава на еден од двата некомпатибилни настани, без разлика кој, е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани: P(A+B)=P(A)+P(B).

Пример: Во урна има 30 топки: 10 црвени, 5 сини и 15 бели. Најдете ја веројатноста да се појави обоена топка. Решение: Појавата на обоена топка значи појава или на црвена или сина топка. Липање. А – појава на црвена топка. Веројатност за појава О: П(А)=10/30=1/3. Липање. Б – појава на сина топка. Веројатност за појава Б: P(B) = 5/30=1/6. Настаните А и Б се некомпатибилни (појавата на топка со една боја ја исклучува појавата на топка со друга боја), така што теоремата за собирање е применлива. Потребна веројатност: P(A+B)= P(A)+P(B)= 1/3+1/6=1/2.

Пример. Нека има следните настани: А – „кралицата се вади од шпил карти“, Б – „картичката од костум со лопати се вади од шпил карти“. Значи, A*B значи „кралица на извадените лопати“. Пример. Се фрла коцка. Размислете за следните настани: А – „бројот на исфрлени поени е 2“, В – „бројот на исфрлените поени е парен“. Потоа A*B*C – “4 поени се тркалаат”.

Ако случаен настан е претставен како настан кој, кога е исполнет сет од услови S, може или не може да се случи, и ако при пресметувањето на веројатноста за настан, освен условите S, нема други ограничувања, тогаш таквото веројатноста се нарекува безусловна. Доколку се наметнат други дополнителни услови, тогаш во овој случај веројатноста за настанот ќе биде условена. На пример, веројатноста за настанот Б често се пресметува под дополнителен услов настанот А да се случил. пресметувајќи ја веројатноста за настан, освен условите S, нема други ограничувања, тогаш таквата веројатност се нарекува безусловна. Доколку се наметнат други дополнителни услови, тогаш во овој случај веројатноста за настанот ќе биде условена. На пример, веројатноста за настанот Б често се пресметува под дополнителен услов да се случил настанот А.

Веројатноста за настанот Б, пресметана под претпоставка дека настанот А веќе се случил, се нарекува условна веројатност и се означува со Условна веројатност на настанот Б, под услов настанот А веќе да се случил се пресметува: = P(A*B) / P (А), ако P(A) > 0. 0."> 0."> 0." title="Веројатноста за настанот Б, пресметана под претпоставка дека настанот А веќе се случил, се нарекува условна веројатност и се означува со условна веројатност на настанот Б, под услов дека настанот А веќе се случил се пресметува: = P(A*B) / P(A), ако P(A) > 0."> title="Веројатноста за настанот Б, пресметана под претпоставка дека настанот А веќе се случил, се нарекува условна веројатност и се означува со Условна веројатност на настанот Б, под услов настанот А веќе да се случил се пресметува: = P(A*B) / P (А), ако P(A) > 0."> !}

2. Теорема за множење на веројатност. Да претпоставиме дека се познати веројатностите P(A) и два настани A и B За да ја пронајдете веројатноста дека ќе се појават и настанот A и настанот B, можете да ја користите теоремата за множење. Теорема. Веројатноста за заедничко појавување на два настани е еднаква на производот на веројатноста за еден од нив со условната веројатност на другиот, пресметана врз основа на претпоставката дека првиот настан веќе се случил: P(A*B) = P( А)*

Независни настани. Теорема за множење за независни настани. Да претпоставиме дека веројатноста за настанот Б не зависи од појавата на настанот А. За настанот Б се вели дека е независен од настанот А ако појавата на настанот А не ја промени веројатноста за настанот Б, со други зборови, ако условната веројатност на настанот B е еднаква на неговата безусловна веројатност: = P( IN). Теоремата за множење P(A*B) = P(A)* за независни настани е следна: P(A*B) = P(A)*P(B).

Ако се спроведат неколку тестови, освен тоа, веројатноста за настанот А во секој тест не зависи од исходите на другите тестови, тогаш таквите тестови се нарекуваат независни во однос на настанот А. Настанот А во различни независни тестови може да има или различни веројатности или истата веројатност.

Да речеме дека се направени n независни тестови. Во секој од нив, настанот А може да се појави или не. Да мислиме дека во секое испитување веројатноста за настанот А е иста, еднаква на стр. Ова значи дека веројатноста дека настанот А не се случува во секое испитување е исто така константна и е еднаква на q = 1p. Нека биде неопходно да се пресмета веројатноста дека во n испитувања настанот А ќе се случи точно k пати, а нема да се случи (n k) пати.

Формула за вкупна веројатност Веројатноста за настанот А, што може да се случи само кога ќе се случи еден од некомпатибилните настани што формираат целосна група, е еднаква на збирот на производите на веројатностите на секој од настаните според соодветната условна веројатност на настанот А. .

Притоа: а) ако бројот np-q е дробен, тогаш има еден најверојатен број; б) ако бројот np-q е цел број, тогаш има два најверојатни броја, имено и; в) ако бројот np е цел број, тогаш најверојатниот број = np Покрај тоа: а) ако бројот np-q е дропка, тогаш има еден најверојатен број; б) ако бројот np-q е цел број, тогаш има два најверојатни броја, имено и; в) ако бројот np е цел број, тогаш најверојатниот број = np

Пермутациите на n елементи се такви соединенија, од кои секоја ги содржи сите n елементи и кои се разликуваат едни од други само по редоследот на нивниот распоред од дадените n елементи. (Редот е важен) Комбинации од n елементи по k се оние соединенија составени од k елементи избрани од дадените n елементи. (Редоследот не е важен).

ПЕРМУТАЦИИ СО ПОВТОРУВАЊА Нека се дадени елементи од прв тип, втор тип,..., k-ти тип, вкупно n елементи. Начините на нивно поставување на различни места се нарекуваат пермутации со повторувања. Нивниот број е означен со Бројот на пермутации со повторувања е

Правило за производ Дозволете да треба да извршите k дејства едно по друго. Во овој случај, првото дејство може да се изврши на n1 начини, второто на n2 начини и така натаму до k-тото дејство. Тогаш бројот m на начини на кои може да се извршат сите k дејства, според правилото за производ на комбинаторика, е еднаков на

Министерство за образование и наука на Руската Федерација

Сојузна државна буџетска образовна институција

високото стручно образование

„Државен педагошки универзитет во Тула именуван по. Л.Н. Толстој“

(ФСБЕИ ХПЕ „Државен педагошки универзитет во Ташкент именуван по Л.Н. Толстој“)

Катедра за алгебра, математичка анализа и геометрија

КУРСНА РАБОТА

во дисциплината „Методи на наставни предмети: методи на настава по математика“

на тема:

„МЕТОДОЛОГИЈА ЗА ИЗУЧУВАЊЕ НА ТЕОРИЈАТА НА ВЕРОЈАТНОСТИ ВО УЧИЛИШЕН ПРЕДМЕТ ПО МАТЕМАТИКА“

Завршено:

Студентска група 3-та година 120922

Факултет за математика, физика и компјутерски науки

насоки „Педагошко образование“

профили „Физика“ и „Математика“

Ничепуренко Наталија Александровна

Научен советник:

асистент

Рарова Е.М.

Тула 2015 година

Вовед……………………………………………………………………………………………………………………….

Поглавје 1: Основни концепти………………………………………………………………

1.1 Елементи на комбинаторика……………………………………………………………6

1.2 Теорија на веројатност……………………………………………………………….8

Поглавје 2: Методолошки аспекти на изучување на „Теорија на веројатност“ на училишен курс за алгебра………………………………………………………………….24

Поглавје 3: Фрагмент од лекција за алгебра на тема „Теорија на веројатност“……….32

Заклучок

Литература

ВОВЕД

Прашањето за подобрување на математичкото образование во домашните училишта беше покренато во раните 60-ти години на 20 век од извонредните математичари Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, И.И. Кикоин, А.И. Маркушевич, А.Ја. Хинчин. Б.В. Гнеденко напиша: „Прашањето за воведување елементи на веројатничко и статистичко знаење во училишниот курс по математика е одамна задоцнето и не може да толерира дополнително одложување. Законите на строга определба, кон чие проучување е целосно насочено нашето училишно образование, само еднострано ја откриваат суштината на околниот свет. Случајната природа на многу феномени на реалноста е надвор од вниманието на нашите ученици. Како резултат на тоа, нивните идеи за природата на многу природни и општествени процеси се еднострани и несоодветни за модерната наука. Неопходно е да ги запознаеме со статистички закони кои ги откриваат повеќеслојните врски помеѓу постоењето на предмети и феномени“.

ВО И. Левин напишал: „...Статистичката култура неопходна за... активност мора да се негува уште од рана возраст. Не случајно во развиените земји се посветува големо внимание на ова: учениците се запознаваат со елементите на теоријата на веројатност и статистиката уште од првите училишни години и во текот на своето образование стекнуваат веројатност и статистички пристапи за анализа на вообичаени ситуации кои се среќаваат во секојдневниот живот. живот.”

Со реформата на 80-тите, елементите на теоријата на веројатност и статистиката беа вклучени во програмите на специјализираните часови, особено физика, математика и природни науки, како и во изборниот предмет за изучување математика.

Имајќи ја предвид итната потреба да се развијат индивидуалните квалитети на размислувањето на студентите, се појавуваат авторски развојни предмети за изборни предмети за теоријата на веројатност. Пример за ова може да биде курсот на Н.Н. Авдеева за статистика за 7 и 9 одделение и курс на елементи од математичка статистика за 10 одделение гимназија. Во 10-то одделение беа спроведени тестови, чии резултати, како и набљудувањата на наставниците и анкетата на учениците, покажаа дека предложениот материјал е доста достапен за учениците, предизвика голем интерес за нив, покажувајќи ја специфичната примена на математика до решавање на практични проблеми во науката и технологијата.

Процесот на воведување елементи на теоријата на веројатност во задолжителниот училишен предмет по математика се покажа како многу тежок. Постои мислење дека за да се совладаат принципите на теоријата на веројатност, неопходен е прелиминарен фонд на идеи, концепти и навики кои се фундаментално различни од оние што ги развиваат учениците за време на традиционалното образование како дел од запознавањето со законите на строго условувачките феномени. . Затоа, според голем број професори по математичари, теоријата на веројатност треба да биде вклучена во училишната математика како самостоен дел, кој би обезбедил формирање, систематизација и развој на идеи за веројатноста на појавите на светот околу нас.

Бидејќи изучувањето на теоријата на веројатност неодамна беше воведено во училишниот курс, во моментов има проблеми со имплементацијата на овој материјал во училишните учебници. Исто така, поради специфичноста на овој предмет, мала е и количината на методолошка литература. Според пристапите наведени во огромното мнозинство на литература, се верува дека главната работа при проучувањето на оваа тема треба да биде практичното искуство на студентите, затоа се препорачува да се започне обука со прашања во кои е неопходно да се најде решение за проблемот поставен на позадината на реалната ситуација. За време на процесот на учење, не треба да ги докажувате сите теореми, бидејќи на ова се троши многу време, додека целта на курсот е да се развијат корисни вештини, а способноста за докажување теореми не е една од таквите вештини.

Потеклото на теоријата на веројатност настанало во потрага по одговор на прашањето: колку често се случува даден настан во поголема серија тестови со случајни исходи што се случуваат под исти услови?

Кога ја проценуваме можноста да се случи некој настан, често велиме: „Многу е можно“, „Сигурно ќе се случи“, „Тоа е малку веројатно“, „Никогаш нема да се случи“. Со купување на лотарија, може да победите или не; Утре на час по математика може или не може да ве повикаат на таблата; На следните избори владејачката партија може да победи или не.

Ајде да погледнеме едноставен пример.Што мислите, колку луѓе треба да бидат во одредена група за барем двајца од нив да имаат ист роденден со 100% веројатност (се мисли на денот и месецот без да се земе предвид годината на раѓање)? Ова не значи престапна година, т.е. година со 365 дена. Одговорот е очигледен - во групата треба да има 366 луѓе. Сега друго прашање: колку луѓе мора да има за да се најде пар со ист роденден со веројатност од 99,9%?На прв поглед, сè е едноставно - 364 луѓе. Всушност, доволни се 68 луѓе!

Со цел да се извршат такви интересни пресметки иза да направиме необични откритија за себе, ќе го проучуваме овој дел од математиката „Теорија на веројатност“.

Целта на работата на предметот е да се проучат основите на теоријата на веројатност во училишниот курс по математика. За да се постигне оваа цел, беа формулирани следниве задачи:

1. Размислете за методолошките аспекти на студијата„Теории на веројатност“ во училишен курс за алгебра.
   1. Запознајте се со основните дефиниции и теореми за „Теорија на веројатност“ во училишниот курс.
      1. Размислете за детални решенија за проблемите на темата на предметната работа.
      2. Развијте фрагмент од лекција за темата на работата на курсот.

Поглавје 1: Основни поими

1.1 Елементи на комбинаторика

Изучувањето на предметот треба да започне со изучување на основите на комбинаториката, а паралелно треба да се изучува и теоријата на веројатност, бидејќи комбинаториката се користи при пресметување на веројатностите.Методите на комбинаторика се широко користени во физиката, хемијата, биологијата, економијата и другите области на знаење.

Во науката и практиката, често има проблеми во кои треба да се решат, неопходно е да се создадат различни комбинации на конечен број елементи.и брои го бројот на комбинации. Ваквите проблеми се нарекуваат комбинаторни проблеми, а гранката на математиката во која се разгледуваат овие проблеми се нарекувакомбинаторика.

Комбинаториката ги проучува начините за броење на бројот на елементи во конечни множества. Формулите за комбинаторика се користат за пресметување на веројатностите.

Размислете за множество X кое се состои од n елементи. Од овој сет ќе избереме различни подредени подмножества Y од k елементи.

Со поставување на n елементи од множеството X во k елементи се подразбира секое подредено множество () на елементи од множеството X.

Ако изборот на елементи од множеството Y од X се случи со враќање, т.е. Секој елемент од множеството X може да се избира неколку пати, потоа бројот на сместувања од n до k се наоѓа со формулата (поставувања со повторувања).

Доколку изборот е направен без враќање, т.е. Секој елемент од множеството X може да се избере само еднаш, тогаш бројот на сместувања од n до k се означува и се одредува со еднаквоста

(поставувања без повторувања).

Се нарекува посебен случај на поставување за n=kпреуредување од n елементи. Бројот на сите пермутации на n елементи е

Сега нека биде избрано неуредено подмножество од множеството X Y (редоследот на елементите во подмножеството не е важен). Комбинации од n елементи по k се подмножества на k елементи кои се разликуваат едни од други за најмалку еден елемент. Вкупниот број на сите комбинации од n до k се означува со и е еднаков на

Важат еднаквостите: ,

Кога се решаваат комбинаторики, се користат следниве правила:

Правило за сума. Ако некој објект А може да се избере од множество објекти на m начини, а друг објект Б може да се избере на n начини, тогаш или A или B може да се одберат на m + n начини.

Правило за производот. Ако објектот А може да се избере од множество објекти на m начини, и по секое такво селекција, објектот Б може да се избере на n начини, тогаш пар објекти (A, B) во наведениот редослед може да се избере во m* n начини.

1.2 Теорија на веројатност

Во секојдневниот живот, во практичните и научните активности, често набљудуваме одредени појави и спроведуваме одредени експерименти.

Настанот што може или не може да се случи за време на набљудување или експеримент се нарекуваслучаен настан. На пример, на таванот виси сијалица и никој не знае кога ќе изгори.Секој случаен настан- е последица на дејството на многу случајни променливи (силата со која се фрла паричката, обликот на паричката и многу повеќе). Невозможно е да се земе предвид влијанието на сите овие причини врз резултатот, бидејќи нивниот број е голем, а законите на дејствување се непознати.Моделите на случајни настани ги проучува посебна математичка гранка нареченатеорија на веројатност.

Теоријата на веројатност не си поставува задача да предвиди дали еден настан ќе се случи или не - таа едноставно не може да го направи тоа. Ако зборуваме за масивни хомогени случајни настани, тогаш тие се предмет на одредени обрасци, имено веројатност.

Прво, да ја погледнеме класификацијата на настаните.

Прави разлика помеѓу настанизаеднички и незаеднички . Настаните се нарекуваат заеднички ако појавата на еден од нив не ја исклучува појавата на другиот. Во спротивно, настаните се нарекуваат некомпатибилни. На пример, се фрлаат две коцки. Настанот А добива три поени на првата матрица, настанот Б добива три поени на втората матрица. А и Б заеднички настани. Нека продавницата добие серија чевли со ист стил и големина, но различни бои. Настан А кутија земена по случаен избор ќе содржи црни чевли, настан Б кутијата ќе содржи кафени чевли, А и Б некомпатибилни настани.

Настанот се викасигурен , ако е сигурно дека ќе се појави во услови на даден експеримент.

Настанот се виканевозможно , ако не може да се случи во услови на даден експеримент. На пример, случајот кога ќе се земе стандарден дел од серија стандардни делови е сигурен, но нестандарден дел е невозможен.

Настанот се викаможно, или случајно , ако како резултат на искуство може да се појави, но може да не се појави. Пример за случаен настан може да биде идентификација на дефекти на производот за време на проверката на серија готови производи, несовпаѓање помеѓу големината на преработениот производ и наведениот или неуспех на една од врските во автоматизираниот контролен систем. .

Настаните се нарекуваатподеднакво можно, доколку, според условите за тестирање, ниту еден од овие настани не е објективно поможен од другите. На пример, една продавница нека биде снабдена со светилки (во еднакви количини) од неколку производствени погони. Настаните кои вклучуваат купување на сијалица од која било од овие фабрики се подеднакво можни.

Важен концепт ецелосна група на настани. Неколку настани во даден експеримент формираат комплетна група ако барем еден од нив сигурно ќе се појави како резултат на експериментот. На пример, урна содржи десет топки, шест од нив се црвени, четири се бели, а пет топки имаат броеви. А појава на црвена топка со едно извлекување, Б појава на бела топка, В појава на нумерирана топка. Настаните A,B,C формираат комплетна група на заеднички настани.

Настанот може да бидеспротивно, или дополнителни . Спротивниот настан се подразбира како настан кој нужно мора да се случи ако некој настан А не се случи Спротивните настани се некомпатибилни и се единствените можни. Тие формираат целосна група на настани. На пример, ако една серија на произведени производи се состои од добри и неисправни производи, тогаш кога еден производ ќе се отстрани, може да испадне дека е или добар настан А или дефектен настан.

Ајде да погледнеме пример. Тие фрлаат коцка (т.е. мала коцка со точките 1, 2, 3, 4, 5, 6 печатени на страните). При фрлање матрица, на горниот дел може да се појават една точка, две точки, три точки итн. Секој од овие исходи е случаен.

Ние направивме таков тест. Коцките беа фрлени 100 пати и беше забележан колку пати се случил настанот „коцката постигна 6“. Се испостави дека во оваа серија експерименти „шестката“ паднала 9 пати. Бројот 9, кој покажува колку пати предметниот настан се случил во ова испитување, се нарекува фреквенција на овој настан, а односот на фреквенцијата со вкупниот број на испитувања еднаков на се нарекува релативна фреквенција на овој настан.

Општо земено, дозволете одреден тест да се врши постојано под исти услови и секој пат да се евидентира дали настанот што нè интересира се случил или не.А. Веројатноста за настан се означува со големата буква P. Тогаш веројатноста на настанот A ќе се означи со: P(A).

Класична дефиниција на веројатност:

Веројатност за настанА еднаков на односот на бројот на случаим , поволни за него, од вкупниот број n единствените можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи со бројот n, т.е.

Затоа, да се најде веројатностапотребни настани:

1. разгледајте различни резултати од тестот;
2. најдете збир на единствено можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи, пресметајте го нивниот вкупен број n, број на случаи m , поволни за овој настан;
3. извршете ја пресметката користејќи ја формулата.

Од формулата произлегува дека веројатноста за настан е ненегативен број и може да варира од нула до еден во зависност од пропорцијата на поволниот број случаи од вкупниот број случаи:

Ајде да погледнеме друг пример.Во кутијата има 10 топки. 3 од нив се црвени, 2 се зелени, останатите се бели. Најдете ја веројатноста дека топката по случаен избор ќе биде црвена, зелена или бела. Појавата на црвени, зелени и бели топчиња сочинуваат целосна група на настани. Дозволете ни да означиме појава на црвена топка како настан А, појава на зелена топка како настан Б и појава на бела топка како настан В. Потоа, во согласност со формулите напишани погоре, добиваме:

Забележете дека веројатноста за појава на еден од двата некомпатибилни настани во пар е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани.

Релативна фреквенцијанастан А е односот на бројот на искуства како резултат на кој настан А се случил со вкупниот број на искуства. Разликата помеѓу релативната фреквенција и веројатноста е во тоа што веројатноста се пресметува без директно извршување на експерименти, а релативната фреквенција се пресметува по експериментот.

Така, во примерот дискутиран погоре, ако 5 топчиња се извлечени по случаен избор од кутијата и 2 од нив се црвени, тогаш релативната фреквенција на појавување на црвената топка е еднаква на:

Како што можете да видите, оваа вредност не се совпаѓа со пронајдената веројатност. Со доволно голем број извршени експерименти, релативната фреквенција малку се менува, флуктуирајќи околу еден број. Овој број може да се земе како веројатност за некој настан.

Геометриска веројатност.Класичната дефиниција на веројатноста претпоставува дека бројот на елементарни исходиСекако , што исто така ја ограничува неговата употреба во пракса.

Во случај кога се одржува тестбескрајна број на исходи, користете ја дефиницијата за геометриска веројатност точката да падне во регионот.

При утврдувањегеометриски веројатностите веруваат дека има областН а во него има помала површинаМ. До областа Н точка се фрла по случаен избор (ова значи дека сите точки во областаН „еднакви права“ во однос на случајно фрлената точка што паѓа таму).

Настанот А „Фрлената точка удира во областаМ“. Регионот М наречена поволна за настанотА.

Можност за удар во кој било дел од областаН е пропорционална на мерката на овој дел и не зависи од неговата локација и форма.

Областа покриена со геометриска веројатност може да биде:

1. сегмент (должината е мерка)
2. геометриска фигура на рамнина (мерката е површина)
3. геометриско тело во просторот (мерката е волумен)

Да дадеме дефиниција за геометриска веројатност за случај на рамна фигура.

Нека регионот М е дел од регионотН. Настанот А се состои од удирање на случајно фрлено N покажува на областа М. Геометриска веројатностнастани А наречен сооднос на површина на регионМ на подрачјето на регионот N:

Во овој случај, веројатноста за случајно фрлена точка да ја погоди границата на регионот се смета за еднаква на нула.

Размислете за пример: Механички часовник со 12-часовен бројчаник се расипа и престана да работи. Најдете ја веројатноста часовникот да застане во 5 часот, но да не достигне 8 часот.

Решение. Бројот на исходи е бесконечен, ја применуваме дефиницијата за геометриска веројатност. Оттука, секторот помеѓу 5 и 8 часот е дел од областа на целиот бројчаник.

Операции на настани:

Настаните А и Б се нарекуваатеднакви , ако појавата на настанот А повлекува појава на настанот Б и обратно.

Со унија или сума настаните се нарекуваат настан А, што значи појава на барем еден од настаните.

Со раскрсница или производ настани се нарекува настан А, кој се состои во спроведување на сите настани.

A =∩

По разлика настаните А и Б се нарекуваат настан Ц, што значи дека настанот А се случува, но настанот Б не се случува.

C=A\B

Пример:

А+Б „валани 2; 4; 6 или 3 поени“

A∙B „Се свртеа 6 поени“

А Б „Се свртеа 2 и 4 поени“

Дополнителни на настанот А се нарекува настан, што значи дека настанот А не се случува.

Елементарни исходиискуство, се нарекуваат такви резултати на искуство кои меѓусебно се исклучуваат и како резултат на искуство се случува еден од овие настани, а каков и да е настанот А, според елементарниот исход што се случува може да се процени дали овој настан се случува или не.

Множеството од сите елементарни исходи од експериментот се нарекувапростор на елементарни настани.

Својства на веројатности:

Имотот 1. Доколку сите случаи се поволни за даден настанА , тогаш овој настан дефинитивно ќе се случи. Според тоа, настанот во прашање есигурен

Имотот 2. Доколку нема ниту еден случај поволен за овој настанА , тогаш овој настан не може да се случи како резултат на експериментот. Според тоа, настанот во прашање еневозможно , и веројатноста за нејзино појавување, бидејќи во овој случај m =0:

Имотот 3. Веројатноста за појава на настани кои формираат целосна група е еднаква на еден.

Имотот 4. Веројатноста за појава на спротивен настан се одредува на ист начин како и веројатноста за појава на настанотА:

каде (n - m ) број на случаи поволни за појава на спротивен настан. Оттука, веројатноста за појава на спротивен настан е еднаква на разликата помеѓу единството и веројатноста да се случи настанотА:

Собирање и множење на веројатности.

Се нарекува настан Апосебен случај настан Б, ако се случи А, се јавува и Б Фактот дека А епосебен случај Б, пишуваме A ⊂ B.

Настаните А и Б се нарекуваатеднакви , ако секој од нив е посебен случај на другиот. Ако настаните A и B се еднакви, пишуваме A = B.

износ настаните A и B се нарекуваат настан A + B, кој се случува ако и само ако се случи барем еден од настаните A или B.

Теорема за собирање на веројатност 1. Веројатноста за појава на еден од двата некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани.

P = P + P

Забележете дека формулираната теорема е валидна за кој било број на некомпатибилни настани:

Ако случајните настани формираат целосна група на некомпатибилни настани, тогаш еднаквоста важи

P + P +…+ P =1

Работата настаните A и B се нарекуваат настан AB, кој се случува ако и само ако двата настани A и B се случат истовремено. Случајните настани А и Б се нарекуваат заеднички ако двата од овие настани можат да се случат за време на даден тест.

Теорема за собирање на веројатност 2. Веројатноста за збир на заеднички настани се пресметува со помош на формулата

P=P+P-P

Примери на проблеми за теоремата за собирање.

1. На испитот по геометрија студентот добива едно прашање од листата на испитни прашања. Веројатноста дека ова е прашање со впишан круг е 0,2. Веројатноста дека ова е прашање на тема „Паралелограм“ е 0,15. Нема прашања кои истовремено се однесуваат на овие две теми. Најдете ја веројатноста дека студентот ќе добие прашање за една од овие две теми на испитот.

Решение. Веројатноста за збир на два некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Одговор: 0,35.

1. Во трговски центар две идентични машини продаваат кафе. Веројатноста дека машината ќе остане без кафе до крајот на денот е 0,3. Веројатноста дека двете машини ќе останат без кафе е 0,12. Најдете ја веројатноста дека на крајот од денот ќе остане кафе во двете машини.
   Решение. Размислете за настанитеА „кафето ќе снема во првата машина“, Б „кафето ќе снема во втората машина“.Потоа A·B „кафето ќе снема во двете машини“, A + B „кафето ќе снема барем во една машина“.По услов P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
   Настаните А и Б се заеднички, веројатноста за збир на два заеднички настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани без веројатноста за нивниот производ:
   P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48.

Според тоа, веројатноста за спротивниот настан, кафето да остане и во двете машини, е 1 − 0,48 = 0,52.

Одговор: 0,52.

Настаните на настаните А и Б се нарекуваатнезависна , ако појавата на едниот од нив не ја менува веројатноста за појава на другиот. Се нарекува настан Азависни од настанот Б ако веројатноста за настанот А се менува во зависност од тоа дали настанот Б се случува или не.

Условна веројатност P(A|B ) на настанот А е веројатноста пресметана со оглед на тоа дека настанот Б се случил. Исто така, преку P(B|A ) ја означува условната веројатност на настанот Б со оглед на тоа дека се случува А.

За независни настани по дефиниција

P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)

Теорема за множење за зависни настани

Веројатност за производство на зависни настание еднаков на производот на веројатноста на еден од нив со условната веројатност на другиот, под услов првото да се случило:

P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B|A) P(A ∙ B) = P(B) ∙ P(A|B)

(во зависност од тоа кој настан се случил прв).

Последици од теоремата:

Теорема за множење за независни настани. Веројатноста за производ на независни настани е еднаква на производот на нивните веројатности:

P(A∙B) = P(A)∙P(B)

Ако A и B се независни, тогаш независни се и паровите: (;), (; B), (A;).

Примери на проблеми за теоремата за множење:

1. Ако велемајсторот А. игра бело, тогаш победи против велемајсторот Б. со веројатност 0,52. Ако А. игра црно, тогаш А. победува против Б. со веројатност 0,3. Велемајсторите А. и Б. играат по две партии, а во вториот натпревар ја менуваат бојата на фигурите. Најдете ја веројатноста дека А. победи двата пати.

Решение. Можноста за победа на првиот и вториот гем не зависи еден од друг. Веројатноста за производ на независни настани е еднаква на производот на нивните веројатности: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Одговор: 0,156.

1. Во продавницата има две платежни машини. Секој од нив може да биде неисправен со веројатност 0,05, без разлика на другата машина. Најдете ја веројатноста дека барем една машина работи.

Решение. Ајде да ја најдеме веројатноста дека и двете машини се неисправни. Овие настани се независни, веројатноста за нивно појавување е еднаква на производот од веројатностите на овие настани: 0,05 · 0,05 = 0,0025.
Настан кој се состои во тоа што работи барем една машина, спротивното. Според тоа, неговата веројатност е 1 − 0,0025 = 0,9975.

Одговор: 0,9975.

Формула за вкупна веројатност

Последица на теоремите за собирање и множење на веројатности е формулата за вкупната веројатност:

Веројатност П (А) настан А, кој може да се случи само ако се случи еден од настаните (хипотезите) Б 1 , V 2 , V 3 ... V n , формирајќи целосна група на парни некомпатибилни настани, е еднаква на збирот на производите на веројатностите на секој од настаните (хипотези) Б 1 , V 2 , V 3 , …, V n до соодветните условни веројатности на настанот А:

P (A) = P (B 1)  P (A | B 1) + P (B 2)  P (A | B 2) + P (B 3)  P (A | B 3) + … + P (B n)  P (A | B n)

Ајде да погледнеме на пример:Автоматска линија произведува батерии. Веројатноста дека завршената батерија е неисправна е 0,02. Пред пакувањето, секоја батерија поминува низ контролен систем. Веројатноста дека системот ќе одбие неисправна батерија е 0,99. Веројатноста дека системот погрешно ќе одбие работна батерија е 0,01. Најдете ја веројатноста дека батеријата случајно избрана од пакетот ќе биде одбиена.

Решение. Може да настане ситуација во која батеријата ќе биде отфрлена како резултат на следните настани: A „батеријата е навистина неисправна и е правилно отфрлена“ или B „батеријата работи, но е отфрлена по грешка“. Ова се некомпатибилни настани, веројатноста за нивниот збир е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани. Ние имаме:

P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,02  0,99 + 0,98  0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Одговор: 0,0296.

Поглавје 2: Методолошки аспекти на изучување на „Теоријата на веројатност“ на училишен курс за алгебра

Во 2003 година беше донесена одлука да се вклучат елементи на теоријата на веројатност во училишниот математички курс на општообразовното училиште (упатство бр. 0393ин/1303 од 23 септември 2003 година на Министерството за образование на Руската Федерација „За воведување на елементи на комбинаторика, статистика и теорија на веројатност во содржината на математичкото образование основно училиште“, „Математика на училиште“, бр. 9, 2003 година). Во тоа време, елементите на теоријата на веројатност беа присутни во различни форми повеќе од десет години во добро познати училишни учебници за алгебра за различни паралелки (на пример, I.F. „Алгебра: Учебници за 79 одделенија на општообразовните институции“, уредени од Г.В. Дорофеев; „ Алгебра и почетоците на анализата: Учебници за 10 11 одделенија на општообразовните институции“ Г.В. Дорофеев, Л. Но, презентацијата на материјалот за теоријата на веројатност кај нив, по правило, не беше систематска, а наставниците, најчесто, не се повикуваа на овие делови и не ги вклучуваа во наставната програма. Документот усвоен од Министерството за образование во 2003 година предвидува постепено, етапно вклучување на овие делови во училишните курсеви, давајќи ѝ можност на наставната заедница да се подготви за соодветните промени.

Во 2004-2008 г Се издаваат голем број учебници како дополнување на постоечките учебници за алгебра. Ова се публикациите на Тјурин Ју.Н., Макаров А.А., Висоцки И.Р., Јашченко И.В. „Теорија на веројатност и статистика“, Тјурин Ју.Н., Макаров А.А., Висоцки И.Р., Јашченко И.В. „Теорија на веројатност и статистика: Прирачник за наставници“, Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г. „Алгебра: елементи на статистика и теорија на веројатност: учебник. Прирачник за ученици 79 одд. општо образование институции“, Ткачева М.В., Федорова Н.Е. „Елементи на статистика и веројатност: Учебник. Додаток за 7 9 одделение. општо образование институции“. Беа објавени и методолошки прирачници за помош на наставниците. Во текот на неколку години, сите овие наставни помагала се тестирани во училиштата. Во услови кога заврши преодниот период на воведување во училишните програми, а деловите статистика и теорија на веројатност зазедоа свое место во наставните програми од 7-9 одделенија, анализа и разбирање на доследноста на основните дефиниции и нотации користени во овие учебници се задолжителни.

Сите овие учебници се создадени во отсуство на традиции на предавање на овие делови од математиката на училиште. Ова отсуство, намерно или несвесно, ги испровоцира авторите на учебниците да ги споредуваат со постоечките учебници за универзитетите. Вториот, во зависност од воспоставените традиции во поединечните специјализации на високото образование, честопати дозволуваше значителни терминолошки несовпаѓања и разлики во ознаките на основните концепти и евидентирањето на формулите. Анализата на содржината на горенаведените училишни учебници покажува дека тие денес овие карактеристики ги наследиле од високошколските учебници. Со поголем степен на точност, може да се констатира дека изборот на специфичен едукативен материјал за новите делови од математиката за училиште, кои се однесуваат на концептот „случаен“, моментално се случува на најслучаен начин, сè до имињата и ознаки. Затоа, тимови од автори на водечки училишни учебници за теорија на веројатност и статистика одлучија да ги здружат силите под покровителство на Московскиот институт за отворено образование за да развијат договорени позиции за обединување на основните дефиниции и ознаки што се користат во училишните учебници за теоријата на веројатност и статистиката.

Да го анализираме воведувањето на темата „Теорија на веројатност“ во училишните учебници.

Општи карактеристики:

Содржината на наставата на темата „Елементи на теоријата на веројатност“, нагласена во „Програмата за општообразовни установи. Математика“, обезбедува понатамошен развој на математичките способности на учениците, ориентација кон професии значително поврзани со математиката и подготовка за студирање на универзитет. Специфичноста на математичката содржина на темата што се разгледува ни овозможува да ја специфицираме идентификуваната главна задача за длабинско проучување на математиката на следниов начин.

1. Продолжете со откривање на содржината на математиката како дедуктивен систем на знаење.

Изградба на систем на дефиниции на основните поими;

Идентификувајте дополнителни својства на воведените концепти;

Воспоставете врски помеѓу воведените и претходно изучените концепти.

2. Систематизирај некои веројатни методи за решавање проблеми; ја откриваат оперативната структура на барање решенија за одредени видови проблеми.

3. Создадете услови за студентите да ја разберат и сфатат главната идеја за практичното значење на теоријата на веројатност преку анализа на главните теоретски факти. Откријте практична примена на теоријата изучувана во оваа тема.

Постигнувањето на образовните цели ќе биде олеснето со решавање на следните задачи:

1. Да се ​​формира идеја за различни начини на одредување на веројатноста за настан (статистички, класичен, геометриски, аксиоматски)

2. Да се ​​развие знаење за основните операции на настани и способност да се користат за да се опишат некои настани преку други.

3. Откријте ја суштината на теоријата на собирање и множење на веројатности; утврдете ги границите на употреба на овие теореми. Прикажи ги нивните апликации за изведување формули за вкупна веројатност.

4. Идентификувајте алгоритми за пронаоѓање на веројатностите на настаните а) според класичната дефиниција за веројатност; б) за теоријата на собирање и множење; в) користејќи ја формулата за вкупна веројатност.

5. Направете рецепт кој ви овозможува рационално да изберете еден од алгоритмите при решавање на одреден проблем.

Идентификуваните образовни цели за изучување на елементите на теоријата на веројатност ќе ги дополниме со поставување на развојни и образовни цели.

Развојни цели:

• да се формира кај учениците одржлив интерес за предметот, да се идентификуваат и развиваат математичките способности;
• во процесот на учење, развивајте говор, размислување, емоционално-волни и конкретно-мотивациони области;
• самостојно откривање на нови начини на решавање проблеми и задачи од страна на учениците; примена на знаењето во нови ситуации и околности;
• развиваат способност за објаснување факти, врски меѓу појавите, преобразување на материјалот од една форма на претставување во друга (вербална, знаковно-симболичка, графичка);
• научете да ја демонстрирате правилната примена на методите, видете ја логиката на расудувањето, сличностите и разликите на појавите.

Образовни цели:

• да се формираат кај учениците морални и естетски идеи, систем на погледи на светот и способност да се следат нормите на однесување во општеството;
• да ги формира потребите на поединецот, мотивите за општествено однесување, активностите, вредностите и вредносните ориентации;
• да воспитува личност способна за самообразование и самообразование.

Да го анализираме учебникот за алгебра за 9 одделение „Алгебра: елементи на статистика и теорија на веројатност“ Макаричев Ју.Н.

Овој учебник е наменет за учениците од 7-9 одделение, ги надополнува учебниците: Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. „Алгебра 7“, „Алгебра 8“, „Алгебра 9“, уредена од Телјаковски С.А.

Книгата се состои од четири параграфи. Секој параграф содржи теоретски информации и релевантни вежби. На крајот од параграфот има вежби за повторување. За секој параграф се дадени дополнителни вежби на повисоко ниво на сложеност во споредба со главните вежби.

Според „Програмата за општообразовни установи“, за изучување на темата „Теорија на веројатност и статистика“ на училишниот предмет алгебра се издвоени 15 часа.

Материјалот на оваа тема опфаќа 9 одделение и е претставен во следните параграфи:

§3 „Елементи на комбинаторика“ содржи 4 точки:

Примери на комбинаторни проблеми.Едноставните примери го демонстрираат решението на комбинаторните проблеми со набројување можни опции. Овој метод е илустриран со конструирање дрво на можни опции. Се разгледува правилото за множење.

Преуредувања. Се воведува самиот концепт и формулата за пресметување на пермутации.

Пласмани. Концептот е претставен со конкретен пример. Изведена е формулата за бројот на места.

Комбинации. Поим и формула за бројот на комбинации.

Целта на овој дел е да им даде на учениците различни начини за опишување на сите можни елементарни настани во различни типови на случајни искуства.

§4 „Почетни информации од теоријата на веројатност“.

Презентацијата на материјалот започнува со преглед на експериментот, по што се воведуваат концептите „случаен настан“ и „релативна фреквенција на случаен настан“. Воведена е статистичката и класичната дефиниција на веројатноста. Ставот завршува со ставот „додавање и множење на веројатности“. Се разгледуваат теоремите за собирање и множење на веројатностите и се воведуваат придружните концепти на некомпатибилни, спротивни, независни настани. Овој материјал е наменет за ученици кои имаат интерес и способност за математика и може да се користи за индивидуална работа или во воннаставни активности со ученици.

Методолошките препораки за овој учебник се дадени во голем број написи од Макаричев и Миндјук („Елементи на комбинаторика во училишен курс за алгебра“, „Почетни информации од теоријата на веројатност во училишен курс за алгебра“). И, исто така, некои критички коментари за овој учебник се содржани во написот на Студенецкаја и Фадеева, што ќе помогне да се избегнат грешки при работа со овој учебник.
Цел: премин од квалитативен опис на настани во математички опис.

Тема „Теорија на веројатност“ во учебниците на Мордкович А.Г., Семенов П.В. за 9-11 одделение.

Во моментов, еден од актуелните учебници во училиштето е учебникотМордкович А.Г., Семенова П.В. „Настани, веројатности, статистичка обработка на податоци“, има и дополнителни поглавја за 7-9 одделение. Ајде да го анализираме.

Според „Работната програма за алгебра“, се доделуваат 20 часа за изучување на темата „Елементи на комбинаторика, статистика и теорија на веројатност“.

Материјалот на тема „Теорија на веројатност“ е опфатен во следните параграфи:

§ 1. Наједноставните комбинаторни проблеми. Правило за множење и дрво на варијанти. Преуредувања.Започнува со разгледување на едноставни комбинаторни проблеми, се разгледува табела на можни опции, која го покажува принципот на правилото за множење. Потоа се разгледуваат дрвја на можни опции и пермутации. По теоретскиот материјал следуваат вежби за секоја од потточките.

§ 2. Избор на неколку елементи. Комбинации.Прво, формулата е изведена за 2 елементи, потоа за три, а потоа општата за n елементи.

§ 3. Случајни настани и нивните веројатности.Воведена е класичната дефиниција за веројатност.

Предноста на овој прирачник е тоа што е еден од ретките што содржи параграфи во кои се дискутираат табелите и дрвјата на опции. Овие точки се неопходни, бидејќи токму табелите и стеблата на опции ги учат учениците на презентација и првична анализа на податоците. И во овој учебник успешно е воведена формулата за комбинација, прво за два елементи, потоа за три и генерализирана за n елементи. На комбинаторика, материјалот е исто толку претставен. Секој пасус содржи вежби, што ви овозможува да го консолидирате материјалот. Коментарите за овој учебник се содржани во написот на Студенецкаја и Фадеева.

Во 10 одделение, три параграфи се посветени на оваа тема. Во првиот од нив, „Правило на множење. Пермутации и фактори“, покрај самото правило за множење, главниот акцент беше ставен на изведувањето од ова правило на два главни комбинаторни идентитети: за бројот на пермутации и за бројот на сите можни подмножества на множеството кое се состои од n елементи. Во исто време, факторите беа воведени како пригоден начин за скратување на одговорот во многу специфични комбинаторни проблеми пред самиот концепт на „пермутација“. Во вториот став од одделение 10 „Избор на повеќе елементи. Биномни коефициенти“ се сметаат за класични комбинаторни проблеми поврзани со истовремен (или секвенцијален) избор на неколку елементи од дадено конечно множество. Најзначајниот и вистински нов за руското средно училиште беше последниот став „Случајни настани и нивните веројатности“. Ја испитуваше класичната шема на веројатност и ги анализираше формулите P (A + B) + P (AB) = P (A) + P (B), P ()=1- P (A), P (A) = 1- P () и методи на нивна употреба. Ставот заврши со транзиција кон независни повторувања на тестот со два исхода. Ова е најважниот веројатностичен модел од практична гледна точка (Бернули тестови), кој има значителен број на примени. Последниот материјал формираше премин помеѓу содржината на едукативниот материјал во 10-то и 11-то одделение.

Во 11-то одделение два параграфа од учебникот и една проблемска книга се посветени на темата „Елементи на теоријата на веројатност“. ВО§ 22 се занимава со геометриски веројатности во § 23, знаењето за независно повторување на тестовите со два исхода се повторува и проширува.

Поглавје 3: Фрагмент од лекција за алгебра на тема „Теорија на веројатност“

Одделение: 11

Тема на лекцијата: „Анализа на задача C6“.

Тип на лекција: решавање проблеми.

Формирана UUD

Когнитивно: анализира,

извлекува заклучоци, споредува предмети според методите на дејствување;

Регулаторни: определување на целта, проблемот, изнесени верзии, планирајте активности;

Комуникативно: изразете го вашето мислење, користете вербални средства;

Лично: бидете свесни за вашите емоции, развијте однос со почит кон соучениците

Планирани резултати

Предмет: способност да се користи формула за решавање на проблеми кои вклучуваат пресметување на веројатноста.

Мета-субјект: способност да се изнесат хипотези, претпоставки, види

различни начини за решавање на проблемот.

Лично: способност правилно да се изразат нечии мисли, да се разбере значењето

доделена задача.

Задача: Секој од групата ученици одел во кино или во театар, а можно е некои од нив да одат и во кино и во театар. Познато е дека кај театарските момчиња немало повеќе од 2/11 од вкупниот број ученици во групата што го посетиле театарот, а во киното немало повеќе од 2/5 момчиња во вкупниот број ученици. во групата што го посети киното.
а) Дали во групата може да има 9 момчиња, доколку дополнително се знае дека во групата имало вкупно 20 ученици?
б) Кој е најголемиот број на момчиња што би можеле да бидат во групата, доколку дополнително се знае дека во групата имало вкупно 20 ученици?
в) Која е најмалата пропорција што може да ја направат девојчињата од вкупниот број ученици во групата без дополнителниот услов од точките а) и б)?

Анализа на задачата:

Прво да ја погледнеме состојбата:

(Паралелно со објаснувањето, наставникот прикажува сè на таблата).

Да претпоставиме дека имаме многу момци кои оделе во кино, и многу момци кои оделе во театар. Бидејќи се вели дека сите отишле, тогаш целата група е или еден од многуте момци што оделе во театар, или еден од многуте момци што оделе во кино. Што покажува местото каде што се вкрстуваат овие множества?

Тоа значи дека овие момци оделе и во кино и во театар во исто време.

Познато е дека момчињата што оделе во театар биле не повеќе од 2/11 од вкупниот број на луѓе што оделе во театар. Наставникот бара еден од учениците да го нацрта ова на табла.

И можеше да има повеќе момчиња кои отидоа во кино - не повеќе од 2/5 од вкупниот број ученици во групата.

Сега да преминеме на решението.

а) Имаме 9 момчиња, вкупно ученици, да означимеН =20, мора да се исполнат сите услови. Ако имаме 9 момчиња, соодветно 11 девојчиња, точката а) во повеќето случаи може да се реши со брутална сила.

Да претпоставиме дека нашите момчиња оделе само во кино или во театар.

И девојките одеа ваму-таму. (Синото покажува многу момчиња, црното засенчување покажува девојчињата)

Бидејќи имаме само 9 момчиња и, според условот, помалку момчиња оделе во театар, претпоставуваме дека 2 момчиња оделе во театар, а 7 во кино и да видиме дали нашиот услов е исполнет.

Ајде прво да го провериме користејќи го театарот како пример. Го земаме бројот на момчиња кои оделе во театар, плус сите што оделе во театар, плус бројот на девојчиња, и споредете го ова со: . Да го помножиме ова со 18 и 5:.

Затоа дропот е 7/18 2/5. Тоа значи дека за киното е задоволен условот.

Сега да видиме дали овој услов е исполнет за театарот. Самостојно, потоа еден од учениците го запишува решението на табла.

Одговор: Ако групата се состои од 2 момчиња кои го посетиле само театарот, 7 момчиња кои посетиле само кино и 11 девојчиња кои оделе и во театар и во кино, тогаш условот на задачата е исполнет. Тоа значи дека во група од 20 ученици може да има 9 момчиња.

б) Да претпоставиме дека имало 10 или повеќе момчиња. Тогаш имаше 10 или помалку девојки. Театарот не го посетувале повеќе од 2 момчиња, затоа што ако имало 3 или повеќе, тогаш уделот на момчињата во театарот не би бил помал = што е повеќе.

Слично на тоа, не повеќе од 7 момчиња присуствуваа во киното, бидејќи, но тогаш барем едно момче не присуствуваше ниту во театар ниту во кино, што е спротивно на состојбата.

Во претходниот пасус беше покажано дека во група од 20 ученици може да има 9 момчиња. Тоа значи дека најголемиот број на момчиња во групата е 9.

в) Да претпоставиме дека одредено момче отишло и во театар и во кино. Ако наместо тоа имаше две момчиња во групата, од кои едното присуствуваше само на театар, а другото само на кино, тогаш уделот на момчињата и во театарот и во киното ќе остане ист, а вкупниот удел на девојчињата ќе стане помал. . Ова значи дека за да се процени најмалиот дел од девојчињата во групата, можеме да претпоставиме дека секое момче одело или само во театар или само во кино.

Нека групата момчиња го посетија театарот, момчињата кои го посетија киното иг девојки.

Да го процениме процентот на девојчиња во оваа група. Претпоставете дека сите девојки отишле и во театар и во кино како нула, бидејќи тоа нема да го промени нивниот удел во групата, а нивниот удел во театарот и киното нема да се намали.

Ако групата се состои од 2 момчиња кои го посетиле само театарот, 6 момчиња кои го посетиле само киното и 9 девојки кои оделе и во театар и во кино, тогаш условот на проблемот е исполнет, а процентот на девојчиња во групата е еднаква.