Главни интеграли кои секој ученик треба да ги знае
Наведените интеграли се основата, основата на основите. Овие формули дефинитивно треба да се запомнат. Кога пресметувате посложени интеграли, ќе мора постојано да ги користите.
Обрнете посебно внимание на формулите (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не заборавајте да додадете произволна константа C на вашиот одговор при интегрирање!
Интеграл на константа
∫ A d x = A x + C (1)Интегрирање на функција за напојување
Всушност, беше можно да се ограничиме само на формулите (5) и (7), но останатите интеграли од оваа група се појавуваат толку често што вреди да се обрне малку внимание на нив.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Интеграли на експоненцијални функции и хиперболични функции
Се разбира, формулата (8) (можеби најзгодна за меморирање) може да се смета како посебен случај на формулата (9). Формулите (10) и (11) за интегралите на хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус лесно се изведуваат од формулата (8), но подобро е едноставно да се запомнат овие односи.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Основни интеграли на тригонометриски функции
Грешка што често ја прават учениците е тоа што ги мешаат знаците во формулите (12) и (13). Сеќавајќи се дека дериватот на синусот е еднаков на косинусот, поради некоја причина многу луѓе веруваат дека интегралот на функцијата sinx е еднаков на cosx. Ова не е вистина! Интегралот на синус е еднаков на „минус косинус“, но интегралот на cosx е еднаков на „само синус“:
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 грев 2 x d x = − c t g x + C (15)
Интеграли кои се сведуваат на инверзни тригонометриски функции
Формулата (16), која води до арктангенсот, е природно посебен случај на формулата (17) за a=1. Слично, (18) е посебен случај на (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Покомплексни интеграли
Исто така, препорачливо е да ги запомните овие формули. Тие исто така се користат доста често, а нивниот излез е прилично досаден.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Општи правила за интеграција
1) Интегралот од збирот на две функции е еднаков на збирот на соодветните интеграли: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Интегралот на разликата на две функции е еднаков на разликата на соодветните интеграли: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Константата може да се извади од интегралниот знак: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Лесно е да се види дека својството (26) е едноставно комбинација од својствата (25) и (27).
4) Интеграл на сложена функција ако внатрешната функција е линеарна: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Овде F(x) е антидериват за функцијата f(x). Ве молиме имајте предвид: оваа формула работи само кога внатрешната функција е Ax + B.
Важно: не постои универзална формула за интеграл на производ од две функции, како и за интеграл на дропка:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (триесет)
Ова, се разбира, не значи дека фракција или производ не може да се интегрира. Само што секогаш кога ќе видите интеграл како (30), ќе треба да измислите начин да се „борите“ со него. Во некои случаи, интегрирањето по делови ќе ви помогне, во други ќе треба да направите промена на променливата, а понекогаш дури и „училишната“ алгебра или тригонометриските формули можат да помогнат.
Едноставен пример за пресметување на неопределен интеграл
Пример 1. Најдете го интегралот: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xДа ги користиме формулите (25) и (26) (интегралот на збирот или разликата на функциите е еднаков на збирот или разликата на соодветните интеграли. Добиваме: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Да се потсетиме дека константата може да се извади од интегралниот знак (формула (27)). Изразот се претвора во форма
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Сега да ја искористиме само табелата со основни интеграли. Ќе треба да ги примениме формулите (3), (12), (8) и (1). Ајде да ја интегрираме функцијата моќност, синус, експоненцијална и константа 1. Не заборавајте да додадете произволна константа C на крајот:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
По елементарните трансформации го добиваме конечниот одговор:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Тестирајте се со диференцијација: земете го изводот на добиената функција и уверете се дека е еднаков на оригиналниот интегранд.
Збирна табела на интеграли
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 грев 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Преземете ја табелата со интеграли (II дел) од овој линк
Ако студирате на универзитет, ако имате потешкотии со вишата математика (математичка анализа, линеарна алгебра, теорија на веројатност, статистика), ако ви требаат услуги на квалификуван наставник, одете на страницата на повисок учител по математика. Заедно ќе ги решиме вашите проблеми!
Можеби ќе ве интересира и
Здраво повторно, пријатели!
Како што ветив, со оваа лекција ќе започнеме да ги истражуваме бескрајните пространства на поетскиот свет на интегралите и ќе започнеме да решаваме широк спектар на (понекогаш многу убави) примери. :)
За компетентно да се движиме низ целата интегрална различност и да не се изгубиме, потребни ни се само четири работи:
1) Табела на интеграли. Сите детали за неа - . Вака точно треба да се работи со неа.
2) Својства на линеарност на неопределен интеграл (интеграл од збир/разлика и производ на константа).
3) Табела на деривати и правила за диференцијација.
Да, да, немојте да се чудите! Без можност за броење деривати, нема апсолутно ништо да се добие од интеграцијата. Се согласувам, нема смисла, на пример, да научиш делење без да знаеш како да се множиш. :) И многу брзо ќе видите дека без усовршени вештини за диференцијација не можете да пресметате ниту еден интеграл кој оди подалеку од елементарните табеларни.
4) Методи на интеграција.
Ги има многу, многу. За одредена класа на функции - своја. Но, меѓу сета нивна богата разновидност, се издвојуваат три основни:
– ,
– ,
– .
Секој од нив ќе се дискутира во посебни лекции.
И сега, конечно, да се фатиме за решавање на долгоочекуваните примери. За да не прескокнувам од дел до дел, уште еднаш ќе го дуплицирам целиот џентлменски сет, што ќе биде корисно за нашата понатамошна работа. Сите алатки нека ви бидат при рака.)
Прво на сите, ова табела на интеграли:
Покрај тоа, ќе ни требаат основните својства на неопределен интеграл (својства на линеарност):
Па, потребната опрема е подготвена. Време е да одиме! :)
Директна примена на табелата
Овој став ќе ги разгледа наједноставните и најбезопасните примери. Алгоритмот овде е ужасно едноставен:
1) Погледнете ја табелата и побарајте ја потребната формула(и);
2) Примени својства на линеарност (каде што е потребно);
3) Ја извршуваме трансформацијата користејќи табеларни формули и додаваме константа на крајот СО (не заборавајте!) ;
4) Запишете го одговорот.
Значи, да одиме.)
Пример 1
Нема таква функција во нашата табела. Но, постои интеграл на функцијата на моќ во општа форма (втора група). Во нашиот случај n=5. Значи, петте ги заменуваме со n и внимателно го пресметуваме резултатот:
Подготвени. :)
Се разбира, овој пример е целосно примитивен. Чисто за запознавање.) Но, способноста да се интегрираат моќи го олеснува пресметувањето на интегралите на кои било полиноми и други моќни конструкции.
Пример 2
Под интегралот е збирот. Па, во ред. Имаме својства на линеарност за овој случај. :) Го делиме нашиот интеграл на три посебни, ги вадиме сите константи од знаците на интегралите и секоја ја броиме според табелата (група 1-2):
Ве молиме запомнете: постојано СОсе појавува токму во моментот кога СИТЕ интегрални знаци исчезнуваат! Се разбира, после тоа треба постојано да го носите со себе. Па што да се прави…
Се разбира, обично не е неопходно да се опише толку детално. Ова е направено чисто за разбирање. За да ја сфатите поентата.)
На пример, многу брзо, без многу размислување, ментално ќе им дадете одговор на чудовишта како:
Полиномите се најслободните функции во интегралите.) А во дифузите, физиката, јачината на материјалите и другите сериозни дисциплини, ќе мора постојано да интегрирате полиноми. Се навикнеш на него.)
Следниот пример ќе биде малку поладен.
Пример 3
Се надевам дека сите разбираат дека нашиот интегранд може да се напише вака:
Интегранд функцијата е посебна, а факторот dx (диференцијална икона)- одделно.
Коментар:во оваа лекција мултипликатор dx во процесот на интеграција Чаоне учествува на кој било начин, а ние сега ментално „забораваме“ на него. :) Работиме само со интегранд функција. Но, да не заборавиме на него. Многу наскоро, буквално во следната лекција посветена на, ќе се потсетиме на тоа. И ќе ја почувствуваме важноста и моќта на оваа икона со полна сила!)
Во меѓувреме, нашиот поглед е свртен кон функцијата интегранд
Не изгледа многу како функција за напојување, но тоа е она што е. :) Ако се сеќаваме на училишните својства на корените и моќите, тогаш е сосема можно да ја трансформираме нашата функција:
И x до моќта минус две третини е веќе табеларна функција! Втора група n=-2/3. И константата 1/2 не ни е пречка. Го изнесуваме надвор, надвор од интегралниот знак и пресметуваме директно користејќи ја формулата:
Во овој пример, ни помогнаа елементарните својства на степените. И ова треба да се направи во повеќето случаи кога под интегралот има осамени корени или фракции. Затоа, неколку практични совети при интегрирање на енергетски конструкции:
Ги заменуваме дропките со моќи со негативни експоненти;
Корените ги заменуваме со моќи со фракциони експоненти.
Но, во конечниот одговор, преминот од моќи назад кон фракции и корени е прашање на вкус. Лично, се враќам назад - тоа е повеќе естетски пријатно, или нешто слично.
И те молам, брои ги сите дропки внимателно! Внимателно ги следиме знаците и што оди каде – што има во броителот, а кој е именителот.
Што? Веќе сте уморни од досадните функции за напојување? ДОБРО! Да го фатиме бикот за рогови!
Пример 4
Ако сега внесеме сè под интегралот до заеднички именител, тогаш можеме сериозно и долго да се заглавиме на овој пример.) Но, ако подобро го погледнеме интеградот, можеме да видиме дека нашата разлика се состои од две табеларни функции . Затоа, да не се изопачуваме, туку да го разложиме нашиот интеграл на два:
Првиот интеграл е обична функција на моќност, (втора група, n = -1): 1/x = x -1 .
Нашата традиционална формула за антидериват на моќна функција
Не работи овде, туку кај нас n = -1постои достојна алтернатива - формула со природен логаритам. Оваа:
Потоа, според оваа формула, првата дропка ќе се интегрира вака:
И втората дропка е исто така и функција на маса!Научен? Да! Ова седмиформула со „висок“ логаритам:
Константата „а“ во оваа формула е еднаква на две: a=2.
Важна забелешка: Забележете ја константатаСО со средна интеграција I никадеНе го припишувам!Зошто? Затоа што таа ќе оди до конечниот одговор цел пример.Ова е сосема доволно.) Строго кажано, константата мора да се запише по секоја индивидуална интеграција - било да е тоа средно или конечно: тоа го бара неопределениот интеграл...)
На пример, по првата интеграција ќе треба да напишам:
По втората интеграција:
Но, трикот е што збирот/разликата на произволните константи е исто така некоја константа!Во нашиот случај, за конечниот одговор ни треба од првиот интеграл одземавторо. Тогаш можеме да го направиме тоа разликадве средни константи:
C 1 - C 2
И ние имаме целосно право да ја замениме оваа разлика во константи една константа!И едноставно редизајнирајте го со буквата „Ц“ што ни е позната. Како ова:
C 1 -C 2 = C
Значи ја припишуваме истата константа СОдо конечниот резултат и го добиваме одговорот:
Да, да, тие се дропки! Повеќекатните логаритми кога се интегрирани се најчестата работа. И ние се навикнуваме на тоа.)
Запомнете:
При интермедијарна интеграција на неколку члена, константата СОПо секоја од нив не мора да пишувате. Доволно е да се вклучи во конечниот одговор на целиот пример. На крајот.
Следниот пример е исто така со дропка. За загревање.)
Пример 5
Табелата, се разбира, нема таква функција. Но, постои сличнофункција:
Ова е последното осмиформула. Со арктангенс. :)
Оваа:
И самиот Бог ни нареди да го прилагодиме нашиот интеграл на оваа формула! Но, има еден проблем: во табеларната формула претходно x 2Нема коефициент, но имаме девет. Сè уште не можеме директно да ја користиме формулата. Но, во нашиот случај проблемот е целосно решлив. Ајде прво да ја извадиме оваа девет од заградите, а потоа целосно да ја извадиме надвор од нашата дропка.)
И новата дропка е функцијата табела што веќе ни треба, број 8! Еве и 2 =4/9. Или a=2/3.
Сите. Земаме 1/9 од интегралниот знак и ја користиме осмата формула:
Ова е одговорот. Овој пример, со коефициентот напред x 2, намерно го избрав така. За да стане јасно што да се прави во такви случаи. :) Ако порано x 2нема коефициент, тогаш и таквите фракции ќе се интегрираат во умот.
На пример:
Еве а 2 = 5, така што самиот „а“ ќе биде „корен на пет“. Во принцип, разбирате.)
Сега малку да ја измениме нашата функција: ќе го запишеме именителот под коренот.) Сега ќе го земеме овој интеграл:
Пример 6
Именителот сега има корен. Секако, соодветната формула за интеграција исто така се промени, да.) Повторно влегуваме во табелата и бараме соодветна. Имаме корени во формулите на 5-та и 6-та група. Но, во шестата група има само разлика под корените. И ја имаме сумата. Значи, работиме на петта формула, со „долг“ логаритам:
Број А имаме пет. Заменете во формулата и добијте:
И тоа е се. Ова е одговорот. Да, да, толку е едноставно!)
Ако се појават сомнежи, секогаш можете (и треба) да го проверувате резултатот со обратна диференцијација. Да провериме? Што ако е некаков вид на зафркување?
Ние разликуваме (не обрнуваме внимание на модулот и го доживуваме како обични загради):
Сè е фер. :)
Патем, ако во интеграндот под коренот го смените знакот од плус во минус, тогаш формулата за интеграција ќе остане иста. Не е случајно што во табелата под коренот има плус/минус. :)
На пример:
Важно!Во случај на минус, на првоместото под коренот треба да биде точно x 2, и натаму второ – број. Ако спротивното е точно под коренот, тогаш соодветната табеларна формула ќе биде потесна друг!
Пример 7
Под коренот повторно минус, но x 2со петте ги сменивме местата. Слично е, но не и исто... За овој случај, нашата табела има и формула.) Формула број шест, сè уште не сме работеле со неа:
Но, сега - внимателно. Во претходниот пример користевме пет како број А . Овде пет ќе дејствуваат како број а 2!
Затоа, за правилно да ја примените формулата, не заборавајте да го извадите коренот од пет:
И сега примерот е решен во една акција. :)
Токму така! Само термините под коренот беа заменети, а резултатот од интеграцијата значително се промени! Логаритам и лаксин... Затоа ве молам не ги мешајте овие две формули!Иако функциите на интеградот се многу слични...
Бонус:
Во табеларните формули 7-8 има коефициенти пред логаритамот и арктангенсот 1/(2а)И 1/асоодветно. И во алармантна борбена ситуација, кога ги запишуваат овие формули, дури и глупаците зачинети со нивните студии често се збунуваат, каде е едноставно 1/а, И каде 1/(2а). Еве еден едноставен трик за паметење.
Во формулата бр.7
Именителот на интеграндот содржи разлика на квадрати x 2 – a 2. Која, според страшната училишна формула, се распаѓа како (x-a)(x+a). На двамножител Клучен збор - два. И овие двапри интегрирање, заградите одат во логаритам: со минус нагоре, со плус - надолу.) А коефициентот пред логаритам е исто така 1/( 2 А).
Но, во формулата бр.8
Именителот на дропката содржи збир на квадрати.Но збирот на квадрати x 2 +a 2не може да се разложи на поедноставни фактори. Затоа, што и да се каже, именителот ќе остане таков еденфактор. И коефициентот пред арктангенсот исто така ќе биде 1/а.
Сега ајде да интегрираме некоја тригонометрија за промена.)
Пример 8
Примерот е едноставен. Толку едноставно што луѓето, без ни да погледнат во масата, веднаш радосно го пишуваат одговорот и... стигнавме. :)
Ајде да ги следиме знаците! Ова е најчеста грешка при интегрирање на синусите/косинусите. Не мешајте со деривати!
Да, (грев x)" = cos xИ (cos x)’ = - грев x.
Но!
Со оглед на тоа што луѓето обично ги паметат дериватите во најмала рака, за да не се мешаат во знаците, техниката за паметење интеграли е многу едноставна:
Интеграл на синус/косинус =минус дериват на истиот синус/косинус.
На пример, од училиште знаеме дека дериватот на синус е еднаков на косинус:
(грев x)" = cos x.
Потоа за интегрален од истиот синус ќе биде вистина:
Тоа е се.) Исто е и со косинус.
Ајде сега да го поправиме нашиот пример:
Прелиминарни елементарни трансформации на интеграндот
До овој момент имаше наједноставни примери. За да почувствувате како функционира табелата и да не правите грешки при изборот на формула.)
Се разбира, направивме неколку едноставни трансформации - ги извадивме факторите и ги поделивме во термини. Но, одговорот сè уште лежеше на површината на овој или оној начин.) Меѓутоа... Ако пресметувањето на интегралите беше ограничено само на директната примена на табелата, тогаш ќе имаше многу бесплатни наоколу и животот ќе стане досаден.)
Сега да погледнеме поцврсти примери. Вид каде што се чини дека ништо не се решава директно. Но, вреди да се запамети само неколку формули или трансформации од основно училиште, а патот до одговорот станува едноставен и јасен. :)
Примена на формули за тригонометрија
Ајде да продолжиме да се забавуваме со тригонометријата.
Пример 9
Не постои таква функција во табелата дури и блиску. Но во училишна тригонометрија постои таков малку познат идентитет:
Сега од него ја изразуваме квадратната тангента која ни е потребна и ја вметнуваме под интегралот:
Зошто е направено ова? И тогаш, по таквата трансформација, нашиот интеграл ќе се сведе на два табеларни и ќе се земе предвид!
Видете:
Сега да ги анализираме нашите постапки. На прв поглед се чини дека сè е поедноставно од кога било. Но, да размислиме за ова. Ако бевме соочени со задача разликуваатистата функција, тогаш ние би точнознаеше точно што да прави - да се пријави формула извод на сложена функција:
Тоа е се. Едноставна и непроблематична технологија. Секогаш функционира и гарантирано води до успех.
Што е со интегралот? Но, тука моравме да претураме низ тригонометријата, да ископаме некоја нејасна формула со надеж дека некако ќе ни помогне да излеземе и да го намалиме интегралот на табеларен. И не е факт дека тоа би ни помогнало, воопшто не е факт... Затоа интеграцијата е покреативен процес отколку диференцијацијата. Уметност, дури би рекол. :) И ова не е најтешкиот пример. Тоа е само почеток!
Пример 10
Што инспирира? Табелата со интеграли е сеуште немоќна, да. Но, ако повторно погледнете во нашата ризница на тригонометриски формули, можете да ископате многу, многу корисно косинус формула со двоен агол:
Така, ја применуваме оваа формула за нашата интегражна функција. Во улогата „алфа“ имаме x/2.
Добиваме:
Ефектот е неверојатен, нели?
Овие два примери јасно покажуваат дека претходна трансформација на функција пред интеграцијаТоа е сосема прифатливо и понекогаш го олеснува животот енормно! И во интеграцијата оваа постапка (трансформација на интеграндот) е пооправдан ред на големина отколку во диференцијација. Ќе видите сè подоцна.)
Ајде да погледнеме уште неколку типични трансформации.
Формули за скратено множење, отварање загради, носење слични и метод на делење термин по член.
Вообичаените банални училишни трансформации. Но, понекогаш тие се единствените кои штедат, да.)
Пример 11
Ако го пресметувавме дериватот, тогаш немаше да има проблем: формулата за дериват на производ и - напред. Но стандардната формула за интеграленне постои од делото. И единствениот излез овде е да ги отвориме сите загради за под интегралот да добиеме полином. И некако ќе го интегрираме полиномот.) Но, мудро ќе ги отвориме и заградите: скратените формули за множење се моќни работи!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1) (x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
Сега броиме:
И тоа е сè.)
Пример 12
Повторно, стандардната формула за интеграл на дропкане постои. Меѓутоа, именителот на интеграндот содржи осамен x.Ова радикално ја менува ситуацијата.) Ајде да го поделиме броителот со именителот член по член, намалувајќи ја нашата страшна дропка на безопасен збир од табеларни функции на моќност:
Нема да коментирам конкретно за постапката за интегрирање на степените: тие веќе не се мали.)
Ајде да го интегрираме збирот на функциите на моќност. Според знакот.)
Тоа е сè.) Патем, ако именителот не беше X, туку, да речеме, x+1, како ова:
Овој трик со поделба по термин по мандат немаше да функционира така лесно. Тоа е токму поради присуството на корен во броителот и единица во именителот. Ќе морам да се ослободам од коренот. Но, таквите интеграли се многу покомплицирани. За нив - во други лекции.
Види! Треба само малку да се измени функцијата - пристапот кон нејзината интеграција веднаш се менува. Понекогаш драматично!) Не постои јасна стандардна шема. Секоја функција има свој пристап. Понекогаш дури и уникатен.)
Во некои случаи, конверзиите во фракции се уште понезгодни.
Пример 13
И еве, како можеш да го намалиш интегралот на множество табеларни? Овде можете паметно да избегнете со додавање и одземање на изразот x 2во броителот на дропката проследена со делење член по член. Многу паметен трик во интеграли! Гледајте го мастер класот! :)
И сега, ако ја замениме првобитната дропка со разлика од две дропи, тогаш нашиот интеграл се дели на две табеларни - функцијата на моќност што ни е веќе позната и арктангенсот (формула 8):
Па, што да кажеме? Леле!
Овој трик за собирање/одземање членови во броителот е многу популарен при интегрирањето на рационални дропки. Многу! Препорачувам да се има предвид.
Пример 14
Истата технологија владее и овде. Треба само да додадете/одземете еден за да го извлечете изразот во именителот од броителот:
Општо земено, рационалните дропки (со полиноми во броителот и именителот) се посебна, многу широка тема. Поентата е дека рационалните дропки се една од ретките класи на функции за кои постои универзален метод на интеграција постои. Начинот на распаѓање на едноставни фракции, заедно со . Но, овој метод е многу трудоинтензивен и обично се користи како тешка артилерија. Нему ќе му биде посветена повеќе од една лекција. Во меѓувреме, тренираме и се подобруваме во едноставните функции.
Ајде да ја сумираме денешната лекција.
Денеска детално испитавме како точно да ја користиме табелата, со сите нијанси, анализиравме многу примери (а не најбанални) и се запознавме со наједноставните методи за намалување на интегралите на табеларни. И вака ќе го правиме сега Секогаш. Без разлика каква ужасна функција е под интегралот, со помош на широк спектар на трансформации ќе се погрижиме, порано или подоцна, нашиот интеграл, на овој или оној начин, да се сведе на збир од табеларни.
Неколку практични совети.
1) Ако интегралот е дропка, чиј броител е збир на сили (корени), а именителот е осамен x моќ, тогаш користиме делење термин по член на броителот со именителот. Заменете ги корените со моќи од в фракциони показатели и работа според формулите 1-2.
2) Во тригонометриските конструкции, најпрво ги пробуваме основните формули на тригонометријата - двоен/троен агол,
Можеби ќе имате многу среќа. Или можеби не…
3) Онаму каде што е потребно (особено во полиноми и дропки), користимескратени формули за множење:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(а-б) 2 = a 2 -2ab+b 2
(а-б)(а+б) = а 2 -б 2
4) При интегрирање на дропки со полиноми, се обидуваме вештачки да го изолираме изразот(ите) во именителот во броителот. Многу често дропот се поедноставува, а интегралот се сведува на комбинација од табеларни.
Па, пријатели? Гледам дека почнуваш да сакаш интеграли. :) Тогаш ние самите стануваме подобри во решавањето на примерите.) Денешниот материјал е сосема доволен за успешно да се справиме со нив.
Што? Незнам, ? Да! Сè уште не сме го поминале ова.) Но, нема потреба директно да ги интегрираме овде. И нека ви помогне училишниот курс!)
Одговори (во неред):
За подобри резултати, силно препорачувам да купите збирка проблеми базирани на G.N. Mathan. Берман. Кул работи!
Тоа е се што имам за денес. Со среќа!
Сложени интеграли
Оваа статија ја завршува темата за неопределени интеграли и вклучува интеграли кои сметам дека се доста сложени. Лекцијата е создадена на повеќекратни барања на посетителите кои изразија желба да се анализираат потешки примери на страницата.
Се претпоставува дека читателот на овој текст е добро подготвен и знае како да ги примени основните техники на интеграција. Куклите и луѓето кои не се многу сигурни во интегралите треба да се однесуваат на првата лекција - Неопределен интеграл. Примери на решенија, каде што можете да ја совладате темата речиси од нула. Поискусните студенти можат да се запознаат со техниките и методите на интеграција кои сè уште не се сретнале во моите статии.
Кои интеграли ќе бидат разгледани?
Прво ќе разгледаме интеграли со корени, за чие решение сукцесивно користиме замена на променливаИ интеграција по делови. Тоа е, во еден пример две техники се комбинираат одеднаш. И уште повеќе.
Потоа ќе се запознаеме со интересни и оригинални метод за намалување на интегралот кон себе. Доста интеграли се решаваат на овој начин.
Третото издание на програмата ќе биде интеграли на сложени фракции, кои летаа покрај касата во претходните написи.
Четврто, ќе се анализираат дополнителни интеграли од тригонометриските функции. Конкретно, постојат методи кои избегнуваат универзална тригонометриска замена одземаат многу време.
(2) Во функцијата интегранд, броителот го делиме со именителот член по член.
(3) Го користиме својството на линеарност на неопределен интеграл. Во последниот интеграл веднаш стави ја функцијата под диференцијален знак.
(4) Ги земаме преостанатите интеграли. Забележете дека во логаритам можете да користите загради наместо модул, бидејќи .
(5) Вршиме обратна замена, изразувајќи „те“ од директната замена:
Мазохистичките студенти можат да го разликуваат одговорот и да го добијат оригиналниот интегранд, како што јас штотуку направив. Не, не, ја направив проверката во вистинска смисла =)
Како што можете да видите, за време на решението моравме да користиме повеќе од два методи на решение, така што за да се справите со таквите интеграли ви требаат сигурни вештини за интеграција и доста искуство.
Во пракса, се разбира, квадратниот корен е почест; еве три примери како сами да го решите:
Пример 2
Најдете го неопределен интеграл
Пример 3
Најдете го неопределен интеграл
Пример 4
Најдете го неопределен интеграл
Овие примери се од ист тип, така што целосното решение на крајот од статијата ќе биде само за Пример 2; Примерите 3-4 ги имаат истите одговори. Која замена да се користи на почетокот на одлуките, мислам дека е очигледна. Зошто избрав примери од ист тип? Често се наоѓаат во нивната улога. Почесто, можеби, само нешто слично 
.
Но, не секогаш, кога под функциите арктангенс, синус, косинус, експоненцијална и други функции има корен на линеарна функција, треба да користите неколку методи одеднаш. Во голем број случаи, можно е „лесно да се симнете“, односно веднаш по замената се добива едноставен интеграл, кој лесно може да се земе. Најлесната од задачите предложени погоре е примерот 4, во кој, по замената, се добива релативно едноставен интеграл.
Со намалување на интегралот кон себе
Духовит и убав метод. Ајде да ги погледнеме класиците на жанрот:
Пример 5
Најдете го неопределен интеграл
Под коренот е квадратен бином и обидот да се интегрира овој пример може да му задава главоболка на чајникот со часови. Таквиот интеграл се зема во делови и се сведува на себе. Во принцип, тоа не е тешко. Ако знаете како.
Да го означиме интегралот што се разгледува со латиница и да го започнеме решението: 
Ајде да се интегрираме по делови: 
(1) Подгответе ја функцијата интегранд за делење термин по член.
(2) Функцијата интегранд ја делиме по член. Можеби не му е јасно на сите, но ќе го опишам подетално:
(3) Го користиме својството на линеарност на неопределен интеграл.
(4) Земете го последниот интеграл („долг“ логаритам).
Сега да го погледнеме самиот почеток на решението: 
И до крај: 
Што се случи? Како резултат на нашите манипулации, интегралот се сведе на себе!
Да ги изедначиме почетокот и крајот: 
Движете се на левата страна со промена на знакот: 
И ги поместуваме двете на десната страна. Како резултат: 
Константата, строго кажано, требаше да се додаде порано, но ја додадов на крајот. Силно препорачувам да прочитате каква е строгоста овде:
Забелешка:
Построго, последната фаза на решението изгледа вака:
Така:
Константата може да се редизајнира со . Зошто може да се редизајнира? Затоа што тој сè уште го прифаќа било којвредности, и во оваа смисла нема разлика помеѓу константи и.
Како резултат:
Сличен трик со постојано ренотирање е широко користен во диференцијални равенки. И таму ќе бидам строг. И овде дозволувам таква слобода само за да не те збунам со непотребни работи и да го насочам вниманието токму на самиот метод на интеграција.
Пример 6
Најдете го неопределен интеграл
Друг типичен интеграл за независно решение. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата. Ќе има разлика со одговорот во претходниот пример!
Ако под квадратниот корен има квадрат трином, тогаш решението во секој случај се сведува на два анализирани примери.
На пример, разгледајте го интегралот 
. Сè што треба да направите е прво изберете целосен квадрат:
.
Следно, се врши линеарна замена, која прави „без никакви последици“:
, што резултира со интегрален . Нешто познато, нели?
Или овој пример, со квадратен бином:
Изберете целосен квадрат:
И, по линеарната замена, го добиваме интегралот, кој исто така се решава со помош на веќе дискутираниот алгоритам.
Ајде да погледнеме уште два типични примери за тоа како да се намали интегралот на себе:
– интеграл на експоненцијалот помножен со синус;
– интеграл на експоненцијалот помножен со косинус.
Во наведените интеграли по делови ќе треба да се интегрирате двапати:
Пример 7
Најдете го неопределен интеграл
Интеграндот е експоненцијал помножен со синус.
Ние се интегрираме по делови двапати и го намалуваме интегралот на себе: 
Како резултат на двојната интеграција по делови, интегралот се сведе на себе. Ги изедначуваме почетокот и крајот на решението:
Го поместуваме на левата страна со промена на знакот и го изразуваме нашиот интеграл: 
Подготвени. Во исто време, препорачливо е да се чешла десната страна, т.е. извадете го експонентот од заградите и поставете ги синусите и косинусите во загради по „убав“ редослед.
Сега да се вратиме на почетокот на примерот, или поточно, на интеграцијата по делови: 
Го назначивме експонентот како. Се поставува прашањето: дали е експонентот што секогаш треба да се означува со ? Не е потребно. Всушност, во разгледуваниот интеграл фундаментално не е важно, што мислиме со , можевме да одиме на друг начин: 
Зошто е ова можно? Бидејќи експоненцијалното се претвора во себе (и за време на диференцијација и за интеграција), синусот и косинусот меѓусебно се претвораат еден во друг (повторно, и за време на диференцијацијата и за време на интеграцијата).
Односно, можеме да означиме и тригонометриска функција. Но, во разгледаниот пример, ова е помалку рационално, бидејќи ќе се појават дропки. Ако сакате, можете да се обидете да го решите овој пример користејќи го вториот метод; одговорите мора да се совпаѓаат.
Пример 8
Најдете го неопределен интеграл
Ова е пример за да го решите сами. Пред да одлучите, размислете што е поповолно во овој случај да се означи како , експоненцијална или тригонометриска функција? Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.
И, се разбира, не заборавајте дека повеќето од одговорите во оваа лекција се прилично лесни за проверка со диференцијација!
Разгледаните примери не беа најкомплексни. Во пракса, интегралите се почести онаму каде што константата е и во експонентот и во аргументот на тригонометриската функција, на пример: . Многу луѓе ќе се збунат во таков интеграл, а јас често се збунувам и самата. Факт е дека постои голема веројатност да се појават дропки во растворот и многу е лесно да се изгуби нешто од невнимание. Покрај тоа, постои голема веројатност за грешка во знаците; забележете дека експонентот има знак минус, а тоа воведува дополнителни тешкотии.
Во последната фаза, резултатот е често вака:
Дури и на крајот од решението, треба да бидете исклучително внимателни и правилно да ги разберете дропките: 
Интегрирање на сложени фракции
Полека се приближуваме до екваторот на часот и почнуваме да разгледуваме интеграли на дропки. Повторно, не сите од нив се супер сложени, само поради една или друга причина примерите беа малку „надвор од темата“ во други написи.
Продолжување на темата на корените
Пример 9
Најдете го неопределен интеграл
Во именителот под коренот има квадратен трином плус „додаток“ во форма на „Х“ надвор од коренот. Интеграл од овој тип може да се реши со користење на стандардна замена.
Ние одлучуваме: 
Замената овде е едноставна: 
Да го погледнеме животот по замената: 
(1) По замената, термините под коренот ги намалуваме на заеднички именител.
(2) Го вадиме од под коренот.
(3) Бројачот и именителот се намалуваат за . Во исто време, под коренот, ги преуредив термините по пригоден редослед. Со одредено искуство, чекорите (1), (2) може да се прескокнат со усно извршување на коментираните дејства.
(4) Добиениот интеграл, како што се сеќавате од лекцијата Интегрирање на некои дропки, се одлучува метод на целосна квадратна екстракција. Изберете целосен квадрат.
(5) Со интеграција добиваме обичен „долг“ логаритам.
(6) Вршиме обратна замена. Ако првично , тогаш назад: .
(7) Конечното дејство е насочено кон исправување на резултатот: под коренот повторно ги доведуваме поимите до заеднички именител и ги вадиме од под коренот.
Пример 10
Најдете го неопределен интеграл 
Ова е пример за да го решите сами. Тука се додава константа на осамениот „Х“, а замената е скоро иста: 
Единственото нешто што треба дополнително да го направите е да го изразите „x“ од извршената замена: 
Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.
Понекогаш во таков интеграл може да има квадратен бином под коренот, тоа не го менува методот на решение, ќе биде уште поедноставен. Почувствувајте ја разликата:
Пример 11
Најдете го неопределен интеграл
Пример 12
Најдете го неопределен интеграл
Кратки решенија и одговори на крајот од часот. Треба да се забележи дека примерот 11 е точно биномен интеграл, чиј метод на решение беше дискутиран на час Интеграли на ирационални функции.
Интеграл на неразградлив полином од 2 степен до моќта
(полином во именителот)
Поредок тип на интеграл, но сепак се среќава во практични примери.
Пример 13
Најдете го неопределен интеграл
Но, да се вратиме на примерот со среќен број 13 (искрено, не погодив правилно). Овој интеграл е исто така еден од оние кои можат да бидат прилично фрустрирачки ако не знаете како да го решите.
Решението започнува со вештачка трансформација: 
Мислам дека сите веќе разбираат како да се подели броителот со именителот член по член.
Добиениот интеграл се зема во делови: 
За интеграл од формата ( – природен број) изведуваме повторливиформула за намалување:
, Каде 
– интеграл од степен понизок.
Дозволете ни да ја потврдиме валидноста на оваа формула за решениот интеграл.
Во овој случај: , , ја користиме формулата: 
Како што можете да видите, одговорите се исти.
Пример 14
Најдете го неопределен интеграл
Ова е пример за да го решите сами. Решението на примерокот ја користи горната формула двапати последователно.
Ако под степенот е неделивиквадратен трином, тогаш решението се сведува на бином со изолирање на совршениот квадрат, на пример:
Што ако има дополнителен полином во броителот? Во овој случај се користи методот на неопределени коефициенти, а функцијата интегранд се проширува во збир од дропки. Но, во мојата практика има таков пример никогаш не се сретнале, па го пропуштив овој случај во статијата Интеграли на дробно-рационални функции, сега ќе го прескокнам. Ако сè уште наидувате на таков интеграл, погледнете го учебникот - таму сè е едноставно. Мислам дека не е препорачливо да се вклучи материјал (дури и едноставни), веројатноста да се сретне со која се стреми кон нула.
Интегрирање на сложени тригонометриски функции
Придавката „комплекс“ за повеќето примери повторно е главно условна. Да почнеме со тангенти и котангенти со високи сили. Од гледна точка на употребените методи за решавање, тангентата и котангентата се речиси иста работа, па затоа ќе зборувам повеќе за тангентата, што значи дека прикажаниот метод за решавање на интегралот важи и за котангента.
Во горната лекција ја разгледавме универзална тригонометриска заменаза решавање на одреден тип интеграли на тригонометриски функции. Недостаток на универзалната тригонометриска замена е што неговата употреба често резултира со незгодни интеграли со тешки пресметки. И во некои случаи, универзалната тригонометриска замена може да се избегне!
Да разгледаме уште еден канонски пример, интегралот на еден поделен со синус:
Пример 17
Најдете го неопределен интеграл
Овде можете да користите универзална тригонометриска замена и да го добиете одговорот, но постои порационален начин. Ќе го дадам целосното решение со коментари за секој чекор:
(1) Ја користиме тригонометриската формула за синус на двоен агол.
(2) Вршиме вештачка трансформација: Се дели во именителот и се множи со .
(3) Користејќи ја добро познатата формула во именителот, ја трансформираме дропката во тангента.
(4) Функцијата ја ставаме под диференцијален знак.
(5) Земете го интегралот.
Неколку едноставни примери за да ги решите сами:
Пример 18
Најдете го неопределен интеграл
Забелешка: Првиот чекор треба да биде да се користи формулата за намалување 
и внимателно спроведете дејства слични на претходниот пример.
Пример 19
Најдете го неопределен интеграл
Па, ова е многу едноставен пример.
Комплетни решенија и одговори на крајот од часот.
Мислам дека сега никој нема да има проблеми со интегралите: 
и така натаму.
Која е идејата на методот? Идејата е да се користат трансформации и тригонометриски формули за да се организираат само тангентите и дериватот на тангентите во интеграндот. Тоа е, ние зборуваме за замена: 
. Во Примерите 17-19 ние всушност ја користевме оваа замена, но интегралите беа толку едноставни што успеавме со еквивалентно дејство - подведување на функцијата под диференцијалниот знак.
Слично размислување, како што веќе спомнав, може да се спроведе и за котангенсот.
Исто така, постои формален предуслов за примена на горната замена:
Збирот на силите на косинус и синус е негативен цел број ПАРЕН број, На пример:
за интегралот – негативен цел број ПАРЕН број.
! Забелешка : ако интеграндот содржи САМО синус или САМО косинус, тогаш интегралот се зема и за негативен непарен степен (наједноставните случаи се во Примерите бр. 17, 18).
Ајде да погледнеме неколку позначајни задачи засновани на ова правило:
Пример 20
Најдете го неопределен интеграл
Збирот на силите на синус и косинус: 2 – 6 = –4 е негативен цел број ПАРН број, што значи дека интегралот може да се сведе на тангенти и неговиот извод: 
(1) Да го трансформираме именителот.
(2) Користејќи ја добро познатата формула, добиваме .
(3) Да го трансформираме именителот.
(4) Ја користиме формулата 
.
(5) Функцијата ја ставаме под диференцијален знак.
(6) Вршиме замена. Поискусните студенти можеби нема да ја извршат замената, но сепак е подобро да се замени тангентата со една буква - постои помал ризик да се збуните.
Пример 21
Најдете го неопределен интеграл
Ова е пример за да го решите сами.
Застанете таму, првенствените рунди ќе започнат =)
Често интеграндот содржи „оџак“:
Пример 22
Најдете го неопределен интеграл 
Овој интеграл првично содржи тангента, која веднаш води до веќе позната мисла:
Вештачката трансформација ќе ја оставам на самиот почеток и останатите чекори без коментар, бидејќи сè е веќе дискутирано погоре.
Неколку креативни примери за ваше сопствено решение:
Пример 23
Најдете го неопределен интеграл 
Пример 24
Најдете го неопределен интеграл 
Да, во нив, се разбира, можете да ги намалите силите на синус и косинус и да користите универзална тригонометриска замена, но решението ќе биде многу поефикасно и пократко ако се спроведе преку тангенти. Целосно решение и одговори на крајот од лекцијата
Се покажува дека интегралот на производот на функциите на моќност на sin x и cos x може да се сведе на интеграл на диференцијален бином. За цели броеви на експоненти, таквите интеграли лесно се пресметуваат по делови или со користење на формули за намалување. Дадена е изведбата на формулите за редукција. Даден е пример за пресметување на таков интеграл.
содржинаИсто така види:
Табела на неопределени интеграли
Намалување на интеграл на диференцијален бином
Да ги разгледаме интегралите на формата:
Ваквите интеграли се сведуваат на интегралот на диференцијалниот бином на една од замените t = грев хили t = cos x.
Ајде да го покажеме ова со извршување на замената
t = грев х.
Потоа
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - грев 2 x = 1 - t 2;
Ако m и n се рационални броеви, тогаш треба да се користат методи на диференцијална биномна интеграција.
Интеграција со цели броеви m и n
Следно, разгледајте го случајот кога m и n се цели броеви (не мора да се позитивни). Во овој случај, интеграндот е рационална функција на грев хИ cos x. Затоа, можете да ги примените правилата претставени во делот „Интегрирање на тригонометриски рационални функции“.
Сепак, земајќи ги предвид специфичните карактеристики, полесно е да се користат формули за намалување, кои лесно се добиваат со интеграција по делови.
Формули за намалување
Формули за редукција за интегралот
имаат форма:
;
;
;
.
Нема потреба да ги меморирате, бидејќи лесно се добиваат со интегрирање по делови.
Формули за доказ за намалување
Ајде да се интегрираме по делови.
Помножувајќи се со m + n, ја добиваме првата формула:
Слично ја добиваме втората формула.
Ајде да се интегрираме по делови.
Помножувајќи се со m + n, ја добиваме втората формула:
Трета формула.
Ајде да се интегрираме по делови.
Множење со n + 1
, ја добиваме третата формула:
Слично, за четвртата формула.
Ајде да се интегрираме по делови.
Множење со m + 1
, ја добиваме четвртата формула:
Пример
Да го пресметаме интегралот:
Ајде да конвертираме:
Еве м = 10, n = - 4.
Ја применуваме формулата за намалување:
Кога м = 10, n = - 4:
Кога м = 8, n = - 2:
Ја применуваме формулата за намалување:
Кога м = 6, n = - 0:
Кога м = 4, n = - 0:
Кога м = 2, n = - 0:
Го пресметуваме преостанатиот интеграл:
Ги собираме средните резултати во една формула.
Референци:
Н.М. Гинтер, Р.О. Кузмин, Збирка задачи по виша математика, „Лан“, 2003 г.
На оваа страница ќе најдете:
1. Всушност, табелата на антидеривати - може да се преземе во PDF формат и да се испечати;
2. Видео за тоа како да се користи оваа табела;
3. Еден куп примери за пресметување на антидериватив од разни учебници и тестови.
Во самото видео ќе анализираме многу проблеми каде што треба да пресметате антидеривати на функции, често доста сложени, но најважно од се, тие не се функции на моќност. Сите функции сумирани во табелата предложена погоре мора да бидат познати на памет, како деривати. Без нив, понатамошното проучување на интегралите и нивната примена за решавање на практични проблеми е невозможно.
Денес продолжуваме да ги проучуваме примитивците и да преминеме на малку покомплексна тема. Ако минатиот пат ги гледавме антидериватите само на функциите на моќност и малку посложените конструкции, денес ќе ја разгледаме тригонометријата и многу повеќе.
Како што реков во последната лекција, антидериватите, за разлика од дериватите, никогаш не се решаваат „веднаш“ користејќи какви било стандардни правила. Згора на тоа, лошата вест е што, за разлика од дериватот, антидеривативот може воопшто да не се разгледува. Ако напишеме сосема случајна функција и се обидеме да го најдеме нејзиниот извод, тогаш со многу голема веројатност ќе успееме, но антидериватот речиси никогаш нема да се пресмета во овој случај. Но, има добра вест: постои прилично голема класа на функции наречени елементарни функции, чии антидеривати се многу лесно да се пресметаат. И сите други посложени структури кои се даваат на сите видови тестови, независни тестови и испити, всушност, се составени од овие елементарни функции преку собирање, одземање и други едноставни дејства. Прототиповите на таквите функции одамна се пресметуваат и составуваат во посебни табели. Токму со овие функции и табели ќе работиме денес.
Но, ќе започнеме, како и секогаш, со повторување: да се потсетиме што е антидериват, зошто ги има бескрајно многу и како да го одредиме нивниот општ изглед. За да го направам ова, зедов два едноставни проблеми.
Решавање на лесни примери
Пример #1
Веднаш да забележиме дека $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ и воопшто присуството на $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ веднаш ни навестува дека потребниот антидериват на функцијата е поврзан со тригонометријата. И, навистина, ако ја погледнеме табелата, ќе откриеме дека $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ не е ништо повеќе од $\text(arctg)x$. Па ајде да го запишеме:
За да најдете, треба да го запишете следново:
\[\frac(\pi)(6)=\текст(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Пример бр. 2
Овде зборуваме и за тригонометриски функции. Ако ја погледнеме табелата, тогаш, навистина, ова се случува:
Меѓу целиот сет на антидеривати треба да го најдеме оној што минува низ наведената точка:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Ајде конечно да го запишеме:
Тоа е толку едноставно. Единствениот проблем е што за да се пресметаат антидеривати на едноставни функции, треба да се научи табела на антидеривати. Сепак, откако ја проучував табелата за деривати за вас, мислам дека ова нема да биде проблем.
Решавање проблеми што содржат експоненцијална функција
За почеток, да ги напишеме следните формули:
\[((е)^(x))\до ((е)^(х))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\n a)\]
Ајде да видиме како сето ова функционира во пракса.
Пример #1
Ако ја погледнеме содржината на заградите, ќе забележиме дека во табелата со антидеривати нема таков израз $((e)^(x))$ да биде во квадрат, па затоа овој квадрат мора да се прошири. За да го направите ова, ги користиме скратените формули за множење:
Ајде да го најдеме антидериватот за секој од поимите:
\[((e)^(2x))=((\лево(((е)^(2)) \десно))^(x))\to \frac(((\лево(((е)^ (2)) \десно))^(x)))(\ln ((е)^(2)))=\frac(((е)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\лево(((е)^(-2)) \десно))^(x))\to \frac(((\лево((е )^(-2)) \десно))^(x)))(\ln ((е)^(-2)))=\frac(1)(-2((е)^(2x))) \]
Сега да ги собереме сите поими во еден израз и да го добиеме општиот антидериват:
Пример бр. 2
Овој пат степенот е поголем, па скратената формула за множење ќе биде доста сложена. Значи, да ги отвориме заградите:
Сега да се обидеме да го земеме антидериватот на нашата формула од оваа конструкција:
Како што можете да видите, нема ништо комплицирано или натприродно во антидериватите на експоненцијалната функција. Сите тие се пресметуваат преку табели, но внимателните студенти веројатно ќе забележат дека антидеривативот $((e)^(2x))$ е многу поблиску до едноставно $((e)^(x))$ отколку до $((a )^(x))$. Значи, можеби постои некое поспецијално правило кое дозволува, знаејќи го антидеривативот $((e)^(x))$, да се најде $((e)^(2x))$? Да, такво правило постои. И, згора на тоа, тоа е составен дел од работата со табелата на антидеривати. Сега ќе го анализираме користејќи ги истите изрази со кои штотуку работевме како пример.
Правила за работа со табелата на антидеривати
Ајде повторно да ја напишеме нашата функција:
Во претходниот случај, ја користевме следнава формула за решавање:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\име на оператор(lna))\]
Но, сега да го направиме тоа малку поинаку: да се потсетиме на која основа $((e)^(x))\до ((e)^(x))$. Како што веќе реков, бидејќи дериватот $((e)^(x))$ не е ништо повеќе од $((e)^(x))$, затоа неговиот антидериват ќе биде еднаков на истиот $((e) ^ (x)) $. Но, проблемот е што имаме $((e)^(2x))$ и $((e)^(-2x))$. Сега да се обидеме да го најдеме изводот на $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \десно))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \десно))^( \prime ))=2\cточка ((е)^(2x))\]
Ајде да ја преработиме нашата конструкција повторно:
\[((\left(((e)^(2x)) \десно))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \десно))^(\prime ))\]
Ова значи дека кога ќе го најдеме антидериватот $((e)^(2x))$, го добиваме следново:
\[((е)^(2x))\до \frac(((е)^(2x)))(2)\]
Како што можете да видите, го добивме истиот резултат како и претходно, но не ја искористивме формулата за да најдеме $((a)^(x))$. Сега ова може да изгледа глупаво: зошто да се комплицираат пресметките кога постои стандардна формула? Меѓутоа, во малку посложени изрази ќе откриете дека оваа техника е многу ефикасна, т.е. користење на деривати за пронаоѓање на антидеривати.
Како загревање, ајде да го најдеме антидериватот на $((e)^(2x))$ на сличен начин:
\[((\left(((e)^(-2x)) \десно))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \десно)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \десно))^(\prime ))\]
При пресметувањето, нашата конструкција ќе биде напишана на следниов начин:
\[((е)^(-2x))\до -\frac(((е)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\до -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Го добивме потполно истиот резултат, но тргнавме по друг пат. Токму оваа патека, која сега ни изгледа малку посложена, во иднина ќе испадне поефикасна за пресметување на посложени антидеривати и користење на табели.
Забелешка! Ова е многу важна точка: антидериватите, како и дериватите, може да се бројат на многу различни начини. Меѓутоа, ако сите пресметки и пресметки се еднакви, тогаш одговорот ќе биде ист. Штотуку го видовме ова со примерот на $((e)^(-2x))$ - од една страна, го пресметавме овој антидериват „точно“, користејќи ја дефиницијата и пресметувајќи ја со помош на трансформации, од друга страна, се сетивме дека $ ((e)^(-2x))$ може да се претстави како $((\left(((e)^(-2)) \десно))^(x))$ и дури тогаш користевме антидериватот за функцијата $( (a)^(x))$. Сепак, по сите трансформации резултатот беше ист, како што се очекуваше.
И сега кога го разбираме сето ова, време е да се префрлиме на нешто позначајно. Сега ќе анализираме две едноставни конструкции, но техниката што ќе се користи при нивно решавање е помоќна и покорисна алатка отколку едноставно „трчање“ помеѓу соседните антидеривати од табелата.
Решавање проблеми: наоѓање на антидериват на функција
Пример #1
Ајде да ја разложиме количината што е во броителите на три одделни дропки:
Ова е прилично природна и разбирлива транзиција - повеќето студенти немаат проблеми со тоа. Ајде да го преработиме нашиот израз на следниов начин:
Сега да се потсетиме на оваа формула:
Во нашиот случај ќе го добиеме следново:
За да се ослободите од сите овие трикатни фракции, предлагам да го направите следново:
Пример бр. 2
За разлика од претходната дропка, именителот не е производ, туку сума. Во овој случај, повеќе не можеме да ја делиме нашата дропка на збир од неколку едноставни дропки, но некако мора да се обидеме да се увериме дека броителот го содржи приближно истиот израз како именителот. Во овој случај, тоа е прилично едноставно да се направи:
Оваа нотација, која на математички јазик се нарекува „додавање нула“, ќе ни овозможи повторно да ја поделиме дропот на два дела:
Сега да го најдеме она што го баравме:
Тоа се сите пресметки. И покрај очигледната поголема сложеност отколку во претходниот проблем, износот на пресметките се покажа дека е уште помал.
Нијанси на решението
И тука лежи главната тешкотија за работа со табеларни антидеривати, ова е особено забележливо во втората задача. Факт е дека за да избереме некои елементи кои лесно се пресметуваат преку табелата, треба да знаеме што точно бараме, а токму во потрагата по овие елементи се состои целата пресметка на антидеривати.
Со други зборови, не е доволно само да ја запаметите табелата со антидеривати - треба да можете да видите нешто што сè уште не постои, туку што мислел авторот и составувачот на овој проблем. Затоа многу математичари, наставници и професори постојано се расправаат: „Што е земање антидеривати или интеграција - дали е тоа само алатка или е вистинска уметност? Впрочем, според мое лично мислење, интеграцијата воопшто не е уметност - нема ништо возвишено во неа, тоа е само пракса и повеќе вежбање. А за вежбање, да решиме три посериозни примери.
Ние тренираме за интеграција во пракса
Задача бр. 1
Ајде да ги напишеме следните формули:
\[((x)^(n))\до \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\до \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Да го напишеме следново:
Проблем бр. 2
Ајде да го преработиме на следниов начин:
Вкупниот антидериват ќе биде еднаков на:
Проблем бр. 3
Тешкотијата на оваа задача е што, за разлика од претходните функции погоре, воопшто не постои променлива $x$, т.е. не ни е јасно што да додадеме или одземеме за да добиеме барем нешто слично на она што е долу. Меѓутоа, всушност, овој израз се смета за уште поедноставен од кој било од претходните изрази, бидејќи оваа функција може да се препише на следниов начин:
Сега може да прашате: зошто овие функции се еднакви? Ајде да провериме:
Ајде да го преработиме повторно:
Ајде малку да го трансформираме нашиот израз:
И кога ќе им го објаснам сето ова на моите студенти, скоро секогаш се појавува истиот проблем: со првата функција сè е повеќе или помалку јасно, со втората исто така можете да сфатите со среќа или вежбање, но каква алтернативна свест имате треба да има за да се реши третиот пример? Всушност, не плашете се. Техниката што ја користевме при пресметувањето на последниот антидериват се нарекува „разложување на функција на наједноставна“ и ова е многу сериозна техника и ќе и биде посветена посебна видео лекција.
Во меѓувреме, предлагам да се вратиме на она што штотуку го проучувавме, имено, на експоненцијалните функции и донекаде да ги комплицираме проблемите со нивната содржина.
Покомплексни проблеми за решавање на антидеривативни експоненцијални функции
Задача бр. 1
Да го забележиме следново:
\[((2)^(x))\cточка ((5)^(x))=((\лево(2\cточка 5 \десно))^(x))=((10)^(x) )\]
За да го пронајдете антидериватот на овој израз, едноставно користете ја стандардната формула - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\n a)$.
Во нашиот случај, антидериватот ќе биде вака:
Се разбира, во споредба со дизајнот што штотуку го решивме, овој изгледа поедноставно.
Проблем бр. 2
Повторно, лесно е да се види дека оваа функција лесно може да се подели на два посебни члена - две посебни фракции. Ајде да препишеме:
Останува да се најде антидериватот на секој од овие термини користејќи ја формулата опишана погоре:
И покрај очигледната поголема сложеност на експоненцијалните функции во споредба со функциите на моќност, вкупниот обем на пресметки и пресметки се покажа како многу поедноставен.
Се разбира, за упатените студенти, она што штотуку го дискутиравме (особено наспроти позадината на она што претходно го дискутиравме) може да изгледа како елементарен израз. Меѓутоа, при изборот на овие два проблема за денешната видео лекција, не си поставив цел да ви кажам уште една сложена и софистицирана техника - сè што сакав да ви покажам е дека не треба да се плашите да користите стандардни алгебарски техники за да ги трансформирате оригиналните функции. .
Користење на „тајна“ техника
Како заклучок, би сакал да погледнам уште една интересна техника, која, од една страна, го надминува она што главно го дискутиравме денес, но, од друга страна, прво, воопшто не е комплицирано, т.е. Дури и почетниците можат да го совладаат, и, второ, доста често се среќава во сите видови тестови и самостојна работа, т.е. знаењето за тоа ќе биде многу корисно покрај познавањето на табелата на антидеривати.
Задача бр. 1
Очигледно, имаме нешто многу слично на функцијата за напојување. Што треба да правиме во овој случај? Ајде да размислиме: $x-5$ не се разликува многу од $x$ - тие само додадоа -5 $. Ајде да го напишеме вака:
\[((x)^(4))\до \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\лево(\frac(((x)^(5)))(5) \десно))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Ајде да се обидеме да го најдеме изводот на $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\лево(((\лево(x-5 \десно))^(5)) \десно))^(\prime ))=5\cdot ((\лево(x-5 \десно)) ^(4))\cdot ((\лево(x-5 \десно))^(\prime ))=5\cdot ((\лево(x-5 \десно))^(4))\]
Ова имплицира:
\[((\лево(x-5 \десно))^(4))=((\лево(\frac((\лево(x-5 \десно))^(5)))(5) \ десно)) ^ (\prime ))\]
Нема таква вредност во табелата, така што сега самите ја изведовме оваа формула користејќи ја стандардната антидеривативна формула за функција на моќност. Ајде да го напишеме одговорот вака:
Проблем бр. 2
Многу студенти кои го гледаат првото решение можеби мислат дека сè е многу едноставно: само заменете го $x$ во функцијата моќност со линеарен израз и сè ќе си дојде на свое место. За жал, сè не е толку едноставно, а сега ќе го видиме ова.
По аналогија со првиот израз, го пишуваме следново:
\[((x)^(9))\до \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\лево((\лево(4-3x \десно))^(10)) \десно))^(\prime ))=10\cdot ((\лево(4-3x \десно)) ^(9))\cdot ((\лево(4-3x \десно))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\лево(4-3x \десно))^(9)\cdot \left(-3 \десно)=-30\cdot ((\лево(4-3x \десно)) ^ (9))\]
Враќајќи се на нашиот дериват, можеме да напишеме:
\[((\лево((\лево(4-3x \десно))^(10)) \десно))^(\prime ))=-30\cdot ((\лево(4-3x \десно) )^(9))\]
\[((\лево(4-3x \десно))^(9))=(\лево(\frac((\лево(4-3x \десно))^(10)))(-30) \десно))^(\prime ))\]
Ова веднаш следува:
Нијанси на решението
Ве молиме имајте предвид: ако ништо суштински не се промени минатиот пат, тогаш во вториот случај, наместо -10 $, се појави -30 $. Која е разликата помеѓу -10$ и -30$? Очигледно, со фактор од -3 $. Прашање: од каде потекнува? Ако погледнете внимателно, можете да видите дека е земен како резултат на пресметување на изводот на сложена функција - коефициентот што изнесуваше $x$ се појавува во антидериватот подолу. Ова е многу важно правило, за кое првично не планирав воопшто да разговарам на денешната видео лекција, но без него презентацијата на табеларните антидеривати би била нецелосна.
Па ајде да го направиме тоа повторно. Нека биде нашата главна функција на моќ:
\[((x)^(n))\до \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Сега, наместо $x$, да го замениме изразот $kx+b$. Што ќе се случи тогаш? Треба да го најдеме следново:
\[((\left(kx+b \десно))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \десно))^(n+1)))(\left(n+1 \десно)\cdot k)\]
На која основа го тврдиме ова? Многу едноставно. Ајде да го најдеме изводот на конструкцијата напишана погоре:
\[((\лево(\frac((\лево(kx+b \десно))^(n+1)))(\лево(n+1 \десно)\cdot k) \десно))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \десно)\cdot k)\cdot \left(n+1 \десно)\cdot ((\left(kx+b \десно))^ (n))\cdot k=((\лево(kx+b \десно))^(n))\]
Ова е истиот израз што првично постоел. Така, оваа формула е исто така точна и може да се користи за дополнување на табелата со антидеривати или подобро е едноставно да се запамети целата табела.
Заклучоци од техниката „тајна:
- Двете функции кои штотуку ги погледнавме, всушност, може да се сведат на антидериватите наведени во табелата со проширување на степените, но ако можеме повеќе или помалку некако да се справиме со четвртиот степен, тогаш не би го направил деветтиот степен на сите се осмелија да откријат.
- Кога би ги прошириле степените, би завршиле со таков обем на пресметки што за едноставна задача би ни одзело несоодветно големо време.
- Затоа ваквите проблеми, кои содржат линеарни изрази, не треба да се решаваат „главно“. Штом наидете на антидериват кој се разликува од оној во табелата само по присуството на изразот $kx+b$ внатре, веднаш запомнете ја формулата напишана погоре, заменете ја во вашиот антидериват на табелата и сè ќе испадне многу побрзо и полесно.
Секако, поради сложеноста и сериозноста на оваа техника, ќе се навраќаме на нејзиното разгледување многу пати во идните видео лекции, но тоа е сè за денес. Се надевам дека оваа лекција навистина ќе им помогне на оние студенти кои сакаат да ги разберат антидериватите и интеграцијата.