1. Дробна линеарна функција и нејзиниот график
Функција од формата y = P(x) / Q(x), каде што P(x) и Q(x) се полиноми, се нарекува фракциона рационална функција.
Веројатно веќе сте запознаени со концептот на рационални броеви. Исто така рационални функциисе функции кои можат да се претстават како количник на два полиноми.
Ако фракционата рационална функција е количник на две линеарни функции - полиноми од прв степен, т.е. функција на формата
y = (ax + b) / (cx + d), тогаш се нарекува фракционо линеарно.
Забележете дека во функцијата y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (во спротивно функцијата станува линеарна y = ax/d + b/d) и дека a/c ≠ b/d (инаку функцијата е константна). Линеарната фракциона функција е дефинирана за сите реални броеви освен x = -d/c. Графиконите на дробните линеарни функции не се разликуваат по форма од графикот y = 1/x што го знаете. Се повикува крива која е график на функцијата y = 1/x хипербола. Со неограничено зголемување на x во апсолутна вредност, функцијата y = 1/x се намалува неограничено во апсолутна вредност и двете гранки на графикот се приближуваат до апсцисата: десната се приближува одозгора, а левата одоздола. Линиите до кои се приближуваат гранките на хиперболата се нарекуваат нејзини асимптоти.
Пример 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Решение.
Да го избереме целиот дел: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Сега е лесно да се види дека графикот на оваа функција е добиен од графикот на функцијата y = 1/x со следните трансформации: поместување за 3 единични сегменти надесно, растегнување по оската Oy 7 пати и поместување за 2 единечни сегменти нагоре.
Секоја дропка y = (ax + b) / (cx + d) може да се напише на сличен начин, истакнувајќи го „целобројниот дел“. Следствено, графиконите на сите дробни линеарни функции се хиперболи, поместени на различни начини по координатните оски и испружени по оската Oy.
За да се конструира график на која било произволна фракционо-линеарна функција, воопшто не е неопходно да се трансформира дропот што ја дефинира оваа функција. Бидејќи знаеме дека графикот е хипербола, доволно ќе биде да ги најдеме правите линии до кои се приближуваат неговите гранки - асимптоти на хиперболата x = -d/c и y = a/c.
Пример 2.
Најдете ги асимптотите на графикот на функцијата y = (3x + 5)/(2x + 2).
Решение.
Функцијата не е дефинирана, при x = -1. Тоа значи дека правата линија x = -1 служи како вертикална асимптота. За да ја пронајдеме хоризонталната асимптота, ајде да дознаеме до какви вредности се приближуваат функцијата y(x) кога аргументот x се зголемува во апсолутна вредност.
За да го направите ова, поделете го броителот и именителот на дропката со x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Како x → ∞ дропот ќе се стреми кон 3/2. Ова значи дека хоризонталната асимптота е права линија y = 3/2.
Пример 3.
Графиконирајте ја функцијата y = (2x + 1)/(x + 1).
Решение.
Да го избереме „целиот дел“ од дропката:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Сега е лесно да се види дека графикот на оваа функција е добиен од графикот на функцијата y = 1/x со следните трансформации: поместување за 1 единица налево, симетричен приказ во однос на Ox и поместување за 2 единици отсечки нагоре по оската Oy.
Домен D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Опсег на вредности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Пресечни точки со оски: c Oy: (0; 1); в Вол: (-1/2; 0). Функцијата се зголемува на секој интервал од доменот на дефиниција.
Одговор: Слика 1.
2. Дробна рационална функција
Размислете за фракциона рационална функција од формата y = P(x) / Q(x), каде што P(x) и Q(x) се полиноми со степен повисок од првиот.
Примери за такви рационални функции:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ако функцијата y = P(x) / Q(x) претставува количник на два полиноми со степен повисок од првиот, тогаш нејзиниот график, по правило, ќе биде покомплексен и понекогаш може да биде тешко да се конструира точно , со сите детали. Сепак, често е доволно да се користат техники слични на оние што веќе ги воведовме погоре.
Дропката нека е правилна дропка (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Очигледно, графикот на фракционата рационална функција може да се добие како збир на графикони на елементарни дропки.
Подготвување графикони на дробни рационални функции
Да разгледаме неколку начини за конструирање графикони на фракциона рационална функција.
Пример 4.
Нацртајте график на функцијата y = 1/x 2 .
Решение.
Го користиме графикот на функцијата y = x 2 за да конструираме график од y = 1/x 2 и ја користиме техниката на „делење“ на графиконите.
Домен D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Опсег на вредности E(y) = (0; +∞).
Нема точки на вкрстување со оските. Функцијата е изедначена. Се зголемува за сите x од интервалот (-∞; 0), се намалува за x од 0 на +∞.
Одговор: Слика 2.
Пример 5.
Графикувајте ја функцијата y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Решение.
Домен D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Овде ја користевме техниката на факторизација, редукција и редукција до линеарна функција.
Одговор: Слика 3.
Пример 6.
Графикувајте ја функцијата y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Решение.
Доменот на дефиниција е D(y) = R. Бидејќи функцијата е парна, графикот е симетричен во однос на ординатата. Пред да изградиме график, да го трансформираме изразот повторно, истакнувајќи го целиот дел:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Забележете дека изолирањето на целобројниот дел во формулата на фракциона рационална функција е едно од главните при конструирање графикони.
Ако x → ±∞, тогаш y → 1, т.е. правата линија y = 1 е хоризонтална асимптота.
Одговор: Слика 4.
Пример 7.
Да ја разгледаме функцијата y = x/(x 2 + 1) и да се обидеме точно да ја најдеме нејзината најголема вредност, т.е. највисоката точка на десната половина од графиконот. За прецизно конструирање на овој график, денешното знаење не е доволно. Очигледно, нашата крива не може да се „издигне“ многу високо, затоа што именителот брзо почнува да го „престигнува“ броителот. Ајде да видиме дали вредноста на функцијата може да биде еднаква на 1. За да го направиме ова, треба да ја решиме равенката x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Оваа равенка нема вистински корени. Ова значи дека нашата претпоставка е неточна. За да ја пронајдете најголемата вредност на функцијата, треба да откриете на кое најголемо A решение ќе има равенката A = x/(x 2 + 1). Да ја замениме првобитната равенка со квадратна: Ax 2 – x + A = 0. Оваа равенка има решение кога 1 – 4A 2 ≥ 0. Оттука ја наоѓаме најголемата вредност A = 1/2. 
Одговор: Слика 5, max y(x) = ½.
Сè уште имате прашања? Не знаете како да графиконите функции?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
секира +б
Дробната линеарна функција е функција на формата y = --- ,
cx +г
Каде x- променлива, а,б,в,г– некои бројки и в ≠ 0, реклама -п.н.е ≠ 0.
Својства на фракциона линеарна функција:
Графикот на линеарна фракциона функција е хипербола, која може да се добие од хиперболата y = k/x со помош на паралелни преводи по координатните оски. За да го направите ова, формулата на фракционата линеарна функција мора да биде претставена во следнава форма:
к
y = n + ---
x–m
Каде n- бројот на единици со кои хиперболата се поместува надесно или лево, м– бројот на единици за кои хиперболата се движи нагоре или надолу. Во овој случај, асимптотите на хиперболата се префрлаат на прави линии x = m, y = n.
Асимптота е права линија до која точките на кривата се приближуваат додека се оддалечуваат до бесконечноста (видете ја сликата подолу).
Што се однесува до паралелните трансфери, видете ги претходните делови.
Пример 1.Да ги најдеме асимптотите на хиперболата и да ја нацртаме функцијата:
x + 8
y = ---
x – 2
Решение:
к
Да ја претставиме дропката како n + ---
x–m
За ова x+ 8 пишуваме во следнава форма: x – 2 + 10 (т.е. 8 е претставена како –2 + 10).
x+ 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2
Зошто изразот ја добил оваа форма? Одговорот е едноставен: направете го собирањето (сведувајќи ги двата члена на заеднички именител), и ќе се вратите на претходниот израз. Тоа е, ова е резултат на трансформирање на даден израз.
Значи, ги добивме сите потребни вредности:
k = 10, m = 2, n = 1.
Така, ги најдовме асимптотите на нашата хипербола (врз основа на фактот дека x = m, y = n):
Односно, една асимптота на хиперболата оди паралелно со оската yна растојание од 2 единици десно од него, а втората асимптота оди паралелно со оската xна растојание од 1 единица над него.
Ајде да изградиме график на оваа функција. За да го направите ова, ќе го направиме следново:
1) во координатната рамнина со точкаста линија нацртајте ги асимптотите – правата x = 2 и правата y = 1.
2) бидејќи хиперболата се состои од две гранки, тогаш за да ги конструираме овие гранки ќе составиме две табели: една за x<2, другую для x>2.
Прво, да ги избереме вредностите на x за првата опција (x<2). Если x = –3, то:
10
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3
– 2
Избираме произволно други вредности x(на пример -2, -1, 0 и 1). Пресметајте ги соодветните вредности y. Резултатите од сите добиени пресметки се внесуваат во табелата:
Сега да создадеме табела за опцијата x>2:
Дробна рационална функција
Формула y = k/ x, графикот е хипербола. Во Дел 1 од GIA, оваа функција се нуди без поместувања долж оските. Затоа има само еден параметар к. Најголемата разлика во изгледот на графикот зависи од знакот к.
Потешко е да се видат разликите во графиконите ако кеден лик:
Како што гледаме, толку повеќе к, толку повисоко оди хиперболата.
На сликата се прикажани функции за кои параметарот k значително се разликува. Ако разликата не е толку голема, тогаш е доста тешко да се одреди со око.
Во овој поглед, следнава задача, која ја најдов во општо добар прирачник за подготовка за државниот испит, е едноставно „ремек-дело“:
Не само тоа, во прилично мала слика, тесно распоредените графикони едноставно се спојуваат. Исто така, хиперболите со позитивно и негативно k се прикажани во истата координатна рамнина. Што целосно ќе го дезориентира секој што ќе го погледне овој цртеж. „Кулната мала ѕвезда“ само ви го привлекува вниманието.
Фала му на Бога, ова е само тренинг задача. Во реалните верзии беа предложени поточни формулации и очигледни цртежи.
Ајде да дознаеме како да го одредиме коефициентот кспоред графикот на функцијата.
Од формулата: y = k/xследи тоа k = y x. Односно, можеме да земеме која било цел број со погодни координати и да ги помножиме - добиваме к.
к= 1·(- 3) = - 3.
Затоа формулата на оваа функција е: y = - 3/x.
Интересно е да се разгледа ситуацијата со фракционо к. Во овој случај, формулата може да се напише на неколку начини. Ова не треба да биде погрешно.
На пример,
Невозможно е да се најде една цела точка на овој график. Затоа вредноста кможе да се одреди многу приближно.
к= 1·0,7≈0,7. Сепак, може да се разбере дека 0< к< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.
Значи, да резимираме.
к> 0 хиперболата се наоѓа во првиот и третиот координатен агол (квадранти),
к < 0 - во 2-м и 4-ом.
Ако кмодул поголем од 1 ( к= 2 или к= - 2), тогаш графикот се наоѓа над 1 (под - 1) по должината на y-оската и изгледа пошироко.
Ако кмодул помал од 1 ( к= 1/2 или к= - 1/2), тогаш графикот се наоѓа под 1 (над - 1) по должината на y-оската и изгледа потесен, „притиснат“ кон нула:
Во оваа лекција ќе ја разгледаме фракционата линеарна функција, ќе решаваме проблеми користејќи ја фракционата линеарна функција, модул, параметар.
Тема: Повторување
Лекција: Дробна линеарна функција
Дефиниција:
Функција на формата:
На пример:
Да докажеме дека графикот на оваа линеарна фракциона функција е хипербола.
Ајде да ги извадиме двете од загради во броителот и да добиеме:
Имаме x и во броителот и во именителот. Сега се трансформираме така што изразот се појавува во броителот:
Сега да го намалиме членот на дропката по член:
Очигледно, графикот на оваа функција е хипербола.
Можеме да предложиме втор метод на докажување, имено, да го поделиме броителот со именителот во колона:
Добив:
Важно е да може лесно да се конструира график на линеарна фракциона функција, особено да се најде центарот на симетрија на хиперболата. Ајде да го решиме проблемот.
Пример 1 - скицирај график на функција:
Ние веќе ја конвертиравме оваа функција и добивме:
За да го конструираме овој график, нема да ги поместиме оските или самата хипербола. Ние користиме стандарден метод за конструирање на графикони на функции, користејќи присуство на интервали со постојан знак.
Ние дејствуваме според алгоритмот. Прво, да ја испитаме дадената функција.
Така, имаме три интервали на константен знак: на крајната десница () функцијата има знак плус, потоа знаците се менуваат, бидејќи сите корени го имаат првиот степен. Значи, на интервал функцијата е негативна, на интервал функцијата е позитивна.
Конструираме скица на графиконот во близина на корените и точките на прекин на ОДЗ. Имаме: бидејќи во една точка знакот на функцијата се менува од плус во минус, кривата е прво над оската, потоа поминува низ нула и потоа се наоѓа под оската x. Кога именителот на дропка е практично еднаков на нула, тоа значи дека кога вредноста на аргументот се стреми кон три, вредноста на дропката се стреми кон бесконечност. Во овој случај, кога аргументот се приближува до тројката лево, функцијата е негативна и се стреми кон минус бесконечност, десно функцијата е позитивна и остава плус бесконечност.
Сега конструираме скица на графикот на функцијата во близина на точки на бесконечност, т.е. кога аргументот се стреми кон плус или минус бесконечност. Во овој случај, постојаните термини може да се занемарат. Ние имаме:
Така, имаме хоризонтална асимптота и вертикална, центарот на хиперболата е точката (3;2). Да илустрираме:
Ориз. 1. График на хипербола на пример 1
Проблемите со фракциона линеарна функција може да се комплицираат со присуство на модул или параметар. За да изградите, на пример, график на функцијата, мора да го следите следниов алгоритам:
Ориз. 2. Илустрација за алгоритмот
Добиениот график има гранки кои се над оската x и под x-оската.
1. Применете го наведениот модул. Во овој случај, делови од графиконот лоцирани над оската x остануваат непроменети, а оние што се наоѓаат под оската се огледуваат во однос на оската x. Добиваме:
Ориз. 3. Илустрација за алгоритмот
Пример 2 - нацртајте функција:
Ориз. 4. График на функции на пример 2
Размислете за следнава задача - конструирај график на функцијата. За да го направите ова, мора да го следите следниов алгоритам:
1. Графиконирајте ја субмодуларната функција
Да претпоставиме дека го добиваме следниот график:
Ориз. 5. Илустрација за алгоритмот
1. Применете го наведениот модул. За да разберете како да го направите ова, ајде да го прошириме модулот.
Така, за вредностите на функциите со вредности на не-негативни аргументи, нема да се појават промени. Во однос на втората равенка, знаеме дека се добива со тоа што симетрично се пресликува околу y-оската. имаме график на функцијата:
Ориз. 6. Илустрација за алгоритмот
Пример 3 - нацртајте функција:
Според алгоритмот, прво треба да изградите график на субмодуларната функција, ние веќе ја изградивме (види Слика 1)
Ориз. 7. График на функција на пример 3
Пример 4 - најдете го бројот на корените на равенката со параметар:
Потсетете се дека решавањето на равенката со параметар значи поминување низ сите вредности на параметарот и означување на одговорот за секоја од нив. Постапуваме според методологијата. Прво, градиме график на функцијата, тоа веќе го направивме во претходниот пример (види Слика 7). Следно, треба да го сецирате графикот со семејство на линии за различни а, да ги пронајдете пресечните точки и да го запишете одговорот.
Гледајќи го графикот, го запишуваме одговорот: кога и равенката има две решенија; кога равенката има едно решение; кога равенката нема решенија.
Линеарната фракциона функција се изучува во 9-то одделение откако се изучуваат некои други видови функции. Токму тоа е кажано на почетокот на лекцијата. Овде зборуваме за функцијата y=k/x, каде k>0. Според авторот, оваа функција претходно ја разгледувале учениците од училиштата. Затоа, тие се запознаени со неговите својства. Но, авторот предлага да се запамети и детално да се разгледа едно својство што ги означува карактеристиките на графикот на оваа функција во оваа лекција. Ова својство ја одразува директната зависност на вредноста на функцијата од вредноста на променливата. Имено, со позитивен x со тенденција кон бесконечност, вредноста на функцијата е исто така позитивна и тежнее кон 0. Со негативна x која се стреми кон минус бесконечност, вредноста на y е негативна и се стреми кон 0.
Понатаму, авторот забележува како ова својство се манифестира на графикот. На овој начин учениците постепено се запознаваат со концептот на асимптота. По општ вовед во овој концепт, следи неговата јасна дефиниција, која е истакната со светла рамка.
По воведувањето на концептот асимптота и по неговото дефинирање, авторот го привлекува вниманието на фактот дека хиперболата y=k/xfor k>0 има две асимптоти: тоа се оските x и y. Точно иста ситуација со функцијата y=k/xat k<0: функция имеет две асимптоты.
Кога главните точки се подготвени и знаењето е ажурирано, авторот предлага да се премине на директно проучување на нов тип на функција: проучување на линеарно-фракциона функција. За почеток, се предлага да се разгледаат примери на фракциони линеарни функции. Користејќи еден таков пример, авторот покажува дека броителот и именителот се линеарни изрази или, со други зборови, полиноми од прв степен. Во случајот со броителот, не може да дејствува само полином од прв степен, туку и кој било број различен од нула.
Следно, авторот продолжува да ја демонстрира општата форма на линеарна фракциона функција. Во исто време, тој детално ја опишува секоја компонента на снимената функција. Исто така, објаснува кои коефициенти не можат да бидат еднакви на 0. Авторот ги опишува овие ограничувања и покажува што може да се случи ако овие коефициенти се покажат како нула.
По ова авторот повторува како графикот на функцијата y=f(x)+n се добива од графикот на функцијата y=f(x). Лекција на оваа тема може да се најде и во нашата база на податоци. Овде е забележано и како да се конструира график на функцијата y=f(x+m) од истиот график на функцијата y=f(x).
Сето ова е прикажано со конкретен пример. Овде се предлага да се конструира график на одредена функција. Целата градба се изведува во фази. За почеток, се предлага да се изолира целиот дел од дадена алгебарска дропка. По завршувањето на потребните трансформации, авторот добива цел број, кој се додава на дропка со броител еднаков на бројот. Значи, графикот на функцијата, која е дропка, може да се конструира од функцијата y = 5/x со помош на двојно паралелно преведување. Овде авторот забележува како ќе се движат асимптотите. По ова се конструира координатен систем и асимптотите се пренесуваат на нова локација. Потоа се градат две табели со вредности за променливата x>0 и за променливата x<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции.
Следно, разгледуваме друг пример каде што има минус пред алгебарската дропка во ознаката на функцијата. Но, ова не се разликува од претходниот пример. Сите дејства се вршат на сличен начин: функцијата се претвора во форма каде што е означен целиот дел. Потоа се пренесуваат асимптотите и се конструира график на функцијата.
Тука завршува објаснувањето на материјалот. Овој процес трае 7:28 минути. Ова е приближно колку време му е потребно на наставникот да објасни нов материјал на редовен час. Но, за ова треба добро да се подготвите однапред. Но, ако ја земеме оваа видео лекција како основа, тогаш подготовката за лекцијата ќе потрае минимум време и напор, а на учениците ќе им се допадне новиот наставен метод кој нуди гледање видео лекција.