Определување преку најблиската разлика во родот и видот. Математички концепти

Секој математички објект има одредени својства. На пример, ромб има 4 агли, 4 страни, спротивните страни се паралелни. Можете да наведете други својства, на пример, дијагонала ACлоцирани хоризонтално.

Својствата се разликуваат помеѓу суштински и несуштински. Својството се смета за суштинско за објектот ако е својствено за овој објект и без него не може да постои. Несуштинските својства се оние својства чие отсуство не влијае на постоењето на предметот.

Суштински својства: имаат 4 еднакви страни, 4 агли.

Несуштински својства: теме ВОлежи спроти врвот Д, дијагонала ACлоцирани хоризонтално.

За да разберете што е даден објект, треба да ги знаете неговите суштински својства. Во овој случај, велиме дека постои концепт за овој објект.

Кога луѓето зборуваат за математички концепт, тие обично значат многу предмети означени со еден термин. Значи, кога зборуваме за триаголник, мислиме на сите геометриски фигури кои се триаголници.

Секој концепт има волумен и содржина.

Дефиниција. Обемот на концептот е збир на сите објекти означени со еден член.

Дефиниција. Содржината на концептот е збир на сите суштински својства на објектот рефлектирани во овој концепт.

Пример. Ајде да го разгледаме концептот на „паралелограм“. Волуменот на концептот е збир од различни паралелограми (вклучувајќи ромбови, правоаголници, квадрати). Содржината на концептот вклучува такви својства на паралелограмите како „имаат 4 страни“, „имаат паралелни спротивни страни“, „имаат еднакви спротивни агли“ итн.

Постои таква врска помеѓу обемот и содржината на концептот: колку е „поголем“ обемот на концептот, толку е „помал“ неговата содржина и обратно. На пример, опсегот на концептот „ромб“ е дел од концептот „паралелограм“, а содржината на концептот „ромб“ содржи повеќе својства отколку содржината на концептот „паралелограм“. На пример, во содржината на концептот „ромб“ постои својството „сите страни се еднакви“, што не е во содржината на концептот „паралелограм“.

Односите меѓу концептите се тесно поврзани со односите меѓу нивните волумени.

Ајде да се согласиме да ги означиме концептите со мали букви А, б, Со, г,… и нивните томови соодветно А, ВО, СО, Д,… .

Доколку обемот на поимите АИ бне се вкрстуваат, т.е. А Ç ВО= Æ, тогаш велат дека поимите АИ бнекомпатибилни. Примери за некомпатибилни концепти се концептите на трапез и триаголник.

Доколку обемот на поимите АИ бсе вкрстуваат, т.е. А Ç ВО¹ Æ, тогаш тие велат дека концептите АИ бкомпатибилен. Пример е правоаголник и ромб.

Доколку обемот на поимите АИ бсе совпаѓаат, т.е. А = ВО, тогаш тие велат дека концепти АИ бсе идентични. Пример е квадрат и ромб со прав агол.

Доколку обемот на концептот Ае соодветно подмножество на опсегот на концептот б, т.е. АÌ ВО, А ¹ ВО, тогаш велат дека:

а) концепт Ае специфичен во однос на концептот б, концепт б– генерички во однос на концептот А;

б) концепт Апотесен од концепт б, концепт бпошироко од концептот А;

в) концепт Апостои посебен случај на концептот б, и концептот б– генерализација на концептот А.

Пример: концептот „квадрат“ е специфичен во однос на концептот „правоаголник“, а концептот „правоаголник“ е генерички во однос на концептот „квадрат“.

Ајде внимателно да ја разгледаме последната врска.

1) Концептите за род и вид се релативни. Истиот концепт може да биде специфичен во однос на еден концепт и генерички во однос на друг. На пример, концептот „правоаголник“ е генерички во однос на концептот „квадрат“ и специфичен во однос на концептот „паралелограм“.

2) За даден концепт, често можете да наведете неколку генерички концепти, меѓу кои можете да го наведете најблискиот. На пример, генеричките концепти за концептот „квадрат“ ќе бидат концептите „правоаголник“, „паралелограм“, „четириаголник“. Најблиску меѓу нив ќе биде концептот на „правоаголник“.

3) Концептот на видови ги има сите својства на генеричкиот концепт. На пример, концептот „ромб“ е специфичен во однос на концептот „паралелограм“; Ромбите ги имаат сите својства на паралелограмите.

Да ја разгледаме врската помеѓу концептите на „сегмент“ и „права линија“. Опсегот на овие концепти не се преклопуваат, бидејќи Ниту еден сегмент не може да се нарече исправен и обратно. За овие поими можеме да кажеме дека тие се во однос на целината и делот: отсечката е дел од правата, а не нејзиниот тип. Забележете дека еден дел не секогаш ги има својствата на целината. Правата линија е бесконечна, но отсечката не е.

Определување преку најблиската разлика во родот и видот.

Задачата на секоја дефиниција е да го разликува дефинираниот објект од сличните објекти и да ја открие неговата суштина. Се чини дека овој проблем може најефикасно да се реши со наведување на сите карактеристики на објектот што се дефинира. Меѓутоа, како што покажува искуството, овој метод на дефинирање на концептите се покажува како несоодветен; а во повеќето случаи невозможно. Прво, секој објект има бесконечен број карактеристики, кои е речиси невозможно да се наведат. Второ, едноставното набројување на голем број карактеристики не нè приближува, туку нè оддалечува од предметот што се дефинира, бидејќи со таквото наведување суштинските карактеристики не се разликуваат од несуштинските. Со таква дефиниција, истражувачот не го гледа општото, суштината на дефинираниот објект зад поединецот, неважно.

Дефиницијата што содржи индикација за класата на објекти меѓу кои е неопходно да се разликува предметот што се дефинира и за карактеристиката по која се разликува од оваа класа, се нарекува дефиниција преку најблискиот род и специфичната разлика.

Со оваа дефиниција, наместо целосна листа на карактеристики, тие само укажуваат дека дефинираниот објект припаѓа на одредена класа и карактеристиката по која дефинираниот објект се разликува од другите објекти од класата.

Суштината на овој тип на дефиниција е да се означи најблискиот род, чиј вид е концептот што го дефинираме, и видообразувачката карактеристика по која, како што е познато, дефинираниот вид се разликува од другите видови од овој род.

Оваа дефиниција се користи во случаи кога е неопходно да се направи разлика помеѓу класа (род) и нејзините подкласи (видови). На пример, во дефиницијата „Космонаутиката е наука која проучува комплекс на прашања поврзани со истражување на вселената“, астронаутиката како вид се разликува од класата на науки.

При дефинирање преку родови и видови разлика, дефинирачкиот концепт прави разлика помеѓу најблискиот род и карактерот што формира вид (разлика на видовите). Во дефиницијата за космонаутиката што ја дадовме, најблизок род е концептот „наука“, а специфичната разлика е атрибутот „проучување комплекс на прашања поврзани со истражување на вселената“.

Ако најблискиот род го означиме со b, а карактерот што формира вид со A, тогаш секоја дефиниција преку најблискиот род и разликата во видот може да се изрази со формулата

каде што a – Dfd, A (b) -Dfn

Дефиницијата преку најблиската разлика во родот и видот ја елиминира потребата за долг список на карактеристики на објектот што се дефинира. Во кратка форма, ги решава горенаведените проблеми со кои се соочува дефиницијата. Можноста за решавање на овие проблеми се одредува со следните точки. Прво, како што е веќе познато од суштината на законот за обратна врска помеѓу содржината и обемот на концептите, севкупноста на суштинските карактеристики на генеричкиот концепт е дел од содржината на одреден концепт. Некои од суштинските карактеристики се предвидени во содржината на генеричкиот концепт, за кој се претпоставува дека е веќе познат и затоа нема потреба да се наведуваат. Останува да се наведат само оние суштински карактеристики кои се единствени за овој вид. Обично овие ликови се карактери кои формираат видови. Како по правило, има малку од нив - еден или неколку - па затоа не е тешко да се наведат.

Посочувајќи на најблискиот род и специфична разлика, добиваме дефиниција која во најконцизна и најконцизна формулација го разликува предметот што се дефинира од класата на хомогени предмети и во исто време ја открива неговата суштина. Второ, можноста за такви дефиниции се должи на фактот што дефиницијата не е почетна фаза на сознавањето; неговото формулирање е можно само на одредено ниво на развој на човековото знаење, по детално проучување на одредена област на предмети и феномени на објективната реалност, кога веќе се развиени некои концепти и се класифицираат предметите од областа што се проучува. на одреден начин. Дури после ова може да се најде нивниот најблизок род во однос на концептот што се дефинира.

Така, дефинициите се резултат на долг процес на сознавање на одредена предметна област на реалноста.

Процесот на определување преку најблиската разлика во родот и видот се распаѓа во две фази. Во првиот од нив, дефинираниот концепт е подведен во поширок генерички концепт. Правилната дефиниција започнува со укажување на родот чиј вид е концептот што се дефинира. Во овој случај, не се зема првиот достапен, туку најблискиот род.

Ако, при дефинирањето на концептот, укажеме на пооддалечен род, тогаш го комплицираме процесот на дефинирање, бидејќи во овој случај се соочуваме со потребата да се укаже не само на специфичната карактеристична карактеристика, туку и на карактеристиката на најблискиот род. На пример, ако при дефинирањето на концептот „квадрат“ го земеме концептот „паралелограм“ како генерички, тогаш во процесот на дефиниција ќе бидеме принудени да укажеме не само на специфичната карактеристична карактеристика на квадратот („има еднакви страни“), но и до карактеристичната карактеристика на најблискиот генерички концепт „правоаголник“ („имаат прави агли“). Нашата дефиниција ќе биде како што следува: „Квадрат е паралелограм со прави агли и еднакви страни“.

Следствено, за да може дефиницијата да ја открие суштината на објектот во најконцизна и концизна форма и да ја разликува од класата на хомогени предмети, неопходно е да се означи најблискиот род. На пример, за концептот „квадрат“ овој вид е или концептот „ромб“ или концептот „правоаголник“. Со внесување на концептот „квадрат“ под кој било од нив, ја добиваме најконцизната формулација на неговата дефиниција: „Квадрат е правоаголен ромб“ или „Квадрат е рамностран правоаголник“. Во втората фаза, се наоѓа знак што го разликува концептот што се дефинира од другите концепти вклучени во истиот род. Бидејќи концептот што се дефинира е вид, таквата карактеристика е карактеристика што формира вид.

Математички концепти

Концептите што се изучуваат на воведниот курс по математика обично се претставени во четири групи. Првиот вклучува концепти поврзани со броеви и операции на нив: број, собирање, член, поголем итн. Вториот вклучува алгебарски концепти: изразување, еднаквост, равенки итн. Третата група се состои од геометриски поими: права линија, отсечка, триаголник , итн. .d. Четвртата група се состои од концепти поврзани со количините и нивното мерење.

За да ја проучите целата разновидност на концепти, треба да имате идеја за концептот како логичка категорија и карактеристиките на математичките концепти.

Во логиката концептигледано како форма на мисла, рефлектирајќи ги предметите (субјектите и појавите) во нивните суштински и општи својства. Јазичната форма на концептот е збор (поим) или група зборови.

Да се формира концепт за некој објект значи да се биде во можност да се разликува од другите објекти слични на него. Математичките концепти имаат голем број карактеристики. Главната работа е што математичките објекти за кои е неопходно да се формулира концепт не постојат во реалноста. Математичките предмети се создадени од човечкиот ум. Ова се идеални објекти кои рефлектираат вистински предмети или феномени. На пример, во геометријата ја проучуваат формата и големината на предметите без да ги земат предвид другите својства: боја, маса, цврстина итн. Тие се апстрахираат од сето ова. Затоа, во геометријата, наместо зборот „објект“ велат „геометриска фигура“.

Резултатот од апстракцијата се такви математички концепти како „број“ и „големина“.

Општо земено, математичките предмети постојат само во човечкото размислување и во оние знаци и симболи кои го формираат математичкиот јазик.

На кажаното, можеме да го додадеме и тоа, проучувајќи просторни форми и квантитативни односи на материјалниот свет, математиката не само што користи различни техники на апстракција, туку самата апстракција делува како процес во повеќе фази. Во математиката, тие ги разгледуваат не само концептите што се појавија за време на проучувањето на вистинските предмети, туку и концептите што се појавија врз основа на првите. На пример, општиот концепт на функција како кореспонденција е генерализација на концептите на специфични функции, т.е. апстракција од апстракции.

Опсег и содржина на концептот. Односите меѓу концептите

Секој математички објект има одредени својства. На пример, квадрат има четири страни, четири прави агли и еднакви дијагонали. Можете да ги наведете неговите други својства.

Меѓу својствата на објектот има суштински и незначителни. Се смета за имот суштински за некој предмет ако е својствен за овој објект и без него не може да постои. На пример, за квадрат сите својства споменати погоре се од суштинско значење. Својството „страната AB е хоризонтална“ е неважно за квадрат ABCD.

Кога зборуваат за математички концепт, тие обично значат збир на предмети означени со еден термин(збор или група зборови). Значи, кога зборуваме за квадрат, мислиме на сите геометриски фигури кои се квадрати. Се верува дека множеството од сите квадрати го сочинува опсегот на концептот „квадрат“.

Воопшто, опсегот на концептот е збир на сите објекти означени со еден член.

Секој концепт има не само волумен, туку и содржина.

Размислете, на пример, концептот на „правоаголник“.

Опсегот на концептот е збир на различни правоаголници, а неговата содржина вклучува такви својства на правоаголници како што се „имаат четири прави агли“, „имаат еднакви спротивни страни“, „имаат еднакви дијагонали“ итн.

Помеѓу опсегот на концептот и неговата содржина постои однос: ако обемот на концептот се зголемува, тогаш неговата содржина се намалува, и обратно. Така, на пример, опсегот на концептот „квадрат“ е дел од опсегот на концептот „правоаголник“, а содржината на концептот „квадрат“ содржи повеќе својства отколку содржината на концептот „правоаголник“ („сите страни се еднакви“, „дијагоналите се меѓусебно нормални“ итн.).

Секој концепт не може да се научи без да се реализира неговата врска со другите концепти. Затоа, важно е да се знае во кои односи може да се најдат концепти и да може да се воспостават овие врски.

Односите меѓу концептите се тесно поврзани со односите меѓу нивните волумени, т.е. множества.

Да се согласиме да означуваме концепти со мали букви од латинската азбука: a, b, c, d, …, z.

Нека се дадени два концепта a и b. Дозволете ни да ги означиме нивните волумени како A и B, соодветно.

Ако A ⊂ B (A ≠ B), тогаш велат дека концептот a е специфичен во однос на концептот b, а концептот b е генерички во однос на концептот a.

На пример, ако a е „правоаголник“, b е „четириаголник“, тогаш нивните волумени A и B се во релација за вклучување (A ⊂ B и A ≠ B), затоа секој правоаголник е четириаголник. Затоа, може да се тврди дека концептот „правоаголник“ е специфичен во однос на концептот „четириаголник“, а концептот „четириаголник“ е генерички во однос на концептот „правоаголник“.

Ако A = B, тогаш се вели дека концептите A и B се идентични.

На пример, концептите „рамностран триаголник“ и „рамнокрак триаголник“ се идентични, бидејќи нивните волумени се совпаѓаат.

Да ја разгледаме подетално врската на родот и видот помеѓу концептите.

1. Прво, концептите на род и вид се релативни: истиот концепт може да биде генерички во однос на еден концепт и специфичен во однос на друг. На пример, концептот „правоаголник“ е генерички во однос на концептот „квадрат“ и специфичен во однос на концептот „четириаголник“.

2. Второ, за даден концепт често е можно да се наведат неколку генерички концепти. Така, за концептот „правоаголник“ генеричките концепти се „четириаголник“, „паралелограм“, „полигон“. Меѓу наведените, можете да го наведете најблискиот. За концептот „правоаголник“ најблискиот концепт е „паралелограм“.

3. Трето, конкретниот концепт ги има сите својства на генеричкиот концепт. На пример, квадрат, како специфичен концепт во однос на концептот „правоаголник“, ги има сите својства својствени на правоаголникот.

Бидејќи волуменот на концептот е множество, погодно е, кога се воспоставуваат односи меѓу волумените на концепти, да се прикажат со помош на Ојлерови кругови.

Да ја утврдиме, на пример, врската помеѓу следните парови на концепти a и b ако:

1) а – „правоаголник“, б – „ромб“;

2) а – „многуаголник“, б – „паралелограм“;

3) а – „прав“, б – „сегмент“.

Односите помеѓу множествата се прикажани на сликата, соодветно

2. Дефиниција на поими. Дефинитивни и неопределени концепти.

Појавувањето во математиката на нови поими, а со тоа и нови поими што ги означуваат овие поими, претпоставува нивно дефинирање.

Дефиницијаобично се нарекува реченица што ја објаснува суштината на нов термин (или ознака). Како по правило, ова се прави врз основа на претходно воведени концепти. На пример, правоаголникот може да се дефинира на следниов начин: „Правоаголник е четириаголник чии агли се во право“. Оваа дефиниција има два дела - дефинираниот концепт (правоаголник) и дефинирачкиот концепт (четириаголник со сите прави агли). Ако првиот концепт го означиме со a, а вториот со b, тогаш оваа дефиниција може да се претстави во следната форма:

а е (по дефиниција) б.

Зборовите „е (по дефиниција)“ обично се заменуваат со симболот ⇔, а потоа дефиницијата изгледа вака:

Тие читаат: „а е еквивалентно на b по дефиниција“. Овој запис можете да го прочитате и на следниов начин: „и ако и само ако б.

Дефинициите со оваа структура се нарекуваат очигледно. Ајде да ги разгледаме подетално.

Да се свртиме кон вториот дел од дефиницијата за „правоаголник“.

Вклучува:

1) концептот на „четириаголник“, кој е генерички во однос на концептот „правоаголник“.

2) својството „да ги има сите прави агли“, што ни овозможува да избереме еден тип од сите можни четириаголници - правоаголници; затоа се нарекува разлика на видовите.

Општо земено, специфичните разлики се својства (една или повеќе) кои овозможуваат да се разликуваат дефинираните објекти од опсегот на генеричкиот концепт.

Резултатите од нашата анализа може да се претстават во форма на дијаграм:

Знакот „+“ се користи за замена на честичката „и“.

Знаеме дека секој концепт има волумен. Ако концептот a е дефиниран преку род и специфична разлика, тогаш за неговиот волумен - множеството A - можеме да кажеме дека содржи такви објекти кои припаѓаат на множеството C (обемот на генеричкиот концепт c) и имаат својство P:

A = (x/ x ∈ C и P(x)).

Бидејќи дефиницијата на концепт преку род и специфична разлика е во суштина условен договор за воведување нов термин за замена на кој било сет на познати термини, невозможно е да се каже за дефиницијата дали е точна или неточна; ниту се докажува ниту се побива. Но, кога формулираат дефиниции, тие се придржуваат до голем број правила. Ајде да ги именуваме.

1. Дефиницијата мора да биде сразмерно. Тоа значи дека опсегот на дефинираните и дефинирачките концепти мора да се совпаѓаат.

2. Во дефиницијата (или нивниот систем) не треба да има маѓепсан круг. Ова значи дека концептот не може да се дефинира сам по себе.

3. Мора да има дефиниција јасно. Потребно е, на пример, значењата на поимите вклучени во дефинирачкиот концепт да бидат познати во моментот кога се воведува дефиницијата за нов концепт.

4. Дефинирајте го истиот концепт преку разликата во родот и видот, почитувајќи ги правилата формулирани погоре, може да се направи на различни начини. Значи, квадрат може да се дефинира како:

а) правоаголник чии соседни страни се еднакви;

б) правоаголник чии дијагонали се меѓусебно нормални;

в) ромб кој има прав агол;

г) паралелограм во кој сите страни се еднакви, а аглите се прави.

Можни се различни дефиниции за истиот концепт поради големиот број својства вклучени во содржината на концептот, само неколку се вклучени во дефиницијата. И тогаш тие избираат една од можните дефиниции, од која е поедноставна и посоодветна за понатамошна конструкција на теоријата.

Дозволете ни да го именуваме редоследот на дејства што мора да ги следиме ако сакаме да ја репродуцираме дефиницијата за познат концепт или да изградиме дефиниција за нов:

1. Наведете го концептот (поимот) што се дефинира.

2. Наведете го најблискиот генерички концепт (во однос на оној што се дефинира).

3. Наведете ги својствата што ги разликуваат дефинираните објекти од генеричкиот волумен, односно формулирајте специфична разлика.

4. Проверете дали се исполнети правилата за дефинирање на концептот (дали е пропорционален, има ли маѓепсан круг и сл.).

Секој математички објект има некои својства.Така, на пример, триаголникот ги има следните својства: има три страни; 2) три внатрешни агли; 3) шест парни еднакви надворешни агли итн. Ваквите изјави за присуството или отсуството на даден предмет на кое било својство се нарекуваат пресуди.Еве повеќе примери на судови: 1) четириаголник има две дијагонали; 2) по секој природен број во природната серија веднаш следи друг природен број; 3) парен број се дели со два итн.

Пресудите се исто така понуди,покажувајќи врски или врски помеѓу предметите, на пример: „5 е поголемо од 3“, „ АБе страната на триаголникот ABC“, „Катче Ане е во непосредна близина на аголот ВОНо, прашањата или барањата не се пресуди.?

Меѓу својствата на секој објект има суштински и несуштински за неговото дефинирање. Својството е суштинско ако е својствено за овој објект и без него не може да постои. Ирелевантните својства обично се случајни; нивното отсуство, по правило, не влијае на постоењето на објектот. Забележете дека при решавање на конкретни проблеми, генерално неважните својства на објектите исто така може да имаат значајно значење за решавање на даден проблем.

Размислете, на пример, рамнокрак триаголник прикажан на сл. 3. Негови својства: 1) страни на триаголник АБИ Сонцетоеднакви; 2) медијана БДнормално на основата ACи го дели аголот ВОполовините се основните својства на овој триаголник. Еве ги својствата: 3) база ACрамнокрак триаголник ABCхоризонтално или 4) темето на рамнокрак триаголник се означува со буквата ВО- се незначителни. Ако некако го ротираме овој триаголник и неговата основа се испостави дека не е хоризонтална или го означиме темето со некоја друга буква, тогаш триаголникот нема да престане да биде рамнокрак.

Затоа, за да се разбере каков предмет станува збор, доволно е да се знаат неговите суштински својства. Во овој случај велат дека има концептза овој објект. Оттука, концепт- ова е холистички збир на судови за суштинските својства на соодветниот предмет. Овој сет на меѓусебно поврзани својства на објектот (затоа се нарекува холистички) се нарекува содржината на концептотза овој објект.

Имајте на ум дека кога зборуваат за математички објект, тие обично го подразбираат целиот сет на предмети означени со еден термин (име). Значи, кога зборуваат за математички објект - триаголник, се мисли на сите геометриски фигури кои се триаголници. Множеството од сите триаголници е опсегот на концептотза триаголникот. На ист начин, множеството од сите природни броеви го сочинува опсегот на концептите за природен број. Оттука, опсегот на концептоте множество од сите предмети означени со ист член.

Значи, секој концепт има одреден опсег и содржина. Тие се меѓусебно поврзани: колку е поголем обемот на концептот, толку е помала неговата содржина и обратно: колку е помал обемот, толку повеќе содржината на концептот.Така, на пример, опсегот на концептот „рамнокрак триаголник“ е помал од опфатот на концептот „триаголник“, бидејќи опсегот на првиот концепт не ги вклучува сите триаголници, туку само рамнокрак. Но, содржината на првиот концепт е очигледно поголема од содржината на вториот, бидејќи рамнокрак триаголник ги има не само сите својства на триаголникот, туку и посебни својства својствени само за рамнокрак триаголник.

Содржината на концептот на кој било математички објект вклучува многу различни суштински својства на овој објект. Меѓутоа, за да се препознае некој предмет и да се утврди дали припаѓа на даден концепт или не, доволно е да се провери дали има само некои суштински својства. Се нарекува означување на овие суштински својства на концепт објект, кои се доволни за да се препознае овој објект дефиниција на концепт.

Секоја дефиниција за математички концепт обично се конструира вака: прво се означува името објектна овој концепт, тогаш се наведени такви суштински својства кои овозможуваат да се утврди дали овој или оној предмет е предмет на овој концепт или не.

На пример, дефиницијата за паралелограм: „Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни“. Како што гледаме, оваа дефиниција е конструирана на следниов начин: прво се означува името на објектот на дефинираниот концепт - паралелограм, потоа неговите својства: 1) паралелограм е четириаголник; 2) неговите спротивни страни се паралелни. Првото својство е показател за поопштиот концепт на кој припаѓа концептот што се дефинира. Овој поопшт концепт се нарекува предокво однос на дефинираниот концепт. Во овој случај, генеричкиот концепт за паралелограм е четириаголник. Второто својство е индикација видовисвојство кое разликува паралелограм од другите видови четириаголник. Еве уште еден пример за дефиниција: „Парните броеви се оние природни броеви што се множители на бројот 2“. Оваа дефиниција, како и претходната, е изградена според следната шема:

Во овој случај имаме: името на дефинираниот концепт е парни броеви, генеричкиот концепт е природни броеви, специфичните разлики се множители на бројот 2.

Дефиницијата на концептите според оваа шема се нарекува дефиниција преку родови и видови разлики.

Понекогаш во математиката постојат и други начини за дефинирање на поимите. Размислете, на пример, за дефиницијата за триаголник: „Триаголник е фигура која се состои од три точки што не лежат на иста права линија и три парови отсечки што ги поврзуваат“. Оваа дефиниција укажува на генерички концепт за триаголник - фигура, а како специфична разлика е наведен метод за конструирање на таква фигура, која е триаголник: треба да земете три точки што не лежат на иста права линија. и поврзете го секој пар од нив со отсечка. Оваа дефиниција се нарекува генетски(од зборот генеза- потекло). Еве уште еден пример за генетска дефиниција: „Симетријата за точка е таква трансформација на фигура Фво форма F"на која секоја точка Xфигури Фоди до точка X"фигури F", конструирана на следниов начин: на продолжение на сегментот Опо поен ЗАсегментот е одложен О“, еднакви ООвде, како тип на разлика помеѓу трансформацијата на симетрија во однос на точка и други видови трансформации, е наведен методот на конструирање на точките на сликата. F", симетрична фигура Фво однос на поентата ЗА.

Има и дефиниции во математиката кои укажуваат како предметите од дефинираниот концепт може да се добијат еден по друг по ред. На пример, дефиницијата за аритметичка прогресија е дадена на следниов начин: „Нумеричка низа, од која секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот член додаден на истиот број, се нарекува аритметичка прогресија“. Овде концептот што се дефинира е аритметичка прогресија, генеричкиот концепт е нумеричка низа; како специфична разлика е наведен методот на добивање на сите членови на прогресијата, почнувајќи од вториот, кој се состои во тоа што за да се да се добие кој било член, мора да се додаде истиот број на претходниот член. Оваа дефиниција може да се напише како следнава формула:

Оваа дефиниција се нарекува индуктивен(од зборот индукција- покажувајќи кон заклучувањеод особено кон општо) или повторливи(од зборот рекурзија- враќање).

Сепак, не можат логички да се дефинираат сите математички концепти на горенаведените начини. Навистина, секоја дефиниција на математички концепт го сведува дефинираниот концепт на поширок (поопшт, т.е. има поголем волумен) генерички концепт, дефиницијата за генерички концепт го сведува на уште поширок концепт итн. Очигледно, овој процес на сведувањето на некои концепти на пошироки, поопшти концепти мора да има крај; тоа не може да биде бесконечно. Со други зборови, на крајот, при дефинирањето на концептите, мора да дојдеме до концепти кои веќе не се сведуваат на други, односно не се логички дефинирани. Ваквите поими во математиката се нарекуваат основноили главен.

На пример, кога дефинираме паралелограм, го сведуваме на концептот на четириаголник, кога дефинираме четириаголник, го сведуваме на концептот на многуаголник, потоа на концептот на геометриска фигура, кој, кога е дефиниран, се сведува на концептот на точка. Концептот на точка повеќе не може да се дефинира, т.е. примарен. Примарни поими во математиката, покрај точката, се поимите права, рамнина, припадност, број, множество (множество) и некои други.

Значи, втората работа што треба да ја научите во математиката е способноста на некој начин да конструирате дефиниции за математички концепти. Оваа вештина е доста сложена, а за неа ќе зборуваме во следниот разговор. Во меѓувреме, завршете ја следната задача за да ги консолидирате информациите што ги добивте во овој разговор.

Задача 3

3.1. Кои од следниве својства на трапезот се суштински, а кои се неважни:

а) Двете страни на трапезот се паралелни.

б) Двата агли со поголема основа се остри.

в) Збирот на аглите на трапезот што припаѓа на едната страна е 180°.

г) Основите на трапезот се хоризонтални.

д) Двата агли на помалата основа на трапезот се тапи.

3.2. Како се поврзани математичките објекти и математичките концепти?

3.3. Наведете кои од следните реченици се пресуди, а кои не се:

а) Во еден триаголник има три средни.

б) Средините на триаголникот се сечат во една точка.

в) Кој е производ на моќи со исти основи?

г) Логаритмот на производот на позитивните броеви е еднаков на збирот на логаритмите на множителите.

3.4. Во дефинициите подолу, означете го името на објектите на концептите што се дефинираат, генеричкиот концепт и специфичните разлики:

а) Броевите што можат да се напишат како обични дропки се нарекуваат рационални броеви.

б) Аритметички квадратен корен на бројот Ае ненегативен број чиј квадрат е еднаков на А.

в) Две прави во рамнина се нарекуваат паралелни ако не се сечат.

г) Ако точката ЗАе средната точка на сегментот АБ, потоа точките АИ ВОсе нарекуваат симетрични точки во однос на точката ЗА.

3.5. Формулирајте генетска дефиниција за круг, знаејќи дека тој е формиран како резултат на ротација на сегмент на рамнина околу еден од неговите краеви; вториот крај на овој сегмент во овој случај опишува круг.

3.6. Условите на низата Фибоначи (околу 1170-1250) се дадени со следнава формула: a n+2 =a n+1 +a n. Формулирајте дефиниција за оваа низа. Која е оваа дефиниција?

3.7. Го даваме следниот опис на конструкцијата на нормални линии: „Нека АИ б- две линии кои се вкрстуваат. Кога ќе се вкрстат, се формираат четири агли. Нека α е еден од овие агли. Тогаш кој било од другите три агли ќе биде или во непосредна близина на аголот α или вертикален на аголот α. Следи дека ако еден од аглите е правилен, тогаш и другите агли се правилни. Во овој случај велиме дека линиите се сечат под прав агол и ги нарекуваме нормално".

Врз основа на овој опис, формулирајте дефиниција за нормални линии.

3.8. Модулот на бројот се одредува со следнава формула:

Формулирајте вербална дефиниција за модулот на број.

3.9. Низата се нарекува зголемување ако секој член е поголем од претходниот член. Напишете ја оваа дефиниција користејќи формула.

3.10. Како што знаете, рамнокрак триаголник е оној во кој двете страни се еднакви, а правилен триаголник е оној во кој сите страни се еднакви. Дали правилниот триаголник е рамнокрак?

3.11. Наведете ги најблиските генерички концепти за следните поими: а) квадрат; б) степен со природен индикатор; в) вертикални агли; г) прост број; г) акорд.

3.12. Наведете неколку генерички концепти за концептот на ромб.

3.13. Дали е потребно (и дали е можно) да се докажуваат дефинициите?

Прво , поимите род и вид се релативни : истиот концепт може да биде генерички во однос на еден концепт и специфичен во однос на друг. На пример, концептот „правоаголник“ е генерички во однос на концептот „квадрат“ и специфичен во однос на концептот „четириаголник“.

Второ, За даден концепт, често е можно да се специфицираат неколку генерички концепти. Така, за концептот „правоаголник“ генеричките концепти се „четириаголник“, „паралелограм“, „полигон“. Меѓу нив, можете да го наведете најблискиот. За концептот „правоаголник“ најблискиот концепт е „паралелограм“.

Трето, специфичен концепт ги има сите својства на генерички концепт. На пример, квадрат, како специфичен концепт во однос на концептот „правоаголник“, ги има сите својства својствени на правоаголникот.

ВО

3) а - „право“, б – „сегмент“.

Волумените на концептите не се сечат, бидејќи ниту еден сегмент не може да се каже дека е права линија, а ниту една права линија не може да се нарече отсечка. Следствено, овие концепти не се во врска со родот и видот.

За поимите „права линија“ и „сегмент“ можеме да кажеме дека тие се во однос на целината и делот: отсечката е дел од правата, а не нејзиниот тип.

Забелешка: Ако концептот на видот ги има сите својства на генеричкиот концепт, тогаш делот не мора да ги има сите својства на целината.

На пример, отсечката ги нема истите својства на права линија како нејзината бесконечност.

3. Дефиниција на поими

Дефиницијата е обично реченица што ја објаснува суштината на нов термин (или ознака).Како по правило, ова се прави врз основа на претходно воведени концепти. На пример,Правоаголник може да се дефинира на следниов начин: „Правоаголник е четириаголник чии агли се сите правилни“. Оваа дефиниција има два дела - дефиниран концепт(правоаголник) и дефинирање на концептот(четириаголник со сите прави агли). Ако првиот концепт го означиме со a, а вториот со b, тогаш оваа дефиниција може да се претстави во следната форма:

а е (по дефиниција) б

Зборовите „е (по дефиниција)“ обично се заменуваат со симболот, а потоа дефиницијата изгледа вака: Аб

Тие читаат: „а е еквивалентно на b по дефиниција“. Можете исто така да го прочитате овој запис на овој начин: „и ако и само ако b“.

Дефинициите со оваа структура се нарекуваат очигледно. Ајде да ги разгледаме подетално.

Да се свртиме повторно кон дефиницијата за правоаголник, или подобро кажано, на неговиот втор дел - дефинирачкиот концепт. Вклучува:

1) концептот на „четириаголник“, што е предокво однос на концептот на „правоаголник“,

2) својството „да ги има сите прави агли“, што ни овозможува да избереме еден тип од сите можни четириаголници - правоаголници; затоа му викаат разлика во видот.

Дефиниција. Специфичните разлики се својства (една или повеќе) кои овозможуваат да се разликуваат дефинираните објекти од опсегот на генеричкиот концепт.

Резултатите од нашата анализа може да се претстават во форма на дијаграм

Дефинирање на концептот

Забележете дека во визуелниот приказ на структурата на дефиницијата преку родовата и родовата разлика, направивме некои неточности. Прво, зборовите „генерички концепт“ значат дека зборуваме за генерички концепт во однос на она што се дефинира. Второ, не е сосема јасно што значи знакот „+“, за кој се знае дека се користи за означување на собирање броеви. Значењето на овој знак ќе стане јасно малку подоцна, кога ќе го погледнеме математичкото значење на сврзникот „и“. Во меѓувреме, да се запознаеме со уште една можност за визуелно претставување на дефиницијата преку родова и специфична разлика. Ако дефинираниот концепт се означува со буквата А, дефиниран со буквата б, генерички концепт (во однос на она што се дефинира) – со буквата Со, а разликата во видот се означува со буквата Р, тогаш дефиницијата преку родови и видови разлика може да се претстави на следниов начин:

Подоцна ќе дознаеме зошто разликата во видот е означена со голема буква.

Знаеме дека секој концепт има волумен. Ако концептот a е дефиниран преку род и специфична разлика, тогаш за неговиот волумен - множеството A - можеме да кажеме дека содржи предмети што припаѓаат на множеството C (волуменот на генеричкиот концепт c) и имаат својство P: A. = ( x | xО C и P(x)).

На пример, ако е дадена дефиницијата: „Остар агол е агол што е помал од прав агол“, тогаш опфатот на концептот „остар агол“ е подмножество од множеството на сите рамни агли кои имаат својство „да се помал од прав агол“.

Бидејќи дефиницијата на концептот преку род и специфична разлика во суштина е условен договор за воведување нов термин за замена на кој било збир на познати термини, невозможно е да се каже за дефиницијата дали е точна или неточна; ниту се докажува ниту се побива. Но, кога формулираат дефиниции, тие се придржуваат до голем број правила. Да ги именуваме главните.

Барања за дефинирање на концепти

Определувањето мора да биде пропорционално.

Тоа значи дека опсегот на дефинираните и дефинирачките концепти мора да се совпаѓаат. Ова правило произлегува од фактот дека дефинираните и дефинирачките концепти се заменливи.

На пример, концептите „правоаголник“ и „четириаголник во кој сите агли се правилни“ се сразмерни. Ако опфатот на дефинирачкиот концепт го вклучува опсегот на дефинираниот концепт, тогаш тие зборуваат за грешка на премногу широка дефиниција. Така, дефиницијата за „Директно аИ бсе нарекуваат паралелни ако немаат заеднички точки или се совпаѓаат“ е премногу широк, бидејќи се задоволува и со вкрстување прави линии. Ако опсегот на дефинирачкиот концепт е потесен од опсегот на дефинираниот концепт, тогаш се јавува грешка на претесна дефиниција. На пример, дефиниција за „Директно аИ бсе нарекуваат паралелни ако немаат заеднички точки“ е претесно, бидејќи не се задоволува со линии кои се совпаѓаат.

Не треба да има маѓепсан круг во дефиницијата (или нивниот систем).

Тоа значи дека е невозможно да се дефинира концепт преку себе (дефиницијата не треба да го содржи поимот што се дефинира) или да се дефинира преку друг концепт што се дефинира преку него.

Да ги земеме концептите на елементарната математика како „множење“ и „производ“ и да им ги дадеме следните дефиниции:

Множење на броеви е дејство со кое се наоѓа производот на овие броеви.

Производот на броеви е резултат на нивното множење.

Гледаме дека множењето се дефинира преку концептот производ, а производ – преку концептот на множење. Дефинициите формираа, како што велат во математиката, маѓепсан круг. Како резултат на тоа, синџирот на секвенцијални дефиниции изградени во рамките на курсот е прекинат.

Магичниот круг е содржан и во следнава дефиниција: „Решението на равенката е бројот што е негово решение“. Овде концептот на „решавање равенка“ се дефинира, во суштина, преку решението на равенката.

Дефиницијата мора да биде јасна.

Ова е очигледно правило на прв поглед, но значи многу. Пред сè, потребно е значењата на поимите вклучени во дефинирачкиот концепт да бидат познати до моментот кога ќе се воведе дефиницијата на новиот концепт.

На пример,не може да се дефинира правоаголник како паралелограм со прав агол ако концептот „паралелограм“ сè уште не е разгледан.

Условите за јасност на дефиницијата ја вклучуваат и препораката да се вклучат во конкретната разлика само онолку својства колку што се неопходни и доволни за да се изолираат дефинираните објекти од опсегот на генеричкиот концепт.

Ајде да размислиме На пример,Ова е дефиницијата за правоаголник: „Правоаголник е четириаголник во кој сите агли се прави, а спротивните страни се еднакви“.

Лесно е да се види дека оваа дефиниција е пропорционална и дека во неа нема маѓепсан круг. Но, може да се покаже дека својството „во правоаголник, спротивните страни се еднакви“ вклучено во дефиницијата следи од својството „во правоаголникот, сите агли се прави агли“. Во овој случај, се смета дека во оваа дефиниција за правоаголник второто својство е вишок. Затоа, поправилно е да се дефинира правоаголник на овој начин: „Правоаголник е четириаголник во кој сите агли се правилни“.

Коментар. За една дефиниција да биде јасна, пожелно е да не содржи вишок својства во дефинирачкиот дел, т.е. такви својства што може да се разликуваат од другите вклучени во оваа дефиниција.Меѓутоа, понекогаш за презентации на простата ова правило е прекршено.

За да се обезбеди јасност на дефиницијата, исто така е важно да се има концепт кој е генерички во однос на она што се дефинира.Испуштањето на генерички концепт ја прави дефиницијата непропорционална. На пример, следнава дефиниција за квадрат е неприфатлива: „Квадрат е кога сите страни се еднакви“.

На кажаното треба да се додаде дека, Кога формулираме дефиниција, мора да се стремиме да означиме во дефинирачкиот концепт не само генерички концепт во однос на оној што се дефинира, туку и најблискиот.Ова често овозможува да се намали бројот на својства вклучени во дистинкцијата на видовите.

На пример, ако за дефинирање на квадрат го избереме концептот „четириаголник“ како генерички, тогаш ќе биде неопходно да се вклучат две својства во конкретната разлика: „да ги има сите прави агли“ и „да ги има сите еднакви страни“. Како резултат на тоа, ја добиваме дефиницијата: „Квадрат е четириаголник во кој сите агли се правилни и сите страни се еднакви“.

Ако го избереме најблискиот генерички концепт за квадрат, правоаголник, како генерички, добиваме пократка дефиниција за квадрат: „Квадрат е правоаголник чии сите страни се еднакви“.

Еден ист концепт може да се дефинира преку родови и видови разлика, почитувајќи ги правилата формулирани погоре, на различни начини.

Значи, квадрат може да се дефинира како:

а) правоаголник чии соседни страни се еднакви;

б) правоаголник кој има прав агол;

в) ромб кој има прав агол;

г) паралелограм во кој сите страни се еднакви, а аглите се прави.

Можни се различни дефиниции за истиот концепт поради големиот број својства вклучени во содржината на концептот, само неколку се вклучени во дефиницијата. И кога ќе се избере една од можните дефиниции, тие произлегуваат од која е поедноставна и посоодветна за понатамошна конструкција на теоријата.

Ако е даден истиот концепт, На пример, две различни дефиниции, тогаш е потребно да се докаже нивната еквивалентност, т.е. за да бидете сигурни дека својствата вклучени во една дефиниција ги вклучуваат својствата вклучени во друга, и обратно.

Завршувајќи го нашето разгледување на дефинициите на концептите преку родот и специфичната разлика, да ја именуваме низата дејства што мора да ги следиме ако сакаме да ја репродуцираме дефиницијата за познат концепт или да изградиме дефиниција за нов:

1. Наведете го концептот (поимот) што се дефинира.

2. Наведете го најблискиот генерички (во однос на дефинираниот) концепт.

3. Наброј ги својствата што ги разликуваат дефинираните објекти од генеричкиот волумен, т.е. формулира разлики во видовите.

Нема толку многу примери на експлицитни врски специфични за родот меѓу многуте математички концепти што се дискутираат во основните одделенија. Но, земајќи ја предвид важноста на дефиницијата преку родот и видот во понатамошното образование, препорачливо е да се осигура дека учениците ја разбираат суштината на дефиницијата на овој вид веќе во основните одделенија.

5. Имплицитни дефиниции

При изучувањето на математиката во основните одделенија, ретко се користат дефиниции преку разликување род и вид. Ова се должи и на карактеристиките на курсот и на можностите на децата. Но, има многу концепти во почетниот курс по математика - зборувавме за ова на почетокот на предавањето. Како се одредуваат?

При изучувањето на математиката во основно училиште, т.н имплицитнадефиниции. Во нивната структура е невозможно да се разликуваат определеното и определувачкото.

Во наставата на учениците од основните училишта, од особен интерес меѓу имплицитните дефиниции се контекстуални И тензивен дефиниции.

Во контекстуалните дефиниции, содржината на новиот концепт се открива преку премин од текст, низ контекст, преку анализа на конкретна ситуација која го опишува значењето на дефинираниот концепт со други познати, а со тоа индиректно се открива неговата содржина. На пример, користејќи во работата со деца такви изрази како „пронајди го значењето на изразот“, „спореди го значењето на изразите 5 + а и (а - 3) × 2, ако a = 7“, „читај изрази што се суми“ , „читај изрази , а потоа читај ги равенките“, го прошируваме концептот „математички израз“ како запис кој се состои од броеви или променливи и знаци за дејство.

Или, пример за контекстуална дефиниција може да биде дефиницијата на равенката и нејзиното решение дадено во учебник по математика за трето одделение. Овде, по записот ð + 6 = 15 и списокот со броеви 0,5,9,10 стои текстот: „Кој број треба да го соберете 6 за да направите 15? Да го означиме непознатиот број со латинската буква x (x):

X + 6 = 15 е равенка.

Решавањето на равенката значи наоѓање непознат број. Во оваа равенка, непознатиот број е 9, бидејќи 9+6=15.

Објаснете зошто броевите се 0; 5 и 10 не се соодветни“.

Од горниот текст произлегува дека равенката е равенка во која има непознат број. Може да се означи со буквата x и овој број мора да се најде. Дополнително, од овој текст произлегува дека решението на равенката е број кој, кога ќе се замени со x, ја претвора равенката во вистинска равенка.

Речиси сите дефиниции со кои се среќаваме во секојдневниот живот се контекстуални дефиниции. Откако слушнавме непознат збор, се обидуваме сами да го утврдиме неговото значење врз основа на сè што е кажано.

Слично се случува и во подучувањето на помладите ученици. Многу математички концепти во основното училиште се дефинирани преку контекст. Ова, На пример, концепти како „големо - мало“, „било кој“, „било кој“, „еден“, „многу“, „број“, „аритметичка операција“, „равенка“, „задача“ итн.

Контекстуалните дефиниции остануваат во голема мера нецелосни и нецелосни. Тие се користат поради неподготвеноста на помладите ученици да ја совладаат целосната, а особено научната дефиниција.

Отензивните дефиниции се дефиниции со демонстрација.. Тие наликуваат на обични контекстуални дефиниции, но контекстот овде не е пасус од кој било текст, туку ситуација во која се наоѓа објектот означен со концептот.

На пример, наставникот покажува квадрат (цртеж или модел на хартија) и вели „Гледај - тоа е квадрат“. Ова е типична нагласена дефиниција.

Тие се користат и за воведување поими со прикажување на предметите на кои се однесуваат овие поими. На пример, на овој начин концептите на еднаквост и нееднаквост може да се дефинираат во основното училиште:

2 × 7 > 2 × 6 9 × 3 = 27

78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

37+ 6 > 37 17 - 5 = 8 + 4

Во основното училиште, приметливите дефиниции се користат кога се разгледуваат концепти како „црвена (бела, црна, итн.) боја“, „лево - десно“, „лево кон десно“, „цифра“, „претходен и следен број“, „ знаци“ аритметички операции“, „компаративни знаци“, „триаголник“, „четириаголник“, „коцка“ итн.

Врз основа на привидната асимилација на значењата на зборовите, можно е да се воведе вербалното значење на новите зборови и фрази во речникот на детето. Насилните дефиниции - и само тие - ги поврзуваат зборовите со нештата. Без нив јазикот е само вербална чипка која нема објективна, суштинска содржина.

Отензивните дефиниции, како и контекстуалните, се карактеризираат со одредена нецелосност. Навистина, дефиницијата со демонстрација не разликува концепт од другите реченици, не ги означува својствата карактеристични за овие концепти. Затоа, по контекстуално или нагласено дефинирање на концептот, неопходно е дополнително проучување на својствата на таквите дефинирани објекти.

Забележете дека во основните одделенија, прифатливи дефиниции како „Ќе го користиме зборот „пентагон“ за да значи многуаголник со пет страни“. Ова е т.н „номинална дефиниција» .

Одделни дефиниции може да го разгледаат концептот според начинот на неговото формирање или појава. Овој тип на дефиниција се нарекува генетски.

Примери на генетски дефиниции: „Агол се зраците што излегуваат од една точка“, „Дијагоналата на правоаголникот е отсечка што ги поврзува спротивните темиња на правоаголникот“. Во основните одделенија, генетските дефиниции се користат за концепти како „сегмент“, „скршена линија“, „прав агол“, „круг“.

Генетските концепти вклучуваат дефиниција преку листа .

На пример, „Природната серија на броеви се броевите 1, 2, 3, 4 итн.

Некои поими во основните одделенија се воведуваат само преку термин.

На пример, временски единици година, месец, час, минута.

Во основното училиште има концепти кои се учат симболичен јазик во форма на еднаквост, на пример, ×1 = a, a × 0 = 0

Во основните одделенија, многу математички поими прво се учат површно и нејасно. На првото запознавање, учениците учат само за некои својства на концептите и имаат многу тесна идеја за нивниот опсег. И ова е природно. Не се лесни за разбирање сите концепти. Но, несомнено е дека разбирањето и навременото користење од страна на наставникот на одредени видови дефиниции за математички поими е еден од условите за учениците да развијат солидно знаење за овие поими.