: Проширете го вашето знаење во областа на докажување на нееднаквости. Дознајте за нееднаквоста на Коши. Научете да ги применувате научените методи за докажување на нееднаквости.
Преземи:
Преглед:
Државна буџетска образовна институција
средно училиште бр.655
Областа Приморски во Санкт Петербург
„Доказ за нееднаквости. Нееднаквоста на Коши“
2014 година
Ли Нина Јуриевна
8-мо одделение
Апстракт…………………………………………………………………………………….3
Вовед…………………………………………………………………………………….. 4
Историска позадина………………………………………………………………………………………..4
Кошиева нееднаквост……………………………………………………………………………………………
Доказ за нееднаквости……………………………………………………………………..7
Заклучоци од студијата…………………………………………………………………………………..10
Користена литература…………………………………………………………………………………………… 11
Ли Нина
Санкт Петербург, GBOU средно училиште бр. 655, 8 одделение
„Доказ за нееднаквости. Нееднаквоста на Коши“.
претпоставен: Јулија Владимировна Мороз, наставник по математика
Цел на научната работа: Да ги прошири своите знаења во областа на докажување на нееднаквости. Дознајте за нееднаквоста на Коши. Научете да ги применувате научените методи за докажување на нееднаквости.
ВОВЕД
„...главните резултати од математиката почесто се изразуваат не со еднаквости, туку со нееднаквости“.
Е. Бекенбах
Се занимаваме со решавање на нееднаквости во текот на училишниот курс. Неравенките може да се решат графички и аналитички. За да се реши каква било нееднаквост, постои одреден алгоритам на дејства, така што оваа задача е повеќе механичка акција која не бара креативен пристап.
Напротив, докажувањето на нееднаквостите бара неформален, променлив пристап. Затоа, доказот за нееднаквости е најинтересен.
Меѓутоа, во училишниот курс по математика многу малку внимание се посветува на докажување на нееднаквости. Докажувањето на неравенки се сведува на една техника - проценување на разликата помеѓу деловите на неравенството.Во меѓувреме, на математичките олимпијади често има проблеми со докажување на нееднаквости со помош на други методи и техники (употреба на неравенки за поддршка, метод на проценка).На олимпијадите за ученици по математика често се предлагаат и нееднаквости, чие докажување подобро ги открива способностите и можностите на учениците и степенот на нивниот интелектуален развој. Покрај тоа, многу проблеми со зголемена сложеност (од различни гранки на математиката) ефективно се решаваат со помош на неравенки.
Релевантноста на темата „Доказ за нееднаквости“ е непобитна, бидејќи неравенките играат фундаментална улога во повеќето гранки на модерната математика; ниту физиката, ниту астрономијата, ниту хемијата не можат без нив. Теорија на веројатност, математичка статистика, финансиска математика, економија - сите овие меѓусебно поврзани и меѓусебно генерализирани науки постојано користат нееднаквости во формулирањето на нивните основни закони, и во методите за нивно добивање и во апликациите.
Доказите за нееднаквости помагаат да се развие вештината за разбирање и примена на техники за докажување на нееднаквости; способноста да се применат при извршување на различни задачи; способност за анализа, генерализирање и донесување заклучоци; логично изразување на мислите; е креативен во својата работа.
Целта на оваа работа е проширување на знаењата од областа на методите и техниките за докажување на нееднаквости.
За да ја постигнеме оваа истражувачка цел, си ги поставивме следните задачи:
- собирање информации од различни извори за техники и методи за докажување на нееднаквости;
- да се запознае со нееднаквоста на Коши;
- Научете да применувате придружни неравенки за да докажете посложени неравенки.
ИСТОРИСКА РЕФЕРЕНЦА
Концептите „повеќе“ и „помалку“, заедно со концептот „еднаквост“, се појавија во врска со броењето предмети и потребата да се споредат различни количини. Концептите за нееднаквост ги користеле античките Грци. Архимед (3 век п.н.е.), додека го пресметувал обемот, утврдил дека „периметарот на кој било круг е еднаков на три пати поголем од дијаметарот со вишок што е помал од една седмина од дијаметарот, но повеќе од десет седумдесет“. Со други зборови, Архимед ги посочил границите на бројот π.
Во 1557 година, кога Роберт Рекорд првпат го вовел знакот за еднаквост, тој ја мотивирал својата иновација на следниов начин: ниту еден објект не може да биде поеднаков еден со друг од два паралелни сегменти. Врз основа на знакот за еднаквост на Рекорд, друг англиски научник Хариот вовел знаци за нееднаквост кои се користат и денес, оправдувајќи ја иновацијата на следниов начин: ако две величини не се еднакви, тогаш отсечките што се појавуваат во знакот за еднаквост повеќе не се паралелни, туку се сечат. Пресекот може да се одвива десно (>) или лево (
И покрај фактот што знаците за нееднаквост беа предложени 74 години по знакот за еднаквост предложен од Рекорд, тие стапија во употреба многу порано од вториот. Една од причините за оваа појава е вкоренета во фактот што печатниците во тоа време ја користеле латинската буква што веќе ја имале за знаци за нееднаквост. V, додека тие немаа знак за наборување еднакво (=), и тогаш не беше лесно да се направи.
Знаците ≤ и ≥ ги вовел францускиот математичар П. Бугер.
НЕЕДНАКВОСТ НА КОШИ
Идеите што се користат за докажување на нееднаквостите се речиси исто толку различни како и самите неравенки. Во конкретни ситуации, општите методи често водат до грди решенија. Но, само неколку успеваат да комбинираат неколку „основни“ нееднаквости на неочигледен начин. И, покрај тоа, ништо не нè спречува во секој конкретен случај да бараме попогодно, подобро решение од она што се добива со општиот метод. Поради оваа причина, доказот за нееднаквости често се префрла во областа на уметноста. И како и секоја уметност, тука има технички техники, чиј опсег е многу широк и многу е тешко да се совладаат сите.
Една од овие „основни“ неравенки е неравенката на Коши, која ја означува врската помеѓу две просечни вредности - аритметичката средина и геометриската средина. Аритметичката средина се изучува во курсот за петто одделение и изгледа вакаГеометриската средина првпат се појавува во предметот по геометрија за осмо одделение -. Во правоаголен триаголник, три отсечки го имаат ова својство: две катети и нормална спуштена од темето на правиот агол до хипотенузата.
Постои изненадувачка врска помеѓу овие две количини што ги проучувале научниците. О. Коши, француски математичар, дошол до заклучок дека аритметичката средина на n ненегативни броеви секогаш не е помала од геометриската средина на овие броеви.
Заедно со нееднаквоста на Коши, корисно е да се знаат нејзините последици:
Еднаквост се постигнува кога a = b.
Неравенките се вистинити ако се исполнети условите a > 0, b > 0.
Алгебарскиот доказ за оваа нееднаквост е прилично едноставен:
(a – c)² ≥ 0;
Да ја примениме формулата „квадратна разлика“:
a² - 2av + b² ≥0;
Да ги додадеме двете страни на нееднаквоста 4av:
a² + 2av + b² ≥4av;
Да ја примениме формулата „квадрат на збирот“:
(a + b)² ≥4av;
Да ги поделиме двете страни на нееднаквоста со 4 :
Бидејќи а и б се позитивни по услов, тогаш го извлекуваме квадратниот корен од двете страни на неравенката:
Го добивме посакуваниот израз.
Размислете за геометрискиот доказ:
Дадени се: ABCD – правоаголни, AD = a, AB = b, AK – симетрала на аголот BAD.
Доказ:
Доказ:
- АК е симетрала, затоа, VAL = LAD. LAD и BLA – внатрешни попречни агли со паралелни BC и AD и секантни AL, т.е BLA = LAD.
- Б = 90°, затоа BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значи ∆ ABL – рамнокрак, BL = AB = b.
- ∆AKD – рамнокрак, бидејќи КД┴АД, DAL = 45°, што значи AD = KD = a.
Очигледно е дека, еднаквост се постигнува кога
a = b , односно ABCD е квадрат.
да замениме во нееднаквоста a² по m, b² по n, добиваме
Или,
односно геометриската средина не е поголема од аритметичката средина.
ДОКАЗ ЗА НЕЕДНАКВИ
Метод на синтеза.
Ова е метод заснован на добивање (синтетизирање) нееднаквост (која треба да се оправда) од поддршка (основни) нееднаквости и методи за нивно утврдување.
Ајде да го решиме проблемот користејќи го методот на синтеза
Задача 1. Докажи дека за секој ненегативена, б, в нееднаквоста е вистина
Решение. Дозволете ни да запишеме три неравенки со кои се утврдува врската помеѓу аритметичката средина и геометриската средина на два ненегативни броја
Дозволете ни да ги помножиме добиените неравенки по член, бидејќи нивната лева и десна страна се ненегативни
Задача 2. Да ја примениме неравенката на Коши за да ја докажеме оваа неравенка:
Начин на користење на идентитети.
Суштината на методот е дека оваа нееднаквост се сведува на очигледен идентитет преку еквивалентни трансформации.
Ајде да размислиме да го решиме проблемот користејќи го овој метод.
Задача. Докажете го тоа за сите реални броевиа и б нееднаквоста е вистина.
Решение. Дозволете ни да избереме целосен квадрат на левата страна на неравенката
За секој валидена и б овој израз е ненегативен, што значи дека и оваа нееднаквост е задоволувачка, т.е.
ЗАКЛУЧОК
Оваа истражувачка работа беше насочена кон решавање на следниве проблеми:
- собирање информации и проучување на различни методи и техники за докажување на нееднаквости;
- запознавање со извонредната нееднаквост на Коши, нејзино докажување на алгебарски и геометриски начин;
- примена на стекнатото знаење за докажување на нееднаквости;
- запознавање со методот на синтеза и употреба на идентитети при решавање зададени проблеми.
Во процесот на решавање на проблемите, ја постигнавме целта на нашата истражувачка работа - изнаоѓање на оптимално ефективен метод за докажување на нееднаквости.
БИБЛИОГРАФИЈА
- Алгебра. 8 одделение: учебник. за студенти од општо образование институција/ Ју.Н.Макаричев, Н.Г. Миндјук, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов. - 13. издание - М.: Мнемозина, 2013. - 384 стр.
- Алгебра. 8-мо одделение. Дидактички материјали. Методолошки препораки / I.E. Feoktistov. - 3-то издание, стер. - М.: Mnemosyna, 2013. - 173 стр.
- Мордкович А.Г. Алгебра. 8-мо одделение. На 2 часа.Дел 1. Учебник за ученици од општообразовни институции / А.Г. Мордкович. – 10-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2008 година. – 215 стр., C 185-200.
- Берколаико С.Т. Употребата на нееднаквоста на Коши во решавање на проблеми - М.: Квант, 1975. - бр.
На семинарот на координаторите на Олимпијадата „Кенгур“, Вјачеслав Андреевич Јасински одржа предавање за тоа како да ги докаже симетричните неравенки на Олимпијадата користејќи свој метод на разлики на променливите.
Навистина, на математичките олимпијади често има задачи за докажување нееднаквости, како што е, на пример, оваа од Меѓународната олимпијада по математика во 2001 година: $\frac(a)(\sqrt(a^2+8bc))+\frac(b )( \sqrt(b^2+8ac))+\frac(c)(\sqrt(c^2+8ab))\geq 1$ (за позитивни a,b,c).
Обично, за да се докаже нееднаквоста на Олимпијадата, таа мора да се сведе на една од основните: Коши, Коши-Бунјаковски, Јенсен, нееднаквост меѓу средствата итн. Покрај тоа, честопати треба да пробате различни верзии на основната нееднаквост пред да постигнете успех.
Меѓутоа, честопати нееднаквостите на Олимпијадата (како онаа погоре) имаат една карактеристика. Кога ќе ги преуредите променливите (на пример, замена на a со b, b со c и c со a), тие нема да се променат.
Ако функцијата од неколку променливи не се менува со какво било преуредување, тогаш таа се нарекува симетрична. За симетрична функција ѓод три променливи важи еднаквоста:
ѓ(x,y,z)= ѓ(x,z,y)= ѓ(y,x,z)= ѓ(y,z,x)= ѓ(z , x , y )= ѓ(z, y, x)
Ако функцијата не се менува само кога променливите се циклично преуредени, таа се нарекува циклична.
ѓ(x,y,z)= ѓ(y,z,x)= ѓ(z, x, y)
За неравенки кои се конструирани врз основа на симетрични функции, Вјачеслав Андреевич разви универзален метод на докажување.
Методот се состои од следните чекори.
1. Трансформирајте ја неравенката така што лево ќе има симетричен полином (да го означиме D) и 0 десно.
2. Изрази го симетричниот полином D во променливите a, b, c во однос на основните симетрични полиноми.
Постојат три основни симетрични полиноми во три променливи. Ова:
p = a+b+c - збир;
q = ab+bc+ac - збир на парни производи;
r = abc - производ.
Секој симетричен полином може да се изрази во однос на базни полиноми.
3. Бидејќи полиномот D е симетричен, можеме, без губење на општоста, да претпоставиме дека променливите a, b, c се подредени на следниов начин: $a\geq b\geq c$
4. Воведуваме два ненегативни броја x и y, така што x = a-b, y = b-c.
5. Повторно преобразете го полиномот D, изразувајќи ги p, q и r во однос на c и x, y. Тоа го земаме предвид
b = y+c
a = (x+y)+c
Потоа
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3
Ве молиме имајте предвид дека не отвораме загради во изразите што содржат x и y.
6. Сега го сметаме полиномот D како полином во c со коефициенти изразени во однос на x и y. Земајќи ја предвид ненегативноста на коефициентите, излегува дека е лесно да се покаже дека знакот за нееднаквост ќе се зачува за сите дозволени вредности на c.
Дозволете ни да го објасниме овој метод со примери.
Пример 1. Докажете ја нееднаквоста:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
Доказ
Бидејќи неравенката е симетрична (не се менува со никаква пермутација на променливите a, b, c), ја прикажуваме како
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$
Да го изразиме полиномот од левата страна во однос на основните симетрични:
$p^2 - 3q\geq 0$
Бидејќи полиномот е симетричен, можеме да претпоставиме, без губење на општоста, дека $a\geq b\geq c$ и $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$.
стр 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c +9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y
Откако ќе донесеме слични, добиваме неравенка која воопшто не содржи променлива со
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$
Сега можете да ги отворите заградите
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - што е точно и за негативни x, y и за било кој.
Така, нееднаквоста се докажува.
Пример 2(од британската математичка олимпијада од 1999 година)
Докажете дека $7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ (за позитивни броеви, ако a+b+c = 1)
Доказ
Пред да почнеме да намалуваме сè на левата страна, да забележиме дека степените на деловите на нееднаквоста не се избалансирани. Ако во Пример 1 двете страни на неравенката биле полиноми од втор степен, тогаш овде полиномот од вториот степен се споредува со збирот на нулата и третиот полином. Го користиме фактот дека збирот a+b+c по услов е еднаков на 1 и ја множиме левата страна со едно, а двете од десната страна со една коцка.
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$
Сега да преместиме сè налево и да ја замислиме левата страна како симетричен полином од a, b, c:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$
Да ја изразиме левата страна во однос на основните симетрични полиноми:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$
Да ја изразиме левата страна во однос на x, y и c, прикажувајќи ја како полином во однос на c.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9( (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+ 9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3 ) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2 +14(x+2y) 2 c +7(x+2y)(x+ y) y+63c 3 +42(x+2y)c 2 +21(x+y)yс -2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c -54(x+2y)c 2 - 54c 3 -9(x+y)yc -9(x+2y)c 2 -9c 3
Главната работа е да се извршат трансформациите внимателно и внимателно. Како што рече Вјачеслав Андреевич, ако направи трансформации и некој му го одвлече вниманието, го фрла листот со формулите и почнува повторно.
За погодност за намалување на сличните во финалниот полином, тие се означени во различни бои.
Сите термини со c 3 ќе бидат уништени: 63c 3 -54c 3 -9c 3 = 0
Истото ќе се случи и со вториот степен со: 21 (x+2y)c 2 +42 (x+2y)c 2 -54 (x+2y)c 2 -9 (x+2y)c 2 = 0
Да ги трансформираме поимите со прв степен со: 14 (x+2y) 2 c+21 (x+y)yс-18 (x+2y) 2 c-9 (x+y)yc= -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 )в - овој израз никогаш нема да биде позитивен.
И слободни термини: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+ 4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - и овој израз исто така.
Така, првобитната неравенка секогаш ќе биде задоволена, а таа ќе се претвори во еднаквост само ако a=b=c.
На своето предавање, Вјачеслав Андреевич разговараше за многу поинтересни примери. Обидете се да го користите овој метод за да ги докажете нееднаквостите на Олимпијадата. Можеби тоа ќе ви помогне да добиете неколку вредни поени.
Образовна институција: Општинска образовна институција Лицеј бр. 1, Комсомолск-на-Амур
Раководител: Будљанскаја Наталија Леонидовна
Ако сакате да учествувате во голем живот, тогаш наполнете ја главата со математика додека имате можност. Таа потоа ќе ви пружи голема помош во целата ваша работа. (М.И. Калинин)
Претставување на левата страна на неравенката како збир од ненегативни членови (десната страна е 0) со употреба на идентитети.
Пример 1. Докажете го тоа за кој било xϵR
Доказ . 1 начин.
Метод 2.
за квадратна функција што значи нејзината позитивност за секој реален X.
Пример 2. Докажи дека за кои било x и y
Доказ. Пример 3. Докажете го тоа Доказ. Пример 4. Докажи дека за кое било a и b Доказ.
2. Спротивниот метод
Еве добар пример за користење на овој метод. Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ . 1 начин.
Метод 2.
за квадратна функција што значи нејзината позитивност за секој реален X.
Пример 2. Докажи дека за кои било x и y
Доказ. Пример 3. Докажете го тоа Доказ. Пример 4. Докажи дека за кое било a и b Доказ.
2. Спротивниот метод
Еве добар пример за користење на овој метод. Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Метод 2.
за квадратна функција што значи нејзината позитивност за секој реален X.
Пример 2. Докажи дека за кои било x и y
Доказ. Пример 3. Докажете го тоа Доказ. Пример 4. Докажи дека за кое било a и b Доказ.
2. Спротивниот метод
Еве добар пример за користење на овој метод. Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
за квадратна функција што значи нејзината позитивност за секој реален X.
Пример 2. Докажи дека за кои било x и y
Доказ. Пример 3. Докажете го тоа Доказ. Пример 4. Докажи дека за кое било a и b Доказ.
2. Спротивниот метод
Еве добар пример за користење на овој метод. Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
што значи нејзината позитивност за секој реален X.
Пример 2. Докажи дека за кои било x и y
Доказ. Пример 3. Докажете го тоа Доказ. Пример 4. Докажи дека за кое било a и b Доказ.
2. Спротивниот метод
Еве добар пример за користење на овој метод. Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Пример 2. Докажи дека за кои било x и y
Доказ. Пример 3. Докажете го тоа Доказ. Пример 4. Докажи дека за кое било a и b Доказ.
2. Спротивниот метод
Еве добар пример за користење на овој метод. Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ. Пример 3. Докажете го тоа Доказ. Пример 4. Докажи дека за кое било a и b Доказ.
2. Спротивниот метод
Еве добар пример за користење на овој метод. Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ. Пример 4. Докажи дека за кое било a и b Доказ.
2. Спротивниот метод
Еве добар пример за користење на овој метод. Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ.
2. Спротивниот метод
Еве добар пример за користење на овој метод. Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Докажете дека за a, b ϵ R. Доказ. Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Ајде да се преправаме дека. Но, ова јасно докажува дека нашата претпоставка е неточна. C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
C.T.D.
Пример 5.Докажете дека за сите броеви A, B, C е точно следнава неравенка:
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ.Очигледно, доволно е да се утврди оваа нееднаквост за не-негативни А, БИ СО,бидејќи ќе ја имаме следната врска: ,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
,
што е образложението за првобитната нееднаквост .
Сега нека има такви ненегативни бројки А, БИ СО, за што важи нееднаквоста , што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
, што е невозможно под секое реално А, БИ СО. Претпоставката направена погоре е побиена, што се докажува со првобитната нееднаквост што се проучува.
Користење на својствата на квадратниот трином
Методот се заснова на својството на ненегативност на квадратен трином ако И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
И. Пример 6. Докажете го тоа Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ. Нека биде, a=2, 2>0 =>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
=>
Пример 7. Докажи дека за секој реален x и y важи неравенството Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ. Сметајте ја левата страна на неравенката како квадратен трином во однос на X: , a>0, Д D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
D= => P(x)>0И точно за сите реални вредности XИ u.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Пример 8. Докажете го тоа за сите реални вредности на x и y. Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ. Нека
, Ова значи дека за секој вистински наи нееднаквоста е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
е задоволен за секој реален XИ u.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Начин на воведување нови променливи или метод на замена
Пример 9. Докажете дека за сите ненегативни броеви x, y, z Доказ. Да ја користиме точната неравенка за, . Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
. Ја добиваме нееднаквоста што се проучува
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Користење на својствата на функцијата.
Пример 10. Да ја докажеме нееднаквоста за било кое а и б. Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ. Да разгледаме 2 случаи: Ако a=b тогаш точно
Притоа, еднаквост се постигнува само кога a=b=0. 2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Ако a=b тогаш точно
2) Ако , на R => ()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
()* ()>0, што ја докажува неравенството
Пример 11. Да го докажеме тоа за било кој
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Доказ. на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
на Р. Ако, тогаш знаците на бројките се совпаѓаат, што значи дека разликата што се проучува е позитивна =>
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Примена на методот на математичка индукција
Овој метод се користи за докажување на неравенки во однос на природните броеви. Пример 12. Докажете дека за кој било nϵN
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
- (десно) 2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Да ја провериме вистинитоста на изјавата кога
2) Претпоставете ја вистинитоста на исказот кога (k>1)
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
3) Да ја докажеме вистинитоста на исказот кога n=k+1. Ајде да споредиме и: Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Ние имаме: Заклучок: изјавата е вистинита за секого nϵN.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Користење на забележителни нееднаквости
Теорема за просеците (неравенка на Коши)
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста на Бернули
Да ја разгледаме секоја од наведените неравенки посебно.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Примена на теоремата за средна вредност (нееднаквост на Коши)
Аритметичката средина на неколку ненегативни броеви е поголема или еднаква на нивната геометриска средина , Каде Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Знакот за еднаквост се постигнува ако и само ако Ајде да разгледаме посебни случаи на оваа теорема:
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Нека n=2, тогаш
Нека n=2, a>0, тогаш
Нека n=3, тогаш
Пример 13. Докажете дека за сите ненегативни a,b,c важи неравенството Доказ.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Коши-Бунјаковски нееднаквост
Нееднаквоста Коши-Бунјаковски наведува дека за која било; соодносот е валиден Докажаната нееднаквост има геометриска интерпретација. За n=2,3 го изразува добро познатиот факт дека скаларниот производ на два вектори на рамнината и во просторот не го надминува производот од нивните должини. За n=2 неравенството има форма: . За n=3 добиваме
Пример 14.
Пример 14.
Доказ. Дозволете ни да ја напишеме нееднаквоста што се проучува во следнава форма:
Ова е очигледно вистинска нееднаквост, бидејќи е посебен случај на нееднаквоста Коши-Бунјаковски.
Пример 15. Докажете дека за кое било a,b,c ϵ R важи следнава неравенка:
Доказ. Доволно е да се напише оваа нееднаквост во формата
и се однесуваат на нееднаквоста Коши-Бунјаковски.
Нееднаквоста на Бернули
Неравенката на Бернули вели дека ако x>-1, тогаш за сите природни вредности на n важи следнава неравенка: Неравенството може да се користи за изрази на формата Покрај тоа, многу голема група на неравенки може лесно да се докаже со помош на теоремата на Бернули.
Покрај тоа, многу голема група на неравенки може лесно да се докаже со помош на теоремата на Бернули.
Пример 16.
Доказ. Ставање x=0,5 ипримена на теоремата на Бернули за изразување
Ја добиваме потребната нееднаквост.
Пример 17. Докажете дека за кое било n ϵ N
Доказ.
според теоремата на Бернули, како што се бара. 
Дејвид Гилберт беше прашан за еден од неговите поранешни студенти. „Ох, тој и тој?“, се сеќава Хилберт. „Тој стана поет.
На семинарот на координаторите на Олимпијадата „Кенгур“, Вјачеслав Андреевич Јасински одржа предавање за тоа како да ги докаже симетричните неравенки на Олимпијадата користејќи свој метод на разлики на променливите.
Навистина, на математичките олимпијади често има задачи за докажување нееднаквости, како што е, на пример, оваа од Меѓународната олимпијада по математика во 2001 година: $\frac(a)(\sqrt(a^2+8bc))+\frac(b )( \sqrt(b^2+8ac))+\frac(c)(\sqrt(c^2+8ab))\geq 1$ (за позитивни a,b,c).
Обично, за да се докаже нееднаквоста на Олимпијадата, таа мора да се сведе на една од основните: Коши, Коши-Бунјаковски, Јенсен, нееднаквост меѓу средствата итн. Покрај тоа, честопати треба да пробате различни верзии на основната нееднаквост пред да постигнете успех.
Меѓутоа, честопати нееднаквостите на Олимпијадата (како онаа погоре) имаат една карактеристика. Кога ќе ги преуредите променливите (на пример, замена на a со b, b со c и c со a), тие нема да се променат.
Ако функцијата од неколку променливи не се менува со какво било преуредување, тогаш таа се нарекува симетрична. За симетрична функција ѓод три променливи важи еднаквоста:
ѓ(x,y,z)= ѓ(x,z,y)= ѓ(y,x,z)= ѓ(y,z,x)= ѓ(z , x , y )= ѓ(z, y, x)
Ако функцијата не се менува само кога променливите се циклично преуредени, таа се нарекува циклична.
ѓ(x,y,z)= ѓ(y,z,x)= ѓ(z, x, y)
За неравенки кои се конструирани врз основа на симетрични функции, Вјачеслав Андреевич разви универзален метод на докажување.
Методот се состои од следните чекори.
1. Трансформирајте ја неравенката така што лево ќе има симетричен полином (да го означиме D) и 0 десно.
2. Изрази го симетричниот полином D во променливите a, b, c во однос на основните симетрични полиноми.
Постојат три основни симетрични полиноми во три променливи. Ова:
p = a+b+c - збир;
q = ab+bc+ac - збир на парни производи;
r = abc - производ.
Секој симетричен полином може да се изрази во однос на базни полиноми.
3. Бидејќи полиномот D е симетричен, можеме, без губење на општоста, да претпоставиме дека променливите a, b, c се подредени на следниов начин: $a\geq b\geq c$
4. Воведуваме два ненегативни броја x и y, така што x = a-b, y = b-c.
5. Повторно преобразете го полиномот D, изразувајќи ги p, q и r во однос на c и x, y. Тоа го земаме предвид
b = y+c
a = (x+y)+c
Потоа
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3
Ве молиме имајте предвид дека не отвораме загради во изразите што содржат x и y.
6. Сега го сметаме полиномот D како полином во c со коефициенти изразени во однос на x и y. Земајќи ја предвид ненегативноста на коефициентите, излегува дека е лесно да се покаже дека знакот за нееднаквост ќе се зачува за сите дозволени вредности на c.
Дозволете ни да го објасниме овој метод со примери.
Пример 1. Докажете ја нееднаквоста:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
Доказ
Бидејќи неравенката е симетрична (не се менува со никаква пермутација на променливите a, b, c), ја прикажуваме како
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$
Да го изразиме полиномот од левата страна во однос на основните симетрични:
$p^2 - 3q\geq 0$
Бидејќи полиномот е симетричен, можеме да претпоставиме, без губење на општоста, дека $a\geq b\geq c$ и $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$.
стр 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c +9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y
Откако ќе донесеме слични, добиваме неравенка која воопшто не содржи променлива со
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$
Сега можете да ги отворите заградите
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - што е точно и за негативни x, y и за било кој.
Така, нееднаквоста се докажува.
Пример 2(од британската математичка олимпијада од 1999 година)
Докажете дека $7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ (за позитивни броеви, ако a+b+c = 1)
Доказ
Пред да почнеме да намалуваме сè на левата страна, да забележиме дека степените на деловите на нееднаквоста не се избалансирани. Ако во Пример 1 двете страни на неравенката биле полиноми од втор степен, тогаш овде полиномот од вториот степен се споредува со збирот на нулата и третиот полином. Го користиме фактот дека збирот a+b+c по услов е еднаков на 1 и ја множиме левата страна со едно, а двете од десната страна со една коцка.
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$
Сега да преместиме сè налево и да ја замислиме левата страна како симетричен полином од a, b, c:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$
Да ја изразиме левата страна во однос на основните симетрични полиноми:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$
Да ја изразиме левата страна во однос на x, y и c, прикажувајќи ја како полином во однос на c.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9( (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+ 9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3 ) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2 +14(x+2y) 2 c +7(x+2y)(x+ y) y+63c 3 +42(x+2y)c 2 +21(x+y)yс -2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c -54(x+2y)c 2 - 54c 3 -9(x+y)yc -9(x+2y)c 2 -9c 3
Главната работа е да се извршат трансформациите внимателно и внимателно. Како што рече Вјачеслав Андреевич, ако направи трансформации и некој му го одвлече вниманието, го фрла листот со формулите и почнува повторно.
За погодност за намалување на сличните во финалниот полином, тие се означени во различни бои.
Сите термини со c 3 ќе бидат уништени: 63c 3 -54c 3 -9c 3 = 0
Истото ќе се случи и со вториот степен со: 21 (x+2y)c 2 +42 (x+2y)c 2 -54 (x+2y)c 2 -9 (x+2y)c 2 = 0
Да ги трансформираме поимите со прв степен со: 14 (x+2y) 2 c+21 (x+y)yс-18 (x+2y) 2 c-9 (x+y)yc= -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 )в - овој израз никогаш нема да биде позитивен.
И слободни термини: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+ 4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - и овој израз исто така.
Така, првобитната неравенка секогаш ќе биде задоволена, а таа ќе се претвори во еднаквост само ако a=b=c.
На своето предавање, Вјачеслав Андреевич разговараше за многу поинтересни примери. Обидете се да го користите овој метод за да ги докажете нееднаквостите на Олимпијадата. Можеби тоа ќе ви помогне да добиете неколку вредни поени.
Ретко кога Олимпијадата поминува без проблеми кои бараат докажување на одредена нееднаквост. Алгебарските неравенки се докажани со користење на различни методи кои се засноваат на еквивалентни трансформации и својства на нумерички неравенки:
1) ако a – b > 0, тогаш a > b; ако а – б
2) ако a > b, тогаш b a;
3) ако а
4) ако а
5) ако a 0, тогаш ac
6) ако п.н.е. a/c > b/c ;
7) ако 1
8) ако 0
Да се потсетиме на некои придружни неравенки кои често се користат за докажување на други неравенки:
1) a 2 > 0;
2) aх 2 + bx + c > 0, за a > 0, b 2 – 4ac
3) x + 1 / x > 2, за x > 0, и x + 1 / x –2, за x
4) |a + b| |а| + |b|, |a – b| > |а| – |b|;
5) ако a > b > 0, тогаш 1/a
6) ако a > b > 0 и x > 0, тогаш a x > b x, особено, за природно n > 2
a 2 > b 2 и n √ a > n √ б;
7) ако a > b > 0 и x
8) ако x > 0, тогаш грев x
Многу проблеми на ниво на Олимпијада, а не само нееднаквости, ефективно се решаваат со помош на некои посебни нееднаквости со кои учениците често не се запознаени. Тие, пред сè, вклучуваат:
- неравенство помеѓу аритметичката средина и геометриската средина на позитивните броеви (неравенка на Коши):
- Неравенка на Бернули:
(1 + α) n ≥ 1 + nα, каде α > -1, n – природен број;
- Нееднаквост Коши-Бунјаковски:
(а 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . . );
Најпопуларните методи за докажување на нееднаквости вклучуваат:
- доказ за нееднаквости врз основа на дефиниција;
- метод на избор на квадрат;
- метод на последователни проценки;
- метод на математичка индукција;
- употреба на посебни и класични неравенки;
- употреба на елементи на математичка анализа;
- употреба на геометриски размислувања;
- идеја за зајакнување итн.
Проблеми со решенија
1. Докажете ја нееднаквоста:
а) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 (a + b + c);
б) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;
в) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 за x > 0, y > 0.
а) Имаме
a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,
што е очигледно.
б) Неравенството што се докажува по множење на двете страни со 2 добива форма
2а 2 + 2б 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,
или
(a 2 – 2ab + b 2) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,
или
(а – б) 2 + (а – 1) 2 + (б – 1) 2 > 0,
што е очигледно. Еднаквоста се јавува само кога a = b = 1.
в) Имаме
x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =
= (x – y) (x 4 – y 4) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2) > 0.
2. Докажете ја нееднаквоста:
| А) | а | + | б | > | 2 за a > 0, b > 0; | |
| б | а |
| б) | Р | + | Р | + | Р | > 9, каде што a, b, c се страните и P е периметарот на триаголникот; | |
| а | б | в |
|
в) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, каде што a > 0, b > 0, c > 0. |
а) Имаме:
| а | + | б | – 2 = | a 2 + b 2 – 2ab | = | (а – б) 2 | > 0. | |
| б | а | ab | ab |
б ) Доказот за оваа нееднаквост произлегува едноставно од следната проценка:
| b+c | + | a+c | + | a+b | = |
| а | б | в |
| = | б | + | в | + | а | + | в | + | а | + | б | = |
| а | а | б | б | в | в |
| = ( | б | + | а | ) + ( | в | + | а | ) + ( | в | + | б | ) > 6, |
| а | б | а | в | б | в |
Се постигнува еднаквост за рамностран триаголник.
в) Имаме:
|
ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) = |
| = abc ( | а | + | б | – 2 + | б | + | в | – 2 + | а | + | в | – 2 ) = |
| в | в | а | а | б | б |
| = abc (( | а | + | б | – 2) + ( | а | + | в | – 2) + ( | б | + | в | – 2) ) > 0, |
| б | а | в | а | в | б |
бидејќи збирот на два позитивни реципрочни броја е поголем или еднаков на 2.
3. Докажете дека ако a + b = 1, тогаш важи неравенката a 8 + b 8 > 1 / 128.
Од условот a + b = 1, произлегува дека
a 2 + 2ab + b 2 = 1.
Да ја додадеме оваа еднаквост на очигледната нееднаквост
a 2 – 2ab + b 2 > 0.
Добиваме:
2а 2 + 2б 2 > 1, или 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.
4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,
добиваме:
8а 4 + 8б 4 > 1, од каде 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.
Додавање на оваа нееднаквост на очигледната нееднаквост
64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,
добиваме:
128a 8 + 128 b 8 > 1 или a 8 + b 8 > 1/128.
4. Уште повеќе e e · π πили д 2π?
Размислете за функцијата f(x) = x – π ln x . Затоа што f'(x) = 1 – π/x , и лево од точката X = π f'(x) 0 , и од десната страна - f'(x) > 0, Тоа f(x)има најмала вредност во точката X = π . Така f(е) > f(π), тоа е
e – π ln e = e – π > π – π ln π
или
д + π ln π > 2π .
Од тука го добиваме тоа
д e + π ln π > д 2π,
неа· д π ln π > д 2 π ,
e e · π π > д 2π.
5. Докажете го тоа
| log(n+1) > | дневник 1 + дневник 2 + . . . + log n | . |
| n |
Користејќи ги својствата на логаритмите, лесно е да се намали оваа неравенка на еквивалентна неравенка:
(n + 1) n > n!,
каде n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n (n-факториелно). Покрај тоа, постои систем на очигледни нееднаквости:
n + 1 > 1,
n + 1 > 2,
n + 1 > 3,
. . . . .
n + 1 > n,
откако ќе ги помножиме член по член, директно добиваме дека (n + 1) n > n!.
6. Докажете дека 2013 2015 · 2015 2013 година
Ние имаме:
2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =
2013 2 (2014 - 1) 2013 (2014 + 1) 2013
Очигледно, можеме да добиеме и општ исказ: за кој било природен број n неравенката
(n – 1) n +1 (n + 1) n –1
7. Докажи дека за кој било природен број n важи следнава неравенка:
| 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | 2n – 1 | . | |
| 1! | 2! | 3! | n! | n |
Да ја процениме левата страна на неравенката:
| 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | = |
| 1! | 2! | 3! | n! |
| = 1 + | 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | |
| 12 | 1 2 3 | 1 2 3 4 | 1 · 2 · 3 · . . . n |
| 1 + | 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | = |
| 12 | 2 3 | 3 4 | (n – 1) n |
| = 1 + (1 – | 1 | ) + ( | 1 | – | 1 | ) + ( | 1 | – | 1 | ) + . . . + ( | 1 | – | 1 | ) = 2 – | 1 | , |
| 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | n – 1 | n | n |
Q.E.D.
8. Нека 1 2, a 2 2, a 3 2, . . . , а n 2 се квадрати на n различни природни броеви. Докажете го тоа
| (1 – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) . . . (1 | – | 1 | ) > | 1 | . |
| а 1 2 | а 2 2 | а 3 2 | а n 2 | 2 |
Нека најголемиот од овие броеви е m. Потоа
| (1 – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) . . . (1 | – | 1 | ) > |
| а 1 2 | а 2 2 | а 3 2 | а n 2 |
| > ( 1 – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) . . . (1 | – | 1 | ) , |
| 2 2 | 3 2 | 4 2 | m 2 |
бидејќи на десната страна се додаваат множители помали од 1.Ајде да ја пресметаме десната страна со факторинг на секоја заграда:
| = | 2 · 3 2 · 4 2 · . . . · (m – 1) 2 · (m + 1) | = | m+1 | = | 1 | + | 1 | > | 1 | . |
| 2 2 · 3 2 · 4 2 · . . . m 2
Отворајќи ги заградите на левата страна, ја добиваме сумата 1 + (a 1 + . . . + a n) + (a 1 a 2 + . . . + a n -1 a n) + (a 1 a 2 a 3 + . . + a n -2 a n -1 a n) + . . . + а 1 а 2 . . . a n. Збирот на броевите во втората заграда не надминува (a 1 + . . . . . + a n) 2, збирот во третата заграда не надминува (a 1 + . . . . . + a n) 3 итн. Ова значи дека целиот производ не надминува 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . + 1 / 2 n = 2 - 1 / 2 n Метод 2. Користејќи го методот на математичка индукција, докажуваме дека за сите природни n е точно следнава неравенка: (1 + а 1) . . . (1 + а n) За n = 1 имаме: 1 + a 1 1 . Нека важи следново за n = k:(1 + а 1) . . . (1 + ак) 1 + . . . +а к). Размислете за случајот n = k +1:(1 + а 1) . . . (1 + a k ) (1 + a k +1 ) (1 + 2 (a 1 + . . + a k ) ) (1 + а k +1 ) ≤ 1 + 2 (а 1 + . . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 1 / 2) = 1 + 2 (a 1 + . . + a k + a k +1 ). Врз основа на принципот на математичка индукција, нееднаквоста се докажува. 10. Докажете ја нееднаквоста на Бернули: (1 + α) n ≥ 1 + nα, каде α > -1, n е природен број. Да го користиме методот на математичка индукција. За n = 1 ја добиваме вистинската неравенка: 1 + α ≥ 1 + α.Да претпоставиме дека важи следнава неравенка: (1 + α) n ≥ 1 + nα. Да покажеме дека тогаш се одвива и (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α.Навистина, бидејќи α > -1 имплицира α + 1 > 0, тогаш множење на двете страни на неравенката (1 + α) n ≥ 1 + nα на (а + 1), добиваме (1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα) (1 + α)или (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1) α + nα 2Бидејќи nα 2 ≥ 0, затоа, (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α.Така, според принципот на математичка индукција, неравенката на Бернули е вистинита. Проблеми без решенија1. Докажете ја нееднаквоста за позитивните вредности на променливите a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c). 2. Докажи дека за секој a важи неравенството 3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2. 3. Докажи дека полиномот x 12 – x 9 + x 4 – x+ 1 е позитивен за сите вредности на x. 4. За 0 e докажете ја неравенството (д+ x) д– x > ( д– x) д+ x. 5. Нека a, b, c се позитивни броеви. Докажете го тоа
|