1º. Експоненцијални равенкисе нарекуваат равенки кои содржат променлива во експонент.
Решавањето на експоненцијалните равенки се заснова на својството на силите: две моќи со иста основа се еднакви ако и само ако нивните експоненти се еднакви.
2º. Основни методи за решавање на експоненцијални равенки:
1) наједноставната равенка има решение;
2) равенка од формата логаритамска на основата а се намали за да се формира;
3) равенката на формата е еквивалентна на равенката ;
4) равенка на формата 
е еквивалентно на равенката.
5) равенка на формата се намалува преку замена со равенка, а потоа се решава множество едноставни експоненцијални равенки;
6) равенка со реципроци 
со замена се сведуваат на равенка, а потоа решаваат множество равенки;
7) равенки хомогени во однос на a g(x)И b g(x)со оглед на тоа 
љубезен 
преку замена се сведуваат на равенка, а потоа се решава множество равенки.
Класификација на експоненцијални равенки.
1. Равенките се решаваат со одење во една основа.
Пример 18. Решете ја равенката 
.
Решение: Да го искористиме фактот дека сите основи на моќи се моќи на бројот 5: .
2. Равенки решени со префрлање на еден експонент.
Овие равенки се решаваат со трансформирање на првобитната равенка во форма , што е сведено на наједноставно користејќи го својството на пропорција.
Пример 19. Решете ја равенката:
3. Равенките се решаваат со вадење на заедничкиот фактор од загради.
Ако секој експонент во равенката се разликува од другиот за одреден број, тогаш равенките се решаваат со ставање на експонентот со најмалиот експонент надвор од заградите.
Пример 20. Решете ја равенката.
Решение: Да го земеме степенот со најмалиот експонент од заградите на левата страна од равенката:
Пример 21. Решете ја равенката 
Решение: Да ги групираме одделно на левата страна на равенката поимите што содржат моќи со основата 4, од десната страна - со основата 3, а потоа да ги ставиме силите со најмалиот експонент надвор од заградите:
4. Равенки кои се сведуваат на квадратни (или кубни) равенки.
Следниве равенки се сведени на квадратна равенка за новата променлива y:
а) видот на замена, во овој случај;
б) видот на замена и .
Пример 22. Решете ја равенката 
.
Решение: Да направиме промена на променливата и да ја решиме квадратната равенка:
.
Одговор: 0; 1.
5. Равенки кои се хомогени во однос на експоненцијалните функции.
Равенка на формата е хомогена равенка од втор степен во однос на непознатите а xИ b x. Ваквите равенки се намалуваат така што прво се делат двете страни, а потоа се заменуваат во квадратни равенки.
Пример 23. Решете ја равенката.
Решение: Поделете ги двете страни на равенката со:
Ставајќи , добиваме квадратна равенка со корени .
Сега проблемот се сведува на решавање на множество равенки 
. Од првата равенка откриваме дека . Втората равенка нема корени, бидејќи за која било вредност x.
Одговор: -1/2.
6. Рационални равенки во однос на експоненцијалните функции.
Пример 24. Решете ја равенката.
Решение: Поделете го броителот и именителот на дропката со 3 xи наместо две добиваме една експоненцијална функција:
7. Равенки на формата 
.
Ваквите равенки со збир на дозволени вредности (APV), утврдени со условот, со земање на логаритам од двете страни на равенката се сведуваат на еквивалентна равенка, која пак е еквивалентна на збир од две равенки или.
Пример 25. Решете ја равенката: .
.
Дидактички материјал.
Решете ги равенките:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Најдете го производот од корените на равенката 
.
27. Најдете го збирот на корените на равенката 
.
Најдете го значењето на изразот:
28. , каде x 0- корен на равенката ;
29. , каде x 0– цел корен на равенката 
.
Реши ја равенката:
31. 
; 32. .
Одговори: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Тема бр.8.
Експоненцијални неравенки.
1º. Се нарекува неравенка која содржи променлива во експонентот експоненцијална нееднаквост.
2º. Решението на експоненцијалните неравенки на формата се заснова на следните изјави:
ако , тогаш неравенството е еквивалентно на ;
ако , тогаш неравенката е еквивалентна на .
При решавање на експоненцијални неравенки се користат истите техники како при решавање на експоненцијални равенки.
Пример 26. Решавање на неравенство 
(метод на транзиција кон една база).
Решение: Бидејќи 
, тогаш дадената неравенка може да се запише како: 
. Бидејќи , тогаш оваа неравенка е еквивалентна на неравенката 
.
Решавајќи ја последната неравенка, добиваме .
Пример 27. Решете ја неравенството: ( со вадење на заедничкиот фактор од загради).
Решение: Ајде да извадиме од загради од левата страна на неравенката , од десната страна на неравенката и да ги поделиме двете страни на неравенката со (-2), менувајќи го знакот на неравенството во спротивното:
Бидејќи , тогаш кога се преминува на нееднаквост на индикаторите, знакот на нееднаквост повторно се менува на спротивното. Добиваме. Така, множеството на сите решенија за оваа неравенка е интервалот.
Пример 28. Решете неравенка ( со воведување на нова променлива).
Решение: Нека . Тогаш оваа нееднаквост ќе ја добие формата: 
или 
, чие решение е интервалот .
Од тука. Бидејќи функцијата се зголемува, тогаш .
Дидактички материјал.
Наведете го множеството решенија за нееднаквоста:
1. ; 2. ; 3. ;
6. По кои вредности xДали точките на графикот на функции лежат под права линија?
7. По кои вредности xДали точките на графикот на функцијата лежат барем колку правата линија?
Решете ја неравенството:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Наведете го најголемото целобројно решение на неравенката 
.
14. Најдете го производот на најголемиот цел број и најмалиот цел број решенија на неравенството 
.
Решете ја неравенството:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Најдете го доменот на функцијата:
27. 
; 28. 
.
29. Најдете го множеството на вредности на аргументи за кои вредностите на секоја функција се поголеми од 3:
И 
.
Одговори: 11.3; 12,3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0) U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5) U (4; +∞); 27. (-∞; 3) U (5); 28. (a)=a^(\frac(1) (n))\) добиваме дека \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Следно, користејќи го својството на степен \((a^b)^c=a^(bc)\), добиваме \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cточка 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Знаеме и дека \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Применувајќи го ова на левата страна, добиваме: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Сега запомнете дека: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Оваа формула може да се користи и во спротивна насока: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Потоа \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)
Применувајќи го својството \((a^b)^c=a^(bc)\) на десната страна, добиваме: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)
И сега нашите основи се изедначени и нема коефициенти за мешање итн. Така можеме да направиме транзиција.
Пример
. Решете ја експоненцијалната равенка \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Решение:
|
\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) |
Повторно го користиме својството моќ \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) во спротивна насока. |
|
|
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) |
Сега запомнете дека \(4=2^2\). |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) |
Користејќи ги својствата на степените, трансформираме: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
Внимателно ја разгледуваме равенката и гледаме дека замената \(t=2^x\) се сугерира сама по себе. |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
Сепак, ги најдовме вредностите на \(t\), и ни треба \(x\). Се враќаме на X, правејќи обратна замена. |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
Ајде да ја трансформираме втората равенка користејќи го својството на негативна моќност... |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
...и ние одлучуваме до одговорот. |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
Одговори : \(-1; 1\).
Останува прашањето - како да се разбере кога да се користи кој метод? Ова доаѓа со искуство. Додека не го развиете, користете ја општата препорака за решавање на сложени проблеми - „ако не знаете што да правите, направете што можете“. Односно, побарајте како можете да ја трансформирате равенката во принцип и обидете се да го направите тоа - што ако што се случи? Главната работа е да се направат само математички базирани трансформации.
Експоненцијални равенки без решенија
Ајде да погледнеме уште две ситуации кои често ги збунуваат учениците:
- позитивен број на моќта е еднаков на нула, на пример, \(2^x=0\);
- позитивен број е еднаков на моќта на негативен број, на пример, \(2^x=-4\).
Ајде да се обидеме да решиме со брутална сила. Ако x е позитивен број, тогаш како што x расте, целата моќност \(2^x\) само ќе се зголемува:
\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).
\(x=0\); \(2^0=1\)
Исто така од страна на. Остануваат негативните X. Сеќавајќи се на својството \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), проверуваме:
\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
И покрај фактот дека бројот станува помал со секој чекор, тој никогаш нема да достигне нула. Така што негативниот степен не не спаси. Доаѓаме до логичен заклучок:
Позитивен број до кој било степен ќе остане позитивен број.
Така, двете равенки погоре немаат решенија.
Експоненцијални равенки со различни основи
Во пракса понекогаш се среќаваме со експоненцијални равенки со различни основи кои не се сведуваат една на друга, а во исто време со исти експоненти. Тие изгледаат вака: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), каде што \(a\) и \(b\) се позитивни броеви.
На пример:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
Ваквите равенки лесно може да се решат со делење со која било од страните на равенката (обично поделена со десната страна, односно со \(b^(f(x))\). е позитивен на која било моќност (односно, не делиме со нула) Добиваме:
\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)
Пример
. Решете ја експоненцијалната равенка \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Решение:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
Овде нема да можеме да ја претвориме петката во три, или обратно (барем без користење). Ова значи дека не можеме да дојдеме до формата \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Сепак, индикаторите се исти. |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) |
Сега запомнете го својството \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) и употребете го од лево во спротивна насока. На десната страна, едноставно ја намалуваме дропот. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
Се чини дека работите не се подобрија. Но, запомнете уште едно својство на моќноста: \(a^0=1\), со други зборови: „било кој број со нулта моќ е еднаков на \(1\).“ Обратно е исто така точно: „еден може да се претстави како кој било број со нулта моќност“. Ајде да го искористиме ова со правење на основата на десната иста како и на левата страна. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
Voila! Ајде да се ослободиме од базите. |
|
|
Пишуваме одговор. |
Одговори : \(-7\).
Понекогаш „источноста“ на експонентите не е очигледна, но вешто користењето на својствата на експонентите го решава ова прашање.
Пример
. Решете ја експоненцијалната равенка \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Решение:
|
\(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Равенката изгледа многу тажно... Не само што основите не можат да се сведат на ист број (седум во никој случај нема да бидат еднакви на \(\frac(1)(3)\)), туку и експонентите се различни. .. Сепак, ајде да го користиме левиот показател. |
|
|
\(7^(2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Сеќавајќи се на својството \((a^b)^c=a^(b·c)\) , трансформираме од лево: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Сега, сеќавајќи се на својството на негативен степен \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), ние се трансформираме од десно: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
Алелуја! Индикаторите се исти! |
Одговори : \(2\).