Мноштво. Операции на множества.
Прикажани сетови. Моќта на комплетот

Ви посакувам добредојде на првата лекција за виша алгебра, која се појави... во пресрет на петгодишнината на страницата, откако веќе создадов повеќе од 150 статии за математика, а моите материјали почнаа да се собираат во завршен курс. Сепак, се надевам дека не доцнам - на крајот на краиштата, многу студенти почнуваат да навлегуваат во предавањата само за државни испити =)

Универзитетскиот курс vyshmat традиционално се заснова на три столба:

– математичка анализа (граници, дериватиитн.)

– и конечно со часови се отвора сезоната на учебната 2015/16 година Алгебра за кукли, Елементи на математичката логика, на кој ќе ги анализираме основите на делот, како и да се запознаеме со основните математички поими и вообичаените ознаки. Морам да кажам дека во другите написи не претерано користам „чкртаници“ , сепак, ова е само стил, и, се разбира, тие треба да се препознаат во секоја состојба =). Ги известувам новодојдените читатели дека моите лекции се ориентирани кон практиката, а во овој дух ќе биде претставен и следниот материјал. За поцелосни и академски информации, ве молиме погледнете ја образовната литература. Оди:

Еден куп. Примери на множества

Комплетот е основен концепт не само на математиката, туку и на целиот околен свет. Земете кој било предмет во рака веднаш. Овде имате сет кој се состои од еден елемент.

Во широка смисла, множеството е збир на предмети (елементи) кои се сфаќаат како единствена целина(според одредени карактеристики, критериуми или околности). Покрај тоа, ова не се само материјални предмети, туку и букви, бројки, теореми, мисли, емоции итн.

Множествата обично се означуваат со големи букви (по избор, со претплати: итн.), а неговите елементи се напишани во кадрави загради, на пример:

- многу букви од руската азбука;
– множество природни броеви;

Па, време е малку да се запознаеме:
– многу ученици во 1-виот ред

... Мило ми е што ги гледам твоите сериозни и концентрирани лица =)

Сетовите се конечна(се состои од конечен број елементи), а множество е пример бесконечнамноштво. Покрај тоа, т.н празен сет:

– множество во кое нема ниту еден елемент.

Примерот ви е добро познат - комплетот на испитот често е празен =)

Членството на елемент во множество се означува со симболот, на пример:

– буквата „би“ припаѓа на многу букви од руската азбука;
- буквата „бета“ Неприпаѓа на многу букви од руската азбука;
– бројот 5 припаѓа на множеството природни броеви;
- но бројот 5,5 повеќе го нема;
– Волдемар не седи во првиот ред (и, згора на тоа, не припаѓа на мноштвото или =)).

Во апстрактна и не многу алгебра, елементите на множеството се означуваат со мали латински букви и, соодветно, фактот на сопственост е формализиран во следниов стил:

– елементот припаѓа на множеството.

Горенаведените множества се напишани директен трансферелементи, но ова не е единствениот начин. Удобно е да се дефинираат многу множества користејќи некои знак (и), што е својствено сите негови елементи. На пример:

– множество од сите природни броеви помали од сто.

Запомнете: долгиот вертикален стап го изразува глаголот „кој“, „таков тоа“. Доста често наместо тоа се користи дебелото црево: - да го прочитаме записот поформално: „збир на елементи кои припаѓаат на множеството природни броеви, такви што » . Добро сторено!

Ова множество може да се напише и со директно набројување:

Повеќе примери:
– и ако има доста студенти во 1-виот ред, тогаш таквиот запис е многу поудобен отколку директно да ги наведете.

– збир на броеви кои припаѓаат на сегментот . Ве молиме имајте предвид дека ова значи повеќекратно валиденброеви (повеќе за нив подоцна), кои веќе не е можно да се наведат одделени со запирки.

Треба да се забележи дека елементите на множеството не мора да бидат „хомогени“ или логички меѓусебно поврзани. Земете голема торба и почнете по случаен избор да ставате разни предмети во неа. Во ова нема шема, но, сепак, зборуваме за различни теми. Фигуративно кажано, множеството е посебен „пакет“ во кој „по волја на судбината“ завршила одредена колекција на предмети.

Подмножества

Речиси сè е јасно од самото име: сет е подмножествомножество ако секој елемент од множеството припаѓа на множеството. Со други зборови, сетот е содржан во комплетот:

Иконата се нарекува икона вклучување.

Да се ​​вратиме на примерот, во кој ова е збир на букви од руската азбука. Да го означиме со – множеството на неговите самогласки. Потоа:

Можете исто така да изберете подмножество на согласни букви и, генерално, произволно подмножество кое се состои од кој било број на случајно (или неслучајно) земени кирилични букви. Поточно, секоја кирилична буква е подмножество од множеството.

Удобно е да се прикажат односите помеѓу подмножества користејќи конвенционален геометриски дијаграм наречен Ојлер кругови.

Нека е множеството студенти во 1-виот ред, е множеството студенти во групата и е множеството студенти на универзитетот. Тогаш релацијата за вклучување може да се прикаже на следниов начин:

Множеството студенти од друг универзитет треба да се прикаже како круг што не го пресекува надворешниот круг; многу студенти на земјата - круг што ги содржи двата од овие кругови итн.

Гледаме типичен пример на инклузии кога се разгледуваат нумерички множества. Да го повториме училишниот материјал што е важно да се има на ум при изучувањето на вишата математика:

Сетови на броеви

Како што знаете, историски први се појавија природните броеви наменети за броење материјални предмети (луѓе, кокошки, овци, монети итн.). Овој сет веќе се сретна во статијата, единственото нешто е што сега малку ја менуваме неговата ознака. Факт е дека нумеричките множества обично се означуваат со задебелени, стилизирани или дебели букви. Претпочитам да користам задебелен фонт:

Понекогаш нулата е вклучена во множеството природни броеви.

Ако на множеството ги додадеме истите броеви со спротивен знак и нула, добиваме множество од цели броеви:

Иноваторите и мрзливите ги запишуваат неговите елементи со икони „плус минус“:))

Сосема е јасно дека множеството природни броеви е подмножество од множеството цели броеви:
– бидејќи секој елемент од множеството припаѓа на множеството. Така, секој природен број може безбедно да се нарече цел број.

Името на множеството е исто така „кажувачко“: цели броеви - тоа значи, без дропки.

И, бидејќи тие се цели броеви, веднаш да се потсетиме на важните знаци на нивната деливост со 2, 3, 4, 5 и 10, што ќе се бара во практичните пресметки речиси секој ден:

Цел број е делив со 2 без остаток, ако завршува на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. кој било парен број). На пример, броеви:
400, -1502, -24, 66996, 818 – делив со 2 без остаток.

И веднаш да го погледнеме знакот „поврзан“: цел број се дели со 4, ако број составен од неговите последни две цифри (по редоследот што се појавуваат)делив со 4.

400 - делив со 4 (бидејќи 00 (нула) се дели со 4);
-1502 - не се дели со 4 (бидејќи 02 (два) не се дели со 4);
-24, се разбира, е делив со 4;
66996 - делив со 4 (бидејќи 96 се дели со 4);
818 - не се дели со 4 (бидејќи 18 не се дели со 4).

Направете едноставно поткрепување на овој факт сами.

Деливоста со 3 е малку потешка: цел број е делив со 3 без остаток ако збирот на цифрите вклучени во негоделив со 3.

Ајде да провериме дали бројот 27901 е делив со 3. За да го направите ова, сумирајте ги неговите цифри:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - не се дели со 3
Заклучок: 27901 не се дели со 3.

Ајде да ги сумираме цифрите од -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - делив со 3
Заклучок: бројот -825432 се дели со 3

Цел број делив со 5, ако завршува со пет или нула:
775, -2390 - делив со 5

Цел број делив со 10ако завршува на нула:
798400 - делив со 10 (и очигледно за 100). Па, сите веројатно се сеќаваат дека за да се подели со 10, само треба да се отстрани една нула: 79840

Има и знаци на деливост со 6, 8, 9, 11 итн., но практично нема практична употреба од нив =)

Треба да се напомене дека наведените знаци (навидум толку едноставни) се строго докажани во теорија на броеви. Овој дел од алгебрата е генерално доста интересен, но неговите теореми... се исто како модерна кинеска егзекуција =) И тоа беше доволно за Волдемар на последното биро... но во ред е, наскоро ќе направиме животворни физички вежби =)

Следното нумеричко множество е збир на рационални броеви:
– односно секој рационален број може да се претстави како дропка со цел број броители природни именител.

Очигледно, множеството од цели броеви е подмножествозбир на рационални броеви:

И всушност, секој цел број може да се претстави како рационална дропка, на пример: итн. Така, цел број сосема легитимно може да се нарече рационален број.

Карактеристична „идентификациона“ карактеристика на рационалниот број е фактот што при делење на броителот со именителот, резултатот е или
- цел број,

или
– конечнадецимална,

или
– бескрајно периодичнидецимална (повторувањето може да не започне веднаш).

Уживајте во поделбата и обидете се да ја правите оваа акција што е можно помалку! Во организациската статија Виша математика за куклии во другите лекции постојано ја повторував, повторувам и ќе ја повторам оваа мантра:

Во вишата математика се стремиме да ги извршиме сите операции во обични (правилни и неправилни) дропки

Се согласувам дека справувањето со дропка е многу попогодно отколку со децимален број 0,375 (да не зборуваме за бесконечни дропки).

Ајде да продолжиме. Покрај рационалните броеви, постојат многу ирационални броеви, од кои секој може да се претстави како бесконечна НЕПЕРИОДИЧНИдецимална дропка. Со други зборови, не постои шема во „бесконечните опашки“ на ирационалните броеви:
(„година на раѓање на Лав Толстој“ двапати)
итн.

Има многу информации за познатите константи „пи“ и „е“, па затоа нема да се задржувам на нив.

Се формира комбинација на рационални и ирационални броеви збир на реални броеви:

- икона здруженијамножества.

Геометриската интерпретација на множеството ви е позната - ова е бројната линија:


Секој реален број одговара на одредена точка на бројната права, и обратно - секоја точка на бројната права нужно одговара на одреден реален број. Во суштина, сега формулирав својство на континуитетреални броеви, што иако изгледа очигледно, строго се докажува во текот на математичката анализа.

Бројната линија се означува и со бесконечен интервал, а ознаката или еквивалентната нотација го симболизира фактот дека припаѓа на множеството реални броеви (или едноставно „x“ е реален број).

Со вградување сè е транспарентно: множеството рационални броеви е подмножествомножества од реални броеви:
, на тој начин, секој рационален број може безбедно да се нарече реален број.

Многу ирационални броеви се исто така подмножествореални броеви:

Во исто време, подмножества и не се вкрстуваат- односно ниту еден ирационален број не може да се претстави како рационална дропка.

Дали има други нумерички системи? Постои! Ова е, на пример, сложени броеви, со што препорачувам да се запознаете буквално во наредните денови или дури и часови.

Во меѓувреме, продолжуваме да ги проучуваме операциите на множества, чиј дух веќе се материјализира на крајот од овој дел:

Дејства на множества. Венови дијаграми

Веновите дијаграми (слични на Ојлеровите кругови) се шематски приказ на дејства со множества. Повторно, ве предупредувам дека нема да ги разгледам сите операции:

1) раскрсница Ии се означува со иконата

Пресекот на множества е множество, на кое му припаѓа секој елемент Имногу, Имногу. Грубо кажано, пресекот е заедничкиот дел од множествата:

Така, на пример, за множества:

Ако множествата немаат идентични елементи, тогаш нивното пресекување е празно. Само што наидовме на овој пример кога ги разгледувавме нумеричките множества:

Множествата од рационални и ирационални броеви може шематски да се претстават со два неврзани кругови.

Операцијата на вкрстување е исто така применлива за поголем број множества; особено, Википедија има добра пример за вкрстување на множества од букви од три азбуки.

2) Здружениемножествата се карактеризираат со логичко поврзување ИЛИи се означува со иконата

Унија на множества е множество, чиј секој елемент припаѓа на множеството илимногу:

Ајде да ја напишеме унијата на множества:
– грубо кажано, тука треба да ги наведете сите елементи на множествата и , и истите елементи (во овој случај, единицата е на пресекот на множества)треба да се наведе еднаш.

Но, множествата, се разбира, можеби нема да се вкрстуваат, како што е случајот со рационалните и ирационалните броеви:

Во овој случај, можете да нацртате два засенчени кругови кои не се сечат.

Операцијата на унија е исто така применлива за поголем број множества, на пример, ако , тогаш:

Во овој случај, броевите не мора да бидат подредени во растечки редослед. (Ова го направив чисто од естетски причини). Без понатамошно одложување, резултатот може да се напише вака:

3) По разлика Ине припаѓа на множеството:

Разликата се чита на следниов начин: „а без да биде“. И можете да размислувате на ист начин: разгледајте ги множествата . За да ја запишете разликата, треба да ги „фрлите“ од сетот сите елементи што се во комплетот:

Пример со множества на броеви:
– овде сите природни броеви се исклучени од множеството цели броеви, а самиот запис гласи вака: „множество цели броеви без множество природни броеви“.

Огледано: разликамножества и се нарекуваат множество, чијшто елемент му припаѓа на множеството Ине припаѓа на множеството:

За истите комплети
– она што е во комплетот се „исфрла“ од комплетот.

Но, оваа разлика се покажува како празна: . И всушност, ако исклучите цели броеви од множеството природни броеви, тогаш, всушност, ништо нема да остане :)

Покрај тоа, понекогаш се смета симетричниразлика, која ги обединува двата „полумесечина“:
- со други зборови, ова е „сè освен пресекот на множествата“.

4) Декартов (директен) производпоставува и се нарекува множество сите наредипарови во кој елемент , и елемент

Ајде да го запишеме Декартов производ на множества:
– погодно е да се набројат паровите со помош на следниов алгоритам: „прво, последователно го прикачуваме секој елемент од множеството на 1-виот елемент од множеството, потоа секој елемент од множеството го прикачуваме на вториот елемент од множеството, потоа го прикачуваме секој елемент од множеството до третиот елемент од множеството“:

Огледано: Декартов производмножества и се нарекува множеството од сите наредипарови во кои Во нашиот пример:
– овде шемата за снимање е слична: прво последователно ги додаваме сите елементи од множеството на „минус еден“, потоа во „де“ ги додаваме истите елементи:

Но, ова е чисто за погодност - и во двата случаи, паровите може да се наведат по кој било редослед - важно е да запишете овде Ситеможни парови.

И сега врв на програмата: декартовскиот производ не е ништо повеќе од збир на точки на нашиот мајчин јазик Декартов координатен систем .

Вежбајтеза самостојно фиксирање на материјалот:

Изведете операции ако:

Еден куп Удобно е да се опише со наведување на неговите елементи.

И малку нешто со интервали на реални броеви:

Да ве потсетам дека квадратната заграда значи вклучувањеброеви во интервалот, а кругот - негов невклучување, односно „минус еден“ му припаѓа на множеството, а „три“ Неприпаѓа на комплетот. Обидете се да откриете кој е Декартов производ на овие множества. Доколку имате потешкотии, следете го цртежот ;)

Кратко решение за проблемот на крајот од часот.

Прикажани сетови

Приказмногу во многу е правило, според кој секој елемент од множеството се поврзува со елемент (или елементи) од множеството. Во случај да се направи кореспонденција единственотоелемент, тогаш ова правило се нарекува јасно дефиниранифункција или само функција.

Функцијата, како што многумина знаат, најчесто се означува со буква - ја става во кореспонденција на секојелемент има една вредност што припаѓа на множеството.

Па, сега повторно ќе вознемирувам многу студенти од 1-виот ред и ќе им понудам 6 теми за есеи (многу):

Инсталиран (доброволно или принудно =))Правилото му доделува на секој ученик од множеството една тема од есејот на сетот.

...и веројатно не можевте ни да замислите дека ќе ја играте улогата на функционален аргумент =) =)

Елементите на множеството се формираат доменфункции (означени со ), а елементите на множеството се опсегфункции (означени со ).

Конструираното мапирање на множества има многу важна карактеристика: тоа е еден-на-еденили бијективен(бијекција). Во овој пример тоа значи дека на секојученикот се совпаѓа еден единствентема на есејот и назад - за секојТемата на есејот е доделена на еден и само еден ученик.

Сепак, не треба да се мисли дека секое мапирање е бијективно. Ако додадете 7-ми ученик во првиот ред (во множеството), тогаш кореспонденцијата еден на еден ќе исчезне - или еден од учениците ќе остане без тема (воопшто нема да има приказ), или некоја тема ќе оди кај двајца студенти одеднаш. Спротивна ситуација: ако се додаде седма тема во сетот, тогаш ќе се изгуби и мапирањето еден на еден - една од темите ќе остане неподигната.

Почитувани студенти од 1-виот ред, не се вознемирувајте - останатите 20 луѓе по часовите ќе одат да ја исчистат универзитетската територија од есенското зеленило. Домашникот ќе даде дваесет голика, по што ќе се воспостави кореспонденција еден на еден меѓу главниот дел од групата и метлите..., а Волдемар ќе има време и да трча до продавницата =)). областа на дефиниција одговара на неговата единствена„y“ и обратно - за која било вредност на „y“ можеме недвосмислено да го вратиме „x“. Значи, тоа е бијективна функција.

! За секој случај, ќе го елиминирам секое можно недоразбирање: мојата постојана резерва за опсегот на дефиницијата не е случајна! Функцијата може да не е дефинирана за сите „Х“ и, згора на тоа, може да биде еден-на-еден и во овој случај. Типичен пример:

Но, за квадратната функција не се забележува ништо слично, прво:
- односно, беа прикажани различни вредности на „x“. истошто значи „јај“; и второ: ако некој ја пресметал вредноста на функцијата и ни го каже тоа, тогаш не е јасно дали ова „y“ е добиено на или на ? Непотребно е да се каже дека овде нема ни навестување на меѓусебна недвосмисленост.

Задача 2: поглед графикони на основни елементарни функцииа на лист запишете ги бијективните функции. Список за проверка на крајот од оваа лекција.

Моќта на комплетот

Интуицијата сугерира дека терминот ја карактеризира големината на множеството, имено бројот на неговите елементи. И нашата интуиција не не залажува!

Кардиналноста на празно множество е нула.

Кардиналноста на комплетот е шест.

Моќта на множеството букви од руската азбука е триесет и три.

И воопшто - моќта на која било конечнана множество е еднаков на бројот на елементи од дадено множество.

...можеби не секој целосно разбира што е тоа конечнасет – ако почнете да ги броите елементите од овој сет, порано или подоцна броењето ќе заврши. Како што велат, Кинезите на крајот ќе снемаат.

Се разбира, множествата може да се споредат во однос на кардиналноста и нивната еднаквост во оваа смисла се нарекува еднаква моќ. Еквивалентноста се одредува на следниов начин:

Две групи се со еднаква кардиналност ако може да се воспостави кореспонденција еден на еден меѓу нив.

Множеството студенти е еквивалентно на множеството теми за есеј, множеството букви од руската азбука е еквивалентно на кој било сет од 33 елементи итн. Забележете што точно било којзбир од 33 елементи - во овој случај е важен само нивниот број. Буквите од руската азбука може да се споредат не само со многу броеви
1, 2, 3, ..., 32, 33, но генерално со стадо од 33 крави.

Многу поинтересна е ситуацијата со бесконечните множества. Бесконечностите се исто така различни! ...зелено и црвено Најмалите бесконечни множества се броењемноштво. Едноставно, елементите на таков сет може да се нумерираат. Референтниот пример е збир на природни броеви . Да - таа е бесконечна, но секој од неговите елементи, во ПРИНЦИП, има број.

Примери има многу. Конкретно, множеството од сите парни природни броеви може да се изброи. Како да се докаже ова? Треба да ја воспоставите нејзината кореспонденција еден на еден со множеството природни броеви или едноставно да ги нумерирате елементите:

Воспоставена е кореспонденција еден-на-еден; затоа, множествата се со еднаква кардиналност и множеството може да се брои. Парадоксално, од гледна точка на моќноста, има толку парни природни броеви колку што има и природни броеви!

Множеството цели броеви е исто така броило. Неговите елементи може да се нумерираат, на пример, вака:

Згора на тоа, множеството рационални броеви е исто така изброиво . Бидејќи броителот е цел број (и тие, како што е прикажано, може да се нумерираат), а именителот е природен број, тогаш порано или подоцна ќе „дојдеме“ до која било рационална дропка и ќе му доделиме број.

Но, множеството реални броеви е веќе безброј, т.е. неговите елементи не можат да се нумерираат. Овој факт, иако е очигледен, е строго докажан во теоријата на множества. Се нарекува и кардиналноста на множеството реални броеви континуитет, и во споредба со бројливите множества ова е „побесконечно“ множество.

Бидејќи постои кореспонденција еден-на-еден помеѓу множеството и бројната линија (Види погоре), тогаш множеството точки на бројната права е исто така безброј. И уште повеќе, има ист број точки и на километарскиот и на милиметарскиот сегмент! Класичен пример:


Со ротирање на зракот спротивно од стрелките на часовникот додека не се усогласи со зракот, ќе воспоставиме кореспонденција еден на еден помеѓу точките на сините сегменти. Така, има толку точки на отсечката колку што има на отсечката и !

Овој парадокс очигледно е поврзан со загатката на бесконечноста... но сега нема да се замараме со проблемите на универзумот, бидејќи следниот чекор е

Задача 2 Функции еден-на-еден во илустрациите на лекциите

2. На колку начини тренерот може да определи кој од 12-те спортисти подготвени за учество во штафетата 4х100 метри ќе трча во првата, втората, третата и четвртата етапа?

3. Во кружен дијаграм кругот е поделен на 5 сектори. Секторите се обоени со различни бои земени од комплет кој содржи 10 бои. на колку начини може да се направи тоа?

4. најдете ја вредноста на изразот

в)(7!*5!)/(8!*4!)

ДО СИТЕ КОИ ОДЛУЧИЈА, благодарам)))

бр.1. 1. Наведете го концептот на комплексен број. Наведете три форми на претставување сложени броеви (1 бод).

2. Дадени комплексни броеви: z1=-4i и z2=-5+i. Наведете ја нивната форма на претставување, најдете ги реалните и имагинарните делови од посочените броеви (1 бод).
3. Најди ги нивниот збир, разлика и производ (1 поен).
4. Запиши ги броевите кои се сложени конјугати на податоците (1 бод).
бр.2. 1. Како е претставен комплексен број на сложената рамнина (1 точка)?
2. Даден комплексен број. Нацртајте го на сложената рамнина. (1 поен).
3. Запиши ја формулата за пресметување на модулот на комплексен број и пресметај (2 поени).
бр. 3. 1. Дефинирајте матрица, наведете ги видовите матрици (1 поен).
2. Именувајте линеарни операции на матрици (1 поен).
3. Најдете линеарна комбинација од две матрици ако, (2 поени).
бр. 4. 1. Која е детерминантата на квадратна матрица? Запишете ја формулата за пресметување на детерминантата од втор ред (1 поен).
2. Пресметај ја детерминантата од втор ред: (1 бод).
3. Формулирајте својство што може да се користи за пресметување на детерминантата од втор ред? (1 поен)
4. Пресметај ја детерминантата користејќи ги нејзините својства (1 поен).
бр.5. 1. Во кои случаи детерминантата на квадратна матрица е еднаква на нула (1 точка)?
2. Формулирајте го правилото на Сарус (нацртајте дијаграм) (1 поен).
3. Пресметај ја детерминантата од 3 ред (со кој било од методите) (2 поени).
бр.6. 1. Која матрица се нарекува инверзна на дадена матрица (1 точка)?
2. За која матрица може да се конструира инверзната? Определи дали има матрица инверзна на матрицата (2 поени).
3. Запишете ја формулата за пресметување на елементите на инверзната матрица (1 поен).
бр.7. 1. Дефинирајте го рангот на матрицата. Наведете ги методите за наоѓање на ранг на матрица. Колкав е ранг на матрицата? (2 поени).
2. Определи меѓу кои вредности се наоѓа рангот на матрицата А: A=. Пресметајте некој минор од втор ред (2 поени).
бр. 8. 1. Наведете пример за систем на линеарни алгебарски равенки (1 поен).
2. Што се нарекува решение на систем? (1 поен).
3. Кој систем се нарекува зглоб (некомпатибилен), определен (неопределен)? Формулирајте критериум за компатибилност на системот (1 поен).
4. Дадена е продолжената матрица на системот. Запишете го системот што одговара на оваа матрица. Користејќи го критериумот Kronecker-Capelli, извлечете заклучок за компатибилноста или некомпатибилноста на овој систем. (1 поен).
бр.9. 1. Напиши систем од линеарни алгебарски равенки во форма на матрица. Запишете формула за наоѓање непознати со помош на инверзна матрица. (1 поен).
2. Во кој случај систем на линеарни алгебарски равенки може да се реши со методот на матрица? (1 поен).
3. Напиши го системот во форма на матрица и определи дали може да се реши со помош на инверзна матрица? Колку решенија има овој систем? (2 поени).
бр. 10. 1. Кој систем се нарекува квадрат? (1 поен).
2. Наведете ја теоремата на Крамер и напишете ги формулите на Крамер. (1 поен).
3. Користејќи ги формулите на Крамер, решете го системот (2 поени).

помогни ми те молам! колку што можеш! итна потреба!

1.Што се нарекува квадратен трином
2.Што е дискриминатор
3 Која равенка се нарекува квадратна равенка?
4. Кои равенки се нарекуваат еквивалентни?
5. Која равенка се нарекува нецелосна квадратна равенка?
6. Колку корени може да има нецелосната квадратна равенка?
7. Колку корени има квадратната равенка ако дискриминантата:
а) позитивно; б) еднакво на нула; в) негативно?
8. Која формула може да се користи за да се најдат корените на квадратната равенка ако нејзината дискриминантна е ненегативна?
9. Која равенка се нарекува редуцирана квадратна равенка?
10. Која формула може да се користи за да се најдат корените на намалениот квадрат
равенка ако нејзината дискриминантна е ненегативна?
11. Формулирајте:
а) Теорема на Виета; б) теоремата е во спротивност со теоремата на Виета.
12. Која равенка се нарекува рационална со непозната x? Кој е коренот на равенката со непозната x? Што значи да се реши равенка? Кои равенки се нарекуваат еквивалентни?
13. Која равенка се нарекува биквадратна равенка? Како решавате двоквадратна равенка? Колку корени може да има двоквадратна равенка?
мислење?
14. Наведи пример за разделувачка равенка и објасни како да се реши.Што значи тоа „равенката се дели на две равенки“?
15. Како можеш да решиш равенка чиј еден дел е нула,
а другата е алгебарска дропка?
16. Кое е правилото за решавање на рационални равенки? Што
што може да се случи ако отстапите од ова правило?

Користејќи едноставен пример, да се потсетиме што се нарекува подмножество, кои подмножества постојат (правилно и неправилно), формулата за наоѓање на бројот на сите подмножества, како и калкулатор кој го дава множеството на сите подмножества.

Пример 1. Дадено е множество A = (a, c, p, o). Запишете ги сите подмножества
од овој сет.
Решение:

Сопствени подмножества:(а) , (в) , (п) , (о) , (а, в) , (а, п) , (а, о), (ц, р) , (в, о ) ∈, (стр, o), (a, c, p) , (a, c, o), (c, p, o).

Не е сопствен:(a, c, p, o), Ø.

Вкупно: 16 подмножества.

Објаснување. Множеството А е подмножество на Б ако секој елемент од А е исто така содржан во Б.

Празното множество ∅ е подмножество од кое било множество и се нарекува неправилно;
. секое множество е подмножество од себе, исто така наречено несоодветно;
. Секое множество од n елементи има точно 2 n подмножества.

Последната изјава е формула за наоѓање на бројот на сите подмножествабез да го наведете секој од нив.

Изведување на формулата:Да речеме дека имаме множество од n-елементи. При составување на подмножества, првиот елемент може или не мора да припаѓа на подмножеството, т.е. првиот елемент можеме да го избереме на два начина, слично и за сите други елементи (вкупно n-елементи), секој може да го избереме на два начина и според правилото за множење добиваме: 2∙2∙2∙ ...∙2 =2 n

За математичарите ќе формулираме теорема и ќе дадеме ригорозен доказ.

Теорема. Бројот на подмножества на конечно множество составено од n елементи е 2 n.

Доказ.Множеството кое се состои од еден елемент a има две (т.е. 2 1) подмножества: ∅ и (а). Множеството кое се состои од два елементи a и b има четири (т.е. 2 2) подмножества: ∅, (a), (b), (a; b).
Множеството кое се состои од три елементи a, b, c има осум (т.е. 2 3) подмножества:
∅, (а), (б), (б; а), (в), (в; а), (в; б), (в; б; а).
Може да се претпостави дека со додавање на нов елемент се удвојува бројот на подмножества.
Доказот го комплетираме со методот на математичка индукција. Суштината на овој метод е дека ако исказот (својството) е вистинито за некој почетен природен број n 0 и ако, од претпоставката дека е точно за произволен природен број n = k ≥ n 0, може да се докаже неговата валидност за бројот k + 1, тогаш ова својство е точно за сите природни броеви.

1. За n = 1 (индукциска основа) (па дури и за n = 2, 3) теоремата е докажана.

2. Да претпоставиме дека теоремата е докажана за n = k, т.е. бројот на подмножества на множество составено од k елементи е 2k.

3. Да докажеме дека бројот на подмножества на множеството B кое се состои од n = k + 1 елементи е еднаков на 2 k+1.
Избираме некој елемент b од множеството B. Размислете за множеството A = B \ (b). Содржи k елементи. Сите подмножества од множеството А се подмножества од множеството Б кои не содржат елемент b и, по претпоставка, има 2 k од нив. Има ист број на подмножества од множеството B кое го содржи елементот b, т.е. 2к
работи.

Според тоа, сите подмножества од множеството Б: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 парчиња.
Теоремата е докажана.

Во пример 1, множеството A = (a, c, p, o)се состои од четири елементи, n=4, според тоа, бројот на сите подмножества е 2 4 =16.

Ако треба да ги запишете сите подмножества или да напишете програма за да го запишете множеството од сите подмножества, тогаш постои алгоритам за негово решавање: претставувајте ги можните комбинации во форма на бинарни броеви. Да објасниме со пример.

Пример 2.Постои множество (а б в), следните броеви се ставаат во кореспонденција:
000 = (0) (празен сет)
001 = (в)
010 = (б)
011 = (б в)
100 = (а)
101 = (а в)
110 = (а б)
111 = (a b c)

Комплет од сите подмножества калкулатор.

Калкулаторот веќе ги содржи елементите на комплетот A = (a, c, p, o), само кликнете на копчето Испрати. Ако ви треба решение за вашиот проблем, тогаш напишете ги елементите на множеството на латиница, одделени со запирки, како што е прикажано во примерот.

Математичката анализа е гранка на математиката која се занимава со проучување на функции врз основа на идејата за бесконечно мала функција.

Основните поими на математичката анализа се количина, множество, функција, бесконечно мала функција, граница, извод, интеграл.

ГолеминаСè што може да се мери и изрази со број се нарекува.

Многуминае збирка на некои елементи обединети со некоја заедничка карактеристика. Елементи на множеството можат да бидат броеви, фигури, предмети, концепти итн.

Множествата се означуваат со големи букви, а елементите на множеството се означуваат со мали букви. Елементите на комплетите се затворени во кадрави загради.

Ако елементот xприпаѓа на комплетот X, па напишете x∈X (∈ - припаѓа).
Ако множеството А е дел од множеството Б, тогаш запишете А ⊂ Б (⊂ - содржани).

Множеството може да се дефинира на еден од двата начини: со набројување и со користење на дефинирачко својство.

На пример, следните множества се наведени со набројување:

• A=(1,2,3,5,7) - збир на броеви
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - множество од некои елементи x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — множество природни броеви
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — множество од цели броеви

Се повикува множеството (-∞;+∞). бројна линија, и кој било број е точка на оваа линија. Нека a е произволна точка на бројната права, а δ е позитивен број. Се нарекува интервалот (a-δ; a+δ). δ-соседство на точка а.

Множеството X е ограничено одозгора (од долу) ако има број c таков што за кој било x ∈ X важи неравенката x≤с (x≥c). Бројот c во овој случај се нарекува горниот (долниот) рабмножество X. Се нарекува множество ограничено и горе и долу ограничен. Најмалата (најголемата) од горните (долните) лица на множеството се нарекува точно горниот (долниот) рабод ова мноштво.

Основни множества броеви

Н	(1,2,3,...,n) Множество од сите
З	(0, ±1, ±2, ±3,...) Поставете цели броеви.Множеството цели броеви го вклучува множеството природни броеви.
П	Еден куп рационални броеви. Покрај цели броеви, има и дропки. Дропка е израз на формата каде стр- цел број, q- природно. Децималните дропки можат да се напишат и како . На пример: 0,25 = 25/100 = 1/4. Цели броеви може да се напишат и како . На пример, во форма на дропка со именителот „еден“: 2 = 2/1. Така, секој рационален број може да се запише како децимална дропка - конечна или бесконечно периодична.
Р	Многу од сите реални броеви. Ирационалните броеви се бесконечни непериодични дропки. Тие вклучуваат: Заедно, две множества (рационални и ирационални броеви) го формираат множеството реални (или реални) броеви.

Ако множеството не содржи ниту еден елемент, тогаш се нарекува празен сети се евидентира Ø .

Елементи на логичка симболика

Ознака ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантификатор

Квантификатори често се користат при пишување математички изрази.

Квантификаторсе нарекува логички симбол кој ги карактеризира елементите што го следат во квантитативна смисла.

• ∀- општ квантификатор, се користи наместо зборовите „за секого“, „за секого“.
• ∃- квантификатор на постоење, се користи наместо зборовите „постои“, „достапно е“. Се користи и комбинацијата на симболи ∃!, која се чита како да има само еден.

Поставете операции

Две множествата А и Б се еднакви(A=B) ако се состојат од исти елементи.
На пример, ако A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) тогаш A=B.

По унија (збир)множествата A и B е множество A ∪ B чии елементи припаѓаат на барем едно од овие множества.
На пример, ако A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), тогаш A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Со раскрсница (производ)множеството A и B се нарекува множество A ∩ B, чии елементи припаѓаат и на множеството A и на множеството B.
На пример, ако A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), тогаш A ∩ B = (2,4)

По разликаМножествата A и B се нарекуваат множество AB, чии елементи припаѓаат на множеството А, но не припаѓаат на множеството Б.
На пример, ако A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), тогаш AB = (1,2)

Симетрична разликамножествата A и B се нарекува множество A Δ B, кое е унија на разликите на множествата AB и BA, односно A Δ B = (AB) ∪ (BA).
На пример, ако A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), тогаш A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Својства на сет операции

Својства на заменливост

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сопственост за совпаѓање

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Пребројливи и неброени множества

Со цел да се споредат кои било две множества А и Б, се воспоставува кореспонденција помеѓу нивните елементи.

Ако оваа кореспонденција е еден-на-еден, тогаш множествата се нарекуваат еквивалентни или подеднакво моќни, A B или B A.

Пример 1

Множеството точки на кракот BC и хипотенузата AC на триаголникот ABC се со еднаква моќност.

Потсетете се дека „множеството“ е недефиниран концепт во математиката. Георг Кантор (1845 – 1918), германски математичар чија работа лежи во основата на модерната теорија на множества, рече дека „множеството е многу нешта замислени како едно“.

Гарнитурите обично се означуваат со големи латински букви, елементите на множеството - со мали букви. Зборовите „припаѓа“ и „не припаѓа“ се означени со симболите:
И
:
– елемент припаѓа на комплетот ,
– елемент не припаѓа на множеството .

Елементите на множеството можат да бидат какви било објекти - броеви, вектори, точки, матрици итн. Конкретно, елементите на множеството можат да бидат множества.

За нумерички множества, општо прифатени се следните ознаки:

– множество природни броеви (позитивни цели броеви);

– продолжено множество природни броеви (на природните броеви се додава бројот нула);

– множество од сите цели броеви, кое вклучува позитивни и негативни цели броеви, како и нула.

– множеството рационални броеви. Рационален број е број што може да се напише како дропка
- цели броеви). Бидејќи секој цел број може да се напише како дропка, (на пример,
), и не на единствен начин, сите цели броеви се рационални.

– множеството реални броеви, кое ги вклучува сите рационални броеви, како и ирационалните броеви. (На пример, бројките се ирационални).

Секоја гранка од математиката користи свои множества. Кога започнуваме да решаваме проблем, прво го одредуваме множеството објекти што ќе се разгледуваат во него. На пример, во проблемите на математичката анализа се изучуваат сите видови броеви, нивните низи, функции итн. Се вика множеството кое ги вклучува сите објекти разгледани во проблемот универзален сет (за оваа задача).

Универзалното множество обично се означува со буквата . Универзалното множество е максимално множество во смисла дека сите предмети се негови елементи, т.е. изјавата
во рамките на задачата е секогаш точно. Минималниот сет е празен сет – , кој не содржи никакви елементи.

Сет сет - ова значи да се означи метод кој дозволува во однос на кој било елемент универзален сет дефинитивноинсталирај, припаѓа многу или не припаѓа. Со други зборови, правило е да се определи кој од двата искази
или
, што е точно, а кое неточно.

Комплетите може да се дефинираат на различни начини. Ајде да погледнеме некои од нив.

1. Список на сет елементи. На овој начин, можете да дефинирате конечни или бројни множества. Множеството е конечно или изброиво ако неговите елементи можат да се нумерираат, на пример, а 1 , а 2 ,… итн. Ако има елемент со најголем број, тогаш множеството е конечно, но ако сите природни броеви се користат како броеви, тогаш множеството е бесконечно броило множество.

1). – множество кое содржи 6 елементи (конечно множество).

2). е бесконечно броило множество.

3). - сет кој содржи 5 елементи, од кои два се
И
, се самите множества.

2. Карактеристично својство.Карактеристично својство на множеството е својство што го има секој елемент од множеството, но што го нема ниту еден објект што не припаѓа на множеството.

1). - множество рамностран триаголници.

2). – множество реални броеви поголеми или еднакви на нула и помали од еден.

3).
– множество од сите нескратливи дропки чиј броител е за еден помал од именителот.

3. Карактеристична функција.

Дефиниција 1.1. Карактеристична функција на комплетот повикајте ја функцијата
, дефиниран на универзалниот сет и земајќи ја вредноста еден на тие елементи од множеството кои припаѓаат , а вредноста е нула на елементи кои не припаѓаат :

,

Од дефиницијата на карактеристиката функција следуваат две очигледни тврдења:

1.
,
;

2.
,
.

Да го разгледаме како пример универзалното множество =
и неговите две подмножества: – множеството броеви помали од 7, и – збир од парни броеви. Карактеристични функции на множества И изгледа како

,
.

Да ги запишеме карактеристичните функции И на масата:

( )

Погодна илустрација на множества се дијаграмите на Ојлер-Вен, во кои универзалното множество е прикажано како правоаголник, а неговите подмножества како кругови или елипси (сл. 1.1 ( а-в)).

Како што може да се види од сл. 1.1.( А), избор во универзалниот сет Уеден сет - многу А, го дели правоаголникот на два неповрзани региони во кои функционира карактеристиката зема различни вредности: =1 внатре во елипсата и =0 надвор од елипсата. Додавање на уште еден сет - сет Б, (сл. 1.1 ( б)), повторно ја дели секоја од постоечките две области на две подобласти. Формирана
разединуваат

области, од кои секоја одговара на одреден пар вредности на карактеристични функции ( ,). На пример, парот (01) одговара на областа во која =0,=1. Овој регион ги вклучува оние елементи од универзалното множество У, кои не припаѓаат на множеството А, но припаѓаат на множеството Б.

Додавање трет сет - сет В, (сл. 1.1 ( В)), повторно ја дели секоја од постојните четири области на два подрегиони. Формирана
области кои не се преклопуваат. Секој од нив одговара на одредена тројка на вредности на карактеристични функции ( ,,). Овие тројки може да се замислат како броеви на области напишани во бинарно. На пример, бр.101 2 =5 10, т.е. областа во која се наоѓаат елементите на множествата АИ В, но нема елементи од комплетот Б, – ова е област бр.5. Така, секоја од осумте области има свој бинарен број, кој носи информации за тоа дали елементите на оваа област припаѓаат или не на множествата А, БИ В.

Додавање четврта, петта, итн. множества, добиваме 2 4 , 2 5 ,…, 2 n области, од кои секоја има свој добро дефиниран бинарен број, составен од вредностите на карактеристичните функции на множествата. Нагласуваме дека низата нули и единици во кој било од броевите е подредена по одреден, однапред договорен редослед. Само под услов на нарачка, бинарниот број на областа носи информации за членството или неприпадноста на елементите од оваа област во секое од множествата.

Забелешка. Потсетиме дека низа од n реални броеви во линеарна алгебра се смета како n-димензионален аритметички вектор со координати
. Бинарниот број на област може да се нарече и бинарен вектор чии координати земаат вредности во множеството
:. Бројот на различни n-димензионални бинарни вектори е 2n.