Да се ​​докаже изјава значи да се покаже дека оваа изјава логично произлегува од систем на вистинити и поврзани искази.

Во логиката, се верува дека ако предметната изјава логично произлегува од веќе докажани изјави, тогаш таа е оправдана и вистинита како и второто.

Така, основата на математичкото докажување е дедуктивниот метод. Доказ е збир на логички техники за да се поткрепи вистинитоста на исказот со помош на други вистинити и поврзани искази.

Математичкиот доказ не е само збир на заклучоци, тоа се заклучоци подредени по одреден редослед.

Доказите прават разлика помеѓу директни и индиректни.

Директен доказ.

1) Врз основа на некои вистинити реченици и условите на теоремата, се гради синџир на дедуктивни заклучоци кои водат до вистински заклучок.

Пример. Да докажеме дека вертикалните агли се еднакви. Според тоа, аглите 1 и 2 се соседни
Р 1 + Р 2 = 180 о. Аглите 2 и 3 се соседни, затоа, Р 2 + Р 3 = 180 о. Имаме: Ð 1 = 180 o – Ð 2 Ð 3 = 180 o – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2.

2

2) Метод на математичка индукција. Изјавата е точна за секој природен број n, ако: тоа е точно за n= 1 и од валидноста на исказот за секое произволно природно n = кја следи својата правда за n = к+ 1. (Ќе се дискутира подетално на високи курсеви.)

3) Целосна индукција (види претходно).

Индиректни докази.

1) Метод со контрадикција. Нека биде неопходно да се докаже теорема А Þ ВО. Се претпоставува дека нејзиниот заклучок е лажен, и затоа неговата негација е вистинита. Со приложување реченица на множество од вистински премиси што се користат во процесот на докажување (меѓу кои постои услов А), изградете синџир на дедуктивни заклучоци додека не се добие изјава која е во спротивност со една од премисите. Резултирачката противречност ја докажува теоремата.

Пример. Ако две прави се паралелни на иста права, тогаш тие се паралелни една со друга.

Со оглед на: Xúú Со, наúú Со. Докажете го тоа Xúú на.

Доказ. Нека биде директно Xне паралелно со линијата на, т.е. линиите се сечат во одреден момент А. Затоа, преку точка Аима две прави паралелни на правата Со, што е невозможно според аксиомата на паралелизам.

2) Доказ заснован на законот за контрапозиција: наместо теорема А Þ ВОдокажи теорема еквивалентна на неа. Ако е точно, тогаш вистинита е и оригиналната теорема.

Пример. Ако XТогаш 2 е парен број X- парен број.

Доказ. Да претпоставиме дека X– непарен број, т.е. X = 2к+ 1 Þ X 2 = (2к + 1) 2 =
= 4к 2 + 4к + 1 = 2(2к 2 + 2к) + 1 – непарен.

Безбедносни прашања

1. Што се нарекува заклучување?

2. Кој заклучок се нарекува дедуктивен?

3. Дефинирајте нецелосна и целосна индукција.

4. Дефинирајте го заклучокот по аналогија.

5. Запишете ги шемите на дедуктивни заклучоци и докажете ја идентичната вистинитост на формулите во основата на овие правила.

6. Како да се провери точноста на заклучоците користејќи ги Ојлеровите кругови? Кои други методи се познати за проверка на точноста на заклучоците?

7. Каков заклучок се нарекува софистика?

8. Што значи да се докаже изјава?

9. Кои докази се разликуваат по методот на водење?

10. Опишете ги методите на расудување во различни форми на директни и индиректни докази.

Концептот на хеуристика во математиката

1.1. Поим за докажување во математиката

Теоријата на докази е развиена во логика и вклучува три структурни компоненти: теза (што треба да се докаже), аргументи (збир на факти, општоприфатени концепти, закони итн. на соодветната наука) и демонстрација (постапката за развивање на самиот доказ кога n-тиот заклучок станува една од премисите на n+1-от заклучок; Правилата за докажување се истакнати и се посочени можните логички грешки.

Математичкиот доказ има многу заедничко со принципите утврдени со формалната логика. Згора на тоа, математичките правила на расудување и операции очигледно служеле како еден од основите во развојот на доказната постапка во логиката. Конкретно, истражувачите на историјата на формирањето на формалната логика веруваат дека едно време, кога Аристотел ги направил првите чекори за создавање закони и правила на логика, тој се свртел кон математиката и кон практикувањето на правната активност. Во овие извори тој нашол материјал за логичка конструкција на неговата планирана теорија.

Во 20 век концептот на докажување го изгуби своето строго значење, што се случи во врска со откривањето на логичките парадокси скриени во теоријата на множества и особено во врска со резултатите што ги донесоа теоремите на К. Гедел за нецелосноста на формализирањето. Серебриаников О.Ф. Хеуристички принципи и логично размислување. М.: 1979. - стр. 111

Пред сè, ова влијаеше на самата математика, во врска со која беше изразено верувањето дека терминот „доказ“ нема прецизна дефиниција. Но, ако таквото мислење (кое и денес постои) влијае на самата математика, тогаш доаѓаат до заклучок дека доказот треба да се прифати не во логичко-математичка смисла, туку во психолошка смисла. Освен тоа, слично гледиште се среќава и кај самиот Аристотел, кој верувал дека да се докажува значи да се спроведе расудување што ќе не убеди до таа мера што, користејќи го, ги убедуваме другите во исправноста на нешто. Одредена нијанса на психолошки пристап наоѓаме кај А.Е. Есенин-Волпина. Тој остро се спротивставува на прифаќањето на вистината без доказ, поврзувајќи го тоа со чин на вера и понатаму пишува: „Доказот за пресудата е искрен прием што го прави овој суд непобитен“. Есенин известува дека неговата дефиниција сè уште треба да се разјасни. Во исто време, зарем самото карактеризирање на доказите како „чесен прием“ не открива привлечност за морална и психолошка проценка?

Во исто време, откривањето на теоретски парадокси на множества и појавата на Геделовите теореми придонесоа за развој на теоријата на математичко докажување преземена од интуиционистите, особено од конструктивистичката насока, и Д. Хилберт.

Понекогаш се верува дека математичкиот доказ е универзален по природа и претставува идеална верзија на научен доказ. Сепак, тоа не е единствениот метод, постојат и други методи на постапки и операции засновани на докази. Единственото нешто што е точно е дека математичкиот доказ има многу сличности со формално-логичкиот доказ имплементиран во природните науки и дека математичкиот доказ има одредена специфичност, како и збир на техники и операции. Ќе застанеме тука, изоставувајќи ги заедничките карактеристики што го прават сличен на другите форми на докажување, односно без да го развиеме алгоритмот, правилата, грешките итн. во сите чекори (дури и во главните). процес на докажување.

Математичкиот доказ е расудување чија задача е да ја поткрепи вистинитоста (се разбира, во математичка, т.е. како уводлива смисла) на која било изјава.

Збирот на правила користени во докажувањето беше формиран заедно со појавата на аксиоматските конструкции на математичката теорија. Ова најјасно и најцелосно беше реализирано во Евклидовата геометрија. Неговите „Принципи“ станаа еден вид модел стандард за аксиоматската организација на математичкото знаење и останаа такви за математичарите долго време.

Изјавите претставени во форма на одреден редослед мора да гарантираат заклучок, кој, предмет на правилата за логично работење, се смета за докажан. Мора да се нагласи дека одредено расудување е доказ само за одреден аксиоматски систем.

При карактеризирање на математички доказ, се разликуваат две главни карактеристики. Како прво, математичкиот доказ исклучува секое повикување на емпириски докази. Целокупната постапка за оправдување на вистинитоста на заклучокот се спроведува во рамките на прифатената аксиоматика. Во оваа насока нагласува академик А.Д.Александров. Можете да ги измерите аглите на триаголникот илјадници пати и да бидете сигурни дека тие се еднакви на 2d Serebryanikov O.F. Хеуристички принципи и логично размислување. М.: 1979. - стр. 48-49. . Но, не можете да докажете ништо со математика. Тоа можеш да му го докажеш ако горната изјава ја заклучиш од аксиомите. Овде математиката е блиска до методите на схоластиката, која исто така суштински ја отфрла аргументацијата заснована на експериментално дадени факти.

На пример, кога беше откриена неспоредливоста на сегментите, при докажувањето на оваа теорема, прибегнувањето кон физички експеримент беше исклучено, бидејќи, прво, самиот концепт на „неспоредливост“ е лишен од физичко значење, а, второ, математичарите не можеа, кога се занимаваат со со апстракција, за привлекување на помош на материјално конкретни проширувања, мерени со сензорни и визуелни методи. Неспоредливоста, особено, на страните и дијагоналите на квадратот е докажана врз основа на својството на цели броеви користејќи ја Питагоровата теорема за еднаквоста на квадратот на хипотенузата (соодветно, дијагоналата) до збирот на квадратите на катетите (двете страни на правоаголен триаголник). Или кога Лобачевски бараше потврда за неговата геометрија, свртувајќи се кон резултатите од астрономските набљудувања, оваа потврда беше извршена од него со чисто шпекулативна природа. Во толкувањата на неевклидовата геометрија извршени од Кејли-Клајн и Белтрами, се појавија и типично математички отколку физички предмети. М., 1967. - стр. 84. .

Втората карактеристика на математичкиот доказ е неговата највисока апстрактност, во која се разликува од постапките за докажување во другите науки. И повторно, како и во случајот со концептот на математички објект, не зборуваме само за степенот на апстракција, туку и за неговата природа. Факт е дека доказот достигнува високо ниво на апстракција и во голем број други науки, на пример, во физиката, космологијата и, се разбира, во филозофијата, бидејќи темата на последното е крајните проблеми на битието и размислувањето. Математиката се одликува со тоа што тука функционираат променливите, чие значење е апстракција од какви било специфични својства. Да потсетиме дека, по дефиниција, променливите се знаци кои сами по себе немаат значења и го добиваат второто само кога ги заменуваат со имиња на одредени предмети (поединечни променливи) или кога укажуваат на специфични својства и врски (предикатни променливи), или конечно, во случаи на замена на променлива со значајна изјава (пропозициска променлива).

Оваа карактеристика ја одредува природата на екстремната апстракција на знаците што се користат во математичкото докажување, како и искази, кои поради вклучување на променливи во нивната структура се претвораат во функции на искази.

Така, може да се извлечат следните заклучоци.

Математичкиот доказ е аргумент кој има за цел да ја докаже вистинитоста на изјавата.

При карактеризирање на математички доказ, се разликуваат две главни карактеристики. Како прво, математичкиот доказ исклучува секое повикување на емпириски докази. Втората карактеристика на математичкиот доказ е неговата највисока апстрактност, во која се разликува од постапките за докажување во другите науки.

Векторско оправдување на Евклидовата геометрија - Вејлова аксиоматика

Задача 1: Докажете дека дијагоналите на ромбот се меѓусебно нормални. Доказ: Нека ABCD е дадениот ромб (сл. 3). Да ги воведеме ознаките =, =. Од дефиницијата за ромб следува ==, ==. По дефиниција на збир и разлика на вектори =+;=-. Размислете *=+)(-)=-...

Можности за истражување за учење со динамички цртежи

Ефективното користење на образовните истражувања во наставата по математика бара познавање на неговата структура и целта на неговите главни компоненти. За да го направите ова, да се свртиме кон анализа на гледиштата на психолозите, наставниците, математичарите и методолозите...

Максимални и минимални проблеми во геометријата

Историјата на формирањето на концептот на "алгоритам". Најпознатите алгоритми во историјата на математиката

Математика и современиот свет

До почетокот на 17 век. математиката е првенствено наука за броевите, скаларните величини и релативно едноставните геометриски фигури; количините што ги проучува (должини, површини, волумени итн.) се сметаат за константни...

равенка нееднаквост математика Поимот „равенка“ се однесува на најважните општи математички концепти. Постојат различни толкувања на концептот „равенка“. И ЈАС. Виленкин и сор. даваат логичка и математичка дефиниција за равенката...

Научни достигнувања на Питагора

Доказите подолу, и покрај нивната очигледна едноставност, воопшто не се толку едноставни. Сите тие користат својства на површина, чиј доказ е покомплексен од доказот на самата Питагорова теорема. Доказ преку еквикомплементација...

Детерминантите и нивната примена во алгебрата и геометријата

Својство бр. 1: Детерминантата не се менува при транспортирање на матрици (редови и колони). Доказ: Деф. Матрицата Aji се нарекува транспонирана матрица Aij = det A = det AT det A = det AT Да избереме кој било член од збирот на детерминантата...

Релација на еквивалентност

I. Односи меѓу геометриските објекти Многу познати поими од училишната математика се, во суштина, имиња на бинарни односи, а главните теореми поврзани со нив ги изразуваат својствата на овие односи. Пример 3.1...

Еднакви и еднакви многуаголници и многуедри

Да претпоставиме дека некој полиедар е некако поделен на компонентни полиедри; рабовите на овие полиедри се наоѓаат во првобитниот полиедар по отсечки, чија збирка ќе ја наречеме скелет на распаѓањето...

Задача е проблематична ситуација со експлицитно дефинирана цел што треба да се постигне; во потесна смисла, задача се нарекува и токму оваа цел дадена во рамките на проблемска ситуација, односно она што треба да се направи...

Брошурата, на достапен јазик за неспецијалисти, раскажува за некои од основните принципи врз кои е изградена науката за математиката: како концептот на математички доказ се разликува од концептот на доказ прифатен во другите науки и во секојдневниот живот, што едноставно во математиката се користат техники за докажување, како идејата за „точен“ доказ, што е аксиоматскиот метод, која е разликата помеѓу вистината и докажливоста.
За многу широк опсег на читатели, почнувајќи од средношколците.

МАТЕМАТИКА И ДОКАЗИ.
Дури и човек кој не е запознаен со математиката, земајќи книга по математика, може, по правило, веднаш да утврди дека оваа книга е навистина за математика, а не за некоја друга тема. И поентата не е само дека дефинитивно ќе има многу формули: има формули во книгите за физика, астрономија или градење мостови. Факт е дека секоја сериозна книга по математика секако содржи докази. Докажливоста на математичките искази, присуството на докази во математичките текстови е она што најјасно ја разликува математиката од другите области на знаење.

Првиот обид да се опфати целата математика во една расправа го направил старогрчкиот математичар Евклид во 3 век п.н.е. Резултатот беа познатите Евклидови Елементи. А вториот обид се случи дури во 20 век од нашата ера. е., а му припаѓа на францускиот математичар Николас Бурбаки, кој започнал да ја објавува повеќетомната расправа „Принципи на математиката“ во 1939 година. Ова е фразата со која Бурбаки го отвора својот трактат: „Од времето на Грците, да се каже „математика“ значи да се каже „доказ“. Така, „математика“ и „доказ“ - овие два збора се прогласени за речиси синоними.

ТАБЕЛА НА СОДРЖИНА
Математика и докази
За точноста и недвосмисленоста на математичките поими
Доказ за брутална сила
Индиректни докази за постоење. Дирихлеевиот принцип
Доказ со контрадикторност
Принципи на најголеми и најмали броеви и метод на бесконечно спуштање
Индукција
Докази со математичка индукција
Целосна индукција и нецелосна индукција
Концептот на математички доказ се менува со текот на времето
Два аксиоматски методи - неформални и формални
Неформален аксиоматски метод
Формална аксиоматска метода
Геделова теорема.

Преземете ја е-книгата бесплатно во пригоден формат, гледајте и читајте:
Преземете ја книгата Наједноставните примери на математички докази, Uspensky V.A., 2009 - fileskachat.com, брзо и бесплатно преземање.

Според методот на поврзување на аргументите од услов до заклучок, доказите се делат на директноИ индиректно.

Директен доказврз основа на некој несомнен принцип од кој директно се утврдува вистинитоста на теоремата.

Методи на директно докажување:

- синтетички,

- аналитички,

– метод на математичка индукција.

Синтетички метод: кога се конструира синџир на силогизми, мислата се движи од условите на теоремата до нејзиниот заклучок.

Учебниците даваат главно синтетички докази. Нивните предности се комплетноста, концизноста, краткоста. Недостатоци - немање мотивација за чекори, оправдување за дополнителни градби; тие се многу повеќе формални отколку аналитички докази.

Пример

Теорема. Ако се сечат два акорда од круг, тогаш производот на отсечките од едната акорд е еднаков на производот на отсечките од другата акорд.

Дадени: AB и CD се акорди на кругот, E е нивната пресечна точка.

Докажи: AE×BE = CE×DE. (1)

Доказ (синтетички)

Размислете за триаголниците ADE и CBE. Во овие триаголници, аглите 1 и 2 се еднакви, бидејќи тие се впишани и се потпираат на истиот лак VMD, а аглите 3 и 4 се еднакви како вертикални. Според првиот знак на сличност на триаголниците DADE ~ DCBE. Следи дека , или AE×BE = CE×DE. Теоремата е докажана.

Аналитички метод: Кога се бара доказ, мислата се движи од заклучокот на теоремата до нејзината состојба. Предностите на овој метод се што има почетна точка за докажување, се мотивираат дополнителни конструкции, а се зголемува креативната активност на учениците. Недостатоци: големи загуби на време, вештачки дополнителни конструкции тешко се оправдуваат.

Пример. Теорема за акорди на круг.

Доказ (аналитички)

За да се докаже еднаквоста (1), доволно е да се покаже дека (2).

За да се најде пропорција (2), доволно е да се докаже сличноста на триаголниците чии страни се членови на оваа пропорција. За да добиеме такви триаголници, ги поврзуваме точките C и B, A и D.

За да се оправда исправноста на пропорцијата (2), доволно е да се докаже дека DADE ~ DCBE. Овие триаголници се слични според првиот критериум за сличност на триаголниците: Ð1 = Ð2 како впишани агли врз основа на истиот лак VMD, и Ð3 = Ð4 како вертикални. Затоа, теоремата е вистинита.

Секој аналитички доказ може да се претвори во синтетички и обратно. Широко се користи во образовниот процес. Технологиите би можеле да бидат:

1) на синтетичкиот доказ му претходи аналитичко пребарување на неговиот план;

2) синтетичкиот доказ се заменува со аналитички како домашна задача, проучи го синтетичкиот доказ од учебник;

3) кога се користи методот на предавање (главно надвор од основниот училишен курс), често се користи чисто синтетички метод на докажување.

Метод на математичка индукцијане е широко распространета во геометријата, бидејќи се заснова на својствата на множеството природни броеви, излегува од опсегот на основното училиште, па затоа нема да го подложиме на посебно проучување.

Индиректни докази: Вистината на теоремата се утврдува со побивање на некои од предлозите содржани во теоремата.

Најчестиот и единствениот применлив метод на индиректно докажување во курсот по планиметрија е доказ со контрадикторност.

Логичко-математичката суштина на методот е со контрадикција: наместо директната линија (p Þ q), се докажува инверзната теорема ().

Затоа, доказот со контрадикторност е конструиран според следната шема:

1) нека q е неточно, односно точно;

2) докажуваме дека p е неточно, односно точно;

3) се увери дека од ;

4) значи, p Þ q (поради еквивалентноста на импликациите p Þ q и ), што требаше да се докаже.

Основниот курс по училишна геометрија широко ги користи доказите со контрадикторност, почнувајќи буквално од првите часови во седмо одделение. Во овој случај, неопходно е да се користи алгоритамски пристап.

Алгоритам за докажување со контрадикторност.

1. Претпоставуваме дека заклучокот на теоремата е неточен. Тогаш контрадикторната изјава ќе биде вистинита.

2. Ги идентификуваме можните случаи.

3. Се грижиме во секој случај да дојдеме до последица што е контрадикторна:

- состојбата на теоремата,

– претходно утврдени математички факти.

4. Присуството на контрадикција го принудува да се откаже од прифатениот заклучок.

5. Ја прифаќаме валидноста на заклучокот на теоремата што се докажува.

Ја опишавме главната логички методидокази за теореми: директни и индиректни, кои пак можат да бидат аналитички и синтетички, докази со контрадикторност.

Можеме да зборуваме за главната математички методидокази за теореми. Во геометријата, тие ги вклучуваат следните основни методи:

1) метод на геометриска трансформација: ефективно, одговара на современиот концепт за настава по геометрија на училиште, но бара развиено апстрактно и просторно размислување; методологијата за нејзино користење во училиштето не е доволно развиена;

2) метод на еднаквост и сличност на триаголници -одговара на класичниот концепт на настава по геометрија на училиште, е познат уште од времето на Евклид, затоа неговата методологија е добро развиена; вештините во неговата примена се формираат постепено, во процес на решавање проблеми и докажување теореми.

Покрај посочените основни математички методи за докажување теореми за планиметрија, можеме да зборуваме за поконкретни методи: методот на симетрија, методот на ротација, векторскиот метод, алгебарскиот метод, методот на сличност, методот на координати итн.

Доказните методи кои се користат во основниот курс по училишна геометрија може да се сумираат во форма на Шема I.

Да дадеме пример за употреба на нецелосна индукција при работа со деца од предучилишна возраст: користејќи ја играта „Прекрасна торба“ со тродимензионални геометриски форми, му ја поставуваме на детето следнава задача: „Извади ја фигурата и именувај ја“. По неколку обиди, детето погодува:

Топката. Топката. Топката. Сите топки се веројатно тука.

Задача 14

Понудете дополнително размислување за да ја потврдите вистинитоста (или неточноста) на добиената изјава.

Невозможно е да се прецени важноста на доказите во нашите животи, а особено во науката. Сите прибегнуваат кон докази, но не секогаш размислуваат што значи „докажува*“. Практичните вештини на докажување и интуитивните идеи за тоа се доволни за многу секојдневни цели, но не и за научни.

Да се ​​докаже изјава значи да се покаже дека оваа логична изјава логички следи од систем на вистинити и поврзани искази.

Доказот е логична операција на поткрепување на вистинитоста на исказот со помош на други вистинити и сродни искази.

Постојат три структурни елементи во доказот:

1) исказот да се докажува;

2) систем на вистинити искази со чија помош се оправдува вистинитоста на она што се докажува;

3) логичка врска меѓу ставовите. 1 и 2.

Главниот метод на математичко докажување е дедуктивен заклучок.

Според неговата форма доказ- ова е дедуктивен заклучок или синџир на дедуктивни заклучоци што водат од вистинити премиси до докажана изјава.

Во математичкиот доказ важен е редоследот на заклучоците. Според начинот на администрација разликуваат директни и индиректни докази.Директниот доказ вклучува целосна индукција, што беше дискутирано во став 1.6.

Целосна индукција- метод на докажување во кој вистинитоста на изјавата произлегува од нејзината вистинитост во сите конкретни случаи.

Целосна индукцијачесто се користи во игри со деца од предучилишна возраст како: „Кажи го со еден збор“.

Пример за директен доказ за исказот „Збирот на аглите во кој било четириаголник е 360°“:

„Размислете за произволен четириаголник. Цртајќи дијагонала во неа, добиваме 2 триаголници. Збирот на аглите на четириаголникот ќе биде еднаков на збирот на аглите на двата добиени триаголници. Бидејќи збирот на аглите во кој било триаголник е 180°, тогаш со собирање 180° и 180°, го добиваме збирот на аглите во два триаголници, тој ќе биде 360°. Според тоа, збирот на аглите во кој било четириаголник е 360“, што требаше да се докаже“.

Следниве заклучоци може да се извлечат од горенаведениот доказ:

1. Ако фигурата е четириаголник, тогаш можете да нацртате дијагонала во неа, која ќе го подели четириаголникот на 2 триаголници. Оваа бројка е четириаголник. Затоа, може да се подели на 2 триаголници со изградба на дијагонала.

2. Во секој триаголник, збирот на аглите е ISO." Овие бројки се триаголници. Затоа, збирот на аглите на секој од нив е 180°.

3. Ако еден четириаголник е составен од два триаголници, тогаш збирот на неговите агли е еднаков на збирот на аглите на овие триаголници. Овој четириаголник е составен од два триаголници со збир на агли од 180°. 180o+180o=360°. Според тоа, збирот на аглите во овој четириаголник е 360°.

Сите горенаведени заклучоци се направени според правилото за заклучување, па затоа се дедуктивни.

Пример за индиректен доказ е доказ со контрадикторност. ВО во овој случај тоа е дозволенодека заклучокот е неточен, затоа е вистинита и неговата негација. Откако ја прикачија оваа реченица на збир на вистински премиси, тие спроведуваат расудување додека не добијат противречност.

Да дадеме пример за доказ со контрадикторност на теоремата: „Ако две прави А И б паралелни со третата линија c, тогаш тие се паралелни една со друга“:

„Да претпоставиме дека правите линии А И б не се паралелни, тогаш ќе се сечат во некоја точка А што не припаѓа на правата c. Потоа откриваме дека преку точката А можеме да повлечеме две прави а и b, паралелни на c. Ова е во спротивност со аксиомата на паралелизам: „Преку точка

8. Формулирајте ги правилата за експлицитно дефинирање преку род и специфична разлика.

9. Каква дефиниција се нарекува:

Контекстуален;

Отензивно?

10. Што е исказ, а што изразна форма?

11. Кога речениците од типовите „А и Б“, „А или Б“, „Не А“ се вистинити, а кога се неточни?

12. Наведете општи квантификатори и квантификатори за постоење. Како да се утврди вистинитоста на речениците со различни квантификатори?

13. Кога постои однос на последица меѓу речениците, а кога однос на еквивалентност? Како се назначени?

14. Што е заклучок? Кој заклучок се нарекува дедуктивен?

15. Запишете ги правилата за заклучок, правилото за негација, правилото за силогизам користејќи симболи.

16. Кои заклучоци се нарекуваат нецелосна индукција, а кои заклучоци по аналогија?

17. Што значи да се докаже изјава?

18. Што е математички доказ?

19. Дефинирајте целосна индукција.

20. Што се софизми?