Квантна механика.

Од гледна точка на авторот на програмата, главната математичка основа на квантната механика е спектралната теорема. За жал, оваа теорема, по правило, не е вклучена во текот на предавањата што им се даваат на студентите по физика. Од друга страна, неговото значење од гледна точка на квантната механика не им е објаснето на студентите по математика. Предложениот курс е наменет првенствено да ја пополни оваа празнина. На крајот од курсот се очекува да се осврне на теоријата на не-комутативните графови на оператори и да се зборува за нивната поврзаност со квантните кодови за корекција на грешки.

Борел мери $\mu$ на вистинската линија. Разложување на $\mu$ на збир на континуирани, точки и еднина компоненти. Редовни мерки $\mu$. Просторот на континуирани функции со компактна поддршка $C(X)$ на локално компактен Hausdorff простор $X$. Теорема Риес-Марков-Какутани.
Хилберт-Шмит оператори и нуклеарни оператори во просторот Хилберт. Спектрално распаѓање. Теорема на Лидски.
Мерки на решетка од ортогонални проектори. Теорема на Глисон.
Мерки со вредност на проекторот. Позитивни мерки за операторот. Најмаркова теорема за дилатација.
Мекиова аксиоматика на квантната механика. Квантни состојби и мерења.
Проекторите како квантни настани. Квантни состојби поврзани со мерки на проектори.
Мерења поврзани со опсервабили (само-придружни оператори) поради спектралната теорема.
Простор на бранови функции $L^2(\mu)$ поврзани со квантно набљудување. Формулата на Борн. Случајот на квантните набљудувачи, кои се линеарни комбинации на операторите на координатите и импулсот.
Квантни случајни променливи. Рандомизација. Теорема на Холево за општата форма на мерење.
Шредингер-Робертсонова неодреденост за мерења со конечни секунди моменти.
Тензорски производи на Хилбертовите простори. Композитни квантни системи. Поврзани и раздвојливи држави.
Класични и квантни корелации. Бел-Клаузер-Хорн-Шимони нееднаквост. Цирелсон граница.
Квантни канали за пренос на информации. Краус распаѓање. Кодирање и декодирање на класични и квантни информации
Линеарни простори кои се состојат од ограничени оператори во Хилберт простор. Теорема за општата форма на графикот на некомутативен оператор поврзан со квантен канал.
Кодови за корекција на квантни грешки. Квантни антиклики.

Книгата на Нојман е првиот и досега единствениот завршен обид да се претстави апаратот на квантната механика со конзистентност и строгост што вообичаено се бара при конструирање на математичка теорија. Затоа, само на постоењето на оваа книга ја должиме нашата доверба дека квантната механика е логички конзистентна шема. Конкретно, токму во оваа книга е претставен доказот за познатата теорема за неможноста да се воведат „скриени параметри“ без радикално преструктуирање на целата квантна механика.
Така, книгата ќе биде исклучително вредна за сите длабоки студенти по квантна механика, пред се за студенти на додипломски и постдипломски студии, и физичари и математичари, како и за истражувачите во истите овие дисциплини.

Појавата на теоријата на трансформација.
Ова не е место да се укаже на огромниот напредок направен од квантната теорија помеѓу 1900 и 1925 година. во развој во кој доминираа имињата на Планк, Ајнштајн и Бор).

До крајот на овој процес на развој, се чинеше јасно и не оставаше сомнеж дека сите елементарни процеси, односно сè што се случува на атомско-молекуларната скала, се управувани од „неконтинуирани“ квантни закони. Речиси за сите проблеми постоеја и квантитативни квантно-теоретски методи, кои во најголем дел доведоа до резултати кои повеќе или помалку беа во добра согласност со експериментот. И она што беше од најголемо фундаментално значење - самото размислување на теоретско-физичкото истражување ја прифати идејата дека принципот на континуитет („natura non facit saltus“), кој доминира низ целиот макрокосмички свет достапен за перцепција, произлегува само како резултат на процес на просекување во неговиот суштински дисконтинуиран свет - поради фактот што едно лице обично веднаш го сфаќа само збирот од многу квадрилиони елементарни процеси, така што вистинската природа на еден процес се покажува дека е целосно покриена со сенивелирачкиот закон. од голем број.

СОДРЖИНА
Предговор на уредникот на преводот
Вовед
Поглавје I. Воведни забелешки
1. Појавата на теоријата на трансформација
2. Почетни формулации на квантната механика
3. Еквивалентност на две теории: Теорија на трансформации
4. Еквивалентност на две теории: Хилберт простор
Поглавје II. Општи својства на апстрактниот Хилберт простор
1. Дефиниција на апстрактен Хилберт простор
2. Геометрија на Хилбертовиот простор
3. Дигресија: За условите на А.-Е
4. Затворени линеарни колектори
5. Оператори во просторот Хилберт
6. Проблем со сопствена вредност
7. Продолжува
8. Прелиминарно разгледување на проблемот на сопствените вредности
9 Дигресија: За постоењето и единственоста на решението на проблемот со сопствената вредност
10. Оператори за патување
11. Брег дупка
Поглавје III. Квантна механичка статистика
1. Статистички искази на квантната механика
2. Статистичка „толкување“
3. Истовремена мерливост и мерливост воопшто
4. Несигурни односи
5. Оператори на проекција како изјави
6. Теорија на зрачење
Поглавје IV. Градење на дедуктивна теорија
1. Фундаментално оправдување на статистичката теорија
2. Доказ за статистички формули
3. Заклучоци од експерименти
Поглавје V. Општо разгледување
1. Мерење и реверзибилност
2. Термодинамички прашања
3. Прашања за реверзибилност и рамнотежа
4. Макроскопско мерење
Поглавје VI. Процес на мерење
1. Изјава за проблемот
2. Композитни системи
8. Дискусија за процесот на мерење
Додаток. Доказ за ергодичната теорема и H-теоремата во новата механика (Zs. f. Phys. 57, 30-70 (1929))
Вовед
I. Квантна механичка формулација на основните концепти на Гибсовата статистичка механика
II. Спроведување докази
III. Дискусијата за резултатите
Апликација.

Преземете ја е-книгата бесплатно во пригоден формат, гледајте и читајте:
Преземете ја книгата Математички основи на квантната механика, Јохан фон Нојман, 1964 година - fileskachat.com, брзо и бесплатно преземање.

Квантна механика

Што е квантна механика?

Квантната механика (QM; исто така позната како квантна физика или квантна теорија), вклучувајќи ја и теоријата на квантното поле, е гранка на физиката која ги проучува законите на природата кои се јавуваат на мали растојанија и на ниски енергии на атомите и субатомските честички. Класична физика - физика која постоела пред квантната механика, следи од квантната механика како нејзина ограничувачка транзиција, валидна само на големи (макроскопски) размери. Квантната механика се разликува од класичната физика по тоа што енергијата, импулсот и другите количества често се ограничени на дискретни вредности (квантизација), објектите имаат карактеристики и на честички и на бранови (дуалност бран-честичка), а има и ограничувања на прецизноста со кои величини можат да се мерат.одредено (принцип на несигурност).

Квантната механика следи сукцесивно од решението на Макс Планк од 1900 година за проблемот со зрачењето на црното тело (објавено во 1859 година) и делото на Алберт Ајнштајн од 1905 година кое предлага квантна теорија за објаснување на фотоелектричниот ефект (објавено 1887 година). Раната квантна теорија беше длабоко преиспитана во средината на 1920-тите.

Теоријата на премислување е формулирана на јазикот на специјално развиените математички формализми. Во една, математичка функција (бранова функција) дава информации за веројатноста за амплитудата на положбата на честичката, моментумот и другите физички карактеристики.

Важни области на примена на квантната теорија се: квантна хемија, суперспроводливи магнети, диоди што емитуваат светлина, како и ласерски, транзистори и полупроводнички уреди како што се микропроцесорот, медицински и истражувачки слики како што се магнетна резонанца и електронска микроскопија и објаснувања за многу биолошки и физички појави.

Историја на квантната механика

Научните истражувања за брановата природа на светлината започнале во 17 и 18 век, кога научниците Роберт Хук, Кристијан Хајгенс и Леонхард Ојлер ја предложиле брановата теорија на светлината врз основа на експериментални набљудувања. Во 1803 година, Томас Јанг, англиски генерален научник, го спроведе познатиот експеримент со двоен пресек, кој подоцна го опиша во трудот со наслов Природата на светлината и боите. Овој експеримент одигра важна улога во општото прифаќање на брановата теорија на светлината.

Во 1838 година, Мајкл Фарадеј ги открил катодните зраци. Овие студии беа проследени со формулацијата на Густав Кирхоф за проблемот со зрачењето на црното тело во 1859 година, предлогот на Лудвиг Болцман во 1877 година дека енергетските состојби на физичкиот систем можат да бидат дискретни и квантната хипотеза на Макс Планк во 1900 година. Хипотезата на Планк дека енергијата се емитува и се апсорбира во дискретен „квант“ (или пакети енергија) точно се совпаѓа со набљудуваните обрасци на зрачење на црното тело.

Во 1896 година, Вилхелм Виена емпириски го определил законот за дистрибуција на зрачењето на црното тело, именуван по него, Виенов закон. Лудвиг Болцман самостојно дошол до овој резултат анализирајќи ги Максвеловите равенки. Сепак, законот се применуваше само на високи фреквенции и потценет зрачење на ниски фреквенции. Планк подоцна го коригирал овој модел со статистичка интерпретација на Болцмановата термодинамика и го предложил она што сега се нарекува Планков закон, што доведе до развој на квантната механика.

Следејќи го Макс Планковото решение во 1900 година за проблемот со зрачењето на црното тело (објавено во 1859 година), Алберт Ајнштајн предложил квантна теорија за да го објасни фотоелектричниот ефект (1905 година, објавено 1887 година). Во годините 1900-1910 година, атомската теорија и корпускуларната теорија на светлината почнаа да бидат широко прифатени како научен факт за прв пат. Според тоа, овие последни теории може да се сметаат за квантни теории на материјата и електромагнетното зрачење.

Меѓу првите кои ги проучувале квантните феномени во природата биле Артур Комптон, С. В. Раман и Питер Земан, од кои секој има неколку квантни ефекти именувани по нив. Роберт Ендрјус Миликан експериментално го проучувал фотоелектричниот ефект, а Алберт Ајнштајн развил теорија за него. Во исто време, Ернест Радерфорд експериментално го открил нуклеарниот модел на атомот, според кој Нилс Бор ја развил својата теорија за атомска структура, која подоцна била потврдена со експериментите на Хенри Мозели. Во 1913 година, Питер Деби ја проширил теоријата на Нилс Бор за атомска структура со воведување елиптични орбити, концепт предложен и од Арнолд Зомерфелд. Оваа фаза во развојот на физиката е позната како стара квантна теорија.

Според Планк, енергијата (Е) на квантумот на зрачење е пропорционална на фреквенцијата на зрачењето (v):

каде што h е Планкова константа.

Планк бил внимателен да инсистира дека ова е едноставно математички израз на процесите на апсорпција и емисија на зрачење и нема никаква врска со физичката реалност на самата радијација. Всушност, тој ја сметал неговата квантна хипотеза за математички трик изведен со цел да се добие вистинскиот одговор, а не за големо фундаментално откритие. Меѓутоа, во 1905 година, Алберт Ајнштајн ѝ дал физичка интерпретација на квантната хипотеза на Планк и ја искористил за да го објасни фотоелектричниот ефект, во кој сјае светлина врз одредени супстанции може да предизвика електрони да се испуштаат од супстанцијата. За оваа работа, Ајнштајн ја доби Нобеловата награда за физика во 1921 година.

Ајнштајн потоа ја проширил оваа идеја за да покаже дека електромагнетниот бран, што е она што е светлина, може да се опише и како честичка (подоцна наречена фотон), со дискретна квантна енергија која зависи од фреквенцијата на бранот.

Во првата половина на 20 век, Макс Планк, Нилс Бор, Вернер Хајзенберг, Луис де Брољ, Артур Комптон, Алберт Ајнштајн, Ервин Шредингер, Макс Борн, Џон фон Нојман, Пол Дирак, Енрико Ферми, Волфганг Паули, Макс фон Лауе , Фримен Дајсон, Дејвид Хилберт, Вилхелм Виена, Шатиендранат Бозе, Арнолд Зомерфелд и други ги поставија темелите на квантната механика. Копенхагенското толкување на Нилс Бор доби универзално признание.

Во средината на 1920-тите, развојот на квантната механика доведе до тоа да стане стандардна формулација за атомската физика. Во летото 1925 година, Бор и Хајзенберг објавија резултати кои ја затворија старата квантна теорија. Од почит кон нивното однесување слично на честичките при одредени процеси и мерења, светлосните кванти станале наречени фотони (1926). Од едноставниот постулат на Ајнштајн произлезе низа дискусии, теоретски конструкции и експерименти. Така, се појавија цели полиња на квантната физика, што доведе до нејзино широко распространето признавање на Петтиот Солвеј конгрес во 1927 година.

Откриено е дека субатомските честички и електромагнетните бранови не се ниту само честички ниту бранови, туку имаат одредени својства на секоја од нив. Така настана концептот за двојност бран-честичка.

До 1930 година, квантната механика беше дополнително обединета и формулирана во работата на Дејвид Хилберт, Пол Дирак и Џон фон Нојман, кои ставија голем акцент на мерењето, статистичката природа на нашето знаење за реалноста и филозофските размислувања за „набљудувачот“. Последователно навлезе во многу дисциплини, вклучувајќи ја квантната хемија, квантната електроника, квантната оптика и квантната информациска наука. Нејзините теоретски модерни случувања вклучуваат теорија на струни и теории за квантна гравитација. Исто така, дава задоволително објаснување за многу карактеристики на современиот периодичен систем на елементи и го опишува однесувањето на атомите во хемиските реакции и движењето на електроните во компјутерските полупроводници, и затоа игра клучна улога во многу современи технологии.

Иако квантната механика била изградена за да го опише микроскопскиот свет, потребна е и да се објаснат некои макроскопски феномени како суперспроводливост и суперфлуидност.

Што значи зборот квант?

Зборот quantum доаѓа од латинскиот "quantum", што значи "колку" или "колку". Во квантната механика, квантот значи дискретна единица поврзана со одредени физички величини, како што е енергијата на атомот во мирување. Откритието дека честичките се дискретни пакети енергија со својства слични на бранови, доведе до создавање на гранката на физиката која се занимава со атомски и субатомски системи, која сега се нарекува квантна механика. Обезбедува математичка основа за многу области на физиката и хемијата, вклучително и физика на кондензирана материја, физика на цврста состојба, атомска физика, молекуларна физика, пресметковна физика, пресметковна хемија, квантна хемија, физика на честички, нуклеарна хемија и нуклеарна физика. Некои фундаментални аспекти на теоријата сè уште активно се проучуваат.

Значењето на квантната механика

Квантната механика е од суштинско значење за разбирање на однесувањето на системите на атомски и помали размери. Ако физичката природа на атомот била опишана исклучиво со класичната механика, тогаш електроните не би требало да орбитираат околу јадрото, бидејќи орбиталните електрони треба да емитираат зрачење (поради кружното движење) и на крајот да се судрат со јадрото поради губење на енергија преку зрачење. Таквиот систем не може да ја објасни стабилноста на атомите. Наместо тоа, електроните живеат во несигурни, недетерминистички, размачкани, веројатни орбитали со бранови честички околу јадрото, спротивно на традиционалните концепти на класичната механика и електромагнетизмот.

Квантната механика првично беше развиена за подобро објаснување и опишување на атомот, особено разликите во спектрите на светлината што се емитуваат од различни изотопи на истиот хемиски елемент, како и за опишување на субатомски честички. Накратко, квантниот механички модел на атомот беше неверојатно успешен во област каде што класичната механика и електромагнетизмот не успеаја.

Квантната механика вклучува четири класи на феномени кои класичната физика не може да ги објасни:

квантизација на индивидуалните физички својства
квантно заплеткување
принцип на несигурност
двојност бран-честичка

Математички основи на квантната механика

Во математички ригорозната формулација на квантната механика развиена од Пол Дирак, Дејвид Хилберт, Џон фон Нојман и Херман Вејл, можните состојби на квантниот механички систем се симболизирани со единечни вектори (наречени вектори на состојби). Формално, тие припаѓаат на сложениот одделлив Хилберт простор - инаку, просторот на состојби или поврзаниот Хилберт простор на системот, и се дефинирани до производот на комплексен број со единичен модул (фазен фактор). Со други зборови, можните состојби се точки во проективниот простор на Хилбертовиот простор, типично наречен комплексен проективен простор. Точната природа на овој простор на Хилберт зависи од системот - на пример, состојбата на просторот на положбата и моментумот е просторот на функциите што можат да се интегрираат со квадрат, додека просторот на состојбата за спинот на еден протон е само директен производ на два сложени авиони. Секоја физичка величина е претставена со хипермаксимално хермитски (поточно: самопридружен) линеарен оператор кој дејствува на просторот на состојбата. Секоја сопствена состојба на физичката големина одговара на сопствен вектор на операторот, а нејзината поврзана сопствена вредност одговара на вредноста на физичката количина во таа сопствена состојба. Ако спектарот на операторот е дискретен, физичката количина може да земе само дискретни сопствени вредности.

Во формализмот на квантната механика, состојбата на системот во даден момент се опишува со сложена бранова функција, наречена и вектор на состојба во сложен векторски простор. Овој апстрактен математички објект ви овозможува да ги пресметате веројатностите за исходите од одредени експерименти. На пример, ви овозможува да ја пресметате веројатноста електронот да биде во одредена област околу јадрото во одредено време. За разлика од класичната механика, симултаните предвидувања со произволна прецизност никогаш не можат да се направат за конјугирани променливи како што се позицијата и моментумот. На пример, може да се претпостави дека електроните се (со одредена веројатност) лоцирани некаде во даден регион на просторот, но нивната точна локација е непозната. Можете да нацртате региони со постојана веројатност, често наречени „облаци“, околу јадрото на атомот за да претставите каде е најверојатно електронот да се наоѓа. Принципот на несигурност на Хајзенберг ја квантифицира неможноста прецизно да се локализира честичка со даден импулс, што е конјугат на позицијата.

Според едно толкување, како резултат на мерењето, брановата функција која содржи информации за веројатноста за состојбата на системот се распаѓа од дадена почетна состојба до одредена сопствена состојба. Можни резултати од мерењето се сопствените вредности на операторот што ја претставува физичката големина - што го објаснува изборот на операторот Хермит, во кој сите сопствени вредности се реални броеви. Распределбата на веројатноста на физичката величина во дадена состојба може да се најде со пресметување на спектралното разложување на соодветниот оператор. Принципот на несигурност на Хајзенберг е претставен со формула во која операторите што одговараат на одредени количини не менуваат.

Мерење во квантната механика

Така, веројатноста на квантната механика произлегува од чинот на мерење. Ова е еден од најтешките аспекти на квантните системи за разбирање и беше централна тема во познатата дебата на Бор со Ајнштајн, во која и двајцата научници се обидоа да ги разјаснат овие фундаментални принципи преку мисловни експерименти. Во децениите по формулирањето на квантната механика, прашањето што претставува „мерење“ беше нашироко проучувано. Формулирани се нови интерпретации на квантната механика за да се отстрани концептот на колапс на брановата функција. Основната идеја е дека кога квантен систем е во интеракција со мерниот апарат, нивните соодветни бранови функции се заплеткуваат, така што оригиналниот квантен систем престанува да постои како независен ентитет.

Веројатната природа на предвидувањата на квантната механика

Како по правило, квантната механика не доделува специфични вредности. Наместо тоа, прави предвидување користејќи дистрибуција на веројатност; односно ја опишува веројатноста за добивање можни резултати од мерење на физичка величина. Често овие резултати се искривени, како облаците со густина на веројатност, со многу процеси. Облаците со густина на веројатност се приближна вредност (но подобра од Боровиот модел) во која локацијата на електронот е дадена со функција на веројатност, бранови функции што одговараат на сопствените вредности, така што веројатноста е квадратот на модулот на сложената амплитуда, или квантна состојба на нуклеарна привлечност. Секако, овие веројатности ќе зависат од квантната состојба во „моментот“ на мерењето. Следствено, во измерената вредност се внесува несигурност. Сепак, постојат некои состојби кои се поврзани со одредени вредности на одредена физичка количина. Тие се нарекуваат сопствени состојби (сопствени состојби) на физичко количество („својството“ може да се преведе од германски како „вродено“ или „вродено“).

Природно и интуитивно е сè во секојдневниот живот (сите физички количини) да има свои вредности. Се чини дека сè има одредена позиција, одреден момент, одредена енергија и одредено време на настанување. Сепак, квантната механика не ги специфицира прецизните вредности на позицијата и моментумот на честичката (бидејќи тоа се конјугирани парови) или нејзината енергија и време (бидејќи тие се исто така конјугирани парови); поточно го дава само опсегот на веројатности со кои таа честичка може да има даден импулс и веројатноста за импулс. Затоа, препорачливо е да се направи разлика помеѓу состојби кои имаат несигурни вредности и состојби кои имаат дефинитивни вредности (сопствени состојби). Како по правило, не нè интересира систем во кој честичката нема своја вредност на физичка големина. Меѓутоа, при мерење на физичка големина, брановата функција веднаш ја зема сопствената вредност (или „генерализирана“ сопствена вредност) на таа големина. Овој процес се нарекува колапс на бранова функција, контроверзен и многу дискутиран процес во кој системот што се проучува се проширува со додавање на уред за мерење. Ако ја знаете соодветната бранова функција непосредно пред мерењето, можете да ја пресметате веројатноста брановата функција да оди во секоја од можните сопствени состојби. На пример, слободната честичка во претходниот пример вообичаено има бранова функција, што е бран пакет центриран околу некоја просечна позиција x0 (нема својствени состојби на позиција и импулс). Кога се мери положбата на честичката, невозможно е со сигурност да се предвиди резултатот. Веројатно, но не и сигурно, дека ќе биде близу x0, каде што амплитудата на брановата функција е голема. По извршувањето на мерењето, откако ќе се добие одреден резултат x, брановата функција се распаѓа во сопствената функција на операторот на позиција центриран на x.

Шредингерова равенка во квантната механика

Временската еволуција на квантната состојба е опишана со Шредингеровата равенка, во која Хамилтонов (оператор кој одговара на вкупната енергија на системот) ја генерира временската еволуција. Временската еволуција на брановите функции е детерминистичка во смисла дека - со оглед на тоа каква била брановата функција во почетното време - може да се направи јасно предвидување каква ќе биде брановата функција во секое време во иднина.

Од друга страна, при мерењето, промената од првобитната бранова функција во друга, подоцнежна бранова функција нема да биде детерминистичка, туку ќе биде непредвидлива (т.е. случајна). Емулација на временската еволуција може да се види овде.

Функциите на брановите се менуваат со текот на времето. Шредингеровата равенка ја опишува промената на брановите функции со текот на времето и игра улога слична на улогата на вториот Њутнов закон во класичната механика. Шредингеровата равенка, применета на горенаведениот пример за слободна честичка, предвидува дека центарот на брановиот пакет ќе се движи низ просторот со константна брзина (како класична честичка во отсуство на сили кои дејствуваат на неа). Сепак, брановиот пакет исто така ќе се шири со текот на времето, што значи дека позицијата станува понеизвесна со текот на времето. Ова исто така има ефект на претворање на сопствената функција на позицијата (која може да се замисли како бескрајно остар врв на брановиот пакет) во продолжен бран пакет кој повеќе не ја претставува (дефинираната) сопствена вредност на позицијата.

Некои бранови функции произведуваат распределби на веројатност кои се константни или независни од времето - на пример, кога е во стационарна состојба со постојана енергија, времето исчезнува од модулот на квадратот на брановата функција. Многу системи кои се сметаат за динамични во класичната механика се опишани во квантната механика со такви „статички“ бранови функции. На пример, еден електрон во невозбуден атом класично е претставен како честичка што се движи по кружен пат околу атомското јадро, додека во квантната механика е опишан со статична, сферично симетрична бранова функција што го опкружува јадрото (сл. 1) (Сл. 1) Забележете, сепак, дека само најниските состојби на орбиталниот аголен моментум, означени со s, се сферично симетрични).

Шредингеровата равенка делува на целата амплитуда на веројатност, а не само на нејзината апсолутна вредност. Додека апсолутната вредност на амплитудата на веројатноста содржи информации за веројатностите, нејзината фаза содржи информации за взаемното влијание помеѓу квантните состојби. Ова доведува до „брановидно“ однесување на квантните состојби. Како што се испоставува, аналитичките решенија на равенката Шредингер се можни само за многу мал број Хамилтоновци од релативно едноставни модели, како што се квантниот хармоничен осцилатор, честичката во кутија, молекулата на водородот јон и атом на водород - ова се најважните претставници на таквите модели. Дури и атомот на хелиум, кој содржи само еден електрон повеќе од атомот на водород, му пркоси на секој обид за чисто аналитичко решение.

Сепак, постојат неколку методи за добивање приближни решенија. Важна техника позната како теорија на пертурбации користи аналитички резултат добиен за едноставен квантен механички модел и од тоа генерира резултат за покомплексен модел кој се разликува од поедноставниот модел (на пример) со додавање на слаба енергија на потенцијалното поле. Друг пристап е методот на „квази-класична апроксимација“, кој се применува на системи за кои квантната механика се применува само на слаби (мали) отстапувања од класичното однесување. Овие отстапувања потоа може да се пресметаат од класичното движење. Овој пристап е особено важен кога се проучува квантниот хаос.

Математички еквивалентни формулации на квантната механика

Постојат бројни математички еквивалентни формулации на квантната механика. Една од најстарите и најчесто користените формулации е „теоријата на трансформација“ предложена од Пол Дирак, која ги комбинира и генерализира двете најрани формулации на квантната механика - механика на матрици (создадена од Вернер Хајзенберг) и бранова механика (создадена од Ервин Шредингер).

Имајќи предвид дека Вернер Хајзенберг беше награден со Нобеловата награда за физика во 1932 година за развојот на квантната механика, улогата на Макс Борн во развојот на QM беше занемарена додека не ја доби Нобеловата награда во 1954 година. Оваа улога е спомната во биографијата на Борн од 2005 година, која зборува за неговата улога во формулацијата на матрицата на квантната механика, како и за употребата на амплитуди на веројатност. Во 1940 година, самиот Хајзенберг во комеморативен том во чест на Макс Планк призна дека научил за матриците од Борн. Во формулацијата на матрицата, моменталната состојба на квантен систем ги одредува веројатностите за неговите мерливи својства или физичките величини. Примери на величини вклучуваат енергија, позиција, импулс и орбитален импулс. Физичките величини можат да бидат или континуирани (на пр. позицијата на честичката) или дискретни (на пр. енергијата на електронот врзан за атом на водород). Интегралите на патеката на Фејнман се алтернативна формулација на квантната механика во која квантната механичка амплитуда се смета за збир на сите можни класични и некласични траектории помеѓу почетната и крајната состојба. Ова е квантно механички аналог на принципот на најмало дејство во класичната механика.

Законите на квантната механика

Законите на квантната механика се фундаментални. Се наведува дека состојбата на просторот на еден систем е Хилберт, а физичките величини на тој систем се хермитски оператори кои дејствуваат на тој простор, иако не е наведено кои точно се овие Хилбертови простори или кои точно се овие оператори. Тие можат да бидат избрани соодветно за да се добие квантитативна карактеристика на квантниот систем. Важен водич за донесување на овие одлуки е принципот на кореспонденција, кој вели дека предвидувањата на квантната механика се сведуваат на класична механика кога системот се движи во регионот на високи енергии или, еквивалентно, во регионот на големи квантни броеви, т.е. поединечна честичка има одреден степен на случајност; во системи кои содржат милиони честички, доминираат просечните вредности и, кога се приближува до границата со висока енергија, статистичката веројатност за случајно однесување има тенденција на нула. Со други зборови, класичната механика е едноставно квантна механика на големи системи. Оваа граница на „висока енергија“ е позната како класична или кореспондентна граница. Така, решението може дури и да започне со воспоставен класичен модел на одреден систем, а потоа да се обиде да го погоди основниот квантен модел што би генерирал таков класичен модел кога ќе помине до границата за совпаѓање.

Кога првично беше формулирана квантната механика, таа беше применета на модели чија граница на кореспонденција беше нерелативистичка класична механика. На пример, добро познатиот модел на квантен хармоничен осцилатор користи експлицитно нерелативистички израз за кинетичката енергија на осцилаторот и на тој начин е квантна верзија на класичниот хармоничен осцилатор.

Интеракција со други научни теории

Раните обиди за комбинирање на квантната механика со специјалната релативност вклучуваа замена на равенката на Шредингер со ковариантни равенки како што се равенката Клајн-Гордон или равенката Дирак. Иако овие теории беа успешни во објаснувањето на многу експериментални резултати, тие имаа одредени незадоволителни квалитети кои произлегуваат од фактот што тие не го земаа предвид релативистичкото создавање и уништување на честичките. Целосно релативистичка квантна теорија бараше развој на теорија на квантно поле што вклучува квантизирање на поле (наместо фиксно збир на честички). Првата полноправна теорија на квантното поле, квантната електродинамика, дава целосен квантен опис на електромагнетната интеракција. Целосниот апарат на теоријата на квантното поле често не е потребен за да се опишат електродинамичките системи. Поедноставен пристап, користен уште од создавањето на квантната механика, е да се сметаат наелектризираните честички како квантни механички објекти кои се предмет на класично електромагнетно поле. На пример, елементарниот квантен модел на атомот на водород го опишува електричното поле на атомот на водород користејќи го класичниот израз за Кулонов потенцијал:

E2/(4πε0r)

Овој „квази-класичен“ пристап не функционира ако квантните флуктуации на електромагнетното поле играат важна улога, на пример, кога фотоните се емитираат од наелектризирани честички.

Беа развиени и квантни теории на поле за силни и слаби нуклеарни сили. Теоријата на квантното поле за силни нуклеарни интеракции се нарекува квантна хромодинамика и ги опишува интеракциите на субнуклеарните честички како што се кварковите и глуоните. Слабите нуклеарни и електромагнетни сили беа обединети во нивните квантизирани форми во унифицирана теорија на квантно поле (позната како електрослаба сила) од физичарите Абдус Салам, Шелдон Глашоу и Стивен Вајнберг. За оваа работа, сите тројца ја добија Нобеловата награда за физика во 1979 година.

Се покажа дека е тешко да се изградат квантни модели за четвртата преостаната основна сила, гравитацијата. Извршени се полукласични приближувања, што доведува до предвидувања како што е Хокинговото зрачење. Сепак, формулирањето на целосна теорија за квантната гравитација е попречено од очигледните некомпатибилности помеѓу општата релативност (која е најточната теорија за гравитацијата во моментов позната) и некои од основните начела на квантната теорија. Решавањето на овие некомпатибилности е област на активно истражување и теорија, како што е теоријата на струни, еден од можните кандидати за идна теорија на квантната гравитација.

Класичната механика, исто така, беше проширена во сложеното поле, при што сложената класична механика почна да се однесува слично на квантната механика.

Врската помеѓу квантната механика и класичната механика

Предвидувањата на квантната механика се потврдени експериментално со многу висок степен на точност. Според принципот на кореспонденција помеѓу класичната и квантната механика, сите предмети ги почитуваат законите на квантната механика, а класичната механика е само приближна вредност за големи системи на објекти (или статистичка квантна механика за голем сет на честички). Така, законите на класичната механика следат од законите на квантната механика како статистички просек кога се стремиме кон многу голема ограничувачка вредност на бројот на елементи на системот или вредностите на квантните броеви. Меѓутоа, на хаотичните системи им недостасуваат добри квантни броеви, а квантниот хаос ја проучува врската помеѓу класичните и квантните описи на овие системи.

Квантната кохерентност е суштинска разлика помеѓу класичните и квантните теории, на пример со парадоксот Ајнштајн-Подолски-Розен (EPR), и стана напад на воспоставената филозофска интерпретација на квантната механика со привлекување на локалниот реализам. Квантната интерференција вклучува додавање на амплитуди на веројатност, додека класичните „бранови“ вклучуваат додавање на интензитети. За микроскопските тела, обемот на системот е многу помал од должината на кохерентноста, што доведува до заплеткување на долги растојанија и други нелокални феномени карактеристични за квантните системи. Квантната кохерентност обично не се појавува на макроскопски скали, иако исклучок од ова правило може да се случи на екстремно ниски температури (т.е. се приближува до апсолутната нула), при што квантното однесување може да се појави на макроскопска скала. Ова е во согласност со следните забелешки:

Многу макроскопски својства на класичниот систем се директна последица на квантното однесување на неговите делови. На пример, стабилноста на најголемиот дел од материјата (која се состои од атоми и молекули, кои само под влијание на електричните сили брзо би се срушиле), ригидноста на цврстите материи, како и механичките, термичките, хемиските, оптичките и магнетните својства на материјата се резултат на интеракцијата на електричните полнежи во согласност со правилата на квантната механика.

Додека навидум „егзотичното“ однесување на материјата постулирано од квантната механика и релативноста станува поочигледно кога се работи со многу мали честички или се патува со брзини што се приближуваат до брзината на светлината, законите на класичната, честопати наречена „Њутнова“ физика остануваат точни кога се предвидува однесувањето на огромниот број „големи“ објекти (по редослед на големината на големите молекули или дури и поголеми) и со брзини многу помали од брзината на светлината.

Која е разликата помеѓу квантната механика и класичната механика?

Класичната и квантната механика се многу различни по тоа што користат многу различни кинематички описи.

Според добро утврденото мислење на Нилс Бор, проучувањето на квантните механички феномени бара експерименти со целосен опис на сите уреди на системот, подготвителни, средни и завршни мерења. Описите се претставени со макроскопски термини изразени на обичен јазик, дополнети со концепти на класичната механика. Почетните услови и крајната состојба на системот соодветно се опишуваат со позиција во конфигурацискиот простор, како што е просторот на координатите, или некој еквивалентен простор како што е просторот на импулсот. Квантната механика не дозволува целосно точен опис, и во однос на позицијата и моментумот, на точно детерминистичко и каузално предвидување на конечната состојба од почетните услови или „состојба“ (во класична смисла на зборот). Во оваа смисла, промовиран од Бор во неговите зрели дела, квантниот феномен е процес на премин од почетна во финална состојба, а не моментална „состојба“ во класичната смисла на зборот. Така, постојат два вида процеси во квантната механика: стационарни и минливи. За стационарни процеси, почетната и крајната позиција се исти. За преодните тие се различни. По дефиниција е очигледно дека ако е даден само почетниот услов, тогаш процесот не е дефиниран. Со оглед на почетните услови, предвидувањето на конечната состојба е можно, но само на веројатностичко ниво, бидејќи Шредингеровата равенка е детерминистичка за еволуцијата на брановата функција, а брановата функција го опишува системот само во веројатност.

Во многу експерименти можно е да се земе почетната и крајната состојба на системот како честичка. Во некои случаи, излегува дека постојат потенцијално повеќе просторно различни патеки или траектории по кои честичката може да премине од почетна во конечна состојба. Важна карактеристика на квантниот кинематички опис е тоа што не ни дозволува недвосмислено да одредиме која од овие патеки произведува транзиција помеѓу состојбите. Дефинирани се само почетните и крајните услови и, како што е наведено во претходниот пасус, тие се дефинирани само онолку точно колку што дозволува описот по просторна конфигурација или нејзиниот еквивалент. Во секој случај за кој е потребен квантен кинематски опис, секогаш постои добра причина за ова ограничување на кинематската точност. Причината е во тоа што за експериментално да се најде честичка во одредена положба, таа мора да биде неподвижна; за експериментално да се открие честичка со одреден импулс, таа мора да биде во слободно движење; овие две барања се логички некомпатибилни.

Првично, класичната кинематика не бара експериментален опис на нејзините феномени. Ова овозможува целосно прецизно да се опише моменталната состојба на системот по позиција (точка) во фазниот простор - Декартов производ на конфигурација и простори на моментум. Овој опис едноставно ја претпоставува, или замислува, состојбата како физички ентитет, без да се грижи за нејзината експериментална мерливост. Овој опис на почетната состојба, заедно со Њутновите закони за движење, овозможува да се направи точно детерминистичко и причинско-последично предвидување на конечната состојба, заедно со дефинирана траекторија на еволуцијата на системот. За таа цел може да се користи Хамилтонова динамика. Класичната кинематика овозможува и опис на процесот, сличен на описот на почетната и конечната состојба што ги користи квантната механика. Лагранжовата механика ни овозможува да го направиме тоа. За процеси во кои е неопходно да се земе предвид големината на дејството од редот на неколку Планкови константи, класичната кинематика не е погодна; ова бара употреба на квантна механика.

Општа теорија на релативност

И покрај тоа што дефинирачките постулати на општата релативност и квантната теорија на Ајнштајн се недвосмислено поддржани со ригорозни и повторливи емпириски докази, и иако теоретски не се контрадикторни еден со друг (барем во однос на нивните примарни изјави), тие се покажаа како исклучително тешки за интегрирање во еден кохерентен, единствен модел.

Гравитацијата може да се занемари во многу области од физиката на честичките, така што обединувањето помеѓу општата релативност и квантната механика не е актуелен проблем во овие конкретни апликации. Сепак, недостатокот на правилна теорија за квантната гравитација е важно прашање во физичката космологија и потрагата на физичарите за елегантна „Теорија на сè“ (ТВ). Затоа, решавањето на сите недоследности меѓу двете теории е една од главните цели за физиката на 20 и 21 век. Многу еминентни физичари, вклучувајќи го и Стивен Хокинг, работеа низ годините во обид да ја откријат теоријата зад сето тоа. Овој телевизор ќе комбинира не само различни модели на субатомска физика, туку и ќе ги изведе четирите основни сили на природата - силната сила, електромагнетизмот, слабата сила и гравитацијата - од една сила или феномен. Додека Стивен Хокинг првично верувал во ТВ, откако ја разгледал теоремата за нецелосност на Гедел, тој заклучил дека таквата теорија не е изводлива и тоа јавно го кажал во своето предавање „Годел и крајот на физиката“ (2002).

Основни теории на квантната механика

Потрагата за обединување на основните сили преку квантната механика сè уште е во тек. Квантната електродинамика (или „квантен електромагнетизам“), која во моментов (барем во пертурбативниот режим) е најточната тестирана физичка теорија во ривалство со општата релативност, успешно ги обединува слабите нуклеарни сили во електрослабата сила и во моментов се работи на комбинирајте ги електрослабите и силните интеракции во електросилната интеракција. Тековните предвидувања велат дека околу 1014 GeV трите горенаведени сили се спојуваат во едно унифицирано поле. Покрај ова „големо обединување“, се предлага гравитацијата да се унифицира со другите три симетрии на мерач, што се очекува да се случи на околу 1019 GeV. Сепак - и додека специјалната релативност е внимателно инкорпорирана во квантната електродинамика - продолжената општа релативност, моментално најдобрата теорија која ги опишува гравитационите сили, не е целосно инкорпорирана во квантната теорија. Еден од луѓето кои развиваат кохерентна теорија за сè, Едвард Витен, теоретски физичар, ја формулирал теоријата М, која е обид да се објасни суперсиметријата врз основа на теоријата на супержици. Теоријата М сугерира дека нашиот привиден 4-димензионален простор е всушност 11-димензионален простор-временски континуум, кој содржи десет димензии на просторот и една временска димензија, иако 7-те димензии на просторот при ниски енергии се целосно „згуснети“ (или бескрајно закривени) и не се лесно мерени или истражувани.

Друга популарна теорија е Loop квантната гравитација (LQG), теорија првпат предложена од Карло Ровели која ги опишува квантните својства на гравитацијата. Тоа е исто така теорија на квантниот простор и квантното време, бидејќи во општата релативност геометриските својства на простор-времето се манифестација на гравитацијата. LQG е обид да се обедини и прилагоди стандардната квантна механика и стандардната општа релативност. Главниот резултат на теоријата е физичка слика во која просторот е грануларен. Зрнестоста е директна последица на квантизацијата. Ја има истата грануларност на фотоните во квантната теорија на електромагнетизмот или дискретните енергетски нивоа на атомите. Но, овде самиот простор е дискретен. Поточно, просторот може да се смета како исклучително тенка ткаенина или мрежа, „ткаена“ од конечни јамки. Овие јамки мрежи се нарекуваат спин мрежи. Еволуцијата на спин мрежата со текот на времето се нарекува спин пена. Предвидената големина на оваа структура е должината на Планк, која е приближно 1,616 × 10-35 m. Според теоријата, нема точка во пократка должина од оваа. Затоа, LQG предвидува дека не само материјата, туку и самиот простор има атомска структура.

Филозофски аспекти на квантната механика

Од своето основање, многуте парадоксални аспекти и резултати на квантната механика доведоа до интензивна филозофска дебата и разновидни толкувања. Дури и основните прашања, како што се основните правила на Макс Борн во врска со амплитудата на веројатноста и распределбата на веројатноста, беа потребни децении за да бидат ценети од општеството и многу водечки научници. Ричард Фајнман еднаш рече: „Мислам дека можам безбедно да кажам дека никој не ја разбира квантната механика.“ Според зборовите на Стивен Вајнберг, „Според мое мислење, сега нема целосно задоволително толкување на квантната механика.

Толкувањето од Копенхаген - во голема мера благодарение на Нилс Бор и Вернер Хајзенберг - останува најприфатливо меѓу физичарите 75 години по неговото прогласување. Според ова толкување, веројатната природа на квантната механика не е привремена карактеристика што на крајот ќе биде заменета со детерминистичка теорија, туку треба да се гледа како конечно отфрлање на класичната идеја за „каузалност“. Дополнително, се верува дека секоја добро дефинирана примена на квантниот механички формализам мора секогаш да се повикува на експерименталниот дизајн поради меѓусебно поврзаната природа на доказите добиени во различни експериментални ситуации.

Алберт Ајнштајн, додека бил еден од основачите на квантната теорија, самиот не прифатил некои од пофилозофските или метафизичките толкувања на квантната механика, како што се отфрлањето на детерминизмот и каузалноста. Неговиот најцитиран познат одговор на овој пристап е: „Бог не игра коцки“. Тој го отфрли концептот дека состојбата на физичкиот систем зависи од експерименталното мерење. Тој верувал дека природните феномени се случуваат според нивните сопствени закони, без разлика дали и како се набљудувани. Во овој поглед, тоа е поддржано од моментално прифатената дефиниција за квантна состојба, која останува непроменлива при произволен избор на конфигурацискиот простор за нејзино претставување, односно методот на набљудување. Тој исто така верувал дека основата на квантната механика треба да биде теорија која внимателно и директно изразува правило кое го отфрла принципот на дејствување на далечина; со други зборови, тој инсистираше на принципот на локалитет. Тој ја разгледа, но теоретски оправдано ја отфрли, конкретната идеја за скриени променливи за да се избегне несигурност или недостаток на причинско-последични односи во квантните механички мерења. Тој верувал дека во тоа време важела квантната механика, но не и конечната и непоколеблива теорија на квантните феномени. Тој веруваше дека неговата идна замена ќе бара длабок концептуален напредок и дека тоа нема да се случи брзо или лесно. Дискусиите на Бор-Ајнштајн даваат јасна критика на копенхагенската интерпретација од гносеолошка гледна точка.

Џон Бел покажа дека овој „EPR“ парадокс доведе до експериментално тестирани разлики помеѓу квантната механика и теориите кои се потпираат на додавање на скриени променливи. Извршени се експерименти за да се докаже точноста на квантната механика, со што се покажа дека квантната механика не може да се подобри со додавање скриени променливи. Првичните експерименти на Ален Аспект во 1982 година и многу последователни експерименти оттогаш дефинитивно ја потврдија квантната испреплетеност.

Заплетканоста, како што покажаа експериментите на Бел, не ги нарушува причинско-последичните односи, бидејќи не се случува пренос на информации. Квантното заплеткување ја формира основата на квантната криптографија, која е предложена за употреба во високо безбедни комерцијални апликации во банкарството и владата.

Интерпретацијата на Еверет за многу светови, формулирана во 1956 година, смета дека сите можности опишани од квантната теорија истовремено се појавуваат во мултиверзум кој се состои првенствено од независни паралелни универзуми. Ова не се постигнува со воведување на некоја „нова аксиома“ во квантната механика, туку напротив, се постигнува со отстранување на аксиомата за распаѓање на брановите пакети. Сите можни секвенцијални состојби на измерениот систем и мерниот уред (вклучувајќи го и набљудувачот) се присутни во вистинска физичка - а не само формална математичка, како во другите толкувања - квантна суперпозиција. Таквата суперпозиција на последователни комбинации на состојби на различни системи се нарекува заплеткана состојба. Додека мултиверзумот е детерминистички, ние го перципираме недетерминистичкото однесување, по случаен карактер, бидејќи можеме само да го набљудуваме универзумот (т.е. придонесот на компатибилна состојба на горенаведената суперпозиција) во кој ние, како набљудувачи, живееме. Интерпретацијата на Еверет совршено се вклопува со експериментите на Џон Бел и ги прави интуитивни. Сепак, според теоријата за квантна декохеренција, овие „паралелни универзуми“ никогаш нема да ни бидат достапни. Непристапноста може да се разбере на овој начин: штом ќе се направи мерење, системот што се мери се заплеткува и со физичарот кој го измерил и со огромен број други честички, од кои некои се фотони, кои летаат со брзина на светлината до другиот крај на универзумот. За да се докаже дека брановата функција не се распаднала, потребно е да се вратат сите овие честички назад и повторно да се измерат заедно со системот што првично бил измерен. Не само што ова е целосно непрактично, туку дури и теоретски да може да се направи, ќе мора да ги уништи сите докази дека се случило оригиналното мерење (вклучувајќи ја и меморијата на физичарот). Во светлината на овие експерименти на Бел, Крамер ја формулираше својата трансакциска интерпретација во 1986 година. Во доцните 1990-ти, релациската квантна механика се појави како модерен дериват на копенхагенската интерпретација.

Квантната механика имаше огромен успех во објаснувањето на многу карактеристики на нашиот Универзум. Квантната механика често е единствената достапна алатка која може да го открие индивидуалното однесување на субатомските честички кои ги сочинуваат сите форми на материја (електрони, протони, неутрони, фотони итн.). Квантната механика има големо влијание врз теоријата на струни, претендент за Теоријата на сè.

Квантната механика е исто така клучна за да се разбере како поединечните атоми формираат ковалентни врски за да формираат молекули. Примената на квантната механика во хемијата се нарекува квантна хемија. Релативистичката квантна механика, во принцип, може математички да го опише најголемиот дел од хемијата. Квантната механика, исто така, може да обезбеди квантитативно разбирање на процесите на јонско и ковалентно поврзување со експлицитно прикажување кои молекули енергетски се совпаѓаат со другите молекули и со кои енергетски вредности. Покрај тоа, повеќето пресметки во модерната пресметковна хемија се потпираат на квантната механика.

Во многу индустрии, современите технологии работат на размери каде што квантните ефекти се значајни.

Квантна физика во електрониката

Многу современи електронски уреди се дизајнирани со помош на квантна механика. На пример, ласер, транзистор (а со тоа и микрочип), електронски микроскоп и магнетна резонанца (МРИ). Проучувањето на полупроводниците доведе до пронаоѓање на диодата и транзисторот, кои се незаменливи компоненти на современите електронски системи, компјутери и телекомуникациски уреди. Друга апликација е диодата што емитува светлина, која е високо ефикасен извор на светлина.

Многу електронски уреди работат под влијание на квантно тунелирање. Таа е присутна дури и во едноставен прекинувач. Прекинувачот не би работел доколку електроните не би можеле квантен тунел низ оксидниот слој на металните контактни површини. Флеш мемориските чипови, главната компонента на уредите за складирање USB, користат квантно тунелирање за да ги избришат информациите во нивните ќелии. Некои уреди со негативен диференцијален отпор, како што е резонантната тунелна диода, исто така го користат ефектот на квантно тунелирање. За разлика од класичните диоди, струјата во неа тече под влијание на резонантно тунелирање низ две потенцијални бариери. Неговиот начин на работа со негативен отпор може да се објасни само со квантната механика: како што енергијата на состојбата на врзаните носители се приближува до нивото на Ферми, струјата на тунелирање се зголемува. Како што се оддалечувате од нивото на Ферми, струјата се намалува. Квантната механика е од витално значење за разбирање и дизајнирање на овие типови електронски уреди.

Квантна криптографија

Истражувачите моментално бараат сигурни методи за директно манипулирање со квантните состојби. Се прават напори целосно да се развие квантната криптографија, која теоретски ќе гарантира безбеден пренос на информации.

Квантно пресметување

Подалечна цел е развојот на квантните компјутери, од кои се очекува да извршуваат одредени пресметковни задачи експоненцијално побрзо од класичните компјутери. Наместо класични битови, квантните компјутери користат кубити, кои можат да постојат во суперпозиција на состојби. Друга активна тема за истражување е квантната телепортација, која се занимава со методи за пренос на квантни информации на произволни растојанија.

Квантни ефекти

Додека квантната механика примарно се применува на атомски системи со помали количини материја и енергија, некои системи покажуваат квантно механички ефекти на поголеми размери. Суперфлуидноста, способноста на течноста да се движи без триење на температура близу апсолутна нула, е еден добро познат пример за такви ефекти. Тесно поврзан со овој феномен е феноменот на суперспроводливост - проток на електронски гас (електрична струја) што се движи без отпор во проводен материјал при доволно ниски температури. Дробниот квантен Хол ефект е тополошка подредена состојба која одговара на моделите на квантно заплеткување кои работат на долги растојанија. Состојбите со различен тополошки редослед (или различни конфигурации на заплеткување на долг дострел) не можат да воведат промени на состојбите една во друга без фазни трансформации.

Квантна теорија

Квантната теорија, исто така, содржи прецизни описи на многу претходно необјаснети феномени, како што се зрачењето на црното тело и стабилноста на орбиталните електрони во атомите. Исто така, обезбеди увид во работата на многу различни биолошки системи, вклучувајќи ги миризливите рецептори и протеинските структури. Неодамнешното истражување на фотосинтезата покажа дека квантните корелации играат важна улога во овој фундаментален процес што се случува кај растенијата и многу други организми. Сепак, класичната физика често може да обезбеди добри приближувања на резултатите добиени од квантната физика, обично во услови на голем број честички или големи квантни броеви. Бидејќи класичните формули се многу поедноставни и полесни за пресметување од квантните формули, се претпочита употребата на класични апроксимации кога системот е доволно голем за да ги направи ефектите од квантната механика занемарливи.

Движење на слободна честичка

На пример, размислете за слободна честичка. Во квантната механика, се забележува двојност бран-честичка, така што својствата на честичката може да се опишат како својства на бранот. Така, квантната состојба може да се претстави како бран со произволна форма и да се протега низ просторот како бранова функција. Положбата и моментумот на честичката се физички величини. Принципот на несигурност вели дека позицијата и моментумот не можат точно да се измерат во исто време. Сепак, можно е да се измери положбата (без мерење на импулсот) на слободна честичка што се движи со создавање на сопствена состојба на позиција со бранова функција (Дирак делта функција) која е многу голема на одредена положба x, а нула на други позиции. Ако извршите мерење на позицијата со таква бранова функција, тогаш резултатот ќе биде x со веројатност од 100% (односно, со целосна доверба или со целосна точност). Ова се нарекува сопствена вредност (состојба) на позицијата или, наведено во математички термини, сопствена вредност на генерализираната координата (сопствена распределба). Ако една честичка е во сопствена положба, тогаш нејзиниот моментум е апсолутно неодреден. Од друга страна, ако честичката е во сопствена состојба на моментум, тогаш нејзината позиција е целосно непозната. Во сопствената состојба на пулсот чија сопствена функција е во форма на рамен бран, може да се покаже дека брановата должина е еднаква на h/p, каде што h е Планковата константа, а p е моментумот на сопствената состојба.

Правоаголна потенцијална бариера

Ова е модел на ефектот на квантно тунелирање, кој игра важна улога во производството на современи технолошки уреди како флеш меморија и микроскопи за скенирање тунели. Квантното тунелирање е централен физички процес кој се јавува во суперрешетки.

Честичка во еднодимензионална потенцијална кутија

Честичка во еднодимензионална потенцијална кутија е наједноставниот математички пример во кој просторните ограничувања водат до квантизација на нивоата на енергија. Кутијата е дефинирана како да има нула потенцијална енергија насекаде во одреден регион и бесконечна потенцијална енергија насекаде надвор од тој регион.

Финален потенцијал бунар

Бунар со конечен потенцијал е генерализација на проблемот на бунарот со бесконечен потенцијал, кој има конечна длабочина.

Проблемот на бунар со конечен потенцијал е математички покомплексен од проблемот на честичка во кутија со бесконечен потенцијал, бидејќи брановата функција не исчезнува на ѕидовите на бунарот. Наместо тоа, брановата функција мора да задоволува посложени математички гранични услови бидејќи е ненула во регионот надвор од потенцијалниот бунар.

(Ова поглавје ги содржи математиките потребни за читање на остатокот од книгата. Сепак, има голем број делови во овие поглавја кои може да се прочитаат без детално познавање на таквите информации, па не се обесхрабрувајте ако изгледаат тешко.)

Во првото поглавје, Шредингеровата равенка за атомска честичка беше изведена од класичната равенка што одговара на хармоничен стоечки бран и врската на Де Броље. За системи кои содржат многу честички, како и во присуство на надворешни електрични и магнетни полиња, неопходен е поопшт пристап кон равенките на квантната механика.

Основите на квантната механика најдобро се гледаат како збир на постулати од кои може да се изведат равенките на движење. Тогаш самите постулати наоѓаат потврда во согласноста на решенијата на добиените равенки со експеримент. Да разгледаме систем од n честички, кој класично се опишува со наведување во секој момент од времето на вредностите на 3n генерализирани координати (q) и 3n генерализирани моменти (p). За да се опише таков систем во квантната механика, се воведени следните постулати:

Постулат 1. Систем на честички може да се карактеризира со функција Ψ(q 1 ... q 3n, t), наречена бранова функција, преку која се одредуваат сите мерливи величини за системот. Количеството Ψ * Ψdq 1 ... dq 3n има физичко значење, кое ја одредува веројатноста да се најдат координати на честички во интервалот помеѓу *) q 1 ... q 3n и q 1 + dq 1 ... q 3n + dq 3n.

*) (Иако при претставувањето на теоријата за атомот на водород, авторите наведоа дека се ограничени на разгледување состојби со негативна енергија, овде, во поригорозен приказ, забележуваме дека оваа интерпретација на брановата функција е применлива само за функции кои можат да бидат предмет до состојба на нормализација (6.1). Исто така, постојат состојби чии бранови функции се квадратно неинтеграбилни и затоа не можат да го задоволат овој услов; во такви случаи, вредноста Ψ * Ψ одредува само релативни, но не и апсолутни веројатности (види забелешка на страница 100). - Прибл. ед.)

Бидејќи секоја честичка нужно мора да биде во одредена точка во просторот, интегрирањето на густината на веројатноста над целиот простор мора да даде единство. Ова се изразува со условот за нормализација

∫ Ψ * Ψ dυ = 1, (6.1)

каде што dυ = dq 1 ... dq 3n и интегралот е преземен во целиот 3n-димензионален простор.

Постулат 2. Секоја физички набљудувана големина во квантната механика е поврзана со линеарен оператор; Да го означиме, на пример, β . Тогаш просечната вредност на оваа набљудувана количина се одредува како *)

b‾ = ∫ Ψ * β Ψ dυ. (6.2)

*) (Ако е потребно да се трансформира која било функција f(x) во друга функција g(x), тогаш алгебарски тоа се изразува со релацијата β f(x) = g(x), каде β - оператор. На пример,

[+2]x3 = 2 + x 3 (а); [x] x 3 = x 4 (б); [√] x 3 = x 3 / 2 (c);

X 3 = 3x 2 (g).

Во сите овие изрази, операторот е затворен во квадратни загради. Операторите дејствуваат на функции лоцирани десно од нив. Операторот се нарекува линеарен ако се исполнети условите

β = β f(x) + β g(x) и β kf(x) = k β f (x),

каде k е константа. Во горните примери, само (б) и (г) се линеарни оператори.)

Правилото за конструирање на квантно механички оператори е следново: класичниот израз за големината што се разгледува е запишан во променливите p и q, потоа соодветниот квантен механички оператор се добива со замена на p k со

Да дадеме неколку примери за просечни вредности на формата (6.2).

а) Просечна вредност на x координатата на поединечна честичка

б) Просечна вредност на х-компонентата на моментумот на поединечна честичка

Треба да се напомене дека доколку операторот β е алгебарска функција на координати, како во равенката (6.3), тогаш не е важно каде точно се наоѓа во интеграндот. Ако β е диференцијален оператор, тогаш мора да се постави помеѓу функциите Ψ * и Ψ за да дејствува само на функцијата Ψ.

Постулат 3. За систем чија вкупна енергија е константна со текот на времето (конзервативен систем), класичниот израз на енергија, запишан во променливите q, p, е познат како Хамилтонова функција. Соодветниот оператор во квантната механика (т.е. енергетскиот оператор) се нарекува Хамилтонов оператор или Хамилтонов и се означува со симболот

За конзервативни системи, брановата функција ја задоволува равенката

Ψ(q, t) = EΨ(q, t), (6,5)

каде Е е енергијата на системот - константна вредност која не зависи од координатите и времето t *).

*) (Конзервативниот систем може да нема одредена енергетска вредност, но може да се карактеризира со одредена веројатна дистрибуција на енергија. Брановата функција на таква состојба не ја задоволува равенката (6.5). Густината на веројатноста Ψ 2 ќе зависи од времето, но распределбата на енергијата останува константна. - Прибл. ед.)

Забележете дека двете страни на равенката (6.5) ја содржат истата функција Ψ(q, t). Равенката (6.5) е равенката за сопствените функции на операторот

Е - сопствена вредност на операторот

Ψ е соодветната сопствена функција.

Како едноставен пример на равенка како (6.5), имаме

Сопствени функции на операторот

е e kx и неговите сопствени вредности се еднакви на k. Од математичка гледна точка, сосема е бесмислено да се поништат двете страни на равенката (6.6) со e khx [или двете страни на равенката (6.5) со Ψ] бидејќи операторот има смисла во равенката само ако дејствува на функцијата .

Постулат 4. Во поопшт случај, брановата функција ја задоволува равенката

Таа се нарекува временска Шредингерова равенка, која, за разлика од равенката (6.5), важи и ако Хамилтонов зависи од времето.

Ако функцијата Ψ е позната во одреден момент во времето, тогаш оваа равенка овозможува да се добијат вредностите на функцијата во сите наредни времиња. Сепак, оваа книга нема да се занимава со процеси кои се развиваат со текот на времето, а таквата равенка нема да се појави во следните поглавја.

За конзервативни системи, Ψ ги задоволува и равенките (6.5) и равенките (6.7), така што

Оваа равенка ја има формата како општо решение

Бидејќи за конзервативни системи Хамилтонов не содржи време, можеме, со замена на изразот (6.9) во равенката (6.5), да ги намалиме двете страни на равенката со експоненцијален фактор и да добиеме дека

Ψ(q) = EΨ(q). (6.10)

Равенката (6.10) е Шредингеровата равенка напишана во општа форма за таканаречената стационарна состојба на системот, т.е. состојба чија енергија не се менува со текот на времето. За стационарна состојба, можно е да се добие просечната вредност на која било забележлива големина со користење на временски независни бранови функции Ψ(g), наместо посложени функции Ψ(q, t), бидејќи изразот (6.2) за стационарна состојба има формата

доколку операторот β не зависи од времето.

Хамилтоновата функција за електрон со потенцијална енергија V е напишана како

Потоа, користејќи го правилото дефинирано со постулат 2, го добиваме Хамилтонов на овој систем

а равенката (6.10), по едноставни трансформации, добива форма

Равенката (6.14) се совпаѓа со Шредингеровата равенка дадена во првото поглавје.

Да претпоставиме дека се познати две решенија на равенката (6.10):

Ψ a = E a Ψ a;

Ψ b = E b Ψ b. (6.15)

Ако ја помножиме првата равенка со константата λ, а втората со константата μ и ја собереме, ќе добиеме

(λΨ a + μΨ б) = λE a Ψ a + μE b Ψ б. (6.16)

Ако десната страна на равенката (6.16) може да се претстави како производ k(λΨ a + μΨ b), каде што k е константа, тогаш λΨ a + μΨ b исто така би била сопствена функција на операторот

Меѓутоа, генерално тоа не е така, така што линеарните комбинации на сопствени функции не се самите сопствени функции. Единствен исклучок е кога E a = E b , така

(λΨ a + μΨ b) = E a (λΨ a + μΨ b). (6.17)

Ако две или повеќе сопствени функции одговараат на иста сопствена вредност, тогаш таа се нарекува дегенерирана. Во овој случај, секоја линеарна комбинација на сопствени функции е исто така сопствена функција на Хамилтоновата. Оваа теорема беше искористена во погл. 3 за време на преминот од сложени p- и d-атомски орбитали во реални.

Набљудливите величини што ги карактеризираат атомските системи можат да бидат од два вида: 1) големини чии вредности се точно определени, на пример енергија, која за секој ограничен систем има само дискретни (квантизирани) вредности и 2) количини за кои, како резултат на секое мерење, можно е да се одреди според распределбата на веројатноста само просечната вредност *). Ако набљудуваната количина, која ја карактеризира операторот β , припаѓа на првиот тип, тоа значи дека брановите функции на системот, кои се сопствени функции на Хамилтоновата, се и сопствени функции на операторот β , т.е.

β Ψ = bΨ. (6.18)

*) (Оваа поделба на физичките величини во две групи не е апсолутна: количините кои имаат добро дефинирани вредности во одредена состојба се карактеризираат само со веројатна распределба на вредностите во други состојби. - Прибл. ед.)

Ако набљудуваната вредност припаѓа на вториот тип, тогаш

β Ψ ≠ bΨ, (6.19)

иако операторот β и може да има збир на сопствени функции (не се совпаѓаат со Ψ). Меѓутоа, во овој случај, просечната вредност на набљудуваната количина може да се пресмета со формулата (6.2).

Условот за функцијата Ψ да ја задоволи еднаквоста (6.18) е комутативноста на операторите и β , односно еднаквост

βH = Hβ. (6.20)

Општо земено, операторите не патуваат; на пример ако

И Β = x, тогаш

ΑΒ - БА = 1. (6,21)

Дозволете ни сега да докажеме дека ако два оператори менуваат, тогаш има збир на функции кои се истовремено соодветни функции на двата оператори. Да ги означиме сопствените функции на операторот А со θ, а сопствените функции на операторот Β со χ, тогаш

Αθ i = а i θ i , (6.22)

Βχ j = b j χ j . (6.23)

Со множење на еднаквоста (6.23) од лево со Α, добиваме

ΑΒχ j = Αb j χ j = b j Αχ j . (6.24)

Но, ако ΑΒ = ΒΑ, тогаш изразот (6.24) се претвора во

Β(Αχ j) = b j (Αχ j). (6.25)

Равенката (6.25) значи дека Αχ j е сопствена функција на операторот Β со сопствена вредност b j. Меѓутоа, χ j, по дефиниција, е сопствена функција на операторот Β со иста сопствена вредност b j. Според тоа, Αχ j и χ j се разликуваат за константен фактор според изразот

Αχ j = kχ j , (6.26)

или, ако χ j припаѓа на збир на дегенерирани сопствени функции, Αχ j е линеарна комбинација на функции од ова множество:

Αχ j = kχ j + k"χ j" + k″χ j″ , + ...

Во случајот недегенериран, од еднаквоста (6.26) произлегува дека χ j е сопствена функција на операторот Α, т.е. е една од функциите на множеството 6. Во случајот дегенериран, секогаш е можно да се избере таква линеарна комбинации на функции χ j кои се сопствени функции на операторот Α (и, се разбира, операторот Β). Нека, на пример, има случај на двојна дегенерација и

Αχ j = aχ j + bχ j" ,

Αχ j" = cχ j + dχ j" .

Потоа, ако воведеме нови константи λ, μ, k, k“, дефинирани со четирите равенки

kλ = λa + μc, kμ = λb + μd,

k"μ = μa - λc, kλ = λd - μb,

излегува дека

Α(λχ j + μχ j") = k(λχ j + μχ j"),

Α(μχ j - λχ j") = k"(χ j - λχ j"),

и овие равенки ги одредуваат сопствените функции на операторот А.

Комутационите односи меѓу операторите се основата на многу важни резултати добиени во квантната механика. На пример, ако два оператори не менуваат, тогаш не постои збир на функции кои истовремено се сопствени функции на двата оператори, и затоа не може да се спроведе експеримент во кој ќе може точно да се измерат количините што одговараат на двата оператори. Принципот на несигурност на Хајзенберг, формулиран во погл. 1 е пример за ова. Бидејќи операторите x и

не патувај [види еднаквост (6.21)], честичката не може истовремено да има точни вредности на координатите x и моментумот px.

Во квантната механика, класата на сопствени функции е секогаш ограничена на едновредни, континуирани и нормализирани функции *) (да ги наречеме функции од класата Q). Овие услови мора да се наметнат на сопствените функции со цел густината на веројатноста да биде функција која се однесува соодветно. Како резултат на мерењата, се добиваат реални броеви, па затоа е неопходно да се наметне соодветно ограничување на операторите, т.е. да се бара за сите квантно механички оператори просечните вредности пресметани од изразот (6.2) да бидат реални. Ако

b‾ = ∫ Ψ * ΒΨ dυ, (6.27)

тогаш, земајќи ги сложените конјугирани величини од двете страни на еднаквоста, добиваме

(b‾) * = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ,. (6.28)

*) (Условот за нормализирање на сопствените функции е премногу строг и мора да се замени со барањето неговите вредности да бидат конечни низ целиот опсег на променливи. Само сопствените функции на операторот што одговараат на дискретни сопствени вредности имаат својство на квадратна интеграбилност. - Прибл. ед.)

Но, ако (b‾ = b‾) * , што е точно само за реални броеви, тогаш

∫ Ψ * ΒΨ dυ = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ. (6.29)

Поопшто, може да се покаже дека операторот мора да го исполни условот

∫ Ψ 1 * ΒΨ 2 dυ = ∫ Ψ 2 Β * Ψ 1 * dυ, (6.30)

каде што Ψ 1 и Ψ 2 се произволни функции од класата Q.

Оператор кој го задоволува условот (6.30) за која било функција од класата Q се нарекува Хермитиан *). Ако конструираме квантен механички оператор врз основа на класичниот израз за набљудувана величина, користејќи постулат 2, тогаш е неопходно да се подредат поединечните поими во операторот на таков начин што тој е хермитски. На пример, ако класичниот израз има форма xp x, тогаш квантниот механички оператор не е напишан како

(овој оператор не е хермитиец), туку во форма

(Ермитски оператор). Со други зборови, тие се засноваат на симетризираниот класичен израз

Можете да дејствувате поинаку, врз основа на изразот x 1/2 p x x 1/2, но само експеримент ќе покаже кој од овие изрази ја дава точната форма на квантниот механички оператор.

*) (Таквиот оператор често се нарекува само-придружен. - Прибл. превод)

Својствените функции и сопствените вредности на хермитските оператори имаат три важни својства:

1. Сопствените вредности на хермитските оператори се реални. Ова произлегува од односите (6.27)-(6.29) ако Ψ е сопствена функција на операторот Β.

2. Ако две сопствени функции на хермитски оператор одговараат на различни сопствени вредности, тогаш овие функции се ортогонални, т.е.

ΒΨ 1 = b 1 Ψ 1 (6,31)

ΒΨ 2 = b 2 Ψ 2, (6.32)

∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ = 0. (6.33)

За да ја докажеме оваа врска, ги земаме сложените конјугирани величини од двете страни на еднаквоста (6.32):

Β * Ψ 2 * = b 2 Ψ 2 * . (6.34)

Да ги помножиме двете страни на еднаквоста (6.31) лево со Ψ 2 * и да се интегрираме на целиот простор; слично, ги множиме двете страни на еднаквоста (6.34) лево со Ψ 1 и исто така интегрираме; одземање на добиените изрази еден од друг, имаме

∫ Ψ 2 * ΒΨ 1 dυ - ∫ Ψ 1 Β * Ψ 2 * dυ = (b 1 - b 2) ∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ. (6.35)

Но, поради хермитската природа на операторот Β, левата страна на еднаквоста (6.35) исчезнува. Следи дека ако b 2 ≠ b 1, тогаш равенката (6.33) е задоволна.

Концептот на ортогоналност се јавува во векторската алгебра; ако два вектори a и b формираат агол од 90° меѓу себе, тогаш скаларниот производ на векторите исчезнува, т.е. a·b = 0, а векторите се нарекуваат ортогонални. Ова значи дека ако го изразите векторот a во однос на другите вектори во просторот, тогаш овој израз нема да содржи вектор b; со други зборови, векторите a и b се целосно независни еден од друг. Слично на тоа, ако сопствените функции се ортогонални, тоа значи дека тие се независни: ниту една од нив не содржи нечистотија од другата.

Да се обидеме да претставиме една од сопствените функции на хермитскиот оператор како линеарна комбинација на сите други сопствени функции, т.е.

Ψ 1 = ∑ i≠1 со i1 Ψ. (6.36)

Потоа, множејќи ги двете страни на еднаквоста (6.36) со Ψ j * (j ≠ 1) и интегрирајќи го целиот простор, добиваме

∫ Ψ j * Ψ 1 dυ = ∑ i≠1 со i1 ∫ Ψ j * Ψ i dυ. (6.37)

Меѓутоа, поради условот за ортогоналност на сопствените функции, левата страна на еднаквоста исчезнува, а единствениот ненулти интеграл на десната страна се добива за i = j. Следи дека со j1 = 0, што значи линеарна независност на функциите Ψ 1 и Ψ j, и тоа важи за секое j.

Условите за ортогоналност и нормализација на сопствените функции може да се комбинираат во еден израз

∫ Ψ i * Ψ j dυ = δ ij , (6.38)

каде δ ij се нарекува симбол на Кронекер: тој е еднаков на нула ако i ≠ j и еден кога i = j. Множеството функции што ја задоволуваат состојбата (6.38) се нарекува ортонормално.

3. Сопствените функции Θ i на хермитскиот оператор формираат целосен систем на функции, според кој може да се прошири секоја функција што ги задоволува истите гранични услови како и сопствените функции. Така, распаѓањето

Ψ = ∑ i c i Θ i (6,39)

е точно ако сумирањето се врши над сите сопствени функции (ова е бесконечен збир). Не постои општ доказ за оваа изјава, но тоа е точно за хермитските оператори кои се среќаваат во квантната механика. Како што ќе се види од следниот дел, како и од другите поглавја на оваа книга, методот на проширување во некој систем на функции е најчестиот начин да се добијат приближни решенија на равенката на Шредингер.

Квантната механика на микрочестичката, неограничена со полукласична апроксимација, е изградена на математичка основа користејќи Хилберт функционален простор , односно збир на функции за кои скаларниот производ е дефиниран во интегрална форма.

Основни одредби

Состојбата на честичката се опишува со бранова функција. Множеството можни состојби формира Хилберт простор.

Брановата функција се добива со решавање на Шредингеровата равенка.

Физичка големина е опишана од оператор кој дејствува во Хилберт простор.

Ако состојбата на честичката е сопствена функција на операторот, односно функцијата се обновува под дејство на операторот, тогаш резултатот од мерењето на количината е сопствената вредност на операторот. Проширувањето на брановата функција според ортонормалната основа на сопствените функции на операторот ги дава веројатностите за можни резултати од мерење на физичка големина.

Квантната механика воопшто не дава недвосмислени резултати за однесувањето и карактеристиките на честичката, туку само веројатностите за овие резултати.

Функција на бранови

Состојбата на честичката се опишува со сложената бранова функција  (psi), што е амплитуда на веројатност детекција на честички:

Регистри на детектор на честички
. Тие имаат физичко значење:

– веројатност детекција на честички во моментот тво волумен
во близина на точката ;

– густина на веројатност е веројатноста да се открие честичка во моментот тво единица волумен во близина на точка р.

Се врши нормализација на веројатноста

Функција на бранови:

1) Утврдено во рамките на константен фазен фактор. држави
И
, Каде
, физички не се разликуваат, бидејќи
;

2) Квадратски интеграбилна, постои
;

3) Задоволува принцип на суперпозиција . Доколку се можни услови
И
, тогаш државата е можна

Каде
– комплексни броеви кои ја одредуваат веројатноста за откривање на состојбите 1 и 2.

Оператори

Физичка количина А(координати, моментум, енергија и други) е опишан од линеарен оператор . Исклучок е времето, кое се смета за параметар. Се претпоставува дека десно од операторот е функцијата на која тој дејствува.

Да ја разгледаме експлицитната форма на операторите на координати и моментум во координатното претставување. Образложението за овој тип ќе биде дадено подолу.

Координативен оператор

,
. (2.1)

Дејството на координатниот оператор се сведува на множење на функцијата со координатата.

Оператор за проекција на моментот

,
. (2.2)

Дејството на операторот на импулсот се сведува на диференцирање на функцијата во однос на координатата и множење со
.

Својства на линеарни оператори:

Множење со број Со

Бројот може да се извади под знакот за акција на операторот.

Линеарност

Каде И - бројки. Дејството на операторот на збирот на функции е еднакво на збирот на дејствата на операторот на секоја функција.

Оператори за собирање (одземање).

. (2.5)

Дејството на збирот на операторите на функцијата е еднакво на збирот на дејствата на секој оператор на функцијата.

Множење на оператор по оператор

Прво, операторот најблиску до функцијата дејствува, а потоа операторот лоциран лево дејствува на добиената функција. Операторите за множење генерално не се комутативни, на пример:

Комутациона врска, или операционата табла

Оператори И патуваат ако
.

,
,

. (2.7)