Равенки. Поинаку кажано, решението на сите равенки започнува со овие трансформации. При решавање на линеарни равенки, тоа (решението) се заснова на идентитетски трансформации и завршува со конечниот одговор.
Случај на ненулта коефициент за непозната променлива.
ax+b=0, a ≠ 0
Ги поместуваме членовите со X на едната страна, а броевите на другата страна. Бидете сигурни да запомните дека кога ги преместувате термините на спротивната страна од равенката, треба да го промените знакот:
секира:(а)=-б:(а)
Ајде да скратиме Ана Xи добиваме:
x=-b:(а)
Ова е одговорот. Ако треба да проверите дали има број -б: (а)коренот на нашата равенка, тогаш наместо тоа треба да ја замениме почетната равенка Xова е бројот:
a(-b:(a))+b=0 (тие. 0=0)
Бидејќи тогаш оваа еднаквост е точна -б: (а)а вистината е коренот на равенката.
Одговор: x=-b:(а), a ≠ 0.
Прв пример:
5x+2=7x-6
Ги преместуваме членовите на едната страна X, а од другата страна бројките:
5x-7x=-6-2
-2x:(-2)=-8:(-2)
За непознат фактор, го намаливме коефициентот и го добивме одговорот:
Ова е одговорот. Ако треба да проверите дали бројот 4 е навистина коренот на нашата равенка, го заменуваме овој број наместо X во првобитната равенка:
5*4+2=7*4-6 (тие. 22=22)
Бидејќи оваа еднаквост е точно, тогаш 4 е коренот на равенката.
Втор пример:
Реши ја равенката:
5x+14=x-49
Поместувајќи ги непознатите и броевите во различни насоки, добивме:
Поделете ги деловите од равенката со коефициентот во x(за 4) и добиваме:
Трет пример:
Реши ја равенката:
Прво, се ослободуваме од ирационалноста во коефициентот за непознатото со множење на сите членови со:
Оваа форма се смета за поедноставена, бидејќи бројот го има коренот на бројот во именителот. Треба да го поедноставиме одговорот со множење на броителот и именителот со ист број, го имаме ова:
Случај без решенија.
Реши ја равенката:
2x+3=2x+7
Пред сите xнашата равенка нема да стане вистинска еднаквост. Тоа е, нашата равенка нема корени.
Одговор: нема решенија.
Посебен случај е бесконечен број решенија.
Реши ја равенката:
2x+3=2x+3
Поместувајќи ги х-овите и броевите во различни насоки и собирајќи слични членови, ја добиваме равенката:
И тука не може двата дела да се поделат со 0, бидејќи тоа е забрането. Сепак, ставање во место Xкој било број, ја добиваме точната еднаквост. Односно, секој број е решение за таква равенка. Така, има бесконечен број решенија.
Одговор: бесконечен број решенија.
Случај на еднаквост на две целосни форми.
ax+b=cx+d
ax-cx=d-b
(а-в)х=д-б
x=(d-b):(a-c)
Одговор: x=(d-b):(a-c), Ако d≠b и a≠c, инаку има бескрајно многу решенија, но ако a=c, А d≠b, тогаш нема решенија.
Линеарни равенки. Решение, примери.
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
Линеарни равенки.
Линеарните равенки не се најтешката тема во училишната математика. Но, постојат некои трикови што можат да го збунат дури и обучен студент. Ајде да го сфатиме?)
Обично линеарната равенка се дефинира како равенка на формата:
секира + б = 0 Каде а и б- сите броеви.
2x + 7 = 0. Овде a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Овде a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Овде a=12, b=1/2
Ништо комплицирано, нели? Особено ако не ги забележувате зборовите: „каде a и b се кои било броеви“... И ако забележите и безгрижно размислувате за тоа?) На крајот на краиштата, ако a=0, b=0(можни се некои бројки?), тогаш добиваме смешен израз:
Но, тоа не е се! Ако, да речеме, a=0,А б=5,Излегува дека ова е нешто сосема невообичаено:
Што е досадно и ја поткопува довербата во математиката, да...) Особено за време на испитите. Но, од овие чудни изрази треба да најдете и X! Што воопшто не постои. И, изненадувачки, овој X е многу лесно да се најде. Ќе научиме да го правиме ова. Во оваа лекција.
Како да препознаете линеарна равенка по нејзиниот изглед? Зависи од изгледот.) Финтата е во тоа што линеарните равенки не се само равенки на формата секира + б = 0 , но и сите равенки кои можат да се сведат на оваа форма со трансформации и поедноставувања. И кој знае дали се спушта или не?)
Линеарната равенка може јасно да се препознае во некои случаи. Да речеме, ако имаме равенка во која има само непознати до прв степен и броеви. И во равенката нема дропки поделени со непознат , тоа е важно! И поделба по број,или нумеричка дропка - тоа е добредојдено! На пример:
Ова е линеарна равенка. Овде има дропки, но нема х во квадратот, коцката итн., а нема х во именителот, т.е. Бр делење со x. И тука е равенката
не може да се нарече линеарна. Овде X се сите во прв степен, но има делење со израз со x. По поедноставувања и трансформации, можете да добиете линеарна равенка, квадратна равенка или нешто што ви се допаѓа.
Излегува дека е невозможно да се препознае линеарната равенка во некој комплициран пример додека скоро не ја решите. Ова е вознемирувачко. Но, во задачите, по правило, тие не прашуваат за формата на равенката, нели? Задачите бараат равенки одлучи.Ова ме прави среќен.)
Решавање линеарни равенки. Примери.
Целото решение на линеарни равенки се состои од идентични трансформации на равенките. Патем, овие трансформации (од нив две!) се основата на решенијата сите математички равенки.Со други зборови, решението било којравенката започнува токму со овие трансформации. Во случај на линеарни равенки, тоа (решението) се заснова на овие трансформации и завршува со целосен одговор. Има смисла да се следи врската, нели?) Покрај тоа, има и примери за решавање на линеарни равенки таму.
Прво, да го погледнеме наједноставниот пример. Без никакви замки. Да претпоставиме дека треба да ја решиме оваа равенка.
x - 3 = 2 - 4x
Ова е линеарна равенка. Икс-овите се сите во прва сила, нема поделба со икс. Но, всушност, не ни е важно за каква равенка станува збор. Треба да го решиме. Шемата овде е едноставна. Соберете сè со X на левата страна на равенката, сè без X (броеви) на десната страна.
За да го направите ова, треба да префрлите - 4x на левата страна, со промена на знакот, се разбира, и - 3 - на десно. Патем, ова е првата идентична трансформација на равенките.Изненаден? Ова значи дека не сте ја следеле врската, но залудно...) Добиваме:
x + 4x = 2 + 3
Еве слични, сметаме:
Што ни треба за целосна среќа? Да, за да има чист Х лево! Пет е на патот. Ослободување од петте со помош втората идентична трансформација на равенките.Имено, двете страни на равенката ги делиме со 5. Добиваме готов одговор:
Елементарен пример, се разбира. Ова е за загревање.) Не е многу јасно зошто се сетив на идентични трансформации овде? ДОБРО. Да го фатиме бикот за рогови.) Да решиме нешто поцврсто.
На пример, еве ја равенката:
Каде да почнеме? Со X - лево, без X - надесно? Може да биде така. Мали чекори по долг пат. Или можете да го направите тоа веднаш, на универзален и моќен начин. Ако, се разбира, имате идентични трансформации на равенки во вашиот арсенал.
Ти поставувам едно клучно прашање: Што најмногу не ви се допаѓа во оваа равенка?
95 од 100 луѓе ќе одговорат: дропки ! Одговорот е точен. Па да се ослободиме од нив. Затоа, веднаш започнуваме со втора трансформација на идентитетот. Со што ви е потребно за да ја помножите дропката од левата страна за именителот целосно да се намали? Така е, на 3. А десно? Со 4. Но, математиката ни овозможува да ги помножиме двете страни со истиот број. Како можеме да излеземе? Ајде да ги помножиме двете страни со 12! Оние. на заеднички именител. Тогаш и трите и четирите ќе се намалат. Не заборавајте дека треба да го помножите секој дел целосно. Еве како изгледа првиот чекор:
Проширување на заградите:
Забелешка! броител (x+2)Го ставив во загради! Тоа е затоа што при множење на дропки се множи целиот броител! Сега можете да ги намалите фракциите:
Проширете ги преостанатите загради:
Не е пример, туку чисто задоволство!) Сега да се потсетиме на една магија од основно училиште: со X - лево, без X - десно!И примени ја оваа трансформација:
Еве неколку слични:
И поделете ги двата дела со 25, т.е. повторно примени ја втората трансформација:
Тоа е се. Одговор: X=0,16
Ве молиме запомнете: за да ја донесеме оригиналната збунувачка равенка во убава форма, користевме две (само две!) идентитетски трансформации– превод лево-десно со промена на знакот и множење-делење на равенка со ист број. Ова е универзален метод! Ќе работиме на овој начин со било кој равенки! Апсолутно било кој. Затоа постојано повторувам за овие идентични трансформации.)
Како што можете да видите, принципот на решавање на линеарни равенки е едноставен. Ја земаме равенката и ја поедноставуваме користејќи идентични трансформации додека не го добиеме одговорот. Главните проблеми овде се во пресметките, а не во принципот на решението.
Но... Има такви изненадувања во процесот на решавање на најелементарните линеарни равенки што можат да ве доведат во силен ступор...) За среќа, може да има само две такви изненадувања. Да ги наречеме посебни случаи.
Посебни случаи при решавање на линеарни равенки.
Прво изненадување.
Да претпоставиме дека наидовте на многу основна равенка, нешто како:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Малку досадно го поместуваме со Х лево, без Х - десно... Со промена на знакот се е совршено... Добиваме:
2x-5x+3x=5-2-3
Се броиме, и... упс!!! Добиваме:
Оваа еднаквост сама по себе не е приговорна. Нулата навистина е нула. Но, Х недостасува! И ние мора да запишеме во одговорот, на што е x еднакво?Инаку, решението не се брои, нели...) Ќор-сокак?
Мирно! Во такви сомнителни случаи, најопштите правила ќе ве спасат. Како да се решат равенките? Што значи да се реши равенка? Ова значи, најдете ги сите вредности на x кои, кога ќе се заменат во првобитната равенка, ќе ни ја дадат точната еднаквост.
Но, ние имаме вистинска еднаквост веќесе случи! 0=0, колку попрецизно?! Останува да дознаеме на што x се случува ова. Во кои вредности на X може да се заменат оригиналенравенка ако овие х дали сепак ќе бидат сведени на нула?Ајде?)
Да!!! X може да се заменат било кој!Кои ги сакате? Најмалку 5, најмалку 0,05, најмалку -220. Тие сепак ќе се намалуваат. Ако не ми верувате, можете да го проверите.) Заменете ги сите вредности на X во оригиналенравенка и пресметај. Цело време ќе ја добивате чистата вистина: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и така натаму.
Еве го твојот одговор: x - кој било број.
Одговорот може да се напише со различни математички симболи, суштината не се менува. Ова е сосема точен и целосен одговор.
Второ изненадување.
Да ја земеме истата елементарна линеарна равенка и да смениме само еден број во неа. Еве што ќе одлучиме:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
По истите идентични трансформации, добиваме нешто интригантно:
Како ова. Решивме линеарна равенка и добивме чудна равенка. Во математичка смисла, добивме лажна еднаквост.Но, во едноставни термини, ова не е точно. Рајв. Но, сепак, оваа глупост е многу добра причина за правилното решение на равенката.)
Повторно размислуваме врз основа на општи правила. Што x's, кога ќе се замени во оригиналната равенка, ќе ни даде вистинаеднаквост? Да, ниедна! Нема такви Х. Што и да ставиш, се ќе се намали, само глупости ќе останат.)
Еве го твојот одговор: нема решенија.
Ова е исто така целосно целосен одговор. Во математиката често се наоѓаат такви одговори.
Како ова. Сега, се надевам, исчезнувањето на Х во процесот на решавање на која било (не само линеарна) равенка воопшто нема да ве збуни. Ова е веќе познато прашање.)
Сега кога се справивме со сите замки во линеарните равенки, има смисла да ги решиме.
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
Прво треба да разберете што е тоа.
Постои едноставна дефиниција линеарна равенка, што е дадено во редовно училиште: „равенка во која променливата се јавува само во првата моќност“. Но, тоа не е сосема точно: равенката не е линеарна, дури не се сведува на тоа, се сведува на квадрат.
Попрецизна дефиниција е: линеарна равенкае равенка која, користејќи еквивалентни трансформацииможе да се сведе на формата , каде title="a,b во bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
Всушност, за да се разбере дали една равенка е линеарна или не, таа прво треба да се поедностави, односно да се доведе до форма каде што нејзината класификација ќе биде недвосмислена. Запомнете, можете да правите што сакате со равенката сè додека таа не ги менува своите корени - тоа е она што е. еквивалентна конверзија. Наједноставните еквивалентни трансформации вклучуваат:
- отворање загради
- носејќи слични
- множење и/или делење на двете страни на равенката со ненула број
- собирање и/или одземање од двете страни на истиот број или израз*
*Особена интерпретација на последната трансформација е „пренесувањето“ на термините од еден дел во друг со промена на знакот.
Пример 1:
(ајде да ги отвориме заградите)
(додавање на двата дела и одземање/пренесување со менување на знакот на бројот налево, а променливите надесно)
(ајде да дадеме слични)
(поделете ги двете страни на равенката со 3)
Значи, добиваме равенка која има исти корени како и оригиналната. Да го потсетиме читателот дека „реши ја равенката“- значи да се најдат сите нејзини корени и да се докаже дека нема други, и „коренот на равенката“- ова е број кој, кога ќе се замени со непознатото, ќе ја претвори равенката во вистинска еднаквост. Па, во последната равенка, наоѓањето број што ја претвора равенката во вистинска равенка е многу едноставно - ова е бројот. Ниту еден друг број нема да направи идентитет од оваа равенка. Одговор:
Пример 2:
(помножете ги двете страни на равенката со 
, откако ќе се увериме дека не се множиме со : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(ајде да ги отвориме заградите)
(ајде да ги преместиме условите)
(ајде да дадеме слични)
(ги делиме двата дела со)
Отприлика вака се решаваат сите линеарни равенки. За помладите читатели, најверојатно, ова објаснување изгледаше комплицирано, па затоа нудиме верзија "линеарни равенки за одделение 5"
Линеарна равенка со една променлива има општ облик
секира + б = 0.
Овде x е променлива, a и b се коефициенти. На друг начин, a се нарекува „коефициент на непознатото“, b е „слободен член“.
Коефициентите се некој вид на броеви, а решавањето на равенката значи наоѓање на вредноста на x при која изразот ax + b = 0 е точно. На пример, ја имаме линеарната равенка 3x – 6 = 0. Решавањето на истата значи да се најде на што x мора да биде еднакво за 3x – 6 да биде еднакво на 0. Вршејќи ги трансформациите, добиваме:
3x = 6
x = 2
Така изразот 3x – 6 = 0 е вистинит при x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 е коренот на оваа равенка. Кога решавате равенка, ги наоѓате нејзините корени.
Коефициентите a и b можат да бидат кои било броеви, но има такви вредности кога коренот на линеарна равенка со една променлива е повеќе од една.
Ако a = 0, тогаш ax + b = 0 се претвора во b = 0. Тука x е „уништен“. Самиот израз b = 0 може да биде точен само ако знаењето за b е 0. Односно, равенката 0*x + 3 = 0 е погрешна, бидејќи 3 = 0 е лажна изјава. Сепак, 0*x + 0 = 0 е точниот израз. Од ова заклучуваме дека ако a = 0 и b ≠ 0 линеарна равенка со една променлива воопшто нема корени, но ако a = 0 и b = 0, тогаш равенката има бесконечен број корени.
Ако b = 0, и a ≠ 0, тогаш равенката ќе има форма ax = 0. Јасно е дека ако a ≠ 0, но резултатот од множењето е 0, тогаш x = 0. Тоа е, коренот на ова равенката е 0.
Ако ниту a ниту b не се еднакви на нула, тогаш равенката ax + b = 0 се трансформира во форма
x = –b/a.
Вредноста на x во овој случај ќе зависи од вредностите на a и b. Згора на тоа, таа ќе биде единствената. Тоа е, невозможно е да се добијат две или повеќе различни вредности на x со исти коефициенти. На пример,
–8,5x – 17 = 0
x = 17 / -8,5
x = –2
Ниту еден друг број освен –2 не може да се добие со делење на 17 со –8,5.
Постојат равенки кои на прв поглед не наликуваат на општата форма на линеарна равенка со една променлива, но лесно се претвораат во неа. На пример,
–4,8 + 1,3x = 1,5x + 12
Ако преместите сè на левата страна, тогаш 0 ќе остане на десната страна:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0
Сега равенката е сведена на стандардна форма и може да се реши:
x = 16,8 / 0,2
x = 84
Равенка со една непозната, која, откако ќе ги отвори заградите и ќе донесе слични поими, добива форма
секира + б = 0, каде што a и b се произволни броеви, се повикува линеарна равенка со една непозната. Денес ќе откриеме како да ги решиме овие линеарни равенки.
На пример, сите равенки:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - линеарна.
Се вика вредноста на непознатата што ја претвора равенката во вистинска еднаквост одлука или коренот на равенката .
На пример, ако во равенката 3x + 7 = 13 наместо непознатата x го замениме бројот 2, ја добиваме точната еднаквост 3 2 +7 = 13. Тоа значи дека вредноста x = 2 е решението или коренот на равенката.
И вредноста x = 3 не ја претвора равенката 3x + 7 = 13 во вистинска равенка, бидејќи 3 2 +7 ≠ 13. Тоа значи дека вредноста x = 3 не е решение или корен на равенката.
Решавањето на какви било линеарни равенки се сведува на решавање на равенки на формата
секира + б = 0.
Ајде да го поместиме слободниот член од левата страна на равенката надесно, менувајќи го знакот пред b во спротивното, добиваме
Ако a ≠ 0, тогаш x = ‒ b/a .
Пример 1. Решете ја равенката 3x + 2 =11.
Ајде да поместиме 2 од левата страна на равенката надесно, менувајќи го знакот пред 2 во спротивното, добиваме
3x = 11 - 2.
Ајде да го направиме одземањето, тогаш
3x = 9.
За да најдете x, треба да го поделите производот со познат фактор, т.е
x = 9:3.
Ова значи дека вредноста x = 3 е решение или корен на равенката.
Одговор: x = 3.
Ако a = 0 и b = 0, тогаш ја добиваме равенката 0x = 0. Оваа равенка има бесконечно многу решенија, бидејќи кога ќе помножиме кој било број со 0 добиваме 0, но b е исто така еднакво на 0. Решението на оваа равенка е кој било број.
Пример 2.Решете ја равенката 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Ајде да ги прошириме заградите:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Еве неколку слични термини:
0x = 0.
Одговор: x - кој било број.
Ако a = 0 и b ≠ 0, тогаш ја добиваме равенката 0x = - b. Оваа равенка нема решенија, бидејќи кога ќе помножиме кој било број со 0 добиваме 0, но b ≠ 0.
Пример 3.Решете ја равенката x + 8 = x + 5.
Ајде да групираме поими што содржат непознати на левата страна, а слободните термини на десната страна:
x – x = 5 – 8.
Еве неколку слични термини:
0х = ‒ 3.
Одговор: нема решенија.
На Слика 1 покажува дијаграм за решавање на линеарна равенка
Ајде да подготвиме општа шема за решавање равенки со една променлива. Да го разгледаме решението на Пример 4.
Пример 4. Да претпоставиме дека треба да ја решиме равенката
1) Помножете ги сите членови од равенката со најмалиот заеднички множител од именителот, еднаков на 12.
2) По намалувањето добиваме
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) За да ги одделите поимите што содржат непознати и слободни поими, отворете ги заградите:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Да ги групираме во еден дел поимите што содржат непознати, а во другиот - слободни термини:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Да претставиме слични термини:
- 22x = - 154.
6) Поделете со – 22, добиваме
x = 7.
Како што можете да видите, коренот на равенката е седум.
Генерално такви равенките може да се решат со помош на следнава шема:
а) доведете ја равенката во нејзината цел бројна форма;
б) отворете ги заградите;
в) групирајте ги членовите што ја содржат непознатата во едниот дел од равенката, а слободните членови во другиот;
г) донесе слични членови;
д) реши равенка од формата aх = b, која е добиена по донесување слични членови.
Сепак, оваа шема не е неопходна за секоја равенка. Кога решавате многу поедноставни равенки, треба да започнете не од првото, туку од второто ( Пример. 2), трето ( Пример. 13) па дури и од петтата фаза, како во пример 5.
Пример 5.Решете ја равенката 2x = 1/4.
Најдете ја непознатата x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Ајде да погледнеме во решавањето на некои линеарни равенки пронајдени во главниот државен испит.
Пример 6.Решете ја равенката 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Одговор: - 0,125
Пример 7.Решете ја равенката – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Одговор: 2.3
Пример 8. Решете ја равенката
3 (3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Пример 9.Најдете f(6) ако f (x + 2) = 3 7's
Решение
Бидејќи треба да најдеме f(6), а знаеме f (x + 2),
тогаш x + 2 = 6.
Ја решаваме линеарната равенка x + 2 = 6,
добиваме x = 6 – 2, x = 4.
Ако x = 4 тогаш
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Одговор: 27.
Ако сè уште имате прашања или сакате потемелно да го разберете решавањето на равенките, пријавете се за моите лекции во РАСПОРЕДОТ. Ќе ми биде драго да ви помогнам!
TutorOnline, исто така, препорачува да гледате нова видео лекција од нашата учителка Олга Александровна, која ќе ви помогне да ги разберете и линеарните равенки и другите.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.