Полиедар во кој едното лице е многуаголник, а сите други лица се триаголници со заедничко теме, се нарекува пирамида.
Овие триаголници кои ја сочинуваат пирамидата се нарекуваат странични лица, а преостанатиот многуаголник е основапирамиди.
Во основата на пирамидата лежи геометриска фигура - n-гон. Во овој случај, пирамидата исто така се нарекува n-јаглерод.
Се нарекува триаголна пирамида чии рабови се еднакви тетраедар.
Се нарекуваат рабовите на пирамидата кои не припаѓаат на основата странично, а нивната заедничка точка е темепирамиди. Останатите рабови на пирамидата обично се нарекуваат страните на основата.
Пирамидата се нарекува точно, ако има правилен многуаголник во основата и сите странични рабови се еднакви еден со друг.
Растојанието од врвот на пирамидата до рамнината на основата се нарекува висинапирамиди. Можеме да кажеме дека висината на пирамидата е отсечка нормална на основата, чии краеви се на врвот на пирамидата и на рамнината на основата.
За која било пирамида се применуваат следниве формули:
1) S full = S страна + S главна, Каде
S вкупно - вкупна површина на пирамидата;
S страна - површина на страничната површина, т.е. збирот на површините на сите странични лица на пирамидата;
S главна - област на основата на пирамидата.
2) V = 1/3 S основа N, Каде
V – волумен на пирамидата;
H – висина на пирамидата.
За редовна пирамидасе јавува:
S страна = 1/2 P главен h, Каде
P главен – периметар на основата на пирамидата;
h е должината на апотемата, односно должината на висината на страничното лице спуштено од врвот на пирамидата.
Делот од пирамидата затворен помеѓу две рамнини - рамнината на основата и рамнината на сечење паралелна со основата се нарекува скратена пирамида.
Се нарекуваат основата на пирамидата и делот на пирамидата со паралелна рамнина причинискратена пирамида. Се нарекуваат преостанатите лица странично. Растојанието помеѓу рамнините на базите се нарекува висинаскратена пирамида. Се нарекуваат рабовите кои не припаѓаат на основите странично.
Покрај тоа, основата на скратената пирамида слични n-гони. Ако основите на скратената пирамида се правилни многуаголници, а сите странични рабови се еднакви еден на друг, тогаш таквата скратена пирамида се нарекува точно.
За произволна скратена пирамидаважат следните формули:
1) S целосна = S страна + S 1 + S 2, Каде
S вкупно – вкупна површина;
S страна - површина на страничната површина, т.е. збирот на површините на сите странични лица на скратена пирамида, кои се трапезоиди;
S 1, S 2 – базни области;
2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) H, Каде
V – волумен на пресечената пирамида;
H – висина на пресечената пирамида.
За редовна скратена пирамидаимаме и:
S страна = 1/2 (P 1 + P 2) h,Каде
P 1, P 2 – периметри на основите;
ж – апотема (висина на страничното лице, која е трапезоид).
Ајде да разгледаме неколку проблеми кои вклучуваат скратена пирамида.
Задача 1.
Во триаголна скратена пирамида со висина еднаква на 10, страните на едната основа се 27, 29 и 52. Определи го волуменот на скратената пирамида ако периметарот на другата основа е 72.
Решение.
Размислете за скратената пирамида ABCA 1 B 1 C 1 прикажана во Слика 1.
1. Волуменот на скратена пирамида може да се најде со помош на формулата
V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), каде што S 1 е плоштината на една од базите, може да се најде со формулата на Херон
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),
бидејќи Проблемот ги дава должините на трите страни на триаголникот.
Имаме: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.
S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.
2. Пирамидата е скратена, што значи дека слични многуаголници лежат на основите. Во нашиот случај, триаголникот ABC е сличен на триаголникот A 1 B 1 C 1. Покрај тоа, коефициентот на сличност може да се најде како однос на периметрите на разгледуваните триаголници, а односот на нивните површини ќе биде еднаков на квадратот на коефициентот на сличност. Така имаме:
S 1 /S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Оттука S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.
Значи, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900 година.
Одговор: 1900 година.
Задача 2.
Во триаголна скратена пирамида, рамнината се влече низ страната на горната основа паралелна со спротивниот страничен раб. Во кој однос се дели волуменот на скратена пирамида ако соодветните страни на основите се во однос 1:2?
Решение.
Размислете за ABCA 1 B 1 C 1 - скратена пирамида прикажана во оризот. 2.
Бидејќи страните во основите се во однос 1:2, плоштините на основите се во однос 1:4 (триаголникот ABC е сличен на триаголникот A 1 B 1 C 1).
Тогаш волуменот на скратената пирамида е:
V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, каде што S 2 - површина на горната основа, h - висина.
Но, волуменот на призмата ADEA 1 B 1 C 1 е V 1 = S 2 h и затоа,
V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.
Значи, V 2: V 1 = 3: 4.
Одговор: 3:4.
Задача 3.
Страните на основите на правилна четириаголна скратена пирамида се еднакви на 2 и 1, а висината е 3. Низ пресечната точка на дијагоналите на пирамидата, паралелна со основите на пирамидата, се повлекува рамнина што ја дели пирамидата на два дела. Најдете го волуменот на секоја од нив.
Решение.
Размислете за пресечената пирамида ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прикажана во оризот. 3.
Да означиме O 1 O 2 = x, потоа OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.
Размислете за триаголникот B 1 O 2 D 1 и триаголникот BO 2 D:
аголот B 1 O 2 D 1 е еднаков на аголот BO 2 D како вертикална;
аголот BDO 2 е еднаков на аголот D 1 B 1 O 2 и аголот O 2 ВD е еднаков на аголот B 1 D 1 O 2 кој лежи попречно на B 1 D 1 || BD и секантите B1D и BD1, соодветно.
Според тоа, триаголникот B 1 O 2 D 1 е сличен на триаголникот BO 2 D и односот на страните е:
В1Д 1 /ВД = О 1 О 2 /ОО 2 или 1/2 = x/(x – 3), од каде x = 1.
Размислете за триаголникот B 1 D 1 B и триаголникот LO 2 B: аголот B е заеднички, а исто така има и пар еднострани агли на B 1 D 1 || LM, што значи дека триаголникот B 1 D 1 B е сличен на триаголникот LO 2 B, од кој B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, т.е.
LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .
Тогаш S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.
Значи, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.
V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.
Одговор: 152/27; 37/27.
blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.
Пирамида. Скратена пирамида
Пирамидае полиедар, чие едно лице е многуаголник ( база ), а сите други лица се триаголници со заедничко теме ( странични лица ) (сл. 15). Пирамидата се нарекува точно , ако неговата основа е правилен многуаголник и врвот на пирамидата е проектиран во центарот на основата (сл. 16). Се нарекува триаголна пирамида со сите рабови еднакви тетраедар .
Странично реброна пирамидата е страната на страничното лице што не припаѓа на основата Висина пирамида е растојанието од нејзиниот врв до рамнината на основата. Сите странични рабови на правилната пирамида се еднакви еден на друг, сите странични лица се еднакви рамнокраки триаголници. Висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од темето се нарекува апотема . Дијагонален пресек се нарекува дел од пирамидата со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице.
Странична површинапирамидата е збир на површините на сите странични лица. Вкупна површина се нарекува збир на плоштините на сите странични страни и основата.
Теореми
1. Ако во пирамидата сите странични рабови се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш врвот на пирамидата се проектира во центарот на кругот опкружен во близина на основата.
2. Ако сите странични рабови на пирамидата имаат еднакви должини, тогаш врвот на пирамидата е проектиран во центарот на кругот опкружен во близина на основата.
3. Ако сите лица во пирамидата се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш врвот на пирамидата се проектира во центарот на кругот впишан во основата.
За да се пресмета волуменот на произволна пирамида, точната формула е:
Каде В- волумен;
S база– основна површина;
Х– висина на пирамидата.
За редовна пирамида, следните формули се точни:
Каде стр– периметар на основата;
ч а– апотема;
Х- висина;
С полни
S страна
S база– основна површина;
В– волумен на правилна пирамида.
Скратена пирамиданаречен дел од пирамидата затворен помеѓу основата и рамнината за сечење паралелна со основата на пирамидата (сл. 17). Редовна скратена пирамида наречен дел од правилна пирамида затворена помеѓу основата и рамнината за сечење паралелна со основата на пирамидата.
Причинискратена пирамида - слични многуаголници. Странични лица – трапезоиди. Висина на скратена пирамида е растојанието помеѓу нејзините основи. Дијагонала скратена пирамида е сегмент што ги поврзува нејзините темиња кои не лежат на истото лице. Дијагонален пресек е дел од скратена пирамида со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице.
За скратена пирамида важат следните формули:
(4)
Каде С 1 , С 2 – области на горните и долните основи;
С полни– вкупна површина;
S страна– странична површина;
Х- висина;
В– волумен на скратена пирамида.
За редовна скратена пирамида формулата е точна:
Каде стр 1 , стр 2 – периметри на основите;
ч а– апотема на правилна скратена пирамида.
Пример 1.Во правилна триаголна пирамида, диедралниот агол на основата е 60º. Најдете ја тангентата на аголот на наклон на страничниот раб до рамнината на основата.
Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 18).
 |
Пирамидата е правилна, што значи дека во основата има рамностран триаголник и сите странични страни се еднакви рамнокраки триаголници. Диедралниот агол на основата е аголот на наклон на страничното лице на пирамидата до рамнината на основата. Линеарниот агол е аголот амеѓу две нормални: итн. Врвот на пирамидата е проектиран во центарот на триаголникот (центарот на кружниот круг и впишаниот круг на триаголникот ABC). Аголот на наклон на страничниот раб (на пример С.Б.) е аголот помеѓу самиот раб и неговата проекција на рамнината на основата. За реброто С.Б.овој агол ќе биде аголот SBD. За да ја пронајдете тангентата, треба да ги знаете нозете ПАИ О.Б.. Нека должината на сегментот БДеднакво на 3 А. Точка ЗАлиниски сегмент БДсе дели на делови: и Од наоѓаме ПА: 
Од наоѓаме: 
Одговор:
Пример 2.Најдете го волуменот на правилна скратена четириаголна пирамида ако дијагоналите на нејзините основи се еднакви на cm и cm, а нејзината висина е 4 cm.
Решение.За да го пронајдеме волуменот на скратена пирамида, ја користиме формулата (4). За да ја пронајдете областа на основите, треба да ги пронајдете страните на основните квадрати, знаејќи ги нивните дијагонали. Страните на основите се еднакви на 2 cm и 8 cm, соодветно.Тоа значи областите на основите и Заменувајќи ги сите податоци во формулата, го пресметуваме волуменот на скратената пирамида:
Одговор: 112 см 3.
Пример 3.Најдете ја областа на страничното лице на правилна триаголна скратена пирамида, чии страни на основите се 10 cm и 4 cm, а висината на пирамидата е 2 cm.
Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 19).
Страничната страна на оваа пирамида е рамнокрак трапез. За да ја пресметате површината на трапезот, треба да ја знаете основата и висината. Основите се дадени според условот, останува непозната само висината. Ќе ја најдеме од каде А 1 Енормално од точка А 1 на рамнината на долната основа, А 1 Д– нормално од А 1 на AC. А 1 Е= 2 cm, бидејќи ова е висината на пирамидата. Да најде ДЕАјде да направиме дополнителен цртеж што го прикажува горниот приказ (сл. 20). Точка ЗА– проекција на центрите на горните и долните основи. бидејќи (види Сл. 20) и Од друга страна добро– радиус впишан во кругот и 
ОМ- радиус впишан во круг:
МК = ДЕ.
Според Питагоровата теорема од
Областа на странично лице: 
Одговор:
Пример 4.Во основата на пирамидата лежи рамнокрак трапез, чии основи АИ б (а> б). Секое странично лице формира агол еднаков на рамнината на основата на пирамидата ј. Најдете ја вкупната површина на пирамидата.
Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 21). Вкупна површина на пирамидата SABCDеднаков на збирот на површините и површината на трапезоидот А БЕ ЦЕ ДЕ.
Да ја искористиме изјавата дека ако сите лица на пирамидата се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш темето се проектира во центарот на кругот впишан во основата. Точка ЗА– теме проекција Сво основата на пирамидата. Тријаголник СОДе ортогоналната проекција на триаголникот ЦДХВдо рамнината на основата. Користејќи ја теоремата за плоштината на ортогоналната проекција на рамна фигура, добиваме:
Исто така значи 
Така, проблемот се сведе на пронаоѓање на областа на трапезоидот А БЕ ЦЕ ДЕ. Ајде да нацртаме трапез А БЕ ЦЕ ДЕодделно (сл. 22). Точка ЗА– центар на круг впишан во трапез.
Бидејќи кругот може да се впише во трапез, тогаш или Од Питагоровата теорема имаме
- 29.05.2016
Осцилирачко коло е електрично коло кое содржи индуктор, кондензатор и извор на електрична енергија. Кога елементите на колото се поврзани во серија, осцилаторното коло се нарекува сериско, а кога е паралелно поврзано се нарекува паралелно. Осцилаторното коло е наједноставниот систем во кој може да се појават слободни електромагнетни осцилации. Резонантната фреквенција на колото се одредува со таканаречената Томсонова формула: ƒ = 1/(2π√(LC)) За ...
- 20.09.2014
Приемникот е дизајниран да прима сигнали во опсегот на DV (150 kHz...300 kHz). Главната карактеристика на ресиверот е антената, која има поголема индуктивност од конвенционалната магнетна антена. Ова овозможува да се користи капацитетот на кондензаторот за подесување во опсег од 4...20 pF, а исто така таков приемник има прифатлива чувствителност и мало засилување во патеката на RF. Ресиверот работи за слушалки (слушалки), се напојува...
- 24.09.2014
Овој уред е дизајниран да го следи нивото на течноста во резервоарите; штом течноста се подигне до одредено ниво, уредот ќе почне да емитува континуиран звучен сигнал; кога нивото на течноста ќе достигне критично ниво, уредот ќе почне да емитува интермитентен сигнал. Индикаторот се состои од 2 генератори, тие се контролираат со сензорски елемент E. Се става во резервоарот на ниво до ...
- 22.09.2014
KR1016VI1 е дигитален мулти-програмски тајмер дизајниран да работи со индикаторот ILC3-5\7. Обезбедува броење и прикажување на тековното време во часови и минути, ден во неделата и број на контролен канал (9 аларми). Колото на будилникот е прикажано на сликата. Микро-спојот е такт. резонатор Q1 на 32768Hz. храната е негативна, вкупниот плус оди на ...
Способноста да се пресмета волуменот на просторните фигури е важна при решавање на голем број практични проблеми во геометријата. Една од најчестите фигури е пирамидата. Во оваа статија ќе ги разгледаме и целосните и скратените пирамиди.
Пирамида како тродимензионална фигура
Сите знаат за египетските пирамиди, па затоа имаат добра идеја за каква фигура ќе зборуваме. Сепак, египетските камени структури се само посебен случај на огромна класа на пирамиди.
Геометрискиот објект што се разгледува во општиот случај е полигонална основа, чиешто теме е поврзано со одредена точка во просторот што не припаѓа на рамнината на основата. Оваа дефиниција води до фигура која се состои од еден n-аголник и n триаголник.
Секоја пирамида се состои од n+1 лица, 2*n рабови и n+1 темиња. Бидејќи фигурата за која станува збор е совршен полиедар, бројот на означени елементи се покорува на еднаквоста на Ојлер:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Многуаголникот лоциран во основата го дава името на пирамидата, на пример, триаголна, петаголна итн. Збир на пирамиди со различни основи е прикажан на фотографијата подолу.
Точката во која се среќаваат n триаголници на фигурата се нарекува теме на пирамидата. Ако нормалната е спуштена од неа на основата и ја пресекува во геометрискиот центар, тогаш таквата фигура ќе се нарече права линија. Ако овој услов не е исполнет, тогаш се јавува наклонета пирамида.
Десна фигура чија основа е формирана со рамностран (рамностран) n-аголник се нарекува правилна.
Формула за волумен на пирамида
За да го пресметаме волуменот на пирамидата, ќе користиме интегрална пресметка. За да го направите ова, ние ја делиме фигурата со сечење рамнини паралелни на основата во бесконечен број тенки слоеви. На сликата подолу е прикажана четириаголна пирамида со висина h и должина на страна L, во која четириаголникот го означува тенкиот слој на пресекот.
Површината на секој таков слој може да се пресмета со формулата:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Овде A 0 е областа на основата, z е вредноста на вертикалната координата. Може да се види дека ако z = 0, тогаш формулата ја дава вредноста A 0 .
За да ја добиете формулата за волуменот на пирамидата, треба да го пресметате интегралот на целата висина на фигурата, односно:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Заменувајќи ја зависноста A(z) и пресметувајќи го антидериватот, доаѓаме до изразот:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Ја добивме формулата за волумен на пирамида. За да ја пронајдете вредноста на V, само помножете ја висината на фигурата со површината на основата, а потоа поделете го резултатот за три.
Забележете дека добиениот израз е валиден за пресметување на волуменот на пирамида од кој било тип. Тоа е, може да биде наклонет, а неговата основа може да биде произволен n-аголник.
и неговиот волумен
Општата формула за волумен добиена во параграфот погоре може да се рафинира во случај на пирамида со правилна основа. Областа на таква основа се пресметува со следнава формула:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Овде L е должината на страната на правилен многуаголник со n темиња. Симболот пи е бројот пи.
Заменувајќи го изразот за A 0 во општата формула, го добиваме волуменот на правилна пирамида:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
На пример, за триаголна пирамида, оваа формула резултира со следниов израз:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
За редовна четириаголна пирамида, формулата за волумен ја има формата:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Одредувањето на волумените на правилните пирамиди бара познавање на страната на нивната основа и висината на фигурата.
Скратена пирамида
Да претпоставиме дека зедовме произволна пирамида и отсековме дел од нејзината странична површина што го содржи темето. Преостанатата фигура се нарекува скратена пирамида. Веќе се состои од две n-гонални основи и n трапезоиди кои ги поврзуваат. Ако рамнината за сечење била паралелна со основата на фигурата, тогаш се формира скратена пирамида со слични паралелни основи. Односно, должините на страните на едната од нив може да се добијат со множење на должините на другата со одреден коефициент k.
На сликата погоре е прикажана скратена правилна.Се гледа дека нејзината горна основа, како и долната, е формирана од правилен шестоаголник.
Формулата што може да се изведе со користење на интегрална пресметка слична на горенаведената е:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Каде што A 0 и A 1 се областите на долната (голема) и горната (малата) основа, соодветно. Променливата h ја означува висината на скратената пирамида.
Том на Кеопсовата пирамида
Интересно е да се реши проблемот со одредување на волуменот што најголемата египетска пирамида го содржи во себе.
Во 1984 година, британските египтолози Марк Ленер и Џон Гудман ги утврдија точните димензии на Кеопсовата пирамида. Неговата првобитна висина беше 146,50 метри (во моментов околу 137 метри). Просечната должина на секоја од четирите страни на конструкцијата била 230.363 метри. Основата на пирамидата е квадратна со висока прецизност.
Да ги искористиме дадените бројки за да го одредиме обемот на овој камен џин. Бидејќи пирамидата е правилна четириаголна, тогаш формулата е валидна за неа:
Заменувајќи ги броевите, добиваме:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.
Волуменот на Кеопсовата пирамида е речиси 2,6 милиони м3. За споредба, забележуваме дека олимпискиот базен има волумен од 2,5 илјади m 3. Односно, за да ја наполните целата Кеопсова пирамида ќе ви требаат повеќе од 1000 вакви базени!