Статистиката ни доаѓа на помош во решавањето на многу проблеми, на пример: кога не е можно да се изгради детерминистички модел, кога има премногу фактори или кога треба да ја процениме веројатноста за конструираниот модел земајќи ги предвид достапните податоци. Односот кон статистиката е двосмислен. Постои мислење дека постојат три вида лаги: лаги, проклети лаги и статистика. Од друга страна, многу „корисници“ на статистиката премногу веруваат во тоа, без целосно да разберат како функционира: на пример, примена на тест на кој било податок без проверка на неговата нормалност. Таквата небрежност може да генерира сериозни грешки и да ги претвори тест „фановите“ во мразители на статистиката. Ајде да се обидеме да ставиме струи преку i и да откриеме кои модели на случајни променливи треба да се користат за да се опишат одредени појави и каква генетска врска постои меѓу нив.

Пред сè, овој материјал ќе биде од интерес за студентите кои студираат теорија на веројатност и статистика, иако „зрелите“ специјалисти ќе можат да го користат како референца. Во една од следните дела, ќе покажам пример за користење на статистика за да се конструира тест за проценка на значењето на индикаторите за стратегии за тргување со размена.

Работата ќе разгледа:

На крајот од статијата ќе има прашање за размислување. Моите размислувања за ова прашање ќе ги изложам во следната статија.

Некои од горенаведените континуирани распределби се посебни случаи.

Дискретни распределби

Опишана е дискретна дистрибуција на веројатноста за појава на секој од можните исходи на некој настан. Како и за секоја дистрибуција (вклучувајќи континуирано), концептите на очекување и дисперзија се дефинирани за дискретни настани. Сепак, треба да се сфати дека математичкото очекување за дискретн случаен настан е вредност во општиот случај што не може да се реализира како резултат на еден случаен настан, туку како вредност на која аритметичката средина на исходите на настаните ќе има тенденција како што нивниот број се зголемува.

Во моделирањето на дискретни случајни настани, комбинаториката игра важна улога, бидејќи веројатноста за исходот на некој настан може да се дефинира како однос на бројот на комбинации кои го даваат потребниот исход до вкупниот број комбинации. На пример: има 3 бели и 7 црни топки во кошница. Кога ќе избереме 1 топка од кошот, тоа можеме да го направиме на 10 различни начини (вкупен број на комбинации), но само 3 опции во кои ќе се избере белата топка (3 комбинации кои го даваат потребниот исход). Така, веројатноста за избор на белата топка е: ().

Треба да се прави разлика помеѓу примероци со и без враќање. На пример, за да се опише веројатноста за избор на две бели топки, важно е да се одреди дали првата топка ќе се врати во кошот. Ако не, тогаш имаме работа со примерок без враќање () и веројатноста ќе биде следна: - веројатноста за избор на бело топче од првичниот примерок помножено со веројатноста повторно да се избере бело топче од оние што останале во кошот. . Ако првата топка се врати во кошот, тогаш ова е фаќање со return(). Во овој случај, веројатноста за избор на две бели топчиња е .

Ако го формализираме примерот со кошница на следниов начин: нека исходот на настанот земе една од двете вредности 0 или 1 со веројатности и соодветно, тогаш распределбата на веројатност за добивање на секој од предложените исходи ќе се нарече Бернулиова распределба :

Според востановената традиција, исходот со вредност 1 се нарекува „успех“, а исходот со вредност 0 се нарекува „неуспех“. Очигледно, добивањето на исходот „успех или неуспех“ се случува со веројатност.

Очекување и варијанса на Бернулиевата дистрибуција:

Бројот на успеси во обидите, чиј исход е распределен според веројатноста за успех (примерот на враќање на топките во кошот), е опишан со биномна распределба:

Со други зборови, можеме да кажеме дека биномната распределба го опишува збирот на независни случајни променливи кои можат да се распределат со веројатност за успех.
Очекување и варијанса:

Ако количините имаат биномни распределби со параметри и соодветно, тогаш нивниот збир исто така ќе се распредели биномно со параметри.

Ајде да замислиме ситуација кога вадиме топки од кошот и ги враќаме назад додека не се извлече бела топка. Бројот на такви операции е опишан со геометриска распределба. Со други зборови: геометриската дистрибуција го опишува бројот на обиди до првиот успех со веројатноста за успех во секое испитување. Ако се подразбира бројот на тестот во кој се случил успехот, тогаш геометриската дистрибуција ќе биде опишана со следнава формула:

Дистрибуцијата на Паскал е генерализација на дистрибуцијата: ја опишува распределбата на бројот на неуспеси во независни испитувања, чиј исход е распределен во текот на веројатноста за успех пред да се случи вкупниот успех. Кога , добиваме распределба за количината .

Очекување и варијанса на негативната биномна дистрибуција:

Досега разгледавме примери на примероци со реверзија, односно веројатноста за исходот не се менуваше од испитување до испитување.

Сега разгледајте ја ситуацијата без враќање и опишете ја веројатноста за бројот на успешни селекции од популација со претходно познат број на успеси и неуспеси (препознатлив број на бели и црни топки во кошот, адути во палубата, неисправни делови во играта итн.).

Нека вкупната збирка содржи објекти, некои од нив се означени како „1“ и како „0“. Изборот на објект со ознака „1“ ќе го сметаме за успех, а со ознака „0“ за неуспешен. Ќе извршиме n тестови, а избраните објекти повеќе нема да учествуваат во понатамошни тестови. Веројатноста за успех ќе ја почитува хипергеометриската распределба:

Очекување и варијанса:

Поасон дистрибуција

Поасоновата распределба значително се разликува од дистрибуциите дискутирани погоре во нејзината „предметна“ област: сега не се разгледува веројатноста за појава на еден или друг исход од тестот, туку интензитетот на настаните, односно просечниот број на настани. по единица време.

Поасоновата распределба ја опишува веројатноста за појава на независни настани со текот на времето со просечен интензитет на настани:

Поасоновата распределба, во комбинација со , која ги опишува временските интервали помеѓу појавите на независни настани, ја сочинува математичката основа на теоријата на веродостојност.

Густината на веројатноста на производот на случајните променливи x и y () со распределби и може да се пресмета на следниов начин:

Некои од распределбите подолу се посебни случаи на распределбата на Пирсон, која пак е решение на равенката:

Дистрибуциите што ќе се дискутираат во овој дел имаат блиски односи една со друга. Овие врски се изразени во фактот дека некои распределби се посебни случаи на други распределби, или опишуваат трансформации на случајни променливи кои имаат други распределби.

Дијаграмот подолу ги прикажува односите помеѓу некои од континуираните распределби кои ќе бидат разгледани во овој труд. На дијаграмот, цврстите стрелки покажуваат трансформација на случајни променливи (почетокот на стрелката ја означува почетната дистрибуција, крајот на стрелката ја покажува добиената), а стрелките со точки ја означуваат релацијата на генерализација (почетокот на стрелката ја означува дистрибуција, што е посебен случај на оној кон кој покажува крајот на стрелката). За посебни случаи на распределбата на Пирсон, соодветниот тип на распределба на Пирсон е означен над стрелките со точки.

Нормална дистрибуција (Гаусова дистрибуција)

Густината на веројатноста за нормална дистрибуција со параметри и е опишана со Гаусовата функција:

Ако и , тогаш таквата дистрибуција се нарекува стандардна.

Очекување и варијанса на нормална дистрибуција:

Нормалната дистрибуција е дистрибуција од тип VI.

Збирот на квадратите на независните нормални величини има , а односот на независните гаусови величини е распределен над .

Нормалната дистрибуција е бесконечно делива: збир на нормално распределени величини и со параметри и, соодветно, има и нормална распределба со параметри , каде и .

Нормалниот бунар за дистрибуција моделира количини што опишуваат природни феномени, бучава од термодинамичка природа и грешки во мерењето.

Дополнително, според теоремата на централната граница, збирот на голем број независни членови од ист ред конвергира до нормална распределба, без оглед на распределбите на членовите. Поради ова својство, нормалната дистрибуција е популарна во статистичката анализа; многу статистички тестови се дизајнирани за нормално дистрибуирани податоци.

Z-тестот се заснова на бесконечната деливост на нормалната распределба. Овој тест се користи за да се провери дали очекуваната вредност на примерок од нормално распределени вредности е еднаква на одредена вредност. Вредноста на варијансата треба да биде познат. Ако вредноста на варијансата е непозната и се пресметува врз основа на анализираниот примерок, тогаш t-тест врз основа на .

Да претпоставиме дека имаме примерок од n независни нормално распределени вредности од општата популација со стандардна девијација, да претпоставиме дека . Тогаш вредноста ќе има стандардна нормална дистрибуција. Со споредување на добиената z вредност со квантилите на стандардната дистрибуција, можете да ја прифатите или отфрлите хипотезата со потребното ниво на значајност.

Поради широката употреба на Гаусовата дистрибуција, многу истражувачи кои не се многу запознаени со статистиката забораваат да ги проверат податоците за нормалност или да го оценат графикот за густина на дистрибуцијата „со око“, слепо верувајќи дека се занимаваат со Гаусови податоци. Соодветно на тоа, можете безбедно да користите тестови дизајнирани за нормална дистрибуција и да добиете целосно неточни резултати. Веројатно оттука потекнуваат гласините за статистиката како најстрашниот вид лага.

Да разгледаме пример: треба да го измериме отпорот на збир на отпорници со одредена вредност. Отпорот има физичка природа, логично е да се претпостави дека распределбата на отстапувањата на отпорот од номиналната вредност ќе биде нормална. Мериме и добиваме функција на густина на веројатност во форма на ѕвонче за измерените вредности со режим во близина на вредноста на отпорникот. Дали е ова нормална дистрибуција? Ако одговорот е да, тогаш ќе бараме неисправни отпорници користејќи , или z-тестот, ако однапред ја знаеме дисперзијата на дистрибуцијата. Мислам дека многумина ќе го направат токму тоа.

Но, ајде внимателно да ја разгледаме технологијата за мерење на отпорот: Отпорот се дефинира како однос на применетиот напон и протокот на струја. Струјата и напонот ги меривме со инструменти, кои, пак, имаат нормално распределени грешки. Односно, измерените вредности на струја и напон се нормално распределени случајни променливисо математички очекувања кои одговараат на вистинските вредности на измерените величини. Ова значи дека добиените вредности на отпор се распределуваат според, а не според Гаус.

Дистрибуцијата го опишува збирот на квадрати на случајни променливи, од кои секоја е распределена според стандардниот нормален закон:

Каде е бројот на степени на слобода,.

Очекување и дисперзија на дистрибуција:

Тоа е посебен случај (а со тоа и тип III дистрибуција) и генерализација. Односот на количините распределени над распределените над .

Пирсоновиот тест за добрина на вклопување се заснова на дистрибуцијата. Користејќи го овој критериум, можете да ја проверите веродостојноста на примерок од случајна променлива што припаѓа на одредена теоретска дистрибуција.

Да претпоставиме дека имаме примерок од некоја случајна променлива. Врз основа на овој примерок, ги пресметуваме веројатностите за вредностите кои паѓаат во интервалите (). Нека постои и претпоставка за аналитичкиот израз на распределбата, според која веројатностите за паѓање во избраните интервали треба да бидат . Потоа количините ќе бидат распределени според нормалниот закон.

Да се ​​сведеме на стандардна нормална дистрибуција: ,
каде и.

Добиените вредности имаат нормална дистрибуција со параметри (0, 1), и затоа збирот на нивните квадрати се распределува на одреден степен на слобода. Намалувањето на степенот на слобода е поврзано со дополнително ограничување на збирот на веројатностите на вредностите што спаѓаат во интервалите: тоа мора да биде еднакво на 1.

Со споредување на вредноста со квантилите на дистрибуцијата, можете да ја прифатите или отфрлите хипотезата за теоретската дистрибуција на податоците со потребното ниво на значајност.

Студентската распределба се користи за спроведување на t-тест: тест за еднаквост на очекуваната вредност на примерок од распределени случајни променливи до одредена вредност, или еднаквост на очекуваната вредност на два примероци со иста варијанса (еднаквоста на варијансите мора да се проверат). Дистрибуцијата Student го опишува односот на дистрибуирана случајна променлива со променлива дистрибуирана преку .

Нека се независни случајни променливи кои имаат степени на слобода и соодветно. Тогаш количината ќе има Фишеров распределба со степени на слобода, а количината ќе има Фишеров распределба со степени на слобода.
Дистрибуцијата на Фишер е дефинирана за реални не-негативни аргументи и има густина на веројатност:


Очекување и варијанса на распределбата на Фишер:

Голем број статистички тестови се засноваат на распределбата на Фишер, како што се проценка на значајноста на параметрите на регресија, тест за хетероскедастичност и тест за еднаквост на варијансите на примерокот (f-тест, треба да се разликува од точенФишер тест).

F-тест: нека има два независни примероци и дистрибуирани волумени на податоци и соодветно. Дозволете ни да поставиме хипотеза за еднаквоста на варијансите на примерокот и да ја тестираме статистички.

Ајде да ја пресметаме вредноста. Ќе има Fisher дистрибуција со степени на слобода.

Со споредување на вредноста со квантилите на соодветната распределба на Фишер, можеме да ја прифатиме или отфрлиме хипотезата за еднаквост на варијансите на примерокот со потребното ниво на значајност.

Експоненцијална (експоненцијална) распределба и Лапласова распределба (двојна експоненцијална, двојна експоненцијална)

Експоненцијалната распределба ги опишува временските интервали помеѓу независните настани што се случуваат со просечен интензитет. Бројот на појави на таков настан во одреден временски период се опишува како дискретен. Експоненцијалната распределба заедно со ја формираат математичката основа на теоријата на доверливост.

Покрај теоријата на доверливост, експоненцијалната дистрибуција се користи во описот на општествените појави, во економијата, во теоријата на редици, во транспортната логистика - секаде каде што е неопходно да се моделира текот на настаните.

Експоненцијалната распределба е посебен случај (за n=2), и затоа . Бидејќи експоненцијално распределената големина е хи-квадрат величина со 2 степени на слобода, таа може да се толкува како збир од квадратите на две независни нормално распределени величини.

Исто така, експоненцијалната дистрибуција е фер случај

ПРЕДАВАЊЕ 8

Дистрибуции на веројатност на дискретни случајни променливи.Биномна дистрибуција. Поасон дистрибуција. Геометриска дистрибуција. Функција за генерирање.

6. ДИСТРИБУЦИИ НА ВЕРОЈАТНОСТИ
ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЈНИ ПРОМЕНЛИВИ

Биномна дистрибуција

Нека се произведува nнезависни испитувања, во секоја од кои настанот АМоже да се појави или не. Веројатност стрпојава на настан Аво сите тестови е константна и не се менува од тест во тест. Разгледајте го како случајна променлива X бројот на појави на настанот Аво овие тестови. Формула за наоѓање на веројатноста да се случи некој настан А
мазна кеднаш на секои nтестови, како што е познато, се опишани Формулата на Бернули

Се нарекува распределбата на веројатноста дефинирана со формулата на Бернули биномна .

Овој закон се нарекува „бином“ затоа што десната страна може да се смета како општ термин во проширувањето на Њутновиот бином

Да го напишеме биномниот закон во форма на табела

Да ги најдеме нумеричките карактеристики на оваа дистрибуција.

.

Да ја запишеме еднаквоста, која е бинарност на Њутн

.

и да го диференцира во однос на стр. Како резултат добиваме

.

Помножете ја левата и десната страна со стр:

.

Со оглед на тоа p+q=1, имаме

(6.2)

Значи, математичкото очекување на бројот на појави на настани во n независни испитувања е еднакво на производот од бројот на испитувања n со веројатноста p за појава на настан во секое испитување.

Ајде да ја пресметаме варијансата користејќи ја формулата

За ова ќе најдеме

.

Прво да ја диференцираме Њутновата биномна формула двапати во однос на стр:

и помножете ги двете страни на еднаквоста со стр 2:

Оттука,

Значи, варијансата на биномната распределба е

. (6.3)

Овие резултати може да се добијат и од чисто квалитативно расудување. Вкупниот број X на појави на настанот А кај сите испитувања е збир од бројот на појави на настанот во поединечни испитувања. Според тоа, ако X 1 е бројот на појави на настанот во првото испитување, X 2 - во второто, итн., тогаш вкупниот број на појави на настанот А во сите испитувања е еднаков на X = X 1 +X 2 +…+X n. Според својството на математичкото очекување:

Секој од поимите на десната страна на еднаквоста е математичко очекување на бројот на настани во едно испитување, што е еднакво на веројатноста за настанот. Така,

Според својствата на дисперзија:

Бидејќи , и математичкото очекување на случајна променлива, која може да земе само две вредности, имено 1 2 со веројатност стри 0 2 со веројатност q, Тоа . Така, Како резултат на тоа, добиваме

Користејќи го концептот на почетни и централни моменти, можеме да добиеме формули за асиметрија и куртоза:

. (6.4)

Многуаголникот на биномната распределба ја има следната форма (види Сл. 6.1). Веројатност П n(к) прво се зголемува со зголемување к, ја достигнува својата највисока вредност и потоа почнува да се намалува. Биномната распределба е искривена освен случајот стр=0,5. Забележете дека со голем број тестови nБиномната распределба е многу блиску до нормалата. (Разлогот за овој предлог е поврзан со локалната теорема на Моивр-Лаплас.)

Се повикува бројот m 0 на појави на настан најверојатно, ако веројатноста за настанување даден број пати во оваа серија тестови е најголема (максимум во дистрибутивниот полигон). За биномна дистрибуција

. (6.5)

Коментар. Оваа нееднаквост може да се докаже со помош на рекурентната формула за биномни веројатности:

(6.6)

Пример 6.1.Учеството на премиум производи во ова претпријатие е 31%. Кои се математичкото очекување и варијансата, како и најверојатниот број на премиум производи во случајно избрана серија од 75 производи?

Решение. Затоа што стр=0,31, q=0,69, n= 75, тогаш

М[ X] = н.п.= 75×0,31 = 23,25; D[ X] = npq= 75×0,31×0,69 = 16,04.

Да се ​​најде најверојатниот број м 0, ајде да создадеме двојна нееднаквост

Го следи тоа м 0 = 23.

Поасон дистрибуција

Како што веќе беше забележано, биномната дистрибуција се приближува до нормална кога n®¥. Сепак, тоа не се случува ако, заедно со зголемување nедна од количините стрили qсе стреми кон нула. Во овој случај важи асимптотичната Поасонова формула, т.е. на n®¥, стр®0

, (6.7)

каде l= н.п.. Оваа формула одредува Закон за дистрибуција на Поасон , што има независно значење, а не само како посебен случај на биномната распределба. За разлика од биномната дистрибуција, овде случајната променлива кможе да земе бесконечен број вредности: к=0,1,2,…

Поасоновиот закон го опишува бројот на настани k кои се случуваат во еднакви временски периоди, под услов настаните да се случуваат независно еден од друг со постојан просечен интензитет, кој се карактеризира со параметарот l. Поасон дистрибутивниот полигон е прикажан на сл. 6.2. Имајте на ум дека за големи l трки
Распределбата на Поасон се приближува до нормала. Затоа, Поасоновата распределба се користи, по правило, во случаи кога l е од редот на единство и бројот на испитувања nмора да биде голема, а веројатноста да се случи настанот стрво секој тест е мал. Во овој поглед, законот на Поасон често се нарекува и закон за дистрибуција на ретки појави.

Примери на ситуации во кои се јавува Поасоновата распределба се распределбите на: 1) бројот на одредени микроби по единица волумен; 2) бројот на електрони испуштени од загреаната катода по единица време; 3) бројот на а-честички испуштени од радиоактивен извор во одреден временски период; 4) бројот на повици кои пристигнуваат на телефонската централа во одредено време од денот итн.

Да го напишеме Поасоновиот закон во форма на табела

Ајде да провериме дали збирот на сите веројатности е еднаков на една:

Да ги најдеме нумеричките карактеристики на оваа дистрибуција. По дефиниција на математичкото очекување за DSV, имаме

Забележете дека во последната сума, сумирањето започнува со к=1, затоа што првиот член од збирот што одговара на к=0, еднакво на нула.

За да ја пронајдеме варијансата, прво го наоѓаме математичкото очекување на квадратот на случајноста:

Така, математичкото очекување и варијансата на случајна променлива распределена според законот на Поасон се совпаѓаат и се еднакви на параметарот на оваа дистрибуција

. (6.8)

Ова е карактеристичната карактеристика на Поасон дистрибуцијата. Така, ако, врз основа на експериментални податоци, се утврди дека математичкото очекување и варијансата на одредена вредност се блиску една до друга, тогаш постои причина да се претпостави дека оваа случајна променлива е распределена во согласност со законот на Поасон.

Користејќи го концептот на почетни и централни моменти, можеме да покажеме дека за Поасоновата дистрибуција коефициентот на искривување и куртозата се еднакви:

. (6.9)

Бидејќи параметарот l е секогаш позитивен, Поасоновата распределба секогаш има позитивна искривување и куртоза.

Сега да покажеме дека формулата на Поасон може да се смета како математички модел на наједноставниот тек на настани.

Текот на настанитеповикајте низа настани што се случуваат во случајни времиња. Потокот се вика наједноставниот, доколку ги има својствата стационарност, нема последователен ефектИ обичноста.

Интензитетот на проток l е просечниот број на настани што се случуваат по единица време.

Ако е позната константата на интензитетот на проток l, тогаш веројатноста за појава кнастани од наједноставниот тек со текот на времето тсе одредува со формулата Поасон:

. (6.10)

Оваа формула ги одразува сите својства на наједноставниот тек. Покрај тоа, секој наједноставен тек е опишан со формулата Поасон, затоа наједноставните текови често се нарекуваат Поасон.

Стационарност имот кнастаните во кој било временски период зависи само од бројот ки за времетраење твременски период и не зависи од почетокот на неговото броење. Со други зборови, ако протокот има својство на стационарност, тогаш веројатноста за појава кнастани во одреден временски период тпостои функција која зависи само од ки од т.

Во случај на наједноставниот тек, од Поасоновата формула (6.10) произлегува дека веројатноста кнастани за време на т, при даден интензитет, е функција од само два аргументи: кИ т, што го карактеризира својството на стационарност.

Нема својство после ефекте дека веројатноста за појава кнастаните во кој било временски период зависи од тоа дали настаните се појавиле или не се појавиле во временските точки кои му претходат на почетокот на предметниот период. Со други зборови, историјата на протокот не влијае на веројатноста за настани што ќе се случат во блиска иднина.

Во случај на наједноставниот тек, формулата Поасон (6.10) не користи информации за појавата на настани пред почетокот на временскиот период што се разгледува, што го карактеризира својството на отсуство на последователни ефекти.

Обична сопственосте дека појавата на два или повеќе настани во краток временски период е практично невозможна. Со други зборови, веројатноста да се случат повеќе од еден настан во краток временски период е занемарлива во споредба со веројатноста да се случи само еден настан.

Дозволете ни да покажеме дека Поасоновата формула (6.10) го одразува својството на обичност. Ставање к=0 и к=1, ги наоѓаме, соодветно, веројатностите да нема настани и да се појави еден настан:

Затоа, веројатноста да се случат повеќе од еден настан е

Користејќи го проширувањето на функцијата во серијата Maclaurin, по елементарни трансформации добиваме

.

Споредување П т(1) и П т(к>1), заклучуваме дека за мали вредности тверојатноста за појава на повеќе од еден настан е занемарлива во споредба со веројатноста за појава на еден настан, што го карактеризира својството на обичност.

Пример 6.2.Во набљудувањата на Радерфорд и Гајгер, радиоактивна супстанција во временски период од 7,5 секемитирал во просек 3,87 a-честички. Најдете ја веројатноста дека за 1 сековаа супстанца ќе емитува барем една честичка.

Решение. Како што веќе забележавме, распределбата на бројот на a-честички емитирани од радиоактивен извор во одреден временски период е опишана со формулата Поасон, т.е. го формира наједноставниот тек на настаните. Бидејќи интензитетот на емисија на a-честички за 1 секеднакви

,

тогаш Поасоновата формула (6.10) добива форма

Така, веројатноста дека т=1 сексупстанцијата ќе емитува барем една честичка ќе биде еднаква

Геометриска дистрибуција

Нека пукањето се изведува на дадена цел до првиот удар, и веројатноста стрпогодувањето на целта во секој истрел е исто и не зависи од резултатите од претходните истрели. Со други зборови, во експериментот што се разгледува, се спроведува Бернулиовата шема. Како случајна променлива X ќе го земеме предвид бројот на испукани истрели. Очигледно, можните вредности на случајната променлива X се природни броеви: x 1 =1, x 2 =2, ... тогаш веројатноста дека ќе биде потребно кистрелите ќе бидат еднакви

. (6.11)

Претпоставувајќи во оваа формула к=1,2, ... добиваме геометриска прогресија со првиот член стри мултипликатор q:

Поради оваа причина, се нарекува распределбата дефинирана со формулата (6.11). геометриски .

Користејќи ја формулата за збир на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија, лесно е да се потврди дека

.

Да ги најдеме нумеричките карактеристики на геометриската распределба.

По дефиниција на математичкото очекување за DSV, имаме

.

Ајде да ја пресметаме варијансата користејќи ја формулата

.

За ова ќе најдеме

.

Оттука,

.

Значи, математичкото очекување и варијансата на геометриската распределба се еднакви на

. (6.12)

6.4.* Генерирачка функција

При решавање на проблеми поврзани со DSV, често се користат методи на комбинаторика. Еден од најразвиените теоретски методи на комбинаторна анализа е методот на генерирање функции, кој е еден од најмоќните методи во апликациите. Ајде да го запознаеме накратко.

Ако случајната променлива x зема само ненегативни цели броеви, т.е.

,

Тоа генерирачка функција распределбата на веројатноста на случајната променлива x се нарекува функција

, (6.13)

Каде z– реална или сложена променлива. Забележи го тоа помеѓу повеќе функции за генерирање j x ( x)и многу дистрибуции(P(x= к)} постои кореспонденција еден на еден.

Нека има случајната променлива x биномна дистрибуција

.

Потоа, користејќи ја биномната формула на Њутн, добиваме

,

тие. функција за генерирање на биномна дистрибуција изгледа како

. (6.14)

Додаток. Функција за генерирање на Поасон

изгледа како

. (6.15)

Генерирачка функција на геометриска дистрибуција

изгледа како

. (6.16)

Користејќи ги функциите за генерирање, погодно е да се најдат главните нумерички карактеристики на DSV. На пример, првиот и вториот почетен момент се поврзани со функцијата за генерирање со следните еднаквости:

, (6.17)

. (6.18)

Начинот на генерирање функции често е удобен бидејќи во некои случаи функцијата на дистрибуција на DSV е многу тешко да се одреди, додека генерираната функција понекогаш е лесно да се најде. На пример, разгледајте го секвенцијалниот независен дизајн на тестот на Бернули, но направете една промена во него. Нека се случи веројатноста за некој настан Аварира од судење до судење. Ова значи дека формулата на Бернули станува неприменлива за таква шема. Задачата за наоѓање на функцијата на дистрибуција во овој случај претставува значителни тешкотии. Сепак, за оваа шема, функцијата за генерирање е лесно да се најде и, според тоа, соодветните нумерички карактеристики лесно се наоѓаат.

Широката употреба на функции за генерирање се заснова на фактот дека проучувањето на збирови на случајни променливи може да се замени со проучување на производи од соодветните генерирачки функции. Значи, ако x 1, x 2, ..., x nтогаш се независни

Нека стр к=Пк(А) – веројатност за „успех“ во к-ти тест во колото Бернули (соодветно, q k=1–стр к– веројатност за „неуспех“ во кти тест). Потоа, во согласност со формулата (6.19), функцијата за генерирање ќе ја има формата

. (6.20)

Користејќи ја оваа функција за генерирање, можеме да пишуваме

.

Овде се зема предвид дека p k +q k=1. Сега, користејќи ја формулата (6.1), го наоѓаме вториот почетен момент. За да го направите ова, прво да пресметаме

И .

Во посебен случај стр 1 =стр 2 =…=p n=стр(т.е. во случај на биномна распределба) од добиените формули произлегува дека Mx= н.п., Dx= npq.

Оние. дискретна случаен избор вредноста на X има геом. дистрибутер со параметар Ри именител q, доколку се потребни вредности 1,2,3,… к, ... со веројатности

P(X) = pq k-1, каде q=1-Р.

Распределбата се нарекува геом., бидејќи. вистина стр 1, стр 2, ...формираат геометриска прогресија, чиј прв член е Р, а именителот е q.

Доколку бројот на тестови не е ограничен, т.е. ако случајната променлива може да земе вредности 1, 2, ..., ∞, тогаш очекуваната вредност и варијансата се геометриски. распределбите може да се најдат со помош на формулите Mх = 1/p, Dх = q/p 2

Пример. Пиштолот се пука во целта додека не се постигне првиот удар. Веројатноста да се погоди целта е p = 0,6 со секој истрел. С.в. X е бројот на можни истрели пред првиот удар.

А) Составете серија на дистрибуција, пронајдете ја функцијата за распределба, конструирајте го нејзиниот график и пронајдете ги сите нумерички карактеристики. б) Најдете ги математичкото очекување и варијансата за случајот ако стрелецот има намера да испука не повеќе од три истрели.

А)Случајната променлива може да земе вредности 1, 2, 3, 4,..., ∞
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p = 0,4 2 0,6 = 0,096 ...
P(k) = q k-1 p = 0,4 k-1 0,6 ...
Опсег на дистрибуција:

Контрола: Σp i = 0,6/(1-0,4) = 1 (збир на геометриска прогресија)

Функцијата на дистрибуција е веројатноста дека р.в. X ќе добие вредност помала од специфичната нумеричка вредност на x. Вредностите на дистрибутивните функции се наоѓаат со собирање на веројатностите.

Ако x ≤ 1, тогаш F(x) = 0

Ако 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Ако 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Ако 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
Ако k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mх = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667
Dх = q/p 2 = 0,4/0,36 ≈ 1,111
σ = √Dх ≈ 1,054

б)Случајната променлива може да земе вредности 1, 2, 3.
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0,4 2 0,6 + 0,4 3 = 0,16
Опсег на дистрибуција:

Контрола: Σp i = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1
Дистрибутивна функција.

Ако x ≤ 1, тогаш F(x) = 0
Ако 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Ако 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Ако x > 3, тогаш F(x) = 0,84 + 0,16 = 1
M(X) = 1 0,6 + 2 0,24 + 3 0,16 = 1,56
D(X) = 1 2 0,6 + 2 2 0,24 + 3 2 0,16 - 1,56 2 = 0,5664
σ(Х) ≈ 0,752

Искривување и куртоза

Асиметрија е својство на распределбата на примерокот што ја карактеризира асиметријата на распределбата на случајна променлива. Во пракса, симетричните распределби се ретки, а со цел да се идентификува и оцени степенот на асиметрија, се воведува концептот на асиметрија. Во случај на негативен коефициент на асиметрија, се забележува понежно „спуштање“ лево, инаку - десно. Во првиот случај, асиметријата се нарекува левострана, а во втората - деснострана.

Коефициент на асиметрија дискретнислучајната променлива се пресметува со формулата:
Како (X) = (x 1-М X) 3 стр 1 + (x 2 - М X) 3 стр 2 + ... + ( x n-M X) 3 стр n

Коеф. асиметрија континуираносл.вел. пресметано со формулата:

Вишок е мерка за стрмнината на кривата на дистрибуција. Коефициентот на куртоза на дискретна случајна променлива се пресметува со помош на формулата:

Ex(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

Коефициентот на куртоза на континуирана случајна променлива се пресметува со помош на формулата:

Пример.

Законот за распределба на дискретна случајна променлива X е список на сите можни вредности на следната променлива. X што може да прифати, и соодветните веројатности. Збирот на сите верувања мора да биде еднаков на 1. Проверете: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1.

1. Очекувана вредност: M(X) = -2 0,1 - 1 0,2 + 0 0,5 + 1 0,1 + 2 0,1 = -0,1
2. Дисперзијае математичкото очекување на квадратното отстапување на вредностите на следното ниво. X од нејзиниот мат.ож.: D(X) = (-2 + 0.1) 2 0.1 + (- 1 + 0.1) 2 0.2 + (0 + 0.1) 2 0.5 + (1 + 0.1) 2 0.1 + (2 + 0,1) 2 0,1 = 1,09
   или D(X) = (-2) 2 0,1 + (-1) 2 0,2 ​​+ 0 2 0,5 + 1 2 0,1 + 2 2 0,1 - (-0 ,1) 2 = 1,1 - 0,01 = 1,09
3. ср. кв. исклучене квадратниот корен на варијансата: σ = √1,09 ≈ 1,044
4. Коф. асиметријаКако (X) = [(-2 + 0,1) 3 0,1 + (- 1 + 0,1) 3 0,2 + (0 + 0,1) 3 0,5 + (1 + 0,1) 3 0,1 + (2 + 0,1) 3 0,1] / 1,044 3 = 0,200353
5. Коф. вишокЕ x(X) = [(-2 + 0,1) 4 0,1 + (- 1 + 0,1) 4 0,2 + (0 + 0,1) 4 0,5 + (1 + 0 ,1) 4 ·0,1 + (2 + 0,1) 4 ·0,1 ]/1,044 4 - 3 = 0,200353
6. Функцијата за дистрибуција е веројатноста случајната променлива X да земе вредност помала од некоја нумеричка вредност x: F(X) = P(X< x). Функцијата за распределба е функција која не се намалува. Потребни се вредности во опсег од 0 до 1.

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7

2) Континуирани случајни променливи. Нормална дистрибуција.

КонтинуираноСлучајната променлива не зема никакви специфични нумерички вредности, туку какви било вредности на нумерички интервал. Описот на законот за распределба во континуиран случај е многу покомплициран отколку во дискретниот случај.

Континуиранонаречена случајна променлива која може да земе која било вредност од одреден даден интервал, на пример, времето на чекање за транспорт, температурата на воздухот во кој било месец, отстапувањето на вистинската големина на дел од номиналната итн. Интервалот во кој е поставен може да биде бесконечен во една или двете насоки.

Главната разлика во проблемите на пресметување на веројатностите за дискретни и континуирани случаи е како што следува. Во дискретен случајза настани како x = c(случајната променлива зема одредена вредност) се бара веројатноста Р(Со). Во континуиран случајверојатности од овој тип се еднакви на нула, затоа, од интерес се веројатностите за настани од типот „случајна променлива зема вредности од одреден сегмент“, т.е. А≤ X≤ б. Или за настани како X≤ Собарајќи веројатност Р(X≤ Со). Добивме график на функцијата на дистрибуција F( X≤ Со).

Значи, разновидноста на случајни променливи е многу голема. Бројот на вредности што тие ги прифаќаат може да биде конечен, броен или неброен; вредностите може да се лоцираат дискретно или целосно да ги пополнат интервалите. Со цел да се специфицираат веројатностите на вредностите на случајните променливи кои се толку различни по природа и, згора на тоа, да се специфицираат на ист начин, концептот на функција на дистрибуција на случајна променлива.

Нека е случајна променлива и X- произволен реален број. Веројатноста дека ќе потрае вредност помала од X,повикани функција на дистрибуција на веројатностслучајна променлива: F(x)= P(<х}.

Ајде да резимираме што е кажано: случајна променливае величина чии вредности зависат од случајот и за која е дефинирана функцијата за распределба на веројатност.

За континуирани случајни променливи (кога збирот на можни вредности на случајна променлива е неброен), законот за распределба се одредува со помош на функција. Најчесто ова функција на дистрибуција :F( x) = P(X<X) .

Функција F( x) го има следново својства:

1. 0 ≤ F( x) ≤ 1 ;

2.F( x) не се намалува;

3.F( x) остави континуирано;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.