ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಏಕ ವಿಭಾಗದ ಯೋಜನೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಸರಳವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ದೊಡ್ಡ ದೋಷಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕಾರಣವೆಂದರೆ ದೊಡ್ಡ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನೋಟ, ಅದರ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷ D ~ 0.5 ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ .

ತೀರ್ಮಾನ:ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೋಷಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು 0 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

ಗೌಸ್ ವಿಧಾನದ ಮೊದಲ ಮಾರ್ಪಾಡು- ತಂತಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕಿ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು.

ಮಾರ್ಪಾಡು ಕೊರತೆ. D ಯ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ x i ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಯಾವುದೇ x s ಗಾಗಿ ಹುಡುಕುವಾಗ, ವಿಲೋಮ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಗುಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದೋಷ D ಅನ್ನು ಸಹ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ದೋಷವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ:ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವು ಕೇವಲ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಂತರ, ಪ್ರಮುಖ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (5), ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೋಷಗಳು ಇಳಿಕೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಎರಡನೇ ಮಾರ್ಪಾಡು- ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕಿ. ಅಜ್ಞಾತ x i ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹೊರಗಿಟ್ಟರೆ ಮತ್ತು ಮುಂಚೂಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿದರೆ ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬಹುದು. ಇದು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, k-th ಮತ್ತು r-th ಅನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಕಾಲಮ್ಗಳು.

ಗಮನ.ಅಂತಹ ಬದಲಿಯೊಂದಿಗೆ, ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ x i ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಬದಲಿಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ p 1 ,…p n ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ p i = i ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, p k ಮತ್ತು p r ಅನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮರುಸಂಖ್ಯೆಯ x i ಅನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು (7) ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಹಾಕಬೇಕು y]:=x[i], ಮತ್ತು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ y[i]ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವಾಗಲಿದೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮೂರನೇ ಮಾರ್ಪಾಡು- ಪೂರ್ಣ ಹುಡುಕಾಟ. ವಿತರಣಾ ಅಂಶವನ್ನು ನಾಯಕನಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, k-th ಮತ್ತು r-th ಕಾಲಮ್‌ಗಳು, p k ಮತ್ತು p r, ಹಾಗೆಯೇ m-th ಮತ್ತು k-th ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾರ್ಪಾಡು ಗರಿಷ್ಠ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ವಿವಿಧ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮ.ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಾವು X = A –1 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, AX = I, ಅಲ್ಲಿ I ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇದರಲ್ಲಿ 1s ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳು 0 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ I ನ i-th ಕಾಲಮ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

(1 ಐ-ನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ). x (i) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X ನ i-th ಕಾಲಮ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ (ಸಾಲು ಕಾಲಮ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ), ನಾವು A x (i) = e (i) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಎನ್ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಬಲ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು:

ಓಹ್ = ಇ (1) ; ಓಹ್ = ಇ (2) ; …; ಓಹ್ = ಇ (ಎನ್) . (2.1)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರಗಳು x (1), x (2), ..., x (n) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A –1 ನ ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿವೆ.

2. ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ:

1) ವಿಧಾನದ ಮಾರ್ಪಾಡಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ;

2) ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ರೇಖೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ;

3) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಲನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ:

1) ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆ;

2) ಒಂದೇ ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ;

3) ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಮಾಡಿದ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n ,

ಒಂದು j j ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, s ಎನ್ನುವುದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳಿಗಾಗಿ ಹುಡುಕುವಾಗ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು

1. ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು (ಸಾಲುಗಳು, ಕಾಲಮ್‌ಗಳು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಾಟದೊಂದಿಗೆ - ಕಾರ್ಯದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿ

ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ

1) ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

2) ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ( ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ- p ನೋಡಿ 2 ).

3) ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ ( ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ- p ನೋಡಿ 1 ).

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಾ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿ.

2. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ (ಸಾಲುಗಳು, ಕಾಲಮ್‌ಗಳು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಾದ್ಯಂತ - ಕಾರ್ಯದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ.

ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪಾಠವು ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮೂರನೆಯದು. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನೆಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಕಲ್ಪನೆ ಇದ್ದರೆ, ನೀವು ಟೀಪಾಟ್ನಂತೆ ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಪುಟದಲ್ಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮುಂದೆ, ಪಾಠವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ!ಏಕೆ? ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಜೋಹಾನ್ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗೌಸ್, ಅವರ ಜೀವಿತಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಪ್ರತಿಭೆ ಮತ್ತು "ಗಣಿತದ ರಾಜ" ಎಂಬ ಅಡ್ಡಹೆಸರು ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟರು. ಮತ್ತು ಚತುರ ಎಲ್ಲವೂ, ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಸರಳವಾಗಿದೆ!ಅಂದಹಾಗೆ, ಸಕ್ಕರ್‌ಗಳು ಹಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಪ್ರತಿಭೆಗಳೂ ಸಹ - ಗೌಸ್‌ನ ಭಾವಚಿತ್ರವು 10 ಡಾಯ್ಚ್‌ಮಾರ್ಕ್ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನೋಟಿನಲ್ಲಿತ್ತು (ಯೂರೋವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೊದಲು), ಮತ್ತು ಗೌಸ್ ಇನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳಿಂದ ಜರ್ಮನ್ನರನ್ನು ನೋಡಿ ನಿಗೂಢವಾಗಿ ನಗುತ್ತಾನೆ.

ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಜ್ಞಾನವು ಅದನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು. ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು!ಶಾಲಾ ಗಣಿತದ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೊರಗಿಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ. ಇದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ - ಇದು ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಅಷ್ಟೆ, ಮತ್ತು ನಾನು ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸೋಣ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೀಗೆ ಮಾಡಬಹುದು:

1) ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ. 2) ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ. 3) ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಆಗಿದೆ ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ).

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ ಯಾವುದಾದರುರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ನಮಗೆ ನೆನಪಿರುವಂತೆ, ಕ್ರೇಮರ್ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನ ಹೇಗಾದರೂಉತ್ತರಕ್ಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ! ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕರಣದ ಸಂಖ್ಯೆ 1 (ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಏಕೈಕ ಪರಿಹಾರ) ಗಾಗಿ ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂಕಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 2-3 ರ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೆ ಲೇಖನವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಪಾಠದಿಂದ ಸರಳವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?ಮತ್ತು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆ ಬರೆಯುವುದು ವಿಸ್ತೃತ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್: . ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಯಾವ ತತ್ವದಿಂದ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ನೋಡಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಒಳಗಿನ ಲಂಬ ರೇಖೆಯು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ - ಇದು ವಿನ್ಯಾಸದ ಸುಲಭತೆಗಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸ್ಟ್ರೈಕ್‌ಥ್ರೂ ಆಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖ : ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ನಿಯಮಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್: . ವಿಸ್ತೃತ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ - ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಅದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜೊತೆಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ: . ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ವಿಸ್ತೃತ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆದ ನಂತರ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು.

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ:

1) ತಂತಿಗಳುಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮರುಹೊಂದಿಸಿಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೋವುರಹಿತವಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು:

2) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ (ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ - ಒಂದೇ ರೀತಿಯ) ಸಾಲುಗಳಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕು ಅಳಿಸಿಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳು ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ . ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡಲು ಸಾಕು: .

3) ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಾಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಕೂಡ ಆಗಿರಬೇಕು ಅಳಿಸಿ. ನಾನು ಸೆಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ ರೇಖೆಯು ಅದರಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೊನ್ನೆಗಳು.

4) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲು ಆಗಿರಬಹುದು ಗುಣಿಸಿ (ಭಾಗಿಸು)ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: . ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

5) ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಹೆಚ್ಚಿನ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಏನೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲಿಗೆ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನಮ್ಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ: . ಮೊದಲು ನಾನು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: , ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಈಗ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು "ಹಿಂದೆ" -2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು: . ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಾಲು LI – ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ. ಯಾವಾಗಲೂಸೇರಿಸಲಾದ ಸಾಲು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಯುಟಿ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅವರು ಅದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ: ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ: ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ -2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮಾನಸಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ರೀತಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ:

"ನಾನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ: »

“ಮೊದಲ ಅಂಕಣ. ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾನು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ಮೇಲಿನ ಒಂದನ್ನು –2: ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ: 2 + (–2) = 0. ನಾನು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ: »

“ಈಗ ಎರಡನೇ ಅಂಕಣ. ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾನು -1 ರಿಂದ -2: ಗುಣಿಸಿ. ನಾನು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇನೆ: 1 + 2 = 3. ನಾನು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ: »

"ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್. ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾನು -5 ರಿಂದ -2: ಗುಣಿಸಿ. ನಾನು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇನೆ: –7 + 10 = 3. ನಾನು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ: »

ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಜೇಬಿನಲ್ಲಿದೆ. ಆದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ

! ಗಮನ: ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು "ಸ್ವತಃ" ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ಜೊತೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಳಗೆ ಏನನ್ನೂ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಾರದು! ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸೋಣ ಹೆಜ್ಜೆ ನೋಟ:

(1) ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, ಅದನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ: ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು -2 ರಿಂದ ಏಕೆ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ? ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅಂದರೆ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು.

(2) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉದ್ದೇಶ – ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ: . ಕಾರ್ಯದ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸರಳವಾದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ "ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳನ್ನು" ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು "ಹೆಜ್ಜೆಗಳಲ್ಲಿ" ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೃತ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ. "ಹಂತದ ನೋಟ" ಎಂಬ ಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿಲ್ಲ; ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನೋಟಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ ನೋಟ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಸಮಾನಮೂಲ ಸಮೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:

ಈಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ "ಬಿಚ್ಚುವ" ಅಗತ್ಯವಿದೆ - ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಿದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: .

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ "y" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈಗ ನಾನು ತಕ್ಷಣ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇನೆ: ಮತ್ತು ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು ನಮ್ಮ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು?

ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಎಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡಿ: ಬಹುತೇಕ ಯಾವಾಗಲೂ ಇಲ್ಲಿರಬೇಕು ಘಟಕ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, –1 (ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಘಟಿಸುವುದು? ನಾವು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ! ರೂಪಾಂತರ ಒಂದು: ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿ:

ಈಗ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಪರಿಹಾರದ ಅಂತ್ಯದವರೆಗೆ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈಗ ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ನೀವು ಈ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ:

"ಕಷ್ಟ" ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (2, -1, 3, 13) ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ -2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: (–2, –4, 2, –18). ಮತ್ತು ನಾವು ಸತತವಾಗಿ (ಮತ್ತೆ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ) ಸೇರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಈಗಾಗಲೇ –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ:

ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ (3, 2, -5, -1). ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ -3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: (–3, –6, 3, –27). ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು "ಬರೆಯುವುದು" ಸ್ಥಿರಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿಧಾನವಾಗಿ ನಮ್ಮ ಮೇಲೆ ಉಬ್ಬಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗಮನವಿಟ್ಟು:
ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮಾನಸಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ; ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು –5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ (ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು). ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು –2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪರಿಹಾರವು ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು:

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ - ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ ಮಾಡಿ.

ನಡೆಸಿದ ಕೊನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಫಲಿತಾಂಶದ ಕೇಶವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: ಕೂಲ್.

ಈಗ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ "ಬಿಚ್ಚುತ್ತವೆ".

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಿದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡೋಣ: . "zet" ನ ಅರ್ಥವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ, ಹೀಗಾಗಿ:

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ: . "Igrek" ಮತ್ತು "zet" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಚಿಕ್ಕ ವಿಷಯಗಳ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ:

ಉತ್ತರ:

ಈಗಾಗಲೇ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂತಿಮ ವಿನ್ಯಾಸದ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ.

ನಿಮ್ಮ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು ನಿರ್ಧಾರದ ಪ್ರಗತಿನನ್ನ ನಿರ್ಧಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಉತ್ತರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು!

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ನಾವು ಮೇಲಿನ ಎಡ "ಹೆಜ್ಜೆ" ಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘಟಕಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘಟಕವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾನು ಇದನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ: (1) ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಬದಲಾಗಲಿಲ್ಲ.

ಈಗ ಮೇಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ "ಮೈನಸ್ ಒನ್" ಇದೆ, ಅದು ನಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. +1 ಪಡೆಯಲು ಬಯಸುವ ಯಾರಾದರೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ (ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ).

(2) 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು.

(3) ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಸೌಂದರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ. ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ "ಹಂತ" ದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

(4) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

(5) ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಕೆಟ್ಟ ಚಿಹ್ನೆ (ಹೆಚ್ಚು ವಿರಳವಾಗಿ, ಮುದ್ರಣದೋಷ) "ಕೆಟ್ಟ" ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಏನನ್ನಾದರೂ ಪಡೆದಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗೆ, ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, , ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು "ನೀಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ." ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೌದು, ಉಡುಗೊರೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಉತ್ತರ: .

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಯಾರಾದರೂ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾದರೆ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ. ನಿಮ್ಮ ಪರಿಹಾರವು ನನ್ನ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು.

ಕೊನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕಾಣೆಯಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ವಿಸ್ತೃತ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ? ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಕಾಣೆಯಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: ಅಂದಹಾಗೆ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸುಲಭವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ.

ಎರಡನೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ಇದು. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು "ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ" -1 ಅಥವಾ +1 ಅನ್ನು ಇರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಬಹುದೇ? ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಮಾಡಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: .

ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಎಡ "ಹೆಜ್ಜೆ" ಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ - ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಎರಡು ಮತ್ತು ಆರು. ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ! ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಿ; ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ -3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಮೊದಲ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಉದಾಹರಣೆ: . ಇಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ "ಹೆಜ್ಜೆ" ನಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಸಹ ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 12 (ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾದ ಸ್ಥಳ) ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆ 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ, –4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗೌಸ್ನ ವಿಧಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯಿದೆ. ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು (ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ವಿಧಾನ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ) ಅಕ್ಷರಶಃ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಕಲಿಯಬಹುದು - ಅವುಗಳು ತುಂಬಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಆದರೆ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಅನುಭವಿಸಲು, ನೀವು "ನಿಮ್ಮ ಹಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಬೇಕು" ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ 5-10 ಹತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲ ಮತ್ತು ದೋಷಗಳು ಇರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ದುರಂತ ಏನೂ ಇಲ್ಲ.

ಕಿಟಕಿಯ ಹೊರಗೆ ಮಳೆಯ ಶರತ್ಕಾಲದ ಹವಾಮಾನ .... ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತಾವಾಗಿಯೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾಲ್ಕು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ 4 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಪರೂಪವಲ್ಲ. ಈ ಪುಟವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಟೀಪಾಟ್ ಸಹ ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ - ಕೇವಲ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿವೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ (ಅಸಮಂಜಸವಾದ) ಅಥವಾ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಅಲ್ಲಿ ನೀವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು.

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ!

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಪರಿಹಾರ : ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗಿದೆ: (1) ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, ಅದನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಮನ! ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಪ್ರಚೋದಿಸಬಹುದು; ಅದನ್ನು ಕಳೆಯದಂತೆ ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ದೋಷದ ಅಪಾಯವು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಮಡಚಿ! (2) ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ (-1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ). ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೂಚನೆ , "ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ" ನಾವು ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ -1 ನೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಇನ್ನಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. (3) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. (4) ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ (-1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ). ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 14 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹಿಮ್ಮುಖ:

ಉತ್ತರ : .

ಉದಾಹರಣೆ 4: ಪರಿಹಾರ : ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ:

ನಡೆಸಿದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು: (1) ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಘಟಕವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಎಡ "ಹೆಜ್ಜೆ" ಯಲ್ಲಿ ಆಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. (2) 7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು.

ಎರಡನೇ "ಹೆಜ್ಜೆ" ಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಕೆಟ್ಟದಾಗುತ್ತದೆ , ಅದರ "ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು" 17 ಮತ್ತು 23 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಒಂದು ಅಥವಾ -1 ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳು (3) ಮತ್ತು (4) ಬಯಸಿದ ಘಟಕವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (3) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. (4) ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು –3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಐಟಂ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. . (5) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. (6) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು, ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು -83 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹಿಮ್ಮುಖ:

ಉತ್ತರ :

ಉದಾಹರಣೆ 5: ಪರಿಹಾರ : ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ:

ನಡೆಸಿದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು: (1) ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. (2) ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, ಅದನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು -2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, ಅದನ್ನು –3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು. (3) ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು. (4) ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಯಿತು. (5) ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, ಅದನ್ನು –5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಹಿಮ್ಮುಖ:

ಉತ್ತರ :

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAEs) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದು ಹಲವಾರು ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ;
ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವು SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ;
ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಲೇಖನದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಅವಲೋಕನ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಅಗತ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಗೌಸ್ ವಿಧಾನದ ಸಾರವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳು.

n ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ p ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (p n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ):

ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ), ಮತ್ತು ಅವು ಉಚಿತ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ವೈವಿಧ್ಯಮಯ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ SLAU ನ ನಿರ್ಧಾರ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ.

SLAE ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಶ್ಚಿತ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಸಮನ್ವಯ ರೂಪ, ಅದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ
.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಾಖಲೆಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ - SLAE ಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾಲಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು (n+1) ನೇ ಕಾಲಮ್ ಆಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಳಿದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಂದ ಲಂಬ ರೇಖೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ,

ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವನತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆ, ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವನತಿಯಾಗದ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ನೀವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ,
ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ (ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ,
ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ,

ನಂತರ ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ (ಅಥವಾ, ಮೂಲದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ).

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ:

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು,
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ T ಯ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು,
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.

ಈಗ ನಾವು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? .

ಕೆಲವರು ಹಾಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು.

ಮೊದಲನೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ x 2 ಮತ್ತು x 3 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ x 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು x 1 =1 ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x 2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು x 2 = 2 ಅನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಇತರರು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು.

ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಈಗ ನಾವು x 2 ಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 3 =3 ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ , ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಚಿತ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಸರಿ?

ಇಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ (ಮೊದಲ x 1, ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ x 2) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಉಳಿದಿರುವವರೆಗೆ ನಾವು ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮ.

ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 2 ಮತ್ತು x 3 ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ x 1 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದಾಗ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, SLAU ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಇಲ್ಲ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಮುಂದೆ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಈ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಾವು x 1 ಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಮುಖ್ಯ ಮಾತೃಕೆಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು , ನಂತರ ನೀವು x 1 ಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬಹುದು (ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 1 ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ).

ನೀವು ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿವರಿಸೋಣ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

ರೂಪದ n ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ n ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. , ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು .

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು x 1 ಅನ್ನು ಇತರ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು . ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ x 3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಕ್ಷಣದಿಂದ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, x n ನ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n-1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ .

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಗುಣಾಂಕ a 11 ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ. ಮತ್ತು :

ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ, ನಾವು x 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಹೋಗೋಣ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು :

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ :

ನೀವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ,
ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ,
ಎರಡನೆಯದರಿಂದ,
ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ.

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನೀವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಈಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ . ಪ್ರತಿ ಕಾಲಮ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ಮೂಲನೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅದು ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ನೀವು ಇದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸೋಣ ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ:

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, ಮೂರನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು :

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ :

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು

ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದ ನಂತರ ಹಿಂದೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಇದು ಹಿಂದೆ ತಿರುಗುವ ಸಮಯ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕರ್ಣವಾಯಿತು, ಅಂದರೆ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು

ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೊನೆಯದರಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ , ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿ:

ರಿವರ್ಸ್ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಗುಣಿಸಿ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ , ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಸೂಚನೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸದಂತೆ ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪದನಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (x 1, x 2, x 3 ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ x, y, z). ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ x ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡೋಣ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ y ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಇದು ಗೌಸ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ y ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ).

ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ,
ಉಪಾಂತ್ಯದಿಂದ

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

ಉತ್ತರ:

X = 10, y = 5, z = -20.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಚದರ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ನಮಗೆ ಹೇಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರ) ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಅಂತಹ SLAE ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಹೋಗುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ). ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: "ಮುಂದೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು"?

ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಬರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇವುಗಳು x 1, x 4 ಮತ್ತು x 5. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಿಖಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ x 1, x 4 ಮತ್ತು x 5 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:

ಇದರ ನಂತರ, ನಮ್ಮ SLAE ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಎಲ್ಲಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಎಡ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಗಳು, ಗುಣಿಸಿದಾಗ:

ಈಗ ನಾವು y ಅನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹೊರಗಿಡೋಣ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ SLAE ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ z ನೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ (ತ್ರಿಕೋನ ಅಥವಾ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳಂತೆಯೇ) ಅಥವಾ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ಹತ್ತಿರ (ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಸ್ಟ್ರೋಕ್, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ - ಸರಳವಾಗಿ ನೇರ ಸ್ಟ್ರೋಕ್). ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಂತರ ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ( ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮ , ನಂತರ ಕೇವಲ ರಿವರ್ಸ್), ಇದರಿಂದ ಹಿಂದಿನ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ (ತ್ರಿಕೋನ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ವೈಮತ್ತು X, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ X .

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿಧಾನದ ಅನುಕೂಲಗಳು:

ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದಂತೆ ತೊಡಕಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ;
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ (ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ), ಮತ್ತು ಕ್ರ್ಯಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮಾತ್ರ ಹೇಳಬಹುದು;
ನೀವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ);
ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ (ಶಾಲಾ) ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ - ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ವಿಧಾನ, ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ (ತ್ರಿಕೋನ, ಹಂತ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸರಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ತ್ವರಿತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ zಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವೈ:

ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ - zಮತ್ತು ವೈ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X:

ಹಿಂದಿನ ಹಂತಗಳಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಂತಹ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟವೂ ಅಲ್ಲ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಸೇರಿಸುವ ಶಾಲೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನಾವು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಅನಿಮೇಷನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ರಮೇಣ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಆಗಿ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲ ಅನಿಮೇಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾಡಬಹುದು:

ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ (ಈ ಲೇಖನದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ);
ಇತರ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮಾನ ಅಥವಾ ಅನುಪಾತದ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಬಹುದು;
ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ "ಶೂನ್ಯ" ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ;
ಯಾವುದೇ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿ;
ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಶಾಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರದ ನೋಟವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಮೊದಲು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ನಂತರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ವಿಭಜಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ (ಏಕತೆಯಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು) ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು:

ಹೊಸ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿವಾರಿಸಿ Xಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ) ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ - ಮೊದಲ ಸಾಲು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ).

ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯ

ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಕರಣಗಳಿದ್ದರೆ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ X :

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪಡೆಯಿರಿ:

ಈಗ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಇರಿಸಿಕೊಂಡು, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ವೈ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ).

ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಕರಣಗಳಿದ್ದರೆ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನವಾದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಿಂತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಮ್ಮ ಡೆಮೊ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಆಗುವವರೆಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.

ನಾವು "ಕೊನೆಯಿಂದ" ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ z:
.
ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ವೈ:

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ X:

ಉತ್ತರ: ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ .

: ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಉತ್ತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಈ ಪಾಠದ ಐದನೇ ಭಾಗದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ, ತದನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ

ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಿಂದ ನಮ್ಮ ಡೆಮೊ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಈಗ ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಈಗ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನಿಜವಾದ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು, ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸಿ.

ಈಗ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ. ನಾವು ವಿಸ್ತೃತ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು "ಕೊನೆಯಿಂದ" ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು "x-four" ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ನೀಡುತ್ತದೆ

ನಾವು "x ಫಸ್ಟ್" ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ .

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು: ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಭೌತಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ನೈಜ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ - ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮಿಶ್ರಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಸರಕುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸರಕುಗಳ ವೆಚ್ಚ ಅಥವಾ ಪಾಲು, ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವು.

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಮಿಶ್ರಲೋಹದ ಮೂರು ತುಂಡುಗಳು ಒಟ್ಟು 150 ಕೆಜಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಮಿಶ್ರಲೋಹವು 60% ತಾಮ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - 30%, ಮೂರನೆಯದು - 10%. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮಿಶ್ರಲೋಹಕ್ಕಿಂತ 28.4 ಕೆಜಿ ಕಡಿಮೆ ತಾಮ್ರವಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮಿಶ್ರಲೋಹದಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ 6.2 ಕೆಜಿ ಕಡಿಮೆ ತಾಮ್ರವಿದೆ. ಮಿಶ್ರಲೋಹದ ಪ್ರತಿ ತುಂಡಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಗಮನ, ನೇರವಾಗಿ ಮುಂದೆ. ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ) ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ (ನಾವು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ), ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ:

ನೇರ ನಡೆ ಮುಗಿದಿದೆ. ನಾವು ವಿಸ್ತರಿತ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕೊನೆಯಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ -

ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗೌಸ್ ಇದನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಲು ಕೇವಲ 15 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು ಎಂಬ ಅಂಶವು ಗಾಸ್ ಅವರ ವಿಧಾನದ ಸರಳತೆಗೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಅವರ ಹೆಸರಿನ ವಿಧಾನದ ಜೊತೆಗೆ, "ನಮಗೆ ನಂಬಲಾಗದ ಮತ್ತು ಅಸ್ವಾಭಾವಿಕವೆಂದು ತೋರುವದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ನಾವು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು" ಎಂಬ ಮಾತು ಗೌಸ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ - ಇದು ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೂಚನೆಯಾಗಿದೆ.

ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣ, ನಂತರ ನೀವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ. ನಾವು ಈಗ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಎನ್ಜೊತೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎನ್ಅಸ್ಥಿರ.

ಗೌಸ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ

ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರವಾದ ಆದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ (ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವುದು, ಒಂದು ಸಾಲಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು), ಫಾರ್ಮ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು

ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ

ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು "ಅತಿಯಾದವು" ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6.

ಪರಿಹಾರ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟವು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಪರಿಚಿತರ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು , ನಂತರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: . ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: .

ನೀಡಿದ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೆರಡೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ, ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು

ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ನಂತರ, ಫಾರ್ಮ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಿಲ್ಲದ ಮುಕ್ತ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ), ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7.ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಗುಣಿಸಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಈಗ ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ , ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.

ಈಗ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪರಿಚಿತರ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

2. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು

ಮುಖ್ಯ ಅಂಶದ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ಗೌಸ್ ವಿಧಾನದ ಮುಖ್ಯ ಮಿತಿಯೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ.

ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲನೆಯ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶ = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಹಾರವು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ ವಿಭಜನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದಾಗಿ ದೋಷದಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ ಸಾಧ್ಯ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಖ್ಯ ಅಂಶದ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಭವವನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಧಾನದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲನೆಯ ಕೆಲವು kth ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೇರಿಯಬಲ್ x k ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಿಭಜನೆಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಿಧಾನವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

kth ಹಂತದಲ್ಲಿ ¹ ಅನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A¢ ನಲ್ಲಿ k ಮತ್ತು p ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು k ಮತ್ತು q ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು.

ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಮರುಜೋಡಿಸಲಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಎರಡು ಸರಳ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಿವೆ:

ಕಾಲಮ್ ಮೂಲಕ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶದ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ;

ಸಾಲಿನ ಮೂಲಕ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶದ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, kth ಸಾಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ (ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ, i = ) ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ - kth ಕಾಲಮ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಅಂಶ (ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ , i = ). ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದುವರಿಕೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

LU ವಿಭಜನೆ. ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್‌ನಲ್ಲಿ, ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು LU ವಿಘಟನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ A = LU ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ L ಮತ್ತು U, ಇಲ್ಲಿ L ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, U ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

LU ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (2) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಗುಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ

ಇಲ್ಲಿ Y = ಸಹಾಯಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಈ ವಿಧಾನವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಬಲ-ಬದಿಯ B. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರವಾದ ಭಾಗವನ್ನು (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ LU ವಿಘಟನೆ) ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ರನ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು O(n 3) ನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ (6) ಮತ್ತು (7) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನೇಕ ಬಾರಿ (ವಿವಿಧ B ಗಾಗಿ) ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಪರಿಹಾರವು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು O(n 2 ರ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. )

LU ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

1. ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (1), ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (5) ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

2. ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ U ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

u ij = C ij (i = ; j =)

3. ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (6) ಗಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

y 1 = b 1 / l 11;

ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸೂತ್ರಗಳು (7)

(i = n - 1, n - 2, ..., 1).

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ: ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ, ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳು. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ...

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x2=-1.59506 ವಿವಿಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನಗಳು 5.1 ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವಿಧಾನಗಳು 5.1. 1 ವಿವರಣೆ ವಿಧಾನ xi ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ F (x) ಕಾರ್ಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ...

ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಟರ್ಬೊ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ 7.0 ನಲ್ಲಿ. 1.2 ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ A ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. 1.3 ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳ ವಿಮರ್ಶೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, SLAE ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮಾನವಾದ...

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು). ಮುಂದೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (2), xn-1, xn-2,..., x1 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ i=n-1, n-2,...,1 ಗಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಕಾರದ (1) ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಪ್ ವಿಧಾನ ಎಂಬ ವಿಧಾನದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೂರು ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: i=1 ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (3) ಬಳಸಿ ಸ್ವೀಪ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು δi, λi ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ,2,...,n (ನೇರ ಸ್ವೀಪ್) ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಜ್ಞಾತ xi ಮೂಲಕ...