ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು.

1

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎಣಿಕೆಗೆ ಮೀಸಲಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ವಿವಿಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಸೀಮಿತ, ಸೆಟ್
ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್
(21 ಜೂನ್ 1646-14 ನವೆಂಬರ್ 1716) -
ಜರ್ಮನ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ,
ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ವಕೀಲ, ಭಾಷಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ,
ಇತಿಹಾಸಕಾರ, ರಾಜತಾಂತ್ರಿಕ
ಬ್ಲೇಸ್ ಪಾಸ್ಕಲ್
(ಜೂನ್ 19, 1623 - ಆಗಸ್ಟ್ 19, 1662) -
ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ,
ಬರಹಗಾರ ಮತ್ತು ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ
2

ಕಾರ್ಯಗಳು

1) ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ 6 ವಿಭಿನ್ನ ಫೋಲ್ಡರ್‌ಗಳು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು
ಅದನ್ನು ಕಪಾಟಿನಲ್ಲಿ ಇಡುವುದೇ?
2) ಕಳ್ಳತನದ ತನಿಖೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅಪರಾಧಿ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು
ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಆರು-ಅಂಕಿಯ ಫೋನ್ ಸಂಖ್ಯೆ
ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸೊನ್ನೆಗಳಿಲ್ಲ. ತನಿಖಾಧಿಕಾರಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ನಂಬುತ್ತಾರೆ
ಒಂದರಿಂದ ಎರಡು ಗಂಟೆಗಳು ಸಾಕು, ಅವರು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ವರದಿ ಮಾಡಿದರು
ಅಪರಾಧಗಳು. ಅವನು ಸರಿಯೇ?
3) ಅಪಘಾತದ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಪಲಾಯನ ಮಾಡಿದ ವಿದೇಶಿ ಕಾರು ಮೂರು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು
ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯು 2 ಆಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಹುಡುಕಲು ನೀವು ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಪೋಲೀಸ್ ಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು
ಒಳನುಗ್ಗುವವನಾ?
3

ಸಂಯೋಜನೆಯ ತತ್ವಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ತತ್ವ

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳು:
ಸೇರ್ಪಡೆಯ ತತ್ವ.
ಗುಣಾಕಾರ ತತ್ವ.
ಸೇರ್ಪಡೆ ತತ್ವ
ಕಾರ್ಯ 1: ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ 7 ಹುಡುಗಿಯರು ಮತ್ತು 8 ಹುಡುಗರು ಇದ್ದಾರೆ. ಎಷ್ಟು
ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು 1 ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು?
ಪರಿಹಾರ: 7+8=15
ಕಾರ್ಯ 2: 7 ಜನರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ "5", 9
ವ್ಯಕ್ತಿ - ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ "5". ಒಂದು ಅಧಿವೇಶನದಲ್ಲಿ 2 ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. ಇದು ತಿಳಿದಿದೆ
4 ಜನರು ಅಧಿವೇಶನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಿದರು. ಎಷ್ಟು ಜನ
ಅಧಿವೇಶನದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು A ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಿರಾ?
ಪರಿಹಾರ: 7+9-4=12
4

ಸೇರ್ಪಡೆ ತತ್ವ

ಸಂಕಲನ ತತ್ವ: ಒಂದು ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ a ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದಾದರೆ n
ವಿಧಾನಗಳು, ವಸ್ತು b ಅನ್ನು m ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು,
ನಂತರ "a ಅಥವಾ b" ವಸ್ತುವನ್ನು n+m-k ಪಡೆಯಬಹುದು
ವಿಧಾನಗಳು, ಇಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ
ಮಾರ್ಗಗಳು.
ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣ
ಎ ಬಿ ಎ ಬಿ ಎ ಬಿ
5

ಗುಣಾಕಾರ ತತ್ವ

ಕಾರ್ಯ: ಪರ್ವತದ ತುದಿಗೆ ಹೋಗಲು 5 ​​ರಸ್ತೆಗಳಿವೆ.
ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರ್ವತವನ್ನು ಏರಬಹುದು ಮತ್ತು
ಅದರಿಂದ ಹೊರಬರುವುದೇ?
ಪರಿಹಾರ: 5∙5=25.
ಗುಣಾಕಾರ ತತ್ವ: ಒಂದು ವೇಳೆ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು
ಎನ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ವಸ್ತು b ಅನ್ನು m ನಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು
ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಂತರ ವಸ್ತು "a ಮತ್ತು b" m·n ಪಡೆಯಬಹುದು
ಮಾರ್ಗಗಳು.
ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣ
ಎ ಬಿ ಎ ಬಿ
6

ಕಾರ್ಯಗಳು

ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ 3 ಪ್ರತಿಗಳಲ್ಲಿ, 5
ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರತಿಗಳು ಮತ್ತು 7
ಇತಿಹಾಸ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ
ಪ್ರತಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಒಂದು ಪ್ರತಿ.
ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು?

3 5 7 105
7

ಕಾರ್ಯಗಳು

ಮನೆಯಿಂದ ಶಾಲೆಗೆ 6 ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.
ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗಬಹುದು?
ಮತ್ತು ರಸ್ತೆ "ಅಲ್ಲಿ" ಮತ್ತು "ಹಿಂದೆ" ಇದ್ದರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ
ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯೇ?
ಪರಿಹಾರ. ಗುಣಾಕಾರ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ
6 5 30
8

ಕಾರ್ಯಗಳು

ಒಂದು ಬುಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ 7 ವಿವಿಧ ಸೇಬುಗಳು ಮತ್ತು 5 ಕಿತ್ತಳೆಗಳಿವೆ.
ಯಶಾ ಅದರಿಂದ ಸೇಬು ಅಥವಾ ಕಿತ್ತಳೆಯನ್ನು ಆರಿಸುತ್ತಾಳೆ, ಅದರ ನಂತರ
ಪೋಲಿನಾ ಸೇಬು ಮತ್ತು ಕಿತ್ತಳೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ
ಪೋಲಿನಾಗೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಉತ್ತಮ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಿದೆ: ಯಶಾ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ
ಸೇಬು ಅಥವಾ ಅವನು ಕಿತ್ತಳೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ?
ಪರಿಹಾರ. ಯಶಾ ಸೇಬನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ
ಗುಣಾಕಾರ ಪೋಲಿನಾ ತನ್ನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು
6 5 30
ಮಾರ್ಗಗಳು. ಯಶಾ ಕಿತ್ತಳೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ,
ನಂತರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ.
7 4 28
ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಪೋಲಿನಾಗೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಿದೆ.
9

ಕಾರ್ಯಗಳು

ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ 24 ಜನರಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪೈಕಿ 15 ಮಂದಿ ಓದುತ್ತಿದ್ದಾರೆ
ಇಂಗ್ಲಿಷ್, 12 - ಜರ್ಮನ್, 7 - ಎರಡೂ ಭಾಷೆಗಳು.
ಎಷ್ಟು ಜನರು ಯಾವುದೇ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಕಲಿಯುವುದಿಲ್ಲ?
ಪರಿಹಾರ. ಸಂಕಲನ 2 ರ ತತ್ವದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಕಲಿಯುವ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ
ಜರ್ಮನ್ 15+12-7=20. ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ
ವರ್ಗ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.
24-20=4. 4 ಜನರು ಯಾವುದೇ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಕಲಿಯುವುದಿಲ್ಲ.
15
7
12
10

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ

ಎನ್!
"n ಅಪವರ್ತನೀಯ" ಅನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
ಎನ್! 1 2 3 ... ಎನ್.
3! 1 2 3 6,
5! 1 2 3 4 5 120.
ಅವರು 0!=1 ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ
11

ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1
n ಅಂಶದ ಸೆಟ್‌ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಇದರ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್
ಉದ್ದದ ಸೆಟ್‌ಗಳು n.
ಎ ಎ; ಬಿ; ಜೊತೆಗೆ;
ಉದಾಹರಣೆ:
ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು: a; ಬಿ; ಸಿ ; ಬಿ; a; ಸಿ ; a; ಸಿ; ಬಿ ; ಬಿ; ಸಿ; a ; ಸಿ; a; ಬಿ ; ಸಿ; ಬಿ; ಎ
ಎನ್-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು Pn ಮತ್ತು ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:
ಪಿಎನ್ ಎನ್!
ಕಾರ್ಯ: ತಂಡದಲ್ಲಿ 6 ಜನರಿದ್ದಾರೆ. ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು
ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದೇ?
P6 6! 720
12

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2
n - ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರಲ್ಲಿ
ಪ್ರಕಾರ (i 1, k) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ
Pn (n1, n2,..., nk)
i-th ನ ni ಅಂಶಗಳು
(n1 n2 ... nk)!
n1!n2 !.... nk !
ಸಮಸ್ಯೆ: ಒಂದು ಪದದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಪದಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು?
"ಪರೀಕ್ಷೆ", ಮತ್ತು "ಗಣಿತ" ಪದದಲ್ಲಿ?
ಪರಿಹಾರ:
7! 5040
10!
151200
2! 3! 2! 1! 1! 1!
13

ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ನಿಯೋಜನೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3
ಎನ್-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ k- ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್
ಇದು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಉದ್ದದ k ನ ಆದೇಶದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ
ಈ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು.
ಎ ಎ; ಬಿ; ಸಿ - 2 ನಿಯೋಜನೆಗಳು: a; ಬಿ ; a; ಸಿ ; ಬಿ; ಸಿ ; ಬಿ; a ; ಸಿ; a ; ಸಿ; ಬಿ
n ಅಂಶದ ಸೆಟ್‌ನ k-ಅರೇಂಜ್‌ಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಅಂಕ
ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ:
ಎನ್!
ಎ
nk!
ಕೆ
ಎನ್
ಕಾರ್ಯ: ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ 12 ತಂಡಗಳು ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಎಷ್ಟು
ಅವರು ಬಹುಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು?
A123
12!
12 11 10 1320
9!
14

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4
k - n-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್‌ನ ಉದ್ದದ ಕೆ ಅಂಶಗಳ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್.
ಎ ಎ; ಬಿ; ಜೊತೆಗೆ
ಉದಾಹರಣೆ
2- ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು:
a; ಬಿ ; ಬಿ; a ; a; ಸಿ ; ಸಿ; a ; ಬಿ; ಸಿ ; ಸಿ; ಬಿ ; a; a ; ಬಿ; ಬಿ ; ಸಿ; ಸಿ
ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆ - ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಅಂಕ್ ಎನ್ ಕೆ
ಸಮಸ್ಯೆ: ಎಷ್ಟು ಕಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ?
ಎ103 ಎ123 123 103
15

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರ

16

ಕಾರ್ಯಗಳು

1) ನೀವು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು
8 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಪೂರ್ಣ ಹೆಸರು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ?
ಪರಿಹಾರ
P8 8! 40320
17

ಕಾರ್ಯಗಳು

2) ನೀವು 8 ರ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು
ಅವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆಯೇ?
ಪರಿಹಾರ
ನೀವು ಈ ಇಬ್ಬರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಒಬ್ಬರಂತೆ ಎಣಿಸಬಹುದು
ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಈಗಾಗಲೇ 7 ಆಗಿದೆ
ವಸ್ತುಗಳು, ಅಂದರೆ.
P7 7! 5040
ಈ ಎರಡನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ
ಸ್ನೇಹಿತನೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ!
P7 2! 7! 2! 5040 2 10080
18

ಕಾರ್ಯಗಳು

3) 11 ಕ್ರೀಡಾಪಟುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು?
ಕ್ರಮವಾಗಿ 4, 5 ಮತ್ತು 2 ಜನರ 3 ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ?
ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ: ಸಂಖ್ಯೆ 1 ನೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು,
ಸಂಖ್ಯೆ 2 ನೊಂದಿಗೆ ಐದು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು.
ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಕ್ರೀಡಾಪಟುಗಳು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಿತರಣಾ ವಿಧಾನ ತಿನ್ನುವೆ
ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಕ್ರೀಡಾಪಟುಗಳ ವಿಭಜನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 11 ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ
ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ
ಸಂಖ್ಯೆ 1, ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಐದು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು
ಸಂಖ್ಯೆ 3.
P(4,5,2)
11!
6 7 8 9 10 11
6930
4!5!2! 1 2 3 4 1 2
19

ಕಾರ್ಯಗಳು

4) ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು
ಮಂಡಳಿಗೆ ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಕರೆ ಮಾಡಿ 4
7 ರಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು?
ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯವು ಕೆಳಗೆ ಬರುತ್ತದೆ
7 ರಲ್ಲಿ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ
ಅಂಶಗಳು 4 ಪ್ರತಿ
7!
7!
ಎ
4 5 6 7 840
(7 4)! 3!
4
7
20

ಕಾರ್ಯಗಳು

5) ಎಷ್ಟು ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ
ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆಯೇ?
ಪರಿಹಾರ. ಸಾವಿರಾರು ಸ್ಥಳಗಳ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಇರುವಂತಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ.
9 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ.
ಉಳಿದ ಮೂರು ಅಂಕೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಾರದು,
ಸಾವಿರಾರು ಸ್ಥಳಗಳ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದೆ (ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ
ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು), ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
9 ರಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
3
A93 9 8 7 504
ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ
9 A93 4536
21

ಕಾರ್ಯಗಳು

6) ಎಷ್ಟು ಬೈನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ, ಉದ್ದ
ಯಾವುದು 10 ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ?
ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ
ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು
ತಲಾ 10
10
2
ಎ 2 1024
10
22

ಕಾರ್ಯಗಳು

7) 9 ಅಂತಸ್ತಿನ ಕಟ್ಟಡದ ಎಲಿವೇಟರ್ ಅನ್ನು 7 ಜನರು ಪ್ರವೇಶಿಸಿದರು. ಎಷ್ಟು
ಮನೆಯ ಮಹಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿತರಿಸಬಹುದು?
ಪರಿಹಾರ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೆಲ ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾರಿಗೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ
ಹೊರಗೆ ಹೋಗು. 7 ಜನರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ 8 ರಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು
ಮಹಡಿಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
8
8
...
8 87 2097152
7
ನೀವು ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು
8 (ಮಹಡಿಗಳು) 7 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು (ಪ್ರತಿ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ
ಒಂದು ಮಹಡಿ)
7
8
ಎ 87
23

ಕಾರ್ಯಗಳು

8) 10000 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು
2,7,0 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದೇ?
ಪರಿಹಾರ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ 0 ಇರುವುದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ
ನಮೂದು 0227 ಸಂಖ್ಯೆ 227, ನಮೂದು 0072 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
ಸಂಖ್ಯೆ 72 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಮೂದು 0007 ಆಗಿದೆ
ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆ
ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು
ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು
4
3
ಎ 34 81 241 ಕೆಬಿ22.05.2011 18:33 553 ಕೆಬಿ22.05.2011 18:33

ಉಪನ್ಯಾಸ 7-8 - combinatorics.doc

ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು 7-8. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್

ಕಥೆ

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ (ಸಂಯೋಜಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ) - ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಭಾಗ, ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸೀಮಿತ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ (ಇದು ಯಾವ ಸ್ವಭಾವದ ವಿಷಯವಲ್ಲ; ಇವು ಅಕ್ಷರಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುಗಳು ಆಗಿರಬಹುದು. , ಇತ್ಯಾದಿ).

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ - ಬೀಜಗಣಿತ, ರೇಖಾಗಣಿತ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ.

ಒಗಟುಗಳು ಮತ್ತು ಅವಕಾಶದ ಆಟಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ (ಗೋ, ಡೈಸ್, ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್‌ಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ), ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಗಣಿತದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

"ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರು ಗಣಿತದ ಬಳಕೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರು 1666 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ "ಡಿಸ್ಕೋರ್ಸ್ ಆನ್ ದಿ ಆರ್ಟ್ ಆಫ್ ಕಾಂಬಿನೇಶನ್" ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ತನ್ನ ಜೀವನದುದ್ದಕ್ಕೂ, ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಕಲೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಮರಳಿದರು. ಅವರು ಸಂಯೋಜಕಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಹಳ ವಿಶಾಲವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸೃಜನಶೀಲ ಕ್ರಿಯೆ, ಇದು ಮೊದಲ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಇಡೀ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು) ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆ (ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವುದು) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಲೈಬ್ನಿಜ್‌ನ ಕನಸು, ಅಯ್ಯೋ, ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿ ಉಳಿಯಿತು. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗೆ ಅದ್ಭುತ ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿದರು.

18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತಿರುಗಿದರು. ಹೀಗಾಗಿ, ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿಭಜಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಹೊಂದಾಣಿಕೆ, ಆವರ್ತಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ.

1713 ರಲ್ಲಿ, ಜೆ. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧ "ದಿ ಆರ್ಟ್ ಆಫ್ ಕನ್ಜೆಕ್ಚರ್" ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು, ಅದರಲ್ಲಿ ಆ ಹೊತ್ತಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು. "ದಿ ಆರ್ಟ್ ಆಫ್ ಸ್ಪೆಕ್ಯುಲೇಶನ್" ಲೇಖಕರ ಮರಣದ ನಂತರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ಲೇಖಕರಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ. ಪ್ರಬಂಧವು 4 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು, ಎರಡನೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

• 
  ರಿಂದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎನ್ ಅಂಶಗಳು,
• 
  ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಜೆ. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ)
• 
  ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಲೇಖಕರು ಹಲವಾರು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ದೃಶ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. J. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಅದರ ವ್ಯವಸ್ಥಿತತೆ, ವಿಧಾನಗಳ ಸರಳತೆ, ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಕಠಿಣತೆಯಲ್ಲಿ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ಸಮಕಾಲೀನರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮೀರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಇದು ಗಂಭೀರ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಗ್ರಂಥವಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖ ಪ್ರಕಟಣೆಯಾಗಿಯೂ ಖ್ಯಾತಿಯನ್ನು ಗಳಿಸಿತು. . ಜೆ. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, ನಿಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುಗಳು ಸೇರಿವೆ ಮೂಲ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂರಚನೆಗಳು .

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಕ್ರಾಂತಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಜೀವನದ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಪರಿಚಯ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಜವಾದ ಹೂಬಿಡುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಇದರ ವಿಧಾನಗಳು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಕೆಲಸಗಾರರ ಆಸ್ತಿಯಾಗುವುದು - ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್‌ಗಳು, ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಇತರರು, ಯಶಸ್ವಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವುದು, ಜೊತೆಗೆ ಹಲವಾರು ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಸುಧಾರಣೆ ಸಾಧನಗಳು. ಮತ್ತು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೂಲಾಧಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಸಹ ನಿಜವಾದ ಏರಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸಿತು.
^

ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

1. ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು 10 ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು 5 ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದರೆ ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 4 ಅಂಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕೆಲವು ಆಲೋಚನೆಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಐದು-ಬಿಂದುಗಳ ನಕ್ಷತ್ರದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಭ್ಯಾಸದಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಪರಿಹಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕೆಟ್ಟದೆಂದರೆ, ಚೆಸ್ ಆಟಗಾರನು ಉಳಿತಾಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಅಥವಾ ಸೈಫರ್ ತಜ್ಞರು ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ ಕೋಡ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ, ಅವರ ಶ್ರಮವು ಬೆಕ್ಕಿನ ಕುರುಹು ಇಲ್ಲದ ಕತ್ತಲೆಯ ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಪ್ಪು ಬೆಕ್ಕನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ಮೊದಲೇ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.

^ 2. ನೀಡಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂರಚನೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಒಂದಲ್ಲ, 5 ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ 10 ಅಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗವು 4 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಐದು-ಬಿಂದುಗಳ ನಕ್ಷತ್ರದ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಐದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

3. ನೀಡಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟು ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಈ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೀಡಿ.

5. ಈ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ, ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.

ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು "ಟ್ರಾವೆಲಿಂಗ್ ಸೇಲ್ಸ್‌ಮ್ಯಾನ್ ಸಮಸ್ಯೆ", ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ η ನಗರಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ವ್ಯಾಪಾರಿಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ಅವನು ಪ್ರತಿ ನಗರಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಸಮಯದ. ಅನೇಕ ತಜ್ಞರ ಪ್ರಯತ್ನಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಇನ್ನೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿದಾಯಕ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.
^

ರಚನೆ ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಅಂತಹ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿಸಂಯೋಜಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ದೊಡ್ಡ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು (ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ):

ಸಂರಚನೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಯೋಜಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸಂರಚನಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಆಯ್ಕೆಮತ್ತು ಸ್ಥಳಕೆಲವು ಅಂಶಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್‌ಗಳು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, ನಿಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂರಚನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಲು, ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮಗಳು.

^ ಮೊತ್ತ ನಿಯಮ:ಅಂಶ ಇದ್ದರೆ ಎ ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮೀ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶ ಬಿ ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಕೆ ವಿಧಾನಗಳು, ನಂತರ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು ಎ ಅಥವಾ ಬಿ ಮಾಡಬಹುದು m+k ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಮೊತ್ತದ ನಿಯಮವನ್ನು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ | ಎ | ಸೆಟ್ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ , ಮೂಲಕ ಎ ಬಿ - ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ , ಮೂಲಕ ಎ x ಬಿ - ಸೆಟ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ . ನಂತರ ಡಿಜಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: | ಎ ಬಿ | = | ಎ | + | ಬಿ | .

ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ಬುಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ 5 ಸೇಬುಗಳು ಮತ್ತು 7 ಪೇರಳೆಗಳಿವೆ. ಬುಟ್ಟಿಯಿಂದ 1 ಹಣ್ಣನ್ನು (1 ಸೇಬು ಅಥವಾ 1 ಪೇರಳೆ) ನೀವು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು? 5+7=12
ಸೆಟ್‌ಗಳು ಛೇದಿಸದಿದ್ದಾಗ ಇದೇ ನಿಯಮವು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಬಳಸಿ ಸೇರ್ಪಡೆ-ಹೊರಹಾಕುವಿಕೆಯ ತತ್ವಗಳು. ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

↑ |AB| = |ಎ| + |ಬಿ| - |AB|

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಛೇದನದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರದ ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿದ್ದಾರೆ, ಅವರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಿಶೇಷತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಪ್ರಪಂಚ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಯುಗದ ಇತಿಹಾಸ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 7 ಜನರು ಪರಿಣತಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ರಷ್ಯಾದ ಇತಿಹಾಸ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 5 ಜನರು ಇದ್ದಾರೆ. 4 ಜನರು ಎರಡು ವಿಶೇಷತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇದ್ದಾರೆ?

|ಎ|=7; |ಬಿ|=5; |AB|=4; ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೆಟ್‌ನ ಸೀಮಿತ ಶಕ್ತಿ |AB|=7+5-4=8.
ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

^ |ABС| = |ಎ| + |ಬಿ| + |ಸಿ| - |AB| - |AС| - |ВС| + |ABС|

ಉದಾಹರಣೆ: ಹಲವಾರು ಜನರು ಸಂಶೋಧನಾ ಸಂಸ್ಥೆಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಿದೇಶಿ ಭಾಷೆ ತಿಳಿದಿದೆ: 12 ಜನರಿಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ತಿಳಿದಿದೆ, 10 - ಫ್ರೆಂಚ್, 8 - ಜರ್ಮನ್, 6 ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಂಚ್ ತಿಳಿದಿದೆ, 4 - ಜರ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಇಂಗ್ಲಿಷ್, 2 - ಫ್ರೆಂಚ್ ಮತ್ತು ಜರ್ಮನ್, 1 ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಭಾಷೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಲಾಖೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಜನರು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ? ಅವರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಜನರಿಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ? ಫ್ರೆಂಚ್ ಮಾತ್ರವೇ? ಜರ್ಮನ್ ಮಾತ್ರವೇ? ಎಷ್ಟು ಜನರಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ 1 ಭಾಷೆ ತಿಳಿದಿದೆ?

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:

ಎ - ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮಾತನಾಡುವ ಅನೇಕ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳು;

ಬಿ - ಫ್ರೆಂಚ್ ತಿಳಿದಿರುವ ಅನೇಕ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳು;

ಸಿ - ಜರ್ಮನ್ ತಿಳಿದಿರುವ ಅನೇಕ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳು.

^ |ಎ|=12; |ಬಿ|=10; |ಸಿ|=8; |AB|=6; |AS|=4; |ВS|=2; |ABС|=1

ನಂತರ ಸೆಟ್‌ನ ಪರಿಮಿತ ಶಕ್ತಿ |ABС| = 12+10+8-6-4-2+1=19.
ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ 25 ಹುಡುಗರು ಸೇರಿದಂತೆ 50 ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿದ್ದಾರೆ. 16 ಹುಡುಗರು ಸೇರಿದಂತೆ 30 ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಓದುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. 28 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕ್ರೀಡೆಗಳಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ 18 ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು 17 ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು. 15 ಹುಡುಗರು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ಸಾಧನೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕ್ರೀಡೆಗಳನ್ನು ಆಡುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಮೀಪುರುಷ ಲಿಂಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವರು, ಮೂಲಕ ನಲ್ಲಿ- ಉತ್ತಮ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಧನೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಜೊತೆಗೆ- ಕ್ರೀಡೆಗಾಗಿ ಉತ್ಸಾಹ. ಎಷ್ಟು ಹುಡುಗಿಯರು ಕ್ರೀಡೆಗೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ C ಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ D ಗಳು ಕೂಡ) ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಎಣಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. |ನೀಡಲಿಲ್ಲಮಾಡಲಿಲ್ಲ|.

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ

^ |U|=50; |ಎಂ|=25; |U|=30; |ಸಿ|=28; |MU|=16; |MS|=18; |SУ|=17; |MUS|=15
ಸಮಸ್ಯೆಯ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅಜ್ಞಾತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೇರ್ಪಡೆ-ಹೊರಗಿಡುವ ಸೂತ್ರದ ಮಾರ್ಪಾಡು:

|notAnotBnotC| = | ಯು|-|A|-|B|-|С|+|AB|+|AС|+|ВС|-|ABС|

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉತ್ತರ:

ಸೆಟ್‌ನ ಸೀಮಿತ ಶಕ್ತಿ |neMneUneS| = 50-25-30-28+16+18+17-15=3

^ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ: ಅಂಶ ಇದ್ದರೆ ಎ ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮೀ ವಿಧಾನಗಳು, ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶದ ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯ ನಂತರ ಎ ಅಂಶ ಬಿ ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಕೆ ವಿಧಾನಗಳು, ನಂತರ, ಕ್ರಮಪಡಿಸಿದ ಜೋಡಿ ಅಂಶ ( ಎ , ಬಿ ) ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು m*k ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

|ಎ X ಬಿ| = | ಎ | | ಬಿ | .

ಉದಾಹರಣೆ: ಅಂಗಡಿಯು ಗುಲಾಬಿಗಳು, ಲಿಲ್ಲಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ನೇಷನ್ಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡುತ್ತದೆ: ಕೆಂಪು, ಬಿಳಿ, ಗುಲಾಬಿ, ಚಹಾ. ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಆಯ್ಕೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ( x 1 ,x 2 ,…,x ಎನ್ ) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೀಮಿತ ಉದ್ದದ ಎನ್ .

ಉದಾಹರಣೆ: ಯಾವುದೇ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸದಿದ್ದರೆ 0,1,2,3,4,5 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?

ಹಂತ 1 - ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ - 5 ಮಾರ್ಗಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ... 0 ಮೊದಲು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ;

ಹಂತ 2 - ಎರಡನೇ ಅಂಕಿಯ ಆಯ್ಕೆ - 5 ಮಾರ್ಗಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ... ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿದ್ದೇವೆ;

ಹಂತ 3 - ಮೂರನೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ - 4 ಮಾರ್ಗಗಳು;

ಹಂತ 4 - ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ - 3 ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, 5 * 5 * 4 * 3 = 300 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು 0,1,2,3,4,5 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸದಿದ್ದರೆ .
ಪರೀಕ್ಷೆ:

ಬ್ರಿಟಿಷರು ಮಗುವಿಗೆ ಹಲವಾರು ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಇಡುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಒಟ್ಟು ಹೆಸರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 300 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವನಿಗೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಗುವಿಗೆ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಸರಿಸಬಹುದು? ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಆಂಗ್ಲರಿಗೆ (57 ಮಿಲಿಯನ್ ಜನರು) ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಇಂಗ್ಲಿಷ್‌ನವರು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಇರುತ್ತಾರೆಯೇ?

ಒಂದು ಮಗು 1, 2 ಅಥವಾ 3 ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಟ್ಟು ಆಯ್ಕೆಗಳು: 300 + 300*299 + 300*299*298 = 26,820,600

^

ನಿಯೋಜನೆಗಳು, ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬದಲು, ಇದನ್ನು ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳು. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಇತರರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ - ನಿಯೋಜನೆ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ. ಅಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
^

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು

ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ವಿಧದ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹಲವಾರು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ "ರಹಸ್ಯ ಕೋಟೆ"" ಸೇಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಲಗೇಜ್ ಶೇಖರಣಾ ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಲಾಕ್ ಮಾಡಲು, ರಹಸ್ಯ ಬೀಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ "ರಹಸ್ಯ ಪದ" ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರಹಸ್ಯ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷರಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲಾದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪದವನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿ ಡಿಸ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಅಕ್ಷರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 12 ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಆಗಿರಲಿ. ರಹಸ್ಯ ಪದವನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಎಷ್ಟು ವಿಫಲ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?
ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು ​​ಖಾಲಿ ಜಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇರುತ್ತದೆ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ವಿಧದ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಹನ್ನೆರಡು ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹಲವಾರು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು.

ಅಂತಹ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ಡಿಸ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅಕ್ಷರವನ್ನು 12 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು 5 ಡಿಸ್ಕ್‌ಗಳಿವೆ, ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದಿಂದ ನಾವು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು A 5 12 = 12*12*12*12*12 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. *12 ಅಥವಾ 12 5 = 248,832 ಅಂದರೆ 248,831 ವಿಫಲ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯತ್ನಕ್ಕೆ 6 ಸೆಕೆಂಡ್‌ಗಳಾಗಬಹುದು, ಸುರಕ್ಷಿತವನ್ನು ತೆರೆಯಲು 400 ಗಂಟೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೇಫ್‌ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ವಿಫಲ ಪ್ರಯತ್ನದ ನಂತರ ಅಲಾರಂ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಪರೀಕ್ಷೆ:

1. ಬೈನರಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮಾಹಿತಿಯ ಘಟಕವು ಬೈಟ್ ಆಗಿದೆ - 8 ಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ “ಪದ” (ಪ್ರತಿ ಬಿಟ್ 0 ಅಥವಾ 1 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬೈನರಿ ಅಂಕೆ). ಫಾಂಟ್ ಕೋಡ್ ಟೇಬಲ್ ನಿಖರವಾಗಿ 256 ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ?

8 ರಿಂದ y ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಭರ್ತಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಂದರೆ k), ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ತುಂಬುವ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು (ಅಂದರೆ n) ಕೇವಲ 2. ಆದ್ದರಿಂದ, A 8 2 = 2 8 = 256
2. ಮೋರ್ಸ್ ಕೋಡ್ "" ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "-". ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇ - "."), ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಐದು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇ - "..-.."). ಒಂದು, ಎರಡು, ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು, ಐದು ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅಕ್ಷರಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ? ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಐದು ಅಕ್ಷರಗಳು ಏಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದವಾಯಿತು?

ಎ 1 2 = 2 1 = 2

ಎ 2 2 = 2 2 = 4

ಎ 3 2 = 2 3 = 8

ಎ 4 2 = 2 4 = 16

ಎ 5 2 = 2 5 = 32

ಸೇರ್ಪಡೆ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, 2+4+8+16+32=62 ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಅಕ್ಷರಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

^

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದ ನಿಯೋಜನೆಗಳು

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕೆಲವು ಆದೇಶಿಸಿದ ಖಾಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಇರುತ್ತದೆ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಲವಾರು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ, ಅದನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಅಂಶಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗಿನ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾಕರ್ ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಶಿಪ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಶಿಪ್‌ನಲ್ಲಿ 16 ತಂಡಗಳು ಭಾಗವಹಿಸಿದ್ದವು. ಚಾಂಪಿಯನ್ಷಿಪ್ನ ಆರಂಭದ ಮೊದಲು, ತಜ್ಞರ ಸ್ಪರ್ಧೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಲಾಯಿತು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪದಕಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನೀವು ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು?

ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 16 ತಂಡಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಚಿನ್ನದ ಪದಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ 16 ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದ ಕೆಲವು ತಂಡಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಚಿನ್ನದ ಪದಕಗಳನ್ನು ಗೆದ್ದಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಬೆಳ್ಳಿ ಪದಕಕ್ಕಾಗಿ ಕೇವಲ 15 ಸ್ಪರ್ಧಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಇದ್ದಾರೆ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ಒಂದೇ ತಂಡವು ಚಿನ್ನ ಮತ್ತು ಬೆಳ್ಳಿ ಪದಕಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಗೆ ಚಿನ್ನದ ಪದಕ ನೀಡಿದ ನಂತರ ಬೆಳ್ಳಿ ಪದಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇನ್ನೂ 15 ಅವಕಾಶಗಳಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಈಗಾಗಲೇ ಚಿನ್ನ ಮತ್ತು ಬೆಳ್ಳಿ ಪದಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದ 14 ತಂಡಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ತಂಡವು ಮೂರನೇ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಕಂಚಿನ ಪದಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪದಕಗಳನ್ನು 16*15*14 = 3,360 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ nN ಅನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 1 ರಿಂದ n ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎನ್!("ಎನ್-ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್" ಎಂದು ಓದಿ). 1!=1; 2!=1*2=2; 3!=1*2*3=6; 4!=1*2*3*4=24; 0!=1 ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

k ನಿಂದ n ಅಂಶಗಳ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಸಬಹುದು:

ಮತ್ತು 3 16 = 16! / (16-3)! = 16! / 13! =

1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16

/ 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13 = ಕಡಿತದ ನಂತರ =

14*15*16 = 3360.

ಪರೀಕ್ಷೆ:

1. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮಾಜವು 25 ಜನರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಮಾಜದ ಅಧ್ಯಕ್ಷರು, ಉಪಾಧ್ಯಕ್ಷರು, ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕಾರ್ಯದರ್ಶಿ ಮತ್ತು ಖಜಾಂಚಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಮಾಜದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರು ಒಂದೇ ಕಚೇರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದಾದರೆ ಈ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು!

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು 4 ರ 25 ಅಂಶಗಳ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತರವನ್ನು A 4 25 = 25 ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ! / (25-4)! = 25! / 21! = 22*23*24*25.
2. ಜಿಮ್ನಾಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ 10 ಜನರು ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ಅವರ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ನಾಲ್ಕು ನ್ಯಾಯಾಧೀಶರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅವರನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬೇಕು. ವಿಜೇತರು ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ತೀರ್ಪುಗಾರರಿಂದ ಮೊದಲು ಹೆಸರಿಸಲ್ಪಟ್ಟವರು. ಯಾವ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ವಿಜೇತರನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ನಾಲ್ಕು ನ್ಯಾಯಾಧೀಶರು ವಿಜೇತರನ್ನು 10 4 =10000 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಅವರು A 4 10 = 5040 ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 4960 ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ನ್ಯಾಯಾಧೀಶರು ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ.

^

ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು k-ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (n=k) ಸಮಾನವಾದ n-ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. n ನಿಂದ n ಅಂಶಗಳ ಇಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ n ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು. ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಲ್ಲದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

n ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು Ρ n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರದಿಂದ P n ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

P n = A n n = n! / (ಎನ್-ಎನ್)! = ಎನ್! /0! = ಎನ್! / 1 = ಎನ್!

Pn=n!

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ "ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಟೀಪಾಟ್!"

ಅನನುಭವಿ ಚಾಲಕನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸರಿಯಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ ಎಷ್ಟು ತುರ್ತು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾನೆ?

1. 
   ಡ್ರೈವರ್ ಸೀಟಿನಲ್ಲಿ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳಿ.
2. 
   ನಿಮ್ಮ ಸೀಟ್ ಬೆಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಕಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳಿ.
3. 
   ಎಂಜಿನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.
4. 
   ಯಾವುದೇ ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
5. 
   ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಚಲನೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.
6. 
   ನಿಮ್ಮ ವಾಹನವು ಅಡಚಣೆಯಾಗಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹನಗಳಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡಿ.
7. 
   ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಲೇನ್‌ಗೆ ಚಾಲನೆ ಮಾಡಿ.

ಎಲ್ಲಾ n-ಅಂಶಗಳು ಮುಖ್ಯವಾದವು ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ "ಎಸೆಯಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆ. n=k. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂಚನೆಯು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು = 7! = 5040. ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತುರ್ತು ಸಂದರ್ಭಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 5039 ಆಗಿದೆ.
ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (a,b,c) = 3! = 1*2*3 = 6. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, (a,b,c);(b,c,a);(c,a,b);(a,c,b);(c,b,a) ;(ಬಿ,ಎ, ಸಿ)
ಪರೀಕ್ಷೆ:

1. ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ 5 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 5 ಮಹಿಳೆಯರನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಆಸನದ ಎದುರು ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಆ ಆಸನದಲ್ಲಿ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಫಲಕವನ್ನು ಇಡಬೇಕು, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಲಿಂಗದ ಇಬ್ಬರು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳಬಾರದು. ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು?

ಸ್ಥಳಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು "ಪುರುಷ" ಮತ್ತು "ಹೆಣ್ಣು" ಎಂದು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು: P 2 =2!=2. ನೀವು 5 ಪುರುಷರು ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು! ಮಹಿಳೆಯರು 5 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ! ಮಾರ್ಗಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು 2*5!*5 ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ! ಮಾರ್ಗಗಳು = 2*5! 2 ಮಾರ್ಗಗಳು = 28800 ಮಾರ್ಗಗಳು.
2. ಪ್ರತಿ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಬಳಸಬೇಕಾದರೆ 3694 ರ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಬೆಸ ಮತ್ತು ಎಷ್ಟು ಸಮ ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?

ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನವು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅಥವಾ 9 ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು P 3 = 3 ಎಂದು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು! ಮಾರ್ಗಗಳು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ನಾವು 12 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 12 ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

^

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತವೆ. P(n.) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ 1, ಎನ್ 2, .., ಎನ್ i ) . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ n=n 1 +n 2 +n i .

ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಡಿಮೆ ಮರುಜೋಡಣೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4 ಪುನರಾವರ್ತಿತವಲ್ಲದ ಅಕ್ಷರಗಳ ಪದದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 4! = 24. "ತಾಯಿ" ಎಂಬ ಪದದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ. "m" ಅಕ್ಷರದ 2 ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು "a" ಅಕ್ಷರದ 2 ಅಂಶಗಳು. ಕೇವಲ 6 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ: "ಮಾಮಾ", "ಅಮಾಮ್", "ಮಾಮ್", "ಅಮ್ಮ", "ಆಮ್", "ಮ್ಮಾ".
ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅದೇ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಕಡಿತವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

"ಗಣಿತ" ಪದದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳು "m", ಮೂರು ಅಕ್ಷರಗಳು "a", ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳು "t", ಪ್ರತಿ "e", "i", "k", ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು 10 ಅಕ್ಷರಗಳು. ಇದರರ್ಥ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಪಿ (2,3,2,1,1,1) = 10! / 2!*3!*2!*1!*1!*1! = 3628800/2*6*2*1*1*1 = 3628800/24 ​​= 151200
ಪರೀಕ್ಷೆ:

1. ಅಮ್ಮನಿಗೆ 2 ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸೇಬುಗಳು, 3 ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಟ್ಯಾಂಗರಿನ್ಗಳು ಮತ್ತು 4 ಒಂದೇ ಕಿತ್ತಳೆಗಳಿವೆ. 9 ದಿನ ಸತತವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ದಿನ ಮಗನಿಗೆ ಒಂದೊಂದು ಹಣ್ಣನ್ನು ಕೊಡುತ್ತಾಳೆ. ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು?

P(2, 3, 4) = 1260.

2. ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ "ಪದಗಳನ್ನು" ಪಡೆಯಬಹುದು: a) "ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ"; ಸಿ) "ಪದಾರ್ಥ"?

A) P(3, 1, 1, 1, 1, 1) = 8! / 3!*1!*1!*1!*1!*1! = 40320/6 = 6720;

ಬಿ) ಪಿ(2, 2, 2, 1, 1, 1, 1) = 10! / 2!*2!* 2!*1!*1!*1!*1! = 3628800/8 = 453600

3. ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (ಚದುರಂಗದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸದೆ) ಬಿಳಿ ಕಾಯಿಗಳನ್ನು (ರಾಜ, ರಾಣಿ, ಎರಡು ರೂಕ್ಸ್, ಇಬ್ಬರು ಬಿಷಪ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಇಬ್ಬರು ನೈಟ್ಸ್) ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು?

P(2, 2, 2, 1, 1) = 5040

4. ಬಿಳಿ ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎರಡು ನೈಟ್ಸ್, ಎರಡು ಬಿಷಪ್ಗಳು, ಎರಡು ರೂಕ್ಸ್, ರಾಣಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಣ್ಣದ ರಾಜ). ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು? ಒಂದೇ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಬೋರ್ಡ್‌ನಾದ್ಯಂತ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು? ಎಲ್ಲಾ ಪ್ಯಾದೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಇರಿಸಿದರೆ ಏನು (ಪ್ರತಿ ಬಣ್ಣದ 8 ಪ್ಯಾದೆಗಳು)?

P(2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1). ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೋರ್ಡ್‌ಗೆ 48 ಖಾಲಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರವು P (48, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1) ಆಗಿದೆ. ಪ್ಯಾದೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತರವು P (32, 8, 8, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1) ಆಗಿದೆ.

^

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಿದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. k ಮೂಲಕ n ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಲಭ್ಯವಿರುವ ವಿಭಿನ್ನ n ಅಂಶಗಳಿಂದ k ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ - ಅವುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ನೀಡಿರುವ n-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ತಿಳಿದಿರುವ k-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

k ನ n ಅಂಶಗಳಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು C k n ಅಥವಾ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ .

ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ನೋ-ರಿಪಿಟಿಶನ್ ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ "ಸಾಕರ್ ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಶಿಪ್" ನಲ್ಲಿ, ಯಾರು ನಿಖರವಾಗಿ 1, 2 ಮತ್ತು 3 ನೇ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ನಾವು ವಿಜೇತರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಚಿನ್ನ, ಬೆಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಕಂಚುಗಳನ್ನು ಯಾರು ನಿಖರವಾಗಿ ಪಡೆದರು ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 16-ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ 3-ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು), ಆಗ ಇರುತ್ತದೆ ವಿತರಣಾ ಆಯ್ಕೆಗಳ 6 ಪಟ್ಟು, ಅಂದರೆ. 3 ಕ್ಕೆ! ಬಾರಿ ಕಡಿಮೆ. 3360/3! = 3360/6 = 560

1-ಸ್ಪಾರ್ಟಕ್ 3-ಟಾರ್ಪಿಡೊ

1-ಸ್ಪಾರ್ಟಕ್ 2-ಟಾರ್ಪಿಡೊ

1-ಡೈನಮೋ 2-ಸ್ಪಾರ್ಟಕ್ 3-ಟಾರ್ಪಿಡೊ

1-ಡೈನಮೋ 2-ಟಾರ್ಪಿಡೊ 3-ಸ್ಪಾರ್ಟಕ್

1-ಟಾರ್ಪಿಡೊ 2-ಸ್ಪಾರ್ಟಕ್

1-ಟಾರ್ಪಿಡೊ 2-ಡೈನಮೋ 3-ಸ್ಪಾರ್ಟಕ್

ಅಥವಾ

* ಇಂತಹ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ "ವಿದಾಯ, ಮೇಜರ್ ಲೀಗ್!"

ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಶಿಪ್‌ನಲ್ಲಿ 16 ತಂಡಗಳು ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಶಿಪ್‌ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆದ ತಂಡಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಲೀಗ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುತ್ತವೆ. ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಶಿಪ್‌ನ ವಿಭಿನ್ನ "ದುಃಖದ" ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ತಂಡಗಳಿಗೆ, ಅದು ಅಂತಿಮ ಅಥವಾ ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ - ಅದು ಇನ್ನೂ ಎರಡನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 16-ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ 2-ಅಂಶಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, C 2 16 = 16! / 14! * 2! = 120
ಪರೀಕ್ಷೆ:

ಎ) ಲಭ್ಯವಿರುವ ಐದು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ನೀವು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಬಿ) ಐದು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳ ವಸ್ತುವಿದ್ದರೆ ತ್ರಿವರ್ಣ ಧ್ವಜವನ್ನು (ಮೂರು ಅಡ್ಡ ಪಟ್ಟೆಗಳೊಂದಿಗೆ) ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಬಹುದು? ಪ್ರಶ್ನೆ) ಒಂದು ಬಣ್ಣವು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಡಿ) ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಆದರೆ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಪಟ್ಟೆಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರಬೇಕು)?

ಬಣ್ಣಗಳ ಕ್ರಮವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ C 3 5 = 5! / 2! * 3! = 10 ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣಗಳ ಕ್ರಮವು ಈಗಾಗಲೇ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು A 3 5 = 5 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ! / 2! = 60 ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು 3 * ಎ 2 4 = 3 * 4 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ! / 2! = 36 ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಆರಿಸಿದರೆ, ನಾವು 5 * 4 * 4 = 80 ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

^

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು n ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು. ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೀವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದಾಗ, ಅವುಗಳಿಂದ ಕೆ ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು! ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಐಟಂಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು.

ಅಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು k ನಲ್ಲಿ n ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು Č k n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಮಸ್ಯೆ "ಬೇಕರಿ-ಪೇಸ್ಟ್ರಿ ಶಾಪ್" ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಪೇಸ್ಟ್ರಿ ಅಂಗಡಿಯು 4 ವಿಧದ ಕೇಕ್ಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡಿತು: ಬುಟ್ಟಿಗಳು, ನೆಪೋಲಿಯನ್ಗಳು, ಶಾರ್ಟ್ಬ್ರೆಡ್ ಮತ್ತು ಎಕ್ಲೇರ್ಗಳು. ನೀವು 7 ಕೇಕ್ಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಖರೀದಿಸಬಹುದು?

Č 7 4 = (7+(4-1))! / 7!*(4-1)! = 10! / 7! * 3!= 7 10 ರಿಂದ
ಪರೀಕ್ಷೆ:

ಅಂಚೆ ಕಛೇರಿಯು 10 ವಿಧದ ಪೋಸ್ಟ್‌ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನೀವು 12 ಪೋಸ್ಟ್‌ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಖರೀದಿಸಬಹುದು? ನೀವು 8 ಪೋಸ್ಟ್‌ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಖರೀದಿಸಬಹುದು? ನೀವು 8 ವಿವಿಧ ಪೋಸ್ಟ್‌ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಖರೀದಿಸಬಹುದು?

ಕೈಪಿಡಿಯು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ವಿಶೇಷತೆಗಳ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.
ದೂರಸಂಪರ್ಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಇಲಾಖೆಯಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಚಯ. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವಯದ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು.
ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಶೇಷತೆಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಿಗಳ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಅಕ್ಷರಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಕಾರ್ಯ;
ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ: ಪರಮಾಣುಗಳು ಮತ್ತು ಅಣುಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಪರಿಗಣನೆ;
ಸಾರಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು;
ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮಾರಾಟದ ಯೋಜನೆಗಳು;
ಸೈಫರ್‌ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಬಹುದೆಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯ
ಉಪನ್ಯಾಸ 1. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪರಿಚಯ. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವಯದ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು. ಸೆಟ್ಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನ. ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಮೊತ್ತ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ತತ್ವ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದ ನಿಯೋಜನೆಗಳು, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು. ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್
ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಚಯ. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವಯದ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು
ಸೆಟ್ಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನ
ಮೊತ್ತ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ
ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ತತ್ವ
ನಿಯೋಜನೆಗಳು, ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು
ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್
ಉಪನ್ಯಾಸ 2. ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ಗುರುತುಗಳು. ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ. ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು. ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ಗುರುತುಗಳು
ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ
ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು
ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಉಪನ್ಯಾಸ 3. ಪಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ. ಪಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಪಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಿಭಜನಾ ಸೆಟ್‌ಗಳು. ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಪಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ
ಪಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ
ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಉಪನ್ಯಾಸ 4. ಬೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಮೊದಲ ವಿಧದ ಸಹಿ ಮಾಡದ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ
ಬೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ
ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಮೊದಲ ವಿಧದ ಸಹಿ ಮಾಡದ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ
ಉಪನ್ಯಾಸ 5. ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆಗಳ ಸೂತ್ರ. ಗಲಭೆ ಸಮಸ್ಯೆ
ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆಗಳ ಸೂತ್ರ
ಗಲಭೆ ಸಮಸ್ಯೆ
ಉಪನ್ಯಾಸ 6. ನಿಖರವಾಗಿ k ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಭೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಕೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
ನಿಖರವಾಗಿ k ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
ಸಭೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ
ಉಪನ್ಯಾಸ 7. ಬಹುಪದೀಯ ಪ್ರಮೇಯ. ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವಿಧಾನ. ತೂಕದ ಸಮಸ್ಯೆ
ಬಹುಪದೀಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳು. ಕಾರ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು
ತೂಕದ ಸಮಸ್ಯೆ
ಉಪನ್ಯಾಸ 8. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವಿಧಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಕೋಷ್ಟಕ
ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು
ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವಿಧಗಳು
ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಕೋಷ್ಟಕ
ಉಪನ್ಯಾಸ 9. ವಿಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣ. ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು
ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣ. ಬಳಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು
ಉಪನ್ಯಾಸ 10. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಉಪನ್ಯಾಸ 11. ಏಕರೂಪದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನ
ಏಕರೂಪದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನ
ಉಪನ್ಯಾಸ 12. ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅನುಕ್ರಮ. ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು
ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅನುಕ್ರಮ
ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು
ಉಪನ್ಯಾಸ 13. ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಕೆಟಲಾನ್ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಇರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಕೆಟಲಾನ್ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಇರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
ಉಪನ್ಯಾಸ 14. ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು. ಮರುಜೋಡಣೆಗಳು. ಸಂಯೋಜನೆಗಳು. ವಿಭಜನಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸೆಟ್ಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು
ಮರುಜೋಡಣೆಗಳು
ಸಂಯೋಜನೆಗಳು
ಸಂಖ್ಯೆ ವಿಭಾಗಗಳು
ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು
ಸಾಹಿತ್ಯ
"ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಸ್" ಶಿಸ್ತುಗಾಗಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣ
1. OOP ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಶಿಸ್ತಿನ ಸ್ಥಳ
2. ಶಿಸ್ತಿನ ಗುರಿಗಳು ಮತ್ತು ಉದ್ದೇಶಗಳು
3. ಶಿಸ್ತಿನ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯತೆಗಳು
4. ಶಿಸ್ತಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಕೆಲಸದ ಪ್ರಕಾರಗಳು
5. ಶಿಸ್ತಿನ ವಿಷಯಗಳು
5.2 ಪ್ರಯೋಗಾಲಯ ಕಾರ್ಯಾಗಾರ
5.3 ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತರಗತಿಗಳನ್ನು (ಸೆಮಿನಾರ್‌ಗಳು) ಒದಗಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ
6. ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಪಾಯಿಂಟ್-ರೇಟಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ರೇಟಿಂಗ್ ಸ್ಕೇಲ್
7. ಕೋರ್ಸ್ ಯೋಜನೆಗಳ ಅಂದಾಜು ವಿಷಯಗಳು (ಕೆಲಸಗಳು)
8. ಶಿಸ್ತಿನ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ, ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ಬೆಂಬಲ
I. ಶಿಕ್ಷಕರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿ (ಪುಟಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್)
II. ಸಾಹಿತ್ಯ
III. ಡೇಟಾಬೇಸ್‌ಗಳು, ಮಾಹಿತಿ, ಉಲ್ಲೇಖ ಮತ್ತು ಹುಡುಕಾಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು
9. ಶಿಸ್ತಿಗೆ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಬೆಂಬಲ
10. ಶಿಸ್ತಿನ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಲು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಶಿಫಾರಸುಗಳು.

ಅನುಕೂಲಕರ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಇ-ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಉಚಿತವಾಗಿ ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ವೀಕ್ಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಓದಿ:
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಭಾಗ I, ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್, ಜರಿಪೋವಾ ಇ.ಆರ್., ಕೊಕೊಟ್ಚಿಕೋವಾ ಎಂ.ಜಿ., 2012 - fileskachat.com, ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ.

ಪಿಡಿಎಫ್ ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ
ಕೆಳಗೆ ನೀವು ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ರಷ್ಯಾದಾದ್ಯಂತ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ರಿಯಾಯಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಬೆಲೆಗೆ ಖರೀದಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರತಿಲಿಪಿ

1 ಉಪನ್ಯಾಸ 1. ವಿಷಯ: "ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಂಶಗಳು" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಘಟನೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ವಿವಿಧ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವರು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತಾರೆ. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಮೊತ್ತ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ. ಮೊತ್ತ ನಿಯಮ. ಕೆಲವು ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ನಂತರ "ಒಂದೋ ಅಥವಾ" ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ. ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಯ ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು (ವಸ್ತುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ) ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ನಂತರ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ 1. ಎಷ್ಟು ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ? ಪರಿಹಾರ. ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹತ್ತಾರು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಂಕೆಯು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು, ನಂತರ = (1, 2,..., 9), = (0, 1, 2,..., 9) ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು 1. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಆಯ್ಕೆಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಣೆಗಳನ್ನು ಅಂತಹ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಆಯ್ದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂಶಗಳ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

2 ಉದಾಹರಣೆ 2. ಎಷ್ಟು ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಹತ್ತಾರು ಅಂಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಿಭಿನ್ನ ಮತ್ತು ಬೆಸವಾಗಿದೆ? ಪರಿಹಾರ. ಏಕೆಂದರೆ ಐದು ಬೆಸ ಅಂಕೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 1, 3, 5, 7, 9, ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಐದು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಇರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ: ಉದಾಹರಣೆ 3. ಎಷ್ಟು ನಿಘಂಟುಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಬೇಕು ಇದರಿಂದ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಐದು ಭಾಷೆಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುವಾದಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು: ರಷ್ಯನ್, ಇಂಗ್ಲಿಷ್, ಜರ್ಮನ್, ಫ್ರೆಂಚ್, ಸ್ಪ್ಯಾನಿಷ್ - ಈ ಐದು ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಭಾಷೆಗಳಿಗೆ? ಪರಿಹಾರ. ಭಾಷೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಐದರಿಂದ ಎರಡರವರೆಗಿನ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ನಿಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉದಾಹರಣೆ 4. ವಿವಿಧ ಲೇಖಕರ ಏಳು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಶೆಲ್ಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು? ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಏಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ. ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಡೇಟಾದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಉದಾಹರಣೆ 5 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ವಾಲಿಬಾಲ್ ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಶಿಪ್ ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ 8 ತಂಡಗಳು ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತವೆ. ರೌಂಡ್-ರಾಬಿನ್ ಪಂದ್ಯಾವಳಿಯು ಒಲಿಂಪಿಕ್ ಪಂದ್ಯಾವಳಿಗಿಂತ ಎಷ್ಟು ದೀರ್ಘವಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಪರಿಹಾರ. ರೌಂಡ್-ರಾಬಿನ್ ಪಂದ್ಯಾವಳಿಯನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಪರಸ್ಪರ ಭೇಟಿಯಾದರು ಮತ್ತು ಅವರು ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೌಂಡ್-ರಾಬಿನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪಂದ್ಯಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಲಿಂಪಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 7 (ಸೆಮಿಫೈನಲ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಸಭೆಗಳು ಮತ್ತು ಫೈನಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು). ಫೈನಲ್ಸ್, ಎರಡು - 2 ರಲ್ಲಿ

3 ಉದಾಹರಣೆ 6. ಒಬ್ಬ ಓದುಗ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಆರು ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಪರಿಹಾರ. ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಆರು ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮಾನ: ಚರ್ಚೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ (ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, ನಿಯೋಜನೆಗಳು) ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತತ್ವ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಎಷ್ಟು ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು (ಅಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ). ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವು ನಮಗೆ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೊನೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆ 7. ಪೋಷಕರ ಸಭೆಯಲ್ಲಿ 20 ಜನರಿರುತ್ತಾರೆ. 5 ಜನರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕಾದರೆ ಪೋಷಕ ಸಮಿತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ? ಪರಿಹಾರ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮಿತಿಯ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಹೆಸರುಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದೇ ಜನರು ಅದರ ಭಾಗವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ, ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಇದು ಒಂದೇ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 5 ರ 20 ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಸಮಿತಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೆಲಸದ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಜವಾಬ್ದಾರರಾಗಿದ್ದರೆ ವಿಷಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಸಮಿತಿಯ ಅದೇ ಪಟ್ಟಿ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅದರೊಳಗೆ ಬಹುಶಃ 5 ಇವೆ! ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಮುಖ್ಯ. ವಿಭಿನ್ನ (ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಜವಾಬ್ದಾರಿಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ) ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 5 ರ 20 ಅಂಶಗಳ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಶಗಳ k ಗುಂಪುಗಳು ಇರಲಿ, ಮತ್ತು i-th ಗುಂಪು n i ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಅಂಶಗಳು. ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮಾರ್ಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ N ಅನ್ನು N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 8. ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ. ಅಂಶಗಳ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಇರಲಿ, ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಗುಂಪು n 1 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - n 2 ಅಂಶಗಳ. ಈ ಎರಡರಿಂದ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಬಹುದು 3

4 ಗುಂಪುಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಜೋಡಿಯು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ? ನಾವು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋದೆವು, ಎರಡನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ n 2 ಜೋಡಿಗಳಿವೆ ನಂತರ ನಾವು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ n 1 ಅಂಶಗಳಿರುವುದರಿಂದ n 2 ಜೋಡಿಗಳು ಸಹ ಇರುತ್ತವೆ, ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು n 1 * n 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 9. ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಮೂರು-ಅಂಕಿಯ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. , 1, 2, 3, 4, 5, 6, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದರೆ? ಪರಿಹಾರ. n 1 =6 (ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು 1, 2, 3, 4, 5, 6 ರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು), n 2 = 7 (ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು 0 ರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಅಂಕೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (0, 2, 4, 6 ರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರನೇ ಅಂಕಿಯಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು). ಆದ್ದರಿಂದ, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4= ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. n 1 =n 2 =...n k =n ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯ ನಂತರದ ಅಂಶವನ್ನು ಗುಂಪಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n k ಆಗಿದೆ. ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಆಯ್ಕೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ರಿಟರ್ನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೂರವಾಣಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ). ಉದಾಹರಣೆ 10. 1, 5, 6, 7, 8 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು? ಪರಿಹಾರ. ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿ ಅಂಕಿಯಕ್ಕೂ ಐದು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ N=5*5*5*5=5 4 =625. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, 2 ನೇ - ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು -ನೇ - ಸಮಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆ 11. ಎಷ್ಟು ". ಪದಗಳು" ಗಣಿತ ಪದದಲ್ಲಿನ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದೇ? ಪರಿಹಾರ. ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೊಸ “ಪದಗಳನ್ನು” ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ “M” ಅಕ್ಷರವನ್ನು “ಪದ” ದಲ್ಲಿ 2 ಬಾರಿ, “A” - 3 ಬಾರಿ, 4 ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

5 "ಟಿ" - 2 ಬಾರಿ, ಉಳಿದ ಮೂರು ಅಕ್ಷರಗಳು - ಒಮ್ಮೆ ಪ್ರತಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆಯೇ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆ 12. ಕೆಫೆಯಲ್ಲಿ 5 ವಿಧದ ಕೇಕ್ಗಳಿವೆ. . 8 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಲಾ ಒಂದು ಕೇಕ್ ಅನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಬಹುದು? ಪರಿಹಾರ. ಪ್ರತಿ ಖರೀದಿಯನ್ನು 5 ಪ್ರಭೇದಗಳ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ 8 ಕೇಕ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡೋಣ, ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಖರೀದಿಯು 8 ಒನ್‌ಗಳ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು 4 (= 5-1) ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಖರೀದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಡಿಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ತೊಂದರೆಗಳು 1. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದರೆ, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಮೂರು-ಅಂಕಿಯ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು? 2. ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಓದುವ ಎಷ್ಟು ಐದು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ? 3. ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಹತ್ತು ವಿಷಯಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ದಿನಕ್ಕೆ ಐದು ಪಾಠಗಳಿವೆ. ಒಂದು ದಿನದ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬಹುದು? 4. ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ 20 ಜನರಿದ್ದರೆ ಸಮ್ಮೇಳನಕ್ಕೆ 4 ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? 5. ಪ್ರತಿ ಲಕೋಟೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಎಂಟು ವಿಭಿನ್ನ ಲಕೋಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟು ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು? 6. ಇಬ್ಬರು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಆರು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಆಯೋಗವು ಮೂರು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಹತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು? 5

6 ಕಾರ್ಯಗಳು 1. ರಷ್ಯಾದ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಚಾಂಪಿಯನ್ಷಿಪ್ನಲ್ಲಿ 16 ತಂಡಗಳು ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತಿವೆ. ಅಗ್ರ ಮೂರು ವಿಜೇತರನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು? 2. 36 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ, 10 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು? ಎಷ್ಟು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಏಸ್ ಇರುತ್ತದೆ? ಎಷ್ಟು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಏಸ್ ಇರುತ್ತದೆ? 3. 8 ಜನರು ಪರಸ್ಪರರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರಬಹುದು? 4. ಪ್ರತಿ ವಿಷಯದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಯೋಜಿತ 5 ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ 4 ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ 3 ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಪುಸ್ತಕದ ಕಪಾಟಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು? 5. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ 76 ಶಿಕ್ಷಕರು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಇವರಲ್ಲಿ 49 ಜನರು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ, 32 ಜನರು ಜರ್ಮನ್ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು 15 ಜನರು ಎರಡೂ ಭಾಷೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅಥವಾ ಜರ್ಮನ್ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ? 6. ಹೂವಿನ ಅಂಗಡಿಯು 4 ವಿಧದ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಐದು ಹೂವುಗಳಿಂದ ನೀವು ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಹೂಗುಚ್ಛಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು? 7. ಮೋರ್ಸ್ ಕೋಡ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಡ್ಯಾಶ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಷ್ಯಾದ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ಎಷ್ಟು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? 8. ಕ್ರೀಡಾ ಲೊಟ್ಟೊದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಹುಮಾನವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? 6

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ 1. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ.

ಫೆಡರಲ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಏಜೆನ್ಸಿ ಉನ್ನತ ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣದ ರಾಜ್ಯ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆ "ನ್ಯಾಷನಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಟಾಮ್ಸ್ಕ್ ಪಾಲಿಟೆಕ್ನಿಕ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ" ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸ

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸ 15 ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕೆಲಸದ ಗುರಿ: ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. ಕೆಲಸದ ವಿಷಯಗಳು. ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. 1 ನಿಯಮ

ವಿಷಯ 1 ವಿಷಯ II. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಂಶಗಳು... 2 1. ಉಲ್ಲೇಖ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು... 2 1.1. ಉದಾಹರಣೆಗಳು... 2 2. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಸೂಚನೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು... 3 3. ಸಂಯೋಜಿತ ನಿಯಮಗಳು... 4 4.

ವಿಷಯ 48 "ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲಿಕ ಆಯ್ಕೆ" ಸಂಯೋಜನೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗವು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ

ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವೆಂಡಿನಾ ಅಲ್ಲಾ ಅನಾಟೊಲಿಯೆವ್ನಾ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ವಿಭಾಗದ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ, ಸ್ಟಾವ್ರೊಪೋಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಪೆಡಾಗೋಗಿಕಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ವೆಂಡಿನಾ ಎ.ಎ. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಅಂಶ ಆಯ್ಕೆ ಕಾರ್ಯಗಳು

1) 12 [ಪುನರಾವರ್ತಿತವಲ್ಲದ] ಅಕ್ಷರಗಳ ಪದವಿದೆ. ಈ ಪದದಲ್ಲಿನ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷರಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು? ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ n P12 12!

ಪಾಠ 2. ನಿಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳು: ಶೈಕ್ಷಣಿಕ: ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕಲಿಸಿ; ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ; ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಸಿ; ಶೈಕ್ಷಣಿಕ:

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಧಾನಗಳು ರೂಮಿಯಾಂಟ್ಸೆವಾ ಎಲ್ಎಸ್ ಮೊತ್ತ ನಿಯಮ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ, X U Y (ಅಥವಾ) ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು X ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

(ಸಮಾನತೆ, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ; ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ತತ್ವ; ವಿನಾಯಿತಿಗಳು; ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ; ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ; ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ ಗಣಿತ ವಿಭಾಗ ದೂರ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ 6 ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂಶಗಳು

ಮಾಸ್ಕೋ ಪ್ರದೇಶದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯ ಮಾಸ್ಕೋ ಪ್ರದೇಶದ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣದ ರಾಜ್ಯ ಬಜೆಟ್ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಬಾಲಾಶಿಖಾ ಕೈಗಾರಿಕಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ಕಾಲೇಜು"

I. V. ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು MathUs.ru ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್. ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮವು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಡಾಕ್ಟರ್. ಬೋಧನಾ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಜ್ಞಾನ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಮಿಖಾಯಿಲ್ ಪಾವ್ಲೋವಿಚ್ ಖಾರ್ಲಾಮೊವ್ "ಪುಟ" http://inter.vags.ru/hmp RANEPA (FGOU) ನ ವೋಲ್ಗೊಗ್ರಾಡ್ ಶಾಖೆ

ಎಸ್ ಎ ಲಾವ್ರೆಂಚೆಂಕೊ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ "ಮೂರು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು, ಮೂರು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು, ಮೂರು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು!" (ಒಪೆರಾ "ದಿ ಕ್ವೀನ್ ಆಫ್ ಸ್ಪೇಡ್ಸ್") ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಾಠ 1 11 ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 111 ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ (ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು, ಸಂಯೋಜಿಸಲು) ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎಷ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಉಪನ್ಯಾಸ ಯೋಜನೆ P.. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಉಪವಿಭಾಗದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ... P.. ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು... P.. ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು... P. 4. ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು... 4

ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವಗಳು ಆಂಡರ್ಸನ್ ಅವರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಥೆ "ದಿ ಸ್ನೋ ಕ್ವೀನ್" ನಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದ ಉದಾಹರಣೆ. ನೆನಪಿಡಿ, ಹಿಮ ರಾಣಿಯ ಅರಮನೆಯಲ್ಲಿ ಗೆರ್ಡಾ ಕೈಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ಅವನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಮಡಚುತ್ತಿದ್ದನು.

ಗಣಿತ ಮಿಸ್ 2013 ರ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಧಾನದ ಶಿಫಾರಸುಗಳ ಪಾಠ 1 ರ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅನುಮೋದಿಸಲಾಗಿದೆ: D.E. ಶಿಕ್ಷಣ ಇಲಾಖೆಯೊಂದಿಗಿನ ಒಪ್ಪಂದದ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕಾಗಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ವಿಧಾನ ಆಯೋಗದ ಅಧ್ಯಕ್ಷ ಕಪುಟ್ಕಿನ್

ಉಪನ್ಯಾಸ 1 ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಂಶಗಳು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು 1 ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹವರ ಕಾರ್ಯಗಳು

4 ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ 1 ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೆಟ್ (1) ನಲ್ಲಿ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ i-th ಅಂಶವನ್ನು ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ

ಬೆಲಾರಸ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯದ "ನ್ಯಾಷನಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್" ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಸ್ಥೆಯಿಂದ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ ಮೊಜಿರ್ "ಬೆಲಿ"

ಬೆಲಾರಸ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯದ "ನ್ಯಾಷನಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್" ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಸ್ಥೆಯಿಂದ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ ಮೊಝೈರ್ 2

ವಿಷಯ 53 "ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು". ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲ

ಕೋರ್ಸ್ ಡೆವಲಪರ್ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಭಾಗದ ಅಸೋಸಿಯೇಟ್ ಪ್ರೊಫೆಸರ್, ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅಭ್ಯರ್ಥಿ ನೆಕ್ರಿಯಾಚ್ ಇ.ಎನ್. ಸೆಟ್ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಒಂದು ಸೆಟ್ನಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ,

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಡಾಕ್ಟರ್. ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಮಿಖಾಯಿಲ್ ಪಾವ್ಲೋವಿಚ್ ಖಾರ್ಲಾಮೊವ್ ಬೋಧನಾ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲ http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp ವೋಲ್ಗೊಗ್ರಾಡ್ ಶಾಖೆ

009-00 ಶಾಲೆ ವರ್ಷ. 6, 0 ವರ್ಗ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಂಶಗಳು. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ (ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು, ಸಂಯೋಜಿಸಲು) ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎಷ್ಟು

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಂಶಗಳು. ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ. ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು n ಆಯ್ಕೆಗಳಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು m ಆಯ್ಕೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಒಟ್ಟು n m ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿಗಳಿವೆ

ನಾನು ಸಂಗ್ರಹಣೆಯಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಪೇಪರ್‌ಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇನೆ “L.A. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೊವಾ. ಬೀಜಗಣಿತ 9 ನೇ ತರಗತಿ. ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು" ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ

ನಿಜ್ನಿ ನವ್ಗೊರೊಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ N I ಲೋಬಾಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಆಫ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸೈಬರ್ನೆಟಿಕ್ಸ್ ಡಿಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್ ಮತ್ತು ಹೈಯರ್ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ (ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ

1 ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು 1 ಅನುಬಂಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ರಿಂದ n ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು n-ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಿಖಿತ ಉದಾಹರಣೆ 4 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ! 3! ಎನ್! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ತೊಂದರೆಗಳು N.M. ಎಫಿಮೊವಾ, ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ, MBOU "ಜಿಮ್ನಾಷಿಯಂ" ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿವೆ

ವಿಷಯ 49 “ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು. ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ". ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ A = n! ಎನ್ ಕೆ! A = n ಆದೇಶವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ P = A = n! P = A = n Pk, k, k = (k + k + + k)! ಕೆ! ಕೆ! ಕೆ!

1.1. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯು ಒಂದು ಘಟನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಮಾಡಬಹುದು

I. V. ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು MathUs.ru ಪರಿವಿಡಿ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತ 1 ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಆಲ್-ರಷ್ಯನ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್................................. 1 2 ಮಾಸ್ಕೋ ಗಣಿತ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ........... ...............

ಮಕ್ಕಳ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಫೆಡರಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಬಜೆಟ್ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ಸಚಿವಾಲಯ "ಮಾಸ್ಕೋ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಶಾಲೆ

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್‌ನ III ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ವಿವಿಧ ಪರಿಮಿತ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತ (BkPl-100) M.P. ಖಾರ್ಲಾಮೋವ್ 2011/2012 ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವರ್ಷ, 1 ನೇ ಸೆಮಿಸ್ಟರ್ ಉಪನ್ಯಾಸ 5. ವಿಷಯ: ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಚಯ 1 ವಿಷಯ: ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ

ಉಪನ್ಯಾಸ 2: ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಯೋಜಕಶಾಸ್ತ್ರ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗಣಿತ, ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಎಕನಾಮಿಕ್ಸ್, ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಆಫ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ (ಶರತ್ಕಾಲ 2014 ವಸಂತ 2015) ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: “ಎಷ್ಟು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರ ಮೂಲತತ್ವಗಳು 1933 ರಲ್ಲಿ, A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ "ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು" ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅಕ್ಷೀಯ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. "ಇದರರ್ಥ ಅದು ನಂತರ

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹಿಂದಿನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು (ವಿಷಯಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೋಡಿ) ಡೇಟಾ ಸಂಗ್ರಹಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳು, ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ

ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಗಟುಗಳು 1. ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಾನಿಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಾನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂಕೆಯ ಕೊಡುಗೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಆ ಅಂಕಿಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಬೆಲ್ಗೊರೊಡ್ ನಗರದ ಪುರಸಭೆಯ ಸ್ವಾಯತ್ತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಲೈಸಿಯಮ್ 38" ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ತರಬೇತಿ ಅಧಿವೇಶನ: "ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜಿತ ನಿಯಮ" ಬೆಲ್ಗೊರೊಡ್ ರುಟ್ಸ್ಕಯಾ ಲ್ಯುಡ್ಮಿಲಾ ಅವರ MAOU "ಲೈಸಿಯಮ್ 38" ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಘಟನೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದಾಗ ಅದು ಸಂಭವಿಸುವುದು ಖಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆ: Ω (ನಿಜ). ಅಸಾಧ್ಯ ಘಟನೆ. ಒಂದು ಘಟನೆ

ಉಪನ್ಯಾಸ 1 ವಿಷಯ: ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿಧಗಳು. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳು. ಯೋಜನೆ 1. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಇತಿಹಾಸ 2. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು 3. ರಚನೆ ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು 4. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು 1. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಇತಿಹಾಸ

ಉಪನ್ಯಾಸವು ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದೆ I.A. ಲಾವ್ರೊವಾ "ಗಣಿತದ ತರ್ಕ" ಮತ್ತು T.V ಯ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ. ಆಂಡ್ರೀವಾ "ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಣಿತ". 1 n ಐಟಂಗಳನ್ನು k ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವುದು, ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು.

ಉಪನ್ಯಾಸ 1. ವಿಷಯ: ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯ. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯವು ಬೃಹತ್, ಏಕರೂಪದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮಾದರಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಂಶಗಳು, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಐಪಿಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರೊ, ಡಾಕ್ಟರ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ ಮಿಶ್ಚೆಂಕೊ ಎಸ್.ಪಿ. џ1. ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಸರಳ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ

ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಲೈಸಿಯಮ್ "ಅವನ್ಗಾರ್ಡ್" E. N. ಫಿಲಾಟೊವ್ ಬೀಜಗಣಿತ 8 ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಭಾಗ 1 ಮಾಸ್ಕೋ 2016 ವಿಷಯಗಳು 1. ವಿಭಜನೆ. 2. ಸಮ ಬೆಸ 3. ಸೆಟ್‌ಗಳು. 4. ಮೋಜಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು. 5. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್

ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ಸಚಿವಾಲಯವು ಉನ್ನತ ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣದ ನಿಜ್ನಿ ನವ್ಗೊರೊಡ್ ರಾಜ್ಯ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ರಾಜ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ. ಆರ್.ಇ. ಅಲೆಕ್ಸೀವಾ

1 ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 3 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಡೆಕ್ ಅನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಕಲೆಸಲಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಏಸಸ್‌ಗಳು ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಡೆಕ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇತರ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಭೇದಿಸದೆ ಪರಿಹಾರ ಸಂಖ್ಯೆ

ಯುಗ್ರಾ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಲೈಸಿಯಂ ವಿ.ಪಿ. ಚುವಾಕೋವ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಭಜನೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಖಾಂಟಿ-ಮಾನ್ಸಿಸ್ಕ್ 05 ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಭಜನೆ: ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, - ಖಾಂಟಿ-ಮಾನ್ಸಿಸ್ಕ್, ಉಗ್ರ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ

ಫೆಡರಲ್ ಏಜೆನ್ಸಿ ಫಾರ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಜುಕೇಶನಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಹೈಯರ್ ಪ್ರೊಫೆಷನಲ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಉಖ್ತಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ಯುನಿವರ್ಸಿಟಿ (ಯುಎಸ್ಟಿಯು) ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಮೆಥಡಾಲಾಜಿಕಲ್

ವೊರೊಬಿವ್ ವಿ.ವಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಲಾಚಿನ್ಸ್ಕ್ನ "ಲೈಸಿಯಮ್", ಓಮ್ಸ್ಕ್ ಪ್ರದೇಶ ಕಾರ್ಯಾಗಾರವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ

ಅಭ್ಯಾಸ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಘಟನೆಗಳ ವಿಧಗಳು ಘಟನೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ,

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ C. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಂಶಗಳು (ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ) ಟ್ಯಾಲಿನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೀಸಲಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ 6 ನೇ ತರಗತಿಯ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಕಂಟೆಂಟ್ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬಹುದು 1 ಸೆಟ್‌ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಉಪವಿಭಾಗ, ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ವಸ್ತುಗಳು, ಸೀಮಿತ,

ಬೈನರಿ ಕೋಡಿಂಗ್ 1.3 ಬೈನರಿ ಕೋಡಿಂಗ್ ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳು: ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮಾದರಿ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಶಕ್ತಿ ಬೈನರಿ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆ ಬೈನರಿ ಕೋಡ್ ಬೈನರಿ ಕೋಡಿಂಗ್ ಬಿಟ್ ಆಳ 1.3.1. ನಿಂದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಪರಿಮಾಣ ಮಾದರಿಯು ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲದ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ, ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ: ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಒಂದು. ಒಬ್ಬರಿಂದ (ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ). ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಆದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪೆನ್, ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಮತ್ತು ಆಡಳಿತಗಾರನ ಗುಂಪನ್ನು ಮಾಡುವುದು; ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಭಾಗಗಳು): ಪೆನ್ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ, ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಆರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಆರಿಸಿ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊದಲ ಭಾಗ - ಪೆನ್ನು ಆಯ್ಕೆ - ಐದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ಭಾಗ - ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಆಯ್ಕೆ - ಏಳು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂರನೇ ಭಾಗ - ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಆರಿಸುವುದು - ಮಾಡಬಹುದು. ಹತ್ತು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು 5 * 7 * 10 = 350 ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಆ. ಈ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಹುಶಃ 350 ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಊಟದ ಕೊಠಡಿಯು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೊದಲ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು a1 ಮತ್ತು a2, ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಎರಡನೇ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು b1, b2, b3 ಮತ್ತು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸಿಹಿ c1 ಮತ್ತು c2 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕೆಫೆಟೇರಿಯಾವು ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಮೂರು-ಕೋರ್ಸ್ ಊಟಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು? ಪರಿಹಾರ. A ಮೊದಲ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ, B ಎರಡನೇ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು C ಮೂರನೇ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ತಿಳಿದಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ. "ಸ್ಪೇಸ್ಶಿಪ್ ತಂಡ" ಅಂತರಿಕ್ಷ ನೌಕೆ ತಂಡವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮಾನಸಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ನಾವು 3 ಜನರ ತಂಡವನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ: ಕಮಾಂಡರ್, ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಮತ್ತು ವೈದ್ಯರು. ಕಮಾಂಡರ್ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ನಾಲ್ವರು ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳಿದ್ದಾರೆ: a1, a2, a3, a4, ಇಂಜಿನಿಯರ್ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮೂವರು - b1, b2, b3 ಮತ್ತು ವೈದ್ಯರ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮೂವರು - c1, c2, c3. a1 b1, b2, c2, c3 ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯು ತೋರಿಸಿದೆ; a2 b1, b2,c1,c2,c3 ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; a3 b1 ಮತ್ತು b2, c1, c3 ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; a4 b1, b2, b3, c2 ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; b1 c3 ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ; b2 c1 ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ; b3 c2 ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

n ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸುವುದನ್ನು n ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ-ಮುಕ್ತ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (a,b,c) ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ: abc, acb, bca, bac, cab, cba. ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದ ವಿವಿಧ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು P n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ!, ಅಂದರೆ.

ಆಯ್ಕೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ KBKSSB BSKBKS SBKSKB ಆಯ್ಕೆಗಳ ಮರ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ 1 ಪಟ್ಟೆ 3 ಮಾರ್ಗಗಳು 2 ಪಟ್ಟೆ 2 ಮಾರ್ಗಗಳು 3 ಪಟ್ಟೆ 1 ಮಾರ್ಗ = 6 ಉತ್ತರ: 6 ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

n-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದ k-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು k ಮೂಲಕ n ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ-ಮುಕ್ತ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 30 ಜನರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕರ್ತವ್ಯದಲ್ಲಿರಲು ಮೂರು ಜನರ ತಂಡವನ್ನು ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ತಂಡದಲ್ಲಿನ ಜನರ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಜನರು ಪುನರಾವರ್ತಿಸದ ಕಾರಣ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಲ್ಲದೆ 3 ರ 30 ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಹೀಗಾಗಿ, 30 ಜನರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕರ್ತವ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಜನರ ತಂಡವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು 4060 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಕಾರ್ಯ. ಒಬ್ಬ ಸಂಗೀತ ಪ್ರೇಮಿಯು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪಾಪ್ ಗುಂಪಿನ 6 ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಇನ್ನೊಬ್ಬರು 8 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಮೂರು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು? ಪರಿಹಾರ: ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸಂಗೀತ ಪ್ರೇಮಿಯು ತನ್ನ ಡಿಸ್ಕ್‌ಗಳಿಂದ ತಾನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂರನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮೊದಲನೆಯದು C63 ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು C83 ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಆಯ್ಕೆಯು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳು C63*C83 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ: C 6 3 = 6*5*4/3! = 6*5*4/6 = 5*4 = 20. C 8 3 = 8*7*6/3! = 8*7*6/6 = 8*7 = 56. ಉತ್ತರ: 20*56=1120.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ n ಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ k ಅಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿವಿಧ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: - n ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ k ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆ - ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪಿನಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಅನಿಯಮಿತ ಆಯ್ಕೆ : - ಕೆ ಮೂಲಕ n ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - ಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು - ವಿಭಿನ್ನ ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚೆಂಡುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ - ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಉದಾಹರಣೆ. BELL ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು? ಪರಿಹಾರ. 8 ಅಕ್ಷರಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ: ಕೆ ಅಕ್ಷರವನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; O ಅಕ್ಷರವನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಎಲ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎ ಅಕ್ಷರವನ್ನು 1 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ,

ಉದಾಹರಣೆ. ಮೂರು ವಿಧದ ಚಾಕೊಲೇಟ್‌ಗಳಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕಾರದ 10 ಚಾಕೊಲೇಟ್‌ಗಳಿದ್ದರೆ 5 ಚಾಕೊಲೇಟ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು? ಪರಿಹಾರ. ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವಾಗ ಚಾಕೊಲೇಟ್‌ಗಳ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 4 ರಿಂದ 10 ಅಂಕೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 30 ಅಕ್ಷರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡರಿಂದ ನಾವು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 30 (ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷರದ ಸಾಧ್ಯತೆ). ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 900. 30 ಅಕ್ಷರಗಳ ವರ್ಣಮಾಲೆಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 30 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಪರವಾನಗಿ ಫಲಕಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರು ಅಕ್ಷರಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. 10 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು 30 ಅಕ್ಷರಗಳ ವರ್ಣಮಾಲೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.