ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು

ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9.

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x >

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲೋಗ್ಯಾಕ್ಸ್ ನೀಡಲಿ. ನಂತರ c > 0 ಮತ್ತು c ≠ 1 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಸಹ ನೋಡಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಘಾತಾಂಕದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನಾಂಕ ಎರಡನ್ನೂ ನೀವು ತಿಳಿಯುವಿರಿ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

4. ಎಲ್ಲಿ .

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವೇಳೆ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ

ವೇಳೆ ಲಾಗ್ (x) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲೋಗಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲಾಗೇ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log2 48 - log2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log3 135 - log3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವು ಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿಯೂ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. , ಅಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log7 496.

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 24; 49 = 72. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸೂತ್ರಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳು.

ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: log2 7. ಲಾಗ್2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದೆ. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು c = x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "ತಿರುಗುತ್ತದೆ", ಅಂದರೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log5 16 log2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log9 100 lg 3.

ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, n ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಾದದಲ್ಲಿ ಘಾತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ n ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ b ಸಂಖ್ಯೆಯು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ: ಫಲಿತಾಂಶವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

log25 64 = log5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದದಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ :)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗದ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, "ಸುಧಾರಿತ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಲೋಗಾ = 1 ಆಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಆ ಬೇಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಲೋಗಾ 1 = 0 ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ a0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ! ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಸಹ ನೋಡಿ:

a ಬೇಸ್ ಮಾಡಲು b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಶಕ್ತಿ x () ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ವಿಲಕ್ಷಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ (3.4) ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣುತ್ತೀರಿ. ಉಳಿದವು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮೂಲವು ಹತ್ತು, ಘಾತೀಯ ಅಥವಾ ಎರಡು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹತ್ತರ ತಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ lg(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದರ ಮೂಲವು ಘಾತವಾಗಿದೆ (ln(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಘಾತವು 2.718281828 ಆಗಿದೆ…. ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು: ಘಾತವು 2.7 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ನಿಕೋಲೇವಿಚ್ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಾರಿ. ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಘಾತಾಂಕದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನಾಂಕ ಎರಡನ್ನೂ ನೀವು ತಿಳಿಯುವಿರಿ.

ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಎರಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ

ಕ್ರಿಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದ ವಸ್ತುವು ಸಾಕು. ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು, ನಾನು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

2.
ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ

3.
ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

4. ಎಲ್ಲಿ .

ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವೇಳೆ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಕೊನೆಯ ಪದ 5 ಮತ್ತು 13 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಅದನ್ನು ದಾಖಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ದುಃಖಿಸುತ್ತೇವೆ

ಆಧಾರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್. ಮೊದಲ ಹಂತ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ

ವೇಳೆ ಲಾಗ್ (x) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಪರಿಹಾರ: ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಪರಿಚಯದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ, ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಕೃಷ್ಟಗೊಳಿಸಿ - ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಜ್ಞಾನವು ನಿಮಗೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ - ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ...

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log6 4 + log6 9.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log2 48 - log2 3.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log3 135 - log3 5.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log7 496.

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು c = x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log5 16 log2 25.

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log9 100 lg 3.

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಲೋಗಾ = 1 ಆಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಆ ಬೇಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಲೋಗಾ 1 = 0 ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ a0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎನ್ ಆಧಾರಿತ ಎ ಘಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X , ನೀವು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಎನ್

ಎಂದು ಒದಗಿಸಿದೆ
,
,

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
, ಅಂದರೆ
- ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು.

10 ನೇ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಾಗಿ
ಬರೆಯಿರಿ
.

ಬೇಸ್ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಒಂದರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಂಶಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3) ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅಂಶ
ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ ತಳದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಬಿ .

2-5 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಳವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಇಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪೊಟೆನ್ಷಿಯೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಧ್ಯಾಯ 2. ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳು.

1. ಮಿತಿಗಳು

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ
ಒಂದು ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ A ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹಾಗೆ xx 0 ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತಕ್ಕೆ
, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ
ಎಂದು ಬೇಗ
, ಅದು
.

ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಅದರಿಂದ ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
, ಅಲ್ಲಿ- b.m.v., ಅಂದರೆ.
.

ಉದಾಹರಣೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.

ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ
, ಕಾರ್ಯ ವೈ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಒಲವು:

1.1. ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಈ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮಿತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಛೇದದ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ಮಿತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳು

,
, ಎಲ್ಲಿ

1.2. ಮಿತಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಪ್ರಕಾರದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ: ಅಥವಾ .

2. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಮಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ
, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ
.

ವಾದ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚಳವಾಯಿತು
. ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ
.

ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
.

ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ
ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಈ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
. ಈ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ವಾದದ ಮೂಲಕ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ, ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಬಹುದು:

; ; ; .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4 ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

2.1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥ.

ಕೆಲವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹ ಅಥವಾ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶ ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದು
ದೂರದಲ್ಲಿತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದಿಂದ
.

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ
ಅವಳು ದೂರ ಸರಿದಳು
. ವರ್ತನೆ =- ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ
. ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಈ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ತ್ವರಿತ ವೇಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾರ್ಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

2.2 ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮೌಲ್ಯ

ನಾವು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದೋಣ
.

ಅಕ್ಕಿ. 1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್
, ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ
.

ಆದ್ದರಿಂದ
, ಅಂದರೆ ವಾದದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
.

2.3 ಮೂಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ.

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯ

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯ

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯ

2.4 ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

2.5 ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ
ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

ಮತ್ತು
, ಅಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದವಾಗಿದೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ಉದಾಹರಣೆ 2.

3. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್.

ಇರಲಿ ಬಿಡಿ
, ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು
ಹೋಗಲಿ ಬಿಡು ನಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

(1),

ಎಲ್ಲಿ - ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣ,

ಯಾವತ್ತಿಂದ

ಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು (1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಎಲ್ಲಿ
- ಬಿ.ಎಂ.ವಿ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶ.

ಪರಿಮಾಣ
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ
ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

3.1. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮೌಲ್ಯ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ
.

ಚಿತ್ರ.2. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3.2. ವಿವಿಧ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

ಇದ್ದರೆ
, ನಂತರ
ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ
.

ಕಾರ್ಯದ n ನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಇದನ್ನು (n-1) ನೇ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎರಡನೇ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

.

.

3.3 ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜೈವಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಕಾರ್ಯ 1. ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳ ವಸಾಹತುಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅಧ್ಯಯನಗಳು ತೋರಿಸಿವೆ
, ಎಲ್ಲಿ ಎನ್ - ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸಾವಿರಾರುಗಳಲ್ಲಿ), ಟಿ - ಸಮಯ (ದಿನಗಳು).

ಬಿ) ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ವಸಾಹತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ?

ಉತ್ತರ. ವಸಾಹತು ಗಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ 2. ರೋಗಕಾರಕ ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡಲು ಸರೋವರದಲ್ಲಿನ ನೀರನ್ನು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ ಟಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ದಿನಗಳ ನಂತರ, ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಸರೋವರವು ಯಾವಾಗ ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಈಜಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ನಿಮಿಷವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

6 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ನಿಮಿಷವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉತ್ತರ: 6 ದಿನಗಳ ನಂತರ ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಂದ್ರತೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ನೀಡಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 10 ರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಅದರ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: lg b ಎಂಬುದು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ e ಅನ್ನು ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬರೆಯಿರಿ: ln b - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶವು b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು: (u+v)" = u"+v";

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: (u*v)" = u"*v +v"*u;

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಲಾಭಾಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಭಾಜಕ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಭಾಜಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲಾಭಾಂಶದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಭಾಜಕ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. y=u(v(x)), ನಂತರ y"(x)=y"(u)*v"(x) ಎಂದು ಬಿಡಿ.

ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೂ ಇವೆ. y=e^(x^2+6x+5) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ, ನೀವು x=1 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
1) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ y"(1)=8*e^0=8 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆ

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ. ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಗಳು:

ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ವರ್ಗಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳುಒಂದು ಚೌಕಕ್ಕೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ. ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲನೆಯದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ತೊಂದರೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವು v(2x-5)=v(4x-7) ಆಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು 2x-5=4x-7 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ; x=1. ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಏಕೆ? x ನ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳು ಅರ್ಥವಾಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, 1 ಒಂದು ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಬಾಹ್ಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಂಡುಬರುವ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ.

ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
2х+vx-3=0
ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸಂಯುಕ್ತಗಳನ್ನು ಸರಿಸಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ, ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ವರ್ಗ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು, ಹೆಚ್ಚು ಸೊಗಸಾದ. ಹೊಸ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ; vх=y. ಅದರಂತೆ, ನೀವು 2y2+y-3=0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ. ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ; y1=1 ಮತ್ತು y2=-3/2. ಮುಂದೆ, ಎರಡನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು vх=1; vх=-3/2. ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; ನಾವು x=1 ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ.

ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಿಗದಿತ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವವರೆಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

- ಕಾಗದ;
- ಪೆನ್.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ), ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೊತ್ತ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ), ಮೊತ್ತದ ಘನ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ)). ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅನೇಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ, ಅವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ಗುರುತುಗಳಾಗಿವೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವು ಮೊದಲನೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಎರಡನೇಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅಂದರೆ (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

ಎರಡನ್ನೂ ಸರಳಗೊಳಿಸಿ

ಪರಿಹಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವಗಳು

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಏನೆಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ತತ್ತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮುಖ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಇದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನ

ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವಾದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕೆಲವು ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಹೊಸ ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಹೊಸ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಲ್ಲಿ ಹೊಸ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು ಹಿಂದಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ನಿಕಟ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೊಸ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್‌ನ ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪದಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ನೀವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ನಿಯಮವೆಂದರೆ ಆಸ್ಟ್ರೋಗ್ರಾಡ್ಸ್ಕಿ-ಗಾಸ್ ಸಂಬಂಧ. ಈ ಕಾನೂನು ನಮಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯದ ರೋಟರ್ ಫ್ಲಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಟ್ರಿಪಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್‌ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕೀಕರಣ ಮಿತಿಗಳ ಪರ್ಯಾಯ

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ. ನೀವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಮುಂದೆ, ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯಿಂದ ಪಡೆದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗೆ ಕಳೆಯಿರಿ. ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ, ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗುವುದು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಏನನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೀವು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಅದು ಏಕೀಕರಣಗೊಳ್ಳುವ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲಾಗ್ ಎ Xಮತ್ತು ಲಾಗ್ ಎ ವೈ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

ಲಾಗ್ ಎ X+ ಲಾಗ್ ಎ ವೈ= ಲಾಗ್ ಎ (X · ವೈ);
ಲಾಗ್ ಎ X- ಲಾಗ್ ಎ ವೈ= ಲಾಗ್ ಎ (X : ವೈ).

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9 = ಲಾಗ್ 6 (4 9) = ಲಾಗ್ 6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3 = ಲಾಗ್ 2 (48: 3) = ಲಾಗ್ 2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5 = ಲಾಗ್ 3 (135: 5) = ಲಾಗ್ 3 27 = 3.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: ಎ > 0, ಎ ≠ 1, X> 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅಂದರೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 7 49 6 .

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
ಲಾಗ್ 7 49 6 = 6 ಲಾಗ್ 7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ 2 7. ಲಾಗ್ 2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗ್ ನೀಡಲಿ ಎ X. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಿಅಂದರೆ ಸಿ> 0 ಮತ್ತು ಸಿ≠ 1, ಸಮಾನತೆ ನಿಜ:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಹಾಕಿದರೆ ಸಿ = X, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 5 16 ಲಾಗ್ 2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: ಲಾಗ್ 5 16 = ಲಾಗ್ 5 2 4 = 4ಲಾಗ್ 5 2; ಲಾಗ್ 2 25 = ಲಾಗ್ 2 5 2 = 2 ಲಾಗ್ 2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 9 100 lg 3.

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ವಾದದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಪದವಿಯ ಸೂಚಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿಈ ಶಕ್ತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎ? ಅದು ಸರಿ: ನೀವು ಇದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಲಾಗ್ 25 64 = ಲಾಗ್ 5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಲಾಗ್ ಎ ಎ= 1 ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಈ ನೆಲೆಯಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಲಾಗ್ ಎ 1 = 0 ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಎಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ ಎ 0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.ಈ ವಿಧಾನವು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಲಾಗ್ ಬಿ ⁡ (x) ಲಾಗ್ ಬಿ ⁡ (ಎ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ:
- ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ ⁡ (− 3) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log(-3))ಅಥವಾ ಲಾಗ್ 4 ⁡ (− 5) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(4)(-5))) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
- ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಸೊನ್ನೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಸಿಕ್ಕಿಬಿದ್ದರೆ ln ⁡ (0) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ln(0)), "ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
- ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಒಂದರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ( ಲಾಗ್ ⁡ (1) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log(1))) ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x 0 = 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x^(0)=1)ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ X. ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬದಲಿಗೆ 1 ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಡಿ.
- ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\ displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.ಮೇಲಿನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅನ್ವಯಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಒಂದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ: ಲಾಗ್ ಬೌ log_(a)(x)).
- ಉದಾಹರಣೆ 1: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಲಾಗ್ ⁡ 16 ಲಾಗ್ ⁡ 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ: ಲಾಗ್ ⁡ 16 ಲಾಗ್ ⁡ 2 = ಲಾಗ್ 2 ⁡ (16) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log (16))(\log (2))=\log _(2)(16)).
- ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ "ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ" ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.
ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.ಹುಡುಕಲು ಲಾಗ್ a ⁡ (x) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(a)(x)), ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ " ಒಂದು? = x (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a^(?)=x)", ಅಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿ: "ನೀವು ಯಾವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಎ, ಹೊಂದಲು X?. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬೇಕಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅದೃಷ್ಟವಂತರಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
- ಉದಾಹರಣೆ 1 (ಮುಂದುವರಿದಿದೆ): ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ 2? = 16 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(?)=16). "?" ಚಿಹ್ನೆಯ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಲ್ಲಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಪ್ರಯೋಗ ಮತ್ತು ದೋಷದಿಂದ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(4)=8*2=16)
  ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ 4: ಲಾಗ್ 2 ⁡ (16) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(2)(16)) = 4 .
ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ.ಅನೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಿಮಗೆ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತೃಪ್ತರಾಗುತ್ತಾರೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ಉದಾಹರಣೆ 2: ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಲಾಗ್ 3 ⁡ (58) ಲಾಗ್ 3 ⁡ (7) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: ಲಾಗ್ 3 ⁡ (58) ಲಾಗ್ 3 ⁡ (7) = ಲಾಗ್ 7 ⁡ (58) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ ಲಾಗ್_(7)(58)). ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಬೇಸ್ 3 ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಯಾವುದೇ ಕಾರಣಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜ.
- ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ 7? = 58 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 7^(?)=58)ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣವೇ?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 7^(3)=49*7=343)
  58 ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
- ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ: ಲಾಗ್ 7 ⁡ (58) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(7)(58)).