: ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ. ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಿರಿ. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕಲಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ.
ಡೌನ್‌ಲೋಡ್:
ಪೂರ್ವವೀಕ್ಷಣೆ:
ರಾಜ್ಯ ಬಜೆಟ್ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ
ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ ಸಂಖ್ಯೆ. 655
ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ನ ಪ್ರಿಮೊರ್ಸ್ಕಿ ಜಿಲ್ಲೆ
"ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ. ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ"
2014
ಲಿ ನೀನಾ ಯೂರಿವ್ನಾ
8 ನೇ ತರಗತಿ
ಅಮೂರ್ತ ………………………………………………………………………………………… 3
ಪರಿಚಯ …………………………………………………………………………………………………… 4
ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ ……………………………………………………………………………………
ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ ……………………………………………………………………………
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ ……………………………………………………..7
ಅಧ್ಯಯನದ ತೀರ್ಮಾನಗಳು …………………………………………………………………………………………… ..10
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು …………………………………………………………………………………………………………………
ಲಿ ನೀನಾ
ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್, ರಾಜ್ಯ ಬಜೆಟ್ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಯ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ ಸಂಖ್ಯೆ. 655, 8 ನೇ ತರಗತಿ
"ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ. ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ".
ಮೇಲ್ವಿಚಾರಕ: ಯುಲಿಯಾ ವ್ಲಾಡಿಮಿರೊವ್ನಾ ಮೊರೊಜ್, ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ
ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕೆಲಸದ ಉದ್ದೇಶ: ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು. ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಿರಿ. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕಲಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ.
ಪರಿಚಯ
"... ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ."
E. ಬೆಕೆನ್‌ಬ್ಯಾಕ್
ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಾದ್ಯಂತ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸೃಜನಶೀಲ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅನೌಪಚಾರಿಕ, ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಒಂದು ತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ - ಅಸಮಾನತೆಯ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು.ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಗಣಿತದ ಒಲಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು (ಬೆಂಬಲ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಬಳಕೆ, ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ.ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪುರಾವೆಯು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವರ ಬೌದ್ಧಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಹೆಚ್ಚಿದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು (ಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಿಂದ) ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
"ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಪ್ರಸ್ತುತತೆ ನಿರ್ವಿವಾದವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮೂಲಭೂತ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರವು ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಹಣಕಾಸು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ - ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂತರ್ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ತಮ್ಮ ಮೂಲ ಕಾನೂನುಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ; ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ; ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ; ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ; ತನ್ನ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಸೃಜನಶೀಲವಾಗಿದೆ.
ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಈ ಕೆಲಸದ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ.
ಈ ಸಂಶೋಧನಾ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ:
- ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವಿಧ ಮೂಲಗಳಿಂದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದು;
- ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಚಯ;
- ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪೋಷಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ.
ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ
"ಹೆಚ್ಚು" ಮತ್ತು "ಕಡಿಮೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, "ಸಮಾನತೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು. ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ (3ನೇ ಶತಮಾನ BC), ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, "ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯು ವ್ಯಾಸದ ಏಳನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಸದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹತ್ತು ಎಪ್ಪತ್ತೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು" ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ π ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರು.
1557 ರಲ್ಲಿ, ರಾಬರ್ಟ್ ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮೊದಲು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ, ಅವನು ತನ್ನ ನಾವೀನ್ಯತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದ: ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಭಾಗಗಳಿಗಿಂತ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರೆಕಾರ್ಡ್‌ನ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಹ್ಯಾರಿಯಟ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅದು ಇಂದಿಗೂ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ನಾವೀನ್ಯತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ: ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ವಿಭಾಗಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಛೇದಕವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (>) ಅಥವಾ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಯಬಹುದು (
ರೆಕಾರ್ಡ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರ 74 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವುಗಳು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದವು. ಈ ವಿದ್ಯಮಾನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಣ ಮನೆಗಳು ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗಾಗಿ ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಂದಿದ್ದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಬೇರೂರಿದೆ.ವಿ, ಆದರೆ ಅವರು ಟೈಪ್ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (=), ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ.
≤ ಮತ್ತು ≥ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ P. ಬೌಗರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು.
ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸುವ ವಿಚಾರಗಳು ಅಸಮಾನತೆಗಳಂತೆಯೇ ಬಹುತೇಕ ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೊಳಕು ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಕೆಲವೇ ಕೆಲವು "ಮೂಲಭೂತ" ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು, ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ, ಉತ್ತಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುವುದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ನಮ್ಮನ್ನು ತಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಲೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ತಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕಲೆಯಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ ತಾಂತ್ರಿಕ ತಂತ್ರಗಳಿವೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ತುಂಬಾ ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ.
ಈ "ಮೂಲ" ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ, ಇದು ಎರಡು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ - ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯು ಎಂಟನೇ ತರಗತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ -. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಭಾಗಗಳು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಎರಡು ಕಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತವೆ.
ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿರುವ ಈ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವೆ ಅದ್ಭುತವಾದ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಓ. ಕೌಚಿ ಎಂಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, n ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದರು.
ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಅದರ ಅನುಬಂಧಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:
a = b ಮಾಡಿದಾಗ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
a > 0, b > 0 ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ನಿಜ.
ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:
(a - c)² ≥ 0;
"ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸ" ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
a² - 2av + b² ≥0;
ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ 4av:
a² + 2av + b² ≥4av;
"ಮೊತ್ತದ ಚೌಕ" ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
(a + b)² ≥4av;
ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸೋಣ 4 :
ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ರಿಂದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಬಯಸಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ABCD - ಆಯತಾಕಾರದ, AD = a, AB = b, AK - BAD ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕ.
ಸಾಬೀತು:
ಪುರಾವೆ:
- ಎಕೆ ಒಂದು ದ್ವಿಭಾಜಕ, ಆದ್ದರಿಂದ, VAL = LAD. LAD ಮತ್ತು BLA - ಸಮಾನಾಂತರ BC ಮತ್ತು AD ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ AL ನೊಂದಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ಅಡ್ಡ ಕೋನಗಳು, ಅಂದರೆ BLA = LAD.
- ಬಿ = 90 °, ಆದ್ದರಿಂದ BAL = LAD = 45°, ಆದರೆ BLA = LAD, ಆದ್ದರಿಂದ ∆ ABL - ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳು, BL = AB = b.
- ∆AKD - ಸಮದ್ವಿಬಾಹು, KD ರಿಂದ┴AD, DAL = 45°, ಅಂದರೆ AD = KD = a.
ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದಾಗ
a = b , ಅಂದರೆ, ABCD ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ.
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ a² by m, b² by n, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಥವಾ,
ಅಂದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ
ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಧಾನ.
ಇದು ಬೆಂಬಲ (ಮೂಲ) ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (ಸಮರ್ಥಿಸಬೇಕಾದ) ಪಡೆಯುವ (ಸಂಶ್ಲೇಷಿಸುವ) ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.
ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ
ಸಮಸ್ಯೆ 1. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ a, b, c ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ
ಪರಿಹಾರ. ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಮೂರು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.
ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ
ಸಮಸ್ಯೆ 2. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನ.
ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಗುರುತಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಕಾರ್ಯ. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ a ಮತ್ತು b ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ.
ಪರಿಹಾರ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ
ಯಾವುದೇ ಮಾನ್ಯತೆಗಾಗಿ a ಮತ್ತು b ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.
ತೀರ್ಮಾನ
ಈ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
- ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು;
- ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಚಯ, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಪುರಾವೆ;
- ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್;
- ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತತೆ ಮತ್ತು ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಗುರುತುಗಳ ಬಳಕೆ.
ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯದ ಗುರಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇವೆ - ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
- ಬೀಜಗಣಿತ. 8 ನೇ ತರಗತಿ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಂಸ್ಥೆ/ ಯು.ಎನ್.ಮಿಂಡ್ಯುಕ್, ಐ.ಇ.
- ಬೀಜಗಣಿತ. 8 ನೇ ತರಗತಿ. ನೀತಿಬೋಧಕ ವಸ್ತುಗಳು. ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಶಿಫಾರಸುಗಳು / I.E. - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ.: Mnemosyna, 2013. - 173 p.
- ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ. ಬೀಜಗಣಿತ. 8 ನೇ ತರಗತಿ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / ಎ.ಜಿ. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 10 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮ್ನೆಮೊಸಿನ್, 2008. - 215 ಪುಟಗಳು., C 185-200.
- ಬರ್ಕೊಲೈಕೊ S.T. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಳಕೆ - M.: Kvant, 1975. - No. 4.
ಕಾಂಗರೂ ಒಲಂಪಿಯಾಡ್‌ನ ಸಂಯೋಜಕರ ಸೆಮಿನಾರ್‌ನಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್ ಯಾಸಿನ್ಸ್ಕಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸ ನೀಡಿದರು.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2001 ರ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನಿಂದ ಇದು: $\frac(a)(\sqrt(a^2+8bc))+\frac(b )( \sqrt(b^2+8ac))+\frac(c)(\sqrt(c^2+8ab))\geq 1$ (ಧನಾತ್ಮಕ a,b,c ಗೆ).
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು: ಕೌಚಿ, ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ, ಜೆನ್ಸನ್, ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಸಮಾನತೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಸಮಾನತೆಯ ವಿವಿಧ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು (ಮೇಲಿನ ಒಂದು ರೀತಿಯ) ಒಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನೀವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿದಾಗ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a ಜೊತೆಗೆ b, b ಅನ್ನು c ಮತ್ತು c ಅನ್ನು a ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು), ಅವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಮರುಜೋಡಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ fಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
f(x,y,z)= f(x,z,y)= f(y ,x ,z )= f(y ,z ,x )= f(z,x,y)= f(z,y,x)
ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಮರುಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
f(x,y,z)= f(y,z,x)= f(z,x,y)
ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗಾಗಿ, ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.
ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
1. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಇರುತ್ತದೆ (ಅದನ್ನು D ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ 0.
2. ಮೂಲ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ a, b, c ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೀಯ D ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.
ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿವೆ. ಇದು:
p = a+b+c - ಮೊತ್ತ;
q = ab+bc+ac - ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ;
ಆರ್ = ಎಬಿಸಿ - ಉತ್ಪನ್ನ.
ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಮೂಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.
3. ಬಹುಪದೀಯ D ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, a, b, c ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು: $a\geq b\geq c$
4. ನಾವು ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x = a-b, y = b-c.
5. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ D ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, p, q ಮತ್ತು r ಅನ್ನು c ಮತ್ತು x, y ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
b = y+c
a = (x+y)+c
ನಂತರ
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3
x ಮತ್ತು y ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
6. ಈಗ ನಾವು x ಮತ್ತು y ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ D ಅನ್ನು c ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತು:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
ಪುರಾವೆ
ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಅ, ಬಿ, ಸಿ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$
ಮೂಲಭೂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:
$p^2 - 3q\geq 0$
ಬಹುಪದವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, $a\geq b\geq c$ ಮತ್ತು $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು.
p 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c +9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y
ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$
ಈಗ ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ x, y ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸರಿ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2(1999 ರ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನಿಂದ)
$7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ (ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, a+b+c = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ
ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅಸಮಾನತೆಯ ಭಾಗಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ a+b+c ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಎರಡನ್ನು ಒಂದು ಘನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$
ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗವನ್ನು a, b, c ನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$
ಮೂಲಭೂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$
ಎಡಭಾಗವನ್ನು x, y ಮತ್ತು c ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ, c ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಬಹುಪದವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9( (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+ 9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3 ) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2 +14(x+2y) 2 c +7(x+2y)(x+ y) y+63c 3 +42(x+2y)c 2 +21(x+y)yс -2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c -54(x+2y)c 2 - 54c 3 -9(x+y)yc -9(x+2y)c 2 -9c 3
ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ. ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೆವಿಚ್ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅವನು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಯಾರಾದರೂ ಅವನನ್ನು ವಿಚಲಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅವನು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯನ್ನು ಎಸೆದು ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ.
ಅಂತಿಮ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
c 3 ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ನಾಶವಾಗುತ್ತವೆ: 63c 3 -54c 3 -9c 3 = 0
ಇದರೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ: 21(x+2y)c 2 +42(x+2y)c 2 -54(x+2y)c 2 -9(x+2y)c 2 = 0
ಪದಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: 14(x+2y) 2 c+21(x+y)yс-18(x+2y) 2 c-9(x+y)yc= -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 ) ಸಿ - ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದಿಗೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಮತ್ತು ಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳು: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+ 4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೂಡ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a=b=c ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೆವಿಚ್ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದರು. ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಬಹುಶಃ ಇದು ಹಲವಾರು ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆ: ಮುನ್ಸಿಪಲ್ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ ಲೈಸಿಯಮ್ ನಂ. 1, ಕೊಮ್ಸೊಮೊಲ್ಸ್ಕ್-ಆನ್-ಅಮುರ್
ಮುಖ್ಯಸ್ಥ: ಬುಡ್ಲಿಯಾನ್ಸ್ಕಯಾ ನಟಾಲಿಯಾ ಲಿಯೊನಿಡೋವ್ನಾ
ನೀವು ದೊಡ್ಡ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿರುವಾಗ ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯನ್ನು ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ತುಂಬಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಅವಳು ನಿಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಕೆಲಸಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾಳೆ. (M.I. ಕಲಿನಿನ್)
ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ (ಬಲಭಾಗವು 0) ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಯಾವುದೇ xϵR ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ . 1 ದಾರಿ.
ವಿಧಾನ 2.
ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನೈಜತೆಗೆ ಅದರ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆ X.
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4. ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
2. ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ . 1 ದಾರಿ.
ವಿಧಾನ 2.
ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನೈಜತೆಗೆ ಅದರ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆ X.
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4. ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
2. ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ವಿಧಾನ 2.
ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನೈಜತೆಗೆ ಅದರ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆ X.
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4. ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
2. ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನೈಜತೆಗೆ ಅದರ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆ X.
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4. ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
2. ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನೈಜತೆಗೆ ಅದರ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆ X.
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4. ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
2. ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4. ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
2. ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4. ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
2. ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 4. ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
2. ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ.
2. ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
a, b ϵ R ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪುರಾವೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಸಿ.ಟಿ.ಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
,
ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ .
ಈಗ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ , ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
, ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ವೇಳೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ a=2, 2>0 =>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
=>
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X: , a>0, D D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
D= => P(x)>0ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜ Xಮತ್ತು ಯು.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ
, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಯಾವುದೇ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ Xಮತ್ತು ಯು.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, . ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
. ನಾವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ. ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
ಇದಲ್ಲದೆ, a=b=0 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
a=b ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಜ
2) ವೇಳೆ , R => ನಲ್ಲಿ ()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
()* ()>0, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 11. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ =>
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 12. ಯಾವುದೇ nϵN ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
- (ಬಲ) 2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
2) ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ (k>1)
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
3) n=k+1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ತೀರ್ಮಾನ: ಹೇಳಿಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜ nϵN
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ)
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ (ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆ)
ಹಲವಾರು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ನಂತರ n=2 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=2, a>0 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಂತರ n=3 ಎಂದು ಬಿಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a,b,c ಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಪುರಾವೆ.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ
Cauchy-Bunyakovsky ಅಸಮಾನತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ; ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n=2,3 ಗಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . n=3 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಉದಾಹರಣೆ 14.
ಪುರಾವೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
ಇದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ನಿಜವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 15. ಯಾವುದೇ a,b,c ϵ R ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಪುರಾವೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ ಸಾಕು
ಮತ್ತು ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ.
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯು x>-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, n ನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ: ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.
ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 16.
ಪುರಾವೆ. ಹಾಕುವುದು x=0.5 ಮತ್ತುವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು
ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 17. ಯಾವುದೇ n ϵ N ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ.
ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ. 
ಡೇವಿಡ್ ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಲಾಯಿತು. "ಓಹ್, ಹೀಗೆ?" ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರು "ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು.
ಕಾಂಗರೂ ಒಲಂಪಿಯಾಡ್‌ನ ಸಂಯೋಜಕರ ಸೆಮಿನಾರ್‌ನಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್ ಯಾಸಿನ್ಸ್ಕಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸ ನೀಡಿದರು.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2001 ರ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನಿಂದ ಇದು: $\frac(a)(\sqrt(a^2+8bc))+\frac(b )( \sqrt(b^2+8ac))+\frac(c)(\sqrt(c^2+8ab))\geq 1$ (ಧನಾತ್ಮಕ a,b,c ಗೆ).
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು: ಕೌಚಿ, ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ, ಜೆನ್ಸನ್, ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಸಮಾನತೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಸಮಾನತೆಯ ವಿವಿಧ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು (ಮೇಲಿನ ಒಂದು ರೀತಿಯ) ಒಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನೀವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿದಾಗ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a ಜೊತೆಗೆ b, b ಅನ್ನು c ಮತ್ತು c ಅನ್ನು a ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು), ಅವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಮರುಜೋಡಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ fಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
f(x,y,z)= f(x,z,y)= f(y ,x ,z )= f(y ,z ,x )= f(z,x,y)= f(z,y,x)
ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಮರುಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
f(x,y,z)= f(y,z,x)= f(z,x,y)
ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗಾಗಿ, ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.
ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
1. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಇರುತ್ತದೆ (ಅದನ್ನು D ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ 0.
2. ಮೂಲ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ a, b, c ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೀಯ D ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.
ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿವೆ. ಇದು:
p = a+b+c - ಮೊತ್ತ;
q = ab+bc+ac - ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ;
ಆರ್ = ಎಬಿಸಿ - ಉತ್ಪನ್ನ.
ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಮೂಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.
3. ಬಹುಪದೀಯ D ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, a, b, c ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು: $a\geq b\geq c$
4. ನಾವು ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x = a-b, y = b-c.
5. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ D ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, p, q ಮತ್ತು r ಅನ್ನು c ಮತ್ತು x, y ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
b = y+c
a = (x+y)+c
ನಂತರ
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3
x ಮತ್ತು y ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
6. ಈಗ ನಾವು x ಮತ್ತು y ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ D ಅನ್ನು c ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತು:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
ಪುರಾವೆ
ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಅ, ಬಿ, ಸಿ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$
ಮೂಲಭೂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:
$p^2 - 3q\geq 0$
ಬಹುಪದವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, $a\geq b\geq c$ ಮತ್ತು $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು.
p 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c +9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y
ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$
ಈಗ ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ x, y ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸರಿ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2(1999 ರ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನಿಂದ)
$7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ (ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, a+b+c = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪುರಾವೆ
ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅಸಮಾನತೆಯ ಭಾಗಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ a+b+c ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಎರಡನ್ನು ಒಂದು ಘನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$
ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗವನ್ನು a, b, c ನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$
ಮೂಲಭೂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$
ಎಡಭಾಗವನ್ನು x, y ಮತ್ತು c ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ, c ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಬಹುಪದವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9( (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+ 9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3 ) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2 +14(x+2y) 2 c +7(x+2y)(x+ y) y+63c 3 +42(x+2y)c 2 +21(x+y)yс -2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c -54(x+2y)c 2 - 54c 3 -9(x+y)yc -9(x+2y)c 2 -9c 3
ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ. ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೆವಿಚ್ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅವನು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಯಾರಾದರೂ ಅವನನ್ನು ವಿಚಲಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅವನು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯನ್ನು ಎಸೆದು ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ.
ಅಂತಿಮ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
c 3 ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ನಾಶವಾಗುತ್ತವೆ: 63c 3 -54c 3 -9c 3 = 0
ಇದರೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ: 21(x+2y)c 2 +42(x+2y)c 2 -54(x+2y)c 2 -9(x+2y)c 2 = 0
ಪದಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: 14(x+2y) 2 c+21(x+y)yс-18(x+2y) 2 c-9(x+y)yc= -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 ) ಸಿ - ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದಿಗೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಮತ್ತು ಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳು: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+ 4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೂಡ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a=b=c ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೆವಿಚ್ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದರು. ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಬಹುಶಃ ಇದು ಹಲವಾರು ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಕೆಲವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
1) a – b > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, a > b; ಒಂದು ವೇಳೆ - ಬಿ
2) a > b ಆಗಿದ್ದರೆ, b a;
3) ಒಂದು ವೇಳೆ
4) ಒಂದು ವೇಳೆ
5) ಒಂದು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ac
6) ಒಂದು BC ವೇಳೆ; a/c > b/c ;
7) ಒಂದು ವೇಳೆ 1
8) 0 ಆಗಿದ್ದರೆ
ಇತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕೆಲವು ಪೋಷಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:
1) a 2 > 0;
2) ax 2 + bx + c > 0, a > 0, b 2 – 4ac ಗಾಗಿ
3) x + 1 / x > 2, x > 0, ಮತ್ತು x + 1 / x –2, x ಗಾಗಿ
4) |ಎ + ಬಿ| |ಎ| + |b|, |a – b|
> |ಎ| – |b|;
5) a > b > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 1/a
6) a > b > 0 ಮತ್ತು x > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, a x > b x , ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ n > 2 ಗಾಗಿ a 2 > b 2 ಮತ್ತು n √ a > n √;
ಬಿ
7) a > b > 0 ಮತ್ತು x ಆಗಿದ್ದರೆ 8) x > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರಪಾಪ
x
- ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ಅಸಮಾನತೆ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ):
- ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ:
(1 + α) n ≥ 1 + nα, ಅಲ್ಲಿ α > -1, n – ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ;
- ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ:
(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2) (b 1 2 + b 2 2 );
ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ "ಜನಪ್ರಿಯ" ವಿಧಾನಗಳು ಸೇರಿವೆ:
- ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ;
- ಚದರ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನ;
- ಅನುಕ್ರಮ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ವಿಧಾನ;
- ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನ;
- ವಿಶೇಷ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಬಳಕೆ;
- ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಂಶಗಳ ಬಳಕೆ;
- ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳ ಬಳಕೆ;
- ಬಲಪಡಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
1. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
a) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 (a + b + c);
b) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;
c) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 ಗಾಗಿ x > 0, y > 0.
ಎ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,
ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ಬಿ) ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ ಸಾಬೀತಾಗುವ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ
2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,
ಅಥವಾ
(a 2 – 2ab + b 2) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,
ಅಥವಾ
(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,
ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. a = b = 1 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಿ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =
= (x – y) (x 4 – y 4) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2) > 0.
2. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
| ಎ) | ಎ | + | √ a > n √ | > | a > 0, b > 0 ಗೆ 2; | |
| √ a > n √ | ಎ |
| b) | ಆರ್ | + | ಆರ್ | + | ಆರ್ | > 9, ಇಲ್ಲಿ a, b, c ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು P ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯಾಗಿದೆ; | |
| ಎ | √ a > n √ | ಸಿ |
|
c) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, ಇಲ್ಲಿ a > 0, b > 0, c > 0. |
ಎ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
| ಎ | + | √ a > n √ | – 2 = | a 2 + b 2 - 2ab | = | (ಎ-ಬಿ) 2 | > 0. | |
| √ a > n √ | ಎ | ab | ab |
ಬಿ ) ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:
| ಬಿ+ಸಿ | + | a+c | + | a+b | = |
| ಎ | √ a > n √ | ಸಿ |
| = | √ a > n √ | + | ಸಿ | + | ಎ | + | ಸಿ | + | ಎ | + | √ a > n √ | = |
| ಎ | ಎ | √ a > n √ | √ a > n √ | ಸಿ | ಸಿ |
| = ( | √ a > n √ | + | ಎ | ) + ( | ಸಿ | + | ಎ | ) + ( | ಸಿ | + | √ a > n √ | ) > 6, |
| ಎ | √ a > n √ | ಎ | ಸಿ | √ a > n √ | ಸಿ |
ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಿ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
|
ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac (a + c – 2b) = |
| = ಎಬಿಸಿ ( | ಎ | + | √ a > n √ | – 2 + | √ a > n √ | + | ಸಿ | – 2 + | ಎ | + | ಸಿ | – 2 ) = |
| ಸಿ | ಸಿ | ಎ | ಎ | √ a > n √ | √ a > n √ |
| = ಎಬಿಸಿ (( | ಎ | + | √ a > n √ | – 2) + ( | ಎ | + | ಸಿ | – 2) + ( | √ a > n √ | + | ಸಿ | – 2) ) > 0, |
| √ a > n √ | ಎ | ಸಿ | ಎ | ಸಿ | √ a > n √ |
ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3. a + b = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆ a 8 + b 8 > 1 / 128 ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
a + b = 1 ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನಿಂದ, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
a 2 + 2ab + b 2 = 1.
ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ
a 2 – 2ab + b 2 > 0.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
2a 2 + 2b 2 > 1, ಅಥವಾ 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.
4a 4 - 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
8a 4 + 8b 4 > 1, ಎಲ್ಲಿಂದ 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.
ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು
64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
128a 8 + 128 b 8 > 1 ಅಥವಾ a 8 + b 8 > 1/128.
4. ಇನ್ನೇನು ಇ ಇ · π πಅಥವಾ ಇ 2π?
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ f(x) = x – π ln x . ಅಂದಿನಿಂದ f'(x) = 1 - π/x , ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಕ್ಕೆ X = π f'(x) 0 , ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ - f'(x) > 0, ಅದು f(x)ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ X = π . ಹೀಗೆ f(е) > f(π), ಅಂದರೆ
ಇ - π ಎಲ್ಎನ್ ಇ = ಇ – π > π – π ln π
ಅಥವಾ
ಇ + π ln π > 2π .
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಇ ಇ + π ln π > ಇ 2π,
ಅವಳ· ಇ π ln π > ಇ 2 π ,
ಇ ಇ · π π > ಇ 2π.
5. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
| ಲಾಗ್(n+1) > | ಲಾಗ್ 1 + ಲಾಗ್ 2 + . . . + ಲಾಗ್ ಎನ್ | . |
| ಎನ್ |
ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು ಸುಲಭ:
(n + 1) n > n!,
ಅಲ್ಲಿ n! = 1 · 2 · 3 · . . . · ಎನ್ (ಎನ್-ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್). ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ:
n + 1 > 1,
n + 1 > 2,
n + 1 > 3,
. . . . .
n + 1 > n,
ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ (n + 1) n > n!.
6. 2013 2015 · 2015 2013 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
2013 2015 · 2015 2013 = 2013 2 · 2013 2013 · 2015 2013 =
2013 2 (2014 - 1) 2013 (2014 + 1) 2013
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು: ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗೆ
(n – 1) n +1 (n + 1) n –1
7. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
| 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | 2n - 1 | . | |
| 1! | 2! | 3! | ಎನ್! | ಎನ್ |
ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ:
| 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | = |
| 1! | 2! | 3! | ಎನ್! |
| = 1 + | 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | |
| 1 2 | 1 2 3 | 1 2 3 4 | 1 · 2 · 3 · . . . ಎನ್ |
| 1 + | 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | = |
| 1 2 | 2 3 | 3 4 | (ಎನ್ - 1) ಎನ್ |
| = 1 + (1 – | 1 | ) + ( | 1 | – | 1 | ) + ( | 1 | – | 1 | ) + . . . + ( | 1 | – | 1 | ) = 2 – | 1 | , |
| 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | n - 1 | ಎನ್ | ಎನ್ |
ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
8. a 1 2, a 2 2, a 3 2, ಲೆಟ್. . . , ಮತ್ತು n 2 ಗಳು n ವಿಭಿನ್ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
| (1 – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) . . . (1 | – | 1 | ) > | 1 | . |
| a 1 2 | a 2 2 | a 3 2 | a n 2 | 2 |
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು m ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ
| (1 – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) . . . (1 | – | 1 | ) > |
| a 1 2 | a 2 2 | a 3 2 | a n 2 |
| > ( 1 – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) . . . (1 | – | 1 | ) , |
| 2 2 | 3 2 | 4 2 | ಮೀ 2 |
ಏಕೆಂದರೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
| = | 2 · 3 2 · 4 2 · . . . · (ಮೀ - 1) 2 · (ಮೀ + 1) | = | m+1 | = | 1 | + | 1 | > | 1 | . |
| 2 2 · 3 2 · 4 2 · . . . ಮೀ 2
ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು, ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 1 + (a 1 + . . + a n) + (a 1 a 2 + . . + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 + . . . . . + a 1 a 2 . . . ಒಂದು ಎನ್. ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು (a 1 + . . + a n) 2 ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಮೂರನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತವು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ (a 1 + . . + a n) 3, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದರರ್ಥ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . + 1 / 2 n = 2 - 1 / 2 n ವಿಧಾನ 2. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ n ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ: (1 + ಎ 1) . . . (1 + a n) n = 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 1 + a 1 1 . n = k ಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ:(1 + ಎ 1) . . . (1 + ಎಕೆ) 1 + . . +ಎ ಕೆ). n = k +1 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:(1 + ಎ 1) . . . (1 + ಎ ಕೆ)(1 + ಎ ಕೆ +1) (1 + 2(a 1 + .. + a k ) )(1 + ಎಕೆ +1 ) ≤ 1 + 2(ಎ 1 + . . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 1 / 2) = 1 + 2(a 1 + . . + a k + a k +1 ). ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಮೂಲಕ, ಅಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. 10. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: (1 + α) n ≥ 1 + nα, ಇಲ್ಲಿ α > -1, n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. n = 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ನಿಜವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 1 + α ≥ 1 + α.ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ: (1 + α) n ≥ 1 + nα. ನಂತರ ಅದು ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ ಮತ್ತು (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α.ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, α > –1 α + 1 > 0 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ (1 + α) n ≥ 1 + nα (a + 1) ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α)ಅಥವಾ (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2nα 2 ≥ 0 ರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ, (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α.ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು1. ಅಸ್ಥಿರ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c). 2. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತು 3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2. 3. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x 12 – x 9 + x 4 – x x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ + 1 ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 4. 0 ಇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು (ಇ+ x) ಇ– x > ( ಇ- x) ಇ+ x 5. a, b, c ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
|