បន្សំ - សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលសំណួរត្រូវបានសិក្សាអំពីចំនួនបន្សំផ្សេងគ្នា អាស្រ័យនឹងលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
Combinatorics មានដើមកំណើតនៅសតវត្សទី 16 ។ បញ្ហាផ្សំដំបូងទាក់ទងនឹងល្បែងស៊ីសង។ សព្វថ្ងៃនេះ វិធីសាស្រ្តផ្សំត្រូវបានប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដឹកជញ្ជូន រៀបចំផែនការផលិតកម្ម និងលក់ផលិតផល។ ការតភ្ជាប់ត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាង combinatorics និងបញ្ហានៃកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ និងស្ថិតិ។ Combinatorics ត្រូវបានប្រើដើម្បីសរសេរ និងឌិកូដ ciphers និងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងទៀតនៅក្នុងទ្រឹស្តីព័ត៌មាន។
វិធីសាស្ត្រផ្សំក៏ដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធ - ទ្រឹស្តីក្រុម និងការតំណាងរបស់ពួកគេ ការសិក្សាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ ពិជគណិតដែលមិនពាក់ព័ន្ធ។ល។
ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហារួមបញ្ចូលគ្នា។ តើលេខបីខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានខ្ទង់ពីលេខ 0, 2, 4, 6, 8 ដោយប្រើលេខនីមួយៗមិនលើសពីម្តង?
ខ្ញុំវិធី។ តោះព្យាយាមសរសេរលេខបែបនេះទាំងអស់គ្នា។ កន្លែងទីមួយអាចជាលេខណាមួយ លើកលែងតែលេខ 0។ ឧទាហរណ៍ 2. កន្លែងទីពីរអាចជាលេខណាមួយពី 0, 4, 6 និង 8។ សូមអោយវាជាលេខ 0។ បន្ទាប់មកលេខទីបីអាចជាលេខណាមួយនៃ 4, 6, 8។ យើងទទួលបានបីលេខ
ជំនួសឱ្យលេខ 0 អ្នកអាចដាក់លេខ 4 នៅកន្លែងទីពីរ បន្ទាប់មកលេខទីបីអាចត្រូវបានសរសេរទាំង 0 ឬ 6 ឬ 8៖
ដោយហេតុផលស្រដៀងគ្នានេះ យើងទទួលបានលេខបីខ្ទង់ពីរបន្ថែមទៀតដែលមានលេខ 2 នៅកន្លែងដំបូង៖
ក្រៅពីលេខ 12 មិនមានលេខបីខ្ទង់ផ្សេងទៀតដែលមានលេខ 2 នៅកន្លែងដំបូងដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនោះទេ។
ប្រសិនបើយើងសរសេរលេខ 4 នៅកន្លែងដំបូង ហើយជ្រើសរើសលេខដែលនៅសល់ពីលេខ 0, 2, 6, 8 នោះយើងទទួលបាន 12 លេខទៀត៖
លេខដូចគ្នានៃលេខបីខ្ទង់អាចត្រូវបានធ្វើឡើងជាមួយនឹងលេខ 6 នៅក្នុងកន្លែងដំបូងនិងលេខ 8 នៅកន្លែងដំបូង។ ដូច្នេះបរិមាណដែលត្រូវការគឺ៖
ទាំងនេះគឺជាលេខ៖
204, 206, 208, 240, 246, 248, 260, 264, 268, 280, 284, 286;
402, 406, 408, 420, 426, 428, 460, 462, 468, 480, 482, 486;
602, 604, 608, 620, 624, 628, 640, 642, 648, 680, 682, 684;
802, 804, 806, 820, 824, 826, 840, 842, 846, 860, 862, 864.
ចម្លើយ៖ ៤៨. ◄
វិធីសាស្រ្តវែកញែកដែលយើងប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាពីមុនត្រូវបានគេហៅថា ស្វែងរកតាមជម្រើសដែលអាចធ្វើបាន .
ច្បាប់សម្រាប់ការបូកនិងគុណ
ច្បាប់នៃការបូកបញ្ចូលគ្នា("ឬ" ច្បាប់ - ក្បួនជាមូលដ្ឋានមួយនៃ combinatorics ដែលចែងថាប្រសិនបើមាន ន ធាតុនិងធាតុ ក ១អាចជ្រើសរើសបាន។ ម 1 វិធី, ធាតុ ក ២អាចជ្រើសរើសបាន។ ម 2 ក ន អាចជ្រើសរើសបាន។ ម ន វិធី បន្ទាប់មកជ្រើសរើស ឬ ក ១, ឬ ក ២ឬ ជាដើម។ ក ន អាច
ម 1 + ម 2 + ... + ម ន
វិធី។
ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចជ្រើសរើសអំណោយសម្រាប់កុមារពីឡាន 9 គ្រឿង ខ្លាឃ្មុំ 7 ក្បាល និងផ្លូវដែក 3 ។
វិធី។
ចម្លើយ៖ ១៩. ◄
ក្បួនគុណ ("និង"ច្បាប់) - ច្បាប់សំខាន់មួយទៀតនៃ combinatorics ។ នេះបើយោងតាមគាត់ប្រសិនបើធាតុមួយ។ ក ១អាចជ្រើសរើសបាន។ ម 1 វិធី, ធាតុ ក ២អាចជ្រើសរើសបាន។ ម 2 វិធី និងផ្សេងៗទៀត ធាតុ ក ន អាចជ្រើសរើសបាន។ ម ន វិធីបន្ទាប់មកសំណុំនៃធាតុ ( ក ១, ក ២, ... , ក ន ) អាចជ្រើសរើសបាន។
ម 1 · ម 2 · ... · ម ន
វិធី។
ឧទាហរណ៍។
1) អ្នកអាចជ្រើសរើសឡាន តុក្កតាខ្លាឃ្មុំ និងផ្លូវរថភ្លើងជាអំណោយសម្រាប់កូនរបស់អ្នក ដោយជ្រើសរើសពីរថយន្ត 9 គ្រឿង ខ្លាឃ្មុំតុក្កតា 7 និងផ្លូវរថភ្លើងចំនួន 3 ។
9 7 3 = 189
វិធី។
ចម្លើយ៖ ១៨៩ ។
២) ចូរយើងប្រើក្បួនគុណដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានពិភាក្សាខាងលើ៖ តើលេខបីខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានខ្ទង់ពីខ្ទង់ 0, 2, 4, 6, 8 ដោយប្រើលេខនីមួយៗមិនលើសពីម្តងក្នុងការសរសេរលេខ?
IIវិធី។
0 មិនអាចមកមុនបានទេ ដែលមានន័យថាខ្ទង់ដំបូងត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសពី 2, 4, 6, 8 - 4 វិធី;
ខ្ទង់ទី 2 អាចជាវិធីណាមួយក្នុងចំណោម 4 ដែលនៅសល់។
ខ្ទង់ទីបីអាចត្រូវបានជ្រើសរើសក្នុងចំណោមវិធីបី - 3 ដែលនៅសល់។
ដូច្នេះចំនួនដែលត្រូវការនៃលេខបីខ្ទង់៖
4 4 3 = 48 .
ចម្លើយ៖ ៤៨. ◄
ការរៀបចំឡើងវិញ
មានច្រើន ន ធាតុត្រូវបានគេហៅថា បានបញ្ជា ប្រសិនបើធាតុនីមួយៗរបស់វាត្រូវបានផ្តល់លេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ ន .
ការរៀបចំឡើងវិញ ពី ន ធាតុគឺជាសំណុំនៃលំដាប់ណាមួយ។ ន ធាតុ។
ឧទាហរណ៍ពី 4 ធាតុ ♦ ♣ ♠ ការផ្លាស់ប្តូរ 24 ខាងក្រោមអាចត្រូវបានធ្វើឡើង:
| ♦
♣ ♠
| ♦
♣ ♠
| ♣
♦
♠
| ♠
♦
♣
|
| ♦
♠ ♣
| ♦
♠ ♣
| ♣
♦
♠
| ♠
♦
♣
|
| ♦
♣
♠
| ♣
♦
♠
| ♣
♦
♠
| ♠
♦
♣
|
| ♦
♣ ♠
| ♣ ♠ ♦
| ♣
♠ ♦
| ♠
♣
♦
|
| ♦
♠ ♣
| ♠ ♦
♣
| ♣
♠ ♦
| ♠
♣
♦
|
| ♦
♠ ♣
| ♠ ♣ ♦
| ♣
♠ ♦
| ♠
♣
♦
|
◄
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរពី ន ធាតុត្រូវបានកំណត់ជាធម្មតា ទំ ន . តាមរយៈការស្វែងរកតាមជម្រើសដែលអាចធ្វើបាន វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់វា។
ទំ ១ = 1; P2 = 2; ទំ ៣ = 6; ទំ ៤ = 24.
ជាទូទៅចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចធ្វើបានពី ន ធាតុគឺស្មើនឹងផលគុណនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ចាប់ពី 1 ដល់ ន នោះគឺ ន! (អាន "en factorial"):
ទំ ន= 1 · 2 · 3 · ... · ( n- 1 ) · ន = ន!.
សម្រាប់ P នរូបមន្តដដែលៗមានសុពលភាព៖
ទំ ន = ន· ភី n- 1 .
តម្លៃនៃហ្វាក់តូរីស ត្រូវបានកំណត់មិនត្រឹមតែសម្រាប់លេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់លេខ 0៖
0! = 1 .
| តារាងកត្តានៃចំនួនគត់ពី 0 មុន 10
|
|||||||||||
| ន
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|
| ន!
| 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5 040 | 40 320 | 362 880 | 3 628 800 |
ជាឧទាហរណ៍ តើក្មេងប្រុស 5 នាក់ និងក្មេងស្រី 5 នាក់អាចអង្គុយនៅជួរតែមួយពីលេខ 1 ដល់លេខ 10 ក្នុងរោងកុនបានប៉ុន្មានរបៀប ប្រសិនបើគ្មានក្មេងប្រុសពីរនាក់ និងគ្មានក្មេងស្រីពីរនាក់អង្គុយជិតគ្នា?
មានករណីចំនួនពីរដែលអាចធ្វើទៅបានជាមួយនឹងចំនួនវិធីដូចគ្នា៖ 1) ក្មេងប្រុស - នៅកន្លែងសេស ក្មេងស្រីនៅកន្លែងតែមួយ និង 2) ផ្ទុយមកវិញ។
ចូរយើងពិចារណាករណីទីមួយ។ ក្មេងប្រុសអាចអង្គុយនៅកៅអីសេស
P5 = 120
វិធី។ មានវិធីជាច្រើនសម្រាប់ក្មេងស្រីនៅកន្លែងដែលមានលេខគូ។ យោងទៅតាមក្បួនគុណក្មេងប្រុសស្ថិតនៅក្នុងកន្លែងសេសក្មេងស្រីអាចស្ថិតនៅកន្លែងសូម្បីតែ
120 · 120 = 14,400
វិធី។ ដូច្នេះនៅក្នុងវិធីសរុប
14 400 + 14 400 = 28 800.
ចម្លើយ៖ ២៨ ៨០០។ ◄
ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ
ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ ពី ន ធាតុ, រួមទាំង k ខុសគ្នាខណៈពេលដែលមាន ន 1 ធាតុដែលមិនអាចបែងចែកបាននៃប្រភេទទីមួយ ន 2 ធាតុដែលមិនអាចបំបែកបាននៃប្រភេទទីពីរនិងដូច្នេះនៅលើ, ន k ធាតុដែលមិនអាចបែងចែកបាន។ k ប្រភេទទី (កន្លែងណា ន 1 + ន 2 + … + n k = ន ) ការរៀបចំណាមួយនៃធាតុទាំងនេះតាម ន កន្លែងផ្សេងៗ។
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗនៃប្រវែង ន ពី k ធាតុផ្សេងគ្នា, យកតាម ន 1 , ន 2 , …, n k ដងនីមួយៗត្រូវបានតាង និងគណនាដូចខាងក្រោម៖ $$P_(n_1,n_2, ... , n_k)=\frac(n{n_1!n_2! ... n_k!}~.$$!}
ឧទាហរណ៍ តើលេខដប់ខ្ទង់អាចត្រូវបានគេបង្កើតចេញពីខ្ទង់ប៉ុន្មាន៖ ១, ២, ២, ៣, ៣, ៣, ៤, ៤, ៤, ៤?
ក្នុងករណីនេះ: n = 10, ន 1 = 1, ន 2 = 2, ន 3 = 3, ន 4 = 4,$$P_(1, 2, 3, 4)=\frac(10{1!2! 3! 4!}=\frac{10!}{1!2! 3! 4!}=12~600.$$!}
ចម្លើយ៖ ១២.៦០០។ ◄
ទីតាំង
ដោយដាក់ធាតុ n តាមលំដាប់ m(m ≤ n) ម ធាតុដែលបានយកតាមលំដាប់ជាក់លាក់ពីទិន្នន័យ ន ធាតុ។
ការស្នាក់នៅពីរពី នធាតុដោយ មត្រូវបានគេចាត់ទុកថាខុសគ្នា ប្រសិនបើពួកវាខុសគ្នានៅក្នុងធាតុខ្លួនឯង ឬលំដាប់នៃការរៀបចំរបស់ពួកគេ។
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងរៀបចំទាំងអស់ពីធាតុទាំងបួន A, B, C, Dធាតុពីរនីមួយៗ៖
A B; A C; A D;
B A; B C; B D;
C A; គ B; C D;
ឃ A; ឃ ខ; ឃ.
◄
ចំនួននៃការដាក់ទាំងអស់ពី នធាតុដោយ មបញ្ជាក់ \(A_n^m\) (អាន៖ " កពី នដោយ ម") ហើយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តណាមួយ៖ $$A_n^m=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot (n-m+1)\\A_n^ m=\frac(n{(n-m)!}$$!}
ឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ច។
1) ចូរយើងប្រើគំនិតនៃការដាក់ពី ន ធាតុដោយ ម ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានពិភាក្សាពីមុនពីរដងរួចមកហើយ៖ តើលេខបីខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានពីខ្ទង់ 0, 2, 4, 6, 8 ដោយប្រើលេខនីមួយៗមិនលើសពីម្តងក្នុងការសរសេរលេខ?
ខ្ញុំ ខ្ញុំខ្ញុំវិធី។
ខ្ទង់ទីមួយអាចត្រូវបានជ្រើសរើសជាបួនវិធីពីសំណុំ 2, 4, 6, 8 ។ ក្នុងករណីនីមួយៗចំនួនគូនៃខ្ទង់ទីពីរ និងទីបីគឺស្មើនឹងចំនួននៃការដាក់លេខ 4 ខ្ទង់ដែលនៅសល់ដោយ 2 .នេះមានន័យថាចំនួនលេខបីខ្ទង់ដែលត្រូវការគឺ៖ $4\cdot A_4^ 2=4\cdot\frac(4{(4-2)!}=4\cdot \frac{4!}{2!}=4\cdot (3\cdot 4)=48.$$Ответ: 48.!}
២) ដើម្បីហោះហើរទៅកាន់ទីអវកាស អ្នកត្រូវមាននាវិក ៦នាក់។ វាគួរតែរួមបញ្ចូលៈ មេបញ្ជាការកប៉ាល់ មន្ត្រីទីមួយ និងទីពីររបស់គាត់ វិស្វករជើងហោះហើរពីរនាក់ ដែលម្នាក់មានវ័យចំណាស់ និងវេជ្ជបណ្ឌិតម្នាក់។ បុគ្គលិកបញ្ជាការត្រូវបានជ្រើសរើសពីអ្នកបើកយន្តហោះ 20 នាក់ វិស្វករហោះហើរពីអ្នកឯកទេសចំនួន 15 នាក់ និងវេជ្ជបណ្ឌិតម្នាក់មកពីវេជ្ជបណ្ឌិត 5 នាក់។ តើនាវិកអាចត្រូវបានបុគ្គលិកតាមវិធីប៉ុន្មាន?
ដោយសារការបញ្ជាទិញមានសារៈសំខាន់ក្នុងការជ្រើសរើសបុគ្គលិកបញ្ជា មេបញ្ជាការ និងជំនួយការពីរនាក់របស់គាត់អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី \(A_(20)^3\) ។ លំដាប់នៃវិស្វករហោះហើរក៏សំខាន់ផងដែរ ដែលមានន័យថាមានវិធី \(A_(15)^2\) ដើម្បីជ្រើសរើសពួកគេ។ មានវេជ្ជបណ្ឌិតតែម្នាក់គត់ មានជម្រើសសម្រាប់គាត់ 5 វិធី។ តោះប្រើក្បួនគុណបន្សំ និងស្វែងរកចំនួននាវិកកប៉ាល់ដែលអាចធ្វើបាន៖ $$A_(20)^3\cdot A_(15)^2\cdot 5=\frac(20{17!}\cdot \frac{15!}{13!}\cdot 5=(18\cdot 19\cdot 20)\cdot (14\cdot 15)\cdot 5=7~182~000.$$Ответ: 7 182 000. !} ◄
វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើ m = ន បន្ទាប់មក $$A_n^m=A_n^n=P_n=n!.$$
វាក៏ជាការពិតផងដែរប្រសិនបើ m = n - 1 បន្ទាប់មក$$A_n^(n-1)=A_n^n=P_n=n!.$$
ទីតាំងជាមួយពាក្យដដែលៗ
បន្ថែមពីលើកន្លែងធម្មតាក៏មានផងដែរ។ ទីតាំងជាមួយពាក្យដដែលៗ ឬ គំរូជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ .
សូមឱ្យមាន ន វត្ថុផ្សេងៗ។ ចូរយើងជ្រើសរើសពីពួកគេ។ ម បំណែក, ធ្វើសកម្មភាពលើគោលការណ៍ដូចខាងក្រោម។ តោះយកមួយណាក៏បាន ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនដាក់វានៅក្នុងជួរណាមួយនោះទេ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែសរសេរឈ្មោះរបស់វានៅក្រោមលេខ 1 ហើយបន្ទាប់មកប្រគល់វត្ថុដោយខ្លួនវាទៅកន្លែងដែលនៅសល់។ បន្ទាប់មកម្តងទៀត ន ចូរយើងជ្រើសរើសវត្ថុមួយ (រួមទាំង ប្រហែលជាវត្ថុដែលទើបនឹងយក) សរសេរឈ្មោះរបស់វា សម្គាល់វាដោយលេខ 2 ហើយប្រគល់វត្ថុនោះមកវិញម្តងទៀត។ ហើយបន្តរហូតដល់យើងទទួលបាន ម ចំណងជើង។
កន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗត្រូវបានតាងដោយ \(\overline(A)_n^m\) ហើយយោងទៅតាមក្បួនគុណត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត $$\overline(A)_n^m=n^m.$$ ចំណាំថា នៅទីនេះយើងអនុញ្ញាតឱ្យករណីនេះ។ m > ន នោះគឺមានវត្ថុដែលបានជ្រើសរើសច្រើនជាងចំនួនសរុប។ នេះមិនមែនជារឿងគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេ៖ រាល់វត្ថុទាំងអស់បន្ទាប់ពី "បានប្រើ" ត្រូវបានប្រគល់មកវិញ ហើយអាចប្រើឡើងវិញបាន។
ឧទាហរណ៍ ចំនួនជម្រើសសម្រាប់លេខសម្ងាត់ប្រាំមួយតួអក្សរ ដែលតួអក្សរនីមួយៗមានលេខពី 0 ដល់ 9 ឬអក្សរនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង (អក្សរតូច និងអក្សរធំដូចគ្នា - តួអក្សរមួយ) ហើយអាចធ្វើម្តងទៀតបានគឺស្មើគ្នា។ ទៅ៖ $$\overline(A)_(10 +26)^6=\overline(A)_(36)^6=36^6=2~176~782~336.$$ ប្រសិនបើអក្សរតូច និងអក្សរធំ ចាត់ទុកថាជាតួអក្សរផ្សេងគ្នា (ដូចជាធម្មតា) បន្ទាប់មកចំនួនលេខសម្ងាត់ដែលអាចមានកាន់តែច្រើន៖ $$\overline(A)_(10+26+26)^6=\overline(A)_(62)^ 6=62^6=56~800~235~584 $$
◄
បន្សំ
ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុ n, m នីមួយៗ(m ≤ n) គឺជាសំណុំណាមួយដែលមាន ម ធាតុដែលបានជ្រើសរើសពីទិន្នន័យ ន ធាតុ។
មិនដូចការដាក់នៅក្នុងបន្សំទេ វាមិនមានបញ្ហានៅក្នុងលំដាប់អ្វីដែលធាតុត្រូវបានរាយ។ បន្សំពីរនៃ នធាតុដោយ មត្រូវបានគេចាត់ទុកថាខុសគ្នា ប្រសិនបើពួកវាខុសគ្នានៅក្នុងធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ។
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងធ្វើបន្សំទាំងអស់នៃធាតុទាំងបួន A, B, C, Dធាតុពីរនីមួយៗ៖
A B; A C; A D;
B C; B D;
គ.
◄
ចំនួននៃបន្សំទាំងអស់នៃ នធាតុដោយ មបញ្ជាក់ \(C_n^m\) (អាន៖ " គពី នដោយ ម") ហើយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តណាមួយ៖ $$C_n^m=\frac(A_n^m)(P_m)$$$$C_n^m=\frac(n\cdot (n-1)\cdot (n -2)~\cdot~ ...~\cdot~ (n-m+1))(1\cdot2\cdot3~\cdot~...~\cdot ~m)$$$$C_n^m=\ frac(n{m!\cdot (n-m)!}.$$!}
ឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ច។
១) ក្រុមការងារជួសជុលសាលា មានជាងគំនូរ ១២នាក់ និងជាងឈើ ៥នាក់។ ក្នុងនោះ វិចិត្រករ ៤ នាក់ និងជាងឈើ ២ នាក់ត្រូវបែងចែកសម្រាប់ការជួសជុលកន្លែងហាត់ប្រាណ។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន?
ដោយសារលំដាប់នៃវិចិត្រករក្នុងចំនួនបួនដែលបានជ្រើសរើសនីមួយៗ និងលំដាប់របស់ជាងឈើក្នុងគូដែលបានជ្រើសរើសនីមួយៗមិនមានបញ្ហាទេ ដូច្នេះយោងទៅតាមក្បួនគុណនៃបន្សំចំនួនវិធីដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង:$$C_(12)^4 \\cdot C_5^2 = \\ frac (12{4!\cdot 8!}\cdot \frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{9\cdot10\cdot11\cdot12}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\cdot \frac{4\cdot5}{1\cdot 2}=4~950.$$Ответ: 4 950. !} ◄
២) ក្នុងថ្នាក់មានសិស្ស៣០នាក់ ក្នុងនោះប្រុស១៣នាក់ និងស្រី១៧នាក់ ។ តើក្រុមសិស្ស 7 នាក់មកពីថ្នាក់នេះ អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានវិធី ប្រសិនបើវាត្រូវតែបញ្ចូលក្មេងស្រីយ៉ាងហោចណាស់ម្នាក់?
ចំនួនក្រុមដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃមនុស្ស 7 នាក់ពីថ្នាក់គឺ \(C_(30)^7\) ។ ចំនួនក្រុមដែលមានតែក្មេងប្រុសគឺ \(C_(13)^7\) ។ នេះមានន័យថាចំនួនក្រុមដែលមានក្មេងស្រីយ៉ាងហោចណាស់ម្នាក់គឺ៖ $$C_(30)^7 - C_(13)^7 =\frac(30{7!\cdot 23!} - \frac{13!}{7!\cdot 6!}=2~035~800-1~716=2~034~084.$$Ответ: 2 034 084. !} ◄
ការផ្សំជាមួយពាក្យដដែលៗ
បន្ថែមពីលើបន្សំធម្មតាសូមពិចារណា បន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗ .
សូមឱ្យមាននៅក្នុងឈុត ន វត្ថុ។ ចូរយើងជ្រើសរើសពីពួកគេ។ ម បំណែក, ធ្វើសកម្មភាពលើគោលការណ៍ដូចខាងក្រោម។ ចូរយកមួយណាក៏បាន ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនដាក់វានៅក្នុងជួរណាមួយទេ យើងនឹងសរសេរវាចុះ ហើយបន្ទាប់ពីនោះ យើងនឹងប្រគល់វត្ថុដោយខ្លួនវាទៅកន្លែងដែលនៅសល់វិញ។ បន្ទាប់មកម្តងទៀត ន ចូរយើងជ្រើសរើសវត្ថុមួយ (រួមទាំង ប្រហែលជាវត្ថុដែលត្រូវបានថត និងកត់ត្រាពីមុន) សរសេរឈ្មោះរបស់វា ហើយប្រគល់វត្ថុនោះមកវិញម្តងទៀត។ ហើយបន្តរហូតដល់យើងទទួលបាន ម ចំណងជើង។
ភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានពីការដាក់ជាមួយពាក្យដដែលៗគឺថា ក្នុងករណីនេះធាតុបញ្ជីមិនត្រូវបានរាប់ជាលេខទេ។ ឧទាហរណ៍បញ្ជីមួយ។ "A, C, A, B"និងបញ្ជី "A, A, B, C"ត្រូវបានចាត់ទុកថាដូចគ្នា។
ការផ្សំជាមួយពាក្យដដែលៗត្រូវបានកំណត់ \(\overline(C)_n^m\) ហើយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត$$\overline(C)_n^m=P_(m,~n-1)=\frac((m+ n-1){m!\cdot (n-1)!}.$$И ещё один способ записи той же формулы:$$\overline{C}_n^m=C_{m+n-1}^m=\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}.$$Заметим, что подобно размещениям с повторениями, допустим случай, когда !} m > ន នោះគឺមានវត្ថុដែលបានជ្រើសរើសច្រើនជាងចំនួនសរុប។ ជាការពិត រាល់វត្ថុទាំងអស់បន្ទាប់ពី "បានប្រើ" ត្រូវបានត្រលប់មកវិញ ហើយអាចប្រើម្តងហើយម្តងទៀត។
ជាឧទាហរណ៍ ចូរស្វែងយល់ថាតើអ្នកអាចទិញនំខេកចំនួន 7 នៅក្នុងផ្នែកធ្វើនំបានប៉ុន្មានប្រសិនបើមាន 4 ប្រភេទនៅលើការលក់?
វាជារឿងធម្មតាដែលសន្មតថាចំនួននំនៃប្រភេទនីមួយៗមានយ៉ាងហោចណាស់ 7 ហើយប្រសិនបើអ្នកចង់បាន អ្នកអាចទិញនំពីមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ ចាប់តាំងពីលំដាប់ដែលនំដែលបានទិញត្រូវបានដាក់ក្នុងប្រអប់មិនសំខាន់នោះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗ។ ដោយសារអ្នកត្រូវជ្រើសរើសនំចំនួន 7 ពី 4 ប្រភេទ នោះចំនួនវិធីដែលត្រូវការគឺ: $$\overline(C)_4^7=\frac((7+4-1){7!\cdot (4-1)!}=\frac{10!}{7!\cdot 3!}=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=120.$$!}
ចម្លើយ៖ ១២០ ។ ◄
មេគុណ binomial និង binomial របស់ Newton
សមភាព$$(x+a)^n=C_n^0x^na^0+C_n^1x^(n-1)a^1+...+C_n^mx^(n-m)a^m+...+ C_n^nx^0a^n$$ បានហៅ លេខពីររបស់ញូតុន ឬ រូបមន្តរបស់ញូតុន . ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពត្រូវបានគេហៅថា ការពង្រីក binomial ទៅក្នុងផលបូក និងមេគុណ \(C_n^0,~C_n^1,~...~,~C_n^n\) - មេគុណ binomial .
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណ binomial:
\(~~~~~~~~1.~~C_n^0=C_n^n=1\\ ~~~~~~~~2.~~C_n^m=C_n^(n-m)\\ ~~ ~~~~~~3.~~C_n^m=C_(n-1)^(m-1)+C_(n-1)^(m)\\ ~~~~~~~4.~ ~C_n^0+C_n^1+C_n^2+~...~+C_n^n=2^n\\ ~~~~~~~~5.~~C_n^0+C_n^2+C_n^ 4+~... =C_n^1+C_n^3+C_n^5+~...=2^(n-1)\\ ~~~~~~~6.~~C_n^n+C_ (n+1)^n+C_(n+2)^n+~...~+C_(n+m-1)^n=C_(n+m)^(n+1)\\ \\)
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការពង្រីក binomial:
1. ចំនួននៃលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃការពង្រីកគឺធំជាងនិទស្សន្តនៃ binomial,
នោះគឺស្មើគ្នា n+ 1 .
2. ផលបូកនៃនិទស្សន្ត x និង ក ពាក្យនីមួយៗនៃការពង្រីកគឺស្មើនឹងនិទស្សន្តនៃ binomial,
នោះគឺ (n − m) + m = ន .
3. ពាក្យទូទៅនៃការពង្រីក (បញ្ជាក់ ធ ន+1 ) មានទម្រង់ $$T_(n+1)=C_n^m x^(n-m)a^m,~~~~m=0,~1,~2,~...~,~n.$$
ត្រីកោណ Pascal
តម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃមេគុណ binomial (ចំនួនបន្សំ) សម្រាប់និទស្សន្ត binomial នីមួយៗ ន អាចត្រូវបានសរសេរជាតារាងត្រីកោណគ្មានកំណត់។ តារាងនេះត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណ Pascal៖
| \(C_0^0\) | ||||||||||
| \(C_1^0\) | \(C_1^1\) | |||||||||
| \(C_2^0\) | \(C_2^1\) | \(C_2^2\) | ||||||||
| \(C_3^0\) | \(C_3^1\) | \(C_3^2\) | \(C_3^3\) | |||||||
| \(C_4^0\) | \(C_4^1\) | \(C_4^2\) | \(C_4^3\) | \(C_4^4\) | ||||||
| \(C_5^0\) | \(C_5^1\) | \(C_5^2\) | \(C_5^3\) | \(C_5^4\) | \(C_5^5\) |
|||||
| . . . | . . . | . . . |
នៅក្នុងត្រីកោណនេះ លេខខ្លាំងក្នុងជួរនីមួយៗគឺស្មើនឹង 1។ ពិតប្រាកដណាស់ \(C_n^0=C_n^n=1\)។ ហើយលេខដែលមិនខ្លាំងនីមួយៗគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលេខពីរនៃជួរមុនខាងលើវា៖ \(C_n^m=C_(n-1)^(m-1)+C_(n-1)^(m )\)
ដូច្នេះ ត្រីកោណនេះផ្តល់នូវវិធីមួយទៀត (កើតឡើង) ដើម្បីគណនាលេខ \(C_n^m\)៖
| ន
= 0 | 1 | ||||||||||||||||
| ន
= 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||
| ន
= 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||||||||
| ន
= 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||||||
| ន
= 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||||||
| ន
= 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||||||||
| ន
= 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||||||||
| ន
= 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||||||||
| ន
= 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 |
||||||||
| ... | ... | ... | ... | ... |
បន្សំគឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលភារកិច្ចចម្បងគឺរាប់ចំនួនជម្រើសដែលកើតឡើងក្នុងស្ថានភាពមួយ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ យើងនឹងត្រូវការរូបមន្តផ្សំមួយចំនួន។
ទីតាំង.
និយមន័យ ១.ដោយការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី នធាតុដោយ kហៅអ្វីទាំងអស់។ សណ្តាប់ធ្នាប់សំណុំរងនៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ M=(a 1 ,a 2 ,¼,a n )មានធាតុ k ។
ចំណាំថាពីនិយមន័យវាធ្វើតាមភ្លាមៗថា ទីមួយ ធាតុទាំងអស់នៅក្នុងការរៀបចំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗគឺខុសគ្នា (បើមិនដូច្នេះទេវានឹងមានធាតុដូចគ្នាពីរ) ទីពីរ k£nទីបី ការដាក់ពីរផ្សេងគ្នាដោយគ្មានពាក្យដដែលៗក៏ខុសគ្នាដែរ។ ការតែងនិពន្ធធាតុដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងពួកគេឬ នៅក្នុងលំដាប់ទីតាំងរបស់ពួកគេ។ នោះគឺលំដាប់នៃការកើតឡើងគឺសំខាន់។
ទ្រឹស្តីបទ ១.ចំនួននៃការដាក់ផ្សេងគ្នាដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃធាតុ n k(k£n)ស្មើ
ភស្តុតាង។
អនុញ្ញាតឱ្យ ម={a 1 ,a 2 ,¼,a n) វាតម្រូវឱ្យកំណត់ចំនួនខ្សែអក្សរផ្សេងគ្នានៃទម្រង់ ( x 1 ,x 2 ,¼,x k) ដែលធាតុទាំងអស់។ x 1 ,x 2 ,¼,x k OMនិងខុសគ្នា។ ធាតុទីមួយ x 1 អាចជ្រើសរើសបាន។ នវិធី។ ប្រសិនបើ x ១បានជ្រើសរើសរួចហើយ បន្ទាប់មកដើម្បីជ្រើសរើស xធាតុ 2 n-1 នៅសល់។ ដូចគ្នានេះដែរ x 3 អាចជ្រើសរើសបាន។ ន- ២ ផ្លូវ ។ល។ ធាតុចុងក្រោយ x kអាចជ្រើសរើសបាន។ n-k+1វិធី។ ការគុណលេខទាំងនេះយើងទទួលបានរូបមន្ត (4) ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ឧទាហរណ៍ ១.មានមុខវិជ្ជាសិក្សាចំនួន 12 នៅក្នុងថ្នាក់ និង 5 មេរៀនផ្សេងគ្នានៅថ្ងៃច័ន្ទ។ តើកាលវិភាគថ្នាក់សម្រាប់ថ្ងៃចន្ទអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីប៉ុន្មាន?
ចំនួននៃជម្រើសកាលវិភាគដែលអាចធ្វើបានគឺជាក់ស្តែងចំនួននៃការរៀបចំផ្សេងគ្នានៃ 12 ធាតុនៃ 5 នោះគឺ
ករណីពិសេសសំខាន់គឺករណីនៅពេល n=kនោះគឺនៅពេលដែលនៅក្នុងបន្ទាត់ ( x 1 ,x 2 ,¼,x n)ធាតុទាំងអស់នៃសំណុំគឺពាក់ព័ន្ធ ម. ខ្សែអក្សរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ផ្សំឡើងដោយធាតុ n នៃសំណុំ មត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ n ។ ចូរយើងរំលឹកអ្នកថានៅក្នុងគណិតវិទ្យាតាមរយៈ n! សម្គាល់ផលិតផលនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពី 1 ដល់ n នោះគឺ ¼ ហើយតាមនិយមន័យពួកគេជឿថា 0!=1 ។
កូរ៉ូឡារី ១. ដោយប្រើរូបមន្ត (4) យើងរកឃើញនោះ។ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នា Pnពី នធាតុគឺស្មើគ្នា Pn=n!.
និយមន័យ ២.ការដាក់ជាមួយពាក្យដដែលៗពី នធាតុនៃ k គឺជាខ្សែអក្សរដែលបានបញ្ជាទិញណាមួយ។ kធាតុនៃសំណុំ M=(a 1 ,a 2 ,¼,a n )មួយចំនួនដែលអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត។
ឧទាហរណ៍ ពាក្យ "ម្តាយ" គឺជាការដាក់ពាក្យដដែលៗនៃធាតុ 2 ម=(m,a) ដោយ 4 ។
ទ្រឹស្តីបទ ២.ចំនួននៃការដាក់ផ្សេងគ្នាជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗពី នធាតុដោយ k
ភស្តុតាង។
ធាតុទីមួយនៅក្នុងជួរ kធាតុអាចត្រូវបានជ្រើសរើស នវិធីដោយសារតែ |M|=n.ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ធាតុទី 2, ទី 3, ...,kth អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី n ។ ការគុណលេខទាំងនេះយើងទទួលបាន
kម្តង
ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ឧទាហរណ៍ ២.តើអ្នកអាចបង្កើតលេខពីរខ្ទង់បានប៉ុន្មានពីលេខ 1, 2, 3, 4, 5?
នៅក្នុងបញ្ហានេះ ម=(1, 2, 3, 4, 5), n=5, k=2 ដូច្នេះហើយ ចម្លើយគឺជាលេខ
ឧទាហរណ៍ ៣.តើអ្នកដំណើរ k អាចចែកចាយបានប៉ុន្មានក្នុងឡាន បើសម្រាប់អ្នកដំណើរម្នាក់ៗ រឿងតែមួយគត់ដែលសំខាន់គឺលេខឡាន ហើយមិនមែនកៅអីដែលគាត់កាន់កាប់ក្នុងឡាន?
យើងនឹងប្ដូរលេខអ្នកដំណើរទាំងអស់។ អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 - លេខទូរថភ្លើងដែលបានជ្រើសរើសដោយអ្នកដំណើរដំបូង, x 2 - លេខទូរថភ្លើងរបស់អ្នកដំណើរទីពីរ ... , x k- លេខឡាន k- អ្នកដំណើរ។ បន្ទាត់ ( x 1 ,x 2 ,¼,x k) កំណត់លក្ខណៈពេញលេញនៃការចែកចាយអ្នកដំណើរក្នុងចំណោមរថយន្ត។ លេខនីមួយៗ x 1 ,x 2 ,¼,x kអាចយកតម្លៃចំនួនគត់ពី 1 ដល់ n ។ ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។
ម=(1, 2,…,n) ហើយនឹងមានការចែកចាយខុសៗគ្នាជាច្រើនក្នុងចំណោមរថយន្ត ព្រោះមានខ្សែប្រវែង k ដែលអាចផ្សំពីធាតុនៃសំណុំ មនោះគឺជា
ចូរយើងកត់សំគាល់ម្តងទៀតថានៅក្នុងកន្លែងដែលមាន និងគ្មានពាក្យដដែលៗ លំដាប់នៃធាតុមានសារៈសំខាន់។ ប្រសិនបើលំដាប់នៃធាតុមិនសំខាន់នោះក្នុងករណីនេះយើងនិយាយអំពីបន្សំ។
បន្សំ(គ្មានពាក្យដដែលៗ).
និយមន័យ ៣.អនុញ្ញាតឱ្យ M = (a 1,a 2,¼,a n)។សំណុំរងណាមួយ។ Xសំណុំ មមាន kធាតុត្រូវបានគេហៅថា ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុ k ពី n ។
ចូរយើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថានៅក្នុងនិយមន័យនេះលំដាប់នៃធាតុនៃសំណុំគឺ Xមិនសំខាន់ ហើយនោះ។ k£n, ដោយសារតែ k=½X½, n=½M½និង ស.ម.
ទ្រឹស្តីបទ ៣.ចំនួនបន្សំផ្សេងៗគ្នា kធាតុពី នស្មើ
. (6)
ភស្តុតាង។
បន្សំនីមួយៗ kធាតុពី n បង្កើត ក!ការដាក់ផ្សេងៗដោយមិនមានពាក្យដដែលៗពី n ទៅ k ដោយប្រើការបំប្លែងផ្សេងៗ (សូមមើលកូរ៉ូឡារីទី១)។ ដូច្នេះបន្សំទាំងអស់នៃធាតុ k ពី n បន្ទាប់ពីផ្សេងៗ ក!ការផ្លាស់ប្តូរបង្កើតទីតាំងទាំងអស់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី នដោយ k. នោះហើយជាមូលហេតុដែល ។ អាស្រ័យហេតុនេះ
បន្សំ។ ទីតាំង។ ការរៀបចំឡើងវិញ
ការផ្លាស់ប្តូរគឺជាបន្សំដែលផ្សំឡើងដោយភាពដូចគ្នា។ នធាតុផ្សេងគ្នានិងខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់នៃការរៀបចំរបស់ពួកគេ។ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមាន
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។៖ តើលេខបីខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានពីខ្ទង់ 1,2,3 បើខ្ទង់នីមួយៗបង្ហាញក្នុងរូបភាពនៃលេខតែម្តង?
ដំណោះស្រាយ៖
ឬដូចនេះ ឧទាហរណ៍. លំដាប់ដែលអ្នកចូលរួមប្រាំពីរនាក់និយាយនៅក្នុងសន្និសីទនិស្សិតត្រូវកំណត់ដោយឆ្នោត។ តើមានជម្រើសផ្សេងគ្នាប៉ុន្មានសម្រាប់ការចាប់ឆ្នោត?
ដំណោះស្រាយ៖បំរែបំរួលនីមួយៗនៃការចាប់ឆ្នោតខុសគ្នាតែតាមលំដាប់នៃអ្នកចូលរួម ពោលគឺវាជាការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ 7 ។ លេខរបស់ពួកគេគឺ
ឧទាហរណ៍។មនុស្ស 4 នាក់បានចូលទៅកាន់បញ្ជីសាច់ប្រាក់ក្នុងពេលតែមួយដើម្បីទទួលប្រាក់។ តើគេអាចតម្រង់ជួរបានប៉ុន្មានយ៉ាង?
ដំណោះស្រាយ៖ជួរមានមនុស្ស 4 នាក់ផ្សេងគ្នា ដូច្នេះវិធីសាស្រ្តនីមួយៗនៃការតម្រង់ជួរត្រូវគិតពីលំដាប់ដែលពួកគេស្ថិតនៅ។ ដូច្នេះមានការប្រែប្រួលនៃមនុស្សបួននាក់ចំនួនរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង
ទីតាំង នធាតុផ្សេងៗគ្នាយោងទៅតាម មធាតុដែលខុសគ្នាទាំងនៅក្នុងលំដាប់ ឬនៅក្នុងសមាសភាពនៃធាតុ។
ចំនួននៃការដាក់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ត្រូវបានគណនា
ឧទាហរណ៍៖តើសញ្ញាប៉ុន្មានដែលអ្នកអាចបង្កើតចេញពីទង់ជាតិចំនួន 6 មានពណ៌ខុសៗគ្នា ដោយយកជាពីរ?
ដំណោះស្រាយ៖
ឧទាហរណ៍៖កាលវិភាគមួយថ្ងៃមានប្រាំមេរៀន។ កំណត់ចំនួននៃជម្រើសកាលវិភាគនៅពេលជ្រើសរើសពី 11 វិញ្ញាសា។
ដំណោះស្រាយ៖ជម្រើសកាលវិភាគនីមួយៗតំណាងឱ្យសំណុំនៃ 5 វិញ្ញាសាក្នុងចំណោម 11 ដែលខុសពីជម្រើសផ្សេងទៀតទាំងនៅក្នុងសមាសភាពនៃវិញ្ញាសានិងនៅក្នុងលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានអនុវត្តតាម នោះគឺជាការរៀបចំនៃធាតុ 11 នៃ 5 នីមួយៗ នៃជម្រើសកាលវិភាគត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត
បន្សំគឺជាបន្សំដែលផលិតពី នធាតុផ្សេងៗគ្នាយោងទៅតាម មធាតុដែលខុសគ្នាយ៉ាងហោចណាស់មួយធាតុ។ ចំនួនបន្សំ
ឧទាហរណ៍៖តើអ្នកអាចជ្រើសរើស 2 ផ្នែកក្នុងប្រអប់ដែលមាន 10 ផ្នែកបានប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ៖
ឧទាហរណ៍៖មនុស្ស 16 នាក់ចូលរួមក្នុងការប្រកួតអុក។ តើការប្រកួតត្រូវលេងប៉ុន្មានក្នុងការប្រកួត ប្រសិនបើហ្គេមមួយត្រូវលេងរវាងអ្នកចូលរួមពីរនាក់?
ដំណោះស្រាយ៖ហ្គេមនីមួយៗត្រូវបានលេងដោយអ្នកចូលរួមពីរនាក់ក្នុងចំណោម 16 នាក់ ហើយខុសគ្នាតែនៅក្នុងសមាសភាពនៃគូនៃអ្នកចូលរួម ពោលគឺវាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ 16 ធាតុនៃពីរ។
ឧទាហរណ៍៖មានបាក់តេរី 6 ប្រភេទ។ ដើម្បីកំណត់អត្រាកំណើនរបស់ពួកគេ ពូជបីត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើស។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ៖វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសត្រូវបានចាត់ទុកថាខុសគ្នា ប្រសិនបើសំពាធដែលបានជ្រើសរើសនីមួយៗមានភាពខុសគ្នានៅក្នុងធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ លេខនេះ។
នោះគឺមាន 20 វិធី។
យើងសង្កត់ធ្ងន់ថាចំនួននៃការដាក់ ការអនុញ្ញាត និងបន្សំត្រូវបានទាក់ទងដោយសមភាព
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា combinatorics ច្បាប់ខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ។
ច្បាប់សរុប៖ប្រសិនបើវត្ថុមួយចំនួន កអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពីសំណុំនៃវត្ថុមួយ។ មវិធី និងវត្ថុផ្សេងទៀត។ INអាចត្រូវបានជ្រើសរើស នវិធី បន្ទាប់មកជ្រើសរើសទាំងពីរ ក, ឬ INអាចធ្វើទៅបានតាមវិធី។
ច្បាប់ផលិតផល៖ប្រសិនបើវត្ថុ កអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពីសំណុំនៃវត្ថុមួយ។ មវិធី និងបន្ទាប់ពីជម្រើសនីមួយៗ វត្ថុ INអាចជ្រើសរើសបាន។ នវិធី បន្ទាប់មកវត្ថុមួយគូ ( ក, ខ)នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានជ្រើសរើសដោយវិធីសាស្រ្ត។
អរូបីលើប្រធានបទ៖ 
បញ្ចប់ដោយសិស្សថ្នាក់ទី១០ “ខ”
អនុវិទ្យាល័យ លេខ ៥៣
Glukhov Mikhail Alexandrovich
Naberezhnye Chelny
២០០២
មាតិកា
| ពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃ combinatorics _____________________________________________________ | 3 |
| ច្បាប់បូក _____________________________________________________________________ | 4 |
| - | |
| ច្បាប់ផលិតផល _____________________________________________ | 4 |
| ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ | - |
| ឈុតប្រសព្វ ______________________________________________________ | 5 |
| ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ | - |
| រង្វង់អយល័រ ____________________________________________________________________ | - |
| ទីតាំងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ _____________________________________________ | 6 |
| ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ | - |
| ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ________________________________________________ | 7 |
| ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ | - |
| បន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ _____________________________________________________ | 8 |
| ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ | - |
| ការដាក់ និងបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ____________________________________ | 9 |
| ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ | - |
| ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ ________________________________________________ | 9 |
| ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ | - |
| បញ្ហាសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ ________________________________ | 10 |
| គន្ថនិទ្ទេស ___________________________________ | 11 |
ពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃ combinatorics
Combinatorics ដោះស្រាយជាមួយនឹងប្រភេទផ្សេងៗនៃសមាសធាតុដែលអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីធាតុនៃសំណុំកំណត់។ ធាតុមួយចំនួននៃ combinatorics ត្រូវបានគេស្គាល់នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌានៅដើមសតវត្សទី 2 ។ BC អ៊ី Nydians ដឹងពីរបៀបគណនាលេខដែលឥឡូវនេះត្រូវបានគេហៅថា "បន្សំ" ។ នៅសតវត្សទី 12 ។ Bhaskara បានគណនាប្រភេទមួយចំនួននៃបន្សំ និងការផ្លាស់ប្តូរ។ វាត្រូវបានគេជឿថាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាបានសិក្សាសមាសធាតុទាក់ទងនឹងការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេនៅក្នុងកំណាព្យ ការសិក្សាអំពីរចនាសម្ព័ន្ធនៃខ និងស្នាដៃកំណាព្យ។ ជាឧទាហរណ៍ ទាក់ទងនឹងការគណនានៃបន្សំដែលអាចធ្វើបាននៃព្យាង្គដែលសង្កត់ (វែង) និងព្យាង្គដែលមិនសង្កត់ធ្ងន់ (ខ្លី) នៃព្យញ្ជនៈ n ។ ក្នុងនាមជាវិន័យវិទ្យាសាស្ត្រ ការរួមបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅសតវត្សទី 17 ។ នៅក្នុងសៀវភៅ “ទ្រឹស្ដី និងការអនុវត្តនព្វន្ធ” (១៦៥៦) អ្នកនិពន្ធជនជាតិបារាំង A. ក៏បានលះបង់ជំពូកទាំងមូលទៅនឹងបន្សំ និងការផ្លាស់ប្តូរ។
B. Pascal នៅក្នុង "សន្ធិសញ្ញាស្តីពីត្រីកោណនព្វន្ធ" របស់គាត់ និងនៅក្នុង "សន្ធិសញ្ញាស្តីពីលំដាប់លេខ" (1665) របស់គាត់បានគូសបញ្ជាក់ពីគោលលទ្ធិនៃមេគុណ binomial ។ P. Fermat បានដឹងអំពីទំនាក់ទំនងរវាងការេគណិតវិទ្យា និងលេខគិតជាមួយទ្រឹស្តីនៃសមាសធាតុ។ ពាក្យ "combinatorics" បានចាប់ផ្តើមប្រើបន្ទាប់ពី Leibniz បានបោះពុម្ពផ្សាយការងាររបស់គាត់ "Discourse on the Art of Combination" ក្នុងឆ្នាំ 1665 ដែលជាលើកដំបូងបានផ្តល់មូលដ្ឋានវិទ្យាសាស្រ្តសម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃការផ្សំ និងការផ្លាស់ប្តូរ។ J. Bernoulli ដំបូងបានសិក្សាកន្លែងដាក់នៅក្នុងផ្នែកទីពីរនៃសៀវភៅរបស់គាត់ "Ars conjectandi" (សិល្បៈនៃការទស្សន៍ទាយ) ក្នុងឆ្នាំ 1713 ។ និមិត្តសញ្ញាទំនើបនៃបន្សំត្រូវបានស្នើឡើងដោយអ្នកនិពន្ធផ្សេងៗនៃសៀវភៅណែនាំអប់រំតែនៅក្នុងសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះ។
ភាពខុសគ្នាទាំងមូលនៃរូបមន្តផ្សំអាចមកពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍មូលដ្ឋានពីរទាក់ទងនឹងសំណុំកំណត់ - ច្បាប់បូក និងច្បាប់ផលិតផល។
ច្បាប់បូក
ប្រសិនបើសំណុំកំណត់មិនប្រសព្វគ្នាទេនោះចំនួនធាតុនៃ X U Y (ឬ) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃចំនួនធាតុនៃសំណុំ X និងចំនួនធាតុនៃសំណុំ Y ។
នោះគឺប្រសិនបើមានសៀវភៅ X នៅលើធ្នើទីមួយ ហើយ Y នៅលើធ្នើទីពីរនោះ អ្នកអាចជ្រើសរើសសៀវភៅពីធ្នើទីមួយ ឬទីពីរតាមវិធី X+Y។
បញ្ហាគំរូ
សិស្សត្រូវបំពេញការងារជាក់ស្តែងក្នុងគណិតវិទ្យា។ គាត់ត្រូវបានផ្តល់ជូនជម្រើសនៃ 17 ប្រធានបទនៅក្នុងពិជគណិត និង 13 ប្រធានបទនៅក្នុងធរណីមាត្រ។ តើគាត់អាចជ្រើសរើសប្រធានបទមួយសម្រាប់ការងារជាក់ស្តែងបានប៉ុន្មានវិធី?
ដំណោះស្រាយ៖ X=17, Y=13
យោងតាមច្បាប់នៃផលបូក X U Y = 17 + 13 = 30 ប្រធានបទ។
មានសំបុត្រចំនួន 5 សម្រាប់ឆ្នោតសាច់ប្រាក់ 6 សំបុត្រសម្រាប់ឆ្នោតកីឡា និង 10 សំបុត្រសម្រាប់ឆ្នោតរថយន្ត។ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសសំបុត្រមួយពីឆ្នោតកីឡា ឬឆ្នោតស្វ័យប្រវត្តិតាមវិធីប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ៖ ដោយសារឆ្នោតសាច់ប្រាក់និងសម្លៀកបំពាក់មិនជាប់ពាក់ព័ន្ធនឹងជម្រើសនោះ មានតែជម្រើស 6+10=16 ប៉ុណ្ណោះ។
ច្បាប់ផលិតផល
ប្រសិនបើធាតុ X អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី k ហើយធាតុ Y ក្នុងវិធី m នោះគូ (X, Y) អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី k*m ។
នោះគឺប្រសិនបើមានសៀវភៅចំនួន 5 នៅលើធ្នើទីមួយនិង 10 នៅលើធ្នើទីពីរនោះអ្នកអាចជ្រើសរើសសៀវភៅមួយពីធ្នើទីមួយនិងមួយទៀតពីទីពីរក្នុងវិធី 5 * 10 = 50 ។
បញ្ហាគំរូ
អ្នកចងសៀវភៅត្រូវចងសៀវភៅចំនួន 12 ផ្សេងគ្នាដោយចងពណ៌ក្រហម បៃតង និងពណ៌ត្នោត។ តើគាត់អាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?
ដំណោះស្រាយ: មានសៀវភៅចំនួន 12 និងពណ៌ 3 ដែលមានន័យថាយោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផល 12 * 3 = 36 ជម្រើសចងគឺអាចធ្វើទៅបាន។
តើមានលេខប្រាំខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលអានដូចគ្នាពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងពីស្តាំទៅឆ្វេង?
ដំណោះស្រាយ៖ នៅក្នុងលេខបែបនេះ ខ្ទង់ចុងក្រោយនឹងដូចគ្នានឹងលេខទីមួយ ហើយខ្ទង់ចុងក្រោយនឹងដូចគ្នាទៅនឹងលេខទីពីរ។ ខ្ទង់ទីបីនឹងជាអ្វី។ នេះអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់ XYZYXដែល Y និង Z ជាលេខណាមួយ ហើយ X មិនមែនសូន្យទេ។ នេះមានន័យថា យោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផល ចំនួនខ្ទង់ដែលអាចអានបានស្មើគ្នាទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងពីស្តាំទៅឆ្វេងគឺ 9*10*10=900 ជម្រើស។
សំណុំប្រសព្វ
ប៉ុន្តែវាកើតឡើងដែលកំណត់ X និង Y ប្រសព្វគ្នា បន្ទាប់មកពួកគេប្រើរូបមន្ត
ដែលជាកន្លែងដែល X និង Y ត្រូវបានកំណត់ និងជាតំបន់នៃប្រសព្វ។
បញ្ហាគំរូ
២០នាក់ចេះភាសាអង់គ្លេស និង ១០នាក់ចេះភាសាអាល្លឺម៉ង់ ក្នុងនោះ ៥នាក់ចេះទាំងអង់គ្លេស និងអាល្លឺម៉ង់។ សរុបមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់?
ចម្លើយ៖ ១០+២០-៥=២៥នាក់។
រង្វង់អយល័រក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដោយមើលឃើញ។ ឧទាហរណ៍:
ក្នុងចំណោមអ្នកទេសចរ 100 នាក់ដែលទៅលេងក្រៅប្រទេស មាន 30 នាក់និយាយភាសាអាឡឺម៉ង់ 28 នាក់ភាសាអង់គ្លេស 42 នាក់ - បារាំង 8 នាក់និយាយភាសាអង់គ្លេសនិងអាល្លឺម៉ង់ក្នុងពេលតែមួយ 10 នាក់ - អង់គ្លេសនិងបារាំង 5 - អាឡឺម៉ង់និងបារាំង 3 - ទាំងបី។ ភ្ញៀវទេសចរណ៍មិនចេះនិយាយភាសាអ្វី? ដំណោះស្រាយ៖ចូរយើងបង្ហាញពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានេះជាក្រាហ្វិក។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ដោយរង្វង់អ្នកដែលចេះភាសាអង់គ្លេស រង្វង់មួយទៀតដោយអ្នកដែលចេះភាសាបារាំង និងរង្វង់ទីបីដោយអ្នកដែលចេះភាសាអាឡឺម៉ង់។
អ្នកទេសចរបីនាក់និយាយភាសាទាំងបីដែលមានន័យថាក្នុងផ្នែកទូទៅនៃរង្វង់យើងចូលទៅលេខ 3 ។ មនុស្ស 10 នាក់និយាយភាសាអង់គ្លេស និងបារាំង ហើយ 3 នាក់ក៏និយាយភាសាអាល្លឺម៉ង់ដែរ។ ដូច្នេះ 10-3=7 នាក់និយាយតែភាសាអង់គ្លេស និងបារាំងប៉ុណ្ណោះ។ ដូចគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញថា 8-3 = 5 នាក់និយាយតែភាសាអង់គ្លេស និងអាល្លឺម៉ង់ ហើយ 5-3 = 2 អ្នកទេសចរនិយាយភាសាអាឡឺម៉ង់ និងបារាំង។ យើងបញ្ចូលទិន្នន័យនេះនៅក្នុងផ្នែកសមស្រប។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ថាតើមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់និយាយតែភាសាមួយក្នុងចំណោមភាសាដែលបានរាយបញ្ជី។ មនុស្ស 30 នាក់ចេះភាសាអាឡឺម៉ង់ ប៉ុន្តែ 5+3+2=10 នាក់និយាយភាសាផ្សេងទៀត ដូច្នេះមានតែមនុស្ស 20 នាក់ប៉ុណ្ណោះដែលចេះភាសាអាឡឺម៉ង់។ ដូចគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញថាមនុស្ស 13 នាក់និយាយភាសាអង់គ្លេសតែម្នាក់ឯង ហើយមនុស្ស 30 នាក់និយាយភាសាបារាំងតែម្នាក់ឯង។ បើតាមបញ្ហាមានភ្ញៀវទេសចរតែ១០០នាក់ប៉ុណ្ណោះ។ 20+13+30+5+7+2+3=80 អ្នកទេសចរចេះភាសាមួយយ៉ាងតិច ដូច្នេះមនុស្ស 20 នាក់មិននិយាយភាសាទាំងនេះទេ។
ទីតាំងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។
តើលេខទូរសព្ទអាចធ្វើបានប៉ុន្មានខ្ទង់ក្នុងមួយខ្ទង់ ដូច្នេះលេខទាំងអស់ខុសគ្នា?
នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។ មាន 10 លេខនៃ 6 ដាក់នៅទីនេះ ហើយជម្រើសដែលលេខដូចគ្នានៅក្នុងលំដាប់ផ្សេងគ្នាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាខុសគ្នា។
ប្រសិនបើសំណុំ X ដែលមានធាតុ n, m≤n បន្ទាប់មកការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃធាតុ n នៃសំណុំ X ទៅជា m ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំលំដាប់ X ដែលមានធាតុ m ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ X ដែលមានធាតុ m ។
ចំនួននៃការរៀបចំទាំងអស់នៃធាតុ n ដោយ m ត្រូវបានតាងដោយ
ន! - n-factorial (កត្តាកត្តា) គឺជាផលិតផលនៃលេខនៅក្នុងស៊េរីធម្មជាតិពី 1 ទៅលេខណាមួយ n
n!=1*2*3*...*n 0!=1
ដូច្នេះចម្លើយចំពោះបញ្ហាខាងលើនឹងមាន
កិច្ចការ
តើក្មេងប្រុស 4 នាក់អាចឱ្យក្មេងស្រី 4 នាក់ក្នុងចំណោម 6 នាក់រាំបានប៉ុន្មានវិធី?
ដំណោះស្រាយ៖ ក្មេងប្រុសពីរនាក់មិនអាចអញ្ជើញក្មេងស្រីដូចគ្នាក្នុងពេលតែមួយបានទេ។ ហើយជម្រើសដែលក្មេងស្រីដូចគ្នារាំជាមួយក្មេងប្រុសផ្សេងគ្នាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាខុសគ្នា ដូច្នេះ៖
ជម្រើស 360 អាចធ្វើទៅបាន។
ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
ក្នុងករណី n = m (មើលកន្លែងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ) នៃ n ធាតុ m ត្រូវបានគេហៅថា permutation នៃ set x ។
ចំនួននៃការបំប្លែងទាំងអស់នៃធាតុ n ត្រូវបានតាងដោយ P n ។
មានសុពលភាពសម្រាប់ n=m៖
បញ្ហាគំរូ
តើលេខប្រាំមួយខ្ទង់ខុសគ្នាប៉ុន្មានខ្ទង់អាចធ្វើបានពីខ្ទង់ 0, 1, 2, 3, 4.5 បើលេខមិនត្រូវបានលេខដដែលៗ?
1) រកចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ពីលេខទាំងនេះ: P 6 =6!=720
2) 0 មិនអាចនៅពីមុខចំនួនទេ ដូច្នេះចំនួននៃការបំប្លែងដែល 0 នៅខាងមុខត្រូវតែដកចេញពីលេខនេះ។ ហើយនេះគឺជា P 5 = 5! = 120 ។
P 6 -P 5 = 720-120=600
សត្វស្វាអាក្រក់
បាទ, clubfooted Mishka
យើងបានចាប់ផ្តើមលេងបួនបួន
ឈប់សិនបងប្អូន! –
ស្វាស្រែក - ចាំ!
តើតន្ត្រីគួរទៅជាយ៉ាងណា?
យ៉ាងណាមិញអ្នកមិនអង្គុយបែបនេះទេ ...
ហើយវិធីនេះ និងថាពួកគេបានផ្លាស់ប្តូរកៅអី - ម្តងទៀត តន្ត្រីមិនដំណើរការល្អទេ។
ការផ្លាស់ប្តូរគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុពី នធាតុផ្សេងគ្នាត្រូវបានយកតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។ នៅក្នុងការរៀបចំឡើងវិញ លំដាប់នៃធាតុមានសារៈសំខាន់ ហើយធាតុទាំងអស់ត្រូវតែជាប់ពាក់ព័ន្ធក្នុងការរៀបចំឡើងវិញ។ នធាតុ។
កិច្ចការ៖ ស្វែងរកការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់សម្រាប់លំដាប់នៃលេខ 1, 2, 3 ។
ការផ្លាស់ប្តូរខាងក្រោមមាន៖
1:
1 2 3
2:
1 3 2
3:
2 1 3
4:
2 3 1
5:
3 1 2
6:
3 2 1
ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរសម្រាប់ N ធាតុផ្សេងគ្នាគឺ ន!. ពិតជា៖
- មួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចត្រូវបានដាក់នៅកន្លែងដំបូង នធាតុ (ជម្រើសសរុប ន),
- នៅសល់ណាមួយអាចត្រូវបានដាក់នៅទីតាំងទីពីរ (N-1)ធាតុ (ជម្រើសសរុប N·(N-1)),
- ប្រសិនបើយើងបន្តលំដាប់នេះសម្រាប់អ្នករាល់គ្នា នកន្លែង, យើងទទួលបាន: N·(N-1)·(N-2)· … ·1នោះគឺសរុប ន!ការផ្លាស់ប្តូរ។
ពិចារណាពីបញ្ហានៃការទទួលបានការផ្លាស់ប្តូរលេខទាំងអស់។ 1… ន(នោះគឺជាលំដាប់នៃប្រវែង ន) ដែលលេខនីមួយៗបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ 1 ដង។ មានជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការបញ្ជាទិញដែលការផ្លាស់ប្តូរត្រូវបានទទួល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាដែលត្រូវបានដោះស្រាយញឹកញាប់បំផុតគឺការបង្កើតការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុង lexicographicalលំដាប់ (សូមមើលឧទាហរណ៍ខាងលើ) ។ ក្នុងករណីនេះ ការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ត្រូវបានតម្រៀបដំបូងដោយលេខទីមួយ បន្ទាប់មកដោយលេខទីពីរ។ល។ នៅក្នុងលំដាប់ឡើង។ ដូច្នេះទីមួយនឹងជាការផ្លាស់ប្តូរ 12… ននិងចុងក្រោយ - N N-1…1.
ចូរយើងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។ លំដាប់លេខដើមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីទទួលបានការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ អ្នកត្រូវតែអនុវត្តជំហានដូចខាងក្រោមៈ
- វាចាំបាច់ក្នុងការរកមើលការផ្លាស់ប្តូរបច្ចុប្បន្នពីស្តាំទៅឆ្វេងហើយក្នុងពេលតែមួយត្រូវប្រាកដថាធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃការបំប្លែង (ធាតុដែលមានលេខខ្ពស់ជាង) គឺមិនលើសពីធាតុមុន (ធាតុដែលមានលេខទាបជាង) . ដរាបណាសមាមាត្រនេះត្រូវបានបំពាន អ្នកត្រូវតែឈប់ ហើយសម្គាល់លេខបច្ចុប្បន្ន (ទីតាំង 1)។
- សូមក្រឡេកមើលម្តងទៀតនូវផ្លូវឆ្លងកាត់ពីស្តាំទៅឆ្វេង រហូតដល់យើងឈានដល់លេខទីមួយ ដែលធំជាងការសម្គាល់ក្នុងជំហានមុន។
- ផ្លាស់ប្តូរធាតុលទ្ធផលទាំងពីរ។
- ឥឡូវនេះនៅក្នុងផ្នែកនៃអារេដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំនៃទីតាំង 1 អ្នកត្រូវតម្រៀបលេខទាំងអស់តាមលំដាប់ឡើង។ ចាប់តាំងពីមុននេះ ពួកវាទាំងអស់ត្រូវបានសរសេររួចជាស្រេចក្នុងលំដាប់ចុះមក វាចាំបាច់ក្នុងការបង្វែរផ្នែកនៃបន្តបន្ទាប់នេះ។
វិធីនេះយើងនឹងទទួលបានលំដាប់ថ្មីមួយ ដែលនឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាជាជំហានដំបូងក្នុងជំហានបន្ទាប់។
ការអនុវត្តនៅក្នុង C ++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
# រួមបញ្ចូល
ដោយប្រើ namespace std;
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n − 2;
ខណៈ (j != -1 && a[j] >= a) j--;
ប្រសិនបើ (j == -1)
ត្រឡប់មិនពិត; // មិនមានការផ្លាស់ប្តូរទៀតទេ
int k = n − 1;
ខណៈ (a[j] >= a[k]) k--;
ប្តូរ(a,j,k);
int l = j + 1, r = n − 1;
ខណៈពេលដែល (l
ត្រឡប់ពិត;
}
void Print(int *a, int n) // លទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ
{
ឋិតិវន្ត int num = 1; // លេខផ្លាស់ប្តូរ
cout.width(3);
cout<<
num++ <<
": "
;
សម្រាប់ (int i = 0; i< n; i++)
cout<<
a[i] <<
" "
;
cout<<
endl;
}
int main()
{
int n, *a;
cout<<
"N = "
;
cin >> n;
a = ថ្មី int[n];
សម្រាប់ (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = ខ្ញុំ + 1;
បោះពុម្ព (a, n);
while (NextSet(a, n))
បោះពុម្ព (a, n);
cin.get(); cin.get();
ត្រឡប់ 0;
}
លទ្ធផលប្រតិបត្តិ
ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ
បញ្ហានៃការបង្កើតការផ្លាស់ប្តូរសមនឹងទទួលបានការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេស នធាតុក្នុងករណីដែលធាតុនៃលំដាប់អាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត។ ចូរនិយាយថាលំដាប់ដើមមានធាតុ n 1 , n 2 ... n kដែលជាកន្លែងដែលធាតុ n ១ធ្វើម្តងទៀតដោយខ្លួនឯង។ r ១ម្តង, n ២ធ្វើម្តងទៀតដោយខ្លួនឯង។ r ២ដង។ល។ ត្រង់ណា n 1 +n 2 +...+n k =N. ប្រសិនបើយើងរាប់អ្វីៗទាំងអស់។ n 1 + n 2 + ... + n kធាតុនៃការបំប្លែងជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗផ្សេងគ្នា នោះជាសរុបមានបំរែបំរួលខុសគ្នានៃការបំប្លែង ( n 1 +n 2 +...+n k)!. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងចំណោមការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះ មិនមែនទាំងអស់សុទ្ធតែខុសគ្នានោះទេ។ តាមពិតអ្វីៗទាំងអស់។ r ១ធាតុ n ១យើងអាចប្តូរកន្លែងជាមួយគ្នាបាន ហើយវានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរការផ្លាស់ប្តូរទេ។ តាមរបៀបដូចគ្នាយើងអាចរៀបចំធាតុឡើងវិញ n ២, n ៣ល. ជាលទ្ធផលយើងមាន r ១!ជម្រើសសម្រាប់ការសរសេរការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាជាមួយនឹងការរៀបចំផ្សេងគ្នានៃធាតុដដែលៗ n ១. ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរ r 1 !·r 2 !·...·r k !វិធី។ ដូច្នេះចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាជាមួយពាក្យដដែលៗគឺស្មើនឹង
ដើម្បីបង្កើតការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ អ្នកអាចប្រើក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើតការផ្លាស់ប្តូរដោយមិនប្រើពាក្យដដែលៗដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ ចូរយើងណែនាំធាតុដដែលៗទៅក្នុងអារេ a ។ ខាងក្រោមនេះគឺជាកូដកម្មវិធីសម្រាប់បង្កើតការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ (មានតែកូដមុខងារ main() ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ)។
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
# រួមបញ្ចូល
ដោយប្រើ namespace std;
void swap (int *a, int i, int j)
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n − 2;
ខណៈ (j != -1 && a[j] >= a) j--;
ប្រសិនបើ (j == -1)
ត្រឡប់មិនពិត; // មិនមានការផ្លាស់ប្តូរទៀតទេ
int k = n − 1;
ខណៈ (a[j] >= a[k]) k--;
ប្តូរ(a,j,k);
int l = j + 1, r = n − 1; // តម្រៀបនៅសល់នៃលំដាប់
ខណៈពេលដែល (l
ត្រឡប់ពិត;
}
void Print(int *a, int n) // លទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ
{
ឋិតិវន្ត int num = 1; // លេខផ្លាស់ប្តូរ
cout.width(3); // ទទឹងនៃវាលលទ្ធផលលេខ permutation
cout<<
num++ <<
": "
;
សម្រាប់ (int i = 0; i< n; i++)
cout<<
a[i] <<
" "
;
cout<<
endl;
}
int main()
{
int n, *a;
cout<<
"N = "
;
cin >> n;
a = ថ្មី int[n];
សម្រាប់ (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = ខ្ញុំ + 1;
a = 1; // ធាតុធ្វើម្តងទៀត
បោះពុម្ព (a, n);
while (NextSet(a, n))
បោះពុម្ព (a, n);
cin.get(); cin.get();
ត្រឡប់ 0;
}
លទ្ធផលនៃក្បួនដោះស្រាយខាងលើ៖ 