ប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យសេដ្ឋកិច្ចសម្រាប់ការធ្វើគំរូគណិតវិទ្យានៃដំណើរការផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃការគ្រប់គ្រងផលិតកម្ម និងការធ្វើផែនការ ផ្លូវដឹកជញ្ជូន (បញ្ហាដឹកជញ្ជូន) ឬការដាក់ឧបករណ៍។
ប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានប្រើប្រាស់មិនត្រឹមតែក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏នៅក្នុងរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា និងជីវវិទ្យាផងដែរ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកទំហំប្រជាជន។
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាសមីការពីរ ឬច្រើនដែលមានអថេរជាច្រើន ដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរួមមួយ។ លំដាប់នៃលេខបែបនេះ ដែលសមីការទាំងអស់ក្លាយជាសមភាពពិត ឬបង្ហាញថាលំដាប់នោះមិនមានទេ។
សមីការលីនេអ៊ែរ
សមីការនៃទម្រង់ ax+by=c ត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ។ ការរចនា x, y គឺមិនស្គាល់តម្លៃដែលត្រូវតែរកឃើញ, b, a គឺជាមេគុណនៃអថេរ, c គឺជាពាក្យសេរីនៃសមីការ។
ការដោះស្រាយសមីការដោយការគូសវាស វានឹងមើលទៅដូចជាបន្ទាត់ត្រង់ ចំណុចទាំងអស់គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះពហុនាម។
ប្រភេទនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ X និង Y ។
F1(x,y) = 0 និង F2(x, y) = 0 ដែល F1,2 ជាអនុគមន៍ និង (x, y) គឺជាអថេរអនុគមន៍។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ - នេះមានន័យថាការស្វែងរកតម្លៃ (x, y) ដែលប្រព័ន្ធប្រែទៅជាសមភាពពិត ឬការបង្កើតដែលតម្លៃសមស្របនៃ x និង y មិនមាន។
គូនៃតម្លៃ (x, y) ដែលសរសេរជាកូអរដោណេនៃចំនុចមួយ ត្រូវបានគេហៅថាជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយធម្មតាមួយ ឬគ្មានដំណោះស្រាយទេនោះ ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាសមមូល។
ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាប្រព័ន្ធដែលផ្នែកខាងស្តាំស្មើនឹងសូន្យ។ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំបន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើគ្នាមានតម្លៃ ឬត្រូវបានបង្ហាញដោយមុខងារ ប្រព័ន្ធបែបនេះគឺខុសគ្នា។
ចំនួនអថេរអាចមានច្រើនជាងពីរ បន្ទាប់មកយើងគួរតែនិយាយអំពីឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរបី ឬច្រើន។
នៅពេលប្រឈមមុខនឹងប្រព័ន្ធ សិស្សសាលាសន្មតថាចំនួនសមីការត្រូវតែស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាករណីនោះទេ។ ចំនួនសមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធមិនអាស្រ័យលើអថេរទេ វាអាចមានច្រើនតាមដែលចង់បាន។
វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញ និងស្មុគស្មាញសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
មិនមានវិធីសាស្រ្តវិភាគទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះទេ វិធីសាស្រ្តទាំងអស់គឺផ្អែកលើដំណោះស្រាយជាលេខ។ វគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាពិពណ៌នាយ៉ាងលម្អិតអំពីវិធីសាស្រ្តដូចជា ការបំប្លែង ការបន្ថែមពិជគណិត ការជំនួស ក៏ដូចជាវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក និងម៉ាទ្រីស ដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។
ភារកិច្ចចម្បងនៅពេលបង្រៀនវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយគឺត្រូវបង្រៀនពីរបៀបវិភាគប្រព័ន្ធឱ្យបានត្រឹមត្រូវ និងស្វែងរកក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយដ៏ល្អប្រសើរសម្រាប់ឧទាហរណ៍នីមួយៗ។ រឿងចំបងគឺមិនត្រូវទន្ទេញនូវប្រព័ន្ធនៃច្បាប់ និងសកម្មភាពសម្រាប់វិធីសាស្រ្តនីមួយៗនោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវយល់ពីគោលការណ៍នៃការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្តជាក់លាក់មួយ។
ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងកម្មវិធីសិក្សាអប់រំទូទៅថ្នាក់ទី៧គឺសាមញ្ញណាស់ ហើយត្រូវបានពន្យល់យ៉ាងលម្អិត។ នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាគណិតវិទ្យាណាមួយ ផ្នែកនេះត្រូវបានផ្តល់ការយកចិត្តទុកដាក់គ្រប់គ្រាន់។ ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss និង Cramer ត្រូវបានសិក្សាលម្អិតបន្ថែមទៀតនៅក្នុងឆ្នាំដំបូងនៃការអប់រំឧត្តមសិក្សា។
ប្រព័ន្ធដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រជំនួស
សកម្មភាពនៃវិធីសាស្ត្រជំនួសគឺសំដៅបង្ហាញពីតម្លៃនៃអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌទីពីរ។ កន្សោមត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មួយដែលមានអថេរមួយ។ សកម្មភាពត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតអាស្រ័យលើចំនួនមិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ
ចូរយើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃថ្នាក់ 7 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រជំនួស៖
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ អថេរ x ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ F(X) = 7 + Y ។ កន្សោមលទ្ធផលដែលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការទី 2 នៃប្រព័ន្ធជំនួស X បានជួយឱ្យទទួលបានអថេរ Y ក្នុងសមីការទី 2 . ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍នេះគឺងាយស្រួល និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានតម្លៃ Y ជំហានចុងក្រោយគឺត្រូវពិនិត្យមើលតម្លៃដែលទទួលបាន។
វាមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយការជំនួស។ សមីការអាចស្មុគស្មាញ ហើយការបង្ហាញអថេរក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការមិនស្គាល់ទីពីរនឹងពិបាកពេកសម្រាប់ការគណនាបន្ថែម។ នៅពេលដែលមានការមិនស្គាល់ច្រើនជាង 3 នៅក្នុងប្រព័ន្ធ ការដោះស្រាយដោយការជំនួសក៏មិនសមរម្យដែរ។
ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ៖
ដំណោះស្រាយដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិត
នៅពេលស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែម សមីការត្រូវបានបន្ថែមពាក្យដោយពាក្យ និងគុណដោយលេខផ្សេងៗ។ គោលដៅចុងក្រោយនៃប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាគឺសមីការក្នុងអថេរមួយ។
ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះទាមទារការអនុវត្ត និងការសង្កេត។ ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែមនៅពេលដែលមានអថេរ 3 ឬច្រើនគឺមិនងាយស្រួលនោះទេ។ ការបន្ថែមពិជគណិតគឺងាយស្រួលប្រើនៅពេលដែលសមីការមានប្រភាគ និងទសភាគ។
ក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ៖
- គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ មេគុណមួយនៃអថេរគួរតែស្មើនឹង 1 ។
- បន្ថែមពាក្យកន្សោមលទ្ធផលតាមពាក្យ និងស្វែងរកពាក្យមួយដែលមិនស្គាល់។
- ជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការទី 2 នៃប្រព័ន្ធ ដើម្បីស្វែងរកអថេរដែលនៅសល់។
វិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយដោយការណែនាំអថេរថ្មី។
អថេរថ្មីអាចត្រូវបានណែនាំប្រសិនបើប្រព័ន្ធទាមទារឱ្យស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការមិនលើសពីពីរ។
វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្រួលសមីការមួយដោយណែនាំអថេរថ្មីមួយ។ សមីការថ្មីត្រូវបានដោះស្រាយសម្រាប់មិនស្គាល់ដែលបានណែនាំ ហើយតម្លៃលទ្ធផលត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់អថេរដើម។
ឧទាហរណ៍បង្ហាញថាដោយការណែនាំអថេរថ្មី t វាអាចកាត់បន្ថយសមីការទី 1 នៃប្រព័ន្ធទៅជា trinomial quadratic ស្តង់ដារ។ អ្នកអាចដោះស្រាយពហុនាមដោយស្វែងរកអ្នករើសអើង។
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃអ្នករើសអើងដោយប្រើរូបមន្តល្បី៖ D = b2 - 4*a*c ដែល D គឺជាអ្នករើសអើងដែលចង់បាន b, a, c គឺជាកត្តានៃពហុធា។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a=1, b=16, c=39 ដូច្នេះ D=100 ។ ប្រសិនបើការរើសអើងធំជាងសូន្យ នោះមានដំណោះស្រាយពីរ៖ t = -b±√D / 2*a ប្រសិនបើការរើសអើងតិចជាងសូន្យ នោះមានដំណោះស្រាយមួយ៖ x = -b / 2*a ។
ដំណោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធលទ្ធផលត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម។
វិធីសាស្រ្តមើលឃើញសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ
សាកសមសម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការ 3 ។ វិធីសាស្រ្តមាននៅក្នុងការសាងសង់ក្រាហ្វនៃសមីការនីមួយៗដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។ កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងនឹងជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ។
វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកមានចំនួននៃការ nuances ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរតាមរបៀបដែលមើលឃើញ។
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍សម្រាប់បន្ទាត់នីមួយៗ ចំណុចពីរត្រូវបានសាងសង់ តម្លៃនៃអថេរ x ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត: 0 និង 3. ដោយផ្អែកលើតម្លៃនៃ x តម្លៃសម្រាប់ y ត្រូវបានរកឃើញ៖ 3 និង 0. ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (0, 3) និង (3, 0) ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើក្រាហ្វ ហើយភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់មួយ។
ជំហានត្រូវធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់សមីការទីពីរ។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់គឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។
ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមតម្រូវឱ្យស្វែងរកដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖ 0.5x-y+2=0 និង 0.5x-y-1=0 ។
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ ពីព្រោះក្រាហ្វគឺស្របគ្នា និងមិនប្រសព្វតាមបណ្តោយប្រវែងទាំងមូលរបស់វា។
ប្រព័ន្ធពីឧទាហរណ៍ទី 2 និងទី 3 គឺស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែនៅពេលសាងសង់វាច្បាស់ថាដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេខុសគ្នា។ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា វាមិនតែងតែអាចនិយាយបានថាតើប្រព័ន្ធមួយមានដំណោះស្រាយឬអត់នោះទេ វាតែងតែចាំបាច់ក្នុងការសាងសង់ក្រាហ្វ។
ម៉ាទ្រីសនិងពូជរបស់វា។
Matrices ត្រូវបានប្រើដើម្បីសរសេរប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយសង្ខេប។ ម៉ាទ្រីសគឺជាប្រភេទតារាងពិសេសដែលមានលេខ។ n * m មាន n - ជួរដេក និង m - ជួរឈរ។
ម៉ាទ្រីសមួយគឺការ៉េនៅពេលចំនួនជួរឈរនិងជួរដេកស្មើ។ ម៉ាទ្រីស-វ៉ិចទ័រ គឺជាម៉ាទ្រីសនៃជួរឈរមួយ ដែលមានចំនួនជួរដេកដែលអាចធ្វើបានគ្មានកំណត់។ ម៉ាទ្រីសមួយនៅតាមអង្កត់ទ្រូងមួយ និងធាតុសូន្យផ្សេងទៀតត្រូវបានហៅថាអត្តសញ្ញាណ។
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺម៉ាទ្រីសមួយដែលពេលគុណនឹងដែលមួយដើមប្រែទៅជាម៉ាទ្រីសឯកតានោះមានសម្រាប់តែការ៉េដើមប៉ុណ្ណោះ។
ច្បាប់សម្រាប់បំប្លែងប្រព័ន្ធសមីការទៅជាម៉ាទ្រីស
ទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការ មេគុណ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃនៃសមីការត្រូវបានសរសេរជាលេខម៉ាទ្រីស;
ជួរម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេនិយាយថាមិនសូន្យ បើយ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយនៃជួរគឺមិនសូន្យ។ ដូច្នេះប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការណាមួយចំនួនអថេរខុសគ្នានោះ ចាំបាច់ត្រូវបញ្ចូលលេខសូន្យជំនួសកន្លែងមិនស្គាល់។
ជួរឈរម៉ាទ្រីសត្រូវតែឆ្លើយតបយ៉ាងតឹងរ៉ឹងទៅនឹងអថេរ។ នេះមានន័យថាមេគុណនៃអថេរ x អាចត្រូវបានសរសេរតែក្នុងជួរឈរមួយប៉ុណ្ណោះ ឧទាហរណ៍ ទីមួយ មេគុណនៃ y មិនស្គាល់ - តែនៅក្នុងទីពីរប៉ុណ្ណោះ។
នៅពេលគុណម៉ាទ្រីស ធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានគុណជាលំដាប់ដោយលេខ។
ជម្រើសសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺសាមញ្ញណាស់៖ K -1 = 1 / |K| ដែល K -1 ជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ហើយ |K| គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស។ |K| មិនត្រូវស្មើនឹងសូន្យទេ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយ។
កត្តាកំណត់ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលសម្រាប់ម៉ាទ្រីសពីរដោយពីរ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវគុណធាតុអង្កត់ទ្រូងដោយគ្នាទៅវិញទៅមក។ សម្រាប់ជម្រើស "បីនឹងបី" មានរូបមន្តមួយ |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ក ៣ ខ ២ គ ១ . អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត ឬអ្នកអាចចាំថាអ្នកត្រូវយកធាតុមួយពីជួរនីមួយៗ និងជួរនីមួយៗ ដើម្បីកុំឱ្យចំនួនជួរឈរ និងជួរដេកនៃធាតុមិនកើតឡើងម្តងទៀតក្នុងការងារ។
ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស
វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកាត់បន្ថយធាតុស្មុគស្មាញនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធជាមួយនឹងចំនួនអថេរនិងសមីការជាច្រើន។
ក្នុងឧទាហរណ៍ a nm គឺជាមេគុណនៃសមីការ ម៉ាទ្រីសគឺជាវ៉ិចទ័រ x n គឺជាអថេរ ហើយ b n គឺជាលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។
ប្រព័ន្ធដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian
នៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ វិធីសាស្ត្រ Gaussian ត្រូវបានសិក្សារួមគ្នាជាមួយវិធីសាស្ត្រ Cramer ហើយដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយ Gauss-Cramer ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកអថេរនៃប្រព័ន្ធដែលមានសមីការលីនេអ៊ែរមួយចំនួនធំ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយដោយការជំនួស និងការបន្ថែមពិជគណិត ប៉ុន្តែមានលក្ខណៈជាប្រព័ន្ធជាង។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា ដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 និង 4 ។ គោលបំណងនៃវិធីសាស្រ្តគឺដើម្បីកាត់បន្ថយប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់នៃ trapezoid ដាក់បញ្ច្រាស។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរពិជគណិត និងជំនួស តម្លៃនៃអថេរមួយត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ។ សមីការទីពីរគឺជាកន្សោមដែលមាន 2 មិនស្គាល់ ខណៈពេលដែល 3 និង 4 គឺរៀងគ្នាជាមួយនឹងអថេរ 3 និង 4 ។
បន្ទាប់ពីនាំយកប្រព័ន្ធទៅទម្រង់ដែលបានពិពណ៌នា ដំណោះស្រាយបន្ថែមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការជំនួសជាបន្តបន្ទាប់នៃអថេរដែលគេស្គាល់ទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ។
នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់សាលាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 7 ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានពិពណ៌នាដូចខាងក្រោម:
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍នៅជំហាន (3) សមីការពីរត្រូវបានទទួល: 3x 3 -2x 4 =11 និង 3x 3 +2x 4 =7 ។ ការដោះស្រាយសមីការណាមួយនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកអថេរ x n ។
ទ្រឹស្តីបទ 5 ដែលត្រូវបានរៀបរាប់នៅក្នុងអត្ថបទ ចែងថា ប្រសិនបើសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានជំនួសដោយសមមូលមួយ នោះប្រព័ន្ធលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងតម្លៃដើមផងដែរ។
វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺពិបាកសម្រាប់សិស្សថ្នាក់កណ្តាលក្នុងការយល់ ប៉ុន្តែវាគឺជាវិធីដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតមួយក្នុងការអភិវឌ្ឍភាពប៉ិនប្រសប់របស់កុមារដែលបានចុះឈ្មោះក្នុងកម្មវិធីសិក្សាកម្រិតខ្ពស់នៅក្នុងថ្នាក់គណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា។
ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការកត់ត្រា ការគណនាជាធម្មតាត្រូវបានធ្វើដូចខាងក្រោមៈ
មេគុណនៃសមីការ និងពាក្យទំនេរត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលជួរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសត្រូវគ្នានឹងសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ។ បំបែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការពីខាងស្តាំ។ លេខរ៉ូម៉ាំងបង្ហាញពីចំនួនសមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។
ដំបូងត្រូវសរសេរម៉ាទ្រីសដែលត្រូវធ្វើការជាមួយ បន្ទាប់មកសកម្មភាពទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តជាមួយជួរដេកមួយ។ ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរបន្ទាប់ពីសញ្ញា "ព្រួញ" ហើយប្រតិបត្តិការពិជគណិតចាំបាច់ត្រូវបានបន្តរហូតដល់លទ្ធផលត្រូវបានសម្រេច។
លទ្ធផលគួរតែជាម៉ាទ្រីសដែលអង្កត់ទ្រូងមួយស្មើនឹង 1 ហើយមេគុណផ្សេងទៀតទាំងអស់គឺស្មើសូន្យ ពោលគឺម៉ាទ្រីសត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ឯកតា។ យើងមិនត្រូវភ្លេចធ្វើការគណនាជាមួយលេខនៅសងខាងនៃសមីការនោះទេ។
វិធីសាស្រ្តថតនេះគឺមិនសូវពិបាកទេ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមិនរំខានដោយការរាយបញ្ជីមិនស្គាល់ជាច្រើន។
ការប្រើប្រាស់ដោយឥតគិតថ្លៃនៃវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយណាមួយនឹងតម្រូវឱ្យមានការថែទាំ និងបទពិសោធន៍មួយចំនួន។ មិនមែនវិធីសាស្រ្តទាំងអស់សុទ្ធតែមានលក្ខណៈអនុវត្តនោះទេ។ វិធីសាស្រ្តមួយចំនួនក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយគឺចូលចិត្តជាងនៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស ខណៈពេលដែលវិធីផ្សេងទៀតមានសម្រាប់គោលបំណងអប់រំ។
ក 21 x 1 + ក 22 x 2 +...+ មួយ 2p x ទំ= ខ 2 ,
........................................
ក ស 1 x 1 + ក ស 2 x 2 +...+ a s p x ទំ= b s.
យើងនឹងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបឋមលើវា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់ការមិនស្គាល់នៃប្រព័ន្ធ (1) ជាមួយនឹងការបន្ថែមជួរឈរនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃមួយនិយាយម្យ៉ាងទៀត ម៉ាទ្រីសពង្រីក Ā សម្រាប់ប្រព័ន្ធ (1):
ចូរយើងសន្មតថាដោយមានជំនួយពីការបំលែងបែបនេះវាអាចទៅរួចដើម្បីកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីស Ā ទៅទម្រង់៖
b 22 x 2 +...+b 2 r x r +...+b 2 n x n =c 2,......................................
b rr x r +...+b rn x n =c r ,
ដែលត្រូវបានទទួលពីប្រព័ន្ធ (1) ដោយប្រើចំនួនជាក់លាក់នៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ហើយដូច្នេះវាស្មើនឹងប្រព័ន្ធ (1) ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធ (4) r=nបន្ទាប់មកពីសមីការចុងក្រោយដែលមានទម្រង់ b nn x n = c n(កន្លែងណា b nn≠ 0) យើងរកឃើញតម្លៃតែមួយគត់ x នពីសមីការចុងក្រោយ - តម្លៃ xn-1(ចាប់តាំងពី x នស្គាល់រួចហើយ) ។ល។ ទីបំផុតពីសមីការទីមួយ - តម្លៃ x១. ដូច្នេះក្នុងករណី) r=nប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ប្រសិនបើ r
X 1 = ក 1, r+1 x r+1 +...+a ១ ន X ន+b 1,
|
|
............................................
X r= ក r, r+1 x r+1 +...+ក r ន X ន+ ខ r.
ដែលសំខាន់ ការសម្រេចចិត្តទូទៅប្រព័ន្ធ (1) ។
មិនស្គាល់ x r+1, ..., x n ត្រូវបានគេហៅថាឥតគិតថ្លៃ។ ពីប្រព័ន្ធ (5) វានឹងអាចរកឃើញតម្លៃ x1,..., x r ។
ការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីស Ā ដើម្បីបង្កើត (3) គឺអាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ (1) គឺស្រប។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធ (1) មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា នោះការកាត់បន្ថយបែបនេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ កាលៈទេសៈនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងការពិតដែលថានៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីស Ā បន្ទាត់មួយលេចឡើងនៅក្នុងវា ដែលធាតុទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ លើកលែងតែធាតុចុងក្រោយ។ បន្ទាត់នេះត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការនៃទម្រង់៖
0*x 1 +0*x 2 +...+0*x ន=ខ,
ដែលមិនត្រូវបានពេញចិត្តដោយតម្លៃណាមួយនៃមិនស្គាល់, ចាប់តាំងពី ខ≠0. ក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធមិនជាប់លាប់។
នៅក្នុងដំណើរការនៃការកាត់បន្ថយប្រព័ន្ធ (1) ទៅជាទម្រង់មួយជំហាន សមីការនៃទម្រង់ 0=0 អាចទទួលបាន។ ពួកវាអាចត្រូវបានគេបោះចោល ព្រោះវានាំទៅដល់ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធមុន។
នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការកាត់បន្ថយមិនមែនប្រព័ន្ធនៃសមីការខ្លួនវាទេ ប៉ុន្តែម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធនេះទៅជាទម្រង់មួយជំហានដោយអនុវត្តការបំប្លែងទាំងអស់នៅលើជួររបស់វា។ ម៉ាទ្រីសបន្តបន្ទាប់គ្នាដែលទទួលបានកំឡុងពេលបំប្លែងជាធម្មតាត្រូវបានភ្ជាប់ដោយសញ្ញាសមមូល។
ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមជាមួយនឹង 4 មិនស្គាល់៖
2x 1 +5x 2 +4x 3 +x 4 =20,
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 = 11,
2x 1 +10x 2 +9x 3 +7x 4 = 40,
3x 1 +8x 2 +9x 3 +2x 4 =37 ។
ចូរសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ជាមួយនឹងការបន្ថែមជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។
ចូរយើងវិភាគជួរនៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក៖
ទៅធាតុនៃជួរទី 2 យើងបន្ថែមធាតុនៃទី 1 ដែលបែងចែកដោយ (-2);
ពីជួរទី 3 ដកជួរទី 1;
ទៅជួរទី 4 យើងបន្ថែមលេខ 1 គុណនឹង (-3/2) ។
ជាឧបករណ៍គណនា យើងនឹងប្រើឧបករណ៍កម្មវិធី Excel-97.
1. បើកកុំព្យូទ័ររបស់អ្នក។
2. រង់ចាំរហូតដល់ប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការចាប់ផ្ដើម វីនដូ, បន្ទាប់ពីនោះ។ បើកបង្អួច Microsoft Excel.
3. បំពេញកោសិកាតារាងដែលមានតម្លៃនៃម៉ាទ្រីសបន្ថែម (រូបភាព ១១.១)
អង្ករ។ ១១.១ រូប។ ១១.២
4. ដើម្បីអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយពាក្យសំដីដែលបានជ្រើសរើស សូមអនុវត្តសកម្មភាពខាងក្រោម។
· ធ្វើឱ្យកោសិកាសកម្ម A5 និងពីក្តារចុចបញ្ចូលទៅក្នុងវារូបមន្តនៃទម្រង់ =A2+A1/(-2) បន្ទាប់មក បំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិបញ្ចូលលទ្ធផលជាលេខនៅក្នុងក្រឡា B5 ¸E5;
· នៅក្នុងក្រឡា A6 យើងនឹងដាក់លទ្ធផលនៃការដកជួរទី 1 ពីលេខ 3 ហើយម្តងទៀតដោយប្រើ បំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិបំពេញក្រឡា B6¸E6;
· ក្នុងក្រឡា A7 យើងសរសេររូបមន្តនៃទម្រង់ =A4+A1*(-3/2) និង បំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិចូរយើងបញ្ចូលលទ្ធផលជាលេខនៅក្នុងក្រឡា B7¸E7។
5. ចូរយើងវិភាគម្តងទៀតនូវជួរដេកដែលកើតចេញពីការបំប្លែងបឋមនៃម៉ាទ្រីស ដើម្បីនាំវាទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។
· ទៅជួរទី 6 បន្ថែមទី 5 គុណនឹងលេខ (-10);
· ដកលេខទី 5 ចេញពីជួរទី 7 ។
យើងអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយដែលបានកត់ត្រានៅក្នុងក្រឡា A8, A9 បន្ទាប់មក ចូរយើងលាក់ 6 និង 7 – បន្ទាត់ (សូមមើលរូប 11.3)។
អង្ករ។ ១១.៣ រូប។ ១១.៤
6. ហើយរឿងចុងក្រោយដែលអ្នកត្រូវធ្វើដើម្បីនាំម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណគឺត្រូវបន្ថែមលេខ 8 ទៅជួរទី 9 គុណនឹង (-3/5) បន្ទាប់មក លាក់ជួរទី 9 (រូបភាព 11.4) ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញធាតុនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលគឺនៅជួរទី 1, 5, 8 និង 10 ហើយចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលគឺ r = 4 ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធសមីការនេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធលទ្ធផល៖
2x 1 +5x 2 +4x 3 + x 4 = 20,
0.5x 2 + 0.5x 4 =1,
5x 3 + x 4 = 10,
ពីសមីការចុងក្រោយយើងងាយស្រួលរក x 4 = 0; ពីសមីការទី 3 យើងរកឃើញ x 3 = 2; ពីទី 2 – x 2 = 2 និងពី 1st – x 1 = 1 រៀងគ្នា។
ភារកិច្ចសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ។
ប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
ការងារមន្ទីរពិសោធន៍លេខ ១៥ ការស្វែងរកឫសនៃសមីការ f(x)=0
វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ ត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះក្រិកបុរាណ។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4 ត្រូវបានទទួលតាមរយៈការខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី S. Ferro, N. Tartaglia, G. Cartano, L. Ferrari កំឡុងសម័យក្រុមហ៊ុន Renaissance ។ បន្ទាប់មកវាដល់ពេលដែលត្រូវស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការនៃដឺក្រេទីប្រាំ និងខ្ពស់ជាងនេះ។ ការព្យាយាមឥតឈប់ឈរ ប៉ុន្តែគ្មានផ្លែផ្កាបានបន្តប្រហែល 300 ឆ្នាំ ហើយបានបញ្ចប់ក្នុងទសវត្សរ៍ទី 20 នៃសតវត្សទី 21 ដោយសារស្នាដៃរបស់គណិតវិទូន័រវេស N. Abel ។ គាត់បានបង្ហាញថាសមីការទូទៅនៃអំណាចទីប្រាំ និងខ្ពស់ជាងនេះគឺមិនអាចដោះស្រាយបាននៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការទូទៅនៃសញ្ញាបត្រទី n
a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0, a 0 ¹0 (1)
នៅពេលដែល n³5 មិនអាចត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈមេគុណដោយប្រើប្រតិបត្តិការនៃការបូក ដក គុណ ចែក និទស្សន្ត និងដកឫស។
សម្រាប់សមីការមិនពិជគណិតដូច
x–cos(x)=0 (2)
ភារកិច្ចកាន់តែពិបាក។ ក្នុងករណីនេះវាកម្រនឹងអាចរកឃើញកន្សោមច្បាស់លាស់សម្រាប់ឫស។
នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៅពេលដែលរូបមន្ត "មិនដំណើរការ" នៅពេលដែលអ្នកអាចពឹងផ្អែកលើពួកវាបានតែក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត ក្បួនដោះស្រាយការគណនាជាសកលទទួលបានសារៈសំខាន់ពិសេស។ មានក្បួនដោះស្រាយដែលគេស្គាល់មួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា។
ករណីនៅពេលដែលចំនួនសមីការ មអថេរច្រើនទៀត នដោយការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ជាលំដាប់ពីសមីការនាំឱ្យមានករណី ម= នឬ ម ន.
ករណីទីមួយត្រូវបានពិភាក្សាមុន។ ម នក្នុងករណីទីពីរនៅពេលដែលចំនួនសមីការមានតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ ម ហើយសមីការគឺឯករាជ្យ ឈរចេញ អថេរចម្បង ន- ម)និង ( អថេរដែលមិនមែនជាស្នូល . អថេរសំខាន់ៗគឺជាកត្តាដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ កត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយមេគុណនៃអថេរទាំងនេះមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ កត្តាសំខាន់ៗអាចជាក្រុមអថេរផ្សេងៗ។ ចំនួនសរុបនៃក្រុមបែបនេះន នស្មើនឹងចំនួនបន្សំនៃ ម:
ធាតុដោយ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមួយមានយ៉ាងហោចណាស់មួយក្រុមនៃអថេរមូលដ្ឋាន នោះប្រព័ន្ធនេះគឺ មិនប្រាកដប្រជា
នោះគឺវាមានដំណោះស្រាយជាច្រើន។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនមានក្រុមតែមួយនៃអថេរមូលដ្ឋានទេ នោះប្រព័ន្ធគឺ មិនមែនសន្លាក់
នោះគឺវាមិនមានដំណោះស្រាយតែមួយទេ។
ក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធមួយមានដំណោះស្រាយជាច្រើន ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានត្រូវបានសម្គាល់ក្នុងចំណោមពួកគេ។
ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន 
គឺជាដំណោះស្រាយដែលអថេរអនីតិជនស្មើនឹងសូន្យ។ ប្រព័ន្ធមិនមានច្រើនជាងនេះទេ។
ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាន។ ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធត្រូវបានបែងចែកទៅជា អាចទទួលយកបាន។ និង .
មិនអាចទទួលយកបាន។ អាចទទួលយកបាន។
ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់តម្លៃមួយនៃអថេរគឺអវិជ្ជមាន នោះដំណោះស្រាយត្រូវបានគេហៅថា មិនអាចទទួលយកបាន។ .
ឧទាហរណ៍ 4.5
ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ
ចូរយើងស្វែងរកចំនួនដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាន
.
ដូច្នេះក្នុងចំណោមដំណោះស្រាយជាច្រើននៃប្រព័ន្ធមិនមានច្រើនជាងបីជាមូលដ្ឋានទេ។ ចូរយើងគូសបញ្ជាក់អថេរសំខាន់ពីរក្នុងចំណោមបី។ ចូរសន្មតថាវាជា X 1 និង X២. ចូរយើងពិនិត្យមើលកត្តាកំណត់ពីមេគុណរបស់វា។
.
ដោយសារកត្តាកំណត់នេះមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះអថេរ X 1 ,X 2 គឺសំខាន់។
ឥឡូវសូមសន្មតថា X៣=០។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់
តោះដោះស្រាយវាដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer៖
,
.
ដូច្នេះដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានដំបូងមានទម្រង់
X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0 .
ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិនិត្យមើលថាតើអថេរជារបស់មេ X 1 និង X 3 .
.
យើងទទួលបាននោះ។ X 1 និង X 3 - ក្រុមទីពីរនៃអថេរសំខាន់។ តោះដាក់ X 2 = 0 និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធ
,
.
ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានទីពីរមានទម្រង់
X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0.
ឥឡូវយើងពិនិត្យមើលថាតើអថេរជាកម្មសិទ្ធិរបស់មេ X 2 និង X 3 .
នោះគឺអថេរ X 2 និង X 3 អនីតិជន។ ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធនេះមានដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានចំនួនពីរសរុប។ ដំណោះស្រាយទាំងពីរនេះអាចទទួលយកបាន។
លក្ខខណ្ឌភាពឆបគ្នាសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយអថេរ n ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើគំនិតនៃចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស។
ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស - នេះគឺជាលេខដែលស្មើនឹងលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃអនីតិជនក្រៅពីសូន្យ។
សម្រាប់ម៉ាទ្រីស A
អនីតិជន k - លំដាប់ បម្រើជាកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយធាតុផ្សំនៃណាមួយ។ k បន្ទាត់ និង k ជួរឈរ។
ឧ.
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស
ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស
ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណជួរទីមួយដោយ (-4) ហើយបន្ថែមវាជាមួយបន្ទាត់ទីពីរបន្ទាប់មកគុណជួរទីមួយដោយ (-7) ហើយបន្ថែមវាជាមួយបន្ទាត់ទីបី ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានកត្តាកំណត់។
ដោយសារតែ ជួរនៃកត្តាកំណត់លទ្ធផលគឺសមាមាត្របន្ទាប់មក 
.
ពីនេះយើងអាចឃើញថាអនីតិជនលំដាប់ទី 3 ស្មើនឹង 0 ហើយអនីតិជនលំដាប់ទី 2 មិនស្មើនឹង 0 ។
ដូច្នេះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ r = 2 ។
ម៉ាទ្រីសពង្រីក ប្រព័ន្ធមានទម្រង់
ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli
ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បង។ 
.
ប្រសិនបើ 
,
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។
សម្រាប់ប្រព័ន្ធដំណាលគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ ករណីបីអាចធ្វើទៅបាន៖
1) ប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធ LU មាន (m-r) សមីការអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ពួកគេអាចត្រូវបានគេដកចេញពីប្រព័ន្ធ។
2) ប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធ LU មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
3) ប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធ LU មានដំណោះស្រាយជាច្រើន។
ការប្រើប្រាស់សមីការគឺរីករាលដាលនៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនាជាច្រើនការសាងសង់រចនាសម្ព័ន្ធនិងសូម្បីតែកីឡា។ មនុស្សបានប្រើសមីការនៅសម័យបុរាណ ហើយចាប់តាំងពីពេលនោះមក ការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេកាន់តែកើនឡើង។ សមីការដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ចំនួនបួនអាចមានដំណោះស្រាយដែលអាចកើតមានជាច្រើន។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា គេតែងតែជួបប្រទះសមីការនៃប្រភេទនេះ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះបានត្រឹមត្រូវ ចាំបាច់ត្រូវប្រើលក្ខណៈទាំងអស់នៃសមីការ ដើម្បីសម្រួល និងកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយរបស់វា។
សូមក្រឡេកមើលដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖
ដោយបន្ថែមសមីការទីមួយ និងទីពីរដោយផ្នែក អ្នកអាចទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុត៖
\ ឬ \
តោះអនុវត្តសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយសមីការ 2 និង 3៖
\ ឬ \
យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល \ និង \
យើងទទួលបាន \ និង \
យើងជំនួសលេខលទ្ធផលទៅជាសមីការ 1 និង 3៖
\ ឬ \
\ ឬ \
ការជំនួសលេខទាំងនេះដោយសមីការទីពីរ និងទីបួននឹងផ្តល់សមីការដូចគ្នា។
ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់នោះទេ ចាប់តាំងពីមានសមីការចំនួន 2 ជាមួយនឹង 2 មិនស្គាល់ដែលនៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយ។ អ្នកអាចឃើញដំណោះស្រាយចំពោះសមីការប្រភេទនេះនៅក្នុងអត្ថបទនៅទីនេះ។
តើខ្ញុំអាចដោះស្រាយសមីការជាមួយចំនួនមិនស្គាល់ចំនួនបួនតាមអ៊ីនធឺណិតនៅឯណា?
អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការដោយមិនស្គាល់តាមអ៊ីនធឺណិតនៅ https://site ។ កម្មវិធីដោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតឥតគិតថ្លៃនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការអនឡាញនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយក្នុងរយៈពេលតែប៉ុន្មានវិនាទីប៉ុណ្ណោះ។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺគ្រាន់តែបញ្ចូលទិន្នន័យរបស់អ្នកទៅក្នុងកម្មវិធីដោះស្រាយ។ អ្នកក៏អាចមើលការណែនាំជាវីដេអូ និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកនៅតែមានសំណួរ អ្នកអាចសួរពួកគេនៅក្នុងក្រុម VKontakte របស់យើង http://vk.com/pocketteacher ។ ចូលរួមជាមួយក្រុមរបស់យើង យើងតែងតែរីករាយក្នុងការជួយអ្នក។