ទ្រឹស្តីនៃការផ្លាស់ប្តូរប្រូបាប៊ីលីតេ។ បញ្ហាបន្សំ

ធាតុផ្សំនៃសមាសធាតុផ្សំ៖ការផ្លាស់ប្តូរ, បន្សំ, ទីតាំង។

“ចំនួន ទីតាំង និងការរួមបញ្ចូលគ្នាគឺបី
ប្រសព្វគ្នា ប៉ុន្តែខុសគ្នា
វិសាលភាពនៃគំនិតដែលមនុស្សម្នាក់អាចធ្វើបាន
រួមបញ្ចូលគំនិតគណិតវិទ្យាទាំងអស់” ។
Joseph Sylvester (1844)

គោលបំណងនៃមេរៀន។

ការអប់រំ៖

  • ណែនាំសិស្សឱ្យស្គាល់មុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាថ្មី៖ "Combinatorics" ជាមួយនឹងប្រវត្តិ គោលគំនិត និងកិច្ចការជាមូលដ្ឋាន ប្រើប្រាស់សម្រាប់គោលបំណងជាក់ស្តែង និងក្នុងជីវិតមនុស្ស។
  • រួមចំណែកដល់ការបង្កើតគម្រោងអប់រំដែលជាសូចនាករនៃការសិក្សាប្រកបដោយគុណភាពខ្ពស់នៃប្រធានបទមេរៀន។

ការអប់រំ៖

  • អភិវឌ្ឍជំនាញវិភាគ, ការគិតឡូជីខល,
  • សមត្ថភាពបុគ្គលរបស់សិស្សម្នាក់ៗ បង្កើតបរិយាកាសផ្លូវចិត្តប្រកបដោយផាសុកភាពសម្រាប់សិស្សម្នាក់ៗនៅពេលរៀន និងបង្កើតគម្រោង។

ការអប់រំ៖

  • ដើម្បីបង្កើតសកម្មភាពបុគ្គលិកលក្ខណៈរបស់សិស្ស សមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការជាក្រុម និងទទួលខុសត្រូវចំពោះសកម្មភាពរបស់ពួកគេ។

បរិក្ខារ៖ កុំព្យូទ័រ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំង អេក្រង់ ការធ្វើបទបង្ហាញ ការធ្វើតេស្តអេឡិចត្រូនិក និងក្រដាស បញ្ហា Sudoku គូប Rubik ថតឯកសារសម្រាប់ការងារឯករាជ្យក្រៅកម្មវិធីសិក្សា សៀវភៅការងារ ក្រដាស Whatman ទទេ ម៉ាស៊ីនគិតលេខ ក្រដាសពណ៌ កាវ កន្ត្រៃ ប៊ិច អារម្មណ៍។

វឌ្ឍនភាពនៃមេរៀន

I. ពេលរៀបចំ

ការហៅទូរស័ព្ទ

ការរាយការណ៍អំពីគោលដៅ និងគោលបំណងនៃមេរៀន៖ ដោយសារតែនៅក្នុងមុខវិជ្ជា "គណិតវិទ្យា" ក្នុងឆ្នាំទី 2 នៃឯកទេស "បច្ចេកវិទ្យាការងារឈើ" លើប្រធានបទ "គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃបន្សំ៖ ការបំប្លែង ទីតាំង បន្សំ" 2 ម៉ោងត្រូវបានបែងចែក ហើយអ្នកត្រូវពិចារណាលើសម្ភារៈជាច្រើន និងដោះស្រាយបញ្ហា បង្កើតគម្រោង អ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដូចខាងក្រោមសម្រាប់ការងារឯករាជ្យក្រៅកម្មវិធីសិក្សា៖ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ស្តីពីប្រវត្តិគណិតវិទ្យា ក្នុងសព្វវចនាធិប្បាយ សៀវភៅសិក្សា និងអ៊ីនធឺណិត ស្វែងរកសម្ភារៈ អំពី​ផ្នែក​គណិត​វិទ្យា​ដែល​មាន​ឈ្មោះ​ដ៏​ល្បី​ថា «បន្សំ»។ ស្លាយលេខ ១–២។បទ​បង្ហាញ

នៅក្នុងប្រតិទិននិងផែនការប្រធានបទសម្រាប់វិន័យ "គណិតវិទ្យា" នៅឆ្នាំទី 2 នៃឯកទេស "បច្ចេកវិទ្យាការងារឈើ" លើប្រធានបទ "គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃបន្សំ: ការបំប្លែង ការដាក់ បន្សំ" 2 ម៉ោងត្រូវបានបែងចែក។ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសិក្សាទ្រឹស្តីនិងដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទផ្សេងៗគ្នាក្នុងរយៈពេលបែបនេះ។ ដើម្បីសម្រេចបាននូវការសិក្សាជ្រៅជ្រះនៃសម្ភារៈ កិច្ចការមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការងារឯករាជ្យក្រៅកម្មវិធីសិក្សា៖ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ស្តីពីប្រវត្តិគណិតវិទ្យា ក្នុងសព្វវចនាធិប្បាយ សៀវភៅសិក្សា និងនៅលើអ៊ីនធឺណិត ស្វែងរកសម្ភារៈអំពីសាខាគណិតវិទ្យាដែលមានឈ្មោះ sonorous “ គ្រឿងបន្សំ”។ ស្លាយលេខ ១–២។

សំណួរចំនួនបីត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ការងារឯករាជ្យក្រៅកម្មវិធីសិក្សា៖

  1. និយមន័យនៃ combinatorics ។
  2. អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ - គណិតវិទូ - គឺជាអ្នកត្រួសត្រាយផ្លូវនៃផ្នែកនេះ។
  3. ការអនុវត្តនៃ combinatorics នៅក្នុងជីវិតសម័យទំនើប។

កត់ត្រាកាលបរិច្ឆេទ និងប្រធានបទនៃមេរៀន។

II. ធ្វើការលើប្រធានបទនៃមេរៀន

សេចក្តីផ្តើម៖

តាំងពីបុរាណកាលមក ព័ត៌មានបានឈានដល់មនុស្សសម័យទំនើប ដែលសូម្បីតែនៅពេលនោះមនុស្សបានចូលរួមក្នុងការជ្រើសរើសវត្ថុ និងរៀបចំពួកវាតាមលំដាប់លំដោយមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត ហើយចាប់អារម្មណ៍លើការតែងបន្សំផ្សេងៗ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងប្រទេសចិនបុរាណ ពួកគេចូលចិត្តការតែងការ៉េដែលលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដើម្បីឱ្យផលបូករបស់វានៅតាមបណ្តោយផ្តេក បញ្ឈរ និងអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ៗគឺដូចគ្នា (ហ្គេមទំនើបគឺជាបញ្ហា "ស៊ូដូគុ")។ អ្នកប្រហែលជាធ្លាប់ឃើញបញ្ហាបែបនេះនៅក្នុងទស្សនាវដ្តី និងកាសែត។ ជាពិសេសកាសែត Mariinsk របស់យើង "ឆ្ពោះទៅមុខ" ជាញឹកញាប់ផ្តល់ឱ្យអ្នកអាននូវភារកិច្ចបែបនេះ។ នៅប្រទេសក្រិចបុរាណ បញ្ហាស្រដៀងគ្នានេះបានកើតឡើងទាក់ទងនឹងហ្គេមដូចជា checkers, chess, dominoes, cards ។ល។

Combinatorics បានក្លាយជាសាខាឯករាជ្យនៃគណិតវិទ្យា តាមពិត វិទ្យាសាស្ត្រឯករាជ្យតែនៅក្នុងពាក់កណ្តាលទីពីរនៃសតវត្សទី 17 ក្នុងអំឡុងពេលដែលទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេបានកើតឡើង។

ដូច្នេះ combinatorics គឺជាសាខាឯករាជ្យនៃគណិតវិទ្យា ដែលសំណួរត្រូវបានសិក្សាអំពីចំនួនបន្សំផ្សេងៗគ្នា ប្រធានបទ ឬលក្ខខណ្ឌ អាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

Combinatorics គឺជាសាខាឯករាជ្យនៃវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យា។ លេខស្លាយ 3

ពាក្យ "COMBINATORICS" មកពីពាក្យឡាតាំង "combina" ដែលបកប្រែជាភាសារុស្សីមានន័យថា "បញ្ចូលគ្នា" "ដើម្បីភ្ជាប់" - លេខស្លាយ 4 ។

តើវចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយធំបកស្រាយពាក្យនេះយ៉ាងដូចម្តេច?

Combinatorics គឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែល "ការតភ្ជាប់" សាមញ្ញបំផុតត្រូវបានសិក្សា: ការផ្លាស់ប្តូរ ការដាក់ បន្សំ។ ផ្នែកនេះត្រូវបានគេហៅថា "ការវិភាគរួមបញ្ចូលគ្នា" ។

ថ្ងៃនេះ យើងនឹងពិចារណាការផ្លាស់ប្តូរ ការដាក់ បន្សំ ជាការតភ្ជាប់ ជាការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបន្សំ។

ផ្នែកនៃបន្សំ៖ enumerative, រចនាសម្ព័ន្ធ, probabilistic, topological - ស្លាយលេខ 5 ។

ចូរយើងចងចាំរឿងព្រេងដែលអ្នកដឹងតាំងពីកុមារភាពអំពីរបៀបដែលវីរៈបុរសឬមនុស្សល្អម្នាក់ទៀតបានឈានដល់ផ្លូវបំបែកក្នុងផ្លូវចំនួនបីអាននៅលើថ្មថា "ប្រសិនបើអ្នកទៅមុខអ្នកនឹងបាត់បង់ក្បាលរបស់អ្នកប្រសិនបើអ្នកទៅខាងស្តាំអ្នក នឹង​បាត់​សេះ បើ​អ្នក​ទៅ​ខាង​ឆ្វេង អ្នក​នឹង​បាត់​ដាវ​របស់​អ្នក»។ ហើយបន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេនិយាយរួចហើយអំពីរបៀបដែលគាត់ចេញពីស្ថានភាពដែលគាត់បានរកឃើញខ្លួនឯងជាលទ្ធផលនៃជម្រើសរបស់គាត់។ ប៉ុន្តែមនុស្សសម័យទំនើបក៏ត្រូវជ្រើសរើសផ្លូវ ឬជម្រើសផ្សេងៗផងដែរ។ ផ្លូវ និង​ជម្រើស​ទាំងនេះ​បន្ថែម​ទៅ​លើ​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ។ និងផ្នែកគណិតវិទ្យាទាំងមូលហៅថា COMBINATORICS រវល់ស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរ៖ តើមានបន្សំប៉ុន្មានក្នុងរឿងនេះ ឬករណីនោះ របៀបជ្រើសរើសជម្រើសដ៏ល្អបំផុតពីបន្សំទាំងអស់នេះ - លេខស្លាយ 6 ។

ដូច្នេះ ឧបករណ៍ផ្សំ- សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីចំនួនបន្សំផ្សេងៗគ្នា អាស្រ័យនឹងលក្ខខណ្ឌមួយចំនួន អាចបង្កើតចេញពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

Permutations- សមាសធាតុដែលអាចត្រូវបានផ្សំឡើងដោយវត្ថុ n, ការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់របស់ពួកគេតាមវិធីដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់; លេខរបស់ពួកគេ។

ចំនួននៃការបំប្លែងទាំងអស់នៃធាតុ n ត្រូវបានតាងដោយ

ចំនួន នក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានគេហៅថា នៅ​ក្នុង​លំដាប់ការផ្លាស់ប្តូរ - ស្លាយលេខ 7–10 ។

ផលិតផលនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពី n ទៅមួយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា n! (អាន "en - factorial") ។ ដោយប្រើសញ្ញាហ្វាក់តូរីល អ្នកអាចសរសេរឧទាហរណ៍៖

3! = 3 2 1 = 6,

4! = 4 3 2 1 = 24,

5! = 5 4 3 2 1 = 120.

អ្នកត្រូវដឹងថា 0!=1

ពាក្យ "ការផ្លាស់ប្តូរ" ត្រូវបានប្រើជាលើកដំបូងដោយ Jacob Bernoulli នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ "សិល្បៈនៃការទស្សន៍ទាយ" ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា៖

កិច្ចការទី 1 ។ តើសៀវភៅ 7 ក្បាលដោយអ្នកនិពន្ធផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានរៀបចំក្នុងជួរមួយនៅលើធ្នើបានប៉ុន្មាន?

Permutations គឺ​ជា​បន្សំ​ដែល​មាន​ដូច​គ្នា។ ទំធាតុផ្សេងគ្នានិងខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់នៃការរៀបចំរបស់ពួកគេ។ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ P ទំហើយវាស្មើគ្នា ទំ!, ឧ. រ ទំ = ទំ!, ឯណា ទំ! = 1 * 2 * 3 * … ទំ.

ដំណោះស្រាយ៖ P7 = 7!, ដែល 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 ដែលមានន័យថាមាន 5040 វិធីក្នុងការរៀបចំសៀវភៅ។

ចម្លើយ៖ 5040 វិធី។

បញ្ហាទី 2 (អំពីត្រីមាស)

នៅក្នុងរឿងនិទានដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Krylov "Quartet" "The Naughty Monkey, the Donkey, the Goat and the Clumsy Bear" ឥទ្ធិពលនៃទីតាំងទាក់ទងរបស់តន្ត្រីករលើគុណភាពនៃការសម្តែងត្រូវបានសិក្សា។

តោះ​សួរ​សំណួរ៖ តើ​មាន​វិធី​ប៉ុន្មាន​ដើម្បី​អង្គុយ​តន្ត្រីករ​បួន​នាក់?

ដំណោះស្រាយ៖ នៅលើស្លាយ

ទីតាំងគឺជាការតភ្ជាប់ដែលមានធាតុ m ពីចំនួននៃទិន្នន័យ n ខុសគ្នាទាំងនៅក្នុងលំដាប់នៃធាតុឬនៅក្នុងធាតុខ្លួនឯង; លេខរបស់ពួកគេ។

ស្លាយលេខ ១១–១៣។

នៅក្នុង combinatorics ការដាក់គឺជាការរៀបចំនៃ "វត្ថុ" នៅក្នុង "កន្លែង" មួយចំនួន ផ្តល់ថាកន្លែងនីមួយៗត្រូវបានកាន់កាប់ដោយវត្ថុតែមួយ ហើយវត្ថុទាំងអស់គឺខុសគ្នា។

ផ្ទុយទៅនឹងការដាក់បញ្ចូលគ្នា លំដាប់នៃធាតុត្រូវបានយកមកពិចារណា។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍សំណុំ< 2,1,3 >និង< 3,2,1 >មានភាពខុសប្លែកគ្នា ទោះបីជាពួកវាមានធាតុដូចគ្នា (1,2,3) (នោះគឺវាស្របគ្នាជាបន្សំ)។

ពាក្យ "ទីកន្លែង" ត្រូវបានប្រើជាលើកដំបូងដោយ Jacob Bernoulli នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ "សិល្បៈនៃការរំពឹងទុក" ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា៖

បញ្ហាទី 1. តើលេខទូរស័ព្ទអាចបង្កើតបានពី 6 ខ្ទង់ប៉ុន្មាន ដើម្បីឱ្យលេខទាំងអស់ខុសគ្នា? នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។

លេខដប់នៃ 6 ត្រូវបានដាក់នៅទីនេះ។ នេះមានន័យថាចម្លើយចំពោះបញ្ហាខាងលើនឹងមានៈ

ចម្លើយ: 151200 វិធី

កិច្ចការទី 2. មានសិស្សចំនួន 24 នាក់នៅក្នុងក្រុម TD – 21 ។ តើអ្នកអាចបង្កើតកាលវិភាគកាតព្វកិច្ចសម្រាប់សាលាបច្ចេកទេសបានប៉ុន្មានវិធី ប្រសិនបើក្រុមមន្ត្រីកាតព្វកិច្ចមានសិស្សបីនាក់?

ដំណោះស្រាយ៖ ចំនួននៃវិធីគឺស្មើនឹងចំនួននៃការដាក់នៃ 24 ធាតុនៃ 3, i.e. ស្មើនឹង A 24 ៣. ដោយប្រើរូបមន្តដែលយើងរកឃើញ

ចម្លើយ៖ 12144 វិធី

បន្សំដែលមានធាតុ m ចេញពី n, ខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ; លេខរបស់ពួកគេ។ .

ដូច្នេះចំនួនជម្រើសនៅពេលបញ្ចូលគ្នានឹងតិចជាងចំនួនកន្លែងដាក់។ ស្លាយលេខ ១៤–១៦។

នៅក្នុង combinatorics ការរួមបញ្ចូលគ្នាពី នដោយ មហៅថាសំណុំ មធាតុដែលបានជ្រើសរើសពីទិន្នន័យ នធាតុ។ សំណុំ​ដែល​ខុស​គ្នា​តែ​តាម​លំដាប់​នៃ​ធាតុ (ប៉ុន្តែ​មិន​មែន​ក្នុង​សមាសភាព) ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ដូច​គ្នា ហេតុ​នេះ​ហើយ​បាន​ជា​ការ​ផ្សំ​ខុស​គ្នា​ពី​កន្លែង​ដាក់។

ពាក្យ "ការរួមបញ្ចូលគ្នា" ត្រូវបានប្រើជាលើកដំបូងដោយ Blaise Pascal ក្នុងឆ្នាំ 1665 ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា៖

កិច្ចការទី 1 ។ តើមានបន្សំប៊ូតុងចំនួនបីនៅលើសោរួមបញ្ចូលគ្នា (ប៊ូតុងទាំងបីត្រូវបានចុចដំណាលគ្នា) ប្រសិនបើវាមានត្រឹមតែ 10 ខ្ទង់?

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយសារប៊ូតុងត្រូវបានចុចក្នុងពេលដំណាលគ្នា ការជ្រើសរើសប៊ូតុងទាំងនេះគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នា។ ពីទីនេះវាអាចទៅរួច

ចម្លើយ៖ ១២០ ជម្រើស។

បញ្ហាទី 2. តើគណៈកម្មការប្រឡងដែលមានសមាជិក 3 នាក់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានពីគ្រូ 10 នាក់?

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយប្រើរូបមន្តយើងរកឃើញ៖

កម្រៃជើងសារ

ចម្លើយ៖ ១២០ គណៈកម្មការ។

ព័ត៌មានគន្ថនិទ្ទេស – ស្លាយលេខ ១៧។

អ្វី​ដែល​បញ្ហា​ទាំង​អស់​នេះ​មាន​ដូច​គ្នា​គឺ​ដំណោះស្រាយ​របស់​ពួកគេ​ត្រូវ​បាន​ដោះស្រាយ​ក្នុង​ផ្នែក​ដាច់ដោយឡែក​នៃ​គណិតវិទ្យា​ដែល​គេ​ហៅថា បន្សំ។ "សញ្ញាពិសេស"បញ្ហាផ្សំ - សំណួរដែលតែងតែអាចត្រូវបានបង្កើតដូច្នេះវាចាប់ផ្តើមដោយពាក្យ: «មានប៉ុន្មានវិធី...?» លេខស្លាយ 18 ។

3. ការដោះស្រាយបញ្ហា៖ អត្ថបទនៃបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ នៅក្នុងឧបសម្ព័ន្ធទី 1 – ចាប់ផ្តើមនៅលើស្លាយលេខ 19 ។

4. ព័ត៌មានប្រវត្តិសាស្ត្រអំពី combinatorics នៅលើស្លាយលេខ ២០–២១(ព័ត៌មានមួយផ្នែកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលសិក្សាប្រធានបទ សិស្សនឹងយកទិន្នន័យដែលនៅសល់សម្រាប់គម្រោងពីសម្ភារសម្រាប់ VSR)។

5. ការតភ្ជាប់ Combinatorics នៅលើស្លាយ № 22–31 (ព័ត៌មានមួយផ្នែកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលសិក្សាប្រធានបទ សិស្សនឹងយកទិន្នន័យដែលនៅសល់សម្រាប់គម្រោងពីសម្ភារសម្រាប់ VSR)។

6. ស្នើសម្មតិកម្ម។ សម្មតិកម្មគឺជាការសន្មតបែបវិទ្យាសាស្ត្រដែលដាក់ចេញដើម្បីពន្យល់ពីបាតុភូតមួយចំនួន ជាទូទៅវាគឺជាការសន្មត់ដែលទាមទារការបញ្ជាក់។

សម្មតិកម្មមួយត្រូវបានដាក់ទៅមុខ៖ Combinatorics គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងមានកម្មវិធីអនុវត្តជាក់ស្តែងជាច្រើន - លេខស្លាយ 32 ។

7. វិធីសាស្រ្តគម្រោង៖ សិស្សបីក្រុម និងគ្រូមួយក្រុមបញ្ចប់គម្រោងមួយ។




ការរៀបចំឡើងវិញ។ រូបមន្តសម្រាប់ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរ

ការផ្លាស់ប្តូរពី ន ធាតុ

អនុញ្ញាតឱ្យឈុត Xរួមបញ្ចូល ន ធាតុ។

និយមន័យ។ ការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពីន ធាតុនៃសំណុំX ដោយ ន ហៅ ការផ្លាស់ប្តូរពី ន ធាតុ។

ចំណាំថាការផ្លាស់ប្តូរណាមួយរួមបញ្ចូលធាតុទាំងអស់នៃសំណុំX ហើយម្តង។ នោះគឺការបំប្លែងធាតុខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែតាមលំដាប់នៃធាតុប៉ុណ្ណោះ ហើយអាចទទួលបានពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយការបំប្លែងធាតុ (ហេតុនេះឈ្មោះ)។

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ពីន ធាតុត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា .

ចាប់តាំងពីការផ្លាស់ប្តូរគឺជាករណីពិសេសនៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៅពេល បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកលេខ យើងទទួលបានពីរូបមន្ត (2) ជំនួសវា។ :

ដូច្នេះ

(3)

ឧទាហរណ៍។ តើសៀវភៅ៥ក្បាលអាចដាក់នៅលើធ្នើបានប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។ មានវិធីជាច្រើនក្នុងការដាក់សៀវភៅនៅលើធ្នើ ព្រោះមានការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នានៃធាតុទាំងប្រាំ៖វិធី។

មតិយោបល់។ រូបមន្ត (1)-(3) មិនចាំបាច់ទន្ទេញចាំទេ៖ បញ្ហាទាក់ទងនឹងកម្មវិធីរបស់ពួកគេតែងតែអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើច្បាប់ផលិតផល។ ប្រសិនបើសិស្សមានបញ្ហាក្នុងការបង្កើតគំរូរួមនៃបញ្ហា នោះវាជាការប្រសើរក្នុងការបង្រួមសំណុំរូបមន្ត និងច្បាប់ដែលបានប្រើ (ដូច្នេះមានឱកាសតិចជាងសម្រាប់កំហុស)។ ពិតហើយ បញ្ហាដែលការបំប្លែង និងរូបមន្ត (៣) ត្រូវបានប្រើជាធម្មតាត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានបញ្ហា។

ភារកិច្ច

1. F. តើពួកគេអាចតម្រង់ជួរនៅការិយាល័យលក់សំបុត្របានប៉ុន្មានវិធី៖ 1) មនុស្ស 3 នាក់; ២) ៥ នាក់?

ដំណោះស្រាយ។

ជម្រើសផ្សេងៗសម្រាប់ការរៀបចំមនុស្សនៅក្នុងជួរខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងលំដាប់ដែលមនុស្សត្រូវបានរៀបចំប៉ុណ្ណោះ ពោលគឺពួកវាជាការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នានៃធាតុ n ។

មនុស្សបីនាក់អាចតម្រង់ជួរ P3=3! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា។

ចម្លើយ៖ ១) ៦ វិធី; 2) 120 វិធី។

2. T. តើមនុស្ស 4 នាក់អាចអង្គុយលើកៅអីបួនបានប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

ចំនួនមនុស្សស្មើនឹងចំនួនកៅអីនៅលើលេងជាកីឡាករបម្រុង ដូច្នេះចំនួននៃការដាក់ជម្រើសគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរធាតុ 4: P4 = 4! = ២៤.

អ្នកអាចវែកញែកយោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផល៖ សម្រាប់មនុស្សទីមួយ អ្នកអាចជ្រើសរើសកន្លែងណាមួយក្នុងចំណោម 4 កន្លែងសម្រាប់ទីពីរ - ណាមួយក្នុងចំណោម 3 ដែលនៅសល់ សម្រាប់ទីបី - ណាមួយក្នុងចំណោម 2 ដែលនៅសល់ អ្នកចុងក្រោយនឹងយក 1 កន្លែងដែលនៅសល់។ ; មានអ្វីគ្រប់យ៉ាង = 24 វិធីផ្សេងគ្នាដើម្បីដាក់មនុស្ស 4 នាក់នៅលើកៅអីបួន។

ចម្លើយ៖ ២៤ វិធី។

3. M. នៅ Vova's សម្រាប់អាហារថ្ងៃត្រង់ - វគ្គទីមួយ ទីពីរ ទីបី និងនំ។ គាត់ពិតជានឹងចាប់ផ្តើមជាមួយនំខេក ហើយញ៉ាំអាហារដែលនៅសល់តាមលំដាប់ចៃដន្យ។ ស្វែងរកចំនួនជម្រើសអាហារថ្ងៃត្រង់ដែលអាចធ្វើបាន។

M- បញ្ហាពីសៀវភៅសិក្សា។ សៀវភៅណែនាំដោយ A.G. Mordkovich

T - ed ។ S.A.Telyakovsky

F- M.V. Tkacheva

ដំណោះស្រាយ។

បន្ទាប់ពីនំរួចរាល់ Vova អាចជ្រើសរើសមុខម្ហូបណាមួយក្នុងចំណោមបីមុខ បន្ទាប់មកពីរ ហើយបញ្ចប់ដោយនៅសល់។ ចំនួនសរុបនៃជម្រើសអាហារថ្ងៃត្រង់ដែលអាចធ្វើបាន៖ =6.

ចម្លើយ៖ ៦.

4. F. តើឃ្លាត្រឹមត្រូវប៉ុន្មាន (តាមទស្សនៈនៃភាសារុស្សី) អាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃពាក្យក្នុងប្រយោគមួយ: 1) "ខ្ញុំបានទៅដើរលេង"; ២) “ឆ្មាដើរក្នុងទីធ្លា”?

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងប្រយោគទីពីរ បុព្វបទ "in" ត្រូវតែបង្ហាញនៅមុខនាម "yard" ដែលវាសំដៅទៅលើ។ ដូច្នេះការរាប់គូ "នៅក្នុងទីធ្លា" ជាពាក្យមួយ អ្នកអាចរកឃើញចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នានៃពាក្យតាមលក្ខខណ្ឌបី: P3 = 3! = 6. ដូចនេះ ក្នុង​ករណី​នេះ អ្នក​អាច​បង្កើត​ប្រយោគ​ត្រឹម​ត្រូវ​ចំនួន ៦។

ចម្លើយ៖ ១) ៦; ២) ៦.

5. តើអ្នកអាចប្រើអក្សរ K,L,M,H ក្នុងវិធីប៉ុន្មានដើម្បីកំណត់ចំនុចកំពូលនៃចតុកោណ?

ដំណោះស្រាយ។

យើងនឹងសន្មត់ថាចំនុចកំពូលនៃចតុកោណត្រូវបានរាប់លេខ ដែលនីមួយៗមានលេខថេរ។ បន្ទាប់មក​បញ្ហា​មក​ដល់​ការ​រាប់​ចំនួន​នៃ​វិធី​ផ្សេង​គ្នា​នៃ​ការ​រៀបចំ​អក្សរ​ចំនួន 4 លើ​ 4 កន្លែង​ (បញ្ឈរ) ពោល​គឺ​ការ​រាប់​ចំនួន​នៃ​ការ​បំប្លែង​ខុស​គ្នា៖ P4 = 4! = 24 វិធី។

ចម្លើយ៖ ២៤ វិធី។

6. F. មិត្តភក្តិបួននាក់បានទិញសំបុត្រកុន៖ សម្រាប់កៅអីទី 1 និងទី 2 នៅជួរទីមួយ និងសម្រាប់កៅអីទី 1 និងទី 2 នៅជួរទីពីរ។ តើមិត្តៗអាចយកកៅអីទាំង ៤ នេះក្នុងរោងកុនបានប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

មិត្តបួននាក់អាចយក 4 កន្លែងផ្សេងគ្នា P4 = 4! = 24 វិធីផ្សេងគ្នា។

ចម្លើយ៖ ២៤ វិធី។

7. T. អ្នកនាំសំបុត្រត្រូវបញ្ជូនកញ្ចប់ទៅស្ថាប័ន 7 ផ្សេងគ្នា។ តើគាត់អាចជ្រើសរើសផ្លូវប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

ផ្លូវគួរតែត្រូវបានយល់ថាជាលំដាប់ដែលអ្នកនាំសំបុត្រទៅមើលស្ថាប័ននានា។ ចូរយើងដាក់លេខស្ថាប័នពីលេខ 1 ដល់លេខ 7 បន្ទាប់មកផ្លូវនឹងត្រូវបានតំណាងជាលំដាប់នៃលេខ 7 លំដាប់ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ ចំនួនផ្លូវគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ 7: P7 = 7! = 5,040 ។

ចម្លើយ៖ ៥.០៤០ ផ្លូវ។

8. T. តើមានកន្សោមប៉ុន្មានដែលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងផលិតផល abcde ដែលបានទទួលពីវាដោយរៀបចំកត្តាឡើងវិញ?

ដំណោះស្រាយ។

ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាផលិតផលនៃកត្តាប្រាំផ្សេងគ្នា abcde លំដាប់ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន (នៅពេលដែលកត្តាត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរ) ។

សរុប P5 = 5! = 120 វិធីផ្សេងគ្នាដើម្បីរៀបចំមេគុណប្រាំ; យើងចាត់ទុកមួយក្នុងចំណោមពួកគេ (abcde) ជាពាក្យដើម កន្សោមដែលនៅសល់ចំនួន 119 គឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងពាក្យនេះ។

ចម្លើយ៖ ១១៩ កន្សោម។

9. T. Olga ចាំថាលេខទូរស័ព្ទរបស់មិត្តភ័ក្តិនាងបញ្ចប់ដោយលេខ 5, 7, 8 ប៉ុន្តែនាងភ្លេចថាលេខទាំងនេះលេចឡើងក្នុងលំដាប់ណា។ ចង្អុលបង្ហាញចំនួនជម្រើសច្រើនបំផុតដែលនាងនឹងត្រូវឆ្លងកាត់ដើម្បីចូលទៅដល់មិត្តរបស់នាង។

ដំណោះស្រាយ។

លេខទូរសព្ទបីខ្ទង់ចុងក្រោយអាចស្ថិតនៅក្នុងលេខ P3=3! =6 ការបញ្ជាទិញដែលអាចធ្វើបាន ដែលក្នុងនោះមានតែមួយត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណោះ។ Olga អាចវាយជម្រើសត្រឹមត្រូវភ្លាមៗ នាងអាចវាយលេខទីបី។ល។ នាងនឹងត្រូវវាយបញ្ចូលចំនួនច្រើនបំផុតនៃជម្រើស ប្រសិនបើជម្រើសត្រឹមត្រូវប្រែទៅជាចុងក្រោយ ពោលគឺទីប្រាំមួយ។

ចម្លើយ៖ ៦ ជម្រើស។

10. T. តើលេខប្រាំមួយខ្ទង់ (ដោយមិនប្រើលេខដដែលៗ) អាចបង្កើតបានពីលេខ៖ ក) 1,2, 5, 6, 7, 8; ខ) ០, ២, ៥, ៦, ៧, ៨? ដំណោះស្រាយ។

ក) ដែលបានផ្តល់ឱ្យ 6 ខ្ទង់: 1, 2, 5, 6, 7, 8 ពីពួកវាអ្នកអាចបង្កើតលេខប្រាំមួយខ្ទង់ផ្សេងគ្នាបានតែដោយរៀបចំលេខទាំងនេះឡើងវិញ។ លេខ​ប្រាំមួយ​ខ្ទង់​ខុស​គ្នា​គឺ P6=6! = ៧២០.

ខ) ដែលបានផ្តល់ឱ្យ 6 ខ្ទង់: 0, 2, 5, 6, 7, 8 ពីពួកគេអ្នកត្រូវបង្កើតចំនួនប្រាំមួយខ្ទង់ជាច្រើន។ ភាពខុសគ្នាពីបញ្ហាមុនគឺថា សូន្យមិនអាចមកមុនបានទេ។

អ្នកអាចអនុវត្តច្បាប់ផលិតផលដោយផ្ទាល់៖ អ្នកអាចជ្រើសរើសលេខណាមួយក្នុងចំណោម 5 ខ្ទង់ (លើកលែងតែលេខសូន្យ) សម្រាប់កន្លែងដំបូង។ នៅក្នុងចំណាត់ថ្នាក់ទីពីរ - ណាមួយនៃ 5 ខ្ទង់ដែលនៅសល់ (4 គឺ "មិនមែនសូន្យ" ហើយឥឡូវនេះយើងរាប់លេខសូន្យ); ទៅលេខបី - លេខណាមួយក្នុងចំណោម 4 ខ្ទង់ដែលនៅសល់បន្ទាប់ពីជម្រើសពីរដំបូង។ល។ ចំនួនសរុបនៃជម្រើសគឺ៖ = 600.

អ្នកអាចប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជម្រើសដែលមិនចាំបាច់។ 6 ខ្ទង់​អាច​រៀបចំ​ឡើងវិញ P6 = 6! = 720 វិធីផ្សេងគ្នា។ ក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តទាំងនេះនឹងមានអ្នកដែលនៅកន្លែងដំបូងគឺសូន្យដែលមិនអាចទទួលយកបាន។ តោះរាប់ចំនួនជម្រើសមិនត្រឹមត្រូវទាំងនេះ។ ប្រសិនបើមានលេខសូន្យនៅកន្លែងដំបូង (វាត្រូវបានជួសជុល) បន្ទាប់មកប្រាំកន្លែងបន្ទាប់អាចមានលេខ "មិនមែនសូន្យ" លេខ 2, 5, 6, 7, 8 តាមលំដាប់លំដោយ។ ចំនួននៃវិធីផ្សេងគ្នាដែល 5 លេខ អាចដាក់បាន 5 កន្លែង គឺស្មើនឹង P5 = 5! = 120, i.e. ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរលេខដែលចាប់ផ្តើមពីសូន្យគឺ 120។ ចំនួនដែលត្រូវការនៃលេខប្រាំមួយខ្ទង់ផ្សេងគ្នាក្នុងករណីនេះគឺស្មើនឹង: P6 - P5 = 720 - 120 = 600 ។

ចម្លើយ៖ ក) ៧២០; ខ) ៦០០ លេខ។

11. T. តើលេខបួនខ្ទង់ប៉ុន្មាន (ដោយមិនប្រើលេខដដែលៗ) ដែលបង្កើតឡើងដោយលេខ 3, 5, 7, 9 គឺជាលេខដែល៖ ក) ចាប់ផ្តើមដោយលេខ 3;

ខ) តើគុណនឹង ១៥?

ដំណោះស្រាយ។

ក) ពីលេខ 3, 5, 7, 9 យើងបង្កើតលេខបួនខ្ទង់ដោយចាប់ផ្តើមដោយលេខ 3 ។

យើងជួសជុលលេខ 3 នៅកន្លែងដំបូង; បន្ទាប់មកនៅលើបីដែលនៅសល់លេខ 5, 7 9 អាចត្រូវបានដាក់តាមលំដាប់លំដោយក្នុងលំដាប់ណាមួយ។ ចំនួនសរុបនៃជម្រើសសម្រាប់ទីតាំងរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង P 3 = 3!=6. វានឹងមានលេខបួនខ្ទង់ផ្សេងគ្នាជាច្រើនដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយចាប់ផ្តើមដោយលេខ 3 ។

ខ) ចំណាំថាផលបូកនៃខ្ទង់ទាំងនេះ 3 + 5 + 7 + 9 = 24 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដូច្នេះលេខ 4 ខ្ទង់ណាមួយដែលបង្កើតឡើងដោយលេខទាំងនេះត្រូវបែងចែកដោយ 3 ។ ដើម្បីឱ្យចំនួនមួយចំនួនអាចបែងចែកបាន។ ដោយ 15 វាចាំបាច់ដើម្បីឱ្យពួកគេបញ្ចប់ដោយលេខ 5 ។

យើងជួសជុលលេខ 5 នៅកន្លែងចុងក្រោយ; លេខ 3 ខ្ទង់ដែលនៅសល់អាចដាក់បីកន្លែងនៅពីមុខ 5 Рз = 3! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា។ វានឹងមានលេខបួនខ្ទង់ផ្សេងគ្នាជាច្រើនដែលបង្កើតឡើងដោយលេខទាំងនេះដែលបែងចែកដោយ 15 ។

ចម្លើយ៖ ក) ៦ លេខ; ខ) ៦ លេខ។

12. T. រកផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខទាំងបួនខ្ទង់ដែលអាចធ្វើបានពីលេខ 1, 3, 5, 7 (ដោយមិនចាំបាច់ធ្វើម្តងទៀត)។

ដំណោះស្រាយ។

លេខបួនខ្ទង់នីមួយៗដែលបង្កើតឡើងដោយខ្ទង់ 1, 3, 5, 7 (ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ) មានចំនួនខ្ទង់ស្មើនឹង 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ។

ពីលេខទាំងនេះអ្នកអាចបង្កើត P4 = 4! = 24 លេខផ្សេងគ្នា, ខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់នៃខ្ទង់។ ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខទាំងអស់នេះនឹងស្មើនឹង

16 = 384.

ចម្លើយ៖ ៣៨៤ ។

13. T. ក្មេងប្រុសប្រាំពីរនាក់ដែលរួមមាន Oleg និង Igor ឈរជាប់គ្នា។ ស្វែងរកចំនួនបន្សំដែលអាចធ្វើបានប្រសិនបើ៖

ក) Oleg គួរតែនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក។

ខ) Oleg គួរតែនៅដើមជួរដេក ហើយ Igor គួរតែនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក។

គ) Oleg និង Igor គួរតែឈរក្បែរគ្នា។
ដំណោះស្រាយ។

ក) មានក្មេងប្រុសតែ 7 នាក់ប៉ុណ្ណោះនៅក្នុង 7 កន្លែង ប៉ុន្តែធាតុមួយត្រូវបានជួសជុល ហើយមិនអាចរៀបចំឡើងវិញបានទេ (Oleg គឺនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក)។ ចំនួននៃបន្សំដែលអាចធ្វើបានគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូររបស់ក្មេងប្រុស 6 នាក់ដែលឈរនៅមុខ Oleg: P6=6!=720 ។

គូជាធាតុតែមួយ រៀបចំឡើងវិញជាមួយធាតុប្រាំផ្សេងទៀត។ ចំនួននៃបន្សំដែលអាចធ្វើបាននឹងជា P6 = 6! = ៧២០.

អនុញ្ញាតឱ្យ Oleg និង Igor ឥឡូវនេះឈរក្បែរគ្នាតាមលំដាប់ IO ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន P6 = 6 មួយទៀត! = 720 បន្សំផ្សេងទៀត។

ចំនួនសរុបនៃបន្សំដែល Oleg និង Igor នៅជាប់គ្នា (តាមលំដាប់ណាមួយ) គឺ 720 + 720 = 1,440 ។

ចម្លើយ៖ ក) ៧២០; ខ) ១២០; គ) 1,440 បន្សំ។

14. កីឡាករបាល់ទាត់ 11 នាក់តម្រង់ជួរមុនការប្រកួតចាប់ផ្តើម។ ទីមួយគឺជាប្រធានក្រុម ទីពីរគឺជាអ្នកចាំទី ហើយនៅសល់គឺចៃដន្យ។ តើមានវិធីសាស្រ្តសាងសង់ប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

បន្ទាប់ពីប្រធានក្រុម និងអ្នកចាំទី អ្នកលេងទី 3 អាចជ្រើសរើសកន្លែងណាមួយក្នុងចំណោម 9 កន្លែងដែលនៅសល់ កន្លែងបន្ទាប់ពី 8 ។ល។ ចំនួនសរុបនៃវិធីសាស្រ្តសាងសង់ដោយប្រើច្បាប់ផលិតផលគឺស្មើនឹង៖

1 = 362,880, ឬ P 9 = 9! = 362,880 ។

ចម្លើយ៖ ៣៦២.៨៨០។

15. M. តើអាចកំណត់ចំនុចកំពូលនៃគូបដោយអក្សរ A, B, C, D, E, F, G, K ដោយវិធីប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ចំនុចទីមួយ អ្នកអាចជ្រើសរើសអក្សរណាមួយក្នុងចំណោម 8 អក្សរ សម្រាប់ទីពីរ - ណាមួយនៃ 7 ដែលនៅសល់។ល។ ចំនួនសរុបនៃវិធីនេះបើយោងតាមច្បាប់ផលិតផលគឺ=40 320 ឬ P8 = 8!

ចម្លើយ៖ ៤០.៣២០។

16. T. កាលវិភាគសម្រាប់ថ្ងៃច័ន្ទមានប្រាំមួយមេរៀន៖ ពិជគណិត ធរណីមាត្រ ជីវវិទ្យា ប្រវត្តិវិទ្យា អប់រំកាយ គីមីវិទ្យា។ តើអ្នកអាចបង្កើតកាលវិភាគមេរៀនសម្រាប់ថ្ងៃនេះតាមរបៀបប៉ុន្មាន ដើម្បីអោយមេរៀនគណិតវិទ្យាពីរនៅជាប់គ្នា?

ដំណោះស្រាយ។

មានមេរៀនសរុបចំនួន 6 ដែលក្នុងនោះមេរៀនគណិតវិទ្យាចំនួនពីរគួរតែនៅជាប់គ្នា។

យើង "ស្អិត" ធាតុពីរ (ពិជគណិត និងធរណីមាត្រ) ដំបូងក្នុងលំដាប់ AG បន្ទាប់មកតាមលំដាប់ GA ។ សម្រាប់ជម្រើស "ស្អិតជាប់" នីមួយៗយើងទទួលបាន P5 = 5! = 120 ជម្រើសកាលវិភាគ។ ចំនួនសរុបនៃវិធីដើម្បីបង្កើតកាលវិភាគគឺ 120 (AG) +120 (GA) = 240 ។

ចម្លើយ៖ ២៤០ វិធី។

17. T. តើមានការបំប្លែងអក្សរនៃពាក្យ “កោណ” ចំនួនប៉ុន្មានដែលអក្សរ K, O, N នៅជាប់គ្នា?

ដំណោះស្រាយ។

ផ្តល់ឱ្យ 5 អក្សរដែល 3 ត្រូវតែនៅជាប់គ្នា។ អក្សរ K, O, N បីអាចឈរនៅជាប់នឹងអក្សរ P3 = 3! = 6 វិធី។ សម្រាប់វិធីសាស្រ្តនីមួយៗនៃការ "ស្អិត" អក្សរ K, O, N យើងទទួលបាន P3 = 3! = 6 វិធីនៃការអនុញ្ញាតអក្សរ "gluing", U, S. ចំនួនសរុបនៃការផ្លាស់ប្តូរអក្សរផ្សេងគ្នានៃពាក្យ "កោណ" ដែលអក្សរ K, O, N នៅជាប់គ្នាគឺ 6 6 = 36 ។ ការផ្លាស់ប្តូរ - អាណាក្រាម។

ចម្លើយ៖ ៣៦ អរូបី។

18. T. តើក្មេងប្រុស 5 នាក់ និងក្មេងស្រី 5 នាក់អាចកាន់កាប់កៅអីពីលេខ 1 ដល់លេខ 10 ក្នុងជួរតែមួយនៅក្នុងរោងកុនបានប៉ុន្មាន? តើ​ពួកគេ​អាច​ធ្វើ​បែប​នេះ​តាម​វិធី​ប៉ុន្មាន​យ៉ាង​ប្រសិនបើ​ក្មេងប្រុស​អង្គុយ​ក្នុង​កៅអី​លេខ​សេស និង​ក្មេងស្រី​នៅ​កៅអី​លេខ​គូ?

ដំណោះស្រាយ។

ជម្រើសនីមួយៗសម្រាប់ការរៀបចំរបស់ក្មេងប្រុសអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយនឹងជម្រើសនៃការរៀបចំរបស់ក្មេងស្រីនីមួយៗ ដូច្នេះយោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផល ចំនួនសរុបនៃវិធីសម្រាប់ដាក់កុមារក្នុងករណីនេះគឺ 120 20= 14400.

ចម្លើយ៖ 3,628,800 វិធី; 14,400 វិធី។

19. T. ក្មេងប្រុស 5 នាក់ និងក្មេងស្រី 4 នាក់ចង់អង្គុយលើកៅអីដែលមានកៅអីប្រាំបួន ដូច្នេះក្មេងស្រីម្នាក់ៗអង្គុយនៅចន្លោះក្មេងប្រុសពីរនាក់។ តើ​គេ​អាច​ធ្វើ​បែប​នេះ​តាម​វិធី​ប៉ុន្មាន​យ៉ាង?

ដំណោះស្រាយ។

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃភារកិច្ច ក្មេងប្រុស និងក្មេងស្រីត្រូវឆ្លាស់គ្នា ពោលគឺក្មេងស្រីអាចអង្គុយបានតែលេខគូ ហើយក្មេងប្រុសអាចអង្គុយបានតែលេខសេសប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះហើយ ក្មេងស្រីអាចផ្លាស់ប្តូរកន្លែងជាមួយក្មេងស្រីបាន ហើយក្មេងប្រុសអាចផ្លាស់ប្តូរកន្លែងជាមួយក្មេងប្រុសតែប៉ុណ្ណោះ។ ក្មេងស្រីអាចអង្គុយបានបួនកន្លែង P4=4! = 24 វិធីហើយក្មេងប្រុសប្រាំនាក់នៅប្រាំកន្លែង P5 = 5! = 120 វិធី។

វិធីនីមួយៗនៃការដាក់ក្មេងស្រីអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយនឹងវិធីនីមួយៗនៃការដាក់ក្មេងប្រុស ដូច្នេះយោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផលចំនួនសរុបនៃវិធីគឺស្មើនឹង: P420 = 2,880 វិធី។

ចម្លើយ៖ ២.៨៨០ វិធី។

20. F. បង្វែរលេខ 30 និង 210 ទៅជាកត្តាសំខាន់ តើលេខអាចសរសេរជាផលគុណនៃកត្តាសាមញ្ញបានប៉ុន្មានវិធី៖ 1) 30; ២) ២១០?

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយកលេខទាំងនេះទៅជាកត្តាចម្បង៖

30 = 2 ; 210 = 2 .

    លេខ 30 អាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផលនៃកត្តាសំខាន់

រ 3 = ៣! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា (ដោយកត្តារៀបចំឡើងវិញ) ។

    លេខ 210 អាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផលនៃ primes
    មេគុណរ 4 = 4! = 24 វិធីផ្សេងគ្នា។

ចម្លើយ៖ ១) ៦ វិធី; 2) 24 វិធី។

21. F. តើលេខ 4 ខ្ទង់ខុសគ្នាប៉ុន្មាន ដែលអាចសរសេរដោយប្រើលេខ 1, 2, 3, 5?

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីឱ្យលេខស្មើគ្នា វាត្រូវតែបញ្ចប់ដោយលេខគូ ពោលគឺ 2. ចូរយើងជួសជុលលេខទាំងពីរនៅទីតាំងចុងក្រោយ លេខបីដែលនៅសល់ត្រូវតែបង្ហាញនៅពីមុខវាតាមលំដាប់លំដោយ។ ចំនួននៃការបំប្លែង 3 ខ្ទង់ផ្សេងគ្នាគឺ P3 = 3! = ៦; ដូច្នេះ វាក៏នឹងមាន 6 ផ្សេងគ្នា សូម្បីតែលេខ 4 ខ្ទង់ (លេខ 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅការផ្លាស់ប្តូរនីមួយៗនៃបីខ្ទង់)។

ចម្លើយ៖ ៦ លេខ។

22. F. តើលេខសេសចំនួនប្រាំខ្ទង់ផ្សេងគ្នាដែលមិនមានលេខដូចគ្នាអាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើលេខ 1,2, 4, 6, 8?

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់លេខដែលផ្សំឡើងជាលេខសេស វាត្រូវតែបញ្ចប់ដោយលេខសេស ពោលគឺលេខមួយ។ លេខ 4 ខ្ទង់ដែលនៅសេសសល់អាចត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញដោយដាក់ការតម្រៀបឡើងវិញនីមួយៗមុនអង្គភាព។

ចំនួនសរុបនៃលេខសេសចំនួនប្រាំខ្ទង់គឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរ: P4 = 4 ! =24.

23. F. តើចំនួនប្រាំមួយខ្ទង់ផ្សេងគ្នាដែលមានលេខមិនដដែលៗអាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើលេខ 1; 2 3, 4, 5, 6 ប្រសិនបើ៖ 1) លេខត្រូវចាប់ផ្តើមដោយ 56; ២) តើលេខ ៥ និង ៦ គួរនៅជាប់គ្នាទេ?

ដំណោះស្រាយ។

យើងជួសជុលពីរខ្ទង់ 5 និង 6 នៅដើមលេខ ហើយបន្ថែមទៅពួកគេនូវការប្តូរផ្សេងៗពី 4 ខ្ទង់ដែលនៅសល់។ ចំនួន​លេខ​ប្រាំមួយ​ខ្ទង់​ផ្សេង​គ្នា​គឺ​ស្មើ៖ P4 = 4! = ២៤.

ចំនួនសរុបនៃលេខប្រាំមួយខ្ទង់ផ្សេងគ្នាដែលលេខ 5 និង 6 នៅជាប់គ្នា (តាមលំដាប់ណាមួយ) គឺ 120 + 120 = 240 លេខ។ (ជម្រើស 56 និង 65 មិនឆបគ្នា និងមិនអាចសម្រេចបានក្នុងពេលដំណាលគ្នាទេ យើងអនុវត្តច្បាប់រួមផ្សំ។ )

ចម្លើយ៖ ១) ទី ២៤; 2) 240 លេខ។

24. F. តើលេខ 1,2,3,4 ខុសគ្នាប៉ុន្មានលេខដែលមិនមានលេខដូចគ្នា?

ដំណោះស្រាយ។

លេខគូត្រូវតែបញ្ចប់ដោយលេខគូ។ យើងជួសជុលលេខ 2 នៅកន្លែងចុងក្រោយ បន្ទាប់មក 3 ខ្ទង់មុនអាចត្រូវបានតម្រៀបឡើងវិញ P3 = 3! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា; យើងទទួលបានលេខ 6 ជាមួយនឹងលេខពីរនៅចុងបញ្ចប់។ យើងជួសជុលលេខ 4 នៅកន្លែងចុងក្រោយយើងទទួលបាន P3 = 3! = 6 ការបំប្លែងផ្សេងគ្នានៃខ្ទង់មុនទាំងបី និងលេខ 6 ដែលបញ្ចប់ដោយ 4 ។

ចំនួនសរុបនៃលេខសូម្បីតែបួនខ្ទង់នឹងមាន 6 + 6 = 12 លេខផ្សេងគ្នា។

ចម្លើយ៖ ១២ លេខ។

មតិយោបល់។ យើងរកឃើញចំនួនសរុបនៃជម្រើសដោយប្រើច្បាប់បូកបញ្ចូលគ្នា (ជម្រើស 6 សម្រាប់លេខដែលបញ្ចប់ដោយពីរ 6 ជម្រើសសម្រាប់លេខដែលបញ្ចប់ដោយបួន វិធីសាស្ត្រសម្រាប់បង្កើតលេខជាមួយពីរ និងជាមួយលេខបួននៅចុងបញ្ចប់គឺផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក មិនឆបគ្នា។ ដូច្នេះចំនួនសរុបនៃជម្រើសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃចំនួនជម្រើសដែលមានពីរនៅខាងចុង និងចំនួនជម្រើសដែលមាន 4 នៅចុងបញ្ចប់)។ ធាតុ 6 + 6 = 12 ឆ្លុះបញ្ចាំងពីហេតុផលសម្រាប់សកម្មភាពរបស់យើងប្រសើរជាងធាតុ P.

25. F. តើលេខ 1) 12 អាចសរសេរជាផលិតផលនៃកត្តាសំខាន់ៗបានប៉ុន្មាន? 2) 24; ៣) ១២០?

ដំណោះស្រាយ។

ភាពបារម្ភនៃបញ្ហានេះគឺថានៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួននីមួយៗនៃលេខទាំងនេះមានកត្តាដូចគ្នាបេះបិទ។ នៅពេលបង្កើតការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាពីកត្តា យើងនឹងមិនទទួលបានការផ្លាស់ប្តូរថ្មីទេ ប្រសិនបើយើងប្តូរកត្តាដូចគ្នាទាំងពីរ។

1) លេខ 12 ត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាសំខាន់បី, ពីរគឺដូចគ្នាបេះបិទ: 12 = .

ប្រសិនបើកត្តាទាំងអស់ខុសគ្នា នោះពួកគេអាចត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញនៅក្នុងផលិតផល P3 = 3! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា។ ដើម្បីរាយវិធីសាស្រ្តទាំងនេះ យើងនឹង "បែងចែក" តាមលក្ខខណ្ឌពីរពីរ ហើយសង្កត់ធ្ងន់លើមួយក្នុងចំណោមពួកគេ: 12 = 2.

បន្ទាប់មក បំរែបំរួល 6 យ៉ាងខាងក្រោមនៃការរលាយចូលទៅក្នុងអ្នករស់នៅគឺអាចធ្វើទៅបាន:

ប៉ុន្តែតាមពិត លេខគូសបន្ទាត់ពីក្រោមគ្មានអត្ថន័យក្នុងគណិតវិទ្យាទេ ដូច្នេះលទ្ធផល 6 ការបំប្លែងនៅក្នុងសញ្ញាណធម្មតាមើលទៅដូចតទៅ៖

ពោលគឺតាមពិត យើងទទួលបានមិនមែន 6 ទេ ប៉ុន្តែការបំប្លែងចំនួន 3 ផ្សេងគ្នា។ ចំនួននៃការបំប្លែងត្រូវបានកាត់បន្ថយពាក់កណ្តាល ដោយសារយើងមិនចាំបាច់គិតគូរពីការបំប្លែងពីរពីរជាមួយគ្នា។

ចូរយើងសម្គាល់ P x ចំនួនដែលត្រូវការនៃការផ្លាស់ប្តូរធាតុទាំងបី រួមទាំងធាតុដូចគ្នាចំនួនពីរ។ បន្ទាប់មកលទ្ធផលដែលយើងទទួលបានអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: Рз = Р X ប៉ុន្តែ 2 គឺជាចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នានៃធាតុពីរ ពោលគឺ 2 == ២! = P 2, ដូច្នេះ P3, = P x P 2, ហេតុនេះ P x = . (នេះ​គឺ​ជា​រូបមន្ត​សម្រាប់​ចំនួន​នៃ​ការ​បំប្លែង​ដោយ​ពាក្យ​ដដែលៗ)។

គេអាចវែកញែកខុសគ្នា ដោយផ្អែកតែលើច្បាប់ផលិតផលផ្សំប៉ុណ្ណោះ។

ដើម្បីបង្កើតផលិតផលនៃកត្តាបី ដំបូងជ្រើសរើសកន្លែងសម្រាប់កត្តា 3; នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីបីយ៉ាង។ បន្ទាប់ពីនេះយើងបំពេញចន្លោះដែលនៅសល់ទាំងពីរជាមួយ twos; នេះអាចត្រូវបានធ្វើក្នុង 1 វិធី។ យោងតាមច្បាប់ផលិតផលចំនួនសរុបនៃវិធីគឺ: 3-1 = 3 ។, Р x = 20 ។

វិធីទីពីរ។ នៅពេលបង្កើតផលនៃកត្តាទាំងប្រាំ ជាដំបូងយើងជ្រើសរើសកន្លែងមួយសម្រាប់វិធីទាំងប្រាំ (5 វិធី) បន្ទាប់មកសម្រាប់បី (4 វិធី) ហើយបំពេញកន្លែង 3 ដែលនៅសល់ដោយពីរ (1 វិធី) ។ យោងតាមច្បាប់ផលិតផល 5 4 1 = 20 ។

ចម្លើយ៖ ១) ៣; 2) 4; ៣) ២០.

26. F. តើកោសិកាទាំង 6 អាចលាបពណ៌បានប៉ុន្មានវិធី ទើបកោសិកា 3 ក្រហម ហើយ 3 កោសិកាដែលនៅសល់ត្រូវលាបពណ៌ (ពណ៌នីមួយៗមានពណ៌ផ្ទាល់ខ្លួន) ស ខ្មៅ ឬបៃតង?

ដំណោះស្រាយ។

ការបំប្លែងនៃធាតុទាំង ៦ ដែលក្នុងនោះមាន ៣ យ៉ាងគឺដូចគ្នាបេះបិទ៖

បើមិនដូច្នោះទេ៖ ដើម្បីលាបពណ៌ស អ្នកអាចជ្រើសរើសកោសិកាមួយក្នុងចំណោមកោសិកាទាំង ៦ ខ្មៅ - ពី ៥ ពណ៌បៃតង - ពី ៤; កោសិកាដែលនៅសល់បីត្រូវបានលាបពណ៌ក្រហម។ ចំនួនសរុបនៃវិធី: 6 5 4 1 = 120 ។

ចម្លើយ៖ ១២០ វិធី។

២៧.T. អ្នកថ្មើរជើងត្រូវដើរមួយប្លុកខាងជើង និងបីប្លុកខាងលិច។ សរសេរផ្លូវថ្មើរជើងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។= 4.

ចម្លើយ៖ ៤ ផ្លូវ។

28. M. ក) នៅលើទ្វារនៃការិយាល័យដូចគ្នាចំនួនបួន ចាំបាច់ត្រូវព្យួរផ្លាកសញ្ញាដែលមានឈ្មោះនាយករងទាំងបួន។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?

ខ) ក្នុងថ្នាក់ “A” ទាំង ៩ នៅថ្ងៃពុធ មានមេរៀនចំនួន ៥៖ ពិជគណិត ធរណីមាត្រ ការអប់រំកាយ ភាសារុស្សី ភាសាអង់គ្លេស។ តើអ្នកអាចបង្កើតជម្រើសកាលវិភាគប៉ុន្មានសម្រាប់ថ្ងៃនេះ?

គ) តើចោរបួននាក់អាចខ្ចាត់ខ្ចាយបានប៉ុន្មានយ៉ាង ក្នុងមួយទិស ទាំងបួនទិស?

ឃ) អ្នកជំនួយត្រូវប្រគល់ច្បាប់ចម្លងចំនួនប្រាំច្បាប់នៃបញ្ជារបស់ឧត្តមសេនីយ៍ទៅកងវរសេនាធំចំនួនប្រាំ។ តើគាត់អាចជ្រើសរើសផ្លូវដឹកជញ្ជូនសម្រាប់ច្បាប់ចម្លងនៃការបញ្ជាទិញបានប៉ុន្មានវិធី?

ដំណោះស្រាយ។

ក) សម្រាប់ចានទីមួយ អ្នកអាចជ្រើសរើសទូណាមួយក្នុងចំណោម 4 ទូ។
សម្រាប់ទីពីរ - ណាមួយនៃបីដែលនៅសល់សម្រាប់ទីបី - ណាមួយនៃពីរដែលនៅសល់សម្រាប់ទីបួន - មួយនៅសល់; យោងតាមច្បាប់
ផលិតផល, ចំនួនសរុបនៃវិធីគឺ: 4 3 2 1 = 24, ឬ P4 = 4! = ២៤.= 120, ឬ P5 = 5! = ១២០.

ចម្លើយ៖ ក) ២៤; ខ) ១២០; គ) 24; ឃ) ១២០.

អក្សរសាស្ត្រ

    Afanasyev V.V. ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេក្នុងឧទាហរណ៍ និងបញ្ហា Yaroslavl: សាកលវិទ្យាល័យគរុកោសល្យរដ្ឋ Yaroslavl ឆ្នាំ 1994 ។

    Bavrin I. I. គណិតវិទ្យាឧត្តមសិក្សា៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតឯកទេសគីមី និងគណិតវិទ្យា នៃសាកលវិទ្យាល័យគរុកោសល្យ - បោះពុម្ពលើកទី២ កែប្រែ។ - M. : ការអប់រំ, 1993 ។

    Bunimovich E.A., Bulychev V. A. ប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិ។ ថ្នាក់ទី 5-9: សៀវភៅណែនាំសម្រាប់គ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ, - M.: Bustard, 2005 ។

    Vilenkin N. Ya និងអ្នកដទៃ។ ពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យាសម្រាប់ថ្នាក់ទី១០៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សានុសិស្សនៅតាមសាលារៀន និងថ្នាក់រៀនដែលមានការសិក្សាស៊ីជម្រៅអំពីគណិតវិទ្យា។ - M. : ការអប់រំ, 1992 ។

    Vilenkin N. Ya និងអ្នកដទៃ។ ពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១១៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សសាលា និងថ្នាក់រៀនគណិតវិទ្យាស៊ីជម្រៅ - M.: Prosveshchenie, 1990។

    Glazer G.I. ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា៖ ថ្នាក់ទី៩-១០។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់គ្រូ។ - M. : ការអប់រំ 1983 ។

    Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. គណិតវិទ្យាទី៩៖ ពិជគណិត។ មុខងារ។ ការវិភាគទិន្នន័យ - M.: Bustard, 2000 ។

    Kolyagin និងអ្នកដទៃ។ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគថ្នាក់ទី១១។ គណិតវិទ្យានៅសាលា - ឆ្នាំ 2002 - លេខ 4 - ទំព័រ 43,44,46 ។

    Lyupshkas V.S. វគ្គសិក្សាតាមជម្រើសក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ៩-១១។ - អិម, ១៩៩១។

    Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. ធាតុផ្សំនៃស្ថិតិ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 7-9 ។ - M.: Prosveshchenie, 2005 ។

    Mordkovich A.G., Semenov P.V. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ ថ្នាក់ទី១០៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំទូទៅ (កម្រិតទម្រង់) - M.: Mnemosyna, 2005 ។

    Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ធាតុនៃស្ថិតិ និងប្រូបាប៊ីលីតេ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 7-9 ។ - M.: Prosveshchenie, 2005 ។

ចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី ន ដោយ k ន kកូអរដោនេផ្សេងគ្នា។

ចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍៖តើ​អ្នក​អាច​បង្កើត​លេខ 3 ខ្ទង់​ដែល​មាន​លេខ​ខុស​គ្នា​ដែល​មិន​មាន​លេខ 0 តាម​វិធី​ប៉ុន្មាន?

ចំនួនខ្ទង់
, វិមាត្រនៃវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេផ្សេងគ្នា

ចំនួនកន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗ

ចំនួនកន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗពី ន ដោយ k គឺជាចំនួននៃវិធីដែលមនុស្សម្នាក់អាចធ្វើបាន នធាតុផ្សេងគ្នាបង្កើតវ៉ិចទ័រជាមួយ kកូអរដោណេ ដែលខ្លះអាចដូចគ្នាបេះបិទ។

ចំនួននៃការដាក់ជាមួយពាក្យដដែលៗត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

.

ឧទាហរណ៍៖តើ​ពាក្យ​ប្រវែង ៦ អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ចេញ​ពី ២៦ អក្សរ​នៃ​អក្ខរក្រម​ឡាតាំង​ប៉ុន្មាន?

ចំនួនអក្សរ
, វិមាត្រវ៉ិចទ័រ

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី ន ធាតុ គឺជាចំនួនវិធីដែលវាអាចត្រូវបានដាក់នៅកន្លែងផ្សេងៗគ្នា នធាតុផ្សេងៗ។

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

.

មតិយោបល់៖ថាមពលនៃសំណុំដែលត្រូវការ កវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកដោយប្រើរូបមន្ត៖
, កន្លែងណា X- ចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសកន្លែងដែលចង់បាន; នៅ- ចំនួននៃវិធីដើម្បីរៀបចំធាតុចាំបាច់នៅលើពួកវា; z- ចំនួនវិធីរៀបចំធាតុដែលនៅសល់នៅកន្លែងដែលនៅសល់។

ឧទាហរណ៍។តើសៀវភៅ 5 ប្រភេទផ្សេងគ្នាអាចរៀបចំនៅលើធ្នើសៀវភៅបានប៉ុន្មាន? តើសៀវភៅ A និង B ពីរនៅជាប់គ្នាក្នុងប៉ុន្មានករណី?

ចំនួនសរុបនៃវិធីដើម្បីរៀបចំសៀវភៅចំនួន 5 ក្នុង 5 កន្លែងគឺស្មើនឹង = 5! = 120.

នៅក្នុងបញ្ហា X- ចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសកន្លែងពីរនៅជិត, X= 4;នៅ- ចំនួនវិធីដើម្បីរៀបចំសៀវភៅពីរនៅពីរកន្លែង នៅ = 2! = 2; z- ចំនួនវិធីដើម្បីដាក់សៀវភៅ 3 ដែលនៅសល់ក្នុង 3 កន្លែងដែលនៅសល់, z= ៣! = 6. ដូច្នេះ
= 48.

ចំនួនបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ

ចំនួនបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី ន ដោយ k គឺជាចំនួននៃវិធីដែលមនុស្សម្នាក់អាចធ្វើបាន នធាតុផ្សេងគ្នាដើម្បីជ្រើសរើស kបំណែកដោយមិនគិតពីការបញ្ជាទិញ។

ចំនួននៃបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

.

លក្ខណៈសម្បត្តិ៖

1)
; 2)
; 3)
;

4)
; 5)
; 6)
.

ឧទាហរណ៍។មានបាល់ចំនួន 7 នៅក្នុងកោដ្ឋ។ ក្នុង​នោះ​មាន​៣​ពណ៌​ស​។ បាល់ចំនួន 3 ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី? តើមានមនុស្សស្បែកសម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេប៉ុន្មានករណី?

វិធីសរុប
. ដើម្បីទទួលបានចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសបាល់ពណ៌ស 1 (ក្នុងចំណោម 3 គ្រាប់ពណ៌ស) និង 2 គ្រាប់ខ្មៅ (ក្នុងចំណោម 4 គ្រាប់ខ្មៅ) អ្នកត្រូវគុណ
និង
ដូច្នេះចំនួននៃវិធីដែលត្រូវការ

លំហាត់

1. ក្នុងចំណោមសិស្ស 35 នាក់នៅក្នុងថ្នាក់នៅចុងឆ្នាំ 14 នាក់មាន "5" នៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងរូបវិទ្យា - 15 នាក់; គីមីវិទ្យា - 18 នាក់; នៅក្នុងគណិតវិទ្យានិងរូបវិទ្យា - 7 នាក់; ក្នុងគណិតវិទ្យា និងគីមីវិទ្យា - ៩នាក់; នៅក្នុងរូបវិទ្យានិងគីមីវិទ្យា - 6 នាក់; នៅក្នុងមុខវិជ្ជាទាំងបី - 4 នាក់។ តើមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមាន "5" នៅក្នុងមុខវិជ្ជាទាំងនេះ? តើមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមិនមាន "A" ក្នុងមុខវិជ្ជាទាំងនេះ? មាន “A” តែក្នុងគណិតវិទ្យាទេ? មាន "A" ត្រឹមតែពីរមុខវិជ្ជាទេ?

2. ក្នុងក្រុមសិស្ស 30 នាក់ គ្រប់គ្នាដឹងយ៉ាងហោចណាស់ភាសាបរទេសមួយ គឺភាសាអង់គ្លេស ឬអាល្លឺម៉ង់។ សិស្ស 22 នាក់និយាយភាសាអង់គ្លេស 17 នាក់និយាយភាសាអាឡឺម៉ង់ តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ចេះភាសាទាំងពីរ? តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលចេះភាសាអាឡឺម៉ង់ តែមិនចេះភាសាអង់គ្លេស?

3. និស្សិតមកពីប្រទេសរុស្ស៊ីរស់នៅក្នុង 20 បន្ទប់នៃអន្តេវាសិកដ្ឋាននៃវិទ្យាស្ថានមិត្តភាពប្រជាជន; ក្នុង 15 - ពីអាហ្វ្រិក; 20 មកពីបណ្តាប្រទេសនៅអាមេរិកខាងត្បូង។ លើសពីនេះទៅទៀតនៅក្នុង 7 - ជនជាតិរុស្ស៊ីនិងអាហ្វ្រិករស់នៅ, ក្នុង 8 - ជនជាតិរុស្ស៊ីនិងអាមេរិកខាងត្បូង; នៅក្នុង 9 - អាហ្វ្រិកនិងអាមេរិកខាងត្បូង; នៅក្នុង 3 - រុស្ស៊ី អាមេរិកខាងត្បូង និងអាហ្វ្រិក។ តើសិស្សរស់នៅប៉ុន្មានបន្ទប់៖ 1) មកពីទ្វីបតែមួយ; 2) តែមកពីទ្វីបពីរ; 3) មានតែជនជាតិអាហ្វ្រិកប៉ុណ្ណោះ។

4. សិស្សម្នាក់ៗក្នុងចំនោម 500 នាក់ត្រូវបានតម្រូវឱ្យចូលរៀនយ៉ាងហោចណាស់វគ្គពិសេសមួយក្នុងចំនោមបីមុខវិជ្ជា៖ គណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ។ វគ្គសិក្សាពិសេសចំនួនបីត្រូវបានចូលរួមដោយសិស្សចំនួន 10 នាក់ ផ្នែកគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា - សិស្ស 30 នាក់ ផ្នែកគណិតវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ - 25 នាក់; វគ្គសិក្សាពិសេសផ្នែករូបវិទ្យា - សិស្ស 80 នាក់។ គេ​ដឹង​ដែរ​ថា សិស្ស​ចំនួន ៣៤៥ នាក់​ចូល​រៀន​វគ្គ​ពិសេស​មួយ​ផ្នែក​គណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា ១៤៥ នាក់ និង​និស្សិត​តារាសាស្ត្រ ១០០ នាក់​។ តើ​មាន​សិស្ស​ប៉ុន្មាន​នាក់​ដែល​រៀន​វគ្គ​ពិសេស​ផ្នែក​តារាសាស្ត្រ? តើ​មាន​សិស្ស​ប៉ុន្មាន​នាក់​រៀន​វគ្គ​ពិសេស​ពីរ?

5. ប្រធាន​វគ្គ​បាន​ធ្វើ​បទ​បង្ហាញ​អំពី​ការងារ​អប់រំ​កាយ​ដូច​ខាង​ក្រោម។ សរុប - សិស្ស 45 នាក់។ ផ្នែកបាល់ទាត់ - 25 នាក់ ផ្នែកបាល់បោះ - 30 នាក់ ផ្នែកអុក - 28 នាក់។ ជាមួយគ្នានេះដែរ មនុស្សចំនួន ១៦ នាក់ ចូលរួមក្នុងពេលដំណាលគ្នា ផ្នែកបាល់ទាត់ និងបាល់បោះ ១៨ នាក់ - បាល់ទាត់ និងអុក ១៧ - បាល់បោះ និងអុក ១៥ នាក់ចូលរួមទាំងបីផ្នែក។ ពន្យល់ពីមូលហេតុដែលរបាយការណ៍មិនត្រូវបានទទួលយក។

6. មានត្រីចំនួន 11 នៅក្នុងអាងចិញ្ចឹមត្រី។ ក្នុង​នោះ​មាន​៤​ពណ៌​ក្រហម សល់​ពណ៌​មាស។ ត្រីចំនួន ៤ ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី? ស្វែងរកចំនួននៃវិធីដើម្បីធ្វើដូច្នេះថាក្នុងចំណោមពួកគេមាន: 1) ពិតប្រាកដមួយគឺក្រហម; 2) ពិតប្រាកដ 2 មាស; 3) យ៉ាងហោចណាស់មួយមានពណ៌ក្រហម។

7. មាន 8 ឈ្មោះក្នុងបញ្ជី។ ក្នុង​នោះ​ស្រី​៤​នាក់​។ តើ​គេ​អាច​បែងចែក​ជា​ពីរ​ក្រុម​ស្មើៗ​គ្នា​បាន​ប៉ុន្មាន​យ៉ាង ដើម្បី​ឱ្យ​ម្នាក់ៗ​មាន​នាម​ត្រកូល​ស្រី?

8. ពីសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹក សូមជ្រើសរើស 4 ។ តើមានវិធីប៉ុន្មានយ៉ាងដែលអាចធ្វើបានដូច្នេះ៖ 1) សន្លឹកបៀទាំងអស់មានលក្ខណៈខុសៗគ្នា។ 2) កាតទាំងអស់មានឈុតដូចគ្នា; ៣) ក្រហម ២ និងខ្មៅ ២ ។

9. នៅលើសន្លឹកបៀអក្ខរក្រមកាត់មានអក្សរ K, K, K, U, U, A, E, R. តើអ្នកអាចដាក់ពួកវាជាជួរៗបានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យវាប្រែជា “ក្អែក”។

10. កាតនៃអក្ខរក្រមកាត់ដែលមានអក្សរ O, T, O, L, O, R, I, N, G, O, L, O, G ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ តើពួកគេអាចបត់បានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យពាក្យ " otolaryngologist” ត្រូវបានបង្កើតឡើង?

11. សន្លឹកបៀដែលកាត់អក្ខរក្រមដែលមានអក្សរ L, I, T, E, R, A, T, U, R, A តើអ្នកអាចដាក់ពួកវាក្នុងជួរបានប៉ុន្មានវិធី ទើបអ្នកទទួលបានពាក្យ "អក្សរសិល្ប៍" .

12. 8 នាក់ឈរតម្រង់ជួរ។ តើវិធីនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យមនុស្សជាក់លាក់ A និង B ពីរនាក់គឺ: 1) នៅក្បែរនោះ; 2) នៅគែមនៃជួរ;

13. 10 នាក់អង្គុយនៅតុមូលមួយដែលមាន 10 កៅអី។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី ដើម្បីឲ្យមនុស្សដូចខាងក្រោមនៅជិត៖ 1) មនុស្សជាក់លាក់ពីរនាក់ A និង B; 2) មនុស្សជាក់លាក់បីនាក់ A, B និង C ។

14. លេខអារ៉ាប់ 10 បង្កើតជាលេខកូដ 5 ខ្ទង់។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបណាខ្លះ៖ 1) លេខទាំងអស់គឺខុសគ្នា។ 2) កន្លែងចុងក្រោយគឺជាលេខគូ។

15. 26 អក្សរនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង (រួមទាំងស្រៈ 6) បង្កើតជាពាក្យប្រាំមួយអក្សរ។ តើវាអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យពាក្យមាន៖ 1) អក្សរ “a” ពិតប្រាកដមួយ; 2) អក្សរស្រៈមួយយ៉ាងពិតប្រាកដ; ពិតប្រាកដពីរអក្សរ "a"; គ) ស្រៈពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ។

16. តើលេខបួនខ្ទង់ប៉ុន្មានចែកនឹង 5?

17. តើលេខបួនខ្ទង់ដែលមានលេខខុសគ្នាប៉ុន្មានត្រូវបែងចែកដោយ 25?

19. គ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួន 3 ត្រូវបានបោះចោល។ តើអ្នកទទួលបានប៉ុន្មានករណី៖ 1) ពិតប្រាកដ 1 "ប្រាំមួយ"; 2) យ៉ាងហោចណាស់មួយ "ប្រាំមួយ" ។

20. គ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួន 3 ត្រូវបានបោះចោល។ តើមានប៉ុន្មានករណី៖ 1) មនុស្សគ្រប់រូបគឺខុសគ្នា។ 2) ចំនួនពិន្ទុដូចគ្នាទាំងពីរ។

21. តើពាក្យប៉ុន្មានដែលមានអក្សរផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតចេញពីអក្ខរក្រម a, b, c, d ។ រាយពួកវាទាំងអស់តាមលំដាប់លំដោយ៖ abcd, abcd…។

COMBINATORICS

Combinatorics គឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីបញ្ហានៃការជ្រើសរើស និងការរៀបចំធាតុពីសំណុំមូលដ្ឋានជាក់លាក់មួយស្របតាមច្បាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ រូបមន្ត និងគោលការណ៍នៃ combinatorics ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ ហើយតាមនោះ ទទួលបានច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងសិក្សាពីគំរូនៃបាតុភូតចៃដន្យដ៏ធំ ដែលមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការយល់ដឹងត្រឹមត្រូវអំពីគំរូស្ថិតិដែលបង្ហាញខ្លួនឯងនៅក្នុងធម្មជាតិ និងបច្ចេកវិទ្យា។

ច្បាប់សម្រាប់ការបូក និងគុណក្នុង combinatorics

ច្បាប់បូក។ ប្រសិនបើសកម្មភាពពីរ A និង B គឺផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក ហើយសកម្មភាព A អាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធី m និង B តាមវិធី n នោះសកម្មភាពមួយក្នុងចំណោមសកម្មភាពទាំងនេះ (A ឬ B) អាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធី n + m ។

ឧទាហរណ៍ ១.

មានក្មេងប្រុស ១៦ នាក់ ស្រី ១០ នាក់នៅក្នុងថ្នាក់។ តើ​អ្នក​អាច​ចាត់តាំង​មន្ត្រី​កាតព្វកិច្ច​ម្នាក់​តាម​វិធី​ប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ

ទាំងក្មេងប្រុសឬក្មេងស្រីអាចត្រូវបានចាត់តាំងឱ្យបំពេញកាតព្វកិច្ច, i.e. មន្រ្តីកាតព្វកិច្ចអាចជាក្មេងប្រុស 16 នាក់ឬក្មេងស្រីណាម្នាក់ក្នុងចំណោម 10 ។

ដោយប្រើច្បាប់បូក យើងរកឃើញថាមន្ត្រីកាតព្វកិច្ចម្នាក់អាចត្រូវបានចាត់តាំងតាមវិធី 16+10=26។

ច្បាប់ផលិតផល។ អនុញ្ញាតឱ្យមានសកម្មភាព k ដែលត្រូវអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់។ ប្រសិនបើសកម្មភាពទីមួយអាចអនុវត្តបានដោយវិធី n 1 សកម្មភាពទីពីរនៅក្នុងវិធី n 2 ទីបីនៅក្នុងវិធី n 3 និងបន្តរហូតដល់សកម្មភាព kth ដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងវិធី n k បន្ទាប់មកសកម្មភាព k ទាំងអស់អាចត្រូវបានអនុវត្ត។ :

វិធី។

ឧទាហរណ៍ ២.

មានក្មេងប្រុស ១៦ នាក់ ស្រី ១០ នាក់នៅក្នុងថ្នាក់។ តើ​ត្រូវ​តែងតាំង​មន្ត្រី​កាតព្វកិច្ច​ពីរ​រូប​តាម​របៀប​ណា?

ដំណោះស្រាយ

មិនថាក្មេងប្រុសឬក្មេងស្រីអាចត្រូវបានតែងតាំងជាអ្នកដំបូងដែលបំពេញកាតព្វកិច្ច។ ដោយសារតែ មានក្មេងប្រុស 16 នាក់ និងក្មេងស្រី 10 នាក់នៅក្នុងថ្នាក់ បន្ទាប់មកអ្នកអាចតែងតាំងមនុស្សដំបូងនៅលើកាតព្វកិច្ចតាមវិធី 16+10=26 ។

បន្ទាប់​ពី​យើង​បាន​ជ្រើស​រើស​មន្ត្រី​កាតព្វកិច្ច​ទី​មួយ​ហើយ យើង​អាច​ជ្រើស​រើស​អ្នក​ទី​ពីរ​ពី​មនុស្ស 25 នាក់​ដែល​នៅ​សេស​សល់​គឺ ឧ. 25 វិធី។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទគុណ អ្នកចូលរួមពីរនាក់អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី 26*25=650។

បន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។ ការផ្សំជាមួយពាក្យដដែលៗ

បញ្ហាបុរាណមួយនៅក្នុង combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួននៃបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ខ្លឹមសារដែលអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសំណួរ៖ ប៉ុន្មាន វិធី អាច ជ្រើសរើស m ពី n ធាតុផ្សេងគ្នា?

ឧទាហរណ៍ ៣.

អ្នកត្រូវតែជ្រើសរើសសៀវភៅ 4 ក្នុងចំណោម 10 ផ្សេងៗគ្នាដែលមានជាអំណោយ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?

ដំណោះស្រាយ

យើងត្រូវជ្រើសរើសសៀវភៅ 4 ក្បាលក្នុងចំណោម 10 ហើយលំដាប់នៃជម្រើសមិនមានបញ្ហាទេ។ ដូច្នេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកចំនួនបន្សំនៃធាតុទាំង ១០ នៃ ៤៖

.

ពិចារណាពីបញ្ហានៃចំនួនបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗ៖ មានវត្ថុដូចគ្នាបេះបិទនៃប្រភេទនីមួយៗនៃ n ប្រភេទផ្សេងៗគ្នា។ ប៉ុន្មាន វិធី អាច ជ្រើសរើស m() ពី ទាំងនេះ (n*r) ធាតុ?

.

ឧទាហរណ៍ 4 ។

ហាងកុម្មង់នំមានលក់នំ ៤ ប្រភេទ៖ ណាប៉ូឡេអុង នំអន្សម នំប៉័ងខ្លី និងនំប៉ាវ។ តើ​អ្នក​អាច​ទិញ​នំ​៧​មុខ​បាន​ប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ

ដោយសារតែ ក្នុងចំណោមនំទាំង 7 អាចមាននំប្រភេទដូចគ្នា បន្ទាប់មកចំនួននៃវិធីដែលនំ 7 អាចទិញបានត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួនបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗពី 7 ទៅ 4 ។

.



ទីតាំងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។ ទីតាំងជាមួយពាក្យដដែលៗ

បញ្ហាបុរាណនៅក្នុង combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួនកន្លែងដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ខ្លឹមសារអាចបង្ហាញដោយសំណួរ៖ ប៉ុន្មាន វិធី អាច ជ្រើសរើស និង ប្រកាស ដោយ m ខុសគ្នា កន្លែង m ពី n ខុសគ្នា ធាតុ?

ឧទាហរណ៍ 5 ។

កាសែតខ្លះមាន 12 ទំព័រ។ វាចាំបាច់ក្នុងការដាក់រូបថតចំនួនបួននៅលើទំព័រនៃកាសែតនេះ។ តើ​នេះ​អាច​ធ្វើ​បាន​តាម​វិធី​ប៉ុន្មាន​យ៉ាង បើ​គ្មាន​ទំព័រ​កាសែត​គួរ​មាន​រូបថត​ច្រើន​ជាង​មួយ?

ដំណោះស្រាយ។

ក្នុងកិច្ចការនេះ យើងមិនគ្រាន់តែជ្រើសរើសរូបថតនោះទេ ប៉ុន្តែដាក់វានៅលើទំព័រជាក់លាក់នៃកាសែត ហើយទំព័រនីមួយៗនៃកាសែតមិនគួរមានរូបថតលើសពីមួយសន្លឹកនោះទេ។ ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាបញ្ហាបុរាណនៃការកំណត់ចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃ 12 ធាតុនៃ 4 ធាតុ:

ដូច្នេះ រូបថតចំនួន 4 នៅលើ 12 ទំព័រអាចត្រូវបានរៀបចំតាមវិធី 11,880 ។

ក៏ជាបញ្ហាបុរាណនៅក្នុង combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួនកន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗ ដែលខ្លឹមសារអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសំណួរ៖ ប៉ុន្មាន វិធី អាច អ្នកខកងទ័ព និង ប្រកាស ដោយ m ខុសគ្នា កន្លែង m ពី n ធាតុ,ជាមួយរួចរាល់ ដែល មាន ដូច​គ្នា?

ឧទាហរណ៍ ៦.

ក្មេងប្រុសនេះនៅតែមានតែមដែលមានលេខ 1, 3 និង 7 ពីហ្គេមក្តាររបស់គាត់។ គាត់បានសម្រេចចិត្តប្រើត្រាទាំងនេះដើម្បីដាក់លេខប្រាំខ្ទង់នៅលើសៀវភៅទាំងអស់ដើម្បីបង្កើតកាតាឡុក។ តើក្មេងប្រុសអាចបង្កើតលេខប្រាំខ្ទង់បានប៉ុន្មាន?

ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ. ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ

បញ្ហាបុរាណមួយនៅក្នុង combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ខ្លឹមសារដែលអាចបញ្ជាក់បានដោយសំណួរ៖ ប៉ុន្មាន វិធី អាច ប្រកាស ន ផ្សេងៗ ធាតុ នៅលើ n ខុសគ្នា កន្លែង?

ឧទាហរណ៍ ៧.

តើអ្នកអាចបង្កើត "ពាក្យ" ប៉ុន្មានអក្សរពីអក្សរនៃពាក្យ "អាពាហ៍ពិពាហ៍"?

ដំណោះស្រាយ

ប្រជាជនទូទៅគឺជាអក្សរ 4 នៃពាក្យ "អាពាហ៍ពិពាហ៍" (b, p, a, k) ។ ចំនួននៃ "ពាក្យ" ត្រូវបានកំណត់ដោយការផ្លាស់ប្តូរនៃអក្សរទាំង 4 នេះ, i.e.

សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលក្នុងចំណោមធាតុ n ដែលបានជ្រើសរើសមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទ (ការជ្រើសរើសជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ) បញ្ហានៃចំនួននៃការបំប្លែងជាមួយពាក្យដដែលៗអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសំណួរ៖ តើ n វត្ថុ​ដែល​មាន​ទីតាំង​នៅ​កន្លែង​ផ្សេង​គ្នា​អាច​ត្រូវ​បាន​រៀប​ចំ​ឡើង​វិញ​ដោយ​របៀប​ណា​ប្រសិនបើ​ក្នុង​ចំណោម​វត្ថុ n មាន k ប្រភេទ​ផ្សេង​គ្នា (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

ឧទាហរណ៍ ៨.

តើ​ការ​ផ្សំ​អក្សរ​ចំនួន​ប៉ុន្មាន​ដែល​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ពី​អក្សរ​នៃ​ពាក្យ "Mississippi"?

ដំណោះស្រាយ

មានអក្សរ "m", 4 អក្សរ "i", 3 អក្សរ "c" និង 1 អក្សរ "p" សម្រាប់សរុប 9 អក្សរ។ ដូច្នេះចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗគឺស្មើនឹង

សេចក្តីសង្ខេបនៃផ្ទៃខាងក្រោយសម្រាប់ផ្នែក "រួមបញ្ចូលគ្នា"

អរូបីលើប្រធានបទ៖

បញ្ចប់ដោយសិស្សថ្នាក់ទី១០ “ខ”

អនុវិទ្យាល័យ លេខ ៥៣

Glukhov Mikhail Alexandrovich

Naberezhnye Chelny

២០០២
មាតិកា

ពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃ combinatorics _____________________________________________________ 3
ច្បាប់បូក _____________________________________________________________________ 4
-
ច្បាប់ផលិតផល _____________________________________________ 4
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ -
ឈុតប្រសព្វ ______________________________________________________ 5
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ -
រង្វង់អយល័រ ____________________________________________________________________ -
ទីតាំងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ _____________________________________________ 6
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ -
ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ________________________________________________ 7
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ -
បន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ _____________________________________________________ 8
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ -
ការដាក់ និងបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ____________________________________ 9
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ -
ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ ________________________________________________ 9
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ __________________________________________________________ -
បញ្ហាសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ ________________________________ 10
គន្ថនិទ្ទេស __________________________________________________ 11

ពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃ combinatorics

Combinatorics ដោះស្រាយជាមួយនឹងប្រភេទផ្សេងគ្នានៃការតភ្ជាប់ដែលអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីធាតុនៃសំណុំកំណត់មួយ។ ធាតុមួយចំនួននៃ combinatorics ត្រូវបានគេស្គាល់នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌានៅដើមសតវត្សទី 2 ។ BC អ៊ី Nydians ដឹងពីរបៀបគណនាលេខដែលឥឡូវនេះត្រូវបានគេហៅថា "បន្សំ" ។ នៅសតវត្សទី 12 ។ Bhaskara បានគណនាប្រភេទមួយចំនួននៃបន្សំ និងការផ្លាស់ប្តូរ។ វាត្រូវបានគេជឿថាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាបានសិក្សាសមាសធាតុទាក់ទងនឹងការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេនៅក្នុងកំណាព្យ ការសិក្សាអំពីរចនាសម្ព័ន្ធនៃខគម្ពីរ និងស្នាដៃកំណាព្យ។ ជាឧទាហរណ៍ ទាក់ទងនឹងការគណនានៃបន្សំដែលអាចធ្វើបាននៃព្យាង្គដែលសង្កត់ (វែង) និងមិនតានតឹង (ខ្លី) នៃព្យាង្គជើងនៃព្យាង្គ n ។ ក្នុងនាមជាវិន័យវិទ្យាសាស្ត្រ ការរួមបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅសតវត្សទី 17 ។ នៅក្នុងសៀវភៅ “ទ្រឹស្ដី និងការអនុវត្តនព្វន្ធ” (១៦៥៦) អ្នកនិពន្ធជនជាតិបារាំង A. ក៏បានលះបង់ជំពូកទាំងមូលទៅបន្សំ និងការផ្លាស់ប្តូរ។
B. Pascal នៅក្នុង "សន្ធិសញ្ញាស្តីពីត្រីកោណនព្វន្ធ" របស់គាត់ និងនៅក្នុង "សន្ធិសញ្ញាស្តីពីលំដាប់លេខ" (1665) របស់គាត់បានគូសបញ្ជាក់អំពីគោលលទ្ធិនៃមេគុណ binomial ។ P. Fermat បានដឹងអំពីទំនាក់ទំនងរវាងការេគណិតវិទ្យា និងលេខគិតជាមួយទ្រឹស្តីនៃសមាសធាតុ។ ពាក្យ "combinatorics" បានចាប់ផ្តើមត្រូវបានប្រើបន្ទាប់ពី Leibniz បានបោះពុម្ពផ្សាយការងាររបស់គាត់ "Discourse on the Art of Combination" ក្នុងឆ្នាំ 1665 ដែលជាលើកដំបូងបានផ្តល់មូលដ្ឋានវិទ្យាសាស្រ្តសម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃការផ្សំ និងការផ្លាស់ប្តូរ។ J. Bernoulli ដំបូងបានសិក្សាកន្លែងដាក់នៅក្នុងផ្នែកទីពីរនៃសៀវភៅរបស់គាត់ "Ars conjectandi" (សិល្បៈនៃការទស្សន៍ទាយ) ក្នុងឆ្នាំ 1713 ។ និមិត្តសញ្ញាសម័យទំនើបនៃបន្សំត្រូវបានស្នើឡើងដោយអ្នកនិពន្ធផ្សេងៗនៃសៀវភៅណែនាំអប់រំតែនៅក្នុងសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះ។

ភាពខុសគ្នាទាំងមូលនៃរូបមន្តផ្សំអាចមកពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍មូលដ្ឋានពីរដែលទាក់ទងនឹងសំណុំកំណត់ - ច្បាប់ផលបូក និងច្បាប់ផលិតផល។

ច្បាប់បូក

ប្រសិនបើសំណុំកំណត់មិនប្រសព្វគ្នាទេនោះចំនួនធាតុនៃ X U Y (ឬ) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃចំនួនធាតុនៃសំណុំ X និងចំនួនធាតុនៃសំណុំ Y ។

នោះគឺប្រសិនបើមានសៀវភៅ X នៅលើធ្នើទីមួយ ហើយ Y នៅលើធ្នើទីពីរនោះ អ្នកអាចជ្រើសរើសសៀវភៅពីធ្នើទីមួយ ឬទីពីរតាមវិធី X+Y។

បញ្ហាគំរូ

សិស្សត្រូវបំពេញការងារជាក់ស្តែងក្នុងគណិតវិទ្យា។ គាត់ត្រូវបានផ្តល់ជូនជម្រើសនៃ 17 ប្រធានបទនៅក្នុងពិជគណិត និង 13 ប្រធានបទនៅក្នុងធរណីមាត្រ។ តើ​គាត់​អាច​ជ្រើសរើស​ប្រធានបទ​មួយ​សម្រាប់​ការងារ​ជាក់ស្តែង​បាន​ប៉ុន្មាន​វិធី​?

ដំណោះស្រាយ៖ X=17, Y=13

យោងតាមច្បាប់បូក X U Y = 17 + 13 = 30 ប្រធានបទ។

មានសំបុត្រចំនួន 5 សម្រាប់ឆ្នោតសាច់ប្រាក់ 6 សំបុត្រសម្រាប់ឆ្នោតកីឡា និង 10 សំបុត្រសម្រាប់ឆ្នោតរថយន្ត។ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសសំបុត្រមួយសន្លឹកពីឆ្នោតកីឡា ឬឆ្នោតស្វ័យប្រវត្តិតាមវិធីប៉ុន្មាន?

ដំណោះ​ស្រាយ៖ ដោយសារ​ឆ្នោត​សាច់​ប្រាក់​និង​សម្លៀក​បំពាក់​មិន​ជាប់​ពាក់​ព័ន្ធ​នឹង​ជម្រើស​នោះ មាន​តែ​ជម្រើស 6+10=16 ប៉ុណ្ណោះ។

ច្បាប់ផលិតផល

ប្រសិនបើ​ធាតុ X អាច​ត្រូវ​បាន​ជ្រើសរើស​តាម​វិធី k ហើយ​ធាតុ Y ក្នុង​វិធី m នោះ​គូ (X, Y) អាច​ត្រូវ​បាន​ជ្រើសរើស​តាម​វិធី k*m ។

នោះគឺប្រសិនបើមានសៀវភៅចំនួន 5 នៅលើធ្នើទីមួយនិង 10 នៅលើធ្នើទីពីរនោះអ្នកអាចជ្រើសរើសសៀវភៅមួយពីធ្នើទីមួយនិងមួយទៀតពីទីពីរក្នុងវិធី 5 * 10 = 50 ។

បញ្ហាគំរូ

អ្នកចងសៀវភៅត្រូវចងសៀវភៅចំនួន 12 ផ្សេងគ្នាដោយចងពណ៌ក្រហម បៃតង និងពណ៌ត្នោត។ តើគាត់អាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?

ដំណោះស្រាយ: មានសៀវភៅចំនួន 12 និងពណ៌ 3 ដែលមានន័យថាយោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផល 12 * 3 = 36 ជម្រើសចងគឺអាចធ្វើទៅបាន។

តើមានលេខប្រាំខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលអានដូចគ្នាពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងពីស្តាំទៅឆ្វេង?

ដំណោះស្រាយ៖ នៅក្នុងលេខបែបនេះ ខ្ទង់ចុងក្រោយនឹងដូចគ្នានឹងលេខទីមួយ ហើយខ្ទង់ចុងក្រោយនឹងដូចគ្នាទៅនឹងលេខទីពីរ។ ខ្ទង់ទីបីនឹងជាអ្វី។ នេះអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់ XYZYXដែល Y និង Z ជាលេខណាមួយ ហើយ X មិនមែនសូន្យទេ។ នេះមានន័យថា យោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផល ចំនួនខ្ទង់ដែលអាចអានបានស្មើគ្នាទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងពីស្តាំទៅឆ្វេងគឺ 9*10*10=900 ជម្រើស។


សំណុំប្រសព្វ

ប៉ុន្តែវាកើតឡើងដែលកំណត់ X និង Y ប្រសព្វគ្នា បន្ទាប់មកពួកគេប្រើរូបមន្ត

ដែលជាកន្លែងដែល X និង Y ត្រូវបានកំណត់ និងជាតំបន់នៃប្រសព្វ។ បញ្ហាគំរូ

២០​នាក់​ចេះ​ភាសា​អង់គ្លេស និង ១០​នាក់​ចេះ​ភាសា​អាល្លឺម៉ង់ ក្នុង​នោះ ៥​នាក់​ចេះ​ទាំង​អង់គ្លេស និង​អាល្លឺម៉ង់។ សរុបមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់?

ចម្លើយ៖ ១០+២០-៥=២៥ នាក់។

រង្វង់អយល័រក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដោយមើលឃើញ។ ឧទាហរណ៍:

ក្នុង​ចំណោម​ភ្ញៀវ​ទេសចរ​១០០​នាក់​ដែល​ចេញ​ដំណើរ​ទៅ​បរទេស មាន​៣០​នាក់​និយាយ​អាឡឺម៉ង់ ២៨​នាក់​អង់គ្លេស ៤២​នាក់​បារាំង ៨​នាក់​និយាយ​អង់គ្លេស និង​អាឡឺម៉ង់ ១០​នាក់​អង់គ្លេស និង​បារាំង ៥​នាក់​អាឡឺម៉ង់ និង​បារាំង ៣​នាក់​ទាំង ៣​នាក់ ភាសា។ អ្នកទេសចរមិននិយាយភាសាណាមួយទេ?

ដំណោះស្រាយ៖ចូរយើងបង្ហាញពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានេះជាក្រាហ្វិក។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ដោយរង្វង់អ្នកដែលចេះភាសាអង់គ្លេស រង្វង់មួយទៀតដោយអ្នកដែលចេះភាសាបារាំង និងរង្វង់ទីបីដោយអ្នកដែលចេះភាសាអាឡឺម៉ង់។

អ្នក​ទេសចរ​បី​នាក់​និយាយ​ភាសា​ទាំង​បី​ដែល​មាន​ន័យ​ថា​ក្នុង​ផ្នែក​ទូទៅ​នៃ​រង្វង់​យើង​ចូល​ទៅ​លេខ​៣។​ ១០​នាក់​និយាយ​ភាសា​អង់គ្លេស​និង​បារាំង​ ហើយ​៣​នាក់​ក៏​និយាយ​ភាសា​អាល្លឺម៉ង់​ដែរ។ ដូច្នេះ 10-3=7 នាក់និយាយតែភាសាអង់គ្លេស និងបារាំងប៉ុណ្ណោះ។

ដូចគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញថា 8-3 = 5 នាក់និយាយតែភាសាអង់គ្លេស និងអាល្លឺម៉ង់ ហើយ 5-3 = 2 អ្នកទេសចរនិយាយភាសាអាឡឺម៉ង់ និងបារាំង។ យើងបញ្ចូលទិន្នន័យនេះនៅក្នុងផ្នែកសមស្រប។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ថាតើមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់និយាយតែភាសាមួយក្នុងចំណោមភាសាដែលបានរាយបញ្ជី។ មនុស្ស 30 នាក់ចេះភាសាអាឡឺម៉ង់ ប៉ុន្តែ 5+3+2=10 នាក់និយាយភាសាផ្សេងទៀត ដូច្នេះមានតែមនុស្ស 20 នាក់ប៉ុណ្ណោះដែលចេះភាសាអាឡឺម៉ង់។ ដូចគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញថាមនុស្ស 13 នាក់និយាយភាសាអង់គ្លេសតែម្នាក់ឯង ហើយមនុស្ស 30 នាក់និយាយភាសាបារាំងតែម្នាក់ឯង។

បើ​តាម​បញ្ហា​មាន​ភ្ញៀវ​ទេសចរ​តែ​១០០​នាក់​ប៉ុណ្ណោះ។ 20+13+30+5+7+2+3=80 អ្នកទេសចរចេះភាសាយ៉ាងតិចមួយ ដូច្នេះមនុស្ស 20 នាក់មិននិយាយភាសាទាំងនេះទេ។


ទីតាំងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។

តើ​លេខ​ទូរសព្ទ​អាច​ធ្វើ​បាន​ប៉ុន្មាន​ខ្ទង់​ក្នុង​មួយ​ខ្ទង់​ ដូច្នេះ​លេខ​ទាំង​អស់​ខុស​គ្នា?

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។ មាន 10 លេខនៃ 6 ដាក់នៅទីនេះ។ ហើយជម្រើសដែលលេខដូចគ្នានៅក្នុងលំដាប់ផ្សេងគ្នាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាខុសគ្នា។

ប្រសិនបើសំណុំ X ដែលមានធាតុ n, m≤n បន្ទាប់មកការរៀបចំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃធាតុ n នៃសំណុំ X ទៅជា m ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំលំដាប់ X ដែលមានធាតុ m ។ សំណុំលំដាប់ X ដែលមានធាតុ m ត្រូវបានគេហៅថា។

ចំនួននៃការរៀបចំទាំងអស់នៃធាតុ n ដោយ m ត្រូវបានតាងដោយ

ន! - n-factorial (កត្តាកត្តា) គឺជាផលិតផលនៃលេខនៅក្នុងស៊េរីធម្មជាតិពីលេខ 1 ដល់លេខណាមួយ n

n!=1*2*3*...*n 0!=1

ដូច្នេះចម្លើយចំពោះបញ្ហាខាងលើនឹងមាន

កិច្ចការ

តើក្មេងប្រុស 4 នាក់អាចឱ្យក្មេងស្រី 4 នាក់ក្នុងចំណោម 6 នាក់រាំបានប៉ុន្មានវិធី?

ដំណោះស្រាយ៖ ក្មេងប្រុសពីរនាក់មិនអាចអញ្ជើញក្មេងស្រីដូចគ្នាក្នុងពេលតែមួយបានទេ។ ហើយជម្រើសដែលក្មេងស្រីដូចគ្នារាំជាមួយក្មេងប្រុសផ្សេងគ្នាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាខុសគ្នា ដូច្នេះ៖

ជម្រើស 360 អាចធ្វើទៅបាន។


ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ

ក្នុងករណី n = m (មើលកន្លែងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ) នៃ n ធាតុ m ត្រូវបានគេហៅថា permutation នៃ set x ។

ចំនួននៃការបំប្លែងទាំងអស់នៃធាតុ n ត្រូវបានតាងដោយ P n ។

មានសុពលភាពសម្រាប់ n=m៖

បញ្ហាគំរូ

តើ​លេខ​ប្រាំមួយ​ខ្ទង់​ខុសគ្នា​ប៉ុន្មាន​ដែល​អាច​បង្កើត​ចេញពី​ខ្ទង់ 0, 1, 2, 3, 4.5 ប្រសិនបើ​លេខ​នោះ​មិន​ត្រូវ​បាន​លេខ​ដដែលៗ?

1) រកចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ពីលេខទាំងនេះ: P 6 =6!=720

2) 0 មិន​អាច​នៅ​ពី​មុខ​ចំនួន​ទេ ដូច្នេះ​ចំនួន​នៃ​ការ​បំប្លែង​ដែល 0 នៅ​ខាង​មុខ​ត្រូវ​តែ​ដក​ចេញ​ពី​លេខ​នេះ។ ហើយនេះគឺជា P 5 = 5! = 120 ។

P 6 -P 5 = 720-120=600

សត្វស្វាអាក្រក់

បាទ, clubfooted Mishka

យើង​បាន​ចាប់​ផ្តើ​ម​លេង​បួន​បួន​

ឈប់សិនបងប្អូន! –

ស្វាស្រែក - ចាំ!

តើតន្ត្រីគួរទៅជាយ៉ាងណា?

យ៉ាងណាមិញអ្នកមិនអង្គុយបែបនេះទេ ...

ហើយវិធីនេះ និងថាពួកគេបានផ្លាស់ប្តូរកៅអី - ម្តងទៀត តន្ត្រីមិនដំណើរការល្អទេ។