រកវ៉ិចទ័រដែលកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។ របៀបរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅវ៉ិចទ័រ

សេចក្តីណែនាំ

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រដើមត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងគំនូរនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេពីរវិមាត្រចតុកោណ ហើយកាត់កែងត្រូវសាងសង់នៅទីនោះ បន្តពីនិយមន័យនៃកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះ។ វាចែងថាមុំរវាងផ្នែកដែលដឹកនាំបែបនេះត្រូវតែស្មើនឹង 90° ។ វ៉ិចទ័របែបនេះអាចបង្កើតបានចំនួនគ្មានកំណត់។ ដូច្នេះ គូរកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដើមនៅក្នុងកន្លែងងាយស្រួលណាមួយនៅលើយន្តហោះ ដាក់ផ្នែកមួយនៅលើវាស្មើនឹងប្រវែងនៃចំនុចដែលបានបញ្ជាឱ្យគូ ហើយកំណត់ចុងម្ខាងរបស់វាជាការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រកាត់កែង។ ធ្វើវាដោយប្រើ protractor និងបន្ទាត់។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រដើមត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោណេពីរវិមាត្រ ā = (X₁;Y₁) សន្មត់ថាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រកាត់កែងមួយគូត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ នេះមានន័យថាអ្នកត្រូវជ្រើសរើសវ៉ិចទ័រដែលចង់បាន ō = (X₂,Y₂) កូអរដោណេដែលសមភាព (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 នឹងធ្វើដូចនេះ៖ ជ្រើសរើសណាមួយ។ តម្លៃមិនមែនសូន្យសម្រាប់កូអរដោនេ X₂ ហើយគណនាកូអរដោនេ Y₂ ដោយប្រើរូបមន្ត Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់វ៉ិចទ័រ ā = (15;5) នឹងមានវ៉ិចទ័រ ō ដែលមាន abscissa ស្មើនឹងមួយ និង ordinate ស្មើនឹង -(15*1)/5 = -3, i.e. អូ = (1;-3) ។

សម្រាប់ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលបីវិមាត្រ និងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងពងក្រពើផ្សេងទៀត លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដូចគ្នាសម្រាប់ការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រគឺជាការពិត - ផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើផ្នែកដឹកនាំដំបូងត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោណេ ā = (X₁, Y₁, Z₁) ជ្រើសរើសសម្រាប់គូលំដាប់ពិន្ទុ ō = (X₂, Y₂, Z₂) កាត់កែងទៅវា កូអរដោណេដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. វិធីងាយស្រួលបំផុតគឺកំណត់តម្លៃតែមួយទៅ X₂ និង Y₂ ហើយគណនា Z₂ ពីសមភាពសាមញ្ញ Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់វ៉ិចទ័រ ā = (3,5,4) វានឹងយកទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖ (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0។ បន្ទាប់មកយក abscissa ហើយចាត់ចែង។ វ៉ិចទ័រកាត់កែងជាមួយ ហើយក្នុងករណីនេះ វានឹងស្មើនឹង -(3+5)/4 = -2។

ប្រភព៖

• រកវ៉ិចទ័រប្រសិនបើវាកាត់កែង

ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែង វ៉ិចទ័រ, មុំរវាងដែលជា 90º។ វ៉ិចទ័រកាត់កែងត្រូវបានសាងសង់ដោយប្រើឧបករណ៍គូរ។ ប្រសិនបើកូអរដោនេរបស់ពួកគេត្រូវបានគេស្គាល់ នោះភាពកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានពិនិត្យ ឬរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រវិភាគ។

អ្នក​នឹង​ត្រូវការ

• - protractor;
• - ត្រីវិស័យ;
• - អ្នកគ្រប់គ្រង។

សេចក្តីណែនាំ

សង់វ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅចំណុចដែលជាការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រសូមស្តារកាត់កែងទៅវា។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើ protractor ដោយកំណត់មុំ 90º ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនមាន protractor ប្រើត្រីវិស័យដើម្បីធ្វើវា។

កំណត់វាទៅចំណុចចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ។ គូររង្វង់ដែលមានកាំបំពាន។ បន្ទាប់មកសង់ពីរដោយកណ្តាលនៅចំណុចដែលរង្វង់ទីមួយប្រសព្វបន្ទាត់ដែលវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅ។ កាំនៃរង្វង់ទាំងនេះត្រូវតែស្មើគ្នា និងធំជាងរង្វង់ទីមួយដែលបានសាងសង់។ នៅចំណុចប្រសព្វនៃរង្វង់ សូមបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ដែលនឹងកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដើមនៅដើមរបស់វា ហើយគូរលើវាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងមួយ។

វ៉ិចទ័រឯកតាគឺ៖ , កន្លែងណា - ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ។

ចម្លើយ៖
.

ចំណាំ។កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រឯកតាត្រូវតែមិនលើសពីមួយ។

៦.៣. ស្វែងរកប្រវែង និងទិសដៅកូស៊ីនុសនៃវ៉ិចទ័រ . ប្រៀបធៀបជាមួយចម្លើយក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋាន។

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រគឺជាម៉ូឌុលរបស់វា៖

ហើយយើងអាចស្វែងរកកូស៊ីនុសទិសដៅដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់វិធីមួយដើម្បីបញ្ជាក់វ៉ិចទ័រ៖

ពីនេះយើងឃើញថាកូស៊ីនុសទិសដៅគឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រឯកតា។

ចម្លើយ៖
,
,
,
.

៦.៤. ស្វែងរក
.

វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តសកម្មភាពនៃការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខបន្ថែមនិងម៉ូឌុល។

យើងគុណកូអរដោណេវ៉ិចទ័រដោយលេខមួយដោយពាក្យ។

យើងបន្ថែមកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រតាមពាក្យ។

ស្វែងរកម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ។

ចម្លើយ៖

៦.៥. កំណត់កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ
, ជាប់នឹងវ៉ិចទ័រ , ដោយ​ដឹង​ថា
ហើយវាត្រូវបានដឹកនាំក្នុងទិសដៅផ្ទុយទៅនឹងវ៉ិចទ័រ .

វ៉ិចទ័រ collinear ទៅវ៉ិចទ័រ ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាស្មើនឹងវ៉ិចទ័រឯកតា មានតែសញ្ញាដកទេព្រោះ ដឹកនាំក្នុងទិសដៅផ្ទុយ។

វ៉ិចទ័រឯកតាមានប្រវែងស្មើនឹង 1 ដែលមានន័យថាប្រសិនបើអ្នកគុណវាដោយ 5 នោះប្រវែងរបស់វានឹងស្មើនឹងប្រាំ។

យើង​ស្វែងរក

ចម្លើយ៖

៦.៦. គណនាផលិតផល Dot
និង
. តើវ៉ិចទ័រកាត់កែងទេ? និង ,និង រវាងខ្លួនគេ?

តោះធ្វើមាត្រដ្ឋានផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រ។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រកាត់កែង ផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេគឺសូន្យ។

យើងឃើញថាក្នុងករណីរបស់យើងវ៉ិចទ័រ និង កាត់កែង។

ចម្លើយ៖
,
វ៉ិចទ័រមិនកាត់កែងទេ។

ចំណាំ។អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានគឺប្រើប្រាស់តិចតួចក្នុងការអនុវត្តប៉ុន្តែវានៅតែមាន។ លទ្ធផលនៃសកម្មភាពបែបនេះអាចត្រូវបានពិពណ៌នានិងគណនាតាមធរណីមាត្រ។

៦.៧. ស្វែងរកការងារធ្វើដោយចំណុចសម្ភារៈដែលកម្លាំងត្រូវបានអនុវត្ត
នៅពេលផ្លាស់ទីវាពីចំណុច B ទៅចំណុច C ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានគឺការងារ។ វ៉ិចទ័រកម្លាំងគឺនៅទីនេះ , វ៉ិចទ័រផ្លាស់ទីលំនៅគឺ
. ហើយផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះនឹងក្លាយជាការងារដែលត្រូវការ។

ការស្វែងរកការងារ

៦.៨. រកមុំខាងក្នុងនៅចំនុចកំពូល ក និងមុំកំពូលខាងក្រៅ គ ត្រីកោណ ABC .

ពីនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកមុំ៖ .

IN
យើងនឹងរកមើលមុំខាងក្នុងដែលជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រដែលចេញពីចំណុចមួយ។

ដើម្បីស្វែងរកមុំខាងក្រៅ អ្នកត្រូវផ្សំវ៉ិចទ័រដើម្បីឱ្យវាចេញមកពីចំណុចមួយ។ រូបភាពពន្យល់អំពីរឿងនេះ។

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថា
គ្រាន់តែមានកូអរដោនេដំបូងផ្សេងគ្នា។

ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ និងមុំចាំបាច់

ចម្លើយ៖ មុំខាងក្នុងនៅចំនុចកំពូល A = , មុំខាងក្រៅនៅ vertex B = .

៦.៩. ស្វែងរកការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ៖ និង

ចូរយើងរំលឹកវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រ៖
,
,
.

ការព្យាករណ៍ក៏ត្រូវបានរកឃើញពីផលិតផលមាត្រដ្ឋានផងដែរ។

- ការព្យាករណ៍ ខនៅលើ ក.

វ៉ិចទ័រដែលទទួលបានពីមុន

,
,

ការស្វែងរកការព្យាករណ៍

ស្វែងរកការព្យាករណ៍ទីពីរ

ចម្លើយ៖
,

ចំណាំ។សញ្ញាដកនៅពេលរកឃើញការព្យាករមានន័យថាការព្យាករមិនចុះមកលើវ៉ិចទ័រខ្លួនវាទេ ប៉ុន្តែក្នុងទិសដៅផ្ទុយទៅបន្ទាត់ដែលវ៉ិចទ័រនេះស្ថិតនៅ។

៦.១០. គណនា
.

ចូរយើងធ្វើផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ

ចូរយើងស្វែងរកម៉ូឌុល

យើងរកឃើញស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ

ចម្លើយ៖
,
,
.

៦.១១. ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណមួយ។ ABC ហើយប្រវែងនៃកម្ពស់បានចុះពីចំណុច C ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺថាវាជាតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។ ហើយ​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​គឺ​ស្មើ​នឹង​ពាក់កណ្តាល​នៃ​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​មួយ។

តំបន់នៃត្រីកោណក៏អាចត្រូវបានរកឃើញផងដែរដែលជាផលិតផលនៃកម្ពស់និងមូលដ្ឋានដែលបែងចែកដោយពីរដែលរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកកម្ពស់អាចទទួលបាន។

ដូច្នេះយើងរកឃើញកម្ពស់

ចម្លើយ៖
,
.

៦.១២. រកវ៉ិចទ័រឯកតាកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ និង .

លទ្ធផលនៃផលិតផលចំនុចគឺជាវ៉ិចទ័រដែលកាត់កែងទៅនឹងចំនុចដើមទាំងពីរ។ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតាគឺជាវ៉ិចទ័រដែលបែងចែកដោយប្រវែងរបស់វា។

ពីមុនយើងបានរកឃើញ៖

,

ចម្លើយ៖
.

៦.១៣. កំណត់ទំហំ និងទិសដៅនៃកូស៊ីនុសនៃកម្លាំង
អនុវត្តចំពោះ A ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច C ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺជាពេលនៃកម្លាំង។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍សម្រាប់កិច្ចការនេះ។

ស្វែងរកពេលវេលានៃកម្លាំង

ចម្លើយ៖
.

៦.១៤. ធ្វើវ៉ិចទ័រកុហក ,និង នៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា? តើវ៉ិចទ័រទាំងនេះអាចបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបានទេ? ហេតុអ្វី? ប្រសិនបើពួកគេអាចធ្វើបាន សូមពង្រីកវ៉ិចទ័រទៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។
.

ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើយន្តហោះដូចគ្នាឬអត់ វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

ផលិតផលចម្រុះមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រមិនស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា (មិនមែន coplanar) ហើយអាចបង្កើតជាមូលដ្ឋានមួយ។ ចូរ​បំបែក​ នៅលើមូលដ្ឋាននេះ។

ចូរ​យើង​ពង្រីក​ដោយ​មូលដ្ឋាន​ដោយ​ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ

ចម្លើយ៖ វ៉ិចទ័រ ,និង កុំកុហកក្នុងយន្តហោះតែមួយ។
.

៦.១៥. ស្វែងរក
. តើបរិមាណនៃពីរ៉ាមីតដែលមានចំនុច A, B, C, D និងកម្ពស់របស់វាធ្លាក់ចុះពីចំណុច A ដល់ BCD មូលដ្ឋាន។

ជី អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលចម្រុះគឺថាវាជាបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

បរិមាណនៃពីរ៉ាមីតគឺតិចជាងប្រាំមួយដងនៃបរិមាណនៃ parallelepiped ។

បរិមាណនៃពីរ៉ាមីតក៏អាចត្រូវបានរកឃើញដូចនេះ៖

យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកកម្ពស់

ការស្វែងរកកម្ពស់

ចម្លើយ៖ បរិមាណ = 2.5, កម្ពស់ = .

៦.១៦. គណនា
និង
.

- យើងសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យគិតអំពីកិច្ចការនេះដោយខ្លួនឯង។

- តោះអនុវត្តការងារ។

បានទទួលពីមុន

ចម្លើយ៖
.

៦.១៧. គណនា

ចូរយើងធ្វើជំហានជាផ្នែកៗ

3)

ចូរយើងបូកសរុបតម្លៃដែលទទួលបាន

ចម្លើយ៖
.

៦.១៨. ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ
ដោយដឹងថាវាកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ និង និងការព្យាកររបស់វាទៅលើវ៉ិចទ័រ ស្មើ ៥.

ចូរ​បំបែក​កិច្ចការ​នេះ​ជា​កិច្ចការ​រង​ពីរ

1) រកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ និង ប្រវែងបំពាន។

យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រកាត់កែងជាលទ្ធផលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ

ពីមុនយើងបានរកឃើញ៖

វ៉ិចទ័រ​ដែល​ត្រូវ​ការ​ខុស​គ្នា​តែ​ក្នុង​ប្រវែង​ពី​មួយ​ដែល​បាន​ទទួល

2) ចូរយើងស្វែងរក តាមរយៈសមីការ

៦.១៩. ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ
បំពេញលក្ខខណ្ឌ
,
,
.

ចូរយើងពិចារណាលក្ខខណ្ឌទាំងនេះឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀត។

នេះគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ចូរយើងបង្កើត និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ។

ចម្លើយ៖

៦.២០. កំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ
, coplanar ជាមួយវ៉ិចទ័រ និង និងកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ
.

ក្នុងកិច្ចការនេះមានលក្ខខណ្ឌពីរ៖ ភាពរួមនៃវ៉ិចទ័រ និង ភាពកាត់កែង ចូរយើងបំពេញលក្ខខណ្ឌទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកទីពីរ។

1) ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រជា coplanar នោះផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ពីទីនេះយើងទទួលបានភាពអាស្រ័យមួយចំនួននៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ

ចូរយើងស្វែងរកវ៉ិចទ័រ .

2) ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រកាត់កែង នោះផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេគឺសូន្យ

យើងបានទទួលការពឹងផ្អែកទីពីរនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលចង់បាន

សម្រាប់តម្លៃណាមួយ។ វ៉ិចទ័រនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌ។ ចូរជំនួស
.

ចម្លើយ៖
.

ធរណីមាត្រវិភាគ

នៅក្នុងផ្នែកនៃសំណួរ សូមស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយអ្នកនិពន្ធ អាណា Afanasyevaចម្លើយដ៏ល្អបំផុតគឺ៖ វ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រមិនស្របគ្នាពីរត្រូវបានរកឃើញជាផលិតផលវ៉ិចទ័រ xb ដើម្បីរកវាអ្នកត្រូវសរសេរកត្តាកំណត់ បន្ទាត់ទីមួយនឹងមានវ៉ិចទ័រឯកតា I, j, k, the ទីពីរពីកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ a ទីបីពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ b ។ កត្តាកំណត់ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការពង្រីកតាមខ្សែទីមួយ ក្នុងករណីរបស់អ្នក អ្នកទទួលបាន akhv=20i-10k ឬ ahv=(20,0,-10)។

ចម្លើយពី 22 ចម្លើយ[គ្រូ]

សួស្តី! នេះគឺជាជម្រើសនៃប្រធានបទដែលមានចម្លើយចំពោះសំណួររបស់អ្នក៖ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ

ចម្លើយពី លាតសន្ធឹង[អ្នកថ្មី]
វ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រមិនស្របគ្នាពីរត្រូវបានរកឃើញជាផលិតផលវ៉ិចទ័រ xb ដើម្បីរកវាអ្នកត្រូវសរសេរកត្តាកំណត់ បន្ទាត់ទីមួយនឹងមានវ៉ិចទ័រឯកតា I, j, k, ទីពីរ - ពីកូអរដោនេ នៃវ៉ិចទ័រ a, ទីបី - ពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ខ។ កត្តាកំណត់ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការពង្រីកតាមខ្សែទីមួយ ក្នុងករណីរបស់អ្នក អ្នកទទួលបាន akhv=20i-10k ឬ ahv=(20,0,-10)។

ចម្លើយពី ហៃកា[គ្រូ]
ដោះស្រាយវាដូចនេះ; តែដំបូងអានទាំងអស់គ្នា!! !
គណនាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ d និង r ប្រសិនបើ d=-c+a+2b; r=-b+2a ។
ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ a គឺ 4 ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ b គឺ 6 ។ មុំរវាងវ៉ិចទ័រ a និង b គឺ 60 ដឺក្រេ វ៉ិចទ័រ c គឺកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b ។
ចំនុច E និង F ស្ថិតនៅលើជ្រុង AD និង BC នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ដែលមាន AE = ED, BF: FC = 4: 3. ក) បង្ហាញវ៉ិចទ័រ EF ក្នុងន័យវ៉ិចទ័រ m = វ៉ិចទ័រ AB និងវ៉ិចទ័រ n = វ៉ិចទ័រ AD ។ ខ) តើវ៉ិចទ័រសមភាព EF = x គុណនឹងវ៉ិចទ័រ CD អាចរក្សាតម្លៃណាមួយនៃ x បានទេ? .

អត្ថបទនេះបង្ហាញពីអត្ថន័យនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរនៅលើយន្តហោះក្នុងលំហបីវិមាត្រ និងការស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រមួយ ឬគូទាំងមូល។ ប្រធានបទអាចអនុវត្តបានចំពោះបញ្ហាដែលទាក់ទងនឹងសមីការនៃបន្ទាត់ និងប្លង់។

យើងនឹងពិចារណាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ ដោះស្រាយវិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រមួយ ហើយប៉ះលើស្ថានភាពនៃការស្វែងរកវ៉ិចទ័រដែលកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រពីរ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ

ចូរយើងអនុវត្តច្បាប់អំពីវ៉ិចទ័រកាត់កែងនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហបីវិមាត្រ។

និយមន័យ ១

ផ្តល់មុំរវាងវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរគឺស្មើនឹង 90 ° (π 2 រ៉ាដ្យង់) ត្រូវបានគេហៅថា កាត់កែង.

តើ​នេះ​មាន​ន័យ​យ៉ាង​ណា ហើយ​ក្នុង​ស្ថានភាព​អ្វី​ដែល​វា​ចាំបាច់​ដើម្បី​ដឹង​អំពី​ការ​កាត់​កែង​របស់​វា?

ការបង្កើតការកាត់កែងគឺអាចធ្វើទៅបានតាមរយៈគំនូរ។ នៅពេលគូរវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកអាចវាស់មុំធរណីមាត្ររវាងពួកវា។ ទោះបីជាការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្កើតឡើងក៏ដោយ វានឹងមិនមានភាពត្រឹមត្រូវទាំងស្រុងនោះទេ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ កិច្ចការទាំងនេះមិនអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើដូចនេះដោយប្រើ protractor ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រនេះអាចអនុវត្តបានតែនៅពេលដែលគ្មានអ្វីផ្សេងទៀតត្រូវបានដឹងអំពីវ៉ិចទ័រ។

ករណីភាគច្រើននៃការបញ្ជាក់ការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរនៅលើយន្តហោះ ឬក្នុងលំហ គឺធ្វើឡើងដោយប្រើ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ.

ទ្រឹស្តីបទ ១

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ a → និង b → ស្មើសូន្យ ដើម្បីបំពេញសមភាព a → , b → = 0 គឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កាត់កែងរបស់វា។

ភស្តុតាង ១

សូមឲ្យវ៉ិចទ័រ a → និង b → កាត់កែង នោះយើងនឹងបញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នា a ⇀ , b → = 0 ។

ពីនិយមន័យនៃ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រយើងដឹងថាវាស្មើ ផលិតផលនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។ តាមលក្ខខណ្ឌ a → និង b → គឺកាត់កែង ដែលមានន័យថា ដោយផ្អែកលើនិយមន័យ មុំរវាងពួកវាគឺ 90 °។ បន្ទាប់មកយើងមាន a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 ។

ផ្នែកទីពីរនៃភស្តុតាង

បានផ្តល់ថា a ⇀, b → = 0, បញ្ជាក់ការកាត់កែងនៃ a → និង b → ។

តាម​ពិត ភ័ស្តុតាង​គឺ​ផ្ទុយ​ពី​ការ​លើក​មុន។ គេដឹងថា a → និង b → មិនមែនជាសូន្យ ដែលមានន័យថា ពីសមភាព a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ យើងរកឃើញកូស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 ។ ដោយសារកូស៊ីនុសគឺសូន្យ យើងអាចសន្និដ្ឋានថាមុំ a →, b → ^ នៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → គឺស្មើនឹង 90 °។ តាមនិយមន័យ នេះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់។

លក្ខខណ្ឌកាត់កែងនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ

ជំពូក ផលិតផលមាត្រដ្ឋានក្នុងកូអរដោណេបង្ហាញវិសមភាព (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , មានសុពលភាពសម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោណេ a → = (a x , a y) និង b → = (b x , b y) នៅលើយន្តហោះ និង (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y សម្រាប់វ៉ិចទ័រ a → = (a x , a y , a z) និង b → = ( ​​b x , b y , b z ) ក្នុងលំហ។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរក្នុងប្លង់កូអរដោនេគឺ a x · b x + a y · b y = 0 សម្រាប់លំហបីវិមាត្រ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ។

ចូរយើងដាក់វាចូលទៅក្នុងការអនុវត្ត ហើយមើលឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ១

ពិនិត្យលក្ខណសម្បត្តិនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ a → = (2, − 3), b → = (- 6, − 4) ។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះអ្នកត្រូវស្វែងរកផលិតផល scalar ។ ប្រសិនបើយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌវាស្មើនឹងសូន្យបន្ទាប់មកពួកវាកាត់កែង។

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · ( − 6 ) + ( − 3 ) · ( − 4 ) = 0 . លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។

ចម្លើយ៖បាទ វ៉ិចទ័រ a → និង b → គឺកាត់កែង។

ឧទាហរណ៍ ២

សំរបសំរួលវ៉ិចទ័រ i → , j → , k → ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រ i → - j → និង i → + 2 · j → + 2 · k → អាចកាត់កែង។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីចងចាំពីរបៀបដែលកូអរដោនេវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ អ្នកត្រូវអានអត្ថបទអំពី កូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ដូច្នេះយើងឃើញថាវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ i → - j → និង i → + 2 · j → + 2 · k → មានកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នា (1, - 1, 0) និង (1, 2, 2) ។ យើងជំនួសតម្លៃលេខ ហើយទទួលបាន៖ i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 ។

កន្សោមមិនស្មើនឹងសូន្យ, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0 ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រ i → - j → និង i → + 2 j → + 2 k → មិនកាត់កែងទេ ដោយសារលក្ខខណ្ឌមិនត្រូវបានបំពេញ។

ចម្លើយ៖ទេ វ៉ិចទ័រ i → - j → និង i → + 2 · j → + 2 · k → មិនកាត់កែងទេ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ផ្តល់វ៉ិចទ័រ a → = (1, 0, − 2) និង b → = (λ, 5, 1) ។ រកតម្លៃនៃ λ ដែលវ៉ិចទ័រទាំងនេះកាត់កែង។

ដំណោះស្រាយ

យើងប្រើលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរក្នុងលំហក្នុងទម្រង់ការ៉េ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + ( − 2 ) 1 = 0 ⇔ λ = 2

ចម្លើយ៖វ៉ិចទ័រកាត់កែងនៅតម្លៃ λ = 2 ។

មានករណីនៅពេលដែលសំណួរនៃការកាត់កែងគឺមិនអាចទៅរួចសូម្បីតែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់។ ដែលបានផ្តល់ឱ្យទិន្នន័យដែលគេស្គាល់នៅលើជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណមួយនៅលើវ៉ិចទ័រពីរវាអាចទៅរួចក្នុងការស្វែងរក មុំរវាងវ៉ិចទ័រហើយពិនិត្យមើលវា។

ឧទាហរណ៍ 4

ផ្តល់ត្រីកោណ A B C ដែលមានជ្រុង A B = 8, A C = 6, B C = 10 សង់ទីម៉ែត្រ ពិនិត្យវ៉ិចទ័រ A B → និង A C → សម្រាប់កាត់កែង។

ដំណោះស្រាយ

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ A B → និង A C → កាត់កែង ត្រីកោណ A B C ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចតុកោណ។ បន្ទាប់មកយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ដែល B C ជាអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណ។ សមភាព B C 2 = A B 2 + A C 2 ត្រូវតែជាការពិត។ វាធ្វើតាមថា 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 ។ នេះមានន័យថា A B និង A C គឺជាជើងនៃត្រីកោណ A B C ដូច្នេះ A B → និង A C → កាត់កែង។

វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការរៀនពីរបៀបស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វាអាចទៅរួចទាំងនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ ដោយផ្តល់ថាវ៉ិចទ័រកាត់កែង។

ស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងយន្តហោះ។

វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ a → អាចមានចំនួនវ៉ិចទ័រកាត់កែងគ្មានកំណត់នៅលើយន្តហោះ។ ចូរយើងពណ៌នាវានៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។

ផ្តល់វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ a → ដេកលើបន្ទាត់ត្រង់ a ។ បន្ទាប់មក b → ដែលមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់កាត់កែងទៅបន្ទាត់ a ក្លាយជាកាត់កែងទៅ → ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ i → កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ j → ឬវ៉ិចទ័រណាមួយ λ · j → ជាមួយ λ ស្មើនឹងចំនួនពិតណាមួយក្រៅពីសូន្យ នោះការស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ b → កាត់កែងទៅ a → = (a x , a y ) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែ​ត្រូវ​រក​កូអរដោណេ​វ៉ិចទ័រ​កាត់​កែង​ទៅ a → = (a x , a y) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះចាំបាច់ត្រូវសរសេរលក្ខខណ្ឌនៃកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោម: a x · b x + a y · b y = 0 ។ យើងមាន b x និង b y ដែលជាកូអរដោណេដែលចង់បាននៃវ៉ិចទ័រកាត់កែង។ នៅពេល a x ≠ 0 តម្លៃនៃ b y គឺមិនមែនសូន្យទេ ហើយ b x អាចត្រូវបានគណនាពីវិសមភាព a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = − a y · b y a x ។ សម្រាប់ a x = 0 និង a y ≠ 0 យើងកំណត់ b x តម្លៃណាមួយក្រៅពីសូន្យ ហើយរក b y ពីកន្សោម b y = - a x · b x a y ។

ឧទាហរណ៍ 5

ផ្តល់វ៉ិចទ័រជាមួយកូអរដោណេ a → = (- 2 , 2) ។ រកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនេះ។

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងកំណត់វ៉ិចទ័រដែលចង់បានជា b → (b x, b y) ។ កូអរដោណេរបស់វាអាចរកឃើញពីលក្ខខណ្ឌដែលវ៉ិចទ័រ a → និង b → កាត់កែង។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = − 2 · b x + 2 · b y = 0 ។ ចូរកំណត់ b y = 1 និងជំនួស៖ − 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ − 2 · b x + 2 = 0 ។ ដូច្នេះពីរូបមន្តយើងទទួលបាន b x = − 2 − 2 = 1 2 ។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រ b → = (1 2 , 1) គឺជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅ a → .

ចម្លើយ៖ b → = (1 2 , 1) .

ប្រសិនបើសំណួរត្រូវបានលើកឡើងអំពីលំហបីវិមាត្រនោះបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយតាមគោលការណ៍ដូចគ្នា។ សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ a → = (a x , a y , a z) មានចំនួនវ៉ិចទ័រកាត់កែងគ្មានកំណត់។ នឹងជួសជុលវានៅលើយន្តហោះកូអរដោនេបីវិមាត្រ។ ផ្តល់ → ដេកលើបន្ទាត់ ក. ប្លង់កាត់កែងទៅត្រង់ a ត្រូវបានតាងដោយ α ។ ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ b → ពីប្លង់ α គឺកាត់កែងទៅ a → ។

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកកូអរដោនេនៃ b → កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ a → = (a x , a y , a z) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ b → ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយកូអរដោនេ b x, b y និង b z ។ ដើម្បីស្វែងរកពួកវាវាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តនិយមន័យនៃលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ។ សមភាព a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ត្រូវតែពេញចិត្ត។ ពីលក្ខខណ្ឌ a → គឺមិនសូន្យ ដែលមានន័យថា កូអរដោណេមួយមានតម្លៃមិនស្មើនឹងសូន្យ។ ចូរសន្មតថា a x ≠ 0, (a y ≠ 0 ឬ a z ≠ 0) ។ ដូច្នេះហើយ យើងមានសិទ្ធិបែងចែកវិសមភាពទាំងមូល a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ដោយកូអរដោនេនេះ យើងទទួលបានកន្សោម b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . យើងកំណត់តម្លៃណាមួយទៅកូអរដោនេ b y និង b x គណនាតម្លៃ b x ដោយផ្អែកលើរូបមន្ត b x = - a y · b y + a z · b z a x ។ វ៉ិចទ័រកាត់កែងដែលចង់បាននឹងមានតម្លៃ a → = (a x, a y, a z) ។

សូមក្រឡេកមើលភស្តុតាងដោយប្រើឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ៦

ផ្តល់វ៉ិចទ័រជាមួយកូអរដោណេ a → = (1, 2, 3) ។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងកំណត់វ៉ិចទ័រដែលចង់បានដោយ b → = (b x, b y, b z) ។ ផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌដែលវ៉ិចទ័រកាត់កែង ផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

ប្រសិនបើតម្លៃគឺ b y = 1, b z = 1 បន្ទាប់មក b x = − 2 b y − 3 b z = − (2 1 + 3 1) = − 5 ។ វា​ដូច​ខាង​ក្រោម​ថា​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ b → (- 5 , 1 , 1) ។ វ៉ិចទ័រ b → គឺជាវ៉ិចទ័រមួយកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖ b → = (- 5 , 1 , 1) ។

ការស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ

យើងត្រូវស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលំហបីវិមាត្រ។ វាកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាជួរ a → (a x , a y , a z ) និង b → = ( ​​b x , b y , b z ) ។ ផ្តល់ថាវ៉ិចទ័រ a → និង b → ជាប់គ្នា វានឹងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅ a → ឬ b → ក្នុងបញ្ហា។

នៅពេលដោះស្រាយ គោលគំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានប្រើ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → គឺជាវ៉ិចទ័រដែលកាត់កែងក្នុងពេលដំណាលគ្នាទាំង a → និង b → ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ ផលិតផលវ៉ិចទ័រ a → × b → ត្រូវបានប្រើ។ សម្រាប់លំហបីវិមាត្រ វាមានទម្រង់ a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

សូមក្រឡេកមើលផលិតផលវ៉ិចទ័រឱ្យបានលំអិតដោយប្រើបញ្ហាឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ៧

វ៉ិចទ័រ b → = (0, 2, 3) និង a → = (2, 1, 0) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រណាមួយដែលកាត់កែងទៅនឹងទិន្នន័យក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីដោះស្រាយ អ្នកត្រូវស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។ (សូម​យោង​ទៅ​កថាខណ្ឌ ការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រ) ។ យើង​ទទួល​បាន:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

ចម្លើយ៖ (3 , - 6 , 4) - កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលកាត់កែងក្នុងពេលដំណាលគ្នាទៅនឹង a → និង b → .

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

អូម ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងណែនាំគំនិតនៃផ្នែកមួយ។

និយមន័យ ១

យើង​នឹង​ហៅ​ផ្នែក​មួយ​ថា​ជា​ផ្នែក​នៃ​បន្ទាត់​ដែល​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ចំណុច​ទាំង​សងខាង។

និយមន័យ ២

ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកគឺជាចំណុចដែលកំណត់វា។

ដើម្បីណែនាំនិយមន័យនៃវ៉ិចទ័រ យើងហៅផ្នែកមួយនៃចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកចាប់ផ្តើមរបស់វា។

និយមន័យ ៣

យើងនឹងហៅវ៉ិចទ័រមួយ (ផ្នែកដឹកនាំ) ផ្នែកដែលវាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញថាចំណុចព្រំដែនមួយណាជាការចាប់ផ្តើមរបស់វា និងមួយណាជាចុងបញ្ចប់របស់វា។

កំណត់សម្គាល់៖ \overline(AB) គឺជាវ៉ិចទ័រ AB ដែលចាប់ផ្តើមនៅចំនុច A និងបញ្ចប់នៅចំនុច B ។

បើមិនដូច្នេះទេ ក្នុងអក្សរតូចមួយ៖ \overline(a) (រូបទី 1)។

និយមន័យ ៤

យើងនឹងហៅវ៉ិចទ័រសូន្យចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ។

និមិត្តសញ្ញា៖ \overline(0) ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងណែនាំដោយផ្ទាល់នូវនិយមន័យនៃវ៉ិចទ័រ collinear ។

យើងក៏នឹងណែនាំនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានផងដែរ ដែលយើងនឹងត្រូវការនៅពេលក្រោយ។

និយមន័យ ៦

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺជាមាត្រដ្ឋាន (ឬលេខ) ដែលស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះជាមួយនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

តាមគណិតវិទ្យា វាអាចមើលទៅដូចនេះ៖

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

ផលិតផលចំនុចក៏អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើកូអរដោនេវ៉ិចទ័រដូចខាងក្រោម

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

សញ្ញានៃការកាត់កែងតាមរយៈសមាមាត្រ

ទ្រឹស្តីបទ ១

សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យត្រូវកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះស្មើនឹងសូន្យ។

ភស្តុតាង។

ភាពចាំបាច់៖ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់វ៉ិចទ័រ \overline(α) និង \overline(β) ដែលមានកូអរដោណេ (α_1,α_2,α_3) និង (β_1,β_2,β_3) រៀងគ្នា ហើយពួកវាកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ បន្ទាប់មកយើងត្រូវបញ្ជាក់សមភាពដូចខាងក្រោម

ដោយសារវ៉ិចទ័រ \overline(α) និង \overline(β) កាត់កែងគ្នា មុំរវាងពួកវាគឺ 90^0។ ចូរយើងស្វែងរកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះដោយប្រើរូបមន្តពីនិយមន័យ 6 ។

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

ភាពគ្រប់គ្រាន់៖ សូមឱ្យសមភាពជាការពិត \overline(α)\cdot \overline(β)=0. ចូរយើងបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ \overline(α) និង \overline(β) នឹងកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។

តាមនិយមន័យ 6 សមភាពនឹងជាការពិត

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ \overline(α) និង \overline(β) នឹងកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ ១

បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេ (1,-5,2) និង (2,1,3/2) គឺកាត់កែង។

ភស្តុតាង។

ចូរយើងស្វែងរកផលិតផលមាត្រដ្ឋានសម្រាប់វ៉ិចទ័រទាំងនេះដោយប្រើរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

នេះមានន័យថាយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ 1 វ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺកាត់កែង។

ស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរដោយប្រើផលិតផលឈើឆ្កាង

ចូរយើងណែនាំគំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រជាមុនសិន។

និយមន័យ ៧

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរនឹងជាវ៉ិចទ័រដែលនឹងកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រទាំងពីរ ហើយប្រវែងរបស់វានឹងស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះជាមួយនឹងស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ ហើយវ៉ិចទ័រនេះមានពីរ ដើមដំបូងមានទិសដៅដូចគ្នានឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ។

ការកំណត់: \overline(α)x\overline(β)x.

ដើម្បីស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ យើងនឹងប្រើរូបមន្ត

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

ដោយសារវ៉ិចទ័រនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះ វានឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រ។ នោះគឺដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រពីរ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោណេ \overline(α)=(1,2,3) និង \overline(β)=(-1,0,3)

ចូរយើងស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x