Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В настоящее время существует два способа определения аналитической функции:
С помощью построения интерполяционного многочлена n-степени, который проходит непосредственно через все точки заданного массива данных. В данном случае аппроксимирующая функция представляется в виде: интерполяционного многочлена в форме Лагранжа или интерполяционного многочлена в форме Ньютона.
С помощью построения аппроксимирующего многочлена n-степени, который проходит в ближайшей близости от точек из заданного массива данных. Таким образом, аппроксимирующая функция сглаживает все случайные помехи (или погрешности), которые могут возникать при выполнении эксперимента: измеряемые значения в ходе опыта зависят от случайных факторов, которые колеблются по своим собственным случайным законам (погрешности измерений или приборов, неточность или ошибки опыта). В данном случае аппроксимирующая функция определяется по методу наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов (в англоязычной литературе Ordinary Least Squares, OLS) - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.
Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов используется:
Для решения переопределенных систем уравнений, когда количество уравнений превышает количество неизвестных;
Для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений;
Для аппроксимации точечных значений некоторой аппроксимирующей функцией.
Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов определяется из условия минимума суммы квадратов отклонений расчетной аппроксимирующей функции от заданного массива экспериментальных данных. Данный критерий метода наименьших квадратов записывается в виде следующего выражения:
Значения расчетной аппроксимирующей функции в узловых точках ,
Заданный массив экспериментальных данных в узловых точках .
Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.
В зависимости от условий задачи аппроксимирующая функция представляет собой многочлен степени m
Степень аппроксимирующей функции не зависит от числа узловых точек, но ее размерность должна быть всегда меньше размерности (количества точек) заданного массива экспериментальных данных.
∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией (линейная регрессия).
∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой (квадратичная аппроксимация).
∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой (кубическая аппроксимация).
В общем случае, когда требуется построить аппроксимирующий многочлен степени m для заданных табличных значений, условие минимума суммы квадратов отклонений по всем узловым точкам переписывается в следующем виде:
- неизвестные коэффициенты аппроксимирующего многочлена степени m;
Количество заданных табличных значений.
Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным . В результате получим следующую систему уравнений:
Преобразуем полученную линейную систему уравнений: раскроем скобки и перенесем свободные слагаемые в правую часть выражения. В результате полученная система линейных алгебраических выражений будет записываться в следующем виде:
Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана в матричном виде:
В результате была получена система линейных уравнений размерностью m+1, которая состоит из m+1 неизвестных. Данная система может быть решена с помощью любого метода решения линейных алгебраических уравнений (например, методом Гаусса). В результате решения будут найдены неизвестные параметры аппроксимирующей функции, обеспечивающие минимальную сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от исходных данных, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных все коэффициенты изменят свои значения, так как они полностью определяются исходными данными.
Аппроксимация исходных данных линейной зависимостью
(линейная регрессия)
В качестве примера, рассмотрим методику определения аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости. В соответствии с методом наименьших квадратов условие минимума суммы квадратов отклонений записывается в следующем виде:
Координаты узловых точек таблицы;
Неизвестные коэффициенты аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости.
Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным. В результате получаем следующую систему уравнений:
Преобразуем полученную линейную систему уравнений.
Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом (метод Крамера):
Данные коэффициенты обеспечивают построение линейной аппроксимирующей функции в соответствии с критерием минимизации суммы квадратов аппроксимирующей функции от заданных табличных значений (экспериментальные данные).
Алгоритм реализации метода наименьших квадратов
1. Начальные данные:
Задан массив экспериментальных данных с количеством измерений N
Задана степень аппроксимирующего многочлена (m)
2. Алгоритм вычисления:
2.1. Определяются коэффициенты для построения системы уравнений размерностью
Коэффициенты системы уравнений (левая часть уравнения)
- индекс номера столбца квадратной матрицы системы уравнений
Свободные члены системы линейных уравнений (правая часть уравнения)
- индекс номера строки квадратной матрицы системы уравнений
2.2. Формирование системы линейных уравнений размерностью .
2.3. Решение системы линейных уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующего многочлена степени m.
2.4.Определение суммы квадратов отклонений аппроксимирующего многочлена от исходных значений по всем узловым точкам
Найденное значение суммы квадратов отклонений является минимально-возможным.
Аппроксимация с помощью других функций
Следует отметить, что при аппроксимации исходных данных в соответствии с методом наименьших квадратов в качестве аппроксимирующей функции иногда используют логарифмическую функцию, экспоненциальную функцию и степенную функцию.
Логарифмическая аппроксимация
Рассмотрим случай, когда аппроксимирующая функция задана логарифмической функцией вида:
Как и предыдущие, этот урок с аналогичным текстом лучше смотреть не листе Excel (см. Уроки аппроксимации.xls, Лист1)
Аппроксимация в Excel проще всего реализуется с помощью программы построения трендов. Для выяснения особенностей аппроксимации возьмем какой-либо конкретный пример. Например, энтальпию насыщенного пара по книге С.Л.Ривкина и А.А.Александрова "Теплофизические свойства воды и водяного пара", М., "Энергия", 1980г. В колонке P поместим значения давления в кгс/см2, в колонке i" - энтальпию пара на линии насыщения в ккал/кг и построим график с помощью опции или кнопки "Мастер диаграмм".
Щелкнем правой кнопкой по линии на рисунке, затем левой кнопкой по опции "Добавить линию тренда" и смотрим - какие услуги предлагаются нам этой опцией в части реализации аппроксимации в Excel.
Нам предлагается на выбор пять типов аппроксимации: линейная, степенная, логарифмическая, экспоненциальная и полиноминальная. Чем они хороши и чем могут нам помочь? - Нажимаем кнопку F1, затем щелкаем по опции "Мастер ответов" и в появившееся окошко вводим нужное нам слово "аппроксимация", после чего щелкаем по кнопке "Найти". Выбираем в появившемся списке раздел "Формулы для построения линий тренда".
Получаем следующую информацию в несколько измененной нами
редакции:
Линейная:
где b - угол наклона и a - координата пересечения оси абсцисс (свободный член).
Степенная:
Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где c и b - константы.
Логарифмическая:
Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где a и b - константы.
Экспоненциальная:
Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где b и k - константы.
Полиноминальная:
Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6
где a, b1, b2, b3,... b6 - константы.
Снова щелкаем по линии рисунка, затем по опции "Добавить линию тренда", далее по опции "Параметры" и ставим флажки в окошках слева от записей: "показывать уравнение на диаграмме" и "поместить на диаг- рамму величину достоверности аппроксимации R^2, после чего щелкаем по кнопке OK. Пробуем все варианты аппроксимации по порядку.
Линейная аппроксимация дает нам R^2=0.9291 - это низкая достоверность и плохой результат.
Для перехода к степенной аппроксимации щелкаем правой кнопкой по линии тренда, затем левой кнопкой - по опции "Формат линии тренда", далее по опциям "Тип" и "Степенная". На этот раз получили R^2=0.999.
Запишем уравнение линии тренда в виде, пригодном для расчетов на листе Excel:
y=634.16*x^0.012
В результате имеем:
Максимальная погрешность аппроксимации получилась на уровне 0.23 ккал/кг. Для аппроксимации экспериментальных данных такой результат был бы чудесным, но для аппроксимации справочной таблицы это не слишком хороший результат. Поэтому попробуем проверить другие варианты аппроксимации в Excel посредством программы построения трендов.
Логарифмическая аппроксимация дает нам R^2=0.9907 - несколько хуже, чем по степенному варианту. Экспоненнта в том варианте, который предлагает программа построения трендов, вообще не подошла - R^2=0.927.
Полиноминальная аппроксимация со степенью 2 (это y=a+b1*x+b2*x^2) обеспечила R^2=0.9896. При степени 3 получили R^2=0.999, но с явным искажением аппроксимируемой кривой, в особенности при P>0.07 кгс/см2. Наконец, пятая степень нам дает R^2=1 - это, как утверждается, максимально тесная связь между исходными данными и их аппроксимацией.
Перепишем уравнение полинома в пригодном для расчетов на листе Excel виде:
y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020.8*x+592.44
и сравним результат аппроксимации с исходной таблицей:
Оказалось, что R^2=1 в данном случае лишь блестящая ложь. Реально, самый лучший результат полиноминальной аппроксимации дал самый простой полином вида y=a+b1*x+b2*x^2. Но его результат хуже, чем в варианте степенной аппроксимации y=634.16*x^0.012, где максимальная погрешность аппроксимации находилась на уровне 0.23 ккал/кг. Это все, что мы можем выжать из программы построения трендов. Посмотрим, что мы можем выжать из функции Линейн. Для нее попробуем вариант степенной аппроксимации.
Примечание. Обнаруженный дефект связан с работой программы построения трендов, но не с методом МНК.
6.7.3. Технология решения задач аппроксимации функций средствами математических пакетов
6.7.3.1. Технология решения задач аппроксимации средствами MathCad
6.7.3.2. Технология решения задач аппроксимации функций в среде MatLab
6.7.4. Тестовые задания по теме «Аппроксимация функций»
Постановка задачи аппроксимации
Задача аппроксимации (приближения) функции заключается в замене некоторой функции y=f(x) другой функцией g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) таким образом, чтобы отклонение
g(x, a0, a1, ..., an) от f(x) удовлетворяло в некоторой области (на множестве Х) определённому условию. Если множество Х дискретно (состоит из отдельных точек), то приближение называется точечным, если же Х есть отрезок , то приближение называется интегральным.
Если функция f(x)задана таблично, то аппроксимирующая функция
g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) должна удовлетворять определённому критерию соответствия ее значений табличным данным.
Подбор эмпирических формул состоит из двух этапов – выбора вида формулы и определения содержащихся в ней коэффициентов.
Если неизвестен вид аппроксимирующей зависимости, то в качестве эмпирической формулы обычно выбирают один из известных видов функций: алгебраический многочлен, показательную, логарифмическую или другую функцию в зависимости от свойств аппроксимируемой функции. Поскольку аппроксимирующая функция, полученная эмпирическим путем, в ходе последующих исследований, как правило, подвергается преобразованиям, то стараются выбирать наиболее простую формулу, удовлетворяющую требованиям точности. Часто в качестве эмпирической формулы выбирают зависимость, описываемую алгебраическим многочленом невысокого порядка.
Наиболее распространен способ выбора функции в виде многочлена:
где φ(x,a 0 ,a 1 ,...,a n)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x), а
φ 0 (x), φ 1 (x), ..., φ m (x) – базисные функции (m-степень аппроксимирующего полинома).
Один из возможных базисов – степенной: φ 0 (x)=1, φ 1 (x)=х, ..., φ m (x)=х m .
Обычно степень аппроксимирующего полинома m<
e i = φ(x i , a 0 , a 1 , ..., a m) – y i , i = 0,1,2,...,n.
Методы определения коэффициентов выбранной эмпирической функции различаются критерием минимизации отклонений.
Метод наименьших квадратов
Одним из способов определения параметров эмпирической формулы является метод наименьших квадратов. В этом методе параметры a 0 , a 1 , ..., a n определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений аппроксимирующей функции от табличных данных.
Вектор коэффициентов a T определяют из условия минимизации
где (n+1) – количество узловых точек.
Условие минимума функции Е приводит к системе линейных уравнений относительно параметров a 0 , a 1 , ..., a m . Эта система называется системой нормальных уравнений, её матрица – матрица Грама . Элементами матрицы Грама являются суммы скалярных произведений базисных функций
Для получения искомых значений параметров следует составить и решить систему (m+1) уравнения
Пусть в качестве аппроксимирующей функции выбрана линейная зависимость y= a 0 +a 1 x . Тогда
Условия минимума:
Тогда первое уравнение имеет вид
Раскрывая скобки и разделив на постоянный коэффициент, получим
.
Первое уравнение принимает следующий окончательный вид:
.
Для получения второго уравнения,приравняем нулю частную производную по а1:
.
.
Система линейных уравнений для нахождения коэффициентов многочлена 
(линейная аппроксимация):
Введем следующие обозначения 
- средние значения исходных данных. Во введенных обозначениях решениями системы являются
.
В случае применения метода наименьших квадратов для определения коэффициентов аппроксимирующего многочлена второй степени y=a 0 +a 1 x+а 2 х 2 критерий минимизации имеет вид
.
Из условия 
получим следующую систему уравнений:
Решение этой системы уравнений относительно а 0 , а 1 , а 2 позволяет найти коэффициенты эмпирической формулы 
- аппроксимирующего многочлена 2-го порядка. При решении системы линейных уравнений могут быть применены численные методы.
В случае степенного базиса (степень аппроксимирующего полинома равна m) матрица Грама системы нормальных уравнений G и столбец правых частей системы нормальных уравнений имеют вид
G
= 
В матричной форме система нормальных уравнений примет вид:
Решение системы нормальных уравнений
найдется из выражения
В качестве меры уклонения заданных значений функции y 0 , y 1 , ..., y n от многочлена степени m - φ(x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x) ,
принимается величина
(n+1) – количество узлов, m – степень аппроксимирующего многочлена, n+1>=m.
На рис.6.7.2-1 приведена укрупненная схема алгоритма метода наименьших квадратов.
Рис. 6.7.2-1. Укрупненная схема алгоритма метода наименьших квадратов
Данная схема алгоритма метода наименьших квадратов является укрупненной и отражает основные процессы метода, где n+1 – количество точек, в которых известны значения х i , y i ; i=0,1,…, n.
Блок вычисления коэффициентов предполагает вычисление коэффициентов при неизвестных с 0 , с 1 , …, с m и свободных членов системы из m+1 линейных уравнений.
Следующий блок – блок решения системы уравнений – предполагает вычисление коэффициентов аппроксимирующей функции с 0 , с 1 , …, с m .
Пример 6.7.2-1. Аппроксимировать следующие данные многочленом второй степени, используя метод наименьших квадратов.
| x | 0.78 | 1.56 | 2.34 | 3.12 | 3.81 |
| y | 2.50 | 1.20 | 1.12 | 2.25 | 4.28 |
Запишем в следующую таблицу элементы матрицы Грамма и столбец свободных членов:
| i | x | x 2 | x 3 | x 4 | y | xy | x 2 y |
| 0.78 | 0.608 | 0.475 | 0.370 | 2.50 | 1.950 | 1.520 | |
| 1.56 | 2.434 | 3.796 | 5.922 | 1.20 | 1.872 | 2.920 | |
| 2.34 | 5.476 | 12.813 | 29.982 | 1.12 | 2.621 | 6.133 | |
| 3.12 | 9.734 | 30.371 | 94.759 | 2.25 | 7.020 | 21.902 | |
| 3.81 | 14.516 | 55.306 | 210.72 | 4.28 | 16.307 | 62.129 | |
| ∑ | 11.61 | 32.768 | 102.76 | 341.75 | 11.35 | 29.770 | 94.604 |
Система нормальных уравнений выглядит следующим образом
Решением этой системы являются:
а0 = 5.022; а1 =-4.014; а2=1.002.
Искомая аппроксимирующая функция
Сравним исходные значения yсо значениями аппроксимирующего многочлена, вычисленными в тех же точках:
Вычислим среднеквадратическое отклонение (невязку)
.
Пример 6.7.3-1. Получить аппроксимирующие полиномы первой и второй степени методом наименьших квадратов для функции, заданной таблично.
 |
Пример 6.7.3-2. Осуществить аппроксимацию таблично заданной функции многочленом 1-й, 2-й и 3-й степени.
В этом примере рассмотрено использование функции linfit(x,y,f), где x,y- соответственно векторы значений аргументов и функции, а f – символьный вектор базисных функций. Использование этой функции позволяет определить вектор коэффициентов аппроксимации методом наименьших квадратов и далее невязку - среднеквадратическую погрешность приближения исходных точек к аппроксимирующей функции (сkо). Степень аппроксимирующего многочлена задается при описании символьного вектора f. В примере представлена аппроксимация таблично заданной функции многочленом 1-й, 2-й и 3-й степени. Вектор s представляет собой набор аппроксимирующих коэффициентов, что позволяет получить аппроксимирующую функцию в явном виде.
 |
В Mathcad имеется также большое количество встроенных функций, предназначенных для получения аналитического выражения функции регрессии. Однако в этом случае необходимо знать форму аналитического выражения. Ниже приведены встроенные функции, различающиеся видом регрессии, позволяющие (при заданных начальных приближениях) определить аналитическую зависимость функции, то есть возвращающие набор аппроксимирующих коэффициентов:
expfit(X,Y,g) Решение ОДУ 2-го порядка вида у”=F(x, y, z), где z=y’ также может быть получено методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Ниже приведены формулы для решения ОДУ:
В этих функциях: х – вектор аргументов, элементы которого расположены в порядке возрастания; y – вектор значений функции; g – вектор начальных приближений коэффициентов a, b и с; t - значение аргумента, при котором определяется функция.
В приведенных ниже примерах для оценки связи между массивами данных и значениями аппроксимирующей функции подсчитывается коэффициент корреляции corr(). Если табличные данные неплохо аппроксимируется каким-либо видом регрессии, то коэффициент корреляции близок к единице. Чем меньше коэффициент, тем хуже связь между значениями этих функций.
Пример 6.7.3-3. Найти аппроксимирующие полиномы первой, второй, третьей и четвертой степени и вычислить коэффициенты корреляции.
   |
Помимо вычисления значений функций в пределах интервала данных все рассмотренные ранее функции могут осуществлять экстраполяцию (прогнозирование поведения функции за пределами интервала заданных точек) с помощью зависимости, основанной на анализе расположения нескольких исходных точек на границе интервала данных. В Mathcad имеется и специальная функция предсказания predict(Y, m, n), где Y – вектор заданных значений функции, обязательно взятых через равные интервалы аргумента, а m – число последовательных значений Y, на основании которых функция predict возвращает n значений Y.
Значений аргумента для данных не требуется, поскольку по определению функция действует на данных, идущих друг за другом с одинаковым шагом. Функция использует линейный алгоритм предсказания, который точен, когда экстраполируемая функция гладкая. Функция может быть полезна, когда требуется экстраполировать данные на небольшие расстояния. Вдали от исходных данных результат чаще всего оказывается неудовлетворительным.
Пример 6.7.3-4. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, многочленом по МНК.
В этом примере рассмотрено использование функции p=polyfit(x,y,n), где x,y – соответственно векторы значений аргументов и функции, n – порядок аппроксимирующего полинома, а p – полученный в результате вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома длинной n+1.
>> x=;
>> x
x =
1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000
>> y=[-1.15,-0.506,0.236,0.88,1.256];
>> y
y =
-1.1500 -0.5060 0.2360 0.8800 1.2560
>> %
>> %
>> p1=polyfit(x,y,1);
>> p1
p1 =
3.0990 -4.8152
>> y1=polyval(p1,x);
>> y1
y1 =
-1.0964 -0.4766 0.1432 0.7630 1.3828
>> cko1=sqrt(1/5*sum((y-y1).^2));
>> cko1
cko1 =
0.0918
>> plot(x,y,"ko",x,y1,"r-")
>> p2=polyfit(x,y,2);
>> p2
p2 =
-1.1321 6.7219 -7.6229
>> y2=polyval(p2,x);
>> y2
y2 =
-1.1870 -0.4313 0.2338 0.8083 1.2922
>> cko2=sqrt(1/5*sum((y-y2).^2));
>> cko2
cko2 =
0.0518
>> plot(x,y,"ko",x,y2,"r-")
 |
Пример 6.7.3-5. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, многочленом по МНК.
 |
Пример 6.7.3-5. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, полиномами различной степени по МНК.
6.7.4. Тестовые задания по теме
«Аппроксимация функций»
Аппроксимация – это
1) получение функции более простого вида, описывающей исходную с достаточной степенью точности
2) частный случай интерполяции
3) замена исходной функции функцией другого вида
4) в списке нет правильного ответа
Тема 6.7. Аппроксимация функций
6.7.1. Постановка задачи аппроксимации
6.7.2. Метод наименьших квадратов
Пусть y является функцией аргумента х. Это означает, что любому значению х из области определения поставлено в соответствие значение x. На практике иногда невозможно записать зависимость y(x) в явном виде. Вместе с тем, нередко эта зависимость задается в табличном виде. Это означает, что дискретному множеству значений {xi) поставлено в соответствие множество значений {yi), 0 < i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.
В часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, иногда требуется определить значения функции в других точках, отличных от узловых. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации ). В этом случае находят некоторую функцию f(х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Функция f(х) называется аппроксимирующей.
Вид аппроксимирующей функции
существенным образом зависит от исходной табличной функции. В разных случаях функцию f(х) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае подбирают соответствующие параметры таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию представляют в виде полинома по степеням х. Запишем общий вид полинома n-й степени:
Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.
Таким образом, аппроксимация — замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой.
Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y=f(x) . Аппроксимацией называется получение некой функции, приближенно описывающей какую-то функциональную зависимость f(x), заданную таблицей значений, либо заданную в виде, неудобном для вычислений. При этом эту функцию выбирают такой, чтобы она была максимально удобной для последующих расчетов. Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что функция fi(x) выбирается зависящей от нескольких свободных параметров c1, c2, …, cn, значения которых подбираются из некоторого условия близости f(x) и fi(x) . Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной зависимости и под- бора параметров составляет задачу теории аппроксимации функций . В зависимости от способа подбора параметров получают различные методы аппроксимации , среди которых наибольшее распространение получили интерполяция и среднеквадратичное приближение . Наиболее простой является линейная аппроксимация , при которой выбирают функцию линейно зависящую от параметров, т. е. в виде обобщенного многочлена: . Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n-1 , совпадающий с аппроксимируемой функцией в n выбранных точках. Погрешность аппроксимации функции f(x) интерполяционным многочленом степени n-1 , построенным по n точкам, можно оценить, если известна ее производная порядка n. Суть среднеквадратичной аппроксимации заключается в том, что параметры функции подбираются такими, чтобы обеспечить минимум квадрата расстояния между функциямиf(x) и fi (x , c ). Метод наименьших квадратов является частным случаем среднеквадратичной аппроксимации. При использовании метода наименьших квадратов аналогично задаче интерполяции в области значений x , представляющей некоторый интервал [a, b ], где функции f(x) и fi(x) должны быть близки, выбирают систему различных точек (узлов) x1, ..., x m, число которых больше, чем количество искомых параметров. Далее, требуют чтобы сумма квадратов невязок во всех узлах была минимальна.
Интерполяция общего вида
Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида. Поэтому, когда требуется производить многократные вычисления многочлена, построенного по одной таблице, оказывается выгодно вначале один раз найти коэффициенты с. Коэффициенты находят прямым решением системы с, затем вычисляют его значения по алгоритму Горнера. Недостатком такого вида аппроксимации является необходимость решения системы линейных алгебраических уравнений.
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Лагранжем была предложена своя форма записи общего интерполяционного алгебраического многочлена в виде, не требующем решения системы линейных алгебраических уравнений. Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида.
Интерполяционный многочлен Ньютона
Ньютоном была предложена форма записи общего интерполяционного алгебраического многочлена в виде, не требующем решения системы линейных алгебраических уравнений. Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида.