Какие свойства положены в модель идеального газа. Идеальный газ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Идеальный газ - это простейшая физическая модель настоящего газа. Идеальный газ состоит из огромного числа частиц, которые уподобляют шарикам (материальным точкам), имеющим конечную массу, и у которых отсутствует объем.

Моделью в физике называют упрощенную копию изучаемой настоящей системы. Она отражает самые значимые основные характеристики и свойства системы.

В модели идеального газа учитываются только основные свойства молекул, которые требуются для того, чтобы объяснить основы поведения газа. Идеальный газ напоминает реальный газ в довольно узком интервале давлений (p) и температур (T).

Главным упрощением идеального газа является предположение о том, что молекулы идеального газа не взаимодействуют на расстоянии. Кинетическая энергия движения молекул такого газа много больше, потенциальной энергии их взаимодействия. Данное упрощение ведет к уравнению состояния идеального газа:

где m - масса газа; - молярная масса; - универсальная газовая постоянная.

Реальные газы можно уподобить идеальному газу с достаточно высокой точностью при низких делениях, когда расстояния (в среднем) между молекулами существенно больше, чем их размеры и (или) низких температурах. В таком случае силы притяжения между молекулами можно считать ничтожно малыми, а силы отталкивания возникают на очень маленькие промежутки времени при столкновениях молекул.

Столкновения частиц идеального газа описывают при помощи законов абсолютно упругого соударения шаров. Следует отметить, что имеются в виду законы столкновения именно шаров, так как точечные частицы испытывают только лобовые столкновения, которые не могут изменять направления скоростей на разные углы. В промежутках между столкновениями молекулы идеального газа движется по прямым линиям. Законы столкновений и соударений о стенки сосудов, в которых находится газ, известны. В МКТ движение каждой молекулы идеального газа описывают при помощи законов динамики. Однако из-за того, что число молекул в газе огромно, то практически не представляется возможным написать такое число уранений.

С помощью модели идеального газа получают, например, основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) (2). Которое показывает, что давление газа является результатом многочисленных ударов его молекул о стенки сосуда, в котором газ находится.

где - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа; - концентрация молекул газа (N - число молекул газа в сосуде; V - объем сосуда); - масса молекулы газа; - среднеквадратичная скорость молекулы.

Модель идеального газа можно использовать для объяснения свойств газов. Так, горят, что газ занимает весь объем, который ему предоставляется, потому что силы взаимодействия его молекул малы, и они не способны удержать молекулы друг около друга.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Идеальный газ находится в сосуде объем, которого составляет л. Давление этого газа равно Па. Средняя кинетическая энергия, которую имеют молекулы газа Дж. Какое число молекул газа находится в сосуде?
Решение В качестве основы для решения задачи используем основное уравнение МКТ:

Концентрация молекул (n) это:

где N — искомое число молекул газа. Подставим правую часть выражения (1.2) в (1.1), имеем:

Проведем вычисления:
Ответ молекул.

Часто встречающийся в физике идеальный газ является определенной моделью вещества, которая вводится для объяснения простейших свойств некоторых реальных физических систем (реального газа, электронов в металле и др.).

Идеальный газ представляют как систему свободных невзаимодействующих частиц, находящихся в непрерывном хаотическом движении. Взаимодействие частиц идеального газа проявляется только в их упругих столкновениях.

Частицы идеального газа принимают за твердые шарики, размер которых намного меньше среднего расстояния между ними. Промежуток времени между столкновениями при этом оказывается много больше, чем время самих столкновений. Следовательно, большую часть времени частицы движутся в газе равномерно и прямолинейно.

Благодаря беспорядочному движению частицы идеального газа очень часто сталкиваются друг с другом. Эти столкновения частиц между собой приводят к ряду интересных следствий.

Во-первых, разлетаясь после столкновений в разные стороны, частицы из выделенной группы будут постепенно рассеиваться в пространстве, занимая в конце концов бесконечно большой объем. Поэтому в большинстве" случаев идеальный газ рассматривают внутри некоторого объема, т. е. ограниченный стенками сосуда. Частицы, встречая

на своем пути стенки сосуда будут по законам упругого удара отражаться от них, передавая стенке определенное количество движения (импульс силы). Следствием этого является давление, оказываемое газом на стенку.

Во-вторых, столкновения частиц газа между собой приводят к тому, что они непрерывно обмениваются энергией, изменяют свои скорости и координаты внутри объема. Благодаря Этому в газе при постоянных внешних параметрах устанавливается равновесное состояние, которому соответствует определенное распределение частиц в пространстве, по направлениям движения и по скоростям. Любые отклонения от такого равновесного состояния сглаживаются благодаря непрерывному хаотическому движению и столкновениям частиц. За сравнительно короткое время (время релаксации) газ снова приходит в равновесное состояние. Рассматривая газ, при постоянных внешних параметрах, за промежутки времени, большие времени релаксации, мы можем считать его состояние равновесным. Некоторые же вопросы, связанные с неравновесными процессами, будут рассмотрены в IV главе.

Если идеальный газ находится в равновесном состоянии при отсутствии внешних сил, то его частицы заполняют весь объем с постоянной плотностью. Число частиц, заключенных в некотором интересующем нас объеме V, буяет определяться по формуле

где - число частиц в единице объема, равное отношению всего числа частиц ко всему занятому газом объему:

Столкновения частиц приводят не только к установлению в газе одинаковой плотности, но и к равномерному распределению в пространстве направлений движения частиц. Сколько частиц движется в одном направлении, столько же в среднем движется и в любом Другом, в том числе и противоположном направлении. В результате такой равноправности направлений движения давление в идеальном газе оказывается изотропным.

При равновесии в газе устанавливается также и определенное распределение частиц по скоростям. При этом средние скорости и число частиц, движущихся в разных направлениях, оказываются одинаковыми, о чем свидетельствует отсутствие направленного потока газа при равновесии.

Для рассматриваемой модели идеального газа легко найти зависимость между давлением и объемом.

Пусть идеальный газ находится в сосуде, имеющем форму шара с радиусом . В этом случае частиц, находящихся в объеме оказывают давление на поверхность

Рис. 8. К выводу закона Бойля - Мариотта по М. В. Ломоносову

Затем сожмем это количество газа так, чтобы он занимал объем шара с вдвое меньшим радиусом т. е. . Если скорости движения частиц останутся прежними, то те же удары частиц будут теперь приходиться на вчетверо меньшую поверхность вследствие чего давление должно возрасти в 4 раза. С другой стороны, из-за уменьшения объема средний путь частицы между столкновениями будет вдвое меньше, что приведет при той же скорости движения молекул к увеличению вдвое числа столкновений в единицу времени, т. е. и со стенкой частицы будут сталкиваться вдвое чаще. Таким образом, при уменьшении объема идеального газа в 8 раз давление должно возрасти также в 8 раз. Это и есть закон Бойля - Мариотта:

Приведенный здесь вывод этого закона был еще в 1745 г. предложен Ломоносовым.

Рассмотренная модель идеального газа при определенных условиях объясняет многие свойства реального газа, т. е. простейшего газообразного состояния вещества.

Существует следующий критерий применимости модели идеального газа к реальному газу. Если поведение реального газа удовлетворяет закону Бойля - Мариотта, то газ можно рассматривать как идеальный. Например, воздух при нормальных условиях можно рассматривать как идеальный газ. Поэтому дальнейшие выводы, которые будут получены на основании свойств модели идеального газа, можно распространять и на реальные газы. Вместо частиц идеального газа далее будем рассматривать молекулы реального газа.

Идеальный газ – это модель разреженного газа, в которой пренебрегается взаимодействием между молекулами. Силы взаимодействия между молекулами довольно сложны. На очень малых расстояниях, когда молекулы вплотную подлетают друг к другу, между ними действуют большие по величине силы отталкивания. На больших или промежуточных расстояниях между молекулами действуют сравнительно слабые силы притяжения. Если расстояния между молекулами в среднем велики, что наблюдается в достаточно разреженном газе, то взаимодействие проявляется в виде относительно редких соударений молекул друг с другом, когда они подлетают вплотную. В идеальном газе взаимодействием молекул вообще пренебрегают.

Теория создана немецким физиком Р. Клаузисом в 1957 году для модели реального газа, которая называется идеальный газ. Основные признаки модели:

  • · расстояния между молекулами велики по сравнению с их размерами;
  • · взаимодействие между молекулами на расстоянии отсутствует;
  • · при столкновениях молекул действуют большие силы отталкивания;
  • · время столкновения много меньше времени свободного движения между столкновениями;
  • · движения подчиняются законом Ньютона ;
  • · молекулы - упругие шары ;
  • · с илы взаимодействия возникают при столкновении .

Границы применимости модели идеального газа зависят от рассматриваемой задачи. Если необходимо установить связь между давлением, объемом и температурой, то газ с хорошей точностью можно считать идеальным до давлений в несколько десятков атмосфер. Если изучается фазовый переход типа испарения или конденсации или рассматривается процесс установления равновесия в газе, то модель идеального газа нельзя применять даже при давлениях в несколько миллиметров ртутного столба.

Давление газа на стенку сосуда является следствием хаотических ударов молекул о стенку, вследствие их большой частоты действие этих ударов воспринимается нашими органами чувств или приборами как непрерывная сила, действующая на стенку сосуда и создающая давление.

Пусть одна молекула находится в сосуде, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 1). Рассмотрим, например, удары этой молекулы о правую стенку сосуда, перпендикулярную оси Х. Считаем удары молекулы о стенки абсолютно упругими, тогда угол отражения молекулы от стенки равен углу падения, а величина скорости в результате удара не изменяется. В нашем случае при ударе проекция скорости молекулы на ось У не изменяется, а проекция скорости на ось Х меняет знак. Таким образом, проекция импульса изменяется при ударе на величину, равную , знак «-» означает, что проекция конечной скорости отрицательна, а проекция начальной – положительна.

Определим число ударов молекулы о данную стенку за 1 секунду. Величина проекции скорости не изменяется при ударе о любую стенку, т.е. можно сказать, что движение молекулы вдоль оси Х равномерное. За 1 секунду она пролетает расстояние, равное проекции скорости . От удара до следующего удара об эту же стенку молекула пролетает вдоль оси Х расстояние, равное удвоенной длине сосуда 2 L . Поэтому число ударов молекулы о выбранную стенку равно . Согласно 2-му закону Ньютона средняя сила равна изменению импульса тела за единицу времени. Если при каждом ударе о стенку частица изменяет импульс на величину , а число ударов за единицу времени равно , то средняя сила, действующая со стороны стенки на молекулу (равная по величине силе, действующей на стенку со стороны молекулы), равна , а среднее давление молекулы на стенку равно , где V – объем сосуда.

Если бы все молекулы имели одинаковую скорость, то общее давление получалось бы просто умножением этой величины на число частиц N , т.е. . Но поскольку молекулы газа имеют разные скорости, то в этой формуле будет стоять среднее значение квадрата скорости, тогда формула примет вид: .

Квадрат модуля скорости равен сумме квадратов ее проекций, это имеет место и для их средних значений: . Вследствие хаотичности теплового движения средние значения всех квадратов проекций скорости одинаковы, т.к. нет преимущественного движения молекул в каком-либо направлении. Поэтому , и тогда формула для давления газа примет вид: . Если ввести кинетическую энергию молекулы , то получим , где - средняя кинетическая энергия молекулы.

Согласно Больцману средняя кинетическая энергия молекулы пропорциональна абсолютной температуре , и тогда давление идеального газа равно или

Если ввести концентрацию частиц , то формула перепишется так:

Число частиц можно представить в виде произведения числа молей на число частиц в моле, равное числу Авогадро , а произведение . Тогда (1) запишется в виде:

Рассмотрим частные газовые законы. При постоянной температуре и массе из (4) следует, что , т.е. при постоянной температуре и массе газа его давление обратно пропорционально объему. Этот закон называется законом Бойля и Мариотта, а процесс, при котором температура постоянна, называется изотермическим.

Для изобарного процесса, происходящего при постоянном давлении, из (4) следует, что , т.е. объем пропорционален абсолютной температуре. Этот закон называют законом Гей-Люссака.

Для изохорного процесса, происходящего при постоянном объеме, из (4) следует, что , т.е. давление пропорционально абсолютной температуре. Этот закон называют законом Шарля.

Эти три газовых закона, таким образом, являются частными случаями уравнения состояния идеального газа. Исторически они сначала были открыты экспериментально, и лишь значительно позднее получены теоретически, исходя из молекулярных представлений.

Модель идеального газа

Идеальный газ - математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергиеймолекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми - Дирака или Бозе - Эйнштейна).

Классический идеальный газ

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

§ объём частицы газа равен нулю (то есть, диаметр молекулы пренебрежимо мал по сравнению со средним расстоянием между ними, ) ;

§ импульс передается только при соударениях (то есть, силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях);

§ суммарная энергия частиц газа постоянна (то есть, нет передачи энергии за счет передачи тепла или излучения)

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно сумме импульсов в единицу времени, переданной при столкновении частиц со стенкой, энергия- сумме энергий частиц газа. Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева- Клапейрона

где - давление, - концентрация частиц, - постоянная Больцмана, - абсолютная температура.

Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям описываетсяраспределением Больцмана:

где - среднее число частиц, находящихся в -ом состоянии с энергией , а константа определяется условием нормировки:

где - полное число частиц.

Распределение Больцмана является предельным случаем (квантовые эффекты пренебрежимо малы) распределений Ферми- Дирака и Бозе- Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа. Для любого идеального газа справедливосоотношение Майера:

где - универсальная газовая постоянная, - молярная теплоемкость при постоянном давлении, - молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Квантовый идеальный газ

Понижение температуры и увеличение плотности газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между частицами становится соизмеримым с длиной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу (см. Вырожденный газ). В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми - Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) - статистика Бозе - Эйнштейна(Бозе-газ).

Ферми-газ

Для фермионов действует принцип Паули, запрещающий двум тождественным фермионам находиться в одном квантовом состоянии. Вследствие этого при абсолютном нуле температуры импульсы частиц и, соответственно, давление и плотность энергии Ферми-газа отличны от нуля и пропорциональны числу частиц в единице объёма. Существует верхний предел энергии, который могут иметь частицы Ферми-газа при абсолютном нуле (Энергия Ферми ). Если энергия теплового движения частиц Ферми-газа значительно меньше энергии Ферми, то это состояние называют вырожденным газом.

Особенностью Ферми-газов является крайне слабая зависимость давления от температуры: в нерелятивистском случае давление , в релятивистском - .

Примерами Ферми-газов являются электронный газ в металлах, сильнолегированных и вырожденныхполупроводниках, вырожденный газ электронов в белых карликах и вырожденный газ нейтронов внейтронных звёздах.

Бозе-газ Править

Так как на бозоны принцип Паули не распространяется, то при снижении температуры Бозе-газа ниже некоторой температуры T 0 возможен переход бозонов на наинизший энергетический уровень с нулевым импульсом, то есть образоввание конденсата Бозе- Эйнштейна. Поскольку давление газа равно сумме импульсов частиц, переданной стенке в единицу времени, при давление Бозе-газа зависит только от температуры.

Примерами Бозе-газов являются различного рода газы квазичастиц (слабых возбуждений) в твёрдых телах и жидкостях, сверхтекучая компонента гелия II, конденсата Бозе- Эйнштейна куперовских электронных пар при сверхпроводимости. Примером ультрарелятивистского Бозе-газа является фотонный газ

Молекулярно-кинетический смысл температуры. Равномерное распределение кинетической энергии теплового движения по поступательным степеням свободы

62. Молекулярно-кинетический смысл температуры. Равномерное распределение кинетической энергии теплового движения по поступательным степеням свободы

Выясним физический смысл температуры в молекулярно-

кинетической теории. Для этого возьмем цилиндр с поршнем АВ

(рис. 45), который может свободно без трения перемещаться

вдоль цилиндра. По разные стороны поршня находятся одинаковые

или различные идеальные газы.

Величины, характеризующие В

первый газ, будем отмечать индексом 1, характеризующие второй газ - индексом 2. Для механического равновесия поршня необходимо, чтобы давления газов были одинаковы: Рх = Р2 или 1IS n-jnxv = 1/3n2m2vl. Но для того чтобы равновесие сохранялось длительно, необходимо еще равенство температур обоих газов: 1 = Т2. В самом деле, допустим, что 7 > Т2. Тогда начнется процесс выравнивания температур, в результате которого первый газ будет охлаждаться, а второй - нагреваться. Давление на поршень слева станет понижаться, а справа - повышаться, и поршень придет в движение справа налево. В процессе теплообмена молекулы газов обмениваются друг с другом кинетическими энергиями. Физический смысл макроскопического параметра - температуры - можно установить, рассмотрев процесс теплообмена с молекулярной точки зрения.

2. Скорость и другие характеристики теплообмена меняются с изменением материала и размеров поршня. Но конечный результат теплообмена, который сейчас нас только и интересует, от этого совершенно не зависит. Поэтому в целях упрощения вычислений можно идеализировать задачу, совершенно отвлекаясь от молекулярного строения поршня. Поршень мы будем рассматривать как сплошное идеально гладкое тело, с которым молекулы газов могут претерпевать упругие столкновения. Удары со стороны молекул, которым подвергается поршень слева и справа, в среднем уравновешивают друг друга. Но в каждый момент времени мгновенные силы ударов, вообще говоря, не уравновешиваются. В результате поршень непрерывно совершает беспорядочное тепловое движение туда и обратно. С этим явлением в рассматриваемой идеализированной модели и связана возможность обмена кинетическими энергиями теплового движения газов.

Предположим, что газы по обе стороны поршня настолько разрежены, что в каждый момент времени с поршнем сталкивается всего лишь одна молекула. Процессы, в которых с поршнем одновременно сталкиваются две или несколько молекул, настолько редки, что ими можно полностью пренебречь. Окончательные результаты, к которым мы придем, не связаны с этим ограничением. В следующем параграфе мы от него освободимся.

Рассмотрим столкновение какой-либо молекулы первого газа с движущимся поршнем. Поршень может двигаться только вдоль оси цилиндра, которую мы примем за ось X. Пусть и - скорость поршня до удара, и - после удара. Соответствующие компоненты скорости молекулы обозначим посредством vlx и vx. Массу поршня обозначим М. При ударе соблюдается закон сохранения импульса, а так как удар упругий, то имеет место также и сохранение кинетической энергии:

trijVix + Ми = т{их + Ми,

till .. . М „ ,)?! ,2 М,2

2- Vx + 2 U = Y Vlx + "2" " -

Это в точности такие же уравнения, какие используются в механике

при решении задачи о столкновении идеально упругих шаров.

Из них находим, _2Mu-(M-mi)vlx

Щх - M + nTi а для кинетической энергии движения молекулы вдоль оси X после

удара,2 „ „

1ЩУ1Х _ nil 4M4fi-AM (М - mi) uvix+(M - т,)4х

Напишем такое соотношение для каждой из молекул первого газа, сталкивающейся с поршнем, просуммируем по всем столкновениям и разделим на число столкновений. Короче говоря, произведем усреднение по всем столкновениям. Если состояние всей системы установилось, т. е. макроскопический процесс теплообмена закончился, то средняя скорость поршня равна нулю. Поршень совершает беспорядочные дрожания около положения равновесия, его скорость и с одинаковой вероятностью принимает положительные и отрицательные значения. Поэтому в результате усреднения произведения uvlx получится нуль, и для средней кинетической энергии молекулы после столкновения можно написать

пц,. ч __ tnL AM <Ы2) -|- (М - m{f (vjx)

2 К lK/ 2 (M + mi)2

Теплообмена между газами не будет, когда средняя кинетическая энергия молекулы в результате отражения от поршня не меняется. Поэтому в установившемся состоянии написанное выражение должно быть равно средней кинетической энергии молекулы до удара

у-<и?>. Это дает

Am{ifi)+{Mmif(vx) _ , . N Отсюда после элементарных преобразований находим

Приведенное рассуждение, разумеется, применимо и ко второму газу. Следовательно,

т2 (vlx) _ М (иР) /АО 0.

1/2/П1<^> = 1/2/п2<^>. (62.3)

Ввиду хаотичности теплового движения молекул газа в нем нет никаких избранных направлений движения - все направления одинаково вероятны. Поэтому

а следовательно,

1/2m1<^) = 1/2m2<^>. (62.4)

Мы доказали, что е состоянии теплового равновесия средние кинети-ческие энергии всех молекул газа одинаковы.

3. Средняя кинетическая энергия ёпост поступательного движения молекулы газа, таким образом, обладает основным свойством температуры - в состоянии теплового равновесия она одинакова для всех молекул газов, находящихся в тепловом контакте, а также для различных молекул газовой смеси. Она не зависит от массы и внутренней структуры молекулы. Поэтому величину епосх, или любую монотонную функцию ее можно принять за меру температуры газа, а также тела, находящегося с ним в тепловом равновесии. Удобно за меру температуры взять величину

© = 2/з5пост. (62.5)

Преимущество такого выбора заключается в том, что тогда формула (59.8) принимает вид

PV = 43Nzm„ = Ne, (62.6)

напоминающий уравнение Клапейрона PV = RT.

Из молекулярно-кинетического толкования температуры можно вывести закон Авогадро. Возьмем два идеальных газа 1 и 2. Для них можно написать

/3,У1=л/1в1, Р2У2=л/2в2.

Если Рх = Р2, Vx = V2, @х = 62, то из этих уравнений следует Nx = N2. В равных объемах идеальных газов при одинаковых давлениях и температурах содержится одинаковое число молекул. Это и есть закон Авогадро.

Величина 6, определяемая формулой (62.5), называется энер-гетической или кинетической температурой. Она измеряется в тех же единицах, что и энергия, например, в джоулях и эргах. Для установления связи между кинетической температурой G и абсолютной термодинамической температурой Т можно воспользоваться циклом Карно с идеальным одноатомным газом. Внутренняя энергия U такого газа состоит только из кинетической энергии поступательного движения его молекул. Она равна U = Ntnocz = = 3/2N@, т. е. зависит только от температуры 0. Поэтому можно повторить без всяких изменений рассуждения, приведенные в § 32 при установлении связи между термодинамической и идеально-газовой шкалами температур. В результате мы придем к соотношению

Следовательно, отношение @/Т есть универсальная постоянная, за-висящая только от выбора единиц для 6 и Т. Она называется постоянной Больцмана и является одной из важнейших фундаментальных постоянных физики. Эту постоянную принято обозначать буквой k. Таким образом, по определению

Некоторые из методов экспериментального определения постоянной Больцмана будут изложены в дальнейшем. По современным данным

k = (1,380622 ± 0,000059) 1023 Дж ■ К"1 = = (1,380622 ± 0,000059) ■ №1в эрг ■ К"1.

4. Обозначим буквой N число молекул в одном моле. Эта уни-

версальная постоянная называется числом Авогадро. Возьмем один

моль идеального газа. Тогда, с одной стороны, имеет место соотно-

шение (62.6), которое с учетом формулы (62.7) можно переписать

Наиболее простой физической моделью газовой термодинамической системы является идеальный газ. Существо этой модели в следующем.

  • 1. Молекулы газа представляются малыми частицами (материальными точками), суммарный объем которых пренебрежимо мал по сравнению с объемом, который занимает газ.
  • 2. Предполагается, что до столкновения молекулы между собой не взаимодействуют (т.е. не обмениваются энергией). Иными словами, потенциальная кривая для модели идеального газа имеет вид, приведенный на рис. 4.2, а. Если считать, что молекулы - «несжимаемые шарики» с радиусом г 0 , то потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю при расстояниях г между их центрами, больших, чем 2г 0 , и бесконечно велика при г (в действительности для реальных молекул под их радиусом следует понимать не радиус молекулы-шарика, а некоторый радиус (г , г 2) эффективного взаимодействия между молекулами, определяемый их свойствами и видом потенциальной кривой взаимодействия и кинетической энергией сталкивающихся частиц, зависящей от температуры (см. рис. 4.2, б)).
  • 3. Считается, что молекулы при столкновении обмениваются энергиями по законам абсолютно упругого соударения (см. подраздел 1.4.5).

Рис. 4.2. Потенциальные кривые U(r) (г- радиус взаимодействия) для модели: а - идеального газа; б - реального газа (г, и г 2 - эффективные радиусы взаимодействия при разных температурах)

4. Допускается, что нет никаких дополнительных физических ограничений (на число частиц, объем, давление, температуру и др. - они могут быть любыми) и внешних воздействий на систему в целом.

Мы имеем также в виду, что идеальный газ представляет собой совокупность огромного числа молекул, находящихся в состоянии термодинамического равновесия (система замкнута). В такой системе термодинамическое равновесие устанавливается только за счет взаимодействий между молекулами при их взаимных столкновениях. При этом в системе устанавливается статическое равновесие, которое означает, что все распределения частиц (по энергиям, по скоростям и т.д.) остаются неизменными во времени. Классический идеальный газ подчиняется так называемой статистике Больцмана (классической статистике).

Макроскопическое уравнение состояния идеального газа (может быть получено из молекулярно-кинетических представлений о газах. Известно, что одним из основных свойств газа является способность оказывать давление на стенки заключающего его сосуда. Определим это давление для идеального газа, состоящего из молекул одного сорта. Прежде всего напомним, что давлениер газа на стенки сосуда есть результат совокупного действия его молекул при их ударах о стенку. По определению, давление задается силой, действующей со стороны газа на единицу поверхности стенки ограничивающего его сосуда и перпендикулярной этой поверхности.

Направим ось х перпендикулярно стенке сосуда. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая со стороны газа на единицу поверхности стенки и перпендикулярная ее поверхности, равна изменению перпендикулярной составляющей импульса всех молекул газа, ударяющихся о стенку за единицу времени. Так как молекул очень много и они ударяются о стенку очень часто, то можно заменить их суммарное действие одной непрерывно действующей силой. Эта сила усредняет и как бы сглаживает отдельные толчки. Такое описание и соответствует статистическому методу. Так начинается переход от ньютоновской механики к статистическому описанию: место и время удара каждой молекулы о поверхность стенки совершенно не важны для анализа рассматриваемого явления (давления). Общий эффект их действия и есть то, что входит в статистический закон. Только он и важен для статистического описания системы. Тем не менее рассуждения надо начинать с рассмотрения отдельного удара.

Когда молекула, упруго взаимодействуя, отскакивает от стенки сосуда, перпендикулярная составляющая ее скорости меняет знак на обратный, а абсолютная величина скорости не изменяется (см. подраздел

1.4.5, рис. 1.37 и формулы (1.170), (1.171)). При упругом ударе частицы о стенку ее импульс не изменяется по абсолютной величине, но меняет свое направление. Поэтому

где т - масса молекулы; и х - проекция ее скорости на направление выбранной оси (ось х - перпендикулярна стенке).

Это изменение импульса молекулы газа происходит под действием силы, действующей на молекулу со стороны стенки. По третьему закону Ньютона «действие равно противодействию»: стенка сосуда, содержащего газ, при каждом ударе молекулы получает равный по величине и противоположный по направлению импульс, равный 2ти х. Сколько же ударов о единицу поверхности произойдет за единицу времени? По направлению к площадке S движется большое число молекул под разными углами к нормали к ее поверхности (от 0 до ±л/2). Мысленно выберем только те из них, проекции скоростей которых на ось х лежат в интервале от и х до и х + dи х. Обозначим через dN(v x) число молекул, проекции скоростей которых на ось х заключены в указанном интервале значений, и которые за время т достигнут площадки S на стенке сосуда. Тогда суммарное изменение импульса всех этих молекул в результате действия на них стенки равно 2mu x dN(u x), а средняя за время т сила di ? (i; x), действующая со стороны стенки на молекулы, составит:

Рис. 4.3.

Давление dр х действующее со стороны молекул с проекциями скоростей и х на стенку, запишется в виде:

Подсчитаем величину dN(v x). За время т стенки сосуда достигнут молекулы, находящиеся в объеме V= IS = v x xS (рис. 4.3). Обозначив концентрацию таких молекул через бл(о х), найдем:

Концентрация молекул, скорости которых лежат в интервале от и х до v x + dv x , может быть записана с использованием функции распределения f(v x) в виде:

где - нормированная функция распределения числа частиц

по проекциям скоростей v x , п - их концентрация и тогда

Давление, оказываемое на стенку молекулами, имеющими проекции скорости v x в интервале от и х до и х + d v x , будет

Если требуется подсчитать давление, вызываемое всеми молекулами, необходимо проинтегрировать полученное выражение по всем возможным значениям проекций скоростей (нулевой проекцией скорости на ось х обладают покоящиеся молекулы и молекулы, двигающиеся перпендикулярно оси х, а максимально возможное значение проекции скорости на осьх - условно «ос», относится к движению молекулы вдоль этой оси с наибольшей скоростью и тзх). Поэтому:

Интегрирование проводится по всем возможным значениям проекций v x . Поскольку в рассматриваемом случае газ находится в состоянии термодинамического равновесия, то молекулы движутся совершенно беспорядочно (хаотически) - все направления движения равновероятны. Проекции их скоростей на любую выбранную ось могут быть самыми разными по величине. При каждом столкновении любой молекулы с другими величина ее скорости должна, вообще говоря, изменяться, причем с равной вероятностью она может как возрастать, так и уменьшаться.

Так как изменения скоростей молекул при столкновениях происходят случайным образом, то может случиться, что в результате последовательных столкновений молекула все время будет только получать энергию от других молекул, и ее энергия будет значительно выше средней энергии, а следовательно, и скорости таких молекул также будут выше средней. Можно представить себе фантастический случай, когда все молекулы остановятся, передав всю энергию одной единственной молекуле. В этом случае все равно эта единственная молекула будет иметь конечную энергию и конечную величину скорости. Таким образом, скорость молекул газа не может быть больше некоторой и тах. Учитывая малую величину вероятности сосредоточения на одной молекуле заметной доли суммарной энергии всех молекул, можно утверждать, что слишком большие по сравнению со средним значением скорости (или энергии) могут появляться крайне редко. Поэтому в (4.19) верхний предел интегрирования можно принять равным бесконечности и от этого величина интеграла практически не изменится. Практически исключено, что в результате соударений скорость молекулы станет точно равной нулю. Следовательно, очень большие и очень малые по сравнению со средним значением скорости маловероятны, причем вероятность иметь значения скорости о х стремится к нулю как при v x -> 0, так и при и х -> оо. Отсюда также следует, что скорости молекул группируются вблизи некоторого наиболее вероятного значения (см. табл. 4.1).

В силу изотропности пространства положительное направление оси х может быть выбрано произвольно - результат не должен зависеть от выбора направления, так как считается, что любые направления в пространстве эквивалентны. Так как давление р создается только теми молекулами, которые движутся к стенке (т.е. половиной общего числа молекул, которые имеют положительные проекции и х), то с учетом (4.19) для давления получаем:

где (см. формулу (4.11)).

Выражение (4.20) можно видоизменить, перейдя от проекций скоростей молекул к абсолютным значениям этих скоростей. Действительно, в силу хаотичности движения молекул и изотропности пространства: , но откуда:

Подставляя выражение (4.21) в (4.20), получаем:

где - средняя кинетическая энергия молекул идеального

Выражение (4.22) является одной из форм записи основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Таким образом, давление идеального газа равно двум третям объемной плотности средней кинетической энергии (и) поступательного движения молекул.

Другую форму записи уравнения (4.22) получим, умножив обе его части на объем одного моль V M газа:

Учитывая, что pV M = RT (уравнение Менделеева-Клапейрона для моль газа), a nV M = АД =6,02 10 23 моль - число Авогадро, имеем RT=

= (2/3) N a иОтношение обозначается к ъ - это

постоянная Больцмана : к ъ = 1,38 10 -23 Дж/К. Эта постоянная играет фундаментальную роль в молекулярной физике, физической статистике и термодинамике. С постоянной Больцмана выражение для средней кинетической энергии одной молекулы газа записывается в виде:

Произведение к ъ Т, имеющее размерность энергии, есть мера энергии теплового движения молекул.

Оценим величину к ъ Т для комнатной температуры.

При Т * 300 К, = 1,38 10- 23 (Дж/К) 300 К * 4 ? 10- 21 Дж * « 0,026 эВ = 26 мэВ. Напомним, что 1 эВ = 1,6 10 -19 Дж.

Теперь найдем связь давления с температурой. Для этого в (4.22) подставим выражение для из (4.24) и после сокращений получим:

Выражение (4.25) является другой формой записи основного уравнения молекулярно-кинетической теории. Если обе части (4.25) умножить на массу молекулы т, то получим: тр = тпк ъ Г, или тр = рк ь Т, где р - плотность газа, откуда следует, что абсолютная температура Т может быть определена выражением:

Выражение (4.26) может быть использовано для градуировки термометров и измерения абсолютной температуры Т по давлению р и плотности р газа.

  • В этой главе потенциальная и внутренняя энергия будут обозначаться символом U.
  • Здесь и далее символом р, который ранее использовался для обозначения импульса,мы будем обозначать давление. В дальнейшем при смене обозначений это будет специально оговариваться.
  • В этой главе мы будем обозначать кинетическую энергию буквой г..