Урок исследование
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Цель урока : Показать множественность подходов к доказательству теоремы; совершенствовать исследовательские умения и навыки учащихся.
Подготовка к уроку : ученики-консультанты дома готовят по дополнительной литературе семь доказательств признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Ход урока : I
Вступительное слово учителя:
Сегодняшний урок – урок исследования. Всем вместе предстоит в процессе решения задач и ответов на проблемные вопросы, подойти к формулировке теоремы перпендикулярности прямой и плоскости и познакомиться с семью вариантами доказательств этой теоремы с тем, чтобы выбрать наиболее оптимальный из них, обстоятельно мотивировать своё мнение.
1.Подготовка к формулировке теоремы:
Повторение определения перпендикуляра к плоскости, анализ практического применения данного понятия посредством решения задач.
Задача 1.
Даны: Плоскость, точки А и В в этой плоскости; АМ – прямая перпендикулярная этой плоскости. Определить вид треугольника АМВ.
Задачи по вариантам.
Дан плоский четырёхугольник АВСD. АМ – перпендикуляр к плоскости ABCD. Какие из треугольников ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM – прямоугольные.
ABCD – квадрат. Прямая ВК перпендикулярна плоскости квадрата. Какие из треугольников ABD, BCD, ABK, BDK, BCK – прямоугольные.
Консультанты собирают листочки и проверяют решения, а учитель подводит учащихся к выводу:
1.Верно ли утверждение, что прямая, перпендикулярная к плоскости,
перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости?
2.Когда же прямая перпендикулярна плоскости?
3.Сколько прямых лежат на плоскости? Можно ли их посчитать?
Ученик – консультант на модели из спиц показывает различные варианты: в плоскости две прямые в плоскости, прямая перпендикулярна одной из них. Вывод: прямая не перпендикулярна плоскости. Следующий вариант модели: прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, и, оказывается, перпендикулярна плоскости. Далее для закрепления, можно взять модель из трёх прямых и т. д.
По завершению работы с моделями перед учащимися ставится очередной проблемный вопрос: сколько прямых достаточно в плоскости, чтобы сказать, что прямая перпендикулярна плоскости?
Исследовав ситуацию перпендикулярности прямой и плоскости, мы в плотную подошли к теореме, которая даст возможность выяснить на чертежах, на моделях и в практика перпендикулярность к прямой и плоскости. Попробуем сформулировать теорему.
Ребята предлагают свои варианты формулировки теоремы. Учитель выделяет наиболее рациональнее и предлагает прослушать различные варианты формулировки и доказательства рассматриваемой теоремы, которые ученик разыскали дома в рекомендованной литературе.
2. Доказательство теоремы:
Теорема: Если прямая, пересекающаяся с плоскостью, перпендикулярна каким - нибудь двум прямым, проведённым на этой плоскости через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой проведённой в этой плоскости через ту же точку пересечения.
Доказательство: Отложим на прямой AA 1 произвольной длины, но равные отрезки OA и OA 1 и проведём на плоскости какую-нибудь прямую, которая пересекла бы три прямые исходящие из точки О в точках C, D, и B .Эти точки соединим с точками A и A 1 ; мы получим несколько треугольников.∆ACB= ∆A 1 CB, так как у них BC - общая, AC=A 1 C - как наклонные к прямой AA 1 , одинаково удаленые от основания О перпендикуляра ОС. По той же причине AB=A 1 B .Из равенства этих треугольников следует, что ∟ABC=∟A 1 BC.
∆ABD=∆A 1 BD по первому признаку равенства треугольников: BD - общая, AB=A 1 B по доказанному, ∟ABC= ∟A 1 BC .Из равенства этих треугольников следует, что AD=A 1 D.
∆АОD=∆A1OD по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует, что AOD= A1OD; и так как эти углы смежные, то AA1 перпендикулярна OD.
Теорема: Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, перпендикулярна плоскости.
Первый случай, когда все прямые a, b, c проходят через точку О – точку пересечения прямой с плоскостью α. Отметим на прямой р вектор OP, на прямой с вектор OC и докажем, что произведение векторов OP и OC равно 0.
Разложим вектор OC по векторам OA и OB, расположенные соответственно на прямых a и b; тогда (речь идет о векторах) OC=OA+OB. Значит:
OP∙OC=OP (OA+OB)=OP∙OA+OP∙OB
Но OP ┴ OA, OP ┴ OB; поэтому OP∙OA=0, OP∙OB=0. Отсюда OP∙OC=0; значит OP ┴ OC и р ┴ с. Но с – любая прямая плоскости; значит, р ┴ α
Второй случай , когда прямые a, b, c не проходят через точку О. Проведем через точку О прямые a1||a; b1||b; c1||c. По условию p ┴ а, p ┴ b, значит p ┴ а1, p ┴ b1, и, по доказанному выше, p ┴ с1, а поэтому p ┴ с. Прямая с – любая прямая плоскости α; значит прямая р перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в плоскости α, а поэтому p ┴ α.
Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство можно взять из учебника А.В. Погорелов «Геометрия 7-11»
А 1
α A X B
А 2
IV вариант Э.Е. Лежандр
Теорема: Прямая перпендикулярная двум прямым, лежащим на плоскости, перпендикулярна самой плоскости. O
Дано: SO OA, SO OB, OA C .,OB C
Доказать: SO
Доказательство:
1. Медиану треугольника можно выразить через стороны
4AM 2 =2(AB 2 +AC 2 )-BC 2
2 Через точку С проведём прямую так, чтобы отрезок АВ, заключённый между сторонами угла АОВ, разделился бы в этой точке пополам, то есть АС=ВС. SC – медиана треугольника АSВ: 4SС 2 =2(SА 2 +SВ 2 )-АВ 2 . ОС – медиана треугольника АОВ: 4ОВ 2 =2(АО 2 +ОВ 2 )-АВ 2 . Почленно вычитая эти равенства, получим: 4(SС 2 -ОС 2 )=2((SА 2 -АО 2 )+(SВ 2 -ОВ 2 )). Выражение в скобках в правой части равенства можно заменить по т. Пифагора. Для треугольника АОS: SО 2 =SА 2 -ОА 2 . Для треугольника ВОS: SО 2 =SВ 2 -ОВ 2 .
Отсюда: 4(SС 2 -ОС 2 )=2(SО 2 +SО 2 ), 4(SС 2 -ОС 2 )=4SО 2 , SС 2 -ОС 2 =SО 2 , откуда SС 2 =SО 2 +ОС 2 . Согласно обратной теоремы Пифагора, SО ОС. ОС – произвольная прямая, принадлежащая плоскости , значит SО .
Теорема: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых лежащих в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости .
Докажем, что прямая l перпендикулярна любой третьей прямой в плоскости
- Построение: Прямые m, n, g перенесем параллельно в точку О; ОА=ОС=ОD=ОВ, отсюда ABCD – прямоугольник, соединим A, B, C, D с некоторой точкой М.
- Треугольник АМD равен ВМС по трем сторонам, отсюда угол1 равен углу2. Треугольник МDL равен треугольнику МКВ по двум сторонам и углу между ними. МD=МВ, LD=BK – центрально симметричны; следовательно MK=LM.
- Треугольник MLK – равнобедренный, ОМ – медиана, значит, и высота. Получили ОМ g, отсюда l g, следовательно l
Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым на плоскости, то она перпендикулярно самой плоскости .
Р 1
Доказательство основано на симметрии относительно оси плоскости.
- Построение: l l 1, m. O l 1, m n = O, OP=OP’ .
- Точки Р и Р’ – симметричны относительно оси m, также Р и Р’ – симметричны относительно оси n. Тогда ((m n) ) – плоскость симметрии точек Р и Р’, следовательно, l
3.Обсуждение различных вариантов доказательства теоремы. Учащиеся высказываю свои мнения о том, какое из доказательств, на их взгляд, является оптимальным и почему. Учитель разрешает выбрать для себя любой вариант и увязывает теорему с примерами из жизни: В технике часто встречается направление, перпендикулярное плоскости. Колонны устанавливают так, что их ось перпендикулярна плоскости фундамента; гвозди забивают в доску так, что они перпендикулярны плоскости доски; в цилиндре паровой машины шток перпендикулярен плоскости поршня и т.д. Особенно важно вертикальное направление, то есть направление силы тяжести, оно перпендикулярно горизонтальной плоскости.
Задача: ABCD – ромб, прямая ОК перпендикулярна диагоналям ромба.
Доказать: ОК перпендикулярна плоскости ромба.
Итог урока.
Задание на дом: п17, №120, №129
Перпендикулярность в пространстве могут иметь:
1. Две прямые
3. Две плоскости
Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.
Перпендикулярность двух прямых.
Определение:
Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.
На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):
А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:
прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.
Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.
Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.
Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение:
Вот картинка:
прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!
Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .
Формулируем:
Оцени, как здорово:
если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.
И опять рассмотрим пример .
Пусть нам дан правильный тетраэдр.
Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!
А вот смотри:
давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.
Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Когда плоскости перпендикулярны
Определение:
То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.
Теорема эта называется
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Давай сформулируем:
Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:
- Если, то проходит через перпендикуляр к.
- Если проходит через перпендикуляр к, то.
(естественно, здесь и - плоскости).
Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.
Так что нужно быть очень внимательным!
Итак, формулировка:
И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):
давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.
Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.
Решение:
Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.
Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:
И пишем ответ: .
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Перпендикулярность двух прямых.
Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.
Перпендикулярность плоскостей.
Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Определение. Прямая пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть а – прямая перпендикулярная прямым b и с , принадлежащим плоскости a . А – точка пересечения прямых. В плоскости a через точку А проведем прямую d , не совпадающую с прямыми b и с . Теперь в плоскости a проведем прямую k , пересекающую прямые d и с и не проходящую через точку А. Точки пересечения соответственно D, В и С. Отложим на прямой а в разные стороны от точки А равные отрезки АА 1 и АА 2 . Треугольник А 1 СА 2 равнобедренный, т.к. высота АС является так же и медианой (признак 1), т.е. А 1 С=СА 2 . Подобно в треугольнике А 1 ВА 2 равны стороны А 1 В и ВА 2 . Следолвательно, треугольники А 1 ВС и А 2 ВС равны по третьему признаку Поэтому равны углы А 1 ВD и А 2 ВD. Значит, равны и треугольники А 1 ВD и А 2 ВD по первому признаку . Поэтому А 1 D и А 2 D. Отсюда треугольник А 1 DА 2 равнобедренный по определению. В равнобедренном треугольнике А 1 D А 2 D А – медиана (по построению), а значит и высота, то есть угол А 1 АD прямой, а значит прямая а перпендикулярна прямой d . Таким образом можно доказать, что прямая а перпендикулярна любой прямой проходящей через точку А и принадлежащей плоскости a . Из определения следует, что прямая а перпендикулярна плоскости a .
Построение прямой
перпендикулярной данной плоскости из точки, взятой вне этой плоскости.
Пусть a
-
плоскость, А – точка, из которой надо опустить перпендикуляр. В плоскости
проведем некоторую прямую а
. Через
точку А
и прямую а
проведем плоскость b
(прямая и точка определяют плоскость, причем только
одну). В плоскости b
из точки А
опустим на прямую а
перпендикуляр АВ. Из точки В в
плоскости a
восстановим перпендикуляр и обозначим прямую, на которой лежит этот
перпендикуляр за с
. Через отрезок АВ
и прямую с
проведем плоскость g
(две
пересекающиеся прямые определяют плоскость, причем только одну). В плоскости g
из
точки А
опустим на прямую с
перпендикуляр АС.
Докажем, что отрезок АС –
перпендикуляр к плоскости b
.
Доказательство.
Прямая
а
перпендикулярна прямым с
и АВ (по
построению), а значит она перпендикулярна и самой плоскости g
, в
которой лежат эти две пересекающиеся прямые (по признаку перпендикулярности
прямой и плоскости). А раз она перпендикулярна этой плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, значит прямая а
перпендикулярна АС. Прямая
АС перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости α
: с
(по построению) и а
(по доказанному), значит она перпендикулярна плоскости α
(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)
Теорема 1
. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а
и b
- перпендикулярные прямые, а
1 и b
1 - параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а
1 и b
1 перпендикулярны.
Если прямые а
, b
, а
1 и b
1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а
и b
лежат в некоторой плоскости α
, а прямые а
1 и b
1 - в некоторой плоскости β
. По признаку параллельности плоскостей плоскости α
и β
параллельны. Пусть С - точка пересечения прямых а
и b
, а С 1 - пересечения прямых а
1 и b
1 . Проведем в плоскости параллельных прямых а
и а
а
и а
1 в точках А и А 1 . В плоскости параллельных прямых b
и b
1 прямую, параллельную прямой СС 1 . Она пересечет прямые b
и b
1 в точках B и B 1 .
Четырехугольники САА 1 С 1 и СВВ 1 С 1 - параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ 1 А 1 также параллелограмм. У него стороны АА 1 и ВВ 1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС 1 .Таким образом четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 . А она пересекает параллельные плоскости α
и β
по параллельным прямые АВ и А 1 В 1 .
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ=А 1 В 1 , АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1 . По третьему признаку равенства треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны. Итак, угол А 1 С 1 В 1 , равный углу АСВ, прямой, т.е. прямые а
1 и b
1 перпендикулярны. Ч.т.д.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
Теорема 2
. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а
1 и а
2 - две параллельные прямые и α
- плоскость, перпендикулярна прямой а
1 . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а
2 .
Проведем через точку А 2 пересечения прямой а
2 с плоскостью α
произвольную прямую с
2 в плоскости α
.
Проведем в плоскости α
через точку А 1 пересечения прямой а
1 с плоскостью α
прямую с
1 , параллельную прямой с
2 . Так как прямая а
1 перпендикулярна плоскости α
, то прямые а
1 и с
1 перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а
2 и с
2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а
2 перпендикулярна любой прямой с
2 в плоскости α
. А это значит, что прямая а
2 перпендикулярна плоскости α
. Теорема доказана.
Теорема 3
. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.
Имеем плоскость α
и две перпендикулярные ей прямые а
и b
. Докажем, что а
|| b
.
Через точки пересечения прямыми плоскости проведем прямую с
. По признаку получаем а
^
c
и b
^
c
. Через прямые а
и b
проведем плоскость (две параллельные прямые определяют плоскость и притом только одну). В этой плоскости мы имеем два параллельные прямые а
и b
и секущую с
. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180 о, то прямые параллельны. У нас как раз такой случай - два прямых угла. Поэтому а
|| b
.
В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.
Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.
Определение.
Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.
Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .
В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.
В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.
Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.
На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема.
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.
При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.
В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Это условие можно переписать в следующем виде.
Пусть 
- направляющий вектор прямой a
, а 
- нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a
и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось 
и : 
, где t
– некоторое действительное число.
Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.
Рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Докажите перпендикулярность прямой 
и плоскости .
Решение.
Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, 
- направляющий вектор прямой .
Коэффициенты при переменных x
, y
и z
в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, 
- нормальный вектор плоскости .
Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Так как 
, то векторы и связаны соотношением 
, то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .
Пример.
Перпендикулярны ли прямая 
и плоскость .
Решение.
Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Направляющим вектором прямой является