Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти

ТОЧКА ВЫБОРА - 1. Вообще – любой набор обстоятельств, при которых требуется сделать выбор из нескольких альтернатив. 2. Специальное употребление: физическая точка в лабиринте, где субъект может выбрать любое из двух или более направлений … Толковый словарь по психологии

точка выбора курсора экрана - Курсор манипулятора типа «мышь» представляет собой изображение, занимающее область из n х m пикселей на экране (где n и m>1). Точка выбора – это пиксель в изображении курсора, который используется для определения координат последнего.… … Справочник технического переводчика

- (в титриметрическом анализе) момент титрования, когда число эквивалентов добавляемого титранта эквивалентно или равно числу эквивалентов определяемого вещества в образце. В некоторых случаях наблюдают несколько точек эквивалентности, следующих… … Википедия

точка - 4.8 точка (pixel): Минимальный элемент матрицы изображения, расположенный на пересечении п строки и т столбца, где п горизонтальная компонента (строка), т вертикальная компонента (столбец). Источник …

Точка плана - 37. Точка плана Упорядоченная совокупность численных значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта Источник: ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

РДМУ 109-77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов - Терминология РДМУ 109 77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов: 73. Адекватность модели Соответствие модели с экспериментальными данными по выбранному параметру оптимизации с… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

опорная точка - 3.7 опорная точка (reference position): Точка, в которой измеряют уровень звука (эквивалентный уровень звука) или уровень звукового давления для контроля идентичности характеристик источника шума при проведении испытаний с экраном и без экрана (5 … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

порог выбора - 02.02.27 порог выбора [ reference threshold]: Граничная точка, используемая в рекомендуемом алгоритме декодирования для принятия решения об отнесении измерения к элементу или комбинации элементов. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Центральная точка плана - 38. Центральная точка плана Центр плана Точка плана, соответствующая нулям нормализованной (безразмерной) шкалы по всем факторам Источник: ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Эта статья содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, переведя её до конца. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне. Список серий канадского т … Википедия

1) Н. т. отображения Fмножества X такая точка, что. Доказательства существования Н. т. и методы нахождения Н. т. важные задачи математики, т. к. решение всякого уравнения путем преобразования его к виду сводится к нахождению Н. т. отображения … Математическая энциклопедия

Книги

• Уязвимая точка: роман , Стовер М.. Мейс Винду – живая легенда. Старший член Совета джедаев, опытный дипломат и великолепный воин. Многие утверждают, что среди живущих нет человека опаснее его. Но он человек мира, а сейчас,…

План-конспект разработанный

Трофимовой Людмилой Алексеевной

Геометрическая вероятность

Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания

вероятности;

2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации

текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.

Результаты обучения:

1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки

внутри фигуры на плоскости и прямой;

2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,

зная площади фигур или умея их вычислять.

I . Выбор точки из фигуры на плоскости.

Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?

В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.

Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.

Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».

Обычно это выражение трактуют так:

1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.

2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.

Подведем итог: пусть и - площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F », равна

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому

Вернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому =1.

Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь , нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.

Задача. Нетерпеливые дуэлянты.

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

Дуэлянты встречаются, если , т. е. x - < y < x + .

Изобразим это на чертеже.

Заштрихованная часть квадрата отвечает случаю, когда дуэлянты встречаются.

Площадь всего квадрата 1, площадь заштрихованной части:

.

Значит, шансы на поединок равны .

II . Выбор точки из отрезка и дуги окружности.

Рассмотрим мысленный эксперимент, который состоит в случайном выборе одной точки Х из некоторого отрезка MN.

Это можно понимать так, будто точку Х случайным образом «бросают» на отрезок. Элементарным событием в этом опыте может стать выбор любой точки отрезка.

Пусть отрезок CD содержится в отрезке MN. Нас интересует событие А , состоящее в том, что выбранная точка Х принадлежит отрезку CD.

Метод вычисления этой вероятности тот же, что для фигур на плоскости: вероятность пропорциональна длине отрезка CD.

Следовательно, вероятность события А «точка Х принадлежит отрезку CD, содержащемуся в отрезке MN» равна, .

Пример 1. Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Решение: Пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.

Тогда .

Ничего не меняется, если точка Х выбирается не из отрезка, а из дуги некоторой кривой линии.

Пример 2. На окружности даны точки А и В, причем эти точки не являются диаметрально противоположными. На этой же окружности выбирается точка С. Найти вероятность того, что отрезок ВС пересечет диаметр окружности, проходящий через точку А.

Решение: Пусть длина окружности равна L. Интересующее нас событие К «отрезок ВС пересекает диаметр DA» наступает, только если т. С лежит на полуокружности DA, не содержащей точку В. Длина этой полуокружности равна L.

.

Пример 3. На окружности взята точка А. На окружность «бросают» точку В. Какова вероятность того, что длина хорда АВ будет меньше радиуса окружности.

Решение: Пусть r – радиус окружности.

Для того чтобы хорда АВ была короче радиуса окружности, точка В должна попасть на дугу В1АВ2, длина которой равна длины окружности.

Вероятность того, что длина хорды АВ будет меньше радиуса окружности, равна:

III . Выбор точки из числового отрезка

Геометрическую вероятность можно применять к числовым промежуткам. Предположим, что случайным образом выбирается число Х, удовлетворяющее условию . Этот опыт можно заменить опытом, в котором из отрезка на числовой прямой выбирается точка с координатой Х.

Рассмотрим событие, состоящее в том, что точка с координатой Х выбрана из отрезка , содержащегося в отрезке . Это событие обозначим . Его вероятность равна отношению длин отрезков и .

.

Пример 1. Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка , принадлежит отрезку .

Решение: По формуле геометрической вероятности находим:

.

Пример 2. Согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.

Решение: Воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком . Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х. Пешеход не нарушает правила, если он находится на расстоянии более чем 0,1 км от каждого перехода, т. е. 0,1

.

Пример 3. Поезд проходит мимо платформы за полминуты. В какой-то момент, совершенно случайно выглянув из своего купе в окно, Иван Иванович увидел, что поезд идет мимо платформы. Иван Иванович смотрел в окно ровно 10 секунд, а затем отвернулся. Найдите вероятность того, что он видел Ивана Никифоровича, который стоял ровно посередине платформы.

Решение: Воспользуемся геометрическим методом. Будем вести отсчет в секундах. За 0 секунд примем момент, когда Иван Иванович поравнялся с началом платформы. Тогда конца платформы он достиг в момент 30 секунд. За Х сек. Обозначим момент, когда Иван Иванович выглянул в окно. Следовательно, число Х случайным образом выбирается из отрезка . С Иваном поравнялся в момент 15 секунд. Он увидел Ивана Никифоровича, только если он выглянул в окно не позже этого момента, но не раньше, чем за 10 секунд до этого. Таким образом, нужно найти геометрическую вероятность события . По формуле находим

.

«Вероятностная подоплека»

В самом начале поэмы «Мертвые души» два мужика спорят относительно того, как далеко доедет колесо в экипаже Чичикова:

«…два русских мужика, стоявших у дверей кабака против гостиницы, сделали кое-какие замечания, относившиеся впрочем, более к экипажу, чем к сидевшему в нем. «Вишь ты», сказал один другому: «вон какое колесо! Что ты думаешь, доедет то колесо, если б случилось, в Москву, или не доедет?» - «Доедет», отвечал другой. «А в Казань-то, я думаю, не доедет?» «В Казань не доедет», отвечал другой».

Задачи для решения.

1. Найти вероятность того, что точка случайным образом брошенная в квадрат ABCD со стороной 4 попадет в квадрат A1B1C1D1 со стороной 3, находящийся внутри квадрата ABCD.

Ответ. 9/16.

2. Два лица А и В договорились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 900 до 1000. Каждый из них приходит наудачу (в указанный промежуток времени), независимо от другого и ожидает 10 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

Ответ. 11/36.

3. В отрезке АВ длины 3 случайно появляется точка С. Определить вероятность того, что расстояние от точки С до В превосходит 1.

Ответ. 2/3.

4. В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определите вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг.

5. Буратино посадил на прямоугольный лист размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

6. В окружность вписан квадрат ABCD. На этой окружности случайным образом выбирается точка М. Найдите вероятность того, что эта точка лежит на: а) меньшей дуге АВ; б) большей дуге АВ.

Ответ. а) 1/4; б) 3/4.

7. На отрезок случайным образом бросается точка Х. С какой вероятностью выполняется неравенство: а) ; б) ; в) ?

Ответ. а) 1/3; б) 1/3; в) 1/3.

8. Про село Иваново известно только, что оно находится где-то на шоссе между Миргородом и Старгородом. Длина шоссе равна 200 км. Найдите вероятность того, что:

а) от Миргорода до Иваново по шоссе меньше 20 км;

б) от Старгорода до Иваново по шоссе больше 130 км;

в) Иваново находится менее чем в 5 км от середины пути между городами.

Ответ. а) 0,1; б) 0,35; в) 0,05.

Дополнительный материал

Геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы множество элементарных событий F и множество G, представляющее событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений.

2. Случайная точка Х равномерно распределена в квадрате . Найти вероятность того, что квадрат с центром Х и сторонами длины b, параллельными осям координат, целиком содержится в квадрате А.

Литература:

1. Теория вероятностей и статистика / , . – 2-е изд., переработанное. – М.: МЦНМО: учебники», 2008. – 256 с.: ил.

2. Теории вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel / , . – Изд. 4-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 475 с.: ил. – (Высшее образование).

3. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Пер. с англ./Под ред. . 3-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 88 с.

4. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. Пособие для вузов./, – 2-е изд., испр. И доп. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит. – 1989. – 320с.

5. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. Пособие для 9-11 кл. сред. шк./ – 3-е изд. перераб. – М.: Просвещение, 1990. – 160 с.

Рабочая точка есть точка С, расположенная на нагрузочной линии, характеризующаяся значениями I С и U С, которые определяют напряжение и ток коллектора в статическом режиме работы усилителя (в отсутствии входного сигнала). Положение рабочей точки определяется тем, кто рассчитывает усилитель, исходя из следующих соображений:

1. Если мы хотим получить на выходе максимальное выходное напряжение U вых, то положение рабочей точки С выбирается в середине рабочего участка нагрузочной линии. При таком положении точки С она оказывается расположенной в середине интервала напряжения DU K , а так как изменение U K соответствует изменению выходного напряжения, то в DU K укладывается полный выходной сигнал, и соответствуетU ампл. выходного сигнала.

2. Во всех остальных случаях рабочая точка С смещается в направлении точки В. При этом выходной сигнал уменьшается. Смещение точки С в направлении точки В обуславливает минимальное потребление электроэнергии в статическом режиме работы.

Пусть положение точки С выбирается из условия получения максимального выходного сигнала (в середине рабочей области нагрузочной линии). Определяем для С значения I K С и U K С (Рис. 8), эти значения определяют статический режим работы усилителя. Таким образом, мы при выполнении 1, 2 и 3 этапов определили R Н, U KC , I KC , DI K , DU K .

4. Перенос рабочей точки с на семейство входных характеристик.

Так как нагрузочная линия пересекает выходные характеристики, а каждая выходная характеристика определяется для конкретного тока базы, то каждая из точек пересечения соответствует определенному значению тока базы. Это позволяет проградуировать нагрузочную линию в значениях тока базы и рассматривать её как ось тока базы

Введя ось тока базы, мы можем определить значение I б, соответствующее точке С.

Определим значение I бС.

Перейдем к рассмотрению семейства входных характеристик (Рис. 9).

Осуществим перенос рабочей точки С на семейство входных характеристик. Для этого на оси тока базы отметим значение тока базы, соответствующее I бС. Проведем через точку, соответствующую I бС, прямую, параллельную оси U бэ.

Эта прямая пересечет семейство входных характеристик. Каждая входная характеристика определялась для конкретного значения U К, следовательно точки пересечения прямой линии и входных характеристик будут соответствовать конкретным значениям U к, что позволяет совместить прямую с осью напряжений на коллекторе. На этой проградуированной оси отметим точку, соответствующую U кС. Эта точка и будет точкой С. Перенесем таким же образом точки А и В на входные характеристики и построим по ним нагрузочную линию (Рис. 10). Она не обязательно будет прямой линией. Следует не забывать, что транзистор - нелинейный прибор.

Определим для точки С напряжениеU бэС.

5. Расчет делителя на входе усилителя.

Будем исходить из допущения, что

I дел >>I б max >I бС

Тогда общее сопротивление R делителя определится:

, током базы можно пренебречь.

R 1 =R-R 2

6. Моделирование работы усилителя.

Проведем моделирование работы усилителя на основе биполярного транзистора.

Будем предполагать, что рассматривается схема усилителя, рассмотренная перед этим. Нам даны семейства входных и выходных характеристик для биполярного транзистора, используемого в схеме усилителя. Входной сигнал описывается соотношением:

U вых =U 0 sin wt

Будем полагать, что входной сигнал представляет собой идеальную синусоиду.

Пусть амплитудное значение равно 1 или 10, тогда U вых »sinj, а синусоиду построить достаточно легко, воспользовавшись табличными значениями sinj.

Обратимся к семейству входных характеристик. На семействе входных характеристик построена нагрузочная линия АСВ. Проведем через точку С прямую, перпендикулярную к оси U бэ, и продолжим её вниз. Построенная линия будет представлять собой ось времени t, на которой мы построим нашу синусоиду.

Полный период синусоиды состоит из положительного и отрицательного полупериодов и соответствует
или 360 0 . Разобьем каждый полупериод на участки относительно оси t, равные 15 0 , и спроецируем точки синусоиды, соответствующие этим значениям, на нагрузочную линию.

Построим дополнительную ось t | , проводя через точку С линию, параллельную оси U бэ. На этой оси за осью I б выделим участки, соответствующие 15 0 периода входного сигнала. Они должны равными интервалам 15 0 на оси t. Проведем через каждую точку линии, перпендикулярные оси t | . После этого через точки, лежащие на нагрузочной линии (точки проецирования), проведем линии, параллельные оси t | , до пересечения с вспомогательными линиями, построенными к оси t | . По точкам пересечения построим синусоиду. Построенная синусоида может отличаться от синусоиды входного сигнала, так как транзистор все же нелинейный прибор и об этом нельзя забывать. Построенная синусоида показывает, как изменяется ток базы при изменении входного сигнала (Рис. 11).

На втором этапе моделирования входной сигнал (синусоиду тока базы) нужно перенести на семейство выходных характеристик. Для этого проделаем некоторую предварительную работу.

Воспользуемся тем, что нагрузочная прямая может быть представлена осью тока базы. Градуировка оси I б достаточно проста. Каждая кривая I б =f(U б) соответствует конкретному значению I б, и точка пересечения с линией нагрузки соответствует этому значению I б.

Проведем через точку С ось t || , перпендикулярную к оси I б и перенесем на неё синусоиду тока базы с семейства входных характеристик. При переносе следует не забывать, что мы переносим не её геометрический образ, а значения токов базы.

Строим вспомогательную ось t ||| , проходящую через точку С, параллельную оси U К, и проецируем на неё построенную синусоиду, используя прямую нагрузки как вспомогательную ось. Вся процедура моделирования показана на рисунках 11 и 12.

Заочники.

Заочники пользуются данными методическими указаниями при выполнении контрольной работы №1. По таблицам строятся семейства входных и выходных характеристик. Определяются значения h 11 иh 21 . Значение К u соответствует двум последним цифрам номера зачетки. Расчет проводится в соответствии с указаниями, включая моделирование работы УНЧ.