Гипермаркет знаний >>Математика >>Математика 10 класс >>
Показательная функция, ее свойства и график
Рассмотрим выражение 2х и найдем его значения при различных рациональных значениях переменной х, например, при х=2;
Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое значение выражения 2 х. Таким образом, можно говорить о показательной функции у=2 х, определенной на множестве Q рациональных чисел:
Рассмотрим некоторые свойства этой функции.
Свойство 1.
- возрастающая функция. Доказательство осуществим в два этапа.
Первый этап.
Докажем, что если r - положительное рациональное число, то 2 r >1.
Возможны два случая: 1) r - натуральное число, r = n; 2) обыкновенная несократимая дробь
,
В левой части последнего неравенства имеем , а в правой 1. Значит, последнее неравенство можно переписать в виде
Итак, в любом случае выполняется неравенство 2 г > 1, что и требовалось доказать.
Второй этап.
Пусть x 1 и x 2 - числа, причем x 1 и x 2 < х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(мы обозначили разность х 2 -х 1 буквой r).
Так как r- положительное рациональное число, то по доказанному на первом этапе 2 r > 1, т.е. 2 r -1 >0. Число2х" также положительно, значит, положительным является и произведение 2 x-1 (2 Г -1). Тем самым мы доказали, что справедливо неравенство 2 Хг -2х" >0.
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
Свойство 2.
ограничена снизу и не ограничена сверху.
Ограниченность функции снизу следует из неравенства 2 х >0, справедливого для любых значений х из области определения функции. В то же время какое бы положительное число М ни взять, всегда можно подобрать такой показатель х, что будет выполняться неравенство 2 х >М - что и характеризует неограниченность функции сверху. Приведем ряд примеров.
Свойство 3.
не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
То, что данная функция не имеет наибольшего значения, очевидно, поскольку она, как мы только что видели, не ограничена сверху. Но снизу она ограничена, почему же у нее нет наименьшего значения?
Предположим, что 2 г - наименьшее значение функции (r - некоторый рациональный показатель). Возьмем рациональное число q <г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
Все это хорошо, скажете вы, но почему мы рассматриваем функцию у-2 х только на множестве рациональных чисел, почему мы не рассматриваем ее, как другие известные функции на всей числовой прямой или на каком-либо сплошном промежутке числовой прямой? Что нам мешает? Обдумаем ситуацию.
Числовая прямая содержит не только рациональные, но и иррациональные числа. Для изученных ранее функций это нас не смущало. Например, значения функции у = х 2 мы одинаково легко находили как при рациональных, так и при иррациональных значениях х: достаточно было заданное значение х возвести в квадрат.
А вот с функцией у=2 x дело обстоит сложнее. Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе x вычислить можно (вернитесь еще раз к началу параграфа, где мы именно это и делали). А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить? Этого мы пока не знаем.
Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.
Известно, что 
Рассмотрим последовательность рациональных чисел - десятичных приближений числа по недостатку:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0.
Тогда получим возрастающую последовательность:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Соответственно возрастает и последовательность
Все члены этой последовательности - положительные числа, меньшие, чем 22, т.е. эта последовательность - ограниченная. Апо теореме Вейерштрасса (см. § 30), если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, из § 30 нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения . И неважно, что найти даже приб-лиженное значение числового выражения 2 очень трудно; важно, что это - конкретное число (в конце концов, мы же не боялись говорить, что, например, - корень рационального уравнения, 
корень тригонометрического уравнения, не особенно задумываясь над тем, а что же это конкретно за числа: 
Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ 2^. Аналогично можно определить, что такое и вообще, что такое а a , где а - иррациональное число и а > 1.
А как быть в случае, когда 0 <а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Доказано, что степени с любыми действительными показателями обладают всеми привычными свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении - вычитаются, при возведении степени в степень - перемножаются и т.д. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции у-ах, определенной на множестве всех действительных чисел.
Вернемся к функции у = 2 х, построим ее график. Для этого составим таблицу значений функции у=2 x:
Отметим точки на координатной плоскости (рис. 194), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 195).
Свойства функции у - 2 х:
1)
2) не является ни четной, ни нечетной; 248
3) возрастает;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз.
Строгие доказательства перечисленных свойств функции у-2 х приводят в курсе высшей математики. Часть этих свойств мы в той или иной мере обсудили ранее, часть из них наглядно демонстрирует построенный график (см. рис. 195). Например, отсутствие четности или нечетности функции геометрически связано с отсутствием симметрии графика соответственно относительно оси у или относительно начала координат.
Аналогичными свойствами обладает любая функция вида у=а х, где а >1. На рис. 196 в одной системе координат построены, графики функций у=2 х, у=3 х, у=5 х.
Рассмотрим теперь функцию , составим для нее таблицу значений:
Отметим точки на координатной плоскости (рис. 197), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 198).
Свойства функции
1)
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз.
Аналогичными свойствами обладает любая функция вида у=а х, гдеО <а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Обратите внимание: графики функций 
т.е. у=2 х, симметричны относительно оси у (рис. 201). Это - следствие общего утверждения (см. § 13): графики функций у = f(х) и у = f(-х) симметричны относительно оси у. Аналогично будут симметричны относительно оси у графики функций у = 3 х и
Подводя итог сказанному, дадим определение показательной функции и выделим наиболее важные ее свойства.
Определение.
Функцию вида называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции у =а x
График функции у=а х для а> 1 изображен на рис. 201, а для 0 <а < 1 - на рис. 202.
Кривую, изображенную на рис. 201 или 202, называют экспонентой. На самом деле математики экспонентой обычно.называют саму показательную функцию у=а х. Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обычно по смыслу бывает ясно, идет речь о показательной функции или о ее графике.
Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции у=ах: ось х является горизонтальной асимптотой графика. Правда, обычно это утверждение уточняют следующим образом.
Ось х является горизонтальной асимптотой графика функции
Иными словами
Первое важное замечание. Школьники часто путают термины: степенная функция, показательная функция. Сравните:
Это примеры степенных функций;
- это примеры показательных функций.
Вообще, у = х г, где г - конкретное число, - степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);
у = а", где а - конкретное число (положительное и отличное от 1), - показательная функция (аргумент х содержится в показателе степени).
Атакую «экзотическую» функцию, как у = х", не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).
Второе важное замечание. Обычно не рассматривают показательную функцию с основанием а = 1 или с основанием а, удовлетворяющим неравенству а <0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0и а Дело в том, что если а = 1, то для любого значения х выполняется равенство Iх = 1. Таким образом, показательная функция у = а" при а = 1 «вырождается» в постоянную функцию у = 1 - это неинтересно. Если а = 0, то 0х = 0 для любого положительного значения х, т.е. мы получаем функцию у = 0, определенную при х >0, - это тоже неинтересно. Если, наконец, а <0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что показательная функция существенно отличается от всех функций, которые вы изучали до сих пор. Чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет много.
Пример 1.
Решение , а) Построив в одной системе координат графики функций у = 2 х и у = 1, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (0; 1). Значит, уравнение 2х = 1 имеет единственный корень х =0.
Итак, из уравнения 2х =2° мы получили х=0.
б) Построив в одной системе координат графики функций у = 2 х и у=4, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (2; 4). Значит, уравнение 2х =4 имеет единственный корень х=2.
Итак, из уравнения 2 х =2 2 мы получили х=2.
в) и г) Исходя из тех же соображений, делаем вывод, что уравнение 2 х =8 имеет единственный корень, причем для его отыскания графики соответствующих функций можно и не строить;
ясно, что х=3, поскольку 2 3 =8. Аналогично находим единственный корень уравнения
Итак, из уравнения 2х = 2 3 мы получили х = 3, а из уравнения 2 х = 2 x мы получили х = -4.
д) График функции у = 2 х расположен выше графика функции у = 1 при x >0 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х > 1 служит промежуток
е) График функции у = 2 x расположен ниже графика функции у = 4 при х<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Вы заметили, наверное, что в основе всех выводов, сделанных при решении примера 1, лежало свойство монотонности (возрастания) функции у=2 х. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем.
Решение. Можно действовать так: построить график функции у-3 х, затем осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а затем полученный график поднять вверх на 2 единицы масштаба. Но удобнее воспользоваться тем, что 3- 3* =3 *+1, и, следовательно, строить график функции у=З х*1 + 2.
Перейдем, как неоднократно уже делали в таких случаях, к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 2) - пунктирные прямые х = - 1 и 1x = 2 на рис. 207. «Привяжем» функцию у=3* к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции 
, но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 207). Затем по точкам построим экспоненту - это и будет требуемый график (см. рис. 207).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке [-2, 2], воспользуемся тем, что заданная функция возрастает, а потому свои наименьшее и наибольшее значения она принимает соответственно в левом и правом концах отрезка.
Итак:
Пример 4. Решить уравнение и неравенства:
Решение , а) Построим в одной системе координат графики функций у=5* и у=6-х (рис. 208). Они пересекаются в одной точке; судя по чертежу, это - точка (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению у = 5*, и уравнению у=6-х. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения.
Итак, уравнение 5 х = 6- х имеет единственный корень х = 1.
б) и в) Экспонента у- 5х лежит выше прямой у=6-х, если х>1, - это хорошо видно на рис. 208. Значит, решение неравенства5*>6-х можно записать так: х>1. А решение неравенства 5х <6 - х можно записать так: х < 1.
Ответ: а)х = 1; б)х>1; в)х<1.
Пример 5.
Дана функция 
Доказать, что 
Решение.
По условию Имеем.
Показательная функция
Функция вида y = a x , где a больше нуля и а не равно единице называется показательной функцией. Основные свойства показательной функции:
1. Областью определения показательной функции будет являться множество вещественных чисел.
2. Область значений показательной функции будет являться множество всех положительных вещественных чисел. Иногда это множество для краткости записи обозначают как R+.
3. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0
4. Справедливы будет все основные свойства степеней. Основные свойства степеней представлены следующим равенствами:
a x *a y = a (x + y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x ) y = a (x * y) .
Данные равенства будут справедливы для все действительных значений х и у.
5. График показательной функции всегда проходит через точку с координатами (0;1)
6. В зависимости от того возрастает или убывает показательная функция, её график будет иметь один из двух видов.
На следующем рисунке представлен график возрастающей показательной функции: a>0.
На следующем рисунке представлен график убывающей показательной функции: 0
И график возрастающей показательной функции и график убывающей показательной функции согласно свойству, описанному в пятом пункте, проходят через точку (0;1).
7. Показательная функция не имеет точек экстремума, то есть другими словами, она не имеет точек минимума и максимума функции. Если рассматривать функцию на каком-либо конкретном отрезке, то минимальное и максимальное значения функция будет принимать на концах этого промежутка.
8. Функция не является четной или нечетной. Показательная функция это функция общего вида. Это видно и из графиков, ни один из них не симметричен ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.
Логарифм
Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.
Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
А теперь - собственно, определение логарифма:
Определение
Логарифм по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.
Обозначение
log
a x =
b
где
a - основание,
x - аргумент,
b - собственно, чему равен логарифм.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием . Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Важно понимать, что логарифм - это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где - аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами - не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм - это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень - на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии - и никакой путаницы не возникает.
С определением разобрались - осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Вычислите логарифм: log 5 25
Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b ⇒
(5 1) b = 5 2 ⇒
5 b = 5 2 ⇒
b = 2;
Получили ответ: 2.
Вычислите логарифм:
Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;
Составим и решим уравнение:
Получили ответ: −4.
−4
Вычислите логарифм: log 4 64
Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Составим и решим уравнение:
log 4 64 = b ⇒
(2 2) b = 2 6 ⇒
2 2 b = 2 6 ⇒
2b = 6 ⇒
b = 3;
Получили ответ: 3.
Вычислите логарифм: log 16 1
Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Составим и решим уравнение:
log 16 1 = b ⇒
(2 4) b = 2 0 ⇒
2 4 b = 2 0 ⇒
4b = 0 ⇒
b = 0;
Получили ответ: 0.
Вычислите логарифм: log 7 14
Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
Ответ - без изменений: log 7 14.
log 7 14
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто - достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.
Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точная степень;
35 = 7 · 5 - снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 - опять не точная степень;
8, 81 - точная степень; 48, 35, 14 - нет.
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Определение
Десятичный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x.
Обозначение
lg x
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.д.
Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg
x = log
10
x
Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Определение
Натуральный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x.
Обозначение
ln x
Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...
Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e - основание натурального логарифма:
ln
x = log
e x
Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.д. С другой стороны, ln 2 - иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.
Основные свойства логарифмов
Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.
Эти правила обязательно надо знать - без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного - все можно выучить за один день. Итак, приступим.
Сложение и вычитание логарифмов
Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:
log a x + log a y = log a ( x · y );
log a x − log a y = log a ( x : y ).
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность - логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!
Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок « »). Взгляните на примеры - и убедитесь:
Найдите значение выражения: log 6 4 + log 6 9.
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.
Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.
Основания одинаковые, используем формулу разности:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.
Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные - подобные выражения на полном серьезе (иногда - практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.
Вынесение показателя степени из логарифма
Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить - в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.
Найдите значение выражения: log 7 49 6 .
Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12
Найдите значение выражения:
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:
Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели - получили «трехэтажную» дробь.
Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7. Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь - в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.
Переход к новому основанию
Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?
На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:
Теорема
Пусть дан логарифм log a x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
В частности, если положить c = x, получим:
Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе .
Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:
Найдите значение выражения: log 5 16 · log 2 25.
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
А теперь «перевернем» второй логарифм:
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Найдите значение выражения: log 9 100 · lg 3.
Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
Основное логарифмическое тождество
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Вторая формула - это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество .
В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз - многие на нем «зависают».
Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
Заметим, что log 25 64 = log 5 8 - просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
200
Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ:)
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами - скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.
log a a = 1 - это логарифмическая единица . Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
log a 1 = 0 - это логарифмический ноль . Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица - логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 - это прямое следствие из определения.
Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике!
Концентрация внимания:
Определение. Функция вида называется показательной функцией .
Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:
Само аналитическое выражение a x в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения x y точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.
Построить графики функций: и .
 |
 |
| График показательной функции | |
| y = a x , a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Свойства показательной функции
| Свойства показательной функции | y = a x , a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Область значений функции | ||
| 3.Промежутки сравнения с единицей | при x > 0, a x > 1 | при x > 0, 0< a x < 1 |
| при x < 0, 0< a x < 1 | при x < 0, a x > 1 | |
| 4. Чётность, нечётность. | Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). | |
| 5.Монотонность. | монотонно возрастает на R | монотонно убывает на R |
| 6. Экстремумы. | Показательная функция экстремумов не имеет. | |
| 7.Асимптота | Ось O x является горизонтальной асимптотой. | |
| 8. При любых действительных значениях x и y ; |  |
|
Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.
Задание № 1. (Для нахождения области определения функции).
Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:
Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).
На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:
 |
 |
 |
 |
Задание № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей).
Каждую из следующих степеней сравните с единицей:
Задание № 4. (Для исследования функции на монотонность).
Сравнить по величине действительные числа m и n если:
Задание № 5. (Для исследования функции на монотонность).
Сделайте заключение относительно основания a , если:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
В одной координатной плоскости построены графики функций:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
| Число
одна из важнейших постоянных в математике. По
определению, оно равно пределу
последовательности
при
неограниченном
возрастании n
.
Обозначение e
ввёл Леонард Эйлер
в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в
десятичной записи, а само число назвали в честь
Непера «неперовым числом».
Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e , называется экспонентой и обозначается y = e x . Первые знаки числа e запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого - два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять. |
 |
Домашнее задание:
Колмогоров п. 35; № 445-447; 451; 453.
Повторить алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
1.Показательная функция – это функция вида у(х) =а х, зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).
Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2
Если а = 0 – функция у = определена и имеет постоянное значение 0
в) а =1
Если а = 1 – функция у = определена и имеет постоянное значение 1
Область определения функции (ООФ) Область допустимых значений функции (ОДЗ) 3. Нули функции (у = 0) 4. Точки пересечения с осью ординат oy (x = 0) 5. Возрастания, убывания функции Если , то функция f(x) возрастает 6. Чётность, нечётность функции Функция у = не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида) 7. Функция у = экстремумов не имеет 8. Свойства степени с действительным показателем: Пусть а > 0; a≠1 Тогда для xϵR; yϵR: Свойства монотонности степени: если , то Если a> 0, , то . 9. Относительное расположение фунцкции Чем больше основание а, тем ближе к осям ох и оу a > 1, a = 20 Пример 1. Введем сначала определение показательной функции. Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$. Введем свойства показательной функции, при $a >1$.
\ \[корней\ нет.\] \ Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке $(0,1)$. $f""\left(x\right)={\left(a^xlna\right)}"=a^x{ln}^2a$
\ \[корней\ нет.\] \ График (рис. 1). Рисунок 1. График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.
Введем свойства показательной функции, при $0 Область определения -- все действительные числа. $f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ -- функция ни четна, ни нечетна. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения. Область значения -- интервал $(0,+\infty)$. $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$
\ \[корней\ нет.\] \ \[корней\ нет.\] \ Функция выпукла на всей области определения. Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=0\] График (рис. 2). Исследовать и построить график функции $y=2^x+3$. Решение.
Проведем исследование по примеру схемы выше: Область определения -- все действительные числа. $f\left(-x\right)=2^{-x}+3$ -- функция ни четна, ни нечетна. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения. Область значения -- интервал $(3,+\infty)$. $f"\left(x\right)={\left(2^x+3\right)}"=2^xln2>0$ Функция возрастает на всей области определения. $f(x)\ge 0$ на всей области определения. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,4)$ $f""\left(x\right)={\left(2^xln2\right)}"=2^x{ln}^22>0$ Функция выпукла на всей области определения. Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0\] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty \] График (рис. 3). Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=2^x+3$
2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:
0
Если , то функция f(x) убывает
Функция y= , при 0
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.
b> 0; b≠1
Например:
Показательная функция непрерывна в любой точке ϵ R.
Если а0, то показательная функция принимает вид близкий к y = 0.
Если а1, то дальше от осей ох и оу и график принимает вид близкий к функции у = 1.
Построить график у =
Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $0
Пример задачи на построение показательной функции
