Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
Поповская средняя общеобразовательная школа
имени Героя Советского Союза Н.К. Горбанева
Открытый урок
учителя математики
Ворониной Веры Владимировны,
по математике в 9 классе
по теме: «Графический способ решения систем уравнений»
Тип урока: урок изучения нового материала.
2017/2018 учебный год
Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс
Воронина Вера Владимировна, учитель математики.
ли урока:
дидактические:
открыть совместнос учащимися новый способ решения систем уравнений;
вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;
уметь определять сколько решений имеет система уравнений;
учить находить решения системы уравнений графическим способом;
повторить построение графиков элементарных функций;
создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:
воспитательные:
воспитание ответственного отношения к труду,
аккуратности ведения записей.
Ход урока.
I. Организационный момент.
Что такое функция? (слайд 3-11)
Что называется графиком функции?
Какие виды функций вы знаете?
Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?
Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?
Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?
Каким уравнением задается уравнение окружности?
Что называют графиком уравнения с двумя переменными; (слайд 12)
Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их графиками (строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой). (слайд 13-16)
Рассказ учителя сопровождается показом слайдов с данными графиками.
Выразите переменную у через переменную х:
а) у - х² = 0
б) х + у + 2 = 0
в) 2х - у + 3 = 0
г) ху = -12
Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
а) х² +у = 1;
б) ху + 3 = х;
в) у(х +2) = 0.
Что является решением системы уравнений с двумя переменными?
Какая из пар чисел является решением системы уравнений
а) (6; 3)
б) (- 3; - 6)
в) (2; - 1)
г) (3; 0)
Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1)
а) 2х - у = 3
б) 3х - 2у = 5
в) х² + у² = 4
г) ху = 2
III. Актуализация знаний учащихся по изученному материалу . (слайд 20, 21)
Сегодня мы повторим и закрепим один из способов решения систем уравнений. Закрепление изученного материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.
Вопросы по данному слайду:
Что является графиком уравнения x² + y²=25?
Что является графиком уравнения y = - x² +2x +5?
Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = - x² +2x +5.
Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?
Сколько точек пересечения у данных графиков?
Сколько решений имеет данная система?
Назвать эти решения?
Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?
Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.
Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.
IV. Применение изученного способа решения систем уравнений.
1. Решить графически систему уравнений (слайд 23)
Что является графиком уравнения ху = 3?
Что является графиком уравнения 3х - у =0?
2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 24)
Постановка наводящих вопросов:
Запишите систему, определяемую данными уравнениями?
Сколько точек пересечения имеют данные графики?
Сколько решений имеет данная система уравнений?
Назвать решения данной системы уравнений?
3. Выполнение задание из ГИА (слайд 25).
4. Решить графически систему уравнений (слайд 26)
Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.
V. Итоги урока.
Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными вы познакомились?
В чём его суть?
Дает ли данный способ точные результаты?
В каком случае система уравнений не будет иметь решений?
VI . Домашнее задание.
П. 18, №№ 420 (237), 425 (240)
На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.
Тема: Системы уравнений
Урок: Графический метод решения системы уравнений
Рассмотрим систему
Пару чисел которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений .
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.
Пример 1. Решить систему 
Решение:
Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и есть решение системы уравнений (Рис. 1).
Решением системы является пара чисел Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.
Мы получили единственное решение линейной системы.
Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:
cистема имеет единственное решение - прямые пересекаются,
система не имеет решений - прямые параллельны,
система имеет бесчисленное множество решений - прямые совпадают.
Мы рассмотрели частный случай системы, когда p(x; y) и q(x; y) - линейные выражения от x и y.
Пример 2. Решить систему уравнений 
Решение:
График первого уравнения - прямая, график второго уравнения - окружность. Построим первый график по точкам (Рис. 2).
Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.
Графики пересекаются в т. А(0; 1) и т. В(-1; 0).
Пример 3. Решить систему графически
Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения - парабола. Она сдвинута относительно начала координат на 2 вверх, т.е. ее вершина - точка (0; 2) (Рис. 3).
Графики имеют одну общую точку - т. А(0; 2). Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.
Пример 4. Решить систему
Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1 (Рис. 4).
Построим график функции Это ломаная (Рис. 5).
Теперь сдвинем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет график функции
Поместим оба графика в одну систему координат (Рис. 6).
Получаем три точки пересечения - т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).
Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.
Но часто графический метод даёт возможность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нужны и другие методы, более точные, и ими мы займемся на следующих уроках.
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Раздел College.ru по математике ().
2. Интернет-проект «Задачи» ().
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 105, 107, 114, 115.
АЛГЕБРА 9 КЛАСС
Графический способ
решения систем уравнений
1. Найдите по графику:
а) нули функции;
б) область значений функции;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
с) промежутки, в которых у ≤0, у≥0.
d ) наименьшее значение функции.
1.Из предложенных формул выберите ту формулу,
которая задает функцию, представленную на графике
а ) у = - 3х+1; б) у = 2х+1;
в) у =3х+1 .
Из предложенных формул выберите ту формулу, которая
задает функцию, представленную на графике
б) у = - 2x 2 ; в) у = x 2 +1.
а) у = х 2 ;
Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию, представленную на графике.
б) у = 2 х 3 ; в) y =х 3
а) у= 0,5х 3 ;
Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию, представленную на графике
а) у= 4/х; б) у= - 4/х;
Линейное уравнение с
одной переменной
ax=b
- Линейное уравнение с
двумя переменными
Уравнение с двумя переменными
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство
Уравнение
Выражаем у через х
3х+2у=6
2у-х 2 =0
Данной формулой задается …..
Графиком служит
2х+у=0
гипербола
квадратичная
функция
у= -1,5х+3
Линейная
функция
прямая
у=0,5 х 2
обратная
пропорц-ность
у= -2х
парабола
прямая, пр-я
через нач. коорд.
прямая
пропорц-ность
Эллипс
х 2 у= 4 (2-у),
у=8 /(х 2 +4)
Система уравнений и её решение
Определения
- Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно
- Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
- Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет
Способ
подстановки
Способ
сложения
Методы решения систем уравнений
Способ
подстановки
Способ
сложения
Графический способ
решения систем уравнений
1.Выразить у через х в каждом уравнении.
2.Построить в одной системе координат график
каждого уравнения.
3.Выразить у через х в каждом уравнении.
4.Построить в одной системе координат график
каждого уравнения
5.Определить координаты точки пересечения
графиков.
6.Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)
Решение системы графическим способом
Выразим у
Построим график
первого уравнения
Построим график второго
уравнения -окружность с
центром в точке О(0;0) и
радиуса 2.
Решение системы графическим способом
Выразим у
Построим график
первого уравнения
Построим график второго
уравнения -окружность с
центром в точке О(0;0) и
радиуса 2.
х 2 +у 2 =4*
Система имеет 2 решения:
Ответ: (0;2), (-2;0)
1.Мы зарядку начинаем,
Наши руки разминаем,
Разминаем спину, плечи,
Чтоб сидеть нам было легче
2. Крутим-вертим головой.
Разминаем шею, стой!
Раз, два, три –наклон направо,
Раз, два, три- теперь налево.
3. А теперь остановись!
Поднимаем руки выше,
Вдох и выдох. Глубже дышим.
А теперь за парты сядем.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Система уравнений является набором математических уравнений, каждое из которых имеет определенное количество переменных. Систему принято обозначать фигурной скобкой и все, что под данной скобкой - члены системы. Для решения систем данного рода применяют множество разнообразных способов.
Решить систему уравнений означает найти все ее возможные корни или доказать то, что их не существует. Чтобы решить системы уравнений с двумя переменными обычно используют следующие методы: графический способ, способ подстановки и способ сложения.
Допустим, дана система, которую нужно решить графически методом:
\[ \left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2x+4y-20=0\\ 2x-y=-1 \end{matrix}\right.\]
Чтобы решить систему уравнений графическим методом нужно:
* построить графики уравнений в одной системе координат;
* определить координаты точек пересечения этих графиков, которые являются решением системы;
Выделяя полные квадраты, получаем:
Основываясь на этом получим:
\[\left\{\begin{matrix}(x-1)^2+(y+2)^2)=25\\ 2x-y=-1 \end{matrix}\right.\]
Графиком первого уравнения \[(x-1)^2+(y+2)^2=25\] является окружность с центром \ и радиусом 5. Графики уравнений представлены на рисунке 6.
Графиком второго уравнения \ является уравнение прямой, проходящей через точки \ и \ Строим окружность радиусом 5 с центром в точке \ и проводим прямую через точки \ и \ Эти линии пересекаются в двух точках \ и \
Исходя из этого решение системы: \
Ответ: \[(1;3); (-3;-5);\]
Где можно решить систему уравнений графическим методом онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Рассмотрим следующие уравнения:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x 2 + y 2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Каждое из представленных выше уравнений является уравнением с двумя переменными. Множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство, называется графиком уравнения с двумя неизвестными .
График уравнения с двумя переменными
Уравнения с двумя переменными имеют большое многообразие графиков. Например, для уравнения 2*x + 3*y = 15 графиком будет прямая линия, для уравнения x 2 + y 2 = 4 графиком будет являться окружность с радиусом 2, графиком уравнения y*x = 1 будет являться гипербола и т.д.
У целых уравнений с двумя переменными тоже существует такое понятие, как степень. Определяется эта степень, так же как для целого уравнения с одной переменной. Для этого приводят уравнение к виду, когда левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая - нуль. Это осуществляется путем равносильных преобразований.
Графический способ решения систем уравнения
Разберемся, как решать системы уравнений, которые будут состоять из двух уравнений с двумя переменными. Рассмотрим графический способ решения таких систем.
Пример 1. Решить систему уравнений:
{ x 2 + y 2 = 25
{y = -x 2 + 2*x + 5.
Построим графики первого и второго уравнений в одной системе координат. Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Графиком второго уравнения будет являться парабола с ветвями, опущенными вниз.
Все точки графиков будут удовлетворять каждый своему уравнению. Нам же необходимо найти такие точки, которые будут удовлетворять как первому, так и второму уравнению. Очевидно, что это будут точки, в которых эти два графика пересекаются.
Используя наш рисунок находим приблизительные значения координат, в которых эти точки пересекаются. Получаем следующие результаты:
A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).
Значит, наша система уравнений имеет четыре решения.
x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.
Если подставить данные значения в уравнения нашей системы, то можно увидеть, что первое и третье решение являются приближенными, а второе и четвертое - точными. Графический метод часто используется, чтобы оценить количество корней и примерные их границы. Решения получаются чаще приближенными, чем точными.