На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке - на концах отрезка.
Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .
Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .
Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .
Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 2]
.
Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, - в критической точке .
![](https://i0.wp.com/function-x.ru/image/lgv1.jpg)
Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.
![](https://i0.wp.com/function-x.ru/image/extr21.jpg)
Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .
Решение. Находим производную данной функции как производную частного:
.
Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
![](https://i2.wp.com/function-x.ru/image/lgv4.jpg)
Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .
Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.
Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :
Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
.
Решение. Находим производную данной функции:
Приравниваем производную нулю:
Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .
В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.
Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?
Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :
Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём
.
Приравниваем производную нулю ()
и находим критическую точку . Кроме того,
при производная не
существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума.
Итак, - единственная
критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём
вторую производную .
При вторая производная
больше нуля (). Значит, при
функция достигает
минимума . Поскольку
этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением
. Итак,
сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться
Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума
функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x) Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума
функции `f`. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 5.1 (Ферма)
Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^"(a)=0`. Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна. Замечание. Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими
.
Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие. Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой. Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`. 1) Функция `y=f(x)` возрастает
2) Функция `y=f(x)` убывает
на `I`, если для любых `x,yinI`, `x Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна
на промежутке `I`. Условия монотонности
. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`. Условия экстремума
. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`. Пример 5.1 Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения. Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^"=3(x^2-1)`. Так как `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и ``. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^"=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет. Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной - задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Пример 5.2 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) ``. а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. б) Так как на луче ``, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.
Замечание Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение. Пример 5.3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`. Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице: `y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.
Определение
. Если функция f
(x
) определена на отрезке [a, b
], непрерывна в каждой точке интервала (a, b
), в точке a
непрерывна справа, в точке b
непрерывна слева, то говорят, что функция f
(x
) непрерывна на отрезке
[a, b
]. Другими словами, функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], если выполнены три условия: 1) "x
0 Î(a, b
): f
(x
) = f
(x
0); 2) f
(x
) = f
(a
); 3) f
(x
) = f
(b
). Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств. Теорема 1
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения. Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b
] найдется такая точка x
1 , что f
(x
1) £ f
(x
) для любых x
из [a, b
] и что найдется точка x
2 (x
2 Î[a, b
]) такая, что "x
Î[a, b
] (f
(x
2) ³ f
(x
)). Значение f
(x
1) является наибольшим для данной функции на [a, b
], а f
(x
2) – наименьшим. Обозначим: f
(x
1) = M
, f
(x
2) = m
. Так как для f
(x
) выполняется неравенство: "x
Î[a, b
] m
£ f
(x
) £ M
, то получаем следующее следствие из теоремы 1. Следствие
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема 2
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a,b
] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x
0 отрезка [a, b
], в которой функция обращается в 0, т.е. $x
0 Î (a, b
) (f
(x
0) = 0). Эта теорема утверждает, что график функции y = f
(x
), непрерывной на отрезке [a, b
], пересекает ось Ox
хотя бы один раз, если значения f
(a
) и f
(b
) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f
(a
) > 0, f
(b
) < 0 и функция f
(x
) обращается в 0 в точках x
1 , x
2 , x
3 . Теорема 3
. Пусть функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], f
(a
) = A
, f
(b
) = B
и A
¹ B
. (рис. 1.17). Тогда для любого числа C
, заключенного между числами A
и B
, найдется такая внутренняя точка x
0 отрезка [a, b
], что f
(x
0) = C
. Следствие
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], m
– наименьшее значение f
(x
), M
– наибольшее значение функции f
(x
) на отрезке [a, b
], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m
, заключенное между m
и M
, а потому отрезок [m, M
] является множеством всех значений функции f
(x
) на отрезке [a, b
]. Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b
) или имеет на отрезке [a, b
] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными. В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции. Теорема 4
. Пусть f
(x
) непрерывна на промежутке X
, возрастает (или убывает) на X
и имеет множеством значений промежуток Y
. Тогда для функции y = f
(x
) существует обратная функция x
= j
(y
), определенная на промежутке Y
, непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y
с множеством значений X
. Замечание
. Пусть функция x
= j
(y
) является обратной для функции f
(x
). Так как обычно аргумент обозначают через x
, а функцию через y
, то запишем обратную функцию в виде y =
j
(x
). Пример 1
. Функция y = x
2 (рис. 1.8, а) на множестве X
= оси Ох
, то обратная функция у
= φ
(х
) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c
;d
] оси Оу
(без доказательства). Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств. Теорема (Вейерштрасса)
. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Изображенная на рисунке 5 функция у
= f
(x
) непрерывна на отрезке [а
; b
], принимает свое наибольшее значение М
в точке x
1 , а наименьшее m -
в точке х
2 . Для любого х
[а
; b
] имеет место неравенство m
≤ f
(x
) ≤ М
. Следствие.
Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема (Больцано - Коши).
Если функция у
= f
(x
) непрерывна на отрезке [a
; b
] и принимает на его концах неравные значения f
(a
) = A
и f
(b
) = =В
, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А
и В
. Геометрически теорема очевидна (см. рис. 6). Для любого числа С
, заключенного между А
и В
, найдется точка с
внутри этого отрезка такая, что f
(с
) = С
. Прямая у
= С
пересечет график функции по крайней мере в одной точке. Следствие.
Если функция у
= f
(x
) непрерывна на отрезке [а
; b
] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а
; b
] найдется хотя бы одна точка с
, в которой данная функция f
(x
) обращается в нуль: f
(с
) = 0. Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох
на другую, то он пересекает ось Ox
(см. рис. 7). Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е.). Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения. Свойства функций, непрерывных на отрезке: функция непрерывность точка отрезок Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно: 1) Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Так функция, рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке, так как не определена в этой точке. 2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но, так как, а. 3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, они равны между собой, но не равны значению функции в точке: . Например, функция. Здесь - точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и, равные между собой, но, т. е. . Точки разрыва функции классифицируются следующим образом. Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке. Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, они равны между собой: , но сама функция не определена в точке, или определена, но. Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (или) не существует или равен бесконечности. Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б) Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах, и, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и. Найдем односторонние пределы функции в точке: Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: Для точки находим.
Напомним, что под промежутком понимается отрезок либо интервал, либо полуинтервал конечный или бесконечный.
Рис. 7.
Точки разрыва функции и их классификация