Формулы степеней с разными основаниями. Записи с меткой "примеры на свойства степени с натуральным показателем"

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 - b n и h 5 -d 4 есть a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат - это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 - это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Ответ: x 4 - y 4 .
Умножьте (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых - отрицательные .

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a - b, результат будет равен a 2 - b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Или:
$\frac{9a^3y^4}{-3a^3} = -3y^4$
$\frac{a^2b + 3a^2}{a^2} = \frac{a^2(b+3)}{a^2} = b + 3$
$\frac{d\cdot (a - h + y)^3}{(a - h + y)^3} = d$

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac{a^5}{a^3}$. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .

Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac{aa^n}{a} = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac{1}{h} = h^2.\frac{h}{1} = h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a^4}{3a^2}$ Ответ: $\frac{5a^2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6x^6}{3x^5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a - b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

9. Разделите (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Начальный уровень

Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2019)

Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Чтобы узнать все о степенях, о том для чего они нужны, как использовать свои знания в повседневной жизни читай эту статью.

И, конечно же, знание степеней приблизит тебя к успешной сдаче ОГЭ или ЕГЭ и к поступлению в ВУЗ твоей мечты.

Let"s go... (Поехали!)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Возведение в степень - это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно - 16 бутылок.

Теперь умножение.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики - люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем.


Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения . Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

И другой, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно -возведение числа в степень .

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени - это. И решают такие задачки в уме - быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел . Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью - кубом ? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Пример из жизни №1

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток (штук) и по другой тоже плиток. Умножив на, ты получишь плиток ().

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет (). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат - это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат - это изображение второй степени числа.

Пример из жизни №2

Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа... По одной стороне клеток и по другой тоже. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска - это квадрат со стороной, то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. () Так?

Пример из жизни №3

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно. Записывается это так: .

Остается только запомнить таблицу степеней . Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки - можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

Пример из жизни №4

У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты - умный! Итак, в первый год - два умножить на два… во второй год - то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени - миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

Пример из жизни №5

У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год - умножить на, потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или.

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Термины и понятия... чтобы не запутаться

Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени ? Это очень просто - это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

Ну и заодно, что такое основание степени ? Еще проще - это то число, которое находится внизу, в основании.

Вот тебе рисунок для верности.

Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:

Степень числа с натуральным показателем

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени - это натуральное число. Да, но что такое натуральное число ? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число. Ноль понять легко - это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.

Всякие дроби - это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа … Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число.

Резюме:

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

  1. Любое число в первой степени равно самому себе:
  2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
  3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:

Определение. Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
.

Свойства степеней

Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.

Посмотрим: что такое и ?

По определению:

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к множителям мы дописали множителей, итого получилось множителей.

Но по определению это степень числа с показателем, то есть: , что и требовалось доказать.

Пример : Упростите выражение.

Решение:

Пример: Упростите выражение.

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания!
Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что.

2. то и есть -ая степень числа

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -ая степень числа:

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать?

Но это неверно, ведь.

Степень с отрицательным основанием

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.

Но каким должно быть основание?

В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом . И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже.

Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число? А? ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на, получится.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Справился?

Вот ответы: В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным.

Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).

Пример 6) уже не так прост!

6 примеров для тренировки

Разбор решения 6 примеров

Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов! Получаем:

Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило.

Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках.

Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно !

Вернемся к примеру:

И снова формула:

Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком « ») и число.

целое положительное число , а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.

А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного.

Любое число в нулевой степени равно единице :

Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием. Возьмем, например, и домножим на:

Итак, мы умножили число на, и получили то же, что и было - . А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на. Значит.

Можем проделать то же самое уже с произвольным числом:

Повторим правило:

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть - это число (в качестве основания).

С одной стороны, в любой степени должен равняться - сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, как и любое число в нулевой степени, должен равняться. Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

Отсюда уже несложно выразить искомое:

Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

Итак, сформулируем правило:

Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (т.к. на делить нельзя).

Подведем итоги:

I. Выражение не определено в случае. Если, то.

II. Любое число в нулевой степени равно единице: .

III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: .

Задачи для самостоятельного решения:

Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:

Разбор задач для самостоятельного решения:

Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему! Реши эти примеры или разбери их решение, если не смог решить и ты научишься легко справляться с ними на экзамене!

Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.

Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?

Ответ: все, которые можно представить в виде дроби, где и - целые числа, причем.

Чтобы понять, что такое «дробная степень» , рассмотрим дробь:

Возведем обе части уравнения в степень:

Теперь вспомним правило про «степень в степени» :

Какое число надо возвести в степень, чтобы получить?

Эта формулировка - определение корня -ой степени.

Напомню: корнем -ой степени числа () называется число, которое при возведении в степень равно.

То есть, корень -ой степени - это операция, обратная возведению в степень: .

Получается, что. Очевидно, этот частный случай можно расширить: .

Теперь добавляем числитель: что такое? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:

Но может ли основание быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.

Никакое!

Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень - число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!

А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение не имеет смысла.

А что насчет выражения?

Но тут возникает проблема.

Число можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, или.

И получается, что существует, но не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.

Или другой пример: раз, то можно записать. Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (то есть, получили совсем другой результат!).

Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем .

Итак, если:

  • — натуральное число;
  • — целое число;

Примеры:

Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

5 примеров для тренировки

Разбор 5 примеров для тренировки

Ну а теперь - самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем .

Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением

Ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.

Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя;

...число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число;

...степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число.

Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

КУДА МЫ УВЕРЕНЫ ТЫ ПОСТУПИШЬ! (если научишься решать такие примеры:))

Например:

Реши самостоятельно:

Разбор решений:

1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:

Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:

В данном случае,

Получается, что:

Ответ: .

2. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:

Ответ: 16

3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Определение степени

Степенью называется выражение вида: , где:

  • — основание степени;
  • — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,...}

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

Возведение в нулевую степень :

Выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, в любой степени - это, а с другой - любое число в -ой степени - это.

Если показателем степени является целое отрицательное число:

(т.к. на делить нельзя).

Еще раз о нулях: выражение не определено в случае. Если, то.

Примеры:

Степень с рациональным показателем

  • — натуральное число;
  • — целое число;

Примеры:

Свойства степеней

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

Посмотрим: что такое и?

По определению:

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

Но по определению это степень числа с показателем, то есть:

Что и требовалось доказать.

Пример : Упростите выражение.

Решение : .

Пример : Упростите выражение.

Решение : Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

Еще одно важное замечание: это правило - только для произведения степеней !

Ни в коем случае нелья написать, что.

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Перегруппируем это произведение так:

Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -я степень числа:

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать? Но это неверно, ведь.

Степень с отрицательным основанием.

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом .

И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже. Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число? А? ?

С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на (), получится - .

И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

  1. четную степень, - число положительное .
  2. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
  3. Положительное число в любой степени - число положительное.
  4. Ноль в любой степени равен нулю.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Справился? Вот ответы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).

Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: или? Если вспомнить, что, становится ясно, что, а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.

И снова используем определение степени:

Все как обычно - записываем определение степеней и, делим их друг на друга, разбиваем на пары и получаем:

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

Вычисли значения выражений:

Решения :

Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов!

Получаем:

Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило 3. Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

Если домножить его на, ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:

Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить на, изменив только один неугодный нам минус!

Вернемся к примеру:

И снова формула:

Итак, теперь последнее правило:

Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:

Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв? раз по множителей - что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения : всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа с показателем:

Пример:

Степень с иррациональным показателем

В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением - ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа, кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число; степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например:

Реши самостоятельно:

1) 2) 3)

Ответы:

  1. Вспоминаем формулу разность квадратов. Ответ: .
  2. Приводим дроби к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например: .
  3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Степенью называется выражение вида: , где:

Степень с целым показателем

степень, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

Степень с рациональным показателем

степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.

Степень с иррациональным показателем

степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.

Свойства степеней

Особенности степеней.

  • Отрицательное число, возведенное в четную степень, - число положительное .
  • Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
  • Положительное число в любой степени - число положительное.
  • Ноль в любой степени равен.
  • Любое число в нулевой степени равно.

ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО...

Как тебе статья? Напиши внизу в комментариях понравилась или нет.

Расскажи о своем опыте использования свойств степеней.

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях.

И удачи на экзаменах!

Урок на тему: "Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Пособие к учебнику Ю.Н. Макарычева Пособие к учебнику А.Г. Мордковича

Цель урока: научится производить действия со степенями числа.

Для начала вспомним понятие "степень числа". Выражение вида $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}$ можно представить, как $a^n$.

Справедливо также обратное: $a^n= \underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}$.

Это равенство называется "запись степени в виде произведения". Оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.
Запомните:
a – основание степени.
n – показатель степени.
Если n = 1 , значит, число а взяли один раз и соответственно: $a^n= 1$.
Если n= 0 , то $a^0= 1$.

Почему так происходит, мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.

Правила умножения

a) Если умножаются степени с одинаковым основанием.
Чтобы $a^n * a^m$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n} * \underbrace{ a * a * \ldots * a }_{m}$.
На рисунке видно, что число а взяли n+m раз, тогда $a^n * a^m = a^{n + m}$.

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу при возведении числа в большую степень.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем.
Чтобы $a^n * b^n$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n} * \underbrace{ b * b * \ldots * b }_{m}$.
Если поменять местами множители и посчитать получившиеся пары, получим: $\underbrace{ (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) }_{n}$.

Значит, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила деления

a) Основание степени одинаковое, показатели разные.
Рассмотрим деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.

Итак, надо $\frac{a^n}{a^m}$ , где n > m .

Запишем степени в виде дроби:

$\frac{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}}{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{m}}$.
Для удобства деление запишем в виде простой дроби.

Теперь сократим дробь.


Получается: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n-m}= a^{n-m}$.
Значит, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ .

Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m , тогда $a^0= a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n} =1$.

Примеры.
$\frac{3^3}{3^2}=3^{3-2}=3^1=3$.

$\frac{2^2}{2^2}=2^{2-2}=2^0=1$.

б) Основания степени разные, показатели одинаковые.
Допустим, необходимо $\frac{a^n}{ b^n}$. Запишем степени чисел в виде дроби:

$\frac{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}}{\underbrace{ b * b * \ldots * b }_{n}}$.
Для удобства представим.

Используя свойство дробей, разобьем большую дробь на произведение маленьких, получим.
$\underbrace{ \frac{a}{b} * \frac{a}{b} * \ldots * \frac{a}{b} }_{n}$.
Соответственно: $\frac{a^n}{ b^n}=(\frac{a}{b})^n$.

Пример.
$\frac{4^3}{ 2^3}= (\frac{4}{2})^3=2^3=8$.

Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n -ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:

Определение 1

1. Главное свойство степени: a m · a n = a m + n

Можно обобщить до: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: a m: a n = a m − n

3. Свойство степени произведения: (a · b) n = a n · b n

Равенство можно расширить до: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Свойство частного в натуральной степени: (a: b) n = a n: b n

5. Возводим степень в степень: (a m) n = a m · n ,

Можно обобщить до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Сравниваем степень с нулем:

  • если a > 0 , то при любом натуральном n, a n будет больше нуля;
  • при a , равном 0 , a n также будет равна нулю;
  • при a < 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
  • при a < 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Равенство a n < b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство a m > a n будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и меньше единицы.

В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: a m · a n = a m + n - то же самое, что и a m + n = a m · a n . В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.

1. Начнем с основного свойства степени: равенство a m · a n = a m + n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a . Как доказать это утверждение?

Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

Это можно сократить до (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m + n . Таким образом, a m + n , значит, основное свойство степени доказано.

Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

Пример 1

Итак, у нас есть две степени с основанием 2 . Их натуральные показатели - 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

Выполним необходимые математические действия: 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 4 · 8 = 32 и 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

В итоге у нас вышло: 2 2 · 2 3 = 2 5 . Свойство доказано.

В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n 1 , n 2 и др. буквой k , мы получим верное равенство:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Пример 2

2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство a m: a n = a m − n , которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n)) и любом отличном от нуля действительном a .

Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0 n = 0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n , нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m , мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.

Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Из него можно вывести: a m − n · a n = a m

Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что a m − n – частное степеней a m и a n . Это и есть доказательство второго свойства степени.

Пример 3

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a · b) n = a n · b n при любых действительных a и b и натуральном n .

Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

Вспомнив свойства умножения, запишем: . Это значит то же самое, что и a n · b n .

Пример 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Пример 5

С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2 · (- 2 , 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) 7 · a

4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a: b) n = a n: b n при любых действительных a и b , если b не равно 0 , а n – натуральное число.

Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , а (a: b) n · b n = a n , то из этого выходит, что (a: b) n есть частное от деления a n на b n .

Пример 6

Подсчитаем пример: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Пример 7

Начнем сразу с примера: (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6

А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p , q , r , s , то верно будет:

a p q y s = a p · q · y · s

Пример 8

Добавим конкретики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

Для начала сравним степень с нулем. Почему a n > 0 при условии, что а больше 0 ?

Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени a n с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

Пример 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0

Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

Пример 10

0 3 = 0 и 0 762 = 0

Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2 · m , где m – натуральное число.

Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a · a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда и степень a 2 · m также положительны.

Пример 11

Например, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0

А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2 · m − 1 .

Тогда

Все произведения a · a , согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a , то конечный результат будет отрицателен.

Тогда получим: (− 5) 3 < 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Как это доказать?

a n < b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Пример 12

Например, верны неравенства: 3 7 < (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Докажем эти утверждения.

Для начала нам нужно убедиться, что a m < a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Вынесем a n за скобки, после чего наша разность примет вид a n · (a m − n − 1) . Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m − n > 0 , тогда a m − n − 1 –отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.

У нас вышло, что a m − a n < 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: a m > a справедливо при m > n и a > 1 . Укажем разность и вынесем a n за скобки: (a m − n − 1) .Степень a n при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a > 1 степень a m − n больше единицы. Выходит, a m − a n > 0 и a m > a n , что нам и требовалось доказать.

Пример 13

Пример с конкретными числами: 3 7 > 3 2

Основные свойства степеней с целыми показателями

Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

Определение 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m · n

6. a n < b n и a − n > b − n при условии целого положительного n , положительных a и b , a < b

7. a m < a n , при условии целых m и n , m > n и 0 < a < 1 , при a > 1 a m > a n .

Если основание степени равно нулю, то записи a m и a n имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n . В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.

Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (a p) q = a p · q , (a − p) q = a (− p) · q , (a p) − q = a p · (− q) и (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Условия: p = 0 или натуральное число; q – аналогично.

Если значения p и q больше 0 , то у нас получится (a p) q = a p · q . Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p = 0 , то:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1

Следовательно, (a 0) q = a 0 · q

Для q = 0 все точно так же:

(a p) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1

Итог: (a p) 0 = a p · 0 .

Если же оба показателя нулевые, то (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 · 0 = a 0 = 1 , значит, (a 0) 0 = a 0 · 0 .

Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

1 a p q = 1 q a p q

Если 1 p = 1 · 1 · … · 1 = 1 и a p q = a p · q , то 1 q a p q = 1 a p · q

Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a (− p) · q .

Так же: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p · q = a (- p) · (- q)

Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a − n > b − n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b .

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

1 a n > 1 b n

Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Вспомним, что в условии a меньше b , тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: - a n < b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь b n - a n a n · b n , которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1 a n > 1 b n откуда a − n > b − n , что нам и нужно было доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

Основные свойства степеней с рациональными показателями

В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

Определение 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 при a > 0 , а если m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 , если a > 0 (свойство частного).

3. a · b m n = a m n · b m n при a > 0 и b > 0 , а если m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (свойство произведения в дробной степени).

4. a: b m n = a m n: b m n при a > 0 и b > 0 , а если m n > 0 , то при a ≥ 0 и b > 0 (свойство частного в дробной степени).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 при a > 0 , а если m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (свойство степени в степени).

6. a p < b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p > 0 ; если p < 0 - a p > b p (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).

7. a p < a q при условии рациональных чисел p и q , p > q при 0 < a < 1 ; если a > 0 – a p > a q

Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n -ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.

Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 и a m 2 n 2 = a m 2 n 2 , следовательно, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Свойства корня позволят нам вывести равенства:

a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2

Из этого получаем: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Преобразуем:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Показатель степени можно записать в виде:

m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 · n 2: a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Доказательства остальных равенств:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2

Следующее свойство: докажем, что для любых значений a и b больше 0 , если а меньше b , будет выполняться a p < b p , а для p больше 0 - a p > b p

Представим рациональное число p как m n . При этом m –целое число, n –натуральное. Тогда условия p < 0 и p > 0 будут распространяться на m < 0 и m > 0 . При m > 0 и a < b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Используем свойство корней и выведем: a m n < b m n

Учитывая положительность значений a и b , перепишем неравенство как a m n < b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Таким же образом при m < 0 имеем a a m > b m , получаем a m n > b m n значит, a m n > b m n и a p > b p .

Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p > q при 0 < a < 1 a p < a q , а при a > 0 будет верно a p > a q .

Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m 1 n и m 2 n

Здесь m 1 и m 2 – целые числа, а n – натуральное. Если p > q , то m 1 > m 2 (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при 0 < a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a > 1 – неравенство a 1 m > a 2 m .

Их можно переписать в следующем виде:

a m 1 n < a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

a m 1 n < a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Подводим итог: при p > q и 0 < a < 1 верно a p < a q , а при a > 0 – a p > a q .

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: a > 0 , b > 0 , показатели p и q – иррациональные числа):

Определение 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6. a p < b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p > b p

7. a p < a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a > 0 , то a p > a q .

Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a > 0 обладают теми же свойствами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Лекция:


Степень с натуральным показателем


Под степенью некоторого числа "а" с некоторым показателем "n" понимают произведение числа "а" само на себя "n" раз.

Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число "n" должно быть целым и не отрицательным.

а - основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя,

n - показатель степени - он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.


Например:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В данном случае под основанием степени понимают число "8", показателем степени считается число "4", под значением степени понимается число "4096".

Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание - ЭТО НЕ ВЕРНО!


Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом.


В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.


Например,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень.

Сложение \ вычитание - математические действия первой ступени, умножение \ деление - действие второй ступени, возведение степени - это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших.

Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.


Например:

15 + 6 *2 2 = 39

В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть

затем полученный результат умножить на 6, то есть

Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие "стандартный вид числа" . Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.


Например , для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:

6400000 м = 6,4 * 10 6 м,

а масса Земли, например, записывается следующим образом:

Свойства степени

Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:


1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

a n * a m = a n+m

Например:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

a n / a m = a n-m

Например,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(a n) m = a n*m

Например,

4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b) m = a m * b m

Например,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .


5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b) m = a m / b m

6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

а 1 = а

Например,

7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

а 0 = 1

Например ,