Bernoulli diferentsiaalvõrrand
on võrrand kujul:
, kus n ≠ 0
, n ≠ 1
, p ja q on x funktsioonid.
Bernoulli diferentsiaalvõrrandi lahendamine lineaarvõrrandiks taandamise teel
Mõelge Bernoulli diferentsiaalvõrrandile:
(1)
,
kus n ≠ 0
, n ≠ 1
, p ja q on x funktsioonid.
Jagame selle y n-ga. Kui y ≠ 0
või n< 0
meil on:
(2)
.
Selle võrrandi saab taandada lineaarseks võrrandiks, kasutades muutuja muutust:
.
Näitame seda. Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile:
;
.
Asendame sisse (2)
ja teisendada:
;
.
See on lineaarne diferentsiaalvõrrand z suhtes. Pärast selle lahendamist n > jaoks 0
, peaksime kaaluma juhtumit y = 0
. Kui n > 0
, y = 0
on ka võrrandi lahendus (1)
ja see tuleks vastusesse lisada.
Lahendus Bernoulli meetodil
Kõnealune võrrand (1)
saab lahendada ka Bernoulli meetodiga. Selleks otsime algsele võrrandile lahendust kahe funktsiooni korrutise kujul:
y = u·v ,
kus u ja v on x funktsioonid. Eristage x suhtes:
y′ = u′ v + u v′ .
Asendage algsesse võrrandisse (1)
:
;
(3)
.
V-na võtame võrrandi mis tahes nullist erineva lahendi:
(4)
.
Võrrand (4)
on eraldatavate muutujatega võrrand. Me lahendame selle ja leiame konkreetse lahenduse v = v (x). Asendame konkreetse lahenduse (3)
. Kuna see rahuldab võrrandit (4)
, siis sulgudes olev avaldis muutub nulliks. Saame:
;
.
Siin v on x juba tuntud funktsioon. See on eraldatavate muutujatega võrrand. Leiame selle üldlahenduse ja koos sellega ka algvõrrandi y = uv lahendi.
Bernoulli diferentsiaalvõrrandi lahendamise näide
Lahenda võrrand
Lahendus
Esmapilgul ei tundu see diferentsiaalvõrrand olevat sarnane Bernoulli võrrandiga. Kui loeme x-i sõltumatuks muutujaks ja y-d sõltuvaks muutujaks (st kui y on x-i funktsioon), on see tõsi. Kui aga pidada y-d sõltumatuks ja x-i sõltuvaks muutujaks, siis on lihtne näha, et see on Bernoulli võrrand.
Seega eeldame, et x on y funktsioon. Asendame ja korrutame arvuga:
;
;
(lk 1) .
See on Bernoulli võrrand n = 2
. See erineb ülalpool käsitletud võrrandist (1)
, ainult muutujate tähistusega (x asemel y). Lahendame Bernoulli meetodil. Teeme asendused:
x = u v ,
kus u ja v on y funktsioonid. Eristage y suhtes:
.
Asendame sisse (lk 1):
;
(lk 2) .
Otsime mis tahes nullist erinevat funktsiooni v (y), mis rahuldab võrrandi:
(lk 3) .
Eraldame muutujad:
;
;
.
Olgu C = 0
, kuna vajame võrrandi mis tahes lahendit (lk 3).
;
.
Asendame sisse (lk 2) arvestades, et sulgudes olev avaldis on võrdne nulliga (tänu (lk 3)):
;
;
.
Eraldame muutujad. Kui sa ≠ 0
meil on:
;
(lk 4) ;
.
Teises integraalis teeme asendused:
;
.
Diferentsiaalvõrrandit y" +a 0 (x)y=b(x)y n nimetatakse Bernoulli võrrand.
Kuna n=0 korral saadakse lineaarne võrrand ja n=1 - eraldatavate muutujatega, siis eeldame, et n ≠ 0 ja n ≠ 1. Jagame (1) mõlemad pooled y n-ga. Siis on meil . Selle väljendi asendamisel saame 
, või, mis on sama asi, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). See on lineaarne võrrand, mida me teame, kuidas lahendada.
Teenuse eesmärk. Lahenduse kontrollimiseks saab kasutada veebikalkulaatorit Bernoulli diferentsiaalvõrrandid.
Näide 1. Leidke võrrandi y" + 2xy = 2xy 3 üldlahend. See on Bernoulli võrrand n=3 jaoks. Jagades võrrandi mõlemad pooled y 3-ga saame. Tehke muudatus. Seejärel kirjutatakse võrrand ümber kujul -z " + 4xz = 4x. Lahendades selle võrrandi suvalise konstandi muutmise meetodil, saame 
kus 
või mis on sama, 
.
Näide 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2
Jagage y-ga 2
y"/y 2 + 1/y = -1
Teeme asendused:
z=1/y n-1, st. z = 1/a 2-1 = 1/a
z = 1/a
z"= -y"/y 2
Saame: -z" + z = -1 või z" - z = 1
Näide 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Lahendus.
a) Lahendus läbi Bernoulli võrrandi.
Esitame selle kujul: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . See on Bernoulli võrrand n=3 jaoks. Jagades võrrandi mõlemad pooled y 3-ga saame: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Asendame: z=1/y 2. Siis z"=-2/y 3 ja seetõttu kirjutatakse võrrand ümber kujul : -xz"/2+2z=-x 5 e x. See on mittehomogeenne võrrand. Vaatleme vastavat homogeenset võrrandit: -xz"/2+2z=0
1. Lahendades saame: z"=4z/x
Integreerides saame:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Nüüd otsime algsele võrrandile lahendust kujul: y(x) = C(x)x 4, y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x või C(x)" = 2e x . Integreerimisel saame: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Tingimusest y(x)=C(x)y saame: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) või y = Cx 4 +2x 4 e x. Kuna z=1/y 2, saame: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
Bernoulli võrrand on üks kuulsamaid esimest järku mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid. See on vormis kirjutatud
Kus a(x) Ja b(x) on pidevad funktsioonid. Kui m= 0, siis Bernoulli võrrandist saab lineaarne diferentsiaalvõrrand. Juhul, kui m= 1, muutub võrrand eraldatavaks võrrandiks. Üldiselt, millal m≠ 0,1, Bernoulli võrrand taandatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks, kasutades asendust
Funktsiooni uus diferentsiaalvõrrand z(x) omab vormi
ja seda saab lahendada lehel Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid kirjeldatud meetodite abil.
BERNOULI MEETOD.
Vaadeldava võrrandi saab lahendada Bernoulli meetodiga. Selleks otsime algsele võrrandile lahendust kahe funktsiooni korrutise kujul: kus u, v- funktsioonid alates x. Eristage: asendage algse võrrandiga (1): 
(2) Nagu v Võtame võrrandi mis tahes nullist erineva lahendi: 
(3) Võrrand (3) on eraldatavate muutujatega võrrand. Pärast seda, kui leidsime selle konkreetse lahenduse v = v(x), asendage see punktiga (2). Kuna see vastab võrrandile (3), muutub sulgudes olev avaldis nulliks. Saame: 
See on ka eraldatav võrrand. Leiame selle üldlahenduse ja koos sellega ka algvõrrandi lahendi y = uv.
64. Võrrand summaarsetes diferentsiaalides. Integreeriv tegur. Lahendusmeetodid
Vormi esimest järku diferentsiaalvõrrand
helistas võrrand summaarsetes diferentsiaalides, kui selle vasak pool kujutab mõne funktsiooni kogudiferentsiaali, st.
Teoreem. Selleks, et võrrand (1) oleks võrrand summaarsetes diferentsiaalides, on vajalik ja piisav, et mõnes lihtsalt seotud muutujate muutumise piirkonnas on tingimus täidetud
Võrrandi (1) üldintegraal on kujul või
Näide 1. Lahendage diferentsiaalvõrrand.
Lahendus. Kontrollime, kas see võrrand on diferentsiaalvõrrand:
nii see on tingimus (2) on täidetud. Seega on see võrrand summaarsete diferentsiaalide võrrand ja
seetõttu kus on veel määratlemata funktsioon.
Integreerides saame . Leitud funktsiooni osatuletis peab olema võrdne, mis annab kust nii et Seega,.
Algse diferentsiaalvõrrandi üldintegraal.
Mõne diferentsiaalvõrrandi integreerimisel saab termineid rühmitada nii, et saadakse kergesti integreeritavad kombinatsioonid.
65. Kõrgemat järku harilikud diferentsiaallineaarvõrrandid: homogeensed ja ebahomogeensed. Lineaarne diferentsiaaloperaator, selle omadused (koos tõestusega).
Lineaarne diferentsiaaloperaator ja selle omadused. Funktsioonide komplekt, mille intervall ( a , b ) mitte vähem n tuletised, moodustab lineaarruumi. Mõelge operaatorile L n (y ), mis kuvab funktsiooni y (x ), millel on tuletised, funktsiooniks, millel on k - n derivaadid.
Bernoulli diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand
kus n≠0,n≠1.
Seda võrrandit saab asendamise abil ümber korraldada
lineaarvõrrandiks
Praktikas ei taandata Bernoulli diferentsiaalvõrrandit tavaliselt lineaarseks, vaid see lahendatakse kohe samade meetodite abil, mis lineaarvõrrand – kas Bernoulli meetod või suvalise konstandi muutmise meetod.
Vaatame, kuidas lahendada Bernoulli diferentsiaalvõrrandit, kasutades asendust y=uv (Bernoulli meetod). Lahendusskeem on sama mis puhul.
Näited. Lahenda võrrandid:
1) y’x+y=-xy².
See on Bernoulli diferentsiaalvõrrand. Toome selle standardvormi. Selleks jagage mõlemad osad x-ga: y’+y/x=-y². Siin p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Kuid me ei vaja selle lahendamiseks standardvaadet. Töötame tingimuses antud salvestusvormiga.
1) Asendus y=uv, kus u=u(x) ja v=v(x) on mõned uued x-i funktsioonid. Siis y’=(uv)’=u’v+v’u. Asendame saadud avaldised tingimusega: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².
2) Avame sulud: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Rühmitame nüüd terminid v-ga: v+v’ux=-xu²v² (I) (me ei puuduta terminit astmega v, mis asub võrrandi paremal küljel). Nüüd nõuame, et sulgudes olev avaldis oleks võrdne nulliga: u’x+u=0. Ja see on võrrand eraldatavate muutujatega u ja x. Olles selle lahendanud, leiame teie. Asendame u=du/dx ja eraldame muutujad: x·du/dx=-u. Korrutame võrrandi mõlemad pooled dx-ga ja jagame xu≠0-ga:
(u C leidmisel võtame selle võrdseks nulliga).
3) Võrrandis (I) asendame =0 ja leitud funktsiooniga u=1/x. Meil on võrrand: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Pärast lihtsustamist: v’=-(1/x)·v². See on võrrand eraldatavate muutujatega v ja x. Asendame v’=dv/dx ja eraldame muutujad: dv/dx=-(1/x)·v². Korrutame võrrandi mõlemad pooled dx-ga ja jagame v²≠0-ga:
(võtsime -C selleks, et korrutades mõlemad pooled -1-ga, saaks miinusest lahti). Niisiis, korrutage (-1):
(Võiks võtta mitte C, vaid ln│C│ ja sel juhul oleks see v=1/ln│Cx│).
2) 2y’+2y=xy².
Teeme kindlaks, et see on Bernoulli võrrand. Jagades mõlemad osad 2-ga, saame y’+y=(x/2) y². Siin p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Lahendame võrrandi Bernoulli meetodi abil.
1) Asendus y=uv, y’=u’v+v’u. Asendame need avaldised algsesse tingimusesse: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².
2) Avage sulgud: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Rühmitame nüüd v-d sisaldavad terminid: +2v’u=xu²v² (II). Nõuame, et sulgudes olev avaldis oleks võrdne nulliga: 2u’+2u=0, seega u’+u=0. See on u ja x eraldatav võrrand. Lahendame selle ja leiame teid. Asendame u’=du/dx, kust du/dx=-u. Korrutades võrrandi mõlemad pooled dx-ga ja jagades u≠0-ga, saame: du/u=-dx. Integreerime:
3) Asendage (II) =0 ja
Nüüd asendame v’=dv/dx ja eraldame muutujad:
Integreerime:
Võrdsuse vasak pool on tabeliintegraal, parempoolne integraal leitakse osade kaupa integreerimise valemi abil:
Asendades leitud v ja du, kasutades osade kaupa integreerimise valemit, saame:
Ja sellest ajast peale
Teeme C=-C:
4) Kuna y=uv, asendame leitud funktsioonid u ja v:
3) Integreerige võrrand x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Jagame võrrandi mõlemad pooled x²(x-1)≠0-ga ja nihutame liikme y²-ga paremale poole:
See on Bernoulli võrrand
1) Asendus y=uv, y’=u’v+v’u. Nagu tavaliselt, asendame need avaldised algtingimustega: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.
2) Seega x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Rühmitame terminid, mis sisaldavad v (v² - ärge puudutage):
v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Nüüd nõuame, et sulgudes olev avaldis oleks võrdne nulliga: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, seega x²(x-1)u’=x(x-2)u. Võrrandis eraldame muutujad u ja x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Korrutame võrrandi mõlemad pooled dx-ga ja jagame x²(x-1)u≠0-ga:
Võrrandi vasakul küljel on tabelintegraal. Paremal pool olev ratsionaalne murd tuleb lagundada lihtsamateks murdudeks:
Kui x=1: 1-2=A·0+B·1, millest B=-1.
Kui x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, millest A=2.
ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Vastavalt logaritmide omadustele: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, kust u=x²/(x-1).
3) Võrdsuses (III) asendame =0 ja u=x²/(x-1). Saame: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,
v’=dv/dx, asendus:
C asemel võtame - C, nii et mõlema külje korrutamisel (-1) vabaneme miinustest:
Nüüd taandame paremal pool olevad avaldised ühise nimetajani ja leiame v:
4) Kuna y=uv, asendades leitud funktsioonid u ja v, saame:
Enesetesti näited:
1) Teeme kindlaks, et see on Bernoulli võrrand. Jagades mõlemad pooled x-ga, saame:
1) Asendus y=uv, kust y’=u’v+v’u. Asendame need y ja y algsesse tingimusesse:
2) Rühmitage terminid tähega v:
Nüüd nõuame, et sulgudes olev avaldis oleks võrdne nulliga ja leiame u sellest tingimusest:
Integreerime võrrandi mõlemad pooled:
3) Võrrandis (*) asendame =0 ja u=1/x²:
Integreerime saadud võrrandi mõlemad pooled.