Ebakindlate koefitsientide võrgumeetod üksikasjaliku lahendusega. Ebakindla koefitsiendi meetod

Meetod on rakendatav suvalise arvu muutujate loogilise algebra funktsioonide minimeerimiseks.

Vaatleme kolme muutuja juhtumit. DNF-i Boole'i funktsiooni saab esitada igasuguste konjunktiiviterminite kujul, mida saab DNF-is kaasata:

kus kО(0,1) on koefitsiendid. Meetod seisneb koefitsientide valimises nii, et saadav DNF oleks minimaalne.

Kui nüüd seada kõikvõimalikud muutujate väärtused 000 kuni 111, saame koefitsientide määramiseks 2 n (2 3 = 8) võrrandit k:

Arvestades hulki, mille puhul funktsioon võtab nullväärtuse, määrake koefitsiendid, mis on võrdsed 0-ga, ja kriipsutage need välja võrranditest, mille parem pool sisaldab 1. Ülejäänud koefitsientidest igas võrrandis võrdsustatakse üks koefitsient ühega, mis määrab madalaima järgu konjunktsioon. Ülejäänud koefitsiendid on võrdsed 0-ga. Niisiis, ühikkoefitsiendid k määrata sobiv miinimumvorm.

Näide. Minimeerige antud funktsioon

kui väärtused on teada: ; ; ; ; ; ; ; .

Lahendus.

Pärast nullkoefitsientide läbikriipsutamist saame:

=1;

=1.

Võrdlustame ühega madalaima järgu konjunktsioonile vastav koefitsient ja pöörame viimased neli võrrandit 1-ks ja esimeses võrrandis on soovitatav võrdsustada koefitsient 1-ga. Ülejäänud koefitsiendid on seatud väärtusele 0.

Vastus: minimeeritud funktsiooni tüüp.

Tuleb märkida, et määramatute koefitsientide meetod on efektiivne, kui muutujate arv on väike ja ei ületa 5-6.

Mitmemõõtmeline kuup

Vaatleme funktsiooni graafilist esitust mitmemõõtmelise kuubi kujul. Iga tipp n-mõõtmelise kuubi saab panna vastavusse üksuse koostisosaga.

Märgistatud tippude alamhulk on vastendus n-st pärit Boole'i funktsiooni mõõtmeline kuup n muutujad SDNF-is.

Funktsiooni kuvamiseks alates n DNF-is esitatud muutujate puhul on vaja luua vastavus selle miniterminite ja elementide vahel n- mõõtmetega kuup.

(n-1) järgu minitermi võib lugeda kahe minitermini kokkuliimimise tulemuseks n-th järk, s.o.

Peal n-dimensionaalne kuubik see vastab kahe tipu asendamisele, mis erinevad ainult koordinaatide väärtuste poolest x i, ühendades need tipud servaga (öeldakse, et serv katab sellele langevad tipud).

Seega miniterminid ( n Järk -1) vastab n-mõõtmelise kuubi servadele.

Samamoodi miniterminite vastavus ( n-2) järjekorras näod n-mõõtmeline kuup, millest igaüks katab nelja tippu (ja nelja serva).

Elemendid n-mõõtmeline kuup, mida iseloomustab S mõõtmisi nimetatakse S-kuubikud

Nii et tipud on 0-kuubikud, servad on 1-kuubikud, tahud on 2-kuubikud jne.

Kokkuvõtteks võime öelda, et miniterm ( n-S) funktsiooni DNF-i auaste n kuvatavad muutujad S- iga kuubik S-kuubik hõlmab kõiki madalama mõõtmega kuupe, mis on ühendatud ainult selle tippudega.

Näide. Joonisel fig. arvestades kaardistamist

Siin vastavad miniterminid ja 1-kuubikud ( S=3-2=1) ja minitermin x 3 kuvatakse 2 kuubikuna ( S=3-1=2).

Seega on mis tahes DNF kaardistatud n-mõõtmeline kuup tervikuna S-kuubikud, mis katavad kõik moodustavatele ühikutele vastavad tipud (0-kuubik).

Koostisosad. Muutujate jaoks x 1,x 2,…x n väljendus nimetatakse ühiku koostisosaks ja - nulli koostisosa (tähendab kas või).

See ühe (null) koostisosa muutub üheks (nulliks) ainult ühe vastava muutujaväärtuste komplektiga, mis saadakse, kui kõik muutujad võetakse võrdseks ühega (null) ja nende eitused on võrdsed nulliga (üks).

Näiteks: koostisosa üks vastab hulgale (1011) ja koostisosa null - komplekt (1001).

Kuna SD(K)NF on ühe (null) koostisosade disjunktsioon (konjunktsioon), võib väita, et see kujutab Boole'i funktsiooni f(x 1, x 2,…,x n) muutub üheks (nulliks) ainult muutujaväärtuste komplektide puhul x 1, x 2,…,x n, mis vastab nendele kaaslastele. Teistes komplektides muutub see funktsioon väärtuseks 0 (üks).

Tõsi on ka vastupidine väide, millel see põhineb mis tahes esindamise viis Tabelis määratud tõeväärtusfunktsioon.

Selleks on vaja kirjutada ühe (null) koostisosade disjunktsioonid (konjunktsioonid), mis vastavad muutujate väärtuste kogumitele, mille puhul funktsioon võtab väärtuse, mis on võrdne ühega (null).

Näiteks tabeliga antud funktsioon

vastama

Saadud avaldised saab loogika algebra omaduste põhjal teisendada teisele kujule.

Tõsi on ka vastupidine väide: kui mõni kogu S-kuubikud katab kõigi funktsiooni ühikuväärtustele vastavate tippude hulga, siis nendele vastava disjunktsiooni S-cubes of miniterms on selle funktsiooni väljendus DNF-is.

Nad ütlevad, et selline kollektsioon S-kuubikud (või neile vastavad miniterminid) moodustavad funktsiooni katte. Minimaalse vormi iha all mõistetakse intuitiivselt sellise katte, arvu otsimist S-millest oleks vähem kuubikuid ja nende mõõtmed S- rohkem. Minimaalsele vormile vastavat katvust nimetatakse miinimumkatteks.

Näiteks funktsiooni jaoks juures= kattekiht vastab mitteminimaalsele kujule.

Tervitused kõigile, kallid sõbrad!

No palju õnne! Oleme ratsionaalsete murdude integreerimisel ohutult jõudnud põhimaterjalini - määramatute koefitsientide meetod. Suur ja võimas.) Mis on tema majesteet ja jõud? Ja see seisneb selle mitmekülgsuses. On mõistlik seda kontrollida, eks? Hoiatan, et sellel teemal on mitu õppetundi. Kuna teema on väga pikk ja materjal on äärmiselt oluline.)

Ütlen kohe, et tänases tunnis (ja ka järgmistes) ei tegele me niivõrd integratsiooniga, vaid... lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine! Jah Jah! Seega, kellel on probleeme süsteemidega, korrake maatrikseid, determinante ja Crameri meetodit. Ja nendel seltsimeestel, kes on maatriksitega hädas, soovitan halvimal juhul värskendada oma mälu vähemalt süsteemide lahendamise “kooli” meetoditest - asendusmeetodist ja termini haaval liitmise/lahutamise meetodist.

Tutvumise alustamiseks kerime filmi veidi tagasi. Pöördume põgusalt tagasi eelmiste tundide juurde ja analüüsime kõiki neid murde, mida me varem lõime. Otse, ilma ühegi määramatute koefitsientide meetodita! Siin nad on, need fraktsioonid. Sorteerisin nad kolme rühma.

1. rühm

Nimetajas - lineaarne funktsioon kas iseseisvalt või mingil määral. Ühesõnaga, nimetaja on toode identsed vormi sulgudes (ha).

Näiteks:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5) (2x+5) (2x+5)

Ja nii edasi. Muide, ära lase sulgudel end segadusse ajada (4x+5) või (2x+5) 3 koefitsiendiga k sees. Need on endiselt vormi sulud (ha). Sest see on kõige rohkem k sellistest sulgudest saab alati õue viia.

Nagu nii:

See on kõik.) Ja pole vahet, mis täpselt lugejas on – lihtsalt dx või mingi polünoom. Oleme alati laiendanud lugejat sulu astmetes (x-a), muutis suure murdosa väikeste summaks, asetas (vajadusel) diferentsiaali alla sulg ja integreeris.

2. rühm

Mis on neil murdudel ühist?

Ja ühine on see, et kõigis nimetajates on ruuttrinoomkirves 2 + bx+ c. Aga mitte ainult, nimelt ühes eksemplaris. Ja siin pole vahet, kas tema diskrimineerija on positiivne või negatiivne.

Selliseid murde integreeriti alati kahel viisil – kas laiendades lugejat nimetaja astmeteks või eraldades nimetajas täiusliku ruudu ja seejärel asendades muutuja. Kõik sõltub konkreetsest integrandist.

3. rühm

Need olid integreerimiseks kõige halvemad fraktsioonid. Nimetaja sisaldab lagunematut ruuttrinoomi ja seda isegi kraadini n. Aga jällegi, ühes eksemplaris. Sest peale trinoomi pole nimetajas muid tegureid. Sellised murded integreeriti üle . Kas otse või taandatuna sellele pärast nimetaja täiusliku ruudu eraldamist ja muutuja hilisemat asendamist.

Kuid kahjuks ei piirdu kogu ratsionaalsete murdude rikkalik valik ainult nende kolme rühmaga.

Aga mis siis, kui nimetaja on erinev sulgudes? Näiteks midagi sellist:

(x-1) (x+1) (x+2)

Või samal ajal sulg (ha) ja ruuttrinoom, midagi taolist (x–10) (x 2–2 x + 17)? Ja muudel sarnastel juhtudel? Just sellistel puhkudel tulebki appi määramatute koefitsientide meetod!

Ütlen kohe: praegu teeme ainult koostööd õige murdosades. Need, kelle lugeja aste on nimetaja kraadist rangelt väiksem. Vale murdude käsitlemist kirjeldatakse üksikasjalikult jaotises Murrud. On vaja valida kogu osa (polünoom). Jagades lugeja nimetajaga nurgaga või lahutades lugejat - nagu soovite. Ja isegi näidet analüüsitakse. Ja te integreerite polünoomi kuidagi. Pole juba väike.) Kuid lahendame ka valede murdude näiteid!

Ja nüüd hakkame tutvuma. Erinevalt enamikust kõrgema matemaatika õpikutest ei alusta me oma tutvust kuiva ja raske teooriaga algebra põhiteoreemi, Bezouti teoreemi kohta, mis käsitleb ratsionaalse murru lagunemist kõige lihtsamate (nendest murdudest hiljem) ja muud tüütust, kuid alustame lihtsa näitega.

Näiteks peame leidma järgmise määramata integraali:

Kõigepealt vaadake integrandi. Nimetaja on kolme sulu korrutis:

(x-1) (x+3) (x+5)

Ja kõik sulgud erinev. Seetõttu meie vana tehnoloogia, kus lugejat laiendatakse nimetaja astmete kaupa, seekord enam ei tööta: millist sulgu tuleks lugejas esile tõsta? (x-1)? (x+3)? Pole selge... Terve ruudu valimine nimetajas ei ole samuti hea mõte: seal on polünoom kolmandaks kraadi (kui korrutate kõik sulud). Mida teha?

Meie murdosa vaadates tekib täiesti loomulik soov... Otseselt vastupandamatu! Meie suurest fraktsioonist, mis ebamugav integreerida, kuidagi kolm väikest teha. Vähemalt nii:

Miks peaksite seda konkreetset liiki otsima? Ja kõik sellepärast, et sellisel kujul on meie esialgne murdosa juba olemas mugav integratsiooni eest! Võtame kokku iga väikese murdosa nimetaja ja - edasi.)

Kas sellist lagunemist on üldse võimalik saada? Head uudised! Vastav teoreem matemaatikas väidab – jah, sa saad! Selline lagunemine on olemas ja ainulaadne.

Kuid on üks probleem: koefitsiendid A, IN Ja KOOS Meie Hüvasti me ei tea. Ja nüüd on meie peamine ülesanne täpselt neid tuvastada. Uurige, millega meie tähed on võrdsed A, IN Ja KOOS. Sellest ka nimi – meetod ebakindel koefitsiendid Alustame oma vapustavat reisi!

Niisiis, meil on võrdsus, mis paneb meid tantsima:

Toome kõik kolm paremal olevat murru ühise nimetaja juurde ja lisame:

Nüüd võime nimetajad julgelt kõrvale jätta (kuna need on samad) ja lihtsalt lugejad võrdsustada. Kõik on nagu tavaliselt

Järgmine samm avage kõik sulud(koefitsiendid A, IN Ja KOOS Hüvasti parem jätta see välja):

Ja nüüd (tähtis!) reastame kogu oma struktuuri paremale kraadide staaži järgi: kõigepealt kogume kõik terminid x 2-ga hunnikusse, siis lihtsalt x-ga ja lõpuks kogume vabad terminid. Tegelikult esitame lihtsalt sarnased ja rühmitame terminid x astmete järgi.

Nagu nii:

Saame nüüd tulemusest aru. Vasakul on meie algne polünoom. Teine aste. Meie integrandi lugeja. Paremal ka mingi teise astme polünoom. Nina tundmatud koefitsiendid. See võrdsus peab kehtima siis, kui kõik kehtivad x väärtused. Murrud vasakul ja paremal olid samad (vastavalt meie seisundile)! See tähendab, et nad lugeja ja (st meie polünoomid) on samuti samad. Seega koefitsiendid x samadel astmetel need polünoomid peavad olema olge võrdsed!

Alustame kõrgeimast kraadist. Väljakult. Vaatame, millised koefitsiendid meil on X 2 vasakule ja paremale. Paremal on koefitsientide summa A+B+C, ja vasakul on kaks. Nii sünnib meie esimene võrrand.

Kirjutame üles:

A+B+C = 2

Sööma. Esimene võrrand on valmis.)

Järgmisena järgime kahanevat trajektoori – vaatleme termineid X-ga esimese astmeni. Paremal pool X on meil 8A+4B+2C. Hästi. Ja mis meil on vasakpoolse X-ga? Hm... Vasakul pole X-iga terminit üldse! Neid on ainult 2x 2-3. Mida teha? Väga lihtne! See tähendab, et koefitsient x vasakul on võrdne nulliga! Võime oma vasaku poole kirjutada järgmiselt:

Ja mida? Meil on kõik õigused.) Seega näeb teine võrrand välja selline:

8 A+4 B+2 C = 0

Noh, see on praktiliselt kõik. Jääb üle võrdsustada tasuta tingimused:

15A-5B-3C = -3

Ühesõnaga, samade x astmete koefitsientide võrdsustamine toimub vastavalt järgmisele skeemile:

Kõik kolm meie võrdsust peavad olema täidetud samaaegselt. Seetõttu koostame oma kirjutatud võrranditest süsteemi:

Süsteem pole usinale õpilasele just kõige raskem – kolm võrrandit ja kolm tundmatut. Otsustage nagu soovite. Crameri meetodit saab kasutada determinantidega maatriksite kaudu, Gaussi meetodit, kasvõi tavalist kooliasendust.

Alustuseks lahendan selle süsteemi nii, nagu kultuuritudengid tavaliselt selliseid süsteeme lahendavad. Nimelt Crameri meetod.

Lahendust alustame süsteemimaatriksi koostamisega. Lubage mul teile meelde tuletada, et see maatriks on lihtsalt plaat, millest koosneb tundmatute koefitsiendid.

Siin ta on:

Kõigepealt arvutame süsteemi maatriksi determinant. Või lühidalt süsteemi määraja. Tavaliselt tähistatakse seda kreeka tähega ∆ ("delta"):

Suurepärane, süsteemi determinant ei ole null (-48≠0) . Lineaarvõrrandisüsteemide teooriast tähendab see asjaolu, et meie süsteem on järjekindel ja on ainulaadne lahendus.

Järgmine samm on arvutamine tundmatute määrajad ∆A, ∆B, ∆C. Tuletan meelde, et kõik need kolm determinanti saadakse süsteemi põhideterminandist, asendades vastavate tundmatute koefitsientidega veerud vabade liikmete veeruga.

Seega moodustame determinandid ja arvutame:

Ma ei selgita siin üksikasjalikult kolmandat järku determinantide arvutamise tehnikat. Ja ära küsi. See on täielik kõrvalekalle teemast.) Need, kes on teemas, saavad aru, millest me räägime. Ja võib-olla olete juba täpselt arvanud, kuidas ma need kolm determinanti arvutasin.)

See on kõik, kõik on valmis.)

Nii lahendavad tavaliselt kultuursed õpilased süsteeme. Aga... Kõik õpilased ei ole sõbrad ja kvalifitseeruvad. Kahjuks. Mõne jaoks jäävad need kõrgema matemaatika lihtsad mõisted igaveseks hiina kirjaoskuse ja salapärase koletiseks udus...

Noh, eriti selliste ebakultuursete õpilaste jaoks pakun välja tuttavama lahenduse - Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod. Tegelikult on see täiustatud "kooli" asendusmeetod. Ainult samme tuleb rohkem.) Kuid olemus on sama. Esimene asi, mida ma teen, on muutuja kõrvaldamine KOOS. Selleks ma väljendan KOOS esimesest võrrandist ja asendage see teise ja kolmandaga:

Lihtsustame, toome sarnased ja saame uue süsteemi, juba koos kaks teadmata:

Nüüd on selles uues süsteemis võimalik ka üht muutujat väljendada teise terminites. Kuid kõige tähelepanelikumad õpilased märkavad ilmselt, et koefitsiendid on muutuja ees B – vastupidine. Kaks ja miinus kaks. Seetõttu on muutuja kõrvaldamiseks väga mugav mõlemad võrrandid kokku liita IN ja jäta ainult kiri A.

Lisame vasaku ja parema osa, lühendame vaimselt 2B Ja -2B ja lahendage võrrand ainult suhtelisena A:

Sööma. Esimene koefitsient leiti: A = -1/24.

Määrake teine koefitsient IN. Näiteks ülemisest võrrandist:

Siit saame:

Suurepärane. Leiti ka teine koefitsient: B = -15/8 . Üks kiri on veel alles KOOS. Selle määramiseks kasutame ülemist võrrandit, mille kaudu me seda väljendame A Ja IN:

Niisiis:

OK, nüüd on kõik läbi. Leiti tundmatud koefitsiendid! Pole vahet, kas Crameri või asendamise kaudu. Peamine, Õige leitud.)

Seetõttu näeb meie suure murdosa lagunemine väikeste summaks välja järgmine:

Ja ärge laske end segadusse ajada saadud murdosakoefitsientidest: selles protseduuris (määratlemata koefitsientide meetod) on see kõige levinum nähtus. :)

Nüüd on väga soovitatav kontrollida, kas leidsime oma koefitsiendid õigesti A, B Ja KOOS. Seetõttu võtame nüüd mustandi ja mäletame kaheksandat klassi – liidame tagasi kõik kolm oma väikest murdu.

Kui saame algse suure murdosa, siis on kõik korras. Ei – see tähendab, et löö mind ja otsi viga.

Ühine nimetaja on ilmselgelt 24(x-1)(x+3)(x+5).

Mine:

Jah!!! Saime algse murdosa. Mida oli vaja kontrollida. Kõik on hästi. Nii et palun ärge lööge mind.)

Nüüd pöördume tagasi oma algse integraali juurde. Ta ei ole selle aja jooksul kergemaks muutunud, jah. Kuid nüüd, mil meie murd on väikeste summadeks lagunenud, on selle integreerimine muutunud tõeliseks naudinguks!

Vaata ise! Sisestame oma laienduse algsesse integraali.

Saame:

Kasutame lineaarsuse omadusi ja jagame oma suure integraali väikeste summaks, asetades kõik konstandid integraalimärkidest väljapoole.

Saame:

Ja saadud kolme väikest integraali on juba lihtne võtta .

Jätkame integreerimist:

See on kõik.) Ja selles õppetükis ärge minult küsige, kust tulid vastuse logaritmid! Kes mäletab, on kursis ja saab kõigest aru. Ja neile, kes ei mäleta, järgime linke. Ma ei pane neid lihtsalt sinna.

Lõplik vastus:

Siin on selline ilus kolmainsus: kolm logaritmi - argpüks, staažikas ja tüütu. :) Ja proovi, arva kohe selline kaval vastus! Ainult määramatute koefitsientide meetod aitab, jah.) Tegelikult me uurime seda sel eesmärgil. Mida, kuidas ja kus.

Treeningharjutusena soovitan teil seda meetodit harjutada ja integreerida järgmine murdosa:

Harjutage, leidke integraal, ärge pidage seda raskeks! Vastus peaks olema umbes selline:

Määramatute koefitsientide meetod on võimas asi. See päästab ka kõige lootusetum olukorras, kui murru niikuinii teisendate. Ja siin võib mõnel tähelepanelikul ja huvitatud lugejal tekkida mitmeid küsimusi:

- Mida teha, kui nimetaja polünoom pole üldse faktoriseeritud?

- KUIDAS peaks otsima mis tahes suure ratsionaalse murdude lagunemist väikeste summaks? Mingil kujul? Miks just see ja mitte see?

- Mida teha, kui nimetaja laienemisel on mitu tegurit? Või sulud astmetes nagu (x-1) 2? Millises vormis peaksime lagunemist otsima?

- Mida teha, kui nimetaja sisaldab lisaks vormi lihtsulgudele (x-a) samaaegselt ka lagunematut ruuttrinoomi? Oletame, et x 2 +4x+5? Millises vormis peaksime lagunemist otsima?

Noh, kätte on jõudnud aeg põhjalikult aru saada, kust jalad kasvavad. Järgmistes õppetundides.)

Meetod on rakendatav suvalise arvu muutujate loogilise algebra funktsioonide minimeerimiseks.

Vaatleme kolme muutuja juhtumit. DNF-i Boole'i funktsiooni saab esitada igasuguste konjunktiiviterminite kujul, mida saab DNF-is kaasata:

kus kО(0,1) on koefitsiendid. Meetod seisneb koefitsientide valimises nii, et saadav DNF oleks minimaalne.

Kui nüüd seada kõikvõimalikud muutujate väärtused 000 kuni 111, saame koefitsientide määramiseks 2 n (2 3 = 8) võrrandit k:

Näide. Minimeerige antud funktsioon

kui väärtused on teada:
;
;
;
;
;
;
;
.

Lahendus.

Pärast nullkoefitsientide läbikriipsutamist saame:

=1;

=1.

Võrdlustame koefitsiendi ühtsusega , mis vastab madalaima astme konjunktsioonile ja pöörab viimased neli võrrandit 1-ks ning esimeses võrrandis on soovitatav võrdsustada koefitsient 1-ga . Ülejäänud koefitsiendid on seatud väärtusele 0.

Vastus: minimeeritud funktsiooni tüüp.

Tuleb märkida, et määramatute koefitsientide meetod on efektiivne, kui muutujate arv on väike ja ei ületa 5-6.

Mitmemõõtmeline kuup

Vaatleme funktsiooni graafilist esitust mitmemõõtmelise kuubi kujul. Iga tipp n-mõõtmelise kuubi saab panna vastavusse üksuse koostisosaga.

Märgistatud tippude alamhulk on vastendus n-st pärit Boole'i funktsiooni mõõtmeline kuup n muutujad SDNF-is.

Funktsiooni kuvamiseks alates n DNF-is esitatud muutujate puhul on vaja luua vastavus selle miniterminite ja elementide vahel n- mõõtmetega kuup.

(n-1) järgu minitermin
võib pidada kahe minitermini liimimise tulemuseks n-th järk, s.o.

Peal n-dimensionaalne kuubik see vastab kahe tipu asendamisele, mis erinevad ainult koordinaatide väärtuste poolest X i, ühendades need tipud servaga (öeldakse, et serv katab sellele langevad tipud).

Seega miniterminid ( n Järk -1) vastab n-mõõtmelise kuubi servadele.

Samamoodi miniterminite vastavus ( n-2) järjekorras näod n-mõõtmeline kuup, millest igaüks katab nelja tippu (ja nelja serva).

Elemendid n-mõõtmeline kuup, mida iseloomustab S mõõtmisi nimetatakse S-kuubikud

Nii et tipud on 0-kuubikud, servad on 1-kuubikud, tahud on 2-kuubikud jne.

Näide. Joonisel fig. arvestades kaardistamist

Siin on miniterminid
Ja
vastavad 1-kuubikutele ( S=3-2=1) ja minitermin X 3 kuvatakse 2 kuubikuna ( S=3-1=2).

Seega on mis tahes DNF kaardistatud n-mõõtmeline kuup tervikuna S-kuubikud, mis katavad kõik moodustavatele ühikutele vastavad tipud (0-kuubik).

Koostisosad. Muutujate jaoks X 1 ,X 2 ,…X n väljendus
nimetatakse ühiku koostisosaks ja
- nulli koostisosa ( tähendab kumbagi , või ).

Näiteks: koostisüksus
vastab hulgale (1011) ja koostisosa on null
- komplekt (1001).

Kuna SD(K)NF on ühe (null) koostisosade disjunktsioon (konjunktsioon), võib väita, et see kujutab Boole'i funktsiooni f(x 1 , x 2 ,…, x n) muutub üheks (nulliks) ainult muutujaväärtuste komplektide puhul x 1 , x 2 ,…, x n, mis vastab nendele kaaslastele. Teistes komplektides muutub see funktsioon väärtuseks 0 (üks).

Tõsi on ka vastupidine väide, millel see põhineb mis tahes esindamise viis Tabelis määratud tõeväärtusfunktsioon.

Näiteks tabeliga antud funktsioon

vastama

Saadud avaldised saab loogika algebra omaduste põhjal teisendada teisele kujule.

Näiteks funktsiooni jaoks juures=
kattekiht vastab mitte-minimaalsele kujule:

riis a) juures=,

kate riisile b) juures=
, riis c) juures=
minimaalne.

Riis. Funktsioonide katvus juures=:

a) mitteminimaalne; b), c) miinimum.

Funktsiooni kuvamine sisse lülitatud n-mõõdetakse selgelt ja lihtsalt n3. Neljamõõtmelist kuupi saab kujutada nii nagu on näidatud joonisel., mis näitab nelja muutuja funktsiooni ja selle minimaalset katvust, mis vastab avaldisele. juures=

Seda meetodit kasutades, kui n>4 nõuab nii keerulisi moodustisi, et kaotab kõik oma eelised.

Ratsionaalfunktsioon on murdosa vormist, mille lugejaks ja nimetajaks on polünoomid või polünoomide korrutised.

Näide 1. 2. samm.

Korrutame määramata koefitsiendid polünoomidega, mis ei ole selles üksikmurrus, kuid on teistes saadud murdudes:

Avame sulud ja võrdsustame algse integrandi lugeja saadud avaldisega:

Võrdsuse mõlemal poolel otsime termineid, millel on samad x astmed, ja koostame nendest võrrandisüsteemi:

Tühistame kõik x-id ja saame samaväärse võrrandisüsteemi:

Seega on integrandi lõplik laiendus lihtmurdude summaks:

Näide 2. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

Nüüd hakkame otsima ebakindlaid koefitsiente. Selleks võrdsustame funktsiooniavaldises oleva algse murru lugeja avaldise lugejaga, mis saadakse pärast murdude summa taandamist ühiseks nimetajaks:

Nüüd peate looma ja lahendama võrrandisüsteemi. Selleks võrdsustame muutuja koefitsiendid vastava astmega funktsiooni algse avaldise lugejas ja sarnased koefitsiendid eelmises etapis saadud avaldises:

Lahendame saadud süsteemi:

Niisiis, siit

Näide 3. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

Hakkame otsima ebakindlaid koefitsiente. Selleks võrdsustame funktsiooniavaldises oleva algse murru lugeja avaldise lugejaga, mis saadakse pärast murdude summa taandamist ühiseks nimetajaks:

Nagu eelmistes näidetes, koostame võrrandisüsteemi:

Vähendame x-e ja saame samaväärse võrrandisüsteemi:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

Näide 4. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

Teame juba varasematest näidetest, kuidas võrdsustada algmurru lugejat lugejas oleva avaldisega, mis on saadud pärast murdarvu lammutamist lihtmurdude summaks ja selle summa viimist ühisnimetajasse. Seetõttu esitame lihtsalt kontrolli eesmärgil saadud võrrandisüsteemi:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

Näide 5. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

Me taandame selle summa iseseisvalt ühiseks nimetajaks, võrdsustades selle avaldise lugeja algmurru lugejaga. Tulemuseks peaks olema järgmine võrrandisüsteem:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

Näide 6. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

Teeme selle summaga samad toimingud nagu eelmistes näidetes. Tulemuseks peaks olema järgmine võrrandisüsteem:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

Näide 7. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

Pärast teatud toiminguid saadud summaga tuleks saada järgmine võrrandisüsteem:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

Näide 8. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

Teeme võrrandisüsteemi saamiseks mõned muudatused toimingutes, mis on juba automaatseks viidud. On kunstlik tehnika, mis mõnel juhul aitab vältida tarbetuid arvutusi. Viies murdude summa ühise nimetajani, saame ja võrdsustades selle avaldise lugeja algmurru lugejaga, saame.

Võrdsus (I) on identiteet. Taandades selle täisarvuks, saame 2 polünoomi võrdsuse. Kuid selline võrdsus on alati täidetud ainult nende polünoomide perioodilise võrdsuse tingimusel.

Võrdsustades x samade astmete koefitsiendid võrrandi vasakul ja paremal küljel, saame tundmatute kordajate jaoks lineaarvõrrandisüsteemi, mis tuleb lahendada.

Kuna laiendus (I) eksisteerib alati iga õige ratsionaalse murdosa korral, on tulemuseks olev süsteem alati järjepidev.

Seda koefitsientide leidmise meetodit nimetatakse ebakindlate koefitsientide meetodiks (koefitsientide võrdlemise meetod).

Toome näite ratsionaalse funktsiooni lagunemisest elementaarmurdudeks.

Näide 6.6.27. Jaotage murrud elementaarmurdudeks.

asendada viimane võrrand teisega

Seega
.

x=2 ;

x=3 .

Peaks; .

Osaväärtuse meetod nõuab vähem tööjõudu ja väärib seetõttu ratsionaalsete murdude integreerimisel erilist tähelepanu.

Kui nimetaja juured on ainult reaalsed, siis on soovitatav kasutada seda meetodit tundmatute koefitsientide määramiseks.

Muudel juhtudel saab tundmatute koefitsientide määramiseks kombineerida mõlemat meetodit.

Kommenteeri. Osaväärtuste meetodit kasutatakse ka muudel juhtudel, kuid siin tuleb identiteeti eristada.

Seega, õigete ratsionaalsete murdude integreerimiseks piisab, kui suudate:

1) lõimida elementaarmurde;

2) lagundab ratsionaalsed murded elementaarmurrudeks.

3. Ratsionaalsete murdude integreerimine

Skeem ratsionaalsete murdude integreerimiseks:

Ratsionaalsete murdude integreerimiseks ;

Kui P(x) ja Q(x) on reaalkoefitsientidega polünoomid, tehakse kolm sammu järjestikku.

Esimene samm. Kui murd on vale, see tähendab, et lugeja P(x) aste on suurem või võrdne nimetaja Q(x) astmega, eraldage ratsionaalse murru kogu osa, jagades lugeja nimetajaga vastavalt polünoomi polünoomiga jagamise reeglile. Pärast seda saab ratsionaalse murru kirjutada summana:

1) valitud täisarvuline osa – polünoom M(x);

2) õige jääkmurd :

Teine samm.

Õige jäägi murd lagunevad järgmisteks osadeks.

Selleks leidke võrrandi Q(x)=0 juured ja jagage nimetaja Q(x) reaalkoefitsientidega esimese ja teise astme teguriteks:

Nimetaja selles laiendamises vastavad 1. astme tegurid reaaljuurtele ja 2. astme tegurid paralleelsetele konjugaatjuurtele.

Koefitsienti x suurema astme korral nimetajas Q(x) võib pidada võrdseks 1-ga, kuna seda saab alati saavutada, jagades P(x) ja Q(x) sellega.

Pärast seda jagatakse õige jääkfraktsioon kõige lihtsamateks (elementaar)fraktsioonideks.

Kolmas samm. Leia valitud täisarvu ja kõigi elementaarmurdude integraalid (kasutades ülalpool käsitletud meetodeid), mis seejärel liidetakse.

Näide6.6.28.

Integraalimärgi all on vale ratsionaalne murd, kuna lugeja aste on võrdne nimetaja astmega, seega valime täisarvulise osa.