Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Kas arvate, et ühtse riigieksamini on veel aega ja jõuate ettevalmistuseks? Võib-olla on see nii. Kuid igal juhul, mida varem õpilane ettevalmistust alustab, seda edukamalt ta eksamid sooritab. Täna otsustasime pühendada artikli logaritmilistele ebavõrdsustele. See on üks ülesannetest, mis tähendab võimalust saada lisakrediiti.
Kas sa juba tead, mis on logaritm? Loodame väga. Kuid isegi kui teil pole sellele küsimusele vastust, pole see probleem. Mõista, mis on logaritm, on väga lihtne.
Miks 4? Peate tõstma arvu 3 selle astmeni, et saada 81. Kui olete põhimõttest aru saanud, võite jätkata keerukamate arvutustega.
Elasite paar aastat tagasi läbi ebavõrdsuse. Ja sellest ajast saadik olete nendega matemaatikas pidevalt kokku puutunud. Kui teil on probleeme ebavõrdsuse lahendamisega, vaadake vastavat jaotist.
Nüüd, kui oleme mõistetega individuaalselt tuttavaks saanud, jätkame nende üldistamist.
Lihtsaim logaritmiline võrratus.
Selle näitega ei piirdu kõige lihtsamad logaritmilised võrratused, neid on veel kolm, ainult erinevate märkidega. Miks see vajalik on? Et paremini aru saada, kuidas lahendada ebavõrdsust logaritmidega. Toome nüüd sobivama näite, mis on siiski üsna lihtne; jätame keerulised logaritmilised ebavõrdsused hilisemaks.
Kuidas seda lahendada? Kõik algab ODZ-st. Tasub sellest rohkem teada saada, kui tahad ebavõrdsust alati lihtsalt lahendada.
Mis on ODZ? ODZ logaritmiliste võrratuste jaoks
Lühend tähistab vastuvõetavate väärtuste vahemikku. See sõnastus tuleb sageli ette ühtse riigieksami ülesannetes. ODZ on teile kasulik mitte ainult logaritmilise ebavõrdsuse korral.
Vaadake uuesti ülaltoodud näidet. Vaatleme selle põhjal ODZ-d, et saaksite põhimõttest aru ja logaritmiliste ebavõrdsuste lahendamine ei tekita küsimusi. Logaritmi definitsioonist järeldub, et 2x+4 peab olema suurem kui null. Meie puhul tähendab see järgmist.
See arv peab definitsiooni järgi olema positiivne. Lahendage ülaltoodud ebavõrdsus. Seda saab teha isegi suuliselt, siin on selge, et X ei saa olla väiksem kui 2. Ebavõrdsuse lahenduseks on vastuvõetavate väärtuste vahemiku määratlus.
Liigume nüüd lihtsaima logaritmilise võrratuse lahendamise juurde.
Jätame kõrvale logaritmid ise mõlemalt poolt ebavõrdsuselt. Mis meile sellest tulenevalt üle jääb? Lihtne ebavõrdsus.
Seda pole raske lahendada. X peab olema suurem kui -0,5. Nüüd ühendame kaks saadud väärtust süsteemi. Seega
See on vaadeldava logaritmilise ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemik.
Miks meil ODZ-d üldse vaja on? See on võimalus ebaõiged ja võimatud vastused välja rookida. Kui vastus ei jää vastuvõetavate väärtuste vahemikku, siis pole vastusel lihtsalt mõtet. Seda tasub pikka aega meeles pidada, kuna ühtsel riigieksamil on sageli vaja otsida ODZ-d ja see ei puuduta ainult logaritmilist ebavõrdsust.
Algoritm logaritmilise võrratuse lahendamiseks
Lahendus koosneb mitmest etapist. Esiteks peate leidma vastuvõetavate väärtuste vahemiku. ODZ-l on kaks tähendust, me arutasime seda eespool. Järgmiseks peate lahendama ebavõrdsuse. Lahendusmeetodid on järgmised:
- kordaja asendamise meetod;
- lagunemine;
- ratsionaliseerimise meetod.
Olenevalt olukorrast tasub kasutada ühte ülaltoodud meetoditest. Liigume otse lahenduse juurde. Toome välja kõige populaarsema meetodi, mis sobib ühtse riigieksami ülesannete lahendamiseks peaaegu kõigil juhtudel. Järgmisena vaatleme lagunemismeetodit. See võib aidata, kui puutute kokku eriti keerulise ebavõrdsusega. Niisiis, algoritm logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks.
Näited lahendustest :
Pole asjata, et me võtsime täpselt selle ebavõrdsuse! Pöörake tähelepanu alusele. Pidage meeles: kui see on suurem kui üks, jääb märk aktsepteeritavate väärtuste vahemiku leidmisel samaks; vastasel juhul peate ebavõrdsuse märki muutma.
Selle tulemusena saame ebavõrdsuse:
Nüüd taandame vasaku külje võrrandi kujule, mis on võrdne nulliga. Märgi "vähem kui" asemel paneme "võrdub" ja lahendame võrrandi. Seega leiame ODZ-i. Loodame, et teil ei teki nii lihtsa võrrandi lahendamisel probleeme. Vastused on -4 ja -2. See pole veel kõik. Peate need punktid graafikul kuvama, asetades "+" ja "-". Mida tuleb selleks teha? Asendage intervallide arvud avaldisesse. Kui väärtused on positiivsed, paneme sinna "+".
Vastus: x ei saa olla suurem kui -4 ja väiksem kui -2.
Oleme leidnud ainult vasaku poole vastuvõetavate väärtuste vahemiku; nüüd peame leidma parema külje vastuvõetavate väärtuste vahemiku. See on palju lihtsam. Vastus: -2. Lõikame mõlemad saadud alad.
Ja alles nüüd hakkame tegelema ebavõrdsusega.
Lihtsustame seda nii palju kui võimalik, et seda oleks lihtsam lahendada.
Lahenduses kasutame taas intervallmeetodit. Jätame arvutused vahele; eelmisest näitest on kõik juba selge. Vastus.
Kuid see meetod sobib, kui logaritmilise ebavõrdsuse alused on samad.
Erinevate alustega logaritmvõrrandite ja võrratuste lahendamine eeldab esialgset taandamist samale alusele. Järgmisena kasutage ülalkirjeldatud meetodit. Kuid on keerulisem juhtum. Vaatleme üht kõige keerulisemat logaritmilise ebavõrdsuse tüüpi.
Logaritmilised võrratused muutuva alusega
Kuidas selliste tunnustega ebavõrdsust lahendada? Jah, ja selliseid inimesi võib leida ühtsest riigieksamist. Ebavõrdsuse lahendamine järgmisel viisil avaldab soodsat mõju ka teie haridusprotsessile. Vaatame probleemi üksikasjalikult. Heidame teooria kõrvale ja läheme otse praktika juurde. Logaritmiliste võrratuste lahendamiseks piisab, kui end näitega korra kurssi viia.
Esitatud vormi logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja taandada parempoolne külg sama alusega logaritmiks. Põhimõte sarnaneb samaväärsete üleminekutega. Selle tulemusena näeb ebavõrdsus välja selline.
Tegelikult jääb üle vaid luua logaritmideta ebavõrdsuste süsteem. Ratsionaliseerimismeetodit kasutades liigume edasi samaväärse ebavõrdsuse süsteemi juurde. Reeglist endast saate aru, kui asendate sobivad väärtused ja jälgite nende muutusi. Süsteemis on järgmised ebavõrdsused.
Võrratuste lahendamisel ratsionaliseerimismeetodi kasutamisel tuleb meeles pidada järgmist: üks tuleb lahutada alusest, x lahutatakse logaritmi definitsiooni järgi mõlemalt võrratuse poolelt (paremal vasakult), kaks avaldist korrutatakse ja seatud algse märgi alla nulli suhtes.
Edasine lahendus viiakse läbi intervallmeetodil, siin on kõik lihtne. Teil on oluline mõista lahendusmeetodite erinevusi, siis hakkab kõik lihtsalt sujuma.
Logaritmilises ebavõrdsuses on palju nüansse. Lihtsamaid neist on üsna lihtne lahendada. Kuidas saate neid kõiki probleemideta lahendada? Olete juba saanud kõik vastused selles artiklis. Nüüd ootab teid ees pikk praktika. Harjutage pidevalt erinevate ülesannete lahendamist eksamil ja saate kõrgeima punktisumma. Edu teile raskes ülesandes!
Logaritmiliste võrratuste hulgast uuritakse eraldi muutuva alusega võrratusi. Neid lahendatakse spetsiaalse valemi abil, mida koolis millegipärast harva õpetatakse. Ettekandes esitatakse lahendused matemaatika ühtse riigieksami - 2014 ülesannetele C3.
Lae alla:
Eelvaade:
Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com
Slaidi pealdised:
Logaritmi baasis muutujat sisaldavate logaritmiliste võrratuste lahendamine: meetodid, tehnikad, ekvivalentsed üleminekud, matemaatika õpetaja, 143. keskkool Knyazkina T.V.
Logaritmiliste võrratuste hulgast uuritakse eraldi muutuva alusega võrratusi. Neid lahendatakse spetsiaalse valemi abil, mida koolis millegipärast harva õpetatakse: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Märkeruudu “∨” asemel võib panna suvalise ebavõrdsuse märgi: rohkem või vähem. Peaasi, et mõlemas ebavõrdsuses on märgid samad. Nii saame lahti logaritmidest ja taandame ülesande ratsionaalseks ebavõrdsuks. Viimast on palju lihtsam lahendada, kuid logaritmidest loobumisel võivad tekkida lisajuured. Nende ära lõikamiseks piisab, kui leida vastuvõetavate väärtuste vahemik. Ärge unustage logaritmi ODZ-d! Kõik vastuvõetavate väärtuste vahemikuga seonduv tuleb eraldi välja kirjutada ja lahendada: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Need neli võrratust moodustavad süsteemi ja peavad olema täidetud samaaegselt. Kui vastuvõetavate väärtuste vahemik on leitud, jääb üle vaid ristuda ratsionaalse ebavõrdsuse lahendusega - ja vastus on valmis.
Lahendage võrratus: Lahendus Esmalt kirjutame välja logaritmi OD. Kaks esimest võrratust rahuldatakse automaatselt, kuid viimane tuleb üles kirjutada. Kuna arvu ruut võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui arv ise on võrdne nulliga, on meil: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Selgub, et logaritmi ODZ on kõik arvud peale nulli: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Nüüd lahendame peamise ebavõrdsuse: liigume logaritmiliselt ebavõrdselt ratsionaalsele. Algsel ebavõrdsusel on märk "vähem kui", mis tähendab, et saadud ebavõrdsusel peab olema ka märk "vähem kui".
Meil on: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)
Logaritmiliste ebavõrdsuste teisendamine Sageli erineb algne võrratus ülaltoodust. Seda saab hõlpsasti parandada, kasutades standardseid logaritmidega töötamise reegleid. Nimelt: Suvalist arvu saab esitada logaritmina antud baasiga; Samade alustega logaritmide summa ja erinevuse saab asendada ühe logaritmiga. Eraldi tahaksin teile meelde tuletada vastuvõetavate väärtuste vahemikku. Kuna algses võrratuses võib olla mitu logaritmi, tuleb leida neist igaühe VA. Seega on logaritmiliste võrratuste lahendamise üldine skeem järgmine: Leia iga võrratuse hulka kuuluva logaritmi VA; Vähendage ebavõrdsus standardseks, kasutades logaritmide liitmise ja lahutamise valemeid; Lahendage saadud võrratus ülaltoodud skeemi abil.
Lahendage võrratus: Lahendus Leiame esimese logaritmi definitsioonipiirkonna (DO): Lahenda intervallide meetodil. Leidke lugeja nullkohad: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Siis - nimetaja nullid: x − 1 = 0; x = 1. Märgi koordinaatjoonele nullid ja märgid:
Saame x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Teisel logaritmil on sama VA. Kui te ei usu, võite seda kontrollida. Nüüd teisendame teise logaritmi nii, et baasis on kaks: Nagu näete, on logaritmi baasi ja ees olevad kolmed tühistatud. Saime kaks logaritmi sama alusega. Liitke need kokku: log 2 (x − 1) 2
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)
Oleme huvitatud hulkade ristumiskohast, seega valime intervallid, mis on mõlemal noolel varjutatud. Saame: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - kõik punktid on punkteeritud. Vastus: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
USE-2014 ülesannete lahendamine tüüp C3
Lahendage võrratuste süsteem Lahendus. ODZ: 1) 2)
Lahendage võrratuste süsteem 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (jätkub)
Lahendage võrratuste süsteem 4) Üldlahendus: ja -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (jätkub)
Lahendage võrratus (jätkub) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Lahenda ebavõrdsus Lahendus. ODZ:
Lahenda ebavõrdsus (jätkub)
Lahenda ebavõrdsus Lahendus. ODZ: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2
Logaritmiliste võrratuste hulgast uuritakse eraldi muutuva alusega võrratusi. Neid lahendatakse spetsiaalse valemi abil, mida koolis mingil põhjusel harva õpetatakse:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Märkeruudu “∨” asemel võite panna mis tahes ebavõrdsuse märgi: rohkem või vähem. Peaasi, et mõlemas ebavõrdsuses on märgid samad.
Nii saame lahti logaritmidest ja taandame ülesande ratsionaalseks ebavõrdsuks. Viimast on palju lihtsam lahendada, kuid logaritmidest loobumisel võivad tekkida lisajuured. Nende ära lõikamiseks piisab, kui leida vastuvõetavate väärtuste vahemik. Kui olete logaritmi ODZ-i unustanud, soovitan tungivalt seda korrata - vaadake "Mis on logaritm".
Kõik vastuvõetavate väärtuste vahemikuga seonduv tuleb eraldi välja kirjutada ja lahendada:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Need neli ebavõrdsust moodustavad süsteemi ja neid tuleb täita üheaegselt. Kui vastuvõetavate väärtuste vahemik on leitud, jääb üle vaid ristuda ratsionaalse ebavõrdsuse lahendusega - ja vastus on valmis.
Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:
Kõigepealt kirjutame välja logaritmi ODZ:
Esimesed kaks ebavõrdsust rahuldatakse automaatselt, kuid viimane tuleb välja kirjutada. Kuna arvu ruut on null siis ja ainult siis, kui arv ise on null, on meil:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Selgub, et logaritmi ODZ on kõik arvud peale nulli: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nüüd lahendame peamise ebavõrdsuse:
Teeme ülemineku logaritmiliselt ebavõrdsusest ratsionaalsele. Algsel ebavõrdsusel on märk "vähem kui", mis tähendab, et saadud ebavõrdsusel peab olema ka märk "vähem kui". Meil on:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3–x) · (3 + x) · x 2< 0.
Selle avaldise nullid on: x = 3; x = −3; x = 0. Veelgi enam, x = 0 on teise kordsuse juur, mis tähendab, et selle läbimisel funktsiooni märk ei muutu. Meil on:
Saame x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). See komplekt sisaldub täielikult logaritmi ODZ-s, mis tähendab, et see on vastus.
Logaritmiliste võrratuste teisendamine
Sageli erineb algne ebavõrdsus ülaltoodust. Seda saab hõlpsasti parandada, kasutades standardseid logaritmidega töötamise reegleid – vt “Logaritmide põhiomadused”. Nimelt:
- Iga arvu saab esitada logaritmina antud baasiga;
- Samade alustega logaritmide summa ja erinevuse saab asendada ühe logaritmiga.
Eraldi tahaksin teile meelde tuletada vastuvõetavate väärtuste vahemikku. Kuna algses võrratuses võib olla mitu logaritmi, tuleb leida neist igaühe VA. Seega on logaritmiliste võrratuste lahendamise üldine skeem järgmine:
- Leia iga võrratuse hulka kuuluva logaritmi VA;
- Vähendage ebavõrdsus standardseks, kasutades logaritmide liitmise ja lahutamise valemeid;
- Lahendage saadud võrratus ülaltoodud skeemi abil.
Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:
Leiame esimese logaritmi määratluspiirkonna (DO):
Lahendame intervallmeetodil. Lugeja nullide leidmine:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Siis - nimetaja nullid:
x − 1 = 0;
x = 1.
Koordinaatide noolele märgime nullid ja märgid:
Saame x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Teisel logaritmil on sama VA. Kui te ei usu, võite seda kontrollida. Nüüd teisendame teise logaritmi nii, et alus on kaks:
Nagu näete, on logaritmi baasis ja ees olevad kolmed vähendatud. Saime kaks logaritmi sama alusega. Liidame need kokku:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Saime standardse logaritmilise ebavõrdsuse. Logaritmidest vabaneme valemi abil. Kuna algne ebavõrdsus sisaldab märki "vähem kui", peab ka sellest tulenev ratsionaalne avaldis olema väiksem kui null. Meil on:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Meil on kaks komplekti:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Vastuskandidaat: x ∈ (−1; 3).
Jääb üle need komplektid ristuda - saame tõelise vastuse:
Oleme huvitatud hulkade ristumiskohast, seega valime intervallid, mis on mõlemal noolel varjutatud. Saame x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - kõik punktid on punkteeritud.
Ühe ebavõrdsuse tund arendab uurimisoskusi, äratab õpilaste mõtteid, arendab intelligentsust ja suurendab õpilaste huvi töö vastu. Kõige parem on seda läbi viia, kui õpilased on omandanud vajalikud mõisted ja analüüsinud mitmeid konkreetseid võtteid logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks. Selles tunnis osalevad õpilased aktiivselt lahenduse leidmisel.
Tunni tüüp
. Õppetund teadmiste, oskuste, võimete rakendamisest uues olukorras. (Õpitava materjali süstematiseerimise ja üldistamise tund).Tunni eesmärgid
:- hariv : arendada oskusi ja oskusi lahendada määratud tüüpi logaritmilisi võrratusi erineval viisil; õpetab iseseisvalt teadmisi omandama (õpilase enda tegevus õppematerjalide sisu õppimisel ja valdamisel);
- arenev : töö kõne arendamise alal; õpetada analüüsima, peamist esile tõstma, loogilisi järeldusi tõestama ja ümber lükkama;
- hariv : moraalsete omaduste kujundamine, inimlikud suhted, täpsus, distsipliin, enesehinnang, vastutustundlik suhtumine eesmärgi saavutamisse.
Tundide ajal.
1. Organisatsioonimoment.
Suuline töö.
2. Kodutööde kontrollimine.
Kirjutage matemaatilises keeles üles järgmised laused: "Arvud a ja b asuvad ühe ühel küljel", "Arvud a ja b on ühiku vastaskülgedel" ja tõestage saadud võrratused. (Üks õpilastest valmistas eelnevalt tahvlile lahenduse).
3. Teatage tunni teemast, selle eesmärkidest ja eesmärkidest.
Analüüsides matemaatika sisseastumiseksamite võimalusi, võib märgata, et eksamite logaritmiteooriast kohtab sageli logaritmilisi võrratusi, mis sisaldavad muutujat logaritmi all ja logaritmi aluses.
Meie õppetund on õppetund ühest ebavõrdsusest, mis sisaldab muutujat logaritmi all ja logaritmi aluses, lahendatud erineval viisil. Nad ütlevad, et parem on lahendada üks ebavõrdsus, kuid erineval viisil, kui mitu ebavõrdsust samal viisil. Tõepoolest, peaksite saama oma otsuseid kontrollida. Pole paremat testi kui ülesande lahendamine teistmoodi ja sama vastuse saamine (võite jõuda samade süsteemide, samade võrratusteni, võrranditeni erineval viisil). Kuid mitte ainult selle eesmärgi poole püüeldakse ülesandeid erineval viisil lahendades. Erinevate lahenduste otsimine, kõigi võimalike juhtumite läbimõtlemine, nende kriitiline hindamine, et tuua esile kõige ratsionaalsem ja ilusam, on matemaatilise mõtlemise arendamisel oluline tegur, mis juhatab mallist eemale. Seetõttu lahendame täna ainult ühe ebavõrdsuse, kuid proovime selle lahendamiseks leida mitu võimalust.
4. Teadmiste loov rakendamine ja omandamine, tegevusmeetodite valdamine probleemsete ülesannete lahendamisel, mis on üles ehitatud eelnevalt omandatud teadmistele ja oskustele ebavõrdsuse logi x lahendamisel (x 2 – 2x – 3)< 0.
Siin on lahendus sellele ebavõrdsusele, mis on võetud ühest eksamitööst. Vaadake seda hoolikalt ja proovige lahendust analüüsida. (Ebavõrdsuse lahendus kirjutatakse eelnevalt tahvlile)
log x (x 2 – 2x – 3)< log x 1;
a) x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 – 2x – 3< 1;
x 2 – 2x – 3 = 0; x 2-2x-4< 0;
x 1 = - 1, x 2 = 3; x 2 – 2x – 4 = 0;
c) süsteemi lahendus
Õpilaste võimalikud selgitused:
See ei ole võrrand, vaid ebavõrdsus, seetõttu, liikudes logaritmilisest võrratusest ratsionaalsele, sõltub ebavõrdsuse märk logaritmi alusest ja logaritmilise funktsiooni monotoonsusest.
Sellise otsusega on võimalik omandada kõrvalisi lahendusi ehk lahendusi kaotada ning on võimalik, et vale otsusega saadakse õige vastus.
Kuidas siis oli vaja lahendada see võrratus, milles muutuja on logaritmi märgi all ja logaritmi baasis?!
See ebavõrdsus on samaväärne kahe ebavõrdsussüsteemi kombinatsiooniga.
Esimesel ebavõrdsuse süsteemil pole lahendusi.
Lahendus ebavõrdsuse süsteemile saab olema
Eksamitööst välja pakutud ebavõrdsuse lahenduses oli vastus õige. Miks?
Õpilaste võimalikud vastused:
Kuna funktsiooni definitsioonipiirkond võrratuse vasakul küljel koosneb arvudest, mis on suuremad kui 3, siis funktsioon y = log x t kasvab. Seetõttu osutus vastus õigeks.
Kuidas oli võimalik matemaatiliselt õige lahendus eksamitöösse kirja panna?
II meetod.
Leiame ebavõrdsuse vasakult küljelt funktsiooni definitsioonipiirkonna ja siis defineerimisvaldkonda arvesse võttes vaatleme ainult ühte juhtumit
Kuidas muidu seda ebavõrdsust lahendada? Milliseid valemeid saab kasutada?
Valem uude baasi liikumiseks a > 0, a 1
III meetod.
IV meetod.
Kas ebavõrdsuse enda kohta saab rakendada fakti, et logaritm on väiksem kui null?
Jah. Logaritmi all olev avaldis ja logaritmi alus on ühe vastaskülgedel, kuid positiivsed!
See tähendab, et saame jälle sama kahe ebavõrdsussüsteemi komplekti:
Kõik vaadeldud meetodid viivad kahe ebavõrdsuse süsteemi kombinatsioonini. Kõigil juhtudel saadakse sama vastus. Kõik meetodid on teoreetiliselt õigustatud.
Küsimus õpilastele: Mis te arvate, miks esitati kodutöös küsimus, mis ei olnud seotud 11. klassis õpitava materjaliga?
Teades logaritmi omadusi, et logi a b< 0 , Kui a Ja b 1 vastaskülgedel,
log a b > 0, kui a Ja bühel pool 1-st saad väga huvitava ja ootamatu viisi ebavõrdsuse lahendamiseks. Sellest meetodist on kirjutatud ajakirja “Quantum” 1990. aasta artiklis “Mõned kasulikud logaritmilised seosed” nr 10.
log g(x) f(x) > 0, kui
log g(x) f(x)< 0, если
(Miks tingimus g(x) 1 pole vaja kirjutada?)
Lahendus ebavõrdsusele log x (x 2 – 2x – 3)< 0 näeb välja selline:
a) x 2 – 2x – 3 > 0; b) (x – 1) (x 2 – 2x – 4)< 0;
c) ebavõrdsuse süsteemi lahendus
VI meetod.
Intervall meetod. (“Logaritmiliste võrratuste lahendamine intervallmeetodil” on järgmise tunni teema).
5. Tehtud töö tulemus.
1. Millistel viisidel lahendati ebavõrdsus? Kui palju võimalusi selle lahendamiseks
Kas leidsime ebavõrdsust?
2. Milline neist on kõige ratsionaalsem? ilus?
3. Millest lähtuti iga juhtumi puhul ebavõrdsuse lahendus?
4. Miks see ebavõrdsus huvitav on?
Õpetaja töö kvalitatiivsed omadused klassiruumis.
6. Õpitava materjali üldistamine.
Kas seda ebavõrdsust saab käsitleda üldisema probleemi erijuhtumina?
Vormi ebavõrdsus log g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x) saab taandada ebavõrdsusele log g(x) p(x)<(>) 0 kasutades logaritmide omadusi ja võrratuste omadusi.
Lahendage ebavõrdsus
log x (x 2 + 3x – 3) > 1
mis tahes vaadeldavatest meetoditest.
7. Kodutöö, juhised selle täitmiseks
.1. Lahendage ebavõrdsused (matemaatika sisseastumiseksamite valikutest):
2. Järgmises tunnis käsitleme logaritmilisi võrratusi, mis lahendatakse intervallmeetodil. Korrake võrratuste lahendamise algoritmi intervallmeetodil.
3. Järjesta numbrid kasvavas järjekorras (selgitage, miks see paigutus):
log 0,3 5; ; ; log 0,5 3 (korda järgmise õppetunni jaoks).