see - vanim geomeetriline probleem.
Samm-sammuline juhendamine
1. meetod. - "Kuldse" või "Egiptuse" kolmnurga kasutamine. Selle kolmnurga külgedel on kuvasuhe 3:4:5 ja nurk on täpselt 90 kraadi. Seda kvaliteeti kasutasid laialdaselt iidsed egiptlased ja teised iidsed kultuurid.
Ill.1. Kuldse ehitamine või Egiptuse kolmnurk
- Valmistame kolm mõõtu (või köiskompassid - köis kahel naelal või pulgal) pikkusega 3; 4; 5 meetrit. Vanad inimesed kasutasid sageli sõlmede sidumise meetodit võrdsed vahemaad nende vahel. Pikkusühik - " sõlm».
- Ajame naela punktis O ja kinnitame sellele mõõdiku “R3 - 3 sõlme”.
- Venitame köie mööda teadaolev piir– ettenähtud punkti A suunas.
- Piirjoone - punkti A pinge hetkel sõidame naela sisse.
- Seejärel - jälle punktist O, venitage mõõt R4 mööda teist piiri. Me ei aja veel naela sisse.
- Pärast seda venitame mõõtu R5 - punktist A punktini B.
- Me sõidame pulgaga mõõtmiste R2 ja R3 ristumiskohas. - See soovitud punkt IN - kuldse kolmnurga kolmas tipp, külgedega 3;4;5 ja täisnurgaga punktis O.
2. meetod. Kompassi kasutamine.
Kompass võib olla köis või sammulugeja. cm:
Meie kompassi sammulugeja samm on 1 meeter.
Ill.2. Kompassi sammulugeja
Ehitus - ka Ill 1 järgi.
- Võrdluspunktist - punktist O - naabri nurgast tõmmake suvalise pikkusega segment - kuid suurem kui kompassi raadius = 1m - igas suunas keskpunktist (lõik AB).
- Asetame kompassi jala punkti O.
- Joonistame ringi raadiusega (kompassi samm) = 1 m. Piisab, kui joonistada lühikesed kaared - igaüks 10-20 sentimeetrit, ristumiskohas märgitud segmendiga (läbi punktide A ja B). Selle toiminguga leidsime keskusest võrdsel kaugusel asuvad punktid- A ja B. Kaugus keskusest ei oma siin tähtsust. Saate need punktid lihtsalt mõõdulindiga märkida.
- Järgmisena peate joonistama kaared, mille keskpunktid on punktides A ja B, kuid mitu (suvaliselt) suurem raadius, kui R=1m. Saate meie kompassi ümber seadistada suurema raadiusega, kui sellel on reguleeritav samm. Aga nii väikesele praegune ülesanne Ma ei tahaks seda "tõmmata". Või kui reguleerimist pole. Saab teha poole minutiga köiskompass.
- Asetame esimese naela (või kompassi jala, mille raadius on suurem kui 1 m) vaheldumisi punktidesse A ja B. Teise naelaga tõmmake kaks kaare - köie pingul olekus - nii, et need lõikuvad mõlemaga. muud. See on võimalik kahes punktis: C ja D, kuid piisab ühest - C. Ja jällegi piisab lühikestest serifidest punktis C ristmikul.
- Joonistage sirgjoon (lõik) läbi punktide C ja D.
- Kõik! Saadud segment ehk sirgjoon on täpne suund põhjas :). Vabandust, - täisnurga all.
- Joonisel on kaks naabri kinnistu piiride lahknevuse juhtumit. Joonisel 3a on kujutatud juhtum, kus naabri tara liigub soovitud suunast tema kahjuks. 3b – ta ronis teie saidile. Olukorras 3a on võimalik konstrueerida kaks “juhtpunkti”: nii C kui ka D. Olukorras 3b ainult C.
- Asetage pulk nurgale O ja ajutine pulk punkti C ning venitage nöör punktist C kuni saidi tagumise piirini. - Nii et juhe puudutab vaevu tihvti O. Mõõtes punktist O - suunas D, külje pikkus vastavalt üldplaanile, saate saidi usaldusväärse tagumise parema nurga.
Ill.3. Ehitus täisnurk– naabrinurgast sammulugeja ja köiekompassi abil
Kui sul on kompass-sammulugeja, siis saate täiesti ilma trossita hakkama. Eelmises näites kasutasime sammulugeja omadest suurema raadiusega kaare joonistamiseks trossi. Rohkem sellepärast, et need kaared peavad kuskil lõikuma. Selleks, et kaared saaks tõmmata sammulugejaga sama raadiusega - 1m ja nende ristumiskoha garantiiga, on vaja, et punktid A ja B oleksid ringi sees, mille R = 1m.
- Seejärel mõõtke need võrdsel kaugusel olevad punktid rulett- V erinevad küljed keskelt, kuid alati mööda joont AB (naabri aiajoon). Mida lähemal on punktid A ja B keskusele, seda kaugemal on juhtpunktid: C ja D ning seda rohkem täpsemad mõõtmised. Joonisel on selleks vahemaaks võetud umbes veerand sammulugeja raadiusest = 260mm.
Ill.4. Täisnurga konstrueerimine sammulugeja ja mõõdulindi abil
- See tegevusskeem pole vähem oluline mis tahes ristküliku, eriti ristkülikukujulise vundamendi kontuuri ehitamisel. Saate selle täiuslikult vastu. Selle diagonaale tuleb muidugi kontrollida, aga kas vaev ei vähene? – Võrreldes sellega, kui vundamendi kontuuri diagonaale, nurki ja külgi liigutatakse edasi-tagasi, kuni nurgad kokku saavad.
Tegelikult me otsustasime geomeetriline probleem maapinnal. Et muuta oma tegevus saidil enesekindlamaks, harjutage paberil – kasutades tavalist kompassi. Mis põhimõtteliselt ei erine.
Mis tahes joonise konstrueerimiseks või tooriku tasapinnaliseks märgistamiseks enne selle töötlemist on vaja läbi viia mitmeid graafilisi toiminguid - geomeetrilisi konstruktsioone.
Joonisel fig. Joonisel 2.1 on kujutatud lamedat osa – plaati. Selle joonise joonistamiseks või terasribale kontuuri märkimiseks järgnevaks valmistamiseks peate seda tegema ehitustasandil, peamised on nummerdatud kursori nooltele kirjutatud numbritega. Numbrites 1 tähistab numbriga vastastikku risti asetsevate joonte ehitamist, mida tuleb sooritada mitmes kohas 2 – paralleelsete joonte joonistamine arvudes 3 – nende paralleelsete sirgete sidumine teatud raadiusega kaare, arvuga 4 – kaare ja sirge kaare konjugatsioon antud raadius, mis sisse sel juhul võrdne 10 mm, number 5 – kahe kindla raadiusega kaare paaristamine.
Nende ja teiste geomeetriliste konstruktsioonide teostamise tulemusena joonistatakse detaili kontuur.
Geomeetriline ehitus on ülesande lahendamise meetod, mille puhul vastus saadakse graafiliselt ilma arvutusteta. Konstruktsioonid teostatakse võimalikult hoolikalt joonistus- (või märgistus)vahenditega, sest sellest sõltub lahenduse täpsus.
Jooned, tingimustega antudülesandeid, nagu ka konstruktsioone, täidetakse tahkete peentena ja ehituse tulemusi tahkete põhilistena.
Joonist või märgistust tegema asudes tuleb esmalt kindlaks teha, milliseid geomeetrilisi konstruktsioone tuleb sel juhul rakendada, s.t. analüüsida pildi graafilist kompositsiooni.
Riis. 2.1.
Pildi graafilise kompositsiooni analüüs nimetatakse joonise täitmise jagamise protsessiks eraldi graafilisteks operatsioonideks.
Joonise koostamiseks vajalike toimingute tuvastamine muudab selle täitmise viisi valimise lihtsamaks. Kui teil on vaja joonistada näiteks joonisel fig. 2.1, siis selle kujutise kontuuri analüüs viib meid järeldusele, et peame rakendama järgmisi geomeetrilisi konstruktsioone: viiel juhul tõmmake üksteisega risti olevad keskjooned (joonis 1 ringis), neljal juhul joonista paralleelsed jooned(number 2 ), tõmmake kaks kontsentrilist ringi (0 50 ja 70 mm), kuuel juhul konstrueerige kahe paralleelse sirge kaaslased etteantud raadiusega kaarega (joonis 3 ) ja neljas - kaare ja sirge kaare sidumine raadiusega 10 mm (joonis 4 ), konstrueerige neljal juhul kahe kaare paar, mille kaar on raadiusega 5 mm (number 5 ringis).
Nende konstruktsioonide teostamiseks peate meeles pidama või õpikust kordama nende joonistamise reegleid.
Sel juhul on soovitatav joonise lõpetamiseks valida ratsionaalne viis. Valik ratsionaalne viis probleemi lahendamine vähendab tööle kuluvat aega. Näiteks ehitamisel Võrdkülgne kolmnurk, mis on kirjutatud ringi, on ratsionaalsem meetod konstrueerida see risttala ja 60° nurgaga ruudu abil ilma kolmnurga tippe eelnevalt kindlaks määramata (vt joonis 2.2, a, b). Vähem ratsionaalne viis sama ülesande lahendamiseks on kasutada kompassi ja risttala kolmnurga tippude eelmääramisega (vt joonis 2.2, V).
Segmentide jagamine ja nurkade konstrueerimine
Täisnurkade konstrueerimine
Ratsionaalne on konstrueerida 90° nurk risttala ja ruudu abil (joonis 2.2). Selleks piisab, kui tõmmata sirgjoon ja taastada sellega risti ruudu abil (joonis 2.2, A). Ratsionaalne on ehitada kaldlõigu suhtes risti liigutades (joonis 2.2, b) või pööramine (joonis 2.2, V) ruut.
Riis. 2.2.
Nüri- ja teravnurkade ehitus
Ratsionaalsed meetodid nurkade 120, 30 ja 150, 60 ja 120, 15 ja 165, 75 ja 105,45 ja 135° konstrueerimiseks on näidatud joonisel fig. 2.3, mis näitab ruutude asukohti nende nurkade konstrueerimiseks.
Riis. 2.3.
Nurga jagamine kaheks võrdseks osaks
Nurga tipust lähtudes kirjeldage ringi kaare suvaline raadius(joonis 2.4).
Riis. 2.4.
Punktidest ΜηΝ kaare ristumisnurk nurga külgedega kompassi lahendusega, rohkem kui pool kaared ΜΝ, teha kaks punktis ristuvat A serifid.
Saadud punkti kaudu A ja nurga tipp tõmbab sirge (nurga poolitaja).
Täisnurga jagamine kolmeks võrdseks osaks
Täisnurga tipust kirjeldage suvalise raadiusega ringikaare (joon. 2.5). Ilma kompassi nurka muutmata tehke kaare ja nurga külgede lõikepunktidest sälgud. Saadud punktide kaudu M Ja Ν ja nurga tipp on tõmmatud sirgjoontega.
Riis. 2.5.
Sel viisil saab ainult täisnurgad jagada kolmeks võrdseks osaks.
Antud nurgaga võrdse nurga konstrueerimine. Algusest KOHTA antud nurk joonistada suvalise raadiusega kaar R, ristuvad punktides nurga külgi M Ja N(Joonis 2.6, A). Seejärel joonistage sirge segment, mis toimib uue nurga ühe küljena. Punktist KOHTA 1 sellel sama raadiusega sirgel R joonistama kaare, saades punkti Ν 1 (joonis 2.6, b). Sellest punktist kirjeldage raadiusega kaare R 1, võrdne akordiga MN. Kaarte ristumiskoht annab punkti Μ 1, mis on sirgjoonega ühendatud uue nurga tipuga (joonis 2.6, b).
Riis. 2.6.
Joonesegmendi jagamine kaheks võrdseks osaks. Otsadest antud segment kui kompassi ava on suurem kui pool selle pikkusest, kirjeldage kaarte (joonis 2.7). Saadud punkte ühendav sirge M Ja Ν, jagab lõigu kaheks võrdseks osaks ja on sellega risti.
Riis. 2.7.
Perpendikulaari konstrueerimine sirgjoonelõigu lõpus. Alates suvaline punkt Oh, lõigu üle võetud AB, kirjeldada punkti läbivat ringi A(joonelõigu lõpp) ja lõikuvad joonega punktis M(joonis 2.8).
Riis. 2.8.
Saadud punkti kaudu M ja keskus KOHTA ringid tõmbavad sirge joone, kuni nad kohtuvad vastaspool ring mingis punktis N. Täispeatus Nühendage sirge punktiga A.
Joonelõigu jagamine mis tahes arvuga võrdsetes osades. Lõigu mis tahes otsast, näiteks punktist A, all läbi viidud teravnurk sirgjoon sellele. Selle peal, mõõtekompassiga, heitsid nad pikali õige number võrdsed suvalise suurusega segmendid (joon. 2.9). Viimane punkt on ühendatud antud segmendi teise otsaga (punktiga IN). Kõigist jaotuspunktidest tõmmake joonlaua ja ruudu abil sirgjoonega paralleelsed sirgjooned 9 V, mis jagab lõigu AB osaks antud number võrdsetes osades.
Riis. 2.9.
Joonisel fig. Joonisel 2.10 on näidatud, kuidas seda konstruktsiooni rakendada, et märgistada aukude keskpunktid ühtlaselt sirgjoonel.
Tihti on vaja joonistada (“konstrueerida”) nurk, mis oleks võrdne etteantud nurgaga ning konstrueerimine peab toimuma ilma nurgamõõturi abita, vaid kasutades vaid sirklit ja joonlauda. Teades, kuidas konstrueerida kolmnurka kolmest küljest, saame selle ülesande lahendada. Las see olla sirgjoonel MN(joon. 60 ja 61) on vaja ehitada punkti K nurk võrdne nurgaga B. See tähendab, et see on asjakohane K joonistage komponendiga sirgjoon MN nurk võrdne B.
Selleks märgi näiteks etteantud nurga mõlemale küljele punkt A Ja KOOS ja ühendage A Ja KOOS sirgjoon. Saame kolmnurga ABC. Ehitame nüüd sirgjoonel MN see kolmnurk nii, et selle tipp IN oli punktis TO: siis selles punktis konstrueeritakse nurk, mis on võrdne nurgaga IN. Ehitage kolmnurk, kasutades kolme külge VS, VA Ja AC me teame, kuidas: lükkame edasi (joon. 62) punktist TO joonelõik KL, võrdne Päike; saame punkti L; ümber K, nagu keskpunkti lähedal, kirjeldame raadiusega ringi VA, ja ümber L – raadius SA. Täispeatus Rühendame ringide ristumiskohad -ga TO ja Z, saame kolmnurga KPL, võrdne kolmnurgaga ABC; selles on nurk TO= ug. IN.
Seda ehitamist teostatakse kiiremini ja mugavamalt, kui ülalt IN pane paika võrdsed segmendid (ühe kompassi lahustamisega) ja kirjelda ilma jalgu liigutamata ringi ümber sama raadiusega punkti TO, nagu kesklinna lähedal.
Kuidas nurk pooleks jagada
Oletame, et peame nurga jagama A(joonis 63) kaheks võrdseks osaks, kasutades kompassi ja joonlauda, ilma nurgamõõturit kasutamata. Näitame teile, kuidas seda teha.
Algusest A asetage nurga külgedele võrdsed segmendid AB Ja AC(Skeem 64; selleks tuleb lihtsalt kompass lahustada). Seejärel asetame kompassi otsa punktidesse IN Ja KOOS ja kirjeldada võrdsed raadiused punktis lõikuvad kaared D. Otseühendus A ja D jagab nurga A pooleks.
Selgitame, miks see nii on. Kui punkt Dühendust looma IN ja C (joonis 65), siis saad kaks kolmnurka ADC Ja ADB, y millest on olemas ühine pool AD; pool AB võrdne küljega AC, A ВD võrdne CD. Kolmnurgad on kolmest küljest võrdsed, mis tähendab, et nurgad on võrdsed. HALB Ja DAC, vastu valetades võrdsed küljed ВD Ja CD. Seetõttu otse AD jagab nurka SINA pooleks.
Rakendused
12. Konstrueerige 45° nurk ilma kraadiklaasita. Kell 22°30'. 67°30' juures.
Lahendus: jagades täisnurga pooleks, saame nurga 45°. Jagades 45° nurga pooleks, saame nurga 22°30’. Konstrueerides nurkade summa 45° + 22°30’, saame nurga 67°30’.
Kuidas konstrueerida kolmnurka, kasutades kahte külge ja nende vahelist nurka
Oletame, et peate maapinnal välja selgitama kahe verstaposti vahelise kauguse A Ja IN(Kurat 66), mida eraldab läbimatu soo.
Kuidas seda teha?
Saame seda teha: vali punkt, mis asub soost eemal KOOS, kust on näha mõlemad verstapostid ja vahemaid mõõta AC Ja Päike. Nurk KOOS mõõdame spetsiaalse goniomeetrilise seadme abil (nn str o l b i e). Nende andmete järgi, st mõõdetud külgede järgi A.C. Ja Päike ja nurk KOOS nende vahele ehitame kolmnurga ABC kuskil mugavas kohas järgmisel viisil. Olles mõõtnud näiteks ühe teadaoleva külje sirgjooneliselt (joon. 67). AC, ehitage sellega punktis KOOS nurk KOOS; selle nurga teisel küljel mõõdetakse teadaolevat külge Päike. lõpeb tuntud osapooled, st punktid A Ja INühendatud sirgjoonega. Tulemuseks on kolmnurk, mille kahel küljel ja nendevahelisel nurgal on eelnevalt määratud mõõtmed.
Ehitusmeetodist on selge, et kahe külje ja nendevahelise nurga abil saab konstrueerida ainult ühe kolmnurga. seega, kui ühe kolmnurga kaks külge on võrdsed teise kahe küljega ja nende külgede vahelised nurgad on samad, siis võivad sellised kolmnurgad olla kõigi punktidega üksteise peale asetatud, st nende kolmandad küljed ja muud nurgad peavad samuti olema võrdsed. See tähendab, et kolmnurkade kahe külje võrdsus ja nendevaheline nurk võib olla nende kolmnurkade täieliku võrdsuse märgiks. Lühidalt:
Kolmnurgad on mõlemal küljel ja nendevahelise nurga all võrdsed.
Kodukujundusprojektide ehitamisel või arendamisel on sageli vaja ehitada nurk, mis on võrdne olemasolevaga. Mallid tulevad appi kooliteadmised geomeetria.
Juhised
- Nurga moodustavad kaks ühest punktist lähtuvat sirget. Seda punkti nimetatakse nurga tipuks ja jooned on nurga küljed.
- Kasutage nurkade tähistamiseks kolme tähte: üks ülaosas, kaks külgedel. Nurka nimetatakse alustades ühel küljel olevast tähest, seejärel nimetatakse tipus olevale tähele ja seejärel teisele küljele olevale tähele. Kasutage nurkade märkimiseks muid viise, kui soovite teisiti. Mõnikord nimetatakse ainult ühte tähte, mis on üleval. Kas saate nurgad märkida? Kreeka tähed, näiteks α, β, γ.
- On olukordi, kus on vaja joonistada nurk nii, et see oleks võrdne juba etteantud nurgaga. Kui joonise konstrueerimisel ei ole võimalik kasutada kraadiklaasi, saab läbi vaid joonlaua ja sirkliga. Oletame, et joonisel tähtedega MN tähistatud sirgel peate punktis K konstrueerima nurga, nii et see võrdne nurgaga B. See tähendab, et punktist K on vaja tõmmata sirgjoon, mis moodustab nurga MN nurga, mis on võrdne nurgaga B.
- Kõigepealt märgi etteantud nurga mõlemal küljel punkt, näiteks punktid A ja C, seejärel ühenda punktid C ja A sirgjoonega. Hangi kolmnurk ABC.
- Nüüd konstrueerige sama kolmnurk sirgel MN nii, et selle tipp B on sirgel punktis K. Kasutage reeglit kolmnurga konstrueerimiseks kolmest küljest. Tõmmake lõik KL punktist K maha. Ta peab olema võrdne segmendiga Päike. Hankige L-punkt.
- Joonistage punktist K ring, mille raadius on võrdne lõiguga BA. L-st joonistage ring raadiusega CA. Ühendage saadud kahe ringi lõikepunkt (P) punktiga K. Hankige kolmnurk KPL, mis on võrdne kolmnurk ABC. Nii saad nurga K. See on võrdne nurgaga B. Selle konstruktsiooni mugavamaks ja kiiremaks muutmiseks tehke tipust B võrdsed lõigud, kasutades ühte kompassi ava, ilma jalgu liigutamata, kirjeldage sama raadiusega ringi punktist K.