Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Uurime funktsiooni \(y= \frac(x^3)(1-x) \) ja koostame selle graafiku.
1. Määratluse ulatus.
Ratsionaalfunktsiooni (murru) määratluspiirkond saab olema: nimetaja ei ole võrdne nulliga, s.o. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domeen $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Funktsiooni murdepunktid ja nende klassifikatsioon.
Funktsioonil on üks murdepunkt x = 1
Uurime punkti x= 1. Leiame katkestuspunktist paremal ja vasakul oleva funktsiooni piiri, paremal $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ ja punktist $$ vasakul \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ See on teist tüüpi katkestuspunkt, sest ühepoolsed piirangud on võrdsed \(\infty\).
Sirge \(x = 1\) on vertikaalne asümptoot.
3. Funktsiooni paarsus.
Kontrollime pariteeti \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funktsioon pole paaris ega paaritu.
4. Funktsiooni nullpunktid (lõikepunktid Ox-teljega). Funktsiooni konstantse märgi intervallid.
Funktsiooni nullid ( lõikepunkt härja teljega): võrdsustame \(y=0\), saame \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kõveral on üks lõikepunkt Ox-teljega koordinaatidega \((0;0)\).
Funktsiooni konstantse märgi intervallid.
Vaadeldavatel intervallidel \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) on kõveral üks lõikepunkt Ox-teljega, seega käsitleme määratluspiirkonda kolmel intervallil.
Määrame funktsiooni märgi definitsioonipiirkonna intervallidel:
intervall \((-\infty; 0) \) leiate funktsiooni väärtuse mis tahes punktis \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervall \((0; 1) \) leiame funktsiooni väärtuse mis tahes punktis \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), sellel intervallil on funktsioon positiivne \(f(x ) > 0 \), st. asub Ox-telje kohal.
intervall \((1;+\infty) \) otsib funktsiooni väärtuse mis tahes punktis \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
5. Lõikepunktid Oy teljega: võrdsustame \(x=0\), saame \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Oy teljega lõikepunkti koordinaadid \((0; 0)\)
6. Monotoonsuse intervallid. Funktsiooni äärmus.
Leiame kriitilised (statsionaarsed) punktid, selleks leiame esimese tuletise ja võrdsustame selle nulliga $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ võrdub 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Leiame selles punktis funktsiooni väärtuse \( f(0) = 0\) ja \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Saime kaks kriitilist punkti koordinaatidega \((0;0)\) ja \((1,5;-6,75)\)
Monotoonsuse intervallid.
Funktsioonil on kaks kriitilist punkti (võimalikud äärmuspunktid), seega käsitleme monotoonsust neljal intervallil:
intervall \((-\infty; 0) \) leiab esimese tuletise väärtuse intervalli mis tahes punktis \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
intervall \((0;1)\) leiame esimese tuletise väärtuse intervalli \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , suureneb funktsioon selle intervalli jooksul.
intervall \((1;1,5)\) leiame esimese tuletise väärtuse intervalli \(f(1,2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , suureneb funktsioon selle intervalli jooksul.
intervall \((1,5; +\infty)\) leidke esimese tuletise väärtus intervalli mis tahes punktis \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.
Funktsiooni äärmus.
Funktsiooni uurimisel saime definitsioonipiirkonna intervallil kaks kriitilist (statsionaarset) punkti. Teeme kindlaks, kas need on äärmused. Vaatleme tuletise märgi muutust kriitiliste punktide läbimisel:
punkt \(x = 0\) tuletis muudab märgi \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - punkt ei ole ekstreemum.
punkt \(x = 1,5\) tuletis muudab märgi \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - punkt on maksimumpunkt.
7. Kumeruse ja nõgususe intervallid. Pöördepunktid.
Kumeruse ja nõgususe intervallide leidmiseks leiame funktsiooni teise tuletise ja võrdsustame selle nulliga $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ võrdub nulliga $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funktsioonil on üks teist tüüpi kriitiline punkt koordinaatidega \((0;0)\) .
Defineerime kumeruse definitsioonipiirkonna intervallidel, võttes arvesse teist tüüpi kriitilist punkti (võimaliku käändepunkti).
intervall \((-\infty; 0)\) leidke teise tuletise väärtus mis tahes punktis \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervall \((0; 1)\) leiame teise tuletise väärtuse mis tahes punktis \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), sellel intervallil on funktsiooni teine tuletis positiivne \(f""(x) > 0 \) funktsioon on kumer allapoole (kumer).
intervall \((1; \infty)\) leidke teise tuletise väärtus mis tahes punktis \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Pöördepunktid.
Vaatleme teise tuletise märgi muutumist teist tüüpi kriitilise punkti läbimisel:
Punktis \(x =0\) muudab teine tuletis märki \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), funktsiooni graafik muudab kumerust, st. see on käändepunkt koordinaatidega \((0;0)\).
8. Asümptoodid.
Vertikaalne asümptoot. Funktsiooni graafikul on üks vertikaalne asümptoot \(x =1\) (vt lõik 2).
Kaldus asümptoot.
Selleks, et funktsiooni \(y= \frac(x^3)(1-x) \) graafikul \(x \to \infty\) oleks kaldu asümptoot \(y = kx+b\) , see on vajalik ja piisav , nii et on kaks piirangut $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$leiame selle $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ ja teine piirang $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, sest \(k = \infty\) - kaldus asümptooti pole.
Horisontaalne asümptoot: horisontaalse asümptoodi olemasoluks on vaja, et oleks piir $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ leiame selle $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Horisontaalne asümptoot puudub.
9. Funktsioonigraafik.
Funktsiooni uurimine toimub selge skeemi järgi ja eeldab õpilaselt kindlaid teadmisi matemaatiliste põhimõistete kohta, nagu definitsiooni ja väärtuste valdkond, funktsiooni pidevus, asümptoot, ekstreemumipunktid, paarsus, perioodilisus jne. . Õpilane peab suutma vabalt eristada funktsioone ja lahendada võrrandeid, mis mõnikord võivad olla väga keerulised.
See tähendab, et see ülesanne testib märkimisväärset teadmistekihti, mille iga lünk saab takistuseks õige lahenduse leidmisel. Eriti sageli tekivad raskused funktsioonide graafikute koostamisel. See viga on õpetajale koheselt märgatav ja võib teie hinnet kõvasti kahjustada, isegi kui kõik muu oli õigesti tehtud. Siit leiate võrgufunktsioonide uurimise probleemid: uurige näiteid, laadige alla lahendusi, tellige ülesandeid.
Uurige funktsiooni ja joonistage graafik: näited ja lahendused võrgus
Oleme teile ette valmistanud palju valmis funktsiooniuuringuid, nii tasulisi lahendusraamatus kui ka tasuta rubriigis Funktsiooniuuringute näited. Nende lahendatud ülesannete põhjal saate üksikasjalikult tutvuda sarnaste ülesannete täitmise metoodikaga ja viia läbi oma uurimistöö analoogia põhjal.
Pakume valmis näiteid enamlevinud tüüpi funktsioonide täielikust uurimisest ja graafikust: polünoomid, murd-ratsionaalfunktsioonid, irratsionaalsed, eksponentsiaalsed, logaritmilised, trigonomeetrilised funktsioonid. Iga lahendatud ülesandega on kaasas valmis graafik, millel on esile tõstetud võtmepunktid, asümptoodid, maksimumid ja miinimumid, lahendamine toimub funktsiooni uurimise algoritmi abil.
Igal juhul on lahendatud näited teile suureks abiks, kuna need hõlmavad kõige populaarsemaid funktsioonitüüpe. Pakume teile sadu juba lahendatud ülesandeid, kuid teatavasti on maailmas lõpmatu hulk matemaatilisi funktsioone ja õpetajad on suurepärased eksperdid, kes vaestele õpilastele üha keerulisemaid ülesandeid välja mõtlevad. Seega, kallid õpilased, kvalifitseeritud abi ei tee teile haiget.
Kohandatud funktsioonide uurimisprobleemide lahendamine
Sel juhul pakuvad meie partnerid teile teist teenust - täisfunktsioonide uurimine veebis tellima. Ülesanne täidetakse teie jaoks vastavalt kõikidele selliste probleemide lahendamise algoritmi nõuetele, mis teie õpetajale väga meeldib.
Teeme teie jaoks funktsiooni täieliku uuringu: leiame määratluspiirkonna ja väärtuste valdkonna, uurime pidevust ja katkestust, määrame pariteedi, kontrollime funktsiooni perioodilisust ja leiame lõikepunktid koordinaattelgedega. . Ja muidugi edasi diferentsiaalarvutuse kasutamine: leiame asümptoodid, arvutame ekstreemumid, käändepunktid ja konstrueerime graafi enda.
Kui ülesanne nõuab funktsiooni f (x) = x 2 4 x 2 - 1 täielikku uurimist selle graafiku koostamisel, siis käsitleme seda põhimõtet üksikasjalikult.
Seda tüüpi probleemi lahendamiseks peaksite kasutama põhiliste elementaarfunktsioonide omadusi ja graafikuid. Uurimisalgoritm sisaldab järgmisi samme:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Määratluspiirkonna leidmine
Kuna uurimistööd tehakse funktsiooni määratlemise valdkonnas, tuleb alustada sellest sammust.
Näide 1
Antud näide hõlmab nimetaja nullide leidmist, et need ODZ-st välja jätta.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Selle tulemusena saate juured, logaritmid jne. Siis saab ODZ-st otsida paarisastmelise tüübi g (x) 4 juure võrratuse g (x) ≥ 0 abil, logaritmi log a g (x) jaoks võrratuse g (x) > 0 abil.
ODZ piiride uurimine ja vertikaalsete asümptootide leidmine
Funktsiooni piiridel on vertikaalsed asümptoodid, kui ühepoolsed piirid sellistes punktides on lõpmatud.
Näide 2
Näiteks kaaluge piiripunkte, mis on võrdsed x = ± 1 2.
Siis on vaja uurida funktsiooni ühepoolse piiri leidmiseks. Siis saame, et: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = piir x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = piir x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ piir x → 1 2 - 0 f (x) = piir x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = piir x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
See näitab, et ühepoolsed piirid on lõpmatud, mis tähendab, et sirged x = ± 1 2 on graafiku vertikaalsed asümptoodid.
Funktsiooni uurimine ja selle, kas see on paaris või paaritu
Kui tingimus y (- x) = y (x) on täidetud, loetakse funktsioon paarituks. See viitab sellele, et graafik asub Oy suhtes sümmeetriliselt. Kui tingimus y (- x) = - y (x) on täidetud, loetakse funktsioon paarituks. See tähendab, et sümmeetria on koordinaatide alguspunkti suhtes. Kui vähemalt üks võrratus ei ole täidetud, saame üldvormi funktsiooni.
Võrdsus y (- x) = y (x) näitab, et funktsioon on paaris. Ehitamisel tuleb arvestada, et Oy suhtes tekib sümmeetria.
Ebavõrdsuse lahendamiseks kasutatakse suurenemise ja kahanemise intervalle vastavalt tingimustel f " (x) ≥ 0 ja f " (x) ≤ 0.
Definitsioon 1
Statsionaarsed punktid- need on punktid, mis muudavad tuletise nulliks.
Kriitilised punktid- need on sisemised punktid definitsioonipiirkonnast, kus funktsiooni tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.
Otsuse tegemisel tuleb arvestada järgmiste märkustega:
- olemasolevate suurenevate ja kahanevate võrratuste intervallide korral kujul f " (x) > 0 kriitilisi punkte lahendusse ei arvestata;
- punktid, kus funktsioon on määratletud ilma lõpliku tuletiseta, peavad sisalduma suurenemise ja kahanemise intervallides (näiteks y = x 3, kus punkt x = 0 muudab funktsiooni defineeritud, tuletis on sellel kohal lõpmatuse väärtusega punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 on kaasatud suurenevasse intervalli);
- Eriarvamuste vältimiseks on soovitatav kasutada haridusministeeriumi soovitatud matemaatilist kirjandust.
Kriitiliste punktide kaasamine suurenemise ja kahanemise intervallidesse, kui need vastavad funktsiooni määratlusvaldkonnale.
2. definitsioon
Sest funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallide määramisel on vaja leida:
- tuletis;
- kriitilised punktid;
- jagada definitsioonipiirkond kriitiliste punktide abil intervallideks;
- määrake tuletise märk igal intervallil, kus + on kasv ja - on vähenemine.
Näide 3
Leidke tuletis definitsioonipiirkonnast f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Lahendus
Lahendamiseks vajate:
- leidke statsionaarsed punktid, selles näites on x = 0;
- leidke nimetaja nullid, näide võtab väärtuseks null x = ± 1 2.
Asetame punktid arvujoonele, et määrata iga intervalli tuletis. Selleks piisab, kui võtta intervallist suvaline punkt ja teha arvutus. Kui tulemus on positiivne, kujutame graafikul +, mis tähendab, et funktsioon suureneb ja - tähendab, et see väheneb.
Näiteks f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, mis tähendab, et vasakpoolsel esimesel intervallil on + märk. Vaatleme arvureal.
Vastus:
- funktsioon suureneb intervallil - ∞; - 1 2 ja (- 1 2 ; 0 ] ;
- esineb intervalli vähenemine [0; 1 2) ja 1 2; + ∞ .
Diagrammil on + ja - abil kujutatud funktsiooni positiivsus ja negatiivsus ning nooled näitavad vähenemist ja suurenemist.
Funktsiooni äärmuspunktid on punktid, kus funktsioon on defineeritud ja mille kaudu tuletis muudab märki.
Näide 4
Kui vaadelda näidet, kus x = 0, siis selles oleva funktsiooni väärtus on võrdne f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kui tuletise märk muutub + asemel - ja läbib punkti x = 0, siis loetakse punkti koordinaatidega (0; 0) maksimumpunktiks. Kui märk muutub väärtusest - +, saame miinimumpunkti.
Kumerus ja nõgusus määratakse, lahendades võrratused kujul f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0. Harvemini kasutatakse nimetust nõgususe asemel kumerus allapoole ja kumeruse asemel kumerus ülespoole.
3. definitsioon
Sest nõgususe ja kumeruse intervallide määramine vajalik:
- leida teine tuletis;
- leida teise tuletisfunktsiooni nullid;
- jaga definitsiooniala esinevate punktidega intervallideks;
- määrake intervalli märk.
Näide 5
Leia definitsioonipiirkonnast teine tuletis.
Lahendus
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Leiame lugeja ja nimetaja nullid, kus meie näites on, et nimetaja nullid x = ± 1 2
Nüüd peate joonistama punktid arvujoonele ja määrama iga intervalli teise tuletise märgi. Me saame sellest aru
Vastus:
- funktsioon on kumer vahemikust - 1 2 ; 12;
- funktsioon on intervallidest - ∞ nõgus; - 1 2 ja 1 2; + ∞ .
4. määratlus
Pöördepunkt– see on punkt kujul x 0 ; f (x 0) . Kui tal on funktsiooni graafiku puutuja, siis kui see läbib x 0, muudab funktsioon märgi vastupidiseks.
Teisisõnu, see on punkt, mille teine tuletis läbib ja muudab märki ning punktides endis on see võrdne nulliga või seda pole olemas. Kõik punktid loetakse funktsiooni valdkonnaks.
Näites oli selge, et käändepunkte pole, kuna teine tuletis muudab märki punktide x = ± 1 2 läbimisel. Need omakorda ei kuulu määratluse alla.
Horisontaalsete ja kaldu asümptootide leidmine
Funktsiooni defineerimisel lõpmatuses peate otsima horisontaalseid ja kaldu asümptoote.
Definitsioon 5
Kaldus asümptoodid on kujutatud sirgjoonte abil, mis on antud võrrandiga y = k x + b, kus k = lim x → ∞ f (x) x ja b = lim x → ∞ f (x) - k x.
Kui k = 0 ja b ei ole võrdne lõpmatusega, leiame, et kaldus asümptoot muutub horisontaalne.
Teisisõnu loetakse asümptootideks sirgeid, millele funktsiooni graafik läheneb lõpmatuses. See hõlbustab funktsioonigraafiku kiiret koostamist.
Kui asümptoote pole, kuid funktsioon on defineeritud mõlemas lõpmatuses, on vaja arvutada funktsiooni piir nendes lõpmatustes, et mõista, kuidas funktsiooni graafik käitub.
Näide 6
Vaatleme näitena seda
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
on horisontaalne asümptoot. Pärast funktsiooni uurimist võite alustada selle koostamist.
Funktsiooni väärtuse arvutamine vahepunktides
Graafiku täpsemaks muutmiseks on soovitatav vahepunktides leida mitu funktsiooni väärtust.
Näide 7
Vaadeldavast näitest on vaja leida funktsiooni väärtused punktides x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Kuna funktsioon on paaris, saame, et väärtused langevad kokku nende punktide väärtustega, see tähendab, et saame x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Kirjutame ja lahendame:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Funktsiooni maksimumide ja miinimumide, käändepunktide ja vahepunktide määramiseks on vaja konstrueerida asümptoote. Mugavaks määramiseks registreeritakse suurenemise, kahanemise, kumeruse ja nõgususe intervallid. Vaatame allolevat pilti.
Läbi märgitud punktide on vaja tõmmata graafiku jooned, mis võimaldavad nooli järgides asümptootidele läheneda.
See lõpetab funktsiooni täieliku uurimise. Mõne elementaarfunktsiooni konstrueerimisel on juhtumeid, mille jaoks kasutatakse geomeetrilisi teisendusi.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Viige läbi täielik uuring ja joonistage funktsioon graafikule
y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.
1) Funktsiooni ulatus. Kuna funktsioon on murdosa, peame leidma nimetaja nullid.
1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.
Jätame funktsiooni määratluspiirkonnast välja ainsa punkti x=1x=1 ja saame:
D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).
2) Uurime funktsiooni käitumist katkestuspunkti läheduses. Leiame ühepoolsed piirid:
Kuna piirid on võrdsed lõpmatusega, on punkt x=1x=1 teist tüüpi katkestus, sirge x=1x=1 on vertikaalne asümptoot.
3) Määrame funktsioonigraafiku lõikepunktid koordinaatide telgedega.
Leiame lõikepunktid ordinaatteljega OyOy, mille jaoks võrdsustame x=0x=0:
Seega on OyOy telje lõikepunktil koordinaadid (0;8)(0;8).
Leiame lõikepunktid abstsissteljega OxOx, mille jaoks määrame y=0y=0:
Võrrandil pole juuri, seega pole OxOx teljega lõikepunkte.
Pange tähele, et x2+8>0x2+8>0 mis tahes xx jaoks. Seetõttu on x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) korral funktsioon y>0y>0 (võtab positiivsed väärtused, graafik on x-telje kohal), x∈(1;+∞) korral )x∈(1; +∞) funktsioon y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Funktsioon pole paaris ega paaritu, sest:
5) Uurime perioodilisuse funktsiooni. Funktsioon ei ole perioodiline, kuna see on murdosaline ratsionaalne funktsioon.
6) Uurime äärmuslikkuse ja monotoonsuse funktsiooni. Selleks leiame funktsiooni esimese tuletise:
Võrdleme esimese tuletise nulliga ja leiame statsionaarsed punktid (milles y′=0y′=0):
Saime kolm kriitilist punkti: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Jagame kogu funktsiooni definitsioonipiirkonna nende punktidega intervallideks ja määrame igas intervallis tuletise märgid:
Kui x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) on tuletis y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.
Tuletise y′>0y′>0 korral x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) funktsioon suureneb nendel intervallidel.
Sel juhul on x=−2x=−2 lokaalne miinimumpunkt (funktsioon väheneb ja seejärel suureneb), x=4x=4 on lokaalne maksimumpunkt (funktsioon suureneb ja seejärel väheneb).
Leiame funktsiooni väärtused järgmistest punktidest: 
Seega on miinimumpunkt (−2;4)(−2;4), maksimumpunkt (4;−8)(4;−8).
7) Uurime funktsiooni painde ja kumeruse jaoks. Leiame funktsiooni teise tuletise:
Võrdlustame teise tuletise nulliga:
Saadud võrrandil pole juuri, seega pole ka käändepunkte. Veelgi enam, kui x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 on täidetud, st funktsioon on nõgus, kui x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) on täidetud y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.
8) Uurime funktsiooni käitumist lõpmatuses, st .
Kuna piirid on lõpmatud, pole horisontaalseid asümptoote.
Proovime määrata kaldasümptoote kujul y=kx+by=kx+b. Arvutame k,bk,b väärtused tuntud valemite abil:
Leidsime, et funktsioonil on üks kaldus asümptoot y=-x-1y=-x-1.
9) Lisapunktid. Arvutame funktsiooni väärtuse mõnes teises punktis, et graafikut täpsemalt konstrueerida.
y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.
10) Saadud andmete põhjal koostame graafiku, täiendame seda asümptootidega x=1x=1 (sinine), y=−x−1y=−x−1 (roheline) ja märgime ära iseloomulikud punktid (lilla ristmik ordinaadiga telg, oranž äärmus, mustad lisapunktid):
Ülesanne 4: geomeetrilised, majandusprobleemid (mul pole õrna aimugi, siin on ligikaudne valik ülesandeid koos lahenduste ja valemitega) 
Näide 3.23. a
Lahendus. x Ja y y
y = a - 2 × a/4 = a/2. Kuna x = a/4 on ainus kriitiline punkt, siis kontrollime, kas selle punkti läbimisel tuletise märk muutub. Kui xa/4 S " > 0 ja x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Näide 3.24.
Lahendus.
R = 2, H = 16/4 = 4.
Näide 3.22. Leidke funktsiooni f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 äärmuspunkt.
Lahendus. Kuna f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2) (x - 3), siis funktsiooni x 1 = 2 ja x 2 = 3 kriitilised punktid. Ekstreem saab olla ainult need punktid.Kuivõrd punkti x 1 = 2 läbimisel muudab tuletise oma märgi plussist miinusesse, siis selles punktis on funktsioonil maksimum.Punkti x 2 = 3 läbimisel muudab tuletis oma märki miinusest plussile, seega punktis x 2 = 3 on funktsioonil miinimum. Olles arvutanud funktsiooni väärtused punktides
x 1 = 2 ja x 2 = 3, leiame funktsiooni ekstreemumid: maksimum f(2) = 14 ja miinimum f(3) = 13.
Näide 3.23. Kiviseina äärde on vaja rajada ristkülikukujuline ala nii, et see oleks kolmest küljest traatvõrguga aiaga piiratud ja neljas külg külgneb müüriga. Selle jaoks on olemas a lineaarsed meetrid võrgusilma. Millise kuvasuhtega on saidil suurim pindala?
Lahendus. Tähistame platvormi külgi tähega x Ja y. Saidi pindala on S = xy. Lase y- see on seinaga külgneva külje pikkus. Siis peab tingimuse järgi võrdus 2x + y = a kehtima. Seetõttu y = a - 2x ja S = x(a - 2x), kus
0 ≤ x ≤ a/2 (padja pikkus ja laius ei saa olla negatiivsed). S " = a - 4x, a - 4x = 0 at x = a/4, kust
y = a - 2 × a/4 = a/2. Kuna x = a/4 on ainus kriitiline punkt, siis kontrollime, kas selle punkti läbimisel tuletise märk muutub. Kui xa/4 S " > 0 ja x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Näide 3.24. Nõutav on valmistada kinnine silindriline paak mahuga V=16p ≈ 50 m 3 . Millised peaksid olema paagi mõõtmed (raadius R ja kõrgus H), et selle valmistamiseks kuluks kõige vähem materjali?
Lahendus. Silindri kogupindala on S = 2pR(R+H). Teame silindri ruumala V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . See tähendab, et S(R) = 2p(R2 +16/R). Leiame selle funktsiooni tuletise:
S "(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R 2). S "(R) = 0, kui R3 = 8, seega
R = 2, H = 16/4 = 4.
Seotud Informatsioon.