Statistika on meile abiks paljude probleemide lahendamisel, näiteks: kui ei ole võimalik koostada deterministlikku mudelit, kui tegureid on liiga palju või kui on vaja olemasolevaid andmeid arvesse võttes hinnata konstrueeritud mudeli tõenäosust. Suhtumine statistikasse on kahemõtteline. Arvatakse, et valesid on kolme tüüpi: valed, neetud valed ja statistika. Teisest küljest usuvad paljud statistika "kasutajad" seda liiga palju, mõistmata täielikult selle toimimist: näiteks rakendades testi mis tahes andmetele, kontrollimata nende normaalsust. Selline hooletus võib tekitada tõsiseid vigu ja muuta testide "fännid" statistika vihkajateks. Proovime panna voolud i kohale ja aru saada, milliseid juhuslike suuruste mudeleid tuleks kasutada teatud nähtuste kirjeldamiseks ja milline geneetiline seos on nende vahel.

Esiteks pakub see materjal huvi tõenäosusteooriat ja statistikat õppivatele üliõpilastele, kuigi "küpsed" spetsialistid saavad seda kasutada viitena. Ühes järgmistest töödest näitan näidet statistika kasutamisest börsikauplemisstrateegiate näitajate olulisuse hindamise testi koostamiseks.

Töös võetakse arvesse:

Artikli lõpus on küsimus järelemõtlemiseks. Esitan oma mõtted selles küsimuses järgmises artiklis.

Mõned ülaltoodud pidevjaotused on erijuhud.

Diskreetsed jaotused

Kirjeldatakse sündmuse iga võimaliku tulemuse esinemise tõenäosuse diskreetset jaotust. Nagu iga jaotuse (kaasa arvatud pidev) puhul, on ootuse ja dispersiooni mõisted määratletud diskreetsete sündmuste jaoks. Siiski tuleb mõista, et diskreetse juhusliku sündmuse matemaatiline ootus on üldjuhul väärtus, mida ei saa realiseerida ühe juhusliku sündmuse tulemusena, vaid pigem väärtusena, millele sündmuste tulemuste aritmeetiline keskmine. kipub nende arvu kasvades.

Diskreetsete juhuslike sündmuste modelleerimisel mängib olulist rolli kombinatoorika, kuna sündmuse tulemuse tõenäosust saab defineerida kui soovitud tulemuse andvate kombinatsioonide arvu suhet kombinatsioonide koguarvusse. Näiteks: korvis on 3 valget ja 7 musta palli. Kui valime korvist 1 palli, saame seda teha 10 erineval viisil (kombinatsioonide koguarv), kuid valge palli valimiseks on ainult 3 võimalust (3 kombinatsiooni, mis annavad soovitud tulemuse). Seega on valge palli valimise tõenäosus: ().

Samuti tuleks eristada proove tagastamisega ja ilma. Näiteks kahe valge palli valimise tõenäosuse kirjeldamiseks on oluline kindlaks teha, kas esimene pall tuuakse korvi tagasi. Kui ei, siis on tegu valimiga ilma tagastamiseta () ja tõenäosus on järgmine: - tõenäosus, et algsest valimist valitakse valge pall, korrutatakse tõenäosusega, et valitakse uuesti korvi jäänute seast valge pall. . Kui esimene pall naaseb korvi, on see toomine koos return(). Sel juhul on kahe valge palli valimise tõenäosus .

Kui vormistame näite korviga mõnevõrra järgmiselt: lase sündmuse tulemusel võtta üks kahest väärtusest 0 või 1 koos tõenäosustega ja vastavalt, siis iga pakutud tulemuse saamise tõenäosusjaotust nimetatakse Bernoulli jaotuseks. :

Väljakujunenud traditsiooni kohaselt nimetatakse tulemust, mille väärtus on 1, "edu" ja tulemust, mille väärtus on 0, "ebaõnnestumiseks". Ilmselgelt on tulemuse "edu või ebaõnnestumine" saavutamine tõenäosusega.

Bernoulli jaotuse ootus ja dispersioon:

Katsete õnnestumiste arvu, mille tulemus jaotatakse õnnestumise tõenäosuse järgi (pallide korvi tagasitoomise näide), kirjeldatakse binoomjaotusega:

Teisisõnu võime öelda, et binoomjaotus kirjeldab sõltumatute juhuslike muutujate summat, mida saab jaotada õnnestumise tõenäosusega.
Ootused ja dispersioon:

Kui suurustel ja on binoomjaotused vastavalt parameetritega ja , siis jaotatakse ka nende summa binoomjaotusega parameetritega .

Kujutagem ette olukorda, kus me tõmbame pallid korvist välja ja tagastame need tagasi, kuni välja tõmmatakse valge pall. Selliste toimingute arvu kirjeldab geomeetriline jaotus. Teisisõnu: geomeetriline jaotus kirjeldab katsete arvu kuni esimese eduni iga katse õnnestumise tõenäosusega. Kui eeldatakse katse numbrit, milles edu saavutati, kirjeldatakse geomeetrilist jaotust järgmise valemiga:

Pascali jaotus on jaotuse üldistus: see kirjeldab ebaõnnestumiste arvu jaotust sõltumatutes katsetes, mille tulemus jaotatakse õnnestumise tõenäosuse vahel enne täieliku edu saavutamist. Millal saame koguse jaotuse.

Negatiivse binoomjaotuse ootus ja dispersioon:

Siiani oleme kaalunud näiteid reversiooniga proovidest, see tähendab, et tulemuse tõenäosus ei muutunud katsest katsesse.

Mõelge nüüd olukorrale ilma tagasitulekuta ja kirjeldage edukate valikute tõenäosust populatsioonist, millel on eelnevalt teada õnnestumiste ja ebaõnnestumiste arv (eelteatud arv valgeid ja musti palle korvis, trumbid pakis, mängu defektsed osad jne).

Olgu kogukogus objekte, mõned neist on tähistatud kui "1" ja "0". Märgistusega “1” objekti valimist loeme õnnestunuks ja sildiga “0” ebaõnnestunuks. Viime läbi n testi ja valitud objektid ei osale enam edasistes testides. Õnnestumise tõenäosus järgib hüpergeomeetrilist jaotust:

Ootused ja dispersioon:

Poissoni jaotus

Poissoni jaotus erineb oluliselt eespool käsitletud jaotustest oma teemavaldkonnas: praegu ei arvestata mitte ühe või teise testitulemuse esinemise tõenäosust, vaid sündmuste intensiivsust ehk sündmuste keskmist arvu. ajaühiku kohta.

Poissoni jaotus kirjeldab sõltumatute sündmuste esinemise tõenäosust aja jooksul sündmuste keskmise intensiivsusega:

Poissoni jaotus koos , mis kirjeldab sõltumatute sündmuste toimumise vahelisi ajavahemikke, moodustab usaldusväärsuse teooria matemaatilise aluse.

Juhuslike suuruste x ja y () ja jaotustega korrutise tõenäosustihedust saab arvutada järgmiselt:

Mõned allpool toodud jaotused on Pearsoni jaotuse erijuhud, mis omakorda on võrrandi lahendus:

Selles jaotises käsitletavad jaotused on üksteisega tihedalt seotud. Need seosed väljenduvad selles, et mõned jaotused on teiste jaotuste erijuhud või kirjeldavad juhuslike muutujate teisendusi, millel on muud jaotused.

Allolev diagramm näitab seoseid mõne selles artiklis käsitletava pideva jaotuse vahel. Diagrammil näitavad tahked nooled juhuslike muutujate teisendust (noole algus näitab esialgset jaotust, noole lõpp näitab saadud jaotust) ja punktiirjoonega nooled näitavad üldistusseost (noole algus näitab jaotus, mis on selle erijuht, millele noole ots osutab). Pearsoni jaotuse erijuhtudel on vastav Pearsoni jaotuse tüüp näidatud punktiirnoolte kohal.

Normaaljaotus (Gaussi jaotus)

Parameetritega normaaljaotuse tõenäosustihedust kirjeldab Gaussi funktsioon:

Kui ja , siis sellist jaotust nimetatakse standardseks.

Normaaljaotuse ootus ja dispersioon:

Normaaljaotus on VI tüüpi jaotus.

Sõltumatute normaalsuuruste ruutude summal on ja sõltumatute Gaussi suuruste suhe on jaotatud .

Normaaljaotus on lõpmatult jagatav: normaaljaotusega suuruste ja parameetritega summa ning vastavalt sellele on ka normaaljaotus parameetritega , kus ja .

Normaaljaotuskaev modelleerib suurusi, mis kirjeldavad loodusnähtusi, termodünaamilise iseloomuga müra ja mõõtmisvigu.

Lisaks koondub tsentraalse piiriteoreemi kohaselt suure hulga sama järku sõltumatute liikmete summa normaaljaotuseks, sõltumata liikmete jaotustest. Selle omaduse tõttu on normaaljaotus statistilises analüüsis populaarne, paljud statistilised testid on mõeldud normaalselt jaotatud andmete jaoks.

Z-test põhineb normaaljaotuse lõpmatul jaguvusel. Seda testi kasutatakse selleks, et kontrollida, kas normaalselt jaotatud väärtuste valimi eeldatav väärtus on võrdne teatud väärtusega. Dispersiooni väärtus peaks olema teatud. Kui dispersiooni väärtus on teadmata ja arvutatakse analüüsitud valimi põhjal, siis t-test, mis põhineb .

Oletame, et meil on üldpopulatsioonist standardhälbega n sõltumatust normaalselt jaotatud väärtusest koosnev valim, oletame, et . Siis on väärtusel standardne normaaljaotus. Võrreldes saadud z väärtust standardjaotuse kvantilidega, saate nõutava olulisuse tasemega hüpoteesi aktsepteerida või tagasi lükata.

Gaussi jaotuse laialdase kasutamise tõttu unustavad paljud statistikaga vähe kursis olevad teadlased andmete normaalsuse kontrollimise või jaotustiheduse graafiku “silma järgi” hindamise, uskudes pimesi, et tegu on Gaussi andmetega. Sellest lähtuvalt saate ohutult kasutada normaaljaotuse jaoks mõeldud teste ja saada täiesti valesid tulemusi. Siit tuli ilmselt kuulujutt statistikast kui kõige kohutavamast valetüübist.

Vaatleme näidet: peame mõõtma teatud väärtusega takistite komplekti takistust. Takistusel on füüsiline iseloom, on loogiline eeldada, et takistuse kõrvalekallete jaotus nimiväärtusest on normaalne. Mõõdame ja saame mõõdetud väärtustele kellakujulise tõenäosustiheduse funktsiooni režiimiga takisti väärtuse läheduses. Kas see on normaalne jaotus? Kui jah, siis otsime defektseid takisteid kasutades , või z-testi, kui teame jaotuse hajumist ette. Arvan, et paljud teevad just seda.

Kuid vaatame lähemalt takistuse mõõtmise tehnoloogiat: takistus on määratletud kui rakendatud pinge ja voolu voolu suhe. Mõõtsime instrumentidega voolu ja pinget, millel on omakorda normaaljaotusega vead. See tähendab, et voolu ja pinge mõõdetud väärtused on normaalse jaotusega juhuslikud muutujad matemaatiliste ootustega, mis vastavad mõõdetud suuruste tegelikele väärtustele. See tähendab, et saadud takistuse väärtused jaotatakse vastavalt , mitte Gaussi järgi.

Jaotus kirjeldab juhuslike suuruste ruutude summat, millest igaüks on jaotatud standardse normaalseaduse järgi:

Kus on vabadusastmete arv,.

Jaotuse ootused ja hajumine:

See on erijuhtum (ja seega III tüüpi jaotus) ja üldistus. Üle jaotatud koguste suhe.

Pearsoni sobivuse test põhineb jaotusel. Selle kriteeriumi abil saate kontrollida teatud teoreetilise jaotuse juurde kuuluva juhusliku suuruse valimi usaldusväärsust.

Oletame, et meil on mingi juhusliku muutuja valim. Selle valimi põhjal arvutame intervallidesse () langevate väärtuste tõenäosused. Olgu ka eeldus jaotuse analüütilise avaldise kohta, mille järgi peaks valitud intervallidesse sattumise tõenäosus olema . Siis jaotatakse kogused tavaseaduse järgi.

Taandame standardse normaaljaotuseni: ,
kus ja.

Saadud väärtustel on normaaljaotus parameetritega (0, 1) ja seetõttu jaotatakse nende ruutude summa teatud vabadusastme peale. Vabadusastme vähenemine on seotud intervallidesse langevate väärtuste tõenäosuse summa täiendava piiranguga: see peab olema võrdne 1-ga.

Võrreldes väärtust jaotuse kvantilidega, saate nõustuda või tagasi lükata hüpoteesi andmete teoreetilise jaotuse kohta vajaliku olulisuse tasemega.

Studenti jaotust kasutatakse t-testi läbiviimiseks: jaotatud juhuslike muutujate valimi eeldatava väärtuse võrdsuse test teatud väärtusega või kahe sama dispersiooniga valimi eeldatava väärtuse võrdsust (võrdsus dispersioone tuleb kontrollida). Studenti jaotus kirjeldab hajutatud juhusliku muutuja suhet muutujasse, mis on jaotatud üle .

Olgu ja on sõltumatud juhuslikud suurused, millel on vastavalt vabadusaste ja. Siis on suurusel Fisheri jaotus vabadusastmetega ja kogusel on Fisheri jaotus vabadusastmetega.
Fisheri jaotus on määratletud tegelike mittenegatiivsete argumentide jaoks ja sellel on tõenäosustihedus:


Fisheri jaotuse ootus ja dispersioon:

Fisheri jaotusel põhinevad mitmed statistilised testid, näiteks regressiooniparameetrite olulisuse hindamine, heteroskedastilisuse test ja valimi dispersioonide võrdsuse test (f-test, tuleks eristada täpne Fisheri test).

F-test: olgu vastavalt kaks sõltumatut valimit ja hajutatud andmemahud. Esitagem hüpotees valimi dispersioonide võrdsuse kohta ja kontrollime seda statistiliselt.

Arvutame väärtuse. Sellel on vabadusastmetega Fisheri jaotus.

Võrreldes väärtust vastava Fisheri jaotuse kvantiilidega, saame nõutava olulisuse tasemega valimi dispersioonide võrdsuse hüpoteesi aktsepteerida või ümber lükata.

Eksponentsiaalne (eksponentsiaalne) jaotus ja Laplace'i jaotus (topelteksponentsiaalne, topelteksponentsiaalne)

Eksponentjaotus kirjeldab ajavahemikke keskmise intensiivsusega toimuvate sõltumatute sündmuste vahel. Sellise sündmuse esinemiste arvu teatud aja jooksul kirjeldatakse kui diskreetset. Eksponentjaotus koos moodustab usaldusväärsuse teooria matemaatilise aluse.

Lisaks usaldusväärsuse teooriale kasutatakse eksponentsiaalset jaotust sotsiaalsete nähtuste kirjeldamisel, majanduses, järjekorrateoorias, transpordilogistikas - kõikjal, kus on vaja sündmuste kulgu modelleerida.

Eksponentjaotus on erijuhtum (n=2 puhul) ja seetõttu . Kuna eksponentsiaalselt jaotatud suurus on 2 vabadusastmega hii-ruut suurus, võib seda tõlgendada kahe sõltumatu normaaljaotusega suuruse ruutude summana.

Samuti on eksponentsiaalne jaotus õiglane juhtum

LOENG 8

Diskreetsete juhuslike suuruste tõenäosusjaotused.Binoomjaotus. Poissoni jaotus. Geomeetriline jaotus. Genereerimisfunktsioon.

6. TÕENÄOSUSE JAOTUSED
DISKREETSED JUHUSLIKUD MUUTUJAD

Binoomjaotus

Las toodetakse n sõltumatud katsed, millest igaühes sündmus A See võib ilmuda või mitte. Tõenäosus lk sündmuse toimumine A kõigis testides on konstantne ega muutu testiti. Käsitleme juhusliku suurusena X sündmuse esinemiste arvu A nendes testides. Valem sündmuse toimumise tõenäosuse leidmiseks A
sile k iga kord n teste, nagu teada, on kirjeldatud Bernoulli valem

Bernoulli valemiga defineeritud tõenäosusjaotust nimetatakse binoom .

Seda seadust nimetatakse "binoomiks", kuna paremat poolt võib pidada üldmõisteks Newtoni binoomi laiendamisel.

Kirjutame binoomseaduse tabeli kujul

Leiame selle jaotuse arvulised karakteristikud.

.

Kirjutame üles võrdsuse, mis on Newtoni binaar

.

ja eristada seda lk suhtes. Selle tulemusena saame

.

Korrutage vasak ja parem külg arvuga lk:

.

Võttes arvesse, et p+q=1, meil on

(6.2)

Niisiis, sündmuste esinemiste arvu matemaatiline ootus n sõltumatus katses võrdub katsete arvu n korrutisega sündmuse toimumise tõenäosusega p igas katses.

Arvutame dispersiooni valemi abil

Selleks leiame

.

Esmalt eristame Newtoni binoomvalemit kaks korda selle suhtes lk:

ja korrutage võrdsuse mõlemad pooled arvuga lk 2:

Seega

Niisiis, binoomjaotuse dispersioon on

. (6.3)

Neid tulemusi on võimalik saada ka puhtalt kvalitatiivse arutluskäiguga. Sündmuse A esinemiste koguarv X kõigis katsetes on üksikkatsetes toimunud sündmuse esinemiste arvu summa. Seega, kui X 1 on sündmuse esinemiste arv esimeses katses, X 2 – teises jne, siis on sündmuse A esinemiste koguarv kõigis katsetes võrdne X = X 1 +X 2 +…+X n. Vastavalt matemaatilise ootuse omadusele:

Kõik võrdsuse paremal poolel olevad terminid on matemaatiline ootus sündmuste arvu kohta ühes katses, mis on võrdne sündmuse tõenäosusega. Seega

Vastavalt dispersiooniomadusele:

Kuna , ja juhusliku suuruse matemaatiline ootus, mis võib võtta ainult kaks väärtust, nimelt 1 2 tõenäosusega lk ja 0 2 tõenäosusega q, See. Seega Selle tulemusena saame

Kasutades alg- ja keskmomentide kontseptsiooni, saame asümmeetria ja kurtoosi valemid:

. (6.4)

Binoomjaotuse hulknurgal on järgmine kuju (vt joonis 6.1). Tõenäosus P n(k) suureneb kõigepealt suurenedes k, saavutab kõrgeima väärtuse ja hakkab seejärel langema. Binoomjaotus on viltu, välja arvatud juhtum lk=0,5. Pange tähele, et suure hulga testidega n Binoomjaotus on normaalsele väga lähedane. (Selle ettepaneku põhjendus on seotud Moivre-Laplace'i kohaliku teoreemiga.)

Nimetatakse sündmuse esinemiste arvu m 0 kõige tõenäolisemalt, kui tõenäosus, et sündmus toimub selles katseseerias teatud arv kordi, on suurim (maksimaalne jaotuspolügoonil). Binoomjaotuse jaoks

. (6.5)

Kommenteeri. Seda ebavõrdsust saab tõestada binoomtõenäosuste korduva valemi abil:

(6.6)

Näide 6.1. Premium-toodete osakaal selles ettevõttes on 31%. Mis on matemaatiline ootus ja dispersioon, samuti kõige tõenäolisem premium-toodete arv juhuslikult valitud 75 tootest koosnevas partiis?

Lahendus. Kuna lk=0,31, q=0,69, n=75, siis

M[ X] = n.p.= 75 × 0,31 = 23,25; D[ X] = npq= 75 × 0,31 × 0,69 = 16,04.

Kõige tõenäolisema arvu leidmiseks m 0, loome topeltvõrratuse

Sellest järeldub m 0 = 23.

Poissoni jaotus

Nagu juba märgitud, läheneb binoomjaotus normaalsele, kui n®¥. Seda aga ei toimu, kui koos suurenemisega nüks kogustest lk või q kipub nulli. Sel juhul kehtib asümptootiline Poissoni valem, s.t. juures n®¥, lk®0

, (6.7)

kus l= n.p.. See valem määrab Poissoni jaotamise seadus , millel on iseseisev tähendus ja mitte ainult binoomjaotuse erijuhtum. Erinevalt binoomjaotusest on siin juhuslik muutuja k võib omandada lõpmatu arvu väärtusi: k=0,1,2,…

Poissoni seadus kirjeldab sündmuste arvu k, mis toimuvad võrdse aja jooksul, eeldusel, et sündmused toimuvad üksteisest sõltumatult konstantse keskmise intensiivsusega, mida iseloomustab parameeter l. Poissoni jaotuse hulknurk on näidatud joonisel fig. 6.2. Pange tähele, et suurte l võistluste puhul
Poissoni jaotus läheneb normaalsele. Seetõttu kasutatakse Poissoni jaotust reeglina juhtudel, kus l on ühtsuse ja katsete arvu suurusjärgus n peab olema suur ja sündmuse toimumise tõenäosus lk igas testis on väike. Sellega seoses nimetatakse sageli ka Poissoni seadust haruldaste nähtuste jaotusseadus.

Näited olukordadest, kus Poissoni jaotus esineb, on järgmised jaotused: 1) teatud mikroobide arv mahuühiku kohta; 2) kuumutatud katoodist emiteeritud elektronide arv ajaühikus; 3) radioaktiivse allika poolt teatud aja jooksul eraldunud a-osakeste arv; 4) teatud kellaajal telefonikeskjaama saabunud kõnede arv jne.

Kirjutame Poissoni seaduse tabeli kujul

Kontrollime, kas kõigi tõenäosuste summa on võrdne ühega:

Leiame selle jaotuse arvulised karakteristikud. DSV matemaatilise ootuse määratluse järgi on meil

Pange tähele, et viimases summas algab liitmine tähega k=1, sest summa esimene liige, mis vastab k=0, võrdne nulliga.

Dispersiooni leidmiseks leiame esmalt juhuslikkuse ruudu matemaatilise ootuse:

Seega Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon langevad kokku ja on võrdsed selle jaotuse parameetriga

. (6.8)

See on Poissoni jaotuse eripära. Seega, kui katseandmete põhjal leiti, et teatud väärtuse matemaatiline ootus ja dispersioon on üksteisele lähedased, siis on põhjust eeldada, et see juhuslik suurus jaotub vastavalt Poissoni seadusele.

Kasutades alg- ja keskmomendi kontseptsiooni, saame näidata, et Poissoni jaotuse korral on kaldsuse koefitsient ja kurtoos võrdsed:

. (6.9)

Kuna parameeter l on alati positiivne, on Poissoni jaotusel alati positiivne kalduvus ja kurtoos.

Näitame nüüd, et Poissoni valemit võib pidada sündmuste lihtsaima voolu matemaatiliseks mudeliks.

Sündmuste voog kutsuge sündmuste jada, mis toimuvad juhuslikel aegadel. Oja kutsutakse kõige lihtsam, kui sellel on omadused statsionaarsus, ei mingit järelmõju Ja tavalisus.

Voolu intensiivsus l on sündmuste keskmine arv, mis toimuvad ajaühikus.

Kui on teada voolutugevuse konstant l, siis esinemise tõenäosus k kõige lihtsama vooluga sündmused aja jooksul t määratakse Poissoni valemiga:

. (6.10)

See valem peegeldab kõiki kõige lihtsama voolu omadusi. Veelgi enam, mis tahes lihtsaimat voolu kirjeldatakse Poissoni valemiga, seetõttu nimetatakse sageli lihtsamaid voogusid Poisson.

Statsionaarne omadus k mis tahes ajaperioodi sündmused sõltuvad ainult nende arvust k ja kestuse kohta t ajavahemik ja ei sõltu selle loendamise algusest. Teisisõnu, kui voolul on statsionaarsuse omadus, siis esinemise tõenäosus k sündmused teatud aja jooksul t on funktsioon, mis sõltub ainult k ja alates t.

Lihtsaima voolu korral järeldub Poissoni valemist (6.10), et tõenäosus k ajal toimuvad sündmused t, antud intensiivsusega, on ainult kahe argumendi funktsioon: k Ja t, mis iseloomustab statsionaarsuse omadust.

Ei mingit järelmõju omadust on see esinemise tõenäosus k mis tahes ajaperioodi sündmused sõltuvad sellest, kas sündmused ilmnesid või ei ilmunud kõnealuse perioodi algusele eelneval ajahetkel. Teisisõnu, voo ajalugu ei mõjuta lähitulevikus toimuvate sündmuste tõenäosust.

Lihtsaima voo korral ei kasuta Poissoni valem (6.10) infot sündmuste toimumise kohta enne vaadeldava ajaperioodi algust, mis iseloomustab järelmõjude puudumise omadust.

Tavalisuse vara on see, et kahe või enama sündmuse toimumine lühikese aja jooksul on praktiliselt võimatu. Teisisõnu, tõenäosus, et lühikese aja jooksul toimub rohkem kui üks sündmus, on tühine, võrreldes ainult ühe sündmuse toimumise tõenäosusega.

Näitame, et Poissoni valem (6.10) peegeldab tavapärasuse omadust. Panek k=0 ja k=1, leiame vastavalt ühe sündmuse toimumise ja ühe sündmuse toimumise tõenäosused:

Seetõttu on rohkem kui ühe sündmuse toimumise tõenäosus

Kasutades funktsiooni laiendamist Maclaurini seerias, saame pärast elementaarseid teisendusi

.

Võrreldes P t(1) ja P t(k>1), järeldame, et väikeste väärtuste puhul t rohkem kui ühe sündmuse toimumise tõenäosus on tühine võrreldes ühe sündmuse toimumise tõenäosusega, mis iseloomustab tavapärasuse omadust.

Näide 6.2. Rutherfordi ja Geigeri vaatluste kohaselt radioaktiivne aine aja jooksul 7,5 sek eraldas keskmiselt 3,87 a-osakest. Leidke tõenäosus, et 1 sek see aine eraldab vähemalt ühe osakese.

Lahendus. Nagu juba märkisime, kirjeldatakse radioaktiivse allika poolt eralduvate a-osakeste arvu jaotust teatud aja jooksul Poissoni valemiga, s.o. moodustab kõige lihtsama sündmuste voo. Kuna a-osakeste emissiooni intensiivsus on 1 sek võrdub

,

siis Poissoni valem (6.10) saab kuju

Seega on tõenäosus, et t=1 sek aine eraldab vähemalt üks osake on võrdne

Geomeetriline jaotus

Laske sooritada antud sihtmärgi pihta kuni esimese tabamuseni ja tõenäosus lk iga lasu tabamine on sama ja ei sõltu eelmiste laskude tulemustest. Teisisõnu, vaadeldavas katses rakendatakse Bernoulli skeemi. Juhusliku suurusena X käsitleme tehtud laskude arvu. Ilmselgelt on juhusliku suuruse X võimalikud väärtused naturaalarvud: x 1 =1, x 2 =2, ... siis tõenäosus, et seda läheb vaja k lasud on võrdsed

. (6.11)

Eeldusel, et selles valemis k=1,2, ... saame esimese liikmega geomeetrilise progressiooni lk ja kordaja q:

Sel põhjusel kutsutakse välja valemiga (6.11) defineeritud jaotus geomeetriline .

Kasutades lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa valemit, on lihtne kontrollida, et

.

Leiame geomeetrilise jaotuse arvkarakteristikud.

DSV matemaatilise ootuse määratluse järgi on meil

.

Arvutame dispersiooni valemi abil

.

Selleks leiame

.

Seega

.

Seega on geomeetrilise jaotuse matemaatiline ootus ja dispersioon võrdsed

. (6.12)

6.4.* Funktsiooni genereerimine

DSV-ga seotud probleemide lahendamisel kasutatakse sageli kombinatoorika meetodeid. Üks enim arenenud teoreetilisi kombinatoorse analüüsi meetodeid on funktsioonide genereerimise meetod, mis on rakendustes üks võimsamaid meetodeid. Saame temaga lühidalt tuttavaks.

Kui juhuslik suurus x võtab ainult mittenegatiivseid täisarvulisi väärtusi, s.t.

,

See genereeriv funktsioon juhusliku suuruse x tõenäosusjaotust nimetatakse funktsiooniks

, (6.13)

Kus z– reaalne või kompleksne muutuja. Pange tähele, et mitme genereeriva funktsiooni vahel j x ( x)ja palju distributsioone(P(x= k)} toimub üks-ühele kirjavahetus.

Olgu juhuslikul suurusel x binoomjaotus

.

Siis, kasutades Newtoni binoomvalemit, saame

,

need. binoomjaotust genereeriv funktsioon paistab nagu

. (6.14)

Lisand. Poissoni genereeriv funktsioon

paistab nagu

. (6.15)

Geomeetrilise jaotuse genereerimisfunktsioon

paistab nagu

. (6.16)

Genereerimisfunktsioone kasutades on mugav leida DSV peamised numbrilised karakteristikud. Näiteks on esimene ja teine ​​algmoment seotud genereeriva funktsiooniga järgmiste võrdustega:

, (6.17)

. (6.18)

Funktsioonide genereerimise meetod on sageli mugav, kuna mõnel juhul on DSV jaotusfunktsiooni väga raske määrata, samas kui genereerivat funktsiooni on mõnikord lihtne leida. Näiteks kaaluge Bernoulli järjestikust sõltumatut testi, kuid tehke selles üks muudatus. Laske sündmuse toimumise tõenäosusel A on katseti erinev. See tähendab, et Bernoulli valem muutub sellise skeemi puhul kohaldamatuks. Jaotusfunktsiooni leidmine tekitab sel juhul olulisi raskusi. Selle skeemi jaoks on genereerimisfunktsiooni aga lihtne leida ja seetõttu on vastavaid arvulisi karakteristikuid lihtne leida.

Genereerivate funktsioonide laialdane kasutamine põhineb asjaolul, et juhuslike suuruste summade uurimist saab asendada vastavate genereerivate funktsioonide korrutiste uurimisega. Niisiis, kui x 1, x 2, …, x n on siis iseseisvad

Lase p k=Pk(A) – „edu“ tõenäosus k- katse Bernoulli ringrajal (vastavalt q k=1–p k- "ebaõnnestumise" tõenäosus k test). Seejärel saab genereeriv funktsioon vastavalt valemile (6.19) vormi

. (6.20)

Seda genereerimisfunktsiooni kasutades saame kirjutada

.

Siin on arvestatud sellega p k + q k=1. Nüüd leiame valemi (6.1) abil teise algmomendi. Selleks arvutame esmalt

Ja .

Erijuhtumil lk 1 =lk 2 =…=p n=lk(s.o. binoomjaotuse korral) saadud valemitest järeldub, et Mx= n.p., Dx= npq.

Need. diskreetne juhuslik X väärtusel on geom. turustaja parameetriga R ja nimetaja q, kui see võtab väärtused 1,2,3,… k, ... tõenäosustega

P(X) = pq k-1, kus q=1-R.

Jaotust nimetatakse geom., sest. tõepärasust lk 1, lk 2, ... moodustavad geomeetrilise progressiooni, mille esimene liige on R, ja nimetaja on q.

Kui testide arv ei ole piiratud, s.t. kui juhuslik suurus võib võtta väärtused 1, 2, ..., ∞, siis on oodatav väärtus ja dispersioon geomeetrilised. jaotusi saab leida valemitega Mх = 1/p, Dх = q/p 2

Näide. Püssist lastakse sihtmärki kuni esimese tabamuseni. Sihtmärgi tabamise tõenäosus on iga lasuga p = 0,6. S.v. X on võimalike laskude arv enne esimest tabamust.

A) Koostage jaotusseeria, leidke jaotusfunktsioon, koostage selle graafik ja leidke kõik arvkarakteristikud. b) Leidke matemaatiline ootus ja dispersioon juhul, kui laskur kavatseb tulistada mitte rohkem kui kolm lasku.

A) Juhuslik suurus võib võtta väärtusi 1, 2, 3, 4,..., ∞
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p = 0,4 2 0,6 = 0,096 ...
P(k) = q k-1 p = 0,4 k-1 0,6 ...
Jaotusvahemik:

Kontroll: Σp i = 0,6/(1-0,4) = 1 (geomeetrilise progressiooni summa)

Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et r.v. X saab väärtuse, mis on väiksem kui x konkreetne arvväärtus. Jaotusfunktsiooni väärtused leitakse tõenäosuste liitmise teel.

Kui x ≤ 1, siis F(x) = 0

Kui 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Kui 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Kui 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
Kui k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mx = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667
Dх = q/p 2 = 0,4/0,36 ≈ 1,111
σ = √Dх ≈ 1,054

b) Juhuslik suurus võib võtta väärtusi 1, 2, 3.
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0,4 2 0,6 + 0,4 3 = 0,16
Jaotusvahemik:

Kontroll: Σp i = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1
Jaotusfunktsioon.

Kui x ≤ 1, siis F(x) = 0
Kui 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Kui 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Kui x > 3, siis F(x) = 0,84 + 0,16 = 1
M(X) = 1 0,6 + 2 0,24 + 3 0,16 = 1,56
D(X) = 1 2 0,6 + 2 2 0,24 + 3 2 0,16 - 1,56 2 = 0,5664
σ(X) ≈ 0,752

Viltus ja kurtoos

Asümmeetria on valimijaotuse omadus, mis iseloomustab juhusliku suuruse jaotuse asümmeetriat. Praktikas on sümmeetrilised jaotused haruldased ning asümmeetria astme tuvastamiseks ja hindamiseks võetakse kasutusele asümmeetria mõiste. Negatiivse asümmeetriakoefitsiendi korral täheldatakse õrnemat “laskumist” vasakul, muidu – paremal. Esimesel juhul nimetatakse asümmeetriat vasakpoolseks ja teisel - parempoolseks.

Asümmeetria koefitsient diskreetne juhuslik suurus arvutatakse järgmise valemi abil:
As(X) = (x 1-M X) 3 p 1 + (x 2 - M X) 3 p 2 + ... + ( x n-M X) 3 p n

Koefitsient. asümmeetria pidev sl.vel. arvutatakse valemiga:

Liigne on jaotuskõvera järsuse mõõt. Diskreetse juhusliku suuruse kurtoosi koefitsient arvutatakse järgmise valemi abil:

Näide (X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

Pideva juhusliku suuruse kurtoosi koefitsient arvutatakse järgmise valemi abil:

Näide.

Diskreetse juhusliku muutuja X jaotusseadus on järgmise muutuja kõigi võimalike väärtuste loend. X, mida ta suudab aktsepteerida, ja vastavad tõenäosused. Kõikide uskumuste summa peab olema võrdne 1-ga. Kontrollige: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1.

1. Oodatud väärtus: M(X) = -2 0,1 - 1 0,2 + 0 0,5 + 1 0,1 + 2 0,1 = -0,1
2. Dispersioon on järgmise vel väärtuste ruudu hälbe matemaatiline ootus. X tema mat.ozh.: D(X) = (-2 + 0,1) 2 0,1 + (- 1 + 0,1) 2 0,2 ​​+ (0 + 0,1) 2 0,5 + (1 + 0,1) 2 0,1 + (2 + 0,1) 2 0,1 = 1,09
   või D(X) = (-2) 2 0,1 + (-1) 2 0,2 ​​+ 0 2 0,5 + 1 2 0,1 + 2 2 0,1 - (-0,1) 2 = 1,1 - 0,01 = 1,09
3. kolmap ruut väljas on dispersiooni ruutjuur: σ = √1,09 ≈ 1,044
4. Coef. asümmeetria As(X) = [(-2 + 0,1) 3 0,1 + (- 1 + 0,1) 3 0,2 + (0 + 0,1) 3 0,5 + (1 + 0,1) 3 0,1 + (2 + 0,1) 3 0,1] / 1,044 3 = 0,200353
5. Coef. üleliigne E x(X) = [(-2 + 0,1) 4 0,1 + (- 1 + 0,1) 4 0,2 + (0 + 0,1) 4 0,5 + (1 + 0,1) 4 · 0,1 + (2 + 0,1) 4 · 0,1 ]/1,044 4–3 = 0,200353
6. Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem kui mõni arvväärtus x: F(X) = P(X< x). Jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon. See võtab väärtusi vahemikus 0 kuni 1.

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7

2) Pidevad juhuslikud suurused. Normaaljaotus.

Pidev juhuslik muutuja ei võta konkreetseid arvväärtusi, vaid mis tahes väärtusi arvvahemikus. Jaotusseaduse kirjeldamine jätkuvas käändes on palju keerulisem kui diskreetses käändes.

Pidev nimetatakse juhuslikuks muutujaks, mis võib teatud intervallilt võtta mis tahes väärtuse, näiteks transpordi ooteaeg, õhutemperatuur igal kuul, detaili tegeliku suuruse kõrvalekalle nominaalsest jne. Selle seadistamise intervall võib olla lõpmatu ühes või mõlemas suunas.

Diskreetsete ja pidevate juhtumite tõenäosuste arvutamise ülesannete peamine erinevus on järgmine. Diskreetsel juhul sündmuste jaoks nagu x = c(juhuslik suurus võtab teatud väärtuse) otsitakse tõenäosust R(Koos). Pideval juhul seda tüüpi tõenäosused on võrdsed nulliga Seetõttu pakuvad huvi sündmuste tõenäosused, mis on tüüpilised "juhuslik muutuja võtab väärtused teatud segmendist", st. A≤ X≤ b. Või selliste sündmuste jaoks X≤ Koos tõenäosust otsides R(X≤ Koos). Saime jaotusfunktsiooni F( graafiku X≤ Koos).

Seega on juhuslike muutujate valik väga suur. Nende poolt aktsepteeritavate väärtuste arv võib olla piiratud, loendatav või loendamatu; väärtused võivad paikneda diskreetselt või täita intervallid täielikult. Oma olemuselt nii erinevate juhuslike suuruste väärtuste tõenäosuste täpsustamiseks ja pealegi nende ühtseks täpsustamiseks kasutatakse mõistet juhusliku suuruse jaotusfunktsioon.

Laskma olla juhuslik suurus ja X- suvaline reaalarv. Tõenäosus, et see võtab väärtuse, mis on väiksem kui X, helistas tõenäosusjaotuse funktsioon juhuslik muutuja: F(x)= P(<х}.

Võtame öeldu kokku: juhuslik muutuja on suurus, mille väärtused sõltuvad juhtumist ja mille jaoks on defineeritud tõenäosusjaotuse funktsioon.

Pidevate juhuslike muutujate jaoks (kui juhusliku suuruse võimalike väärtuste hulk on loendamatu), määratakse jaotusseadus funktsiooni abil. Kõige sagedamini see jaotusfunktsioon :F( x) = P(X<X) .

Funktsioon F( x) sisaldab järgmist omadused:

1. 0 ≤ F( x) ≤ 1 ;

2.F( x) ei vähene;

3.F( x) jäetud pidevaks;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.