Mis on logaritmi lühiseletus. Logaritmide omadused ja nende lahenduste näited

Logaritmiavaldised, näidete lahendamine. Käesolevas artiklis vaatleme logaritmide lahendamisega seotud probleeme. Ülesannetes küsitakse väljendi tähenduse leidmist. Tuleb märkida, et logaritmi mõistet kasutatakse paljudes ülesannetes ja selle tähenduse mõistmine on äärmiselt oluline. Mis puudutab ühtset riigieksamit, siis logaritmi kasutatakse võrrandite lahendamisel, rakendusülesannetes ja ka funktsioonide uurimisega seotud ülesannetes.

Toome näiteid, et mõista logaritmi tähendust:

Põhilogaritmiline identiteet:

Logaritmide omadused, mida tuleb alati meeles pidada:

*Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga.

* * *

*Jagatise (murru) logaritm võrdub tegurite logaritmide vahega.

* * *

*Astendaja logaritm võrdub eksponendi ja selle aluse logaritmi korrutisega.

* * *

*Üleminek uuele vundamendile

* * *

Rohkem omadusi:

* * *

Logaritmide arvutamine on tihedalt seotud eksponentide omaduste kasutamisega.

Loetleme mõned neist:

Selle omaduse olemus seisneb selles, et lugeja kandmisel nimetajale ja vastupidi muutub astendaja märk vastupidiseks. Näiteks:

Selle omaduse tagajärg:

* * *

Tõsttes astme astmeks, jääb alus samaks, kuid eksponendid korrutatakse.

* * *

Nagu olete näinud, on logaritmi mõiste iseenesest lihtne. Peaasi, et vajad head praktikat, mis annab teatud oskuse. Loomulikult on valemite tundmine vajalik. Kui elementaarlogaritmide teisendamise oskus pole arenenud, siis lihtsate ülesannete lahendamisel võib kergesti eksida.

Harjuta, lahenda esmalt matemaatikakursuse kõige lihtsamad näited, siis liigu edasi keerulisemate juurde. Tulevikus näitan kindlasti, kuidas "koledad" logaritmid on lahendatud, need ei ilmu ühtsele riigieksamile, kuid need pakuvad huvi, ärge unustage neid!

See on kõik! Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

\(a^(b)=c\) \(\Leftparemnool\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selgitame seda lihtsamalt. Näiteks \(\log_(2)(8)\) on võrdne astmega, milleni \(2\) tuleb \(8\) saamiseks tõsta. Sellest on selge, et \(\log_(2)(8)=3\).

Näited:	\(\log_(5)(25)=2\)	sest \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	sest \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	sest \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument ja logaritmi alus

Igal logaritmil on järgmine "anatoomia":

Logaritmi argument kirjutatakse tavaliselt selle tasemel ja alus kirjutatakse logaritmi märgile lähemal asuvas alaindeksis. Ja see sissekanne kõlab järgmiselt: "logaritm kahekümne viiest põhiviieni."

Kuidas arvutada logaritmi?

Logaritmi arvutamiseks peate vastama küsimusele: millisele astmele tuleks argumendi saamiseks baasi tõsta?

Näiteks, arvuta logaritm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Millise astmeni tuleb \(4\) tõsta, et saada \(16\)? Ilmselgelt teine. Sellepärast:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(5)\) tõsta, et saada \(1\)? Milline jõud teeb ükskõik millisest esikoha? Null, muidugi!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(7)\) suurendada, et saada \(\sqrt(7)\)? Esiteks on suvaline arv esimese astmeni võrdne iseendaga.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Millise astmeni tuleb \(3\) tõsta, et saada \(\sqrt(3)\)? Me teame, et see on murdarvu aste, mis tähendab, et ruutjuur on astme \(\frac(1)(2)\) aste.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Näide : Arvutage logaritm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lahendus :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Peame leidma logaritmi väärtuse, tähistame seda kui x. Nüüd kasutame logaritmi määratlust: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Nool vasakule\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Mis ühendab \(4\sqrt(2)\) ja \(8\)? Kaks, sest mõlemat numbrit saab esitada kahega: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vasakul kasutame astme omadusi: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ja \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Alused on võrdsed, liigume edasi näitajate võrdsuse juurde
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga \(\frac(2)(5)\)
		Saadud juur on logaritmi väärtus

Vastus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miks leiutati logaritm?

Selle mõistmiseks lahendame võrrandi: \(3^(x)=9\). Võrdõiguslikkuse toimimiseks tehke lihtsalt vaste \(x\). Muidugi \(x=2\).

Nüüd lahendage võrrand: \(3^(x)=8\). Millega x võrdub? See on asja mõte.

Targemad ütlevad: "X on natuke vähem kui kaks." Kuidas seda numbrit täpselt kirjutada? Sellele küsimusele vastamiseks leiutati logaritm. Tänu temale saab siin vastuse kirjutada kujul \(x=\log_(3)(8)\).

Tahan rõhutada, et \(\log_(3)(8)\), meeldib iga logaritm on vaid arv. Jah, see tundub ebatavaline, kuid on lühike. Sest kui sooviksime seda kirjutada kümnendkohana, näeks see välja järgmine: \(1.892789260714.....\)

Näide : lahendage võrrand \(4^(5x-4)=10\)

Lahendus :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ja \(10\) ei saa tuua samasse baasi. See tähendab, et te ei saa ilma logaritmita hakkama. Kasutame logaritmi definitsiooni: \(a^(b)=c\) \(\Leftparemnool\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Pöörame võrrandi ümber nii, et X on vasakul
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Enne meid. Liigume \(4\) paremale. Ja ärge kartke logaritmi, käsitlege seda kui tavalist arvu.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Jagage võrrand 5-ga
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		See on meie juur. Jah, see tundub ebatavaline, kuid nad ei vali vastust.

Vastus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Kümnend- ja naturaallogaritmid

Nagu on öeldud logaritmi definitsioonis, võib selle alus olla mis tahes positiivne arv, välja arvatud üks \((a>0, a\neq1)\). Ja kõigi võimalike aluste hulgas on kaks, mis esinevad nii sageli, et nendega koos olevate logaritmide jaoks leiutati spetsiaalne lühike tähistus:

Naturaalne logaritm: logaritm, mille alus on Euleri arv \(e\) (võrdub ligikaudu \(2,7182818…\)) ja logaritm on kirjutatud kujul \(\ln(a)\).

See on, \(\ln(a)\) on sama mis \(\log_(e)(a)\)

Kümnendlogaritm: Logaritm, mille alus on 10, kirjutatakse \(\lg(a)\).

See on, \(\lg(a)\) on sama mis \(\log_(10)(a)\), kus \(a\) on mingi arv.

Põhiline logaritmiline identiteet

Logaritmidel on palju omadusi. Ühte neist nimetatakse "põhilogaritmiliseks identiteediks" ja see näeb välja järgmine:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

See omadus tuleneb otseselt määratlusest. Vaatame täpselt, kuidas see valem tekkis.

Tuletagem meelde logaritmi määratluse lühikest tähistust:

kui \(a^(b)=c\), siis \(\log_(a)(c)=b\)

See tähendab, et \(b\) on sama mis \(\log_(a)(c)\). Siis saame valemis \(a^(b)=c\) kirjutada \(\log_(a)(c)\) asemel \(b\). Selgus \(a^(\log_(a)(c))=c\) - peamine logaritmiline identiteet.

Saate leida muid logaritmide omadusi. Nende abiga saate lihtsustada ja arvutada avaldiste väärtusi logaritmidega, mida on raske otse arvutada.

Näide : leidke avaldise \(36^(\log_(6)(5))\) väärtus

Lahendus :

Vastus : \(25\)

Kuidas kirjutada arv logaritmina?

Nagu eespool mainitud, on iga logaritm vaid arv. Tõsi on ka vastupidi: logaritmina saab kirjutada mis tahes arvu. Näiteks teame, et \(\log_(2)(4)\) on võrdne kahega. Siis saab kahe asemel kirjutada \(\log_(2)(4)\).

Kuid \(\log_(3)(9)\) võrdub ka \(2\), mis tähendab, et saame kirjutada ka \(2=\log_(3)(9)\) . Samamoodi \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. See tähendab, et selgub

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Seega võime vajaduse korral kirjutada kaks logaritmina suvalise alusega ükskõik kuhu (olgu see siis võrrandisse, avaldisesse või võrratusse) – me kirjutame aluse lihtsalt argumendina ruudus.

Sama on kolmikuga – selle saab kirjutada kui \(\log_(2)(8)\), või \(\log_(3)(27)\) või \(\log_(4)( 64) \)... Siin kirjutame argumendina kuubi aluse:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljaga:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinus ühega:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)

Ja ühe kolmandikuga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mis tahes arvu \(a\) saab esitada logaritmina alusega \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Näide : Leia väljendi tähendus \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lahendus :

Vastus : \(1\)

Jätkame logaritmide uurimist. Selles artiklis räägime sellest logaritmide arvutamine, seda protsessi nimetatakse logaritm. Kõigepealt mõistame logaritmide arvutamist definitsiooni järgi. Järgmisena vaatame, kuidas leitakse logaritmide väärtused nende omaduste abil. Pärast seda keskendume logaritmide arvutamisele teiste logaritmide algselt määratud väärtuste kaudu. Lõpuks õpime kasutama logaritmitabeleid. Kogu teooria on varustatud näidetega koos üksikasjalike lahendustega.

Leheküljel navigeerimine.

Logaritmide arvutamine definitsiooni järgi

Lihtsamal juhul on võimalik teostada üsna kiiresti ja lihtsalt logaritmi leidmine definitsiooni järgi. Vaatame lähemalt, kuidas see protsess toimub.

Selle olemus on esitada arvu b kujul a c, millest logaritmi definitsiooni järgi on arv c logaritmi väärtus. See tähendab, et definitsiooni järgi vastab logaritmi leidmisele järgmine võrduste ahel: log a b=log a a c =c.

Seega taandub logaritmi arvutamine definitsiooni järgi sellise arvu c leidmisele, et a c = b ja arv c ise on logaritmi soovitud väärtus.

Võttes arvesse eelmistes lõikudes toodud teavet, kui logaritmimärgi all olev arv on antud logaritmi aluse teatud astmega, saate kohe näidata, millega logaritm võrdub - see on võrdne eksponendiga. Näitame näidetele lahendusi.

Näide.

Leidke log 2 2 −3 ja arvutage ka arvu e naturaallogaritm 5,3.

Lahendus.

Logaritmi definitsioon võimaldab kohe öelda, et log 2 2 −3 =−3. Tõepoolest, logaritmi märgi all olev arv võrdub baasiga 2 astmega −3.

Samamoodi leiame teise logaritmi: lne 5.3 =5.3.

Vastus:

log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3.

Kui logaritmi märgi all olev arv b ei ole määratud logaritmi aluse astmena, siis peate hoolikalt uurima, kas on võimalik arvu b esitus esitada kujul a c . Sageli on see esitus üsna ilmne, eriti kui logaritmimärgi all olev arv on võrdne baasiga astmel 1, 2, või 3, ...

Näide.

Arvutage logaritmid log 5 25 ja .

Lahendus.

On lihtne näha, et 25=5 2, see võimaldab arvutada esimese logaritmi: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Liigume edasi teise logaritmi arvutamise juurde. Arvu võib esitada astmena 7: (vaata vajadusel). Seega .

Kirjutame kolmanda logaritmi järgmisel kujul ümber. Nüüd näete seda , millest järeldame, et . Seega logaritmi definitsiooni järgi .

Lühidalt võiks lahenduse kirjutada järgmiselt: .

Vastus:

log 5 25=2, Ja .

Kui logaritmimärgi all on piisavalt suur naturaalarv, ei tee paha seda algteguritesse arvestada. Sageli aitab sellist arvu esitada logaritmi aluse mõne astmena ja seetõttu arvutada see logaritm definitsiooni järgi.

Näide.

Leidke logaritmi väärtus.

Lahendus.

Mõned logaritmide omadused võimaldavad kohe määrata logaritmide väärtuse. Nende omaduste hulka kuuluvad ühe logaritmi omadus ja baasiga võrdse arvu logaritmi omadus: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1. See tähendab, et kui logaritmi märgi all on arv 1 või arv a, mis on võrdne logaritmi alusega, siis nendel juhtudel on logaritmid võrdsed vastavalt 0 ja 1-ga.

Näide.

Millega võrdub logaritm ja log10?

Lahendus.

Kuna , siis logaritmi definitsioonist järeldub .

Teises näites langeb logaritmimärgi all olev arv 10 kokku selle alusega, seega kümnendlogaritm kümnend on võrdne ühega, st lg10=lg10 1 =1.

Vastus:

JA lg10=1 .

Pange tähele, et logaritmide arvutamine definitsiooni järgi (mida arutasime eelmises lõigus) eeldab võrdsuse log a a p =p kasutamist, mis on üks logaritmide omadusi.

Praktikas, kui logaritmi märgi all olev arv ja logaritmi alus on hõlpsasti esitatavad teatud arvu astmena, on väga mugav kasutada valemit , mis vastab logaritmide ühele omadusele. Vaatame selle valemi kasutamist illustreeriva logaritmi leidmise näidet.

Näide.

Arvutage logaritm.

Lahendus.

Vastus:

Arvutustes kasutatakse ka ülalmainimata logaritmide omadusi, kuid sellest räägime järgmistes lõikudes.

Logaritmide leidmine teiste teadaolevate logaritmide kaudu

Selle lõigu teave jätkab logaritmide omaduste kasutamise teemat nende arvutamisel. Siin on aga põhiline erinevus selles, et logaritmide omadusi kasutatakse algse logaritmi väljendamiseks teise logaritmi kaudu, mille väärtus on teada. Toome selgituseks näite. Oletame, et teame, et log 2 3≈1.584963, siis leiame näiteks log 2 6, tehes logaritmi atribuute kasutades väikese teisenduse: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Ülaltoodud näites piisas, kui kasutasime korrutise logaritmi omadust. Palju sagedamini on aga vaja kasutada laiemat logaritmide omaduste arsenali, et arvutada algne logaritm läbi etteantud.

Näide.

Arvutage logaritm 27-st aluseni 60, kui teate, et log 60 2=a ja log 60 5=b.

Lahendus.

Seega peame leidma logi 60 27 . On lihtne näha, et 27 = 3 3 ja algse logaritmi saab astme logaritmi omaduse tõttu ümber kirjutada kujule 3·log 60 3 .

Nüüd vaatame, kuidas väljendada log 60 3 tuntud logaritmide kaudu. Alusega võrdse arvu logaritmi omadus võimaldab kirjutada võrduslogi 60 60=1. Teisest küljest log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Seega 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Seega log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.

Lõpuks arvutame algse logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Vastus:

log 60 27=3·(1–2·a-b)=3–6·a-3·b.

Eraldi tasub mainida valemi tähendust üleminekuks vormi uuele logaritmi alusele . See võimaldab liikuda mis tahes alusega logaritmidelt kindla baasiga logaritmidele, mille väärtused on teada või neid on võimalik leida. Tavaliselt liiguvad nad algsest logaritmist üleminekuvalemi abil logaritmidesse ühes alustest 2, e või 10, kuna nende aluste jaoks on olemas logaritmitabelid, mis võimaldavad nende väärtusi teatud määral arvutada. täpsust. Järgmises lõigus näitame, kuidas seda tehakse.

Logaritmitabelid ja nende kasutamine

Ligikaudseks arvutamiseks võib kasutada logaritmi väärtusi logaritmi tabelid. Kõige sagedamini kasutatav 2 aluse logaritmi tabel, naturaallogaritmi tabel ja kümnendlogaritmi tabel. Kümnendarvusüsteemis töötades on mugav kasutada kümne baasil põhinevat logaritmide tabelit. Tema abiga õpime leidma logaritmide väärtusi.

Esitatud tabel võimaldab leida kümnendkoha täpsusega arvude kümnendlogaritmide väärtused vahemikus 1000 kuni 9999 (kolme kümnendkohaga). Analüüsime logaritmi väärtuse leidmise põhimõtet kümnendlogaritmide tabeli abil konkreetse näite abil - nii on see selgem. Leiame log1.256.

Kümnendlogaritmide tabeli vasakpoolsest veerust leiame arvu 1,256 kaks esimest numbrit, st leiame 1,2 (selguse huvides on see arv sinisega ümbritsetud). Arvu kolmas number 1.256 (number 5) asub topeltreast vasakul esimesel või viimasel real (see number on punasega ümbritsetud). Algarvu 1.256 neljas number (number 6) asub topeltreast paremal esimesel või viimasel real (sellele numbrile on ümbritsetud roheline joon). Nüüd leiame numbrid logaritmitabeli lahtritest märgitud rea ja märgitud veergude ristumiskohalt (need numbrid on esile tõstetud oranžiga). Märgitud arvude summa annab kümnendlogaritmi soovitud väärtuse neljanda kümnendkoha täpsusega, st log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Kas ülaltoodud tabeli abil on võimalik leida nende arvude kümnendlogaritmide väärtused, mille pärast koma on rohkem kui kolm kohta, samuti nende arvude kümnendlogaritmide väärtused, mis ületavad vahemikku 1 kuni 9,999? Jah, sa saad. Näitame näitega, kuidas seda tehakse.

Arvutame lg102,76332. Kõigepealt peate üles kirjutama number standardkujul: 102,76332=1,0276332·10 2. Pärast seda tuleks mantiss ümardada kolmanda kümnendkohani 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, samas kui algne kümnendlogaritm on ligikaudu võrdne saadud arvu logaritmiga, st võtame log102.76332≈lg1.028·10 2. Nüüd rakendame logaritmi omadusi: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lõpuks leiame kümnendlogaritmide tabelist logaritmi lg1.028 väärtuse lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Selle tulemusena näeb kogu logaritmi arvutamise protsess välja järgmine: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Kokkuvõtteks väärib märkimist, et kümnendlogaritmide tabeli abil saate arvutada mis tahes logaritmi ligikaudse väärtuse. Selleks piisab üleminekuvalemi kasutamisest, et minna kümnendlogaritmidele, leida nende väärtused tabelist ja teha ülejäänud arvutused.

Näiteks arvutame log 2 3 . Vastavalt valemile üleminekuks uuele logaritmi alusele on meil . Kümnendlogaritmide tabelist leiame log3≈0,4771 ja log2≈0,3010. Seega .

Bibliograafia.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).

peamised omadused.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identsed põhjused

Log6 4 + log6 9.

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks.

Logaritmide lahendamise näited

Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Loomulikult on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x >

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Üleminek uuele vundamendile

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Vaata ka:

Logaritmi põhiomadused

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga.

Logaritmide põhiomadused

Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Atribuutide 3.5 abil arvutame

4. Kus .

Näide 2. Leia x, kui

Näide 3. Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt on siin identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi , st. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga.

Logaritmi valemid. Logaritmide näited lahendused.

Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et sellele astmele vastav arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.

Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt omadusteks nimetada saab – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Vaata ka:

B-st lähtuv logaritm a-aluseks tähistab avaldist. Logaritmi arvutamine tähendab astme x () leidmist, mille juures võrdsus on täidetud

Logaritmi põhiomadused

Ülaltoodud omadusi on vaja teada, kuna peaaegu kõik logaritmidega seotud ülesanded ja näited lahendatakse nende põhjal. Ülejäänud eksootilised omadused saab tuletada nende valemitega matemaatiliste manipulatsioonide abil

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmide summa ja erinevuse valemit (3.4) arvutades kohtate üsna sageli. Ülejäänud on mõnevõrra keerulised, kuid paljude ülesannete puhul on need asendamatud keerukate avaldiste lihtsustamiseks ja nende väärtuste arvutamiseks.

Levinud logaritmide juhtumid

Mõned levinumad logaritmid on need, mille alus on isegi kümme, eksponentsiaalne või kaks.
Logaritmi kümne baasini nimetatakse tavaliselt kümnendlogaritmiks ja seda tähistatakse lihtsalt lg(x)-ga.

Salvestusest selgub, et põhitõed pole salvestusel kirjas. Näiteks

Naturaalne logaritm on logaritm, mille aluseks on astendaja (tähistatakse ln(x)-ga).

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga. Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Ja veel üks oluline logaritm kahe aluse jaoks on tähistatud

Funktsiooni logaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga

Integraal- ehk antiderivatiivne logaritm määratakse seosega

Antud materjalist piisab paljude logaritmide ja logaritmidega seotud ülesannete lahendamiseks. Materjali mõistmise hõlbustamiseks toon vaid mõned levinud näited kooli õppekavast ja ülikoolidest.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Atribuutide 3.5 abil arvutame

2.
Logaritmide erinevuse omaduse järgi saame

3.
Kasutades omadusi 3.5 leiame

4. Kus .

Näiliselt keerukat väljendit on lihtsustatud mitme reegli abil

Logaritmi väärtuste leidmine

Näide 2. Leia x, kui

Lahendus. Arvutamiseks rakendame viimase liikme 5 ja 13 omadusi

Paneme selle protokolli ja leinama

Kuna alused on võrdsed, võrdsustame avaldised

Logaritmid. Esimene tase.

Olgu logaritmide väärtus antud

Arvuta log(x), kui

Lahendus: võtame muutuja logaritmi, et kirjutada logaritm läbi selle liikmete summa

See on alles meie tutvumise algus logaritmide ja nende omadustega. Harjutage arvutusi, rikastage oma praktilisi oskusi – peagi vajate saadud teadmisi logaritmiliste võrrandite lahendamiseks. Olles tutvunud selliste võrrandite lahendamise põhimeetoditega, laiendame teie teadmisi teisele sama olulisele teemale - logaritmilistele ebavõrdsustele...

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log6 4 + log6 9.

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Kuidas lahendada logaritme

See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Üleminek uuele vundamendile

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.