Диофантовых уравнений. Методы решения диофантовых уравнений

Министерство образования и науки

Научное Общество Учащихся

Секция «Алгебра»

Работа по теме:

«Диофантовы уравнения»

Выполнила:

ученица 10 «А» классаМОУ СОШ № 43

Булавина Татьяна

Научный руководитель:Пестова

Надежда Ивановна

Нижний новгород2010


Введение

О диофантовых уравнениях

Способы решения диофантовых уравнений

Список литературы

Введение

Я выбрала тему: «Диофантовы уравнения» потому, что меня заинтересовало, как зарождалась арифметика.

Диофант Александрийский (3 век)-греческий математик. Его книгу «Арифметика» изучали математики всех поколений.

Необычайный расцвет древнегреческой науки в IV-III вв. до н. э. сменился к началу новой эры постепенным спадом в связи с завоеванием Греции Римом, а потом и начавшимся разложением Римской империи. Но на фоне этого угасания еще вспыхивает яркий факел. В 3-ем веке новой эры появляется сочинение александрийского математика Диофанта «Арифметика». О жизни самого Диофанта нам известно только из стихотворения, содержащегося в «Палатинской антологии». В этой антологии содержалось 48 задач в стихах, собранных греческим поэтом и математиком VI в. Метродором. Среди них были задачи о бассейне, о короне Герона, о жизненном пути Диофанта. Последняя оформлена в виде эпитафии - надгробной надписи.

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей - и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять, лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Трактат «Арифметика» занимает особое место в античной матиматике не только по времени своего появления, но и по содержанию. Большую часть его составляют разнообразные задачи по теории чисел и их решения. Но, главное, автор использует не геометрический подход, как это было принято у древних греков,-решения Диофанта предвосхищают алгебраические и теоретико- числовые методы. К сожалению, из 13 книг, составлявших «Арифметику», до нас дошли лишь первые 6, а остальные погибли в перипетиях тогдашнего бурного времени. Достаточно сказать, что через 100 лет после смерти Диофанта была сожжена знаменитая александрийская библиотека, содержавшая бесценные сокровища древнегреческой науки.


О диофантовых уравнениях.

Задачи Диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, проблемы решения уравнеий скорее относятся к алгебре, чем к арифметике. Почему же тогда мы говорим, что эти уравнения относятся к арифметическим? Дело в том, что эти задачи имеют специфические особенности.

Во-первых, они сводятся к уравнениям или к системам уравнений с целыми коэффициентами. Как правило, эти системы неопределённые,т.е. число уравнений в них меньше числа неизвестных.

Во-вторых, решения требуется найти только целые, часто натуральные.

Для выделения таких решений из всего бесконечного их множества приходится пользоваться свойствами целых чисел,а это уже относится к области арифметики.Дадим определение диофантовым уравнениям.

Диофантовы уравнения-алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвесных в уравнениях больше числа уравнений. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений.

Давайте рассмотрим современную простенькую задачу.

За покупку нужно уплатить 1700 р. У покупателя имеются купюры только по 200р. и по 500 р. Какими способами он может расплатиться? Для ответа на этот вопрос достаточно решить уравнение 2x + 5y=17 с двумя неизвестными x и y. Такие уравнения имеют бесконечное множество решений. В частности, полученному уравнению отвечает любая пара чисел вида (x, 17-2x/5). Но для этой практической задачи годятся только целые неотрицательные значения x и y. Поэтому приходим к такой постановке задачи: найти все целые неотрицательные решения уравнения 2x+5y=17. Ответ содержит уже не бесконечно много,авсего лишь две пары чисел (1, 3) и (6, 1).Диофант сам находил решения своих задач. Вот несколько задач из его «Арифметики».

1. Найти два числа так, чтобы их произведение находилось в заданном отношении к их сумме.

2. Найти три квадрата так, чтобы сумма их квадратов тоже была квадратом.

3. Найти два числа так, чтобы их произведение делалось кубом как при прибавлении, так и при вычитании их суммы.

4. Для числа 13=2²+3² найти два других,сумма квадратов которых равна 13.

Приведём диофантово решение последней задачи. Он полагает первое число (обозначим его через А) равным x+2, а второе число B равным 2x-3 , указывая, что коэффициент перед xможно взять и другой. Решая уравнения

(x+2)²+(kx-3)²=13,

Диофант находит x=8/5, откуда A=18/5,B=1/5. Воспользуемся указанием Диофанта и возьмём произвольный коэффициент перед x в выражении для B. Пусть снова А=x+2,а В=kx-3, тогда из уравнения

(x+2)²+(kx-3)²=13

x=2(3k-2)/k²+1.

А=2(k²+3k-1)/k²+1,

В=3k²-4k-3/k²+1.

Теперь становятся понятными рассуждения Диофанта. Он вводит очень удобную подстановку А=x+2, В=2x-3, которая с учётом условия 2²+3²=13 позволяет понизить степень квадратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве В взять 2x+3 , но тогда получаются отрицательные значения для В,чего Диофант не допускал. Очевидно, k=2- наименьшее натуральное число, при котором А и В положительны.

Исследование Диифантовых уравнений обычно связано с большими трудностями. Более того, можно указать многочлен F (x,y1,y2 ,…,yn) c целыми коэффициентами такой, что не существует алгоритма, позволяющего по любому целому числу x узнавать, разрешимо ли уравнение F (x,y1,y2 ,…,yn)=0 относительно y1,…,y. Примеры таких многочленов можно выписать явно. Для них невозможно дать исчерпывающего описания решений.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязанны Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Надо сказать, что это не было изобретением Ферма - он только возродил интерес к поиску целочисленных решений. А вообще задачи, допускающие только целые решения, были распространены во многих странах в очень далёкие от нас времена.В нынешней математике существует целое направление, занимающееся исследованиями диофантовых уравнений,поиском способов их решений.Называется оно диофантовым анализом и диофантовой геометрией, поскольку использует геометрические способы доказательств.

Простейшее Диофантово уравнение ax+by=1,где a и b – цельные взаимопростые числа, имеет бесконечно много решений (если x0 и y0-решение, то числа x=x0+bn, y=y0-an, где n- любое целое, тоже будут решениями).

Другим примером Диофантовых уравнений является

x 2 + у 2 = z 2 . (5)


Это Диофантово уравнение 2-й степени. Сейчас мы займёмся поиском его решений. Удобно записывать их в виде троек чисел (x,y,z). Они называются пифагоровыми тройками. Вообще говоря, уравнению (5) удовлетворяет бесконечное множество решений. Но нас будут интересовать только натуральные. Целые, положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Наша задача состоит в том, чтобы найти все тройки пифагоровых чисел. Заметим, что если два числа из такой тройки имеют общий делитель, то на него делится и третье число. Поделив их все на общий делитель, вновь получим пифагороау тройку. Значит от любой пифагоровой тройки можно перейти к другой пифагоровой тройке, числа которой попарно взаимо просты. Такую тройку называют примитивной. Очевидно, для поставленной нами задачи достаточно найти общий вид примитивних пифагоровых троек. Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть чётными, но в то же время все три числа не могут быть нечётными одновременно. Остаётся один вариант: два числа нечётные, а одно чётное. Покажем, что z не может быть чётным числом. Предположим противное: z=2m, тогда x и y-нечётные числа. x=2k+1, y=2t+1. В этом случае сумма x²+y²=4(k²+k+t²+t)+2 не делится на 4, в то время как z²=4m² делится на 4. Итак, чётным числом является либо x, либо y. Пусть x=2u, y и z- нечётные числа. Обозначим z+y=2v, z-y=2w . Числа v и wвзаимно простые. На самом деле, если бы они имели общий делитель d>1, то он был бы делителем и для z=w+v, и для y=v-w, что противоречит взаимной простоте y и z. Кроме того, v и w разной чётности: иначе бы y и z были бы чётными. Из равенства x²=(z+y)(z-y) следует, что u²=vw. Поскольку v и w взаимно просты, а их произведение является квадратом, то каждый из множителей является квадратом. Значит найдутся такие натуральные числа p и q, что v=p², w= q² . Очевидно, числа p и q взаимно просты и имеют разную чётность. Теперь имеем


z=p²+q² , y=p²-q²,

x²=(p²+q²)²-(p²-q²)²=4 p² q².

В результате мы доказали, что для любой примитивной пифагоровой тройки (x,y,z) найдутся взаимо простые натуральные числа p и qразной чётности, p>q , такие, что

х =2pq, у =p²-q², z = p 2 + q 2 .(6)

Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам

х =2pq, у = p²-q², z = p 2 + q 2 ,

где m и n - целые взаимо простые числа. Все остальные его натуральные решения имеют вид:

x=2kpq,y=k(p²-q²),z=k(p 2 + q 2 ),

где k-произвольное натуральное число. Теперь рассмотрим следующую задачу: дано произвольное натуральное число m>2; существует ли пифагоров треугольник, одна из сторон которого равна m? Если потребовать, чтобы заданную длину m имел катет, то для любого m ответ положительный. Докажем это. Пусть сначала m-нечётное число. Положим p=m+1/2, q=m-1/2. Получаем пифагорову тройку

Задача 1. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

Решение. Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39.

Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3. Ответ: (3; 3).

Уравнения, вида ах+bу=с, называются диофантовыми, по имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского. Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. н. э., остальные известные нам факты его биографии исчерпываются таким стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет, проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько же лет прожил Диофант Александрийский?

Задача 2. На складе имеются гвозди в ящиках по 16,17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей, не вскрывая ящики? (метод прямого перебора)

Разберем метод решения относительно одного неизвестного.

Задача 3. В каталоге картинной галереи всего 96 картин. На каких-то страницах расположено 4 картины, а на каких-то 6. Сколько страниц каждого вида есть в каталоге?

Решение. Пусть х – количество страниц с четырьмя картинами,

у – количество страниц с шестью картинами,

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. В нашем случае это 4х, то есть:

Делим все уравнение на этот коэффициент:

4х=96-6у | :4;

Остатки при делении на 4: 1,2,3. Подставим вместо у эти числа.

Если у=1, то х=(96-6∙1):4=90:4 - Не походит, решение не в целых числах.

Если у=2, то х=(96-6∙2):4=21 – Подходит.

Если у=3, то х=(96-6∙3):4=78:4 - Не походит, решение не в целых числах.

Итак, частным решением является пара (21;2), а это значит, что на 21 странице расположено по 4 картины, а на 2 страницах по 6 картин.

Разберем метод решения с использованием алгоритма Евклида.

Задача 4. В магазине продаётся шоколад двух видов: молочный и горький. Весь шоколад хранится в коробках. Молочного шоколада на складе имеется 7 коробок, а горького 4. Известно, что горького шоколада было на одну плитку больше. Сколько плиток шоколада находятся в коробках каждого вида?

Решение. Пусть х – количество плиток молочного шоколада в одной коробке,

у – количество плиток горького шоколада в одной коробке,

тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:

Решим это уравнение, используя алгоритм Евклида.

Выразим 7=4∙1+3, => 3=7-4∙1.

Выразим 4=3∙1+1, => 1=4-3∙1=4-(7-4∙1)=4-7+4∙1=4∙2 -7∙1 =1.

Итак, получается х=1; у=2.

А это значит, что молочный шоколад лежит в коробке по 1 штуке, а горький по 2 штуки.

Разберем метод поиска частного решения и общей формулы решений.

Задача 5. В африканском племени Тумбе-Юмбе два аборигена Тумба и Юмба работают парикмахерами, причем Тумба всегда заплетает своим клиентам по 7 косичек, а Юмба по 4 косички. Сколько клиентов обслужили мастера по отдельности за смену, если известно, что вместе они заплели 53 косички?

Решение. Пусть х – количество клиентов Тумбы,

у – количество клиентов Юмбы,

тогда 7х+4у=53 (1).

Теперь чтобы найти частные решения уравнения (,), заменим данную нам сумму чисел на 1. Это заметно упростит поиск подходящих чисел. Получим:

Решим это уравнение методом подстановки.

4у=1-7х │:4;

Остатки при делении на 4: 1, 2, 3. Подставим вместо х эти числа:

Если х=1, то у=(1-7):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.

Если х=2, то у=(1-7∙2):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.

Если х=3, то у=(1-7∙3):4=-5 – подходит.

Затем умножим получившиеся значения на начальное значение суммы, которую мы заменяли на 1, т.е.

х=х 0 ∙53=3∙53=159;

у=у 0 ∙53=-5∙53=-265.

Мы нашли частное решение уравнения(1). Проверим его, подставив начальное уравнение:

7∙159+4∙(-265)=53; (3)

Ответ сошелся. Если бы, мы решали абстрактное уравнение, то можно было бы на этом остановиться. Однако мы решаем задачу, а поскольку Тумба не мог заплести отрицательное число косичек, нам необходимо продолжать решение. Теперь составим формулы для общего решения. Чтобы это сделать вычтем из начального уравнения(1) уравнение с подставленными значениями (3). Получим:

Вынесем общие множители за скобки:

7(х-159)+4(у+265)=0.

Перенесем одно из слагаемых из одной части уравнения в другую:

7(х-159)=-4(у+265).

Теперь стало видно, что чтобы уравнение решалось (х-159) должно делиться на -4, а (у+265) должно делиться на 7. Введем переменную n, которая будет отображать это наше наблюдение:

Перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую:

Мы получили общее решение данного уравнения, теперь в него можно подставлять различные числа и получать соответствующие ответы.

Например, пусть n=39, тогда

А это значит, что Тумба заплел косички 3 клиентам, а Юмба 8 клиентам.

Решите задачи различными методами.

Задача 6: Вовочка купил ручки по 8 рублей и карандаши по 5 рублей. Причем за все карандаши он заплатил на 19 рублей больше, чем за все ручки. Сколько ручек и сколько карандашей купил Вовочка? (метод поиска общего решения, решение относительно одного не известного, использование алгоритма Евклида).

Задача 7. Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53 рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей?

Задача 8.(муниципальный тур ВОШ 2014-2015 г.) : на планете С в ходу два вида монет: по 16 тугриков и по 27 тугриков. Можно ли с их помощью купить товар, ценой в 1 тугрик?

Задача 9. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если в какие-то ночи она будет рассказывать по 3 сказки, а в какие-то по 5? За сколько ночей Шехерезада расскажет все свои сказки, если хочет сделать это как можно быстрее? Сколько ночей понадобится Шехерезаде, если ей утомительно рассказывать по пять сказок за ночь, поэтому таких ночей должно быть как можно меньше?

Задача10. (вспомним «Водолея») Как налить 3 литра воды, имея 9-литровую и 5-литровую емкости?

Задача 11. Вовочка отлично успевает по математике. В дневнике у него только пятерки и четверки, причем пятерок больше. Сумма всех Вовочкиных оценок по математике равна 47. Сколько Вовочка получил пятерок и сколько четверок?

Задача 12. Кощей Бессмертный устроил питомник по разведению Змеев Горынычей. В последнем выводке у него есть Змеи о 17-ти головах и о 19-ти головах. Всего этот выводок насчитывает 339 голов. Сколько 17-тиголовых и сколько 19-тиголовых Змеев вывелось у Кощея?

Ответы: Диофант прожил 84 года;

задача 2: 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг;

задача 6: куплено 7 карандашей и 8 ручек, то есть (7,2) – частное решение и у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где nє Z – общее решение;

задача 7: (-53; 106) – частное решение, х=4n-53, у=-7n+106 – общие решения, при n=14, х=3, у=8, то есть куплено 3фломастера и 8 карандашей;

задача 8: например, заплатить 3 монеты по 27 тугриков и получить сдачу 5 монет по 16 тугриков;

задача 9: (2002; -1001) – частное решение, х=-5 n+2002, у=3n-1001 – общее решение, при n=350, у=49, х=252, то есть 252 ночи по 3 сказки и 49 ночей по 5 сказок - всего 301 ночь; самый быстрый вариант: 2 ночи по три сказки и 199 ночей по 5 сказок - всего 201 ночь; самый долгий вариант: 332 ночи по 3 сказки и 1 ночь 5 сказок - всего 333 ночи.

задача 10: например, 2 раза налить воду 9-тилитровой банкой и 3 раза вычерпать ее 5-тилитровой банкой;

задача 11: Вовочка получил 7 пятерок и 4 четверки;

задача 12: 11 Змеев о 17-ти головах и 8 Змеев о 19-ти головах.

Чтобы решить линейное диофантово уравнение, нужно найти значения переменных «x» и «y», которые являются целыми числами. Целочисленное решение сложнее обычного и требует определенного набора действий. Сначала необходимо вычислить наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов, а затем найти решение. Если вы нашли одно целочисленное решение линейного уравнения, можно применить простой шаблон, чтобы найти бесконечное множество других решений.

Шаги

Часть 1

Как записать уравнение

    Запишите уравнение в стандартной форме. Линейное уравнение - это уравнение, в котором показатели степени переменных не превышают 1. Чтобы решить такое линейное уравнение, сначала запишите его в стандартной форме. Стандартная форма линейного уравнения выглядит так: A x + B y = C {\displaystyle Ax+By=C} , где A , B {\displaystyle A,B} и C {\displaystyle C} - целые числа.

    Упростите уравнение (если можно). Когда вы запишете уравнение в стандартной форме, посмотрите на коэффициенты A , B {\displaystyle A,B} и C {\displaystyle C} . Если у этих коэффициентов есть НОД, разделите на него все три коэффициента. Решение такого упрощенного уравнения также будет решением исходного уравнения.

    Проверьте, можно ли решить уравнение. В некоторых случаях можно сразу заявить, что уравнение не имеет решений. Если коэффициент «С» не делится на НОД коэффициентов «А» и «В», у уравнения нет решений.

    Часть 2

    Как записать алгоритм Евклида

    1. Уясните алгоритм Евклида. Это ряд повторных делений, в котором предыдущий остаток используется как следующий делитель. Последний делитель, который делит числа нацело, является наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел.

      Примените алгоритм Евклида к коэффициентам «A» и «B». Когда вы запишете линейное уравнение в стандартной форме, определите коэффициенты «A» и «B», а затем примените к ним алгоритм Евклида, чтобы найти НОД. Например, дано линейное уравнение 87 x − 64 y = 3 {\displaystyle 87x-64y=3} .

      Найдите наибольший общий делитель (НОД). Поскольку последним делителем было число 1, НОД 87 и 64 равен 1. Таким образом, 87 и 64 являются простыми числами по отношению друг к другу.

      Проанализируйте полученный результат. Когда вы найдете НОД коэффициентов A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , сравните его с коэффициентом C {\displaystyle C} исходного уравнения. Если C {\displaystyle C} делится на НОД A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , уравнение имеет целочисленное решение; в противном случае у уравнения нет решений.

    Часть 3

    Как найти решение с помощью алгоритма Евклида

      Пронумеруйте шаги вычисления НОД. Чтобы найти решение линейного уравнения, нужно использовать алгоритм Евклида в качестве основы процесса подстановки и упрощения.

      Обратите внимание на последний шаг, где есть остаток. Перепишите уравнение этого шага так, чтобы изолировать остаток.

      Изолируйте остаток предыдущего шага. Этот процесс представляет собой пошаговое «перемещение вверх». Каждый раз вы будете изолировать остаток в уравнении предыдущего шага.

      Сделайте замену и упростите. Обратите внимание, что уравнение шага 6 содержит число 2, а в уравнении шага 5 число 2 изолировано. Поэтому вместо «2» в уравнении шага 6 подставьте выражение шага 5:

      Повторите процесс подстановки и упрощения. Повторите описанный процесс, перемещаясь по алгоритму Евклида в обратном порядке. Каждый раз вы будете переписывать уравнение предыдущего шага и подставлять его в последнее полученное уравнение.

    1. Продолжите процесс подстановки и упрощения. Этот процесс будет повторяться до тех пор, пока вы не достигнете первоначального шага алгоритма Евклида. Цель процесса - записать уравнение с коэффициентами 87 и 64 исходного уравнения, которое нужно решить. В нашем примере:

      • 1 = 2 (18) − 7 (5) {\displaystyle 1=2(18)-7(5)}
      • 1 = 2 (18) − 7 (23 − 18) {\displaystyle 1=2(18)-7(23-18)} (подставили выражение из шага 3)
      • 1 = 9 (64 − 2 ∗ 23) − 7 (23) {\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23)} (подставили выражение из шага 2)
      • 1 = 9 (64) − 25 (87 − 64) {\displaystyle 1=9(64)-25(87-64)} (подставили выражение из шага 1)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1

г. Павлово.

Научно-исследовательская работа

Методы решения диофантовых уравнений.

Отделение: физико-математическое

Секция: математика

Выполнил:

ученик 8 А класса Трухин Николай (14 лет)

Научный руководитель:

учитель математики

Лефанова Н. А.

г. Павлово

2013 г.

Оглавление

I Введение…………………………………………………………………………3

II Обзор литературы……………………………………………………………....5

III Основная часть…………………………………………………………………6

IV Заключение…………………………………………………………………...15

V Список литературы……………………………………………………………16

VI Приложение…………………………………………………………………..17

    Введение.

В 2011-2012 году я выполнял исследовательскую работу на тему: «Решение уравнений в Древней Греции и Индии». При работе над ней я познакомился с трудами Диофанта Александрийского и Мухаммеда аль - Хорезми. В своей прошлой работе я рассмотрел некоторые способы решения уравнений первой степени с двумя неизвестными, познакомился с некоторыми старинными задачами, приводящими к решению уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми, - или Магомед сын Моисея Хорезмского, состоящий членом «дома мудрости» в Иране, около 820 года нашего летоисчисления написал книгу, где учил решать простые и сложные вопросы арифметики, которые необходимы людям при дележе наследства, составлении завещаний, разделе имущества и судебных делах, в торговле, всевозможных сделках. С именем аль – Хорезми связаны понятия «алгебра», «арабские цифры», «алгоритм». Он отделил алгебру от геометрии, внёс большой вклад в математику исламского средневековья. Мухаммед аль – Хорезми был известен и уважаем, как при жизни, так и после смерти.

Но мне захотелось больше узнать о Диофанте. И тема моего исследования в этом году: «Методы решения диофантовых уравнений»

Диофант Александрийский - один из самых своеобразных древнегреческих математиков, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. Из работ Диофанта самой важной является «Арифметика», из 13 книг которой, только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах содержится 189 задач с решениями. В первой книги изложены задачи, приводящиеся к определенным уравнениям первой и второй степени. Остальные пять книг содержат в основном неопределенные уравнения (неопределенными называются уравнения, содержащие более чем одно неизвестное). В этих книгах ещё нет систематической теории неопределённых уравнений, методы решения меняются от случая к случаю. Диофант довольствуется одним решением, целым или дробным, лишь бы оно было положительным. Тем не менее, методы решения неопределённых уравнений, составляют основной вклад Диофанта в математику. В символике Диофанта был один только знак для неизвестного. Решая неопределённые уравнения, он применял в качестве нескольких неизвестных произвольные числа, вместо которых можно было взять и любые другие, что и сохраняло характер общности его решений.

Цель моей работы:

1.Продолжить знакомство с диофантовыми уравнениями.

2.Исследовать методы перебора и рассеивания (измельчения) при решении диофантовых уравнений.

3.Исследовать возможность применения диофантовых уравнений для решения некоторых практических задач.

II . Обзор литературы.

При написании работы мной использовалась следующая литература:

Мной использована информация о Диофанте и аль – Хорезми.

Книга посвящена методам Диофанта при решении неопределённых уравнений. В ней рассказывается о жизни и самого Диофанта. Эта информация использована мной в работе.

В книги рассказывается об истории алгебры с древних времён. Я использовал информацию о теории уравнений, начиная с древности.

В этой книге собрано около 200 статей, посвященных основным понятиям математики и её приложения. Мной были использованы материалы статей «Алгебра», «Уравнения», «Диофантовы уравнения»

Из книги взяты тексты задач для практического использования.

    По теме мной использовался сайт:

http :// ru . wikipedia . org (информация об аль – Хорезми и Диофанте. О методах решения диофантовых уравнений).

    Основная часть

В наши дни каждый, кто занимался математикой, слышал о диофантовых уравнениях. Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Наиболее изучены диофантовы уравнения 1 и 2 степени. В содержании моей работы включены задачи, которые сводятся к решению уравнения первой степени с двумя неизвестными

(1)

Рассмотрим задачу.

Задача 1. В клетке находится x фазанов и у кроликов. Сколько в клетке фазанов и кроликов, если общее количество ног равно 62.

Общее число ног можно записать с помощью уравнения 2х+4у=62 (2)

Это равенство, которое я составил по условию задачи, называют уравнением с двумя переменными. Данное уравнение называют линейным уравнением. Линейные уравнения играют важную роль при решении различных задач. Напомню основные положения, связанные с этим понятием.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax +by =c , где x и у – переменные, а, b и с – некоторые числа.

Однозначно определить из уравнения (2) значения x и y нельзя. Даже если ограничиться только натуральными значениями переменных, здесь могут быть такие случаи: 1 и 15, 3 и 14, 5 и 13 и т. д.

Пара чисел (a , b ) называется решением уравнения с двумя переменными, если при замене x на а и y на b получаем истинное равенство.

Каждому уравнению с двумя переменными соответствует множество его решений, т. е. множество, состоящее из всех пар чисел (a , b ), при подстановке которых в уравнение получается истинное равенство. При этом, конечно, если заранее указаны множества Х и Y , которые могут принимать неизвестные x и у, то надо брать лишь такие пары (a , b ), для которых а принадлежит Х и b принадлежит Y .

Пару чисел (a , b ) можно изобразить на плоскости точкой М, имеющей координаты а и b , М= М (a , b ). Рассматривая изображения всех точек множества решений уравнения с двумя неизвестными, получим некоторое подмножество плоскости. Его называют графиком уравнения.

Можно доказать, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, является прямая линия. Для построения графика этого уравнения достаточно взять две точки с координатами и провести через них прямую. Графический метод решения я использовал в предыдущей работе.

Два уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения называются равносильными.

Например, равносильны уравнения х+2у=5 и 3х+6у=15 – любая пара чисел, удовлетворяющая одному из этих уравнений, удовлетворяет и второму.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Существует несколько способов решения диофантовых уравнений:

    Метод перебора вариантов

    Использование алгоритма Евклида

    С использованием цепной дроби

    Метод рассеивания (измельчения)

    При помощи программирования на языке программирования Паскаль

В своей работе я исследовал методы – перебор вариантов и рассеивание (измельчения)

Рассматривая способ перебора вариантов, необходимо учитывать количество возможных решений уравнения. Например, этот способ можно применить, решая следующую задачу:

Задача 2 . Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 р. И высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Решение.

Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х р. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2у р. Имеем уравнение 10х – 2у =180 , причем x меньше или равен 21. Получим: 5х-у=90, 5х=90+у, х=18+у:5.

Так как x целое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы в правой части получилось целое число. Возможны четыре случая

    у=0, х=18, т. е. решением является пара – (18, 0);

    у=5, х=19, (19, 5);

    у=10, х=20, (20, 10);

    у=15, х=21, (21, 15).

Эту задачу я решил, используя способ перебора вариантов. Ответ содержит четыре возможных варианта. Я попробовал решить этим способом ещё несколько задач.

Задача 3. Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 рубля. Сколько среди этих монет двухрублевых?

Решение.

Пусть x – количество двухрублевых монет, у – количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2х+5у=23; 2х=23–5у; x = (23 – 5у):2; x =(22+1 – 5у):2, почленно поделим 22 на 2 и (1 – 5у) на 2, получим: x = 11 + (1 – 5у):2.

Так как x и y натуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения есть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 – 5у) нацело делилось на 2. Осуществим перебор вариантов.

    y =1, х=9, то есть двухрублевых монет может быть 9;

    у=2, при этом выражение (1 – 5у) не делится нацело на 2;

    у=3, х=4, то есть двухрублевых монет может быть 4;

    при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным.

Таким образом, ответ в задаче следующий: среди монет 9 или 4 двухрублевых.

Задача 4. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если x ночей она будет рассказывать по 3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей

Решение.

Сказочнице потребуется x + у ночей, где x и у – натуральные корни уравнения 3х+5у=1001

x = (1001 – 5у):3; так как x – натуральное число, то и в правой части равенства также должно быть натуральное число, а значит выражение (1001 – 5у) должно нацело делиться на 3.

Осуществим перебор вариантов.

у=1, 1001 – 5у=1001-5= 996, 996 делится на 3, следовательно, х=332; решение (332;1);

у=2, 1001– 10=991, 991 не делится на 3;

у=3, 1001 – 15 = 986; 986 не делится на3;

у =4, 1001 – 20 = 981, 981 делится на 3, следовательно, x = 327, решение (327;4) и т. д.

В этой задаче существует 67 пар возможных корней, я не стал показывать все решения данной задачи, т. к. это занимает много времени.

Уравнение ax + by = c (1) в приведённых задачах я решал способом перебора вариантов. Я уяснил для себя, что способ перебора вариантов не всегда эффективен для решения данной задач, так как для нахождения всех решений уравнения требуются значительные временные затраты. И, на мой взгляд, в настоящее время он неактуален.

Поэтому я решил задачу про Шехерезаду, используя метод рассеивания (измельчения).

Метод рассеивания – это общий метод для решения в целых числах неопределённых уравнений первой степени с целыми коэффициентами.

Итак, решим задачу про Шехерезаду методом рассеивания:

Обратимся к уравнению 3х + 5у = 1001.

Перепишем его иначе: 3х= 1001- 5у; 3х= 1001 - 2у - 3у;

x = – y +
и обозначим x l = у + x

В результате уравнение примет вид 3х 1 = 1001 – 2у или

у = –x l
.

Если вновь произвести замену у 1 = у + х 1 , то придем к уравнению

x 1 + 2у 1 = 1001. Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились - измельчились.

Здесь коэффициент при x 1 , равен 1, а поэтому при любом целом у 1 = t число х 1 тоже целое. Остается выразить исходные переменные через t :

х 1 = 1001 – 2 t , следовательно, у = – 1001 + 3 t , а x = 2002 – 5 t . Итак, получаем бесконечную последовательность (2002 – 5 t , – 1001 + 3 t ) целочисленных решений. Внешний вид формул для нахождения значений переменных отличается от решений, полученных ранее, но с учетом условия задачи, корни получаются те же самые. Так, пара (332;1) получается при t =334.

На мой взгляд, этот метод не только более удобный (у него есть алгоритм действий), но и интересный. Известно, что этот метод в первые применил в начале VI в. индийский математик Ариабхатта.

В прошлом году я показывал решение древней индийской задачи Брахмагупты методам рассеивания, которое предложил сам Брахмагупта. Решение было нерациональным.

Оно представлено ниже:

«Найти два целых числа, зная, что разность произведений первого на 19 и второго на 8 равно 13. »

В задаче требуется найти все целые решения уравнений.

Решение:

(1) 19x – 8y = 13

Выражаю y – неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом через x , получаю:

(2) y = (19x – 13)/8

Нужно теперь узнать, при каких целых значениях x соответствующие значения y являются тоже целыми числами. Перепишу уравнение (2) следующим образом:

(3) y = 2x + (3x – 13)/8

Из (3) следует, что y при целом x принимает целое значение только в том случае, если выражение (3x -13)/8 является целым числом, скажем y 1 . Полагая

(4) (3x - 13)/8 = y 1 ,

вопрос сводится к решению в целых числах уравнения (4) с двумя неизвестными x и y 1 ; его можно записать так:

(5) 3x – 8y 1 = 13.

Это уравнение имеет по сравнению с первоначальным (1) преимущество, что 3 – наименьшее из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных – меньше, чем в (1), т.е. 8. Это было достигнуто благодаря тому, что коэффициент при x (19) был заменен остатком от деления на 8.

Продолжая тем же способом, мы получим из (5):

(6) x = (8y 1 +13)/3 = 2y 1 + (2y 1 + 13)/3.

Итак, неизвестное x при целом y 1 только тогда принимает целые значения, когда (2y 1 + 13)/3 есть целое число, скажем y 2 :

(7) (2y 1 + 1)/3 = y 2 ,

или

(8) 3y 2 – 2 y 1 = 13.

(9) y 1 = (3y 2 - 13)/2 = y 2 + (y 2 - 13)/2

Полагая

(10) (y 2 - 13)/2 = y 3 ,

получаю

(11) y 2 – 2 y 3 = 13.

Это самое простое из всех рассмотренных неопределенных уравнений, так как один из коэффициентов равен 1.

Из (11) получаю:

(12) y 2 = 2y 3 + 13.

Отсюда видно, что y 2 принимают целые значения при любых целых значениях y 3 . Из равенств (6), (9), (12), (3) путем последовательных подстановок можно найти следующие выражения для неизвестных x и y уравнения (1):

x = 2y 1 + y 2 = 2(y 2 + y 3 ) + y 2 = 3y 2 + 2y 3 = 3(2y 2 + 13) + 2y 3 = 8y 3 + 39;

у = 2x + y 1 = 2(8y 3 + 39) + y 2 + y 3 = 19y 3 +91.

Таким образом, формулы

x = 8y 3 + 39,

y = 19y 3 + 91.

При y 3 = 0, + 1,+ 2, + 3, … дают все целые решения уравнения (1).

В следующей таблице приведены примеры таких решений.

Таблица 1.

y3

x

y

Решим эту задачу рационально. В решении используется определённый алгоритм.

Задача 5.

Найти два числа, если разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13.

Решение. Требуется решить уравнение 19х - 8у = 13

Перепишем его иначе: 8y =19x –13; 8y =16x +3x –13; у = 2х +

и обозначим y 1 = у - 2х.

В результате уравнение примет вид 8у 1 = Зx - 13 или x = 2y 1
.

Если вновь произвести замену х 1 = x - 2у 1 , то придем к уравнению

3x l - 2у 1 = 13.

Коэффициенты при неизвестных уменьшились - измельчились. Дальнейшее измельчение: y 1 = x l +
, то получим у 2 =у 1 –х 1 .

В результате последнее уравнение преобразуется к виду х 1 - 2у 2: = 13. Здесь коэффициент при х 1 , равен 1, а поэтому при любом целом у 2 = t число х 1 тоже целое.

Остается выразить исходные переменные через t :

вначале выразим х 1 =2t +13, y 1 = 3t +13; а затем x = 8 t +39, y = 19 t + 91.

Итак, получаем бесконечную последовательность (39 + 8 t , 91 + 19 t ) целочисленных решений . Уравнение ax + by = c (1) в приведённых задачах я решал способом рассеивания (измельчения).

IV . Заключение.

Изучая диофантовы уравнения для их решения, я использовал методы перебора вариантов и рассеивания (измельчения). Этими методами я решал, как современные, так и древние задачи. В содержании моей работы были включены задачи, которые сводятся к решению уравнений первой степени с двумя переменными ах+b у=с (1)

В ходе своей работы я сделал выводы:

    Метод перебора требует значительные временные затраты, а значит он не очень удобен и рационален.

    Более рациональным, на мой взгляд, является метод рассеивания. Когда я решал старинную индийскую задачу этим методом, я понял, что существует определённый алгоритм решения. Мне было достаточно полученных в школе знаний. Я убедился, что методы решения дофантовых уравнений с развитием математики постоянно совершенствуются.

На следующий год я хочу продолжить изучение методов решения диофантовых уравнений.

V . Список литературы

    Г. И. Глейзер «История математики в школе» М.: изд. «Просвещение» 1964г. 376с.

    И. Г. Башмакова «Диофант и диофантовы уравнения» М.: изд. «Наука» 1972г. 68с.

    В. А. Никифоровский «В мире уравнений» М.: изд. «Наука» 1987г. 176с.

    А. П. Савин «Энциклопедический словарь юного математика» М.: изд. «Педагогика» 1985г.

    Г. М. Возняк, В. Ф. Гусев «Прикладные задачи на экстремумы» М.: изд. «Просвещение» 1985г. 144с.

    http :// ru . wikipedia . org

VI . Приложение.

    На фермерском хозяйстве нужно провести водопровод длиной 167м. Имеются трубы длиной 5м и 7м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровые трубы обозначаем через х, 5 – метровые – через у

Тогда 7х – длина 7 – метровых труб, 5у – длина 5 – метровых труб.

Отсюда получаем неопределённое уравнение:

7х+5у=167

Выпазив, например, переменную у через переменную х , получим:

Методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у , которые удовлетворяют уравнению 7х+5у=167

(1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

Из этих решений наиболее выгодное последнее, т. е. х=21; у=4.

Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений. Так, например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (х ) на 12 и номера месяца (у ) на 31.

2. Пусть сумма произведений, о которых идёт речь, равна 330. Найти дату рождения.

Решим неопределённое уравнение

12 х + 31 у = 330.

С помощью метода рассеивания получим:

х = 43 – 31 у 4 ,

у = 6 – 12 у 4 .

Ввиду ограничений, легко констатировать, что единственным решением является

у 4 = 1, х = 12, у = 6.

Итак, дата рождения: 12-е число 6-го месяца, т.е. 12 июня.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 28 города СМОЛЕНСКА

СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Секция Математика


Реферат

Диофантовы уравнения


Выполнил работу: Гончаров Евгений Игоревич,

учащийся 11 класса

Руководитель: Солдатенкова Зоя Александровна,

учитель математики


Смоленск


Почему меня заинтересовала данная тема?


Как-то раз, листая учебник, я наткнулся на небольшую врезку о диофантовых уравнениях. Я сразу же заметил, что текстовые задачи в рамках этой темы имеют интригующее, порой комичное, условие, а в силу большого количества различных методов их решения, они вовсе не кажутся типовыми. Кроме того, некоторые вызвали у меня затруднение.

Находя пути их рационального решения, я стал плотнее знакомиться с данной темой. Чем глубже я погружался - тем больше сложных и интересных задач встречал, тем больше возникало вопросов. Вскоре я осознал, что большая часть этой темы лежит за рамками школьной программы.

Поэтому я не стал опережать события и углубляться в теорию (КТО, 10 проблема Гильберта, Великая теорема Ферма и прочее). А начал осваивать исключительно алгоритмы решения диофантовых уравнений и систем уравнений, параллельно знакомясь с историей их открытия.



Диофант Александрийский - древнегреческий математик. Летописи не сохранили практическиникаких сведений об этом ученом. Диофант представляет одну занимательных загадок в истории математики. из Мы не знаем, кем он был, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и сам Диофант:

Диофант цитирует Гипсикла Александрийского (древнегреческого математика и астронома, жившего во II веке до н. э.);

О Диофанте пишет Теон Александрийский (греческий математик эпохи позднего эллинизма, философ и астроном, живший в III веке н.э.);

Свои работы Диофант посвящаетДионисию Александрийскому (епископу,жившему в середине III в. н. э.). Таким образом, ученые предполагают, что этот математик жил в IIIв.н.э.

В антологии МаксуимаПлануда (греческого монаха XIV в. н.э.) содержится эпиграмма-задача „Эпитафия Диофанта":


Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Пер. С. Н. Боброва).


Эта задача сводится к составлению и решению простейшего линейногоуравнения:


(1/6)х+(1/12)х+(1/7)х+5+(1/2)х+4=х,


где х -количество лет, прожитых Диофантом.

х+7х+12х+42x+9*84=84х;

х=84 - вот сколько лет прожил Диофант.

И за эти годы Диофант написал сочинения Об измерении поверхностей и Об умножении, трактат О многоугольных числах. Основнымже произведением Диофанта является Арифметика в 13 книгах.

К сожалению, далеко не все его работы сохранились. В тех, что дошли до нас, содержится 189 задач с решениями, сводящимися к определенным уравнениям первой и второй степеней и неопределенным. Вклад этого ученого в развитие математики огромен.

Диофант вводит специальные символы для вычитания, сокращенные слова для отдельных определений и действий. То есть именно он был автором первого алгебраического языка.

В честь Диофанта назван кратер на Луне.

Однако Диофант не искал общих решений, а довольствовался каким-нибудь одним, как правило, положительным решением неопределенного уравнения.


Диофантовы уравнения как математическая модель жизненных ситуаций


Каждый человек, даже бесконечно далекий от математики, встречался и, более того, - решал простейшие диофантовы уравнения, сам того не зная. Действительно, они служат математической моделью ко многим задачам, возникающим на бытовом уровне.


Задача № 1


На складе есть ящики с гвоздями, массой по 16, 17 и 40 кг. Сможет ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей, не раскрывая ящиков?

Легко заметить, что 17 кг +17кг +16 кг=50 кг. Тогда, что бы выдать 100 кг (в 2 раза больше) необходимо взять 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг.

Ответ: Да, сможет.

Здесь нам повезло: решение свелось к простейшему перебору, а ответ оказался очевидным. Рассмотрим еще одну задачу:


Задача № 2


В загоне находятся одноглавые сороконожки и трехглавые змеи. Всего у них 298 ног и 26 голов. Сколько ног у трехглавых змей?

Пусть в загоне было х сороконожек, и y Горынычей, причем у каждого змея по p ног. Сразу же оговорим, что каждая из этих переменных должна быть целой и положительной. Тогда:

3y=26x=26-3yx=26-3yx=26-3y

x+py=29840x+py=298120y-742=py p=120-742/y

x>026-3y>0y?8 y?8

y>0 p>0p>0 120-742/y>0>0y>0y>0y>0

p=120-742/yТогда: х=5


Так как p целое, то p=27,25 нам не подходит.

Эта задача была несколько сложнее первой, но путем введения ограничений на переменные мы смогли сузить перебор всего до двух случаев. Идем дальше:


Задача № 3


Требуется разлить 20,5 литра сока в банки по 0,7 литра и 0,9 литра так, чтобы все банки оказались полными. Сколько каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?

Пусть xколичество банок по 0,7 литра, а у - 0,9 литра. Тогда составим уравнение:


Очевидно, что прямой перебор чисел в лоб займет уйму времени. А в мире нет места для некрасивой математики ©Г. Харди.

Рассмотрим метод решения подобных уравнений, а потом вернемся непосредственно к нашей задачи и доделаем ее.


Метод рассеивания


Диофантово уравнение имеет вид:(x1,x2…xn)=0, где P - целочисленная функция, а переменные xi принимают целые значения. Решая задачу № 2, мы столкнулись с уравнением вида ax+by=c, где a,b и с целочисленные коэффициенты, а x и у - переменные, принимающие только целые значения. Это - линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными.

Общий метод для решения таких уравнений возник в Индии в XII веке. Его появление было вызвано астрономическими запросами и календарными

расчетами. Первые намеки на общее решение диофантовых уравнений сделал Ариабхатт. Сам же метод был создан Бхаскарой и Брахмагуптой. Сейчас он известен как метод рассеивания. Разберем его на примере:

Пример № 1: Найти все целые решения уравнения 19х-8у=13.

Выразим у через х (так как коэффициент при у наименьший) и выделим целую часть:


у= (19x-13)/8 = (3х-13)/8 +2х


Выражение (3х-13)/8 должно быть целым. Обозначим его k.

Тогда 8k=3x-13. Повторим проделанную выше операцию:


x=(8k+13)/3=2k+(2k+13)/3= (2k+13)/3. Тогда 3h=2k+13,=(3h-13)/2=(h-13)/2+h= (h-13)/2. Тогда 2p= h-13. h=13+2p


Из равенства (4) очевидно, что h принимает целые значения при любых целых значениях p.

Путем последовательных подстановок (4) находим выражения для неизвестных: k=13+3p, x= 39+8p и, наконец, у=91+18p.

Ответ: (39+8p;91+18p).

Теперь, обладая достаточным запасом знаний, вернемся к задачи № 3.


х=29+(2-9у)/7; пусть t=(2-9у)/7, где t - целое число;

t=2-9y; t=(2-2y)/7-y; пусть (2-2y)/7=p, где p - целое число;

Y=7k, где kцелое;y=1-7k, где k - целое число. Тогда x=28+9k.

x>0; 28+9k>0;k?-3.

y>0; 1-7k>0;k?0.


То есть kможет принимать значения: -3,-2,-1,0.


x+y=1-7k+28+9k; x+y=29+2k.


То есть наименьшему количеству банок соответствует наименьшее k.

(x+y)наименьшее=29-6=23.

Ответ: (28+9k;1-7k), где kпринимает значения -3,-2,-1,0. Наименьшее количество банок 23.


Задачи на разложение числа


Стоит заметить, что текстовые задачи, сводящиеся к нахождению числа, знаю его делители и остатки, занимают особое, почетное место, среди текстовых задач по данной теме. Они же и наиболее сложные, а значит интересные. Рассмотрим некоторые из них.

Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Какое наименьшее количество яиц могла нести крестьянка на базар?

Решение: Обозначим за n искомое количество яиц, тогда составим систему уравнений:

2a+1 n-1=2a (1)=3b+1 n-1=3b (2)=4c+1 n-1=2*2c (3)=5d+1 n-1=5d (4)=6e+1 n-1=2*3e (5)=7fn=7f


Из уравнений (1), (2),(3),(4),(5) следует, что число n-1=2*3*2*5k, где kцелое;


n-1=60k;n=60k+1.


При подстановке полученного n в (7) уравнение получаем: 60k+1=7f.

f= (60k+1)/7 = (4k+1)/7 + 8k;=(4k+1)/7,где rцелое, (1)

7r=4k+1; 4k=7r-1; k=(3r-1)/4+r;=(3r-1)/4,где sцелое

3r-1=4s; 3r=4s+1;r= (s+1)/3+r;= (s+1)/3,где u целое,тогда

s+1=3u; s= 3u-1,


то есть s всегда принимает целые значения при любом целочисленном u. Путем последовательных подстановок получаем:


r=4u-1; k=7u-2; f=420u -119.


Очевидно, что при u=1, f принимает наименьшее положительное значение, а именно 301.

Ответ: 301.

* Следует заметить, что не обязательно слепо следовать этому алгоритму до самого победного конца. Фактически, в рамках условия задачи, нам не обязательно отыскивать все возможные целые значения k: достаточно лишь одного, наименьшего. И уже после (1) преобразования очевидно, что искомое нами k равно 5, а значит f=60*5+1=301.

Предположим, что имеется некоторое количество туристов. Разбив их на тройки, получаем в остатке 2, разбив на пятерки - 3, разбив на семерки - 2. Сколько туристов в группе, если всего их число не превосходит 100 человек.

Пусть всего было k туристов. Тогда:

3a+2 k=3a+2=5b+3 5b+3=3a+2=7c+2 7c+2=3a+2

И тут очевидная часть нашего решения заходит в тупик. Что бы из него выйти необходимо вспомнить, что:

1) a*b+c?c (moda) ? c (modb). Например, 15 ? 1 (mod 7), то есть число 15 дает в остатке 1 при делении 7.

2) a*b+d ? c (modr) óa*b ? c-d (modr) ób ? a(c-d) (modr)óa? b(c-d) (modr). Тогда:

3a+2 k=3a+2 k=3a+2

a+2 ? 3 (mod 5) 3a= 1 (mod 5) a ? 3 (mod 5)

a+2 ? 2 (mod 7) 3a= 0 (mod 7) 3a ? 0 (mod7)

3a+2 k=3a+2= 3 +5p, гдеpцелоеa=3 + 5p

15p ? 0 (mod 7) p= -135 (mod 7)

3a+2 k=3a+2k=105d-2014=3 + 5pa=35d-672 a=35d-672=-135 + 7d, гдеdцелоеp=-135 + 7dp= -135 + 7d


Итак, k=105d-2014. Если d=20, то k = 86, если d<20 , то k<0, если d>20, то k>100. Ответ: 86.

Давайте попробуем придать ей практическую полезность, например, выведем общую формулы для экскурсовода для подсчета туристов. Пусть r1, r2, r3 остатки при делении общего числа туристов на группы по 3, 5,7 соответственно, а общее количество туристов по-прежнему не будет превышать 100 человек. Аналогичнорассуждая, получаем:

3a+r1 3a? (r2-r1) (mod 5)a=3(r2-r1) + 5d, гдеdцелое=5b+r2 3a+r1=7c+r39r2-8r1+15d?r3 (mod 7)=7c+r3k=3a+1 k=3a+1

a=3(r2-r1) + 5d d = 15(r3-9r2+8r1)+7p, где p целое

d?15(r3-9r2+8r1) (mod 7) a = 3(r2-r1) + 5d

k=9r2-8r1+15d k = 225r3-1792r1-2016r2+105p


Ответы: 86; k=225r3-1792r1-2016r2+105p.

Итак, нами получена формула для k. Но в ней помимо r1,r2,r3 присутствует целочисленноеd. Возникает закономерный вопрос: всегда ли числоkбудет определяться единственным образом, если оно меньше 100? Меньше 150? 43? и так далее.


Китайская теорема об остатках


Китайская теорема об остатках (КТО) - несколько связанных утверждений, сформулированных в трактате китайского математика Сунь Цзы (IIIв.н.э.) и обобщенных ЦиньЦзюшао(XVIIIв.н.э.) в его книге «Математические рассуждения в 9 главах». Звучит она так:

Пусть числа M1 , M2, …, Mk - попарно взаимно простые, и M= M1*M2*…*Mk .Тогдасистема


x?B1 (modM1)? B2 (modM2)


имеет единственное решение среди чисел {0,1,…,M-1}.

Проще говоря, ответ будет всегда однозначным, если искомое число туристов меньше произведения делителей, на которые его делят. Возвращаясь к задаче № 4, мы говорим, что их будет возможно сосчитать, если их общее число не будет превышать 104. (М-1=3*5*7-1=104). Так значит, что бы посчитать человек, отталкиваясь от нашей формулы необходимо вычислить 225r3-1792r1-2016r2, а потом отнимать от него число 105 до тех пор, пока мы не получим число меньшее 105, но большее 0. Это долго и неудобно. Да и, честно говоря, число около ста человек можно сосчитать и не используя такие сложные алгоритмы.


Простейшие нелинейные диофантовы уравнения


Диофант полностью проанализировал неопределённые уравнения второй степени с двумя неизвестными. Для решения уравнений и систем более высоких степеней он разработал ещё более тонкие и сложные методы, которые привлекали внимание многих европейских математиков Нового времени. Но практически все уравнения этого типа в рамках школьного курса решаются методом разложения на множители.

Пример № 2: Решить в целых числах уравнениеx2-3xy+2y2=7.


x2-xy-2xy+2y2=7;

x(x-y) -2y(x-y)=7;


Очевидно, что мы можем получить число 7 следующими способами: 1*7=7;7*1=7;-1*(-7)=7;-7*(-1).

Тогда составим и решим систему уравнений:


x-2y=1 x=13y=7y=6y=7 x=-5y=1 y=-6y=-1 x=-13y=-7 y=-6y=-7 x=5y=-1 y=6

Ответ: (13;6), (-5;-6), (-13;-6), (5,6).

Пример № 3:Доказать, что уравнение x5+3x4y- 5x3y2-15x2y3 + 4xy4+12y5=33 не имеет целочисленных корней.


x4(x+3y)-5x2y2 (x+3y)+4y4(x+3y)=33;

(x4- 4x2y2+4y4-x2y2)(x+3y)=33;

(x2(x2-y2)-4y2(x2-y2))(x+3y)=33;

(x-y)(x+y)(x+2y)(x-2y)(x+3y)=33;


Если у=0, тогда исходное уравнение примет вид x5=33. Тогда x не является целым. Значит, при у=0 данное уравнение не имеет целых решений. Если, y?0, то все пять множителей в левой части уравнения различны. С другой стороны число 33 можно представить в виде произведения максимум четырёх различных множителей (33=1·3·11 или 33=-1·3·(-11)·(-1) и т.д.). Следовательно, при y?0данное уравнение также не имеет целых решений.


Десятая проблема Гильберта


Так или иначе, возникает вопрос: любое ли диофантово уравнение можно решить, то есть найти его корни или доказать их отсутствие.

августа 1900 года состоялась II Международный конгресс математиков. На ней Давид Гильберт предложил 23 задачи. Десятая звучала так:

Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах.

Множество светлых умов XX-ого века бились над этой задачей:АксельТуэ, ТуральфСкулем, Эмиль Пост, Джулия Робинсон, Мартин Дэвис и Хилари Патнем, Мартина Дэвиса и другие. И лишь в 1970 году Юрий Матиясевич завершилдоказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи.

Давид Гильберт (23 января 1862 - 14 февраля 1943) - немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910-1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков. В 1970 г. Международный астрономический союз присвоил имя Гильберта кратеру на обратной стороне Луны.

Юрий Владимирович Матиясевич (родился 2 марта 1947 года, Ленинград) - советский и российский математик, исследователь Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН, член экспертной комиссии РСОШ по математике, академик Российской академии наук, доктор физико-математических наук

диофант уравнение математический

Заключение


Эта тема многогранна и практически необъятна. Недаром над ней ломали голову ученые с мировым именем на протяжении все истории развития математики. Она затрагивает фундаментальные понятия в математике и знания о диофантовых уравнениях, как мне кажется, никогда не будут исчерпывающими.

Делая этот реферат я овладел методом рассеивания, научился решать системы уравнений на задачи про остатки, познакомился с историей освоения методов решения диофантовых уравнений.

По миру математики, которая уже давно мудра и величава, мы идём проторенным путём.

Но каждый может стать первооткрывателем: вначале для себя, а в будущем, может, и для других…

Я думаю продолжить работу над этой темой, расширить свои познания в решении неопределённых уравнений. Изучение новых методов решения обогащает багаж знаний любого человека, тем более, что они могут оказаться актуальными на ЕГЭ (С6).


Список используемой литературы


1.Журнал «Квант» 1970г. №7

.«Энциклопедия юного математика» 520 с.

Http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm

Пичугин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры», М., 1990г., 224с.

Глейзер Г.И. «История математики в школе 10-11», 351с

Петраков И.А. «Математика для любознательных», М., 2000г. 256с.

Http://bars-minsk.narod.ru/teachers/diofant.html


Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.