Beregning af afledte funktioner. Afledte af elementære funktioner

Når en person har taget de første selvstændige skridt i at studere matematisk analyse og begynder at stille ubehagelige spørgsmål, er det ikke længere så let at slippe afsted med sætningen, at "differentialregning blev fundet i kål." Derfor er tiden kommet til at blive bestemt og afsløre fødslens hemmelighed tabeller over derivater og differentieringsregler. Startede i artiklen om betydningen af ​​afledt, som jeg varmt anbefaler at studere, for der kiggede vi lige på begrebet en afledt og begyndte at klikke på problemer om emnet. Denne samme lektion har en udtalt praktisk orientering, desuden,

eksemplerne omtalt nedenfor kan i princippet mestres rent formelt (f.eks. når der ikke er tid/lyst til at dykke ned i essensen af ​​den afledte). Det er også meget ønskværdigt (men igen ikke nødvendigt) at være i stand til at finde derivater ved hjælp af den "konventionelle" metode - i det mindste på niveau med to grundlæggende lektioner: Hvordan finder man den afledede og den afledte af en kompleks funktion.

Men der er én ting, vi absolut ikke kan undvære nu, det er funktionsgrænser. Du skal FORSTÅ, hvad en grænse er og være i stand til at løse dem i hvert fald på et mellemniveau. Og alt sammen på grund af derivatet

funktion i et punkt bestemmes af formlen:

Lad mig minde dig om betegnelserne og termerne: de kalder argumentstigning;

– funktionstilvækst;

– disse er ENKELTE symboler ("delta" kan ikke "rives af" fra "X" eller "Y").

Det er klart, hvad der er en "dynamisk" variabel, er en konstant og resultatet af beregning af grænsen - nummer (nogle gange - "plus" eller "minus" uendeligt).

Som et punkt kan du overveje ENHVER værdi, der hører til definitionsdomæne funktion, hvori en afledt findes.

Bemærk: klausulen "hvori derivatet findes" er generelt er det væsentligt! Så for eksempel, selvom et punkt er inkluderet i definitionsdomænet for en funktion, er dets afledte

findes ikke der. Derfor formlen

ikke gældende på det tidspunkt

og en forkortet formulering uden forbehold ville være forkert. Lignende fakta gælder for andre funktioner med "brud" i grafen, især for arcsine og arccosine.

Efter at have erstattet , får vi den anden arbejdsformel:

Vær opmærksom på en snigende omstændighed, der kan forvirre tepotten: I denne grænse spiller "x", som i sig selv er en uafhængig variabel, rollen som en statistik, og "dynamikken" er igen sat af stigningen. Resultatet af beregning af grænsen

er den afledte funktion.

På baggrund af ovenstående formulerer vi betingelserne for to typiske problemer:

- Find afledt i et punkt, ved hjælp af definitionen af ​​afledt.

- Find afledt funktion, ved hjælp af definitionen af ​​afledt. Denne version er ifølge mine observationer meget mere almindelig og vil blive givet den største opmærksomhed.

Den grundlæggende forskel på opgaverne er, at du i det første tilfælde skal finde nummeret (valgfrit, uendelig), og i den anden –

fungere Derudover eksisterer derivatet muligvis slet ikke.

Hvordan ?

Opret et forhold og beregn grænsen.

Hvor kom det fra? tabel over derivater og differentieringsregler ? Takket være den eneste grænse

Det virker som magi, men

i virkeligheden - svig og ingen svindel. Ved lektionen Hvad er et derivat? Jeg begyndte at se på specifikke eksempler, hvor jeg ved hjælp af definitionen fandt de afledte af en lineær og kvadratisk funktion. Med henblik på kognitiv opvarmning vil vi fortsætte med at forstyrre tabel over derivater, finpudsning af algoritmen og tekniske løsninger:

I det væsentlige skal du bevise et særligt tilfælde af den afledede af en potensfunktion, som normalt vises i tabellen: .

Løsningen er teknisk formaliseret på to måder. Lad os starte med den første, allerede velkendte tilgang: stigen starter med en planke, og den afledede funktion starter med den afledede på et punkt.

Overvej et eller andet (specifikt) punkt, der hører til definitionsdomæne funktion, hvori der er en afledt. Lad os indstille stigningen på dette tidspunkt (selvfølgelig inden for rammerne o/o -ya) og komponer den tilsvarende stigning af funktionen:

Lad os beregne grænsen:

Usikkerheden 0:0 elimineres ved en standardteknik, der betragtes tilbage i det første århundrede f.Kr. Lad os formere

tæller og nævner for det konjugerede udtryk :

Teknikken til at løse en sådan grænse er diskuteret i detaljer i den indledende lektion. om funktionernes grænser.

Da du kan vælge et hvilket som helst punkt i intervallet som

Så, efter at have foretaget udskiftningen, får vi:

Lad os endnu en gang glæde os over logaritmer:

Find den afledede af en funktion ved at bruge definitionen af ​​afledet

Løsning: Lad os overveje en anden tilgang til at fremme den samme opgave. Det er præcis det samme, men mere rationelt designmæssigt. Tanken er at slippe af med

abonnere og bruge et bogstav i stedet for et bogstav.

Overvej et vilkårligt punkt, der hører til definitionsdomæne funktion (interval), og indstil stigningen i den. Men her kan du i øvrigt, som i de fleste tilfælde, klare dig uden forbehold, da den logaritmiske funktion er differentierbar på ethvert punkt i definitionsdomænet.

Så er den tilsvarende stigning af funktionen:

Lad os finde den afledede:

Designets enkelhed balanceres af den forvirring, der kan

forekomme blandt begyndere (og ikke kun). Vi er trods alt vant til, at bogstavet "X" ændrer sig i grænsen! Men her er alt anderledes: - en antik statue, og - en levende gæst, der rask går langs museets korridor. Det vil sige, "x" er "som en konstant."

Jeg vil kommentere fjernelse af usikkerhed trin for trin:

(1) Brug af logaritmeegenskaben.

(2) I parentes divideres tælleren med nævneren led for led.

(3) I nævneren multiplicerer og dividerer vi kunstigt med "x", således at

drage fordel af den vidunderlige grænse , mens som uendelig lille skiller sig ud.

Svar: per definition af en afledt:

Eller kort sagt:

Jeg foreslår at konstruere yderligere to tabelformler selv:

Find afledt per definition

I dette tilfælde er det bekvemt straks at reducere den kompilerede stigning til en fællesnævner. Et omtrentligt udsnit af opgaven i slutningen af ​​lektionen (første metode).

Find afledt per definition

Og her skal alt reduceres til en bemærkelsesværdig grænse. Løsningen formaliseres på den anden måde.

En række andre tabelformede afledte. Den komplette liste kan findes i skolelærebogen, eller for eksempel 1. bind af Fichtenholtz. Jeg ser ikke meget mening i at kopiere beviser for differentieringsregler fra bøger - de genereres også

formel

Lad os gå videre til faktisk stødte på opgaver: Eksempel 5

Find den afledede af en funktion , ved hjælp af definitionen af ​​afledt

Løsning: Brug den første designstil. Lad os overveje et punkt, der hører til og sætte stigningen i argumentet på det. Så er den tilsvarende stigning af funktionen:

Måske har nogle læsere endnu ikke helt forstået princippet, hvormed stigninger skal foretages. Tag et punkt (tal) og find værdien af ​​funktionen i det: , altså ind i funktionen

i stedet for "X" skal du erstatte. Lad os nu tage det

Kompileret funktionstilvækst Det kan være en fordel umiddelbart at forenkle. For hvad? Letter og forkort løsningen til en yderligere grænse.

Vi bruger formler, åbner parenteserne og forkorter alt, der kan forkortes:

Kalkunen er renset, ingen problemer med stegen:

Til sidst:

Da vi kan vælge et hvilket som helst reelt tal som værdi, foretager vi udskiftningen og får .

Svar : a-priory.

Til verifikationsformål, lad os finde derivatet ved hjælp af reglerne

differentiering og tabeller:

Det er altid nyttigt og behageligt at kende det rigtige svar på forhånd, så det er bedre at differentiere den foreslåede funktion på en "hurtig" måde, enten mentalt eller i et udkast, helt i begyndelsen af ​​løsningen.

Find den afledede af en funktion ved definition af afledet

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Resultatet er indlysende:

Lad os gå tilbage til stil #2: Eksempel 7

Lad os straks finde ud af, hvad der skal ske. Ved regel for differentiering af komplekse funktioner:

Løsning: overvej et vilkårligt punkt, der hører til, sæt stigningen i argumentet på det, og gør stigningen op

Lad os finde den afledede:

(1) Vi bruger den trigonometriske formel

(2) Under sinus åbner vi parenteserne, under cosinus præsenterer vi lignende udtryk.

(3) Under sinus annullerer vi led, under cosinus dividerer vi tælleren med nævneren led for led.

(4) På grund af sinusens mærkværdighed fjerner vi "minus". Under cosinus

vi angiver, at udtrykket .

(5) Vi udfører kunstig multiplikation i nævneren for at bruge første vidunderlige grænse. Dermed er usikkerheden elimineret, lad os rydde op i resultatet.

Svar: per definition Som du kan se, hviler den største vanskelighed ved det undersøgte problem på

kompleksiteten af ​​selve grænsen + let originalitet af emballagen. I praksis forekommer begge designmetoder, så jeg beskriver begge tilgange så detaljeret som muligt. De er ækvivalente, men alligevel, efter mit subjektive indtryk, er det mere tilrådeligt for dummies at holde sig til mulighed 1 med "X-nul".

Brug definitionen til at finde den afledede af funktionen

Dette er en opgave, som du skal løse på egen hånd. Prøven er designet i samme ånd som det foregående eksempel.

Lad os se på en mere sjælden version af problemet:

Find den afledede af en funktion i et punkt ved at bruge definitionen af ​​afledet.

For det første, hvad skal bundlinjen være? Tal Lad os beregne svaret på standardmåden:

Løsning: fra et klarhedssynspunkt er denne opgave meget enklere, da i formlen i stedet for

en bestemt værdi tages i betragtning.

Lad os sætte stigningen til punktet og sammensætte den tilsvarende stigning af funktionen:

Lad os beregne den afledte på et punkt:

Vi bruger en meget sjælden tangentforskelformel og endnu en gang reducerer vi løsningen til den første

bemærkelsesværdig grænse:

Svar: per definition af afledt ved et punkt.

Problemet er ikke så svært at løse "generelt" - det er nok at erstatte neglen eller simpelthen afhængigt af designmetoden. I dette tilfælde er det klart, at resultatet ikke bliver et tal, men en afledt funktion.

Eksempel 10 Brug definitionen til at finde den afledede af funktionen på punktet

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.

Den afsluttende bonusopgave er primært beregnet til elever med en dybdegående undersøgelse af matematisk analyse, men den kommer heller ikke til at skade andre:

Vil funktionen være differentierbar? på punktet?

Løsning: Det er indlysende, at en stykkevis given funktion er kontinuert i et punkt, men vil den kunne differentieres der?

Løsningsalgoritmen, og ikke kun for stykkevise funktioner, er som følger:

1) Find den venstre afledede på et givet punkt: .

2) Find den højre afledede på et givet punkt: .

3) Hvis ensidede derivater er endelige og falder sammen:

, så er funktionen differentierbar på punktet

geometrisk er der en fælles tangent her (se den teoretiske del af lektionen Definition og betydning af afledt).

Hvis der modtages to forskellige værdier: (hvoraf den ene kan vise sig at være uendelig), så er funktionen ikke differentierbar på punktet.

Hvis begge ensidige afledte er lig med uendelig

(selvom de har forskellige fortegn), så er funktionen det ikke

er differentierbar i punktet, men der er en uendelig afledt og en fælles lodret tangent til grafen (se eksempel lektion 5Normal ligning) .

I denne lektion lærer vi at anvende formler og regler for differentiering.

Eksempler. Find afledede funktioner.

1. y=x 7 + x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x-9. Anvendelse af reglen jeg, formler 4, 2 og 1. Vi får:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Vi løser på samme måde ved at bruge de samme formler og formler 3.

y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Anvendelse af reglen jeg, formler 3, 5 Og 6 Og 1.

Anvendelse af reglen IV, formler 5 Og 1 .

I det femte eksempel ifølge reglen jeg den afledede af summen er lig med summen af ​​de afledte, og vi har lige fundet den afledede af det 1. led (eksempel 4 ), derfor vil vi finde derivater 2 Og 3 vilkår, og til 1 summand kan vi straks skrive resultatet.

Lad os skelne 2 Og 3 udtryk i henhold til formlen 4 . For at gøre dette transformerer vi tredje- og fjerdepotens rødder i nævnerne til potenser med negative eksponenter, og derefter iflg. 4 formel, finder vi afledte potenser.

Se på dette eksempel og resultatet. Fangede du mønsteret? Bøde. Det betyder, at vi har en ny formel og kan tilføje den til vores afledte tabel.

Lad os løse det sjette eksempel og udlede en anden formel.

Lad os bruge reglen IV og formel 4 . Lad os reducere de resulterende fraktioner.

Lad os se på denne funktion og dens afledte. Du forstår selvfølgelig mønsteret og er klar til at navngive formlen:

Lær nye formler!

Eksempler.

1. Find stigningen af ​​argumentet og stigningen af ​​funktionen y= x 2, hvis startværdien af ​​argumentet var lig med 4 , og nye - 4,01 .

Løsning.

Ny argumentværdi x=x0 +Δx. Lad os erstatte dataene: 4,01=4+Δх, deraf stigningen i argumentet Δх=4,01-4=0,01. Forøgelsen af ​​en funktion er per definition lig med forskellen mellem de nye og tidligere værdier af funktionen, dvs. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Da vi har en funktion y=x2, At Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Svar: argumentstigning Δх=0,01; funktionstilvækst Δу=0,0801.

Funktionstilvæksten kunne være fundet anderledes: Δy=y (x0 +Δx) -y (x0)=y(4,01) -y(4)=4,012-42 =16,0801-16=0,0801.

2. Find hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen y=f(x) på punktet x 0, hvis f "(x 0) = 1.

Løsning.

Værdien af ​​den afledte på tangenspunktet x 0 og er værdien af ​​tangenten af ​​tangentvinklen (den aflededes geometriske betydning). Vi har: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, fordi tg45°=1.

Svar: tangenten til grafen for denne funktion danner en vinkel med den positive retning af Ox-aksen lig med 45°.

3. Udled formlen for den afledede af funktionen y=xn.

Differentiering er handlingen med at finde den afledede af en funktion.

Når du finder afledte, skal du bruge formler, der er afledt baseret på definitionen af ​​en afledt, på samme måde som vi udledte formlen for den afledte grad: (x n)" = nx n-1.

Disse er formlerne.

Tabel over derivater Det vil være lettere at huske ved at udtale verbale formuleringer:

1. Den afledte af en konstant størrelse er nul.

2. X primtal er lig med en.

3. Konstantfaktoren kan tages ud af fortegn for den afledte.

4. Afledten af ​​en grad er lig med produktet af eksponenten af ​​denne grad med en grad med samme base, men eksponenten er en mindre.

5. Den afledte rod er lig med en divideret med to lige store rødder.

6. Den afledte af en divideret med x er lig med minus en divideret med x i anden.

7. Den afledte af sinus er lig med cosinus.

8. Den afledte af cosinus er lig med minus sinus.

9. Den afledede af tangenten er lig med én divideret med kvadratet af cosinus.

10. Den afledte af cotangensen er lig med minus en divideret med kvadratet af sinus.

Vi underviser differentieringsregler.

1. Den afledede af en algebraisk sum er lig med den algebraiske sum af de afledte led.

2. Den afledte af et produkt er lig med produktet af den afledte faktor af den første faktor og den anden plus produktet af den første faktor og den afledte af den anden.

3. Den afledte af "y" divideret med "ve" er lig med en brøk, hvor tælleren er "y primtal ganget med "ve" minus "y ganget med ve primtal", og nævneren er "ve i anden".

4. Et særligt tilfælde af formlen 3.

Lad os lære sammen!

Side 1 af 1 1

Definition. Lad funktionen \(y = f(x)\) defineres i et bestemt interval indeholdende punktet \(x_0\). Lad os give argumentet en stigning \(\Delta x \), således at det ikke forlader dette interval. Lad os finde den tilsvarende forøgelse af funktionen \(\Delta y \) (når vi flytter fra punktet \(x_0 \) til punktet \(x_0 + \Delta x \)) og komponere relationen \(\frac(\Delta) y)(\Delta x) \). Hvis der er en grænse for dette forhold ved \(\Delta x \højrepil 0\), så kaldes den angivne grænse afledet af en funktion\(y=f(x) \) ved punktet \(x_0 \) og angiv \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolet y bruges ofte til at betegne den afledede Bemærk, at y" = f(x) er en ny funktion, men naturligt relateret til funktionen y = f(x), defineret i alle punkter x, hvor ovenstående grænse eksisterer. Denne funktion kaldes sådan: afledet af funktionen y = f(x).

Geometrisk betydning af afledte er som følgende. Hvis det er muligt at tegne en tangent til grafen for funktionen y = f(x) i punktet med abscisse x=a, som ikke er parallel med y-aksen, så udtrykker f(a) hældningen af ​​tangenten :
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), så er ligheden \(f"(a) = tan(a) \) sand.

Lad os nu fortolke definitionen af ​​derivat ud fra synspunktet om omtrentlige ligheder. Lad funktionen \(y = f(x)\) have en afledet i et bestemt punkt \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dette betyder, at nær punktet x den omtrentlige lighed \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), dvs. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Den meningsfulde betydning af den resulterende omtrentlige lighed er som følger: stigningen af ​​funktionen er "næsten proportional" med stigningen af ​​argumentet, og proportionalitetskoefficienten er værdien af ​​den afledede i et givet punkt x. For eksempel, for funktionen \(y = x^2\) er den omtrentlige lighed \(\Delta y \ca. 2x \cdot \Delta x \) gyldig. Hvis vi omhyggeligt analyserer definitionen af ​​en afledt, vil vi opdage, at den indeholder en algoritme til at finde den.

Lad os formulere det.

Hvordan finder man den afledede af funktionen y = f(x)?

1. Ret værdien af ​​\(x\), find \(f(x)\)
2. Giv argumentet \(x\) en stigning \(\Delta x\), gå til et nyt punkt \(x+ \Delta x \), find \(f(x+ \Delta x) \)
3. Find tilvæksten af ​​funktionen: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Opret relationen \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Beregn $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denne grænse er den afledede af funktionen i punkt x.

Hvis en funktion y = f(x) har en afledet i et punkt x, så kaldes den differentiabel i et punkt x. Fremgangsmåden for at finde den afledede af funktionen y = f(x) kaldes differentiering funktioner y = f(x).

Lad os diskutere følgende spørgsmål: hvordan er kontinuitet og differentierbarhed af en funktion på et punkt relateret til hinanden?

Lad funktionen y = f(x) være differentiabel i punktet x. Derefter kan der tegnes en tangent til grafen for funktionen i punktet M(x; f(x)), og husk, tangens vinkelkoefficient er lig med f "(x). En sådan graf kan ikke "knække" ved punkt M, dvs. funktionen skal være kontinuert i punkt x.

Disse var "hands-on" argumenter. Lad os give en mere stringent begrundelse. Hvis funktionen y = f(x) er differentiabel i punktet x, så gælder den omtrentlige lighed \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Hvis i denne lighed \(\Delta x \) har tendens til nul, så vil \(\Delta y \) vende mod nul, og dette er betingelsen for kontinuiteten af ​​funktionen i et punkt.

Så, hvis en funktion er differentierbar i et punkt x, så er den kontinuert i det punkt.

Det omvendte udsagn er ikke sandt. For eksempel: funktion y = |x| er kontinuert overalt, især i punktet x = 0, men tangenten til grafen for funktionen i "forbindelsespunktet" (0; 0) eksisterer ikke. Hvis en tangent på et tidspunkt ikke kan trækkes til grafen for en funktion, så eksisterer den afledede ikke på det punkt.

Endnu et eksempel. Funktionen \(y=\sqrt(x)\) er kontinuert på hele tallinjen, inklusive i punktet x = 0. Og tangenten til funktionens graf findes på ethvert punkt, inklusive i punktet x = 0 Men på dette tidspunkt falder tangenten sammen med y-aksen, dvs. den er vinkelret på abscisseaksen, dens ligning har formen x = 0. En sådan ret linje har ikke en vinkelkoefficient, hvilket betyder, at \(f. "(0)\) eksisterer ikke.

Så vi stiftede bekendtskab med en ny egenskab ved en funktion - differentiabilitet. Hvordan kan man ud fra grafen for en funktion konkludere, at den er differentierbar?

Svaret er faktisk givet ovenfor. Hvis det på et tidspunkt er muligt at tegne en tangent til grafen for en funktion, der ikke er vinkelret på abscisseaksen, så er funktionen på dette tidspunkt differentierbar. Hvis tangenten til grafen for en funktion på et tidspunkt ikke eksisterer, eller den er vinkelret på abscisseaksen, så er funktionen på dette tidspunkt ikke differentierbar.

Regler for differentiering

Operationen med at finde den afledede kaldes differentiering. Når du udfører denne operation, skal du ofte arbejde med kvotienter, summer, produkter af funktioner såvel som "funktioner af funktioner", det vil sige komplekse funktioner. Ud fra definitionen af ​​afledt kan vi udlede differentieringsregler, der gør dette arbejde lettere. Hvis C er et konstant tal, og f=f(x), g=g(x) er nogle differentiable funktioner, så er følgende sande differentieringsregler:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Afledt af en kompleks funktion:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel over afledte funktioner af nogle funktioner

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Problemet med at finde den afledede af en given funktion er et af de vigtigste i gymnasiets matematikkurser og på videregående uddannelsesinstitutioner. Det er umuligt fuldt ud at udforske en funktion og konstruere dens graf uden at tage dens afledede. Den afledede af en funktion kan nemt findes, hvis du kender de grundlæggende regler for differentiering, samt tabellen over afledte funktioner af grundlæggende funktioner. Lad os finde ud af, hvordan man finder den afledede af en funktion.

Den afledte af en funktion er grænsen for forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af ​​argumentet, når stigningen af ​​argumentet har en tendens til nul.

Det er ret svært at forstå denne definition, da begrebet en grænse ikke er fuldt ud undersøgt i skolen. Men for at finde afledte funktioner er det ikke nødvendigt at forstå definitionen, lad os overlade det til matematikere og gå direkte til at finde den afledede.

Processen med at finde den afledede kaldes differentiering. Når vi differentierer en funktion, får vi en ny funktion.

For at udpege dem vil vi bruge de latinske bogstaver f, g osv.

Der er mange forskellige notationer for derivater. Vi vil bruge et slagtilfælde. For eksempel, at skrive g" betyder, at vi finder den afledede af funktionen g.

Derivater tabel

For at besvare spørgsmålet om, hvordan man finder derivatet, er det nødvendigt at give en tabel over derivater af hovedfunktionerne. For at beregne afledte af elementære funktioner er det ikke nødvendigt at udføre komplekse beregninger. Det er nok bare at se på dens værdi i tabellen over derivater.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Eksempel 1. Find den afledede af funktionen y=500.

Vi ser, at dette er en konstant. Fra tabellen over afledte er det kendt, at den afledede af en konstant er lig med nul (formel 1).

Eksempel 2. Find den afledede af funktionen y=x 100.

Dette er en potensfunktion, hvis eksponent er 100, og for at finde dens afledte skal du gange funktionen med eksponenten og reducere den med 1 (formel 3).

(x 100)"=100 x 99

Eksempel 3. Find den afledede af funktionen y=5 x

Dette er en eksponentiel funktion, lad os beregne dens afledte ved hjælp af formel 4.

Eksempel 4. Find den afledede af funktionen y= log 4 x

Vi finder den afledede af logaritmen ved hjælp af formel 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Regler for differentiering

Lad os nu finde ud af, hvordan man finder den afledede af en funktion, hvis den ikke er i tabellen. De fleste af de undersøgte funktioner er ikke elementære, men er kombinationer af elementære funktioner ved hjælp af simple operationer (addition, subtraktion, multiplikation, division og multiplikation med et tal). For at finde deres derivater skal du kende reglerne for differentiering. Herunder betegner bogstaverne f og g funktioner, og C er en konstant.

1. Den konstante koefficient kan tages ud af fortegn for den afledte

Eksempel 5. Find den afledede af funktionen y= 6*x 8

Vi udtager en konstant faktor på 6 og differentierer kun x 4. Dette er en potensfunktion, hvis afledte findes ved hjælp af formel 3 i tabellen over afledte.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Den afledte sum er lig med summen af ​​de afledte

(f + g)"=f" + g"

Eksempel 6. Find den afledede af funktionen y= x 100 +sin x

En funktion er summen af ​​to funktioner, hvis afledte vi kan finde ud af tabellen. Da (x 100)"=100 x 99 og (sin x)"=cos x. Den afledte sum vil være lig med summen af ​​disse afledte:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Forskellens afledte er lig med forskellen mellem de afledte

(f – g)"=f" – g"

Eksempel 7. Find den afledede af funktionen y= x 100 – cos x

Denne funktion er forskellen mellem to funktioner, hvis afledte vi også kan finde i tabellen. Så er den afledte af forskellen lig med forskellen mellem de afledte, og glem ikke at ændre tegnet, da (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Eksempel 8. Find den afledede af funktionen y=e x +tg x– x 2.

Denne funktion har både en sum og en forskel lad os finde de afledte af hvert led:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Så er den afledede af den oprindelige funktion lig med:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Afledt af produktet

(f * g)"=f" * g + f * g"

Eksempel 9. Find den afledede af funktionen y= cos x *e x

For at gøre dette finder vi først den afledede af hver faktor (cos x)"=–sin x og (e x)"=e x. Lad os nu erstatte alt i produktformlen. Vi multiplicerer den afledede af den første funktion med den anden og adderer produktet af den første funktion med den afledede af den anden.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Afledt af kvotienten

(f/g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Eksempel 10. Find den afledede af funktionen y= x 50 /sin x

For at finde den afledede af en kvotient finder vi først den afledede af tælleren og nævneren hver for sig: (x 50)"=50 x 49 og (sin x)"= cos x. Ved at erstatte den afledede af kvotienten i formlen får vi:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Afledt af en kompleks funktion

En kompleks funktion er en funktion repræsenteret ved en sammensætning af flere funktioner. Der er også en regel for at finde den afledede af en kompleks funktion:

(u (v))"=u"(v)*v"

Lad os finde ud af, hvordan man finder den afledede af en sådan funktion. Lad y= u(v(x)) være en kompleks funktion. Lad os kalde funktionen u ekstern og v - intern.

For eksempel:

y=sin (x 3) er en kompleks funktion.

Så er y=sin(t) den ydre funktion

t=x 3 - intern.

Lad os prøve at beregne den afledede af denne funktion. Ifølge formlen skal du gange derivaterne af de interne og eksterne funktioner.

(sin t)"=cos (t) - afledt af den eksterne funktion (hvor t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - afledt af den interne funktion

Så (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 er den afledte af en kompleks funktion.

Bevis og afledning af formlerne for afledet af eksponential- (e til x-potens) og eksponentialfunktion (a til x-potens). Eksempler på beregning af afledte af e^2x, e^3x og e^nx. Formler for derivater af højere orden.

Den afledte af en eksponent er lig med eksponenten selv (den afledte af e til x-potensen er lig med e til x-potensen):
(1) (e x )′ = e x.

Den afledte af en eksponentiel funktion med basis a er lig med selve funktionen ganget med den naturlige logaritme af a:
(2) .

Afledning af formlen for den afledede af eksponentialet, e til x-potensen

En eksponentiel er en eksponentiel funktion, hvis grundtal er lig med tallet e, som er følgende grænse:
.
Her kan det enten være et naturligt tal eller et reelt tal. Dernæst udleder vi formel (1) for den afledede af eksponentialet.

Afledning af den eksponentielle derivatformel

Overvej eksponentialet, e til x-potensen:
y = e x .
Denne funktion er defineret for alle. Lad os finde dens afledede med hensyn til variablen x. Per definition er derivatet følgende grænse:
(3) .

Lad os transformere dette udtryk for at reducere det til kendte matematiske egenskaber og regler. For at gøre dette har vi brug for følgende fakta:
EN) Eksponentegenskab:
(4) ;
B) Logaritmens egenskab:
(5) ;
I) Kontinuitet af logaritmen og egenskaben af ​​grænser for en kontinuerlig funktion:
(6) .
Her er en funktion, der har en grænse, og denne grænse er positiv.
G) Betydningen af ​​den anden bemærkelsesværdige grænse:
(7) .

Lad os anvende disse fakta til vores grænse (3). Vi bruger ejendom (4):
;
.

Lad os lave en udskiftning. Derefter ; .
På grund af kontinuiteten af ​​den eksponentielle,
.
Derfor, når ,. Som et resultat får vi:
.

Lad os lave en udskiftning. Derefter . Kl , .
.

Og vi har:
Lad os anvende logaritmeegenskaben (5):
.

. Derefter
.
Lad os anvende ejendom (6). Da der er en positiv grænse, og logaritmen er kontinuerlig, så:
.

Her brugte vi også den anden bemærkelsesværdige grænse (7). Derefter

Således opnåede vi formel (1) for derivatet af eksponentialet.

Afledning af formlen for den afledede af en eksponentiel funktion
(8)
Nu udleder vi formel (2) for den afledede af eksponentialfunktionen med en basis af grad a. Det tror vi og . Derefter den eksponentielle funktion

Defineret for alle. Lad os omdanne formel (8). Til dette vil vi bruge egenskaber ved eksponentialfunktionen
;
.
og logaritme.
.

Så vi transformerede formel (8) til følgende form:

Højere ordens afledte af e til x-potensen
(14) .
(1) .

Lad os nu finde afledte af højere ordener. Lad os først se på eksponenten:
;
.

Vi ser, at den afledede af funktion (14) er lig med selve funktionen (14). Ved at differentiere (1) får vi afledte af anden og tredje orden:
.

Dette viser, at den afledede af n. orden også er lig med den oprindelige funktion:

Højere ordens afledte af eksponentialfunktionen
.
Overvej nu en eksponentiel funktion med en basis af grad a:
(15) .

Vi fandt dens førsteordens afledte:
;
.

Ved at differentiere (15) får vi afledte af anden og tredje orden:
.