Formel for et ekstra (hjælpe)argument
Overvej et udtryk for formen
hvor tallene og ikke er lig med nul på samme tid. Lad os gange og dividere hvert af termerne med og tage den fælles faktor ud af parentes:
Det er nemt at tjekke det
hvilket betyder, ved sætning 2, at der er en reel vinkel sådan, at
Ved at bruge sumformlens sinus får vi altså
hvor vinklen som og kaldes hjælpeargumentformlen og bruges til at løse inhomogene lineære ligninger og uligheder.
Inverse trigonometriske funktioner
Definitioner
Indtil videre har vi løst problemet med at bestemme trigonometriske funktioner af givne vinkler. Men hvad nu hvis problemet er det modsatte: at kende enhver trigonometrisk funktion, bestemme den tilsvarende vinkel.
arcsine
Overvej udtrykket hvor er et kendt reelt tal. Per definition er sinus ordinaten af skæringspunktet for strålen, der danner en vinkel med abscisseaksen og den trigonometriske cirkel. For at løse ligningen skal du derfor finde skæringspunkterne for en ret linje og en trigonometrisk cirkel.
Det er klart, at ved , har den rette linje og cirklen ingen fælles punkter, og derfor har ligningen ingen løsninger. Det vil sige, at det er umuligt at finde en vinkel, hvis sinus ville være større end 1 i absolut værdi.
Når, en ret linje og en cirkel har skæringspunkter, for eksempel, og (se figur). Således vil alle vinkler, der adskiller sig fra dem med et helt antal fulde omdrejninger, have en given sinus, dvs. , - et uendeligt antal vinkler. Hvordan vælger man en vinkel blandt denne uendelige variation?
For entydigt at bestemme den vinkel, der svarer til tallet, er det nødvendigt at kræve opfyldelse af en yderligere betingelse: denne vinkel skal tilhøre segmentet. Denne vinkel kaldes tallets bue. vinkel trigonometrisk funktionsidentitet
Arcsine reelle tal er et reelt tal, hvis sinus er lig med. Dette nummer er udpeget.
bue cosinus
Lad os nu overveje en ligning af formen. For at løse det er det nødvendigt at finde alle punkter på den trigonometriske cirkel, der har en abscisse, dvs. skæringspunkter med en linje. Som i det foregående tilfælde har den betragtede ligning ingen løsninger. Og hvis der er skæringspunkter mellem en ret linje og en cirkel, svarende til et uendeligt antal vinkler, .
For entydigt at bestemme den vinkel, der svarer til en given cosinus, indføres en yderligere betingelse: denne vinkel skal tilhøre segmentet; en sådan vinkel kaldes tallets buecosinus.
bue cosinus reelle tal er et reelt tal, hvis cosinus er lig med. Dette nummer er udpeget.
Arctangens og arccotangent
Lad os se på udtrykket. For at løse det skal du på cirklen finde alle skæringspunkter med den rette linje, hvis vinkelkoefficient er lig med tangenten af hældningsvinklen af den rette linje til den positive retning af abscisseaksen. En sådan linje, for alle reelle værdier, skærer den trigonometriske cirkel i to punkter. Disse punkter er symmetriske om origo og svarer til vinklerne, .
For entydigt at bestemme en vinkel med en given tangent vælges den fra intervallet.
Arctangens Et vilkårligt reelt tal er et reelt tal, hvis tangent er lig med. Dette nummer er udpeget.
For at bestemme buetangensen af en vinkel bruges lignende ræsonnement, med den eneste forskel, at skæringen af en cirkel med en ret linje betragtes, og vinklen vælges fra intervallet.
Arccotangens Et vilkårligt reelt tal er et reelt tal, hvis cotangens er lig med. Dette nummer er udpeget.
Egenskaber for inverse trigonometriske funktioner
Domæne og domæne
Lige/ulige
Konvertering af inverse trigonometriske funktioner
For at transformere udtryk, der indeholder inverse trigonometriske funktioner, bruges ofte egenskaber, der følger af definitionen af disse funktioner:
For ethvert reelt tal det holder
og omvendt:
På samme måde for ethvert reelt tal, det har
og omvendt:
Grafer over trigonometriske og inverse trigonometriske funktioner
Grafer over trigonometriske funktioner
Lad os starte med at plotte en graf af en funktion på et segment. For at gøre dette vil vi bruge definitionen af sinus på en trigonometrisk cirkel. Lad os opdele den trigonometriske cirkel i (i dette tilfælde 16) lige store dele og placere et koordinatsystem i nærheden, hvor segmentet på aksen også er opdelt i lige store dele. Ved at tegne lige linjer parallelt med aksen gennem cirklens delepunkter, i skæringspunktet mellem disse linjer og vinkelrette lodrette linjer fra de tilsvarende delepunkter på aksen, får vi punkter, hvis koordinater pr. definition er lig med sinus for de tilsvarende vinkler. Tegner vi en jævn kurve gennem disse punkter, får vi en graf over funktionen for. For at få en graf over en funktion på hele tallinjen skal du bruge periodiciteten af sinus: , .
For at få grafen for funktionen vil vi bruge reduktionsformlen. Grafen for en funktion opnås således fra grafen for en funktion ved parallel translation til venstre med et længdesegment.
Brug af grafer over trigonometriske funktioner giver en anden nem måde at opnå reduktionsformler på. Lad os se på et par eksempler.
Lad os forenkle udtrykket. På aksen betegner vi vinklen og betegner dens sinus og cosinus som hhv. Lad os finde vinklen på aksen og genskabe vinkelret på skæringspunktet med sinusgrafen. Det fremgår tydeligt af figuren.
Opgave: forenkle udtrykket.
Lad os gå videre til at konstruere en graf over funktionen. Først skal du huske, at for en vinkel er tangenten længden af segmentet AB. I analogi med at konstruere en sinusgraf, opdele den højre halvcirkel i lige store dele og plotte de resulterende tangentværdier, får vi grafen vist på figuren. For andre værdier opnås grafen ved hjælp af tangentperiodicitetsegenskaben, .
De stiplede linjer på grafen repræsenterer asymptoter. Asymptote en kurve er en ret linje, som kurven nærmer sig så tæt som ønsket, når den bevæger sig til det uendelige, men ikke skærer den.
For en tangent er asymptoterne lige linjer, hvis udseende er forbundet med konverteringen til nul i disse punkter.
Ved hjælp af lignende ræsonnement opnås en graf over funktionen. For det er asymptoterne lige linjer,. Denne graf kan også fås ved hjælp af reduktionsformlen, dvs. transformation af symmetri om aksen og forskydning til højre.
Egenskaber for trigonometriske funktioner
Grafer over inverse trigonometriske funktioner
Først introducerer vi begrebet en invers funktion.
Hvis en funktion monotont stiger eller falder, så eksisterer der for den omvendt funktion. For at konstruere en graf af den inverse funktion, skal grafen underkastes en symmetritransformation i forhold til den rette linje. Figurerne viser et eksempel på at få en graf over den inverse funktion.
Da arcsinus-, arccosinus-, arctangens- og arccotangens-funktionerne er inverserne af henholdsvis sinus-, cosinus-, tangent- og cotangensfunktionerne, opnås deres grafer ved den ovenfor beskrevne transformation. Graferne for de oprindelige funktioner i figurerne er skraverede.
Fra ovenstående figurer er en af hovedegenskaberne ved inverse trigonometriske funktioner indlysende: summen af co-funktioner af samme tal giver.
Lemma. Hvis summen af kvadraterne af to reelle tal er lig med én, så kan et af disse tal betragtes som en cosinus, og det andet som sinus af en vinkel.
Med andre ord, hvis EN 2 + b 2 = 1 , så er der en vinkel φ , sådan at
EN = cos φ; b= sin φ.
Før vi beviser dette lemma, lad os illustrere det med følgende eksempel:
$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$
Derfor er der en vinkel φ , sådan at \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = synd φ .
Som φ i dette tilfælde kan du vælge en hvilken som helst af vinklerne 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° osv.
Bevis for lemmaet:
Overvej en vektor \(\vec(0A)\) med koordinater ( a, b ). Fordi EN 2 + b 2 = 1 , længden af denne vektor er 1. Men i dette tilfælde skal dens koordinater være ens cos φ Og sinφ, Hvor φ - den vinkel, som en given vektor danner med abscisseaksen.
Så, EN = cos φ; b=sinφ, hvilket var det, der skulle bevises.
Det gennemprøvede lemma giver os mulighed for at transformere udtrykket -en sin x + b fordi x til en form, der er mere bekvem for studier.
Lad os først og fremmest tage udtrykket \(\sqrt(a^2 + b^2)\) ud af parentes
$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a) ^2 + b^2))cosx) $$
Fordi
$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ $
det første af tallene \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) og \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) kan betragtes som cosinus af en eller anden vinkel φ , og den anden - som sinus af samme vinkel φ :
$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = sin\phi $$
Men i så fald
-en sin x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ )
-en sin x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), hvor vinklen φ bestemmes ud fra betingelserne
$$ sin\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$
Eksempler.
1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4) )sin x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))) \)
Den resulterende formel synd x+cos x= \(\sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))\) nyttigt at huske.
2) Hvis et af tallene EN
Og b
positiv og den anden negativ, så udtrykket
-en sin x + b fordi x Det er mere bekvemt at konvertere ikke til sinus af summen, men til sinus af forskellen mellem to vinkler. Så,
$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$
hvor under φ vi kan mene enhver vinkel, der opfylder følgende betingelser:
cos φ = 3/5, synd φ = 4 / 5
Især kan man sætte φ = arktan 4/3. Så får vi:
3 sin x - 4 cos x = 5 sin (x - arctan 4 / 3).
I algebratimerne fortæller lærerne os, at der er en lille (faktisk meget stor) klasse af trigonometriske ligninger, som ikke kan løses ved hjælp af standardmetoder - hverken gennem faktorisering, eller gennem ændring af variabel, eller endda gennem homogene termer. I dette tilfælde spiller en fundamentalt anderledes tilgang ind - hjælpevinkelmetoden.
Hvad er denne metode, og hvordan anvendes den? Lad os først huske formlerne for sinus for summen/forskellen og cosinus for summen/forskellen:
\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]
Jeg tror, at disse formler er velkendte for dig - fra dem udledes dobbeltargumentformlerne, uden hvilke der absolut ingen steder findes i trigonometri. Men lad os nu se på en simpel ligning:
Divider begge sider med 5:
Bemærk at $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, hvilket betyder, at der med sikkerhed er en vinkel $\alpha $, hvor disse tal er henholdsvis cosinus og sinus. Derfor vil vores ligning blive omskrevet som følger:
\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]
Og dette kan allerede nu let løses, hvorefter der kun er tilbage at finde ud af, hvad vinklen $\alpha $ er lig med. Sådan finder du ud af det, samt hvordan du vælger det rigtige tal til at dividere begge sider af ligningen (i dette enkle eksempel dividerede vi med 5) - vi vil tale om dette i dagens videolektion:
I dag vil vi analysere løsningen af trigonometriske ligninger, eller mere præcist, en enkelt teknik kaldet "hjælpevinkelmetoden". Hvorfor denne metode? Simpelthen fordi jeg i løbet af de sidste to-tre dage, da jeg underviste elever, som jeg fortalte om løsning af trigonometriske ligninger, og vi blandt andet undersøgte hjælpevinkelmetoden, og alle eleverne som én begik den samme fejl. . Men metoden er generelt enkel og desuden er det en af hovedteknikkerne inden for trigonometri. Derfor kan mange trigonometriske problemer slet ikke løses undtagen ved hjælp af hjælpevinkelmetoden.
Derfor vil vi nu først se på et par simple opgaver, og så går vi videre til mere seriøse opgaver. Imidlertid vil alle disse på en eller anden måde kræve, at vi bruger hjælpevinkelmetoden, hvis essens jeg vil fortælle i det første design.
Løsning af simple trigonometriske problemer
Eksempel #1
\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]
Lad os omdanne vores udtryk lidt:
\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\venstre| \left(-1 \right) \right.\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]
Hvordan løser vi det? Standardtricket er at løse $\sin 2x$ og $\cos 2x$ ved hjælp af dobbeltvinkelformlerne og derefter omskrive enheden som $((\sin )^(2))x((\cos )^(2) )x$, få en homogen ligning, reducer den til tangenter og løs. Dette er dog en lang og kedelig vej, der kræver en stor mængde beregninger.
Jeg foreslår, at du tænker over dette. Vi har $\sin$ og $\cos$. Lad os huske formlen for cosinus og sinus for sum og forskel:
\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]
Lad os vende tilbage til vores eksempel. Lad os reducere alt til forskellens sinus. Men først skal ligningen transformeres lidt. Lad os finde koefficienten:
$\sqrt(l)$ er den samme koefficient, som det er nødvendigt at dividere begge sider af ligningen med, så der foran sinus og cosinus optræder tal, der i sig selv er sinus og cosinus. Lad os dele:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
Lad os se på, hvad vi har til venstre: findes der en $\sin $ og $\cos $, sådan at $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ og $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Der er åbenbart: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Derfor kan vi omskrive vores udtryk som følger:
\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(6))=\frac(1)(2)\]
Nu har vi formlen for forskellens sinus. Vi kan skrive sådan her:
\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]
Her har vi den enkleste klassiske trigonometriske konstruktion. Lad mig minde dig om:
Vi vil skrive dette ned for vores specifikke udtryk:
\[\venstre[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\tekst( ))(6)=2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )n \\& 2x-\frac(\tekst( )\!\ !\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(6))=\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-\frac(\tekst( )\!\! \pi\!\!\tekst( ))(\tekst(6))+2\tekst( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\ ]
\[\venstre[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\tekst( )n \\& 2x=\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )+2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst ( )n \\\end(align) \right.\]
\[\venstre[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\tekst( )n \\& x=\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(2)+\tekst( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Nuancer af løsningen
Så hvad skal du gøre, hvis du støder på et lignende eksempel:
- Rediger designet om nødvendigt.
- Find korrektionsfaktoren, tag roden fra den og divider begge sider af eksemplet med den.
- Lad os se, hvilke sinus- og cosinusværdier tallene får.
- Vi udvider ligningen ved at bruge sinus- eller cosinusforskellen eller sumformlerne.
- Vi løser den enkleste trigonometriske ligning.
I den forbindelse vil opmærksomme studerende formentlig have to spørgsmål.
Hvad forhindrer os i at nedskrive $\sin $ og $\cos $ på tidspunktet for at finde korrektionsfaktoren? - Den grundlæggende trigonometriske identitet forhindrer os. Faktum er, at de resulterende $\sin $ og $\cos $, ligesom alle andre med det samme argument, bør, når de er kvadreret, give nøjagtigt "én" i alt. Under beslutningsprocessen skal du være meget forsigtig og ikke miste "2" før "X".
Hjælpevinkelmetoden er et værktøj, der hjælper med at reducere en "grim" ligning til en fuldstændig passende og "smuk".
Eksempel nr. 2
\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]
Vi ser, at vi har $((\sin )^(2))x$, så lad os bruge strømreduktionsberegningerne. Men før vi bruger dem, lad os tage dem ud. For at gøre dette skal du huske, hvordan du finder cosinus af en dobbelt vinkel:
\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]
Hvis vi skriver $\cos 2x$ i den tredje mulighed, får vi:
\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]
Jeg skriver det separat:
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]
Det samme kan gøres for $((\cos )^(2))x$:
\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]
Vi mangler kun de første beregninger. Lad os begynde at arbejde med opgaven:
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]
Lad os nu bruge beregningerne af forskellens cosinus. Men lad os først beregne $l$-korrektionen:
Lad os omskrive det under hensyntagen til dette faktum:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]
I dette tilfælde kan vi skrive, at $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, og $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Lad os omskrive:
\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]
\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]
Lad os tilføje et "minus" i beslaget på en smart måde. For at gøre dette skal du bemærke følgende:
\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-\tekst( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\tekst( )\!\!\pi\! \!\tekst( ))(\tekst(3))+2x \right)=\]
\[=\cos \venstre(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-\frac(2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]
Lad os vende tilbage til vores udtryk og huske, at i rollen som $\varphi $ har vi udtrykket $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Lad os derfor skrive:
\[-\venstre(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos x\]
\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]
For at løse dette problem skal du huske dette:
\[\cos \alpha =\cos \beta \]
\[\venstre[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Lad os se på vores eksempel:
\[\venstre[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\tekst( )n \\& 2x-\frac(2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(3)=-x+2\tekst ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Lad os beregne hver af disse ligninger:
Og det andet:
Lad os skrive det endelige svar ned:
\[\venstre[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\tekst( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]
Nuancer af løsningen
Faktisk kan dette udtryk løses på mange forskellige måder, men det er hjælpevinkelmetoden, der er optimal i dette tilfælde. Derudover, ved at bruge dette design som et eksempel, vil jeg gerne henlede din opmærksomhed på flere mere interessante teknikker og fakta:
- Formler til at reducere grader. Disse formler behøver ikke at blive husket, men du skal vide, hvordan du udleder dem, hvilket er det, jeg fortalte dig om i dag.
- Løsning af ligninger af formen $\cos \alpha =\cos \beta $.
- Tilføjelse af et "nul".
Men det er ikke alt. Indtil nu, $\sin $ og $\cos $, som vi udledte som et ekstra argument, har vi troet, at de skal være positive. Derfor vil vi nu løse mere komplekse problemer.
Analyse af mere komplekse problemer
Eksempel #1
\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]
Lad os omdanne det første udtryk:
\[\sin 3x=\sin \venstre(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]
\[=2\venstre(1-\cos 2x \højre)\cdot \sin x\]
Lad os nu erstatte alt dette med vores originale konstruktion:
\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin 2x\cos x-\operatørnavn(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin \venstre(2x-x \højre)+2\sin x+4\cos x=5\]
Lad os introducere vores ændringsforslag:
Vi skriver ned:
\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]
Der er ingen $\alpha $, for hvilke $\sin $ eller $\cos $ ville være lig med $\frac(3)(5)$ og $\frac(4)(5)$ i den trigonometriske tabel. Så lad os bare skrive det sådan her og reducere udtrykket til summens sinus:
\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]
\[\sin \venstre(x+\varphi \right)=1\]
Dette er et særligt tilfælde, den enkleste trigonometriske konstruktion:
Det er tilbage at finde, hvad $\varphi $ er lig med. Det er her, mange elever går galt. Faktum er, at $\varphi $ er underlagt to krav:
\[\venstre\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]
Lad os tegne en radar og se, hvor sådanne værdier forekommer:
Vender vi tilbage til vores udtryk, skriver vi følgende:
Men denne post kan optimeres lidt. Fordi vi kender følgende:
\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]
så i vores tilfælde kan vi skrive det sådan her:
Eksempel nr. 2
Dette vil kræve en endnu dybere forståelse af teknikker til løsning af standardproblemer uden trigonometri. Men for at løse dette eksempel bruger vi også hjælpevinkelmetoden.\[\]
Det første, der fanger dit øje, er, at der ikke er grader højere end den første, og derfor kan intet udvides efter formlerne for nedbrydning af grader. Brug omvendte beregninger:
Hvorfor betalte jeg $5$. Se her:
Vi kan skrive enheden ved den grundlæggende trigonometriske identitet som $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:
Hvad giver sådan en plade os? Faktum er, at den første parentes indeholder en nøjagtig firkant. Lad os kollapse det og få:
Jeg foreslår, at du introducerer en ny variabel:
\[\sin x+\cos x=t\]
I dette tilfælde får vi udtrykket:
\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]
\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]
I alt får vi:
\[\venstre[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]
Naturligvis vil kyndige studerende nu sige, at sådanne konstruktioner let løses ved at reducere dem til en homogen struktur. Vi vil dog løse hver ligning ved hjælp af hjælpevinkelmetoden. For at gøre dette beregner vi først korrektionen $l$:
\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]
Lad os dividere alt med $\sqrt(2)$:
\[\venstre[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2) ) \\\end(align) \right.\]
Lad os reducere alt til $\cos $:
\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(4))\]
\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \venstre(x-\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(4) \ højre)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]
Lad os se på hvert af disse udtryk.
Den første ligning har ingen rødder, og for at bevise dette faktum vil irrationalitet i nævneren hjælpe os. Lad os bemærke følgende:
\[\sqrt(2)<1,5\]
\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]
I alt har vi klart bevist, at det kræves, at $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ være lig med det tal, der er større end "én", og derfor har denne konstruktion ingen rødder.
Lad os beskæftige os med den anden:
Lad os løse denne konstruktion:
I princippet kan du lade svaret være sådan her, eller du kan skrive det ned:
Vigtige punkter
Afslutningsvis vil jeg gerne endnu en gang gøre dig opmærksom på at arbejde med “grimme” argumenter, dvs. når $\sin $ og $\cos $ ikke er tabelværdier. Problemet er, at hvis vi siger, at i vores ligning er $\frac(3)(5)$ $\cos $ og $\frac(4)(5)$ er $\sin $, så i sidste ende, efter at vi beslutter designet, skal vi tage hensyn til begge disse krav. Vi får et system af to ligninger. Tager vi ikke højde for dette, får vi følgende situation. I dette tilfælde vil vi få to point, og i stedet for $\varphi $ vil vi have to tal: $\arcsin \frac(4)(5)$ og $-\arcsin \frac(4)(5)$, men det sidste er vi ikke tilfredse på nogen måde. Det samme vil ske med punktet $\frac(3)(5)$.
Dette problem opstår kun, når vi taler om "grimme" argumenter. Når vi har tabelværdier, er der ikke noget lignende.
Jeg håber, at dagens lektion hjalp dig med at forstå, hvad hjælpevinkelmetoden er, og hvordan man anvender den på eksempler på forskellige kompleksitetsniveauer. Men dette er ikke den eneste lektion, der er viet til at løse problemer ved hjælp af hjælpevinkelmetoden. Så følg med!
Lektionens emne: Metode til at indføre en hjælpevinkel ved løsning af trigonometriske ligninger.
Opdatering.
Lærer.
Gutter! Vi blev introduceret til forskellige typer trigonometriske ligninger og lærte at løse dem. I dag vil vi generalisere viden om metoder til løsning af trigonometriske ligninger af forskellige typer. For at gøre dette beder jeg dig om at arbejde på klassificeringen af de ligninger, du foreslår (se ligning nr. 1-10 i bilaget - sidst i abstraktet i PDF-form)
Udfyld tabellen: angiv typen af ligning, metoden til at løse den, og match numrene på ligningerne til den type, de tilhører.
Studerende. Udfyld tabellen.
| Type af ligning | Løsningsmetode | Ligninger |
| Protozoer | Rodformler | №1 |
| Reducerbar til firkantet | Variabel udskiftningsmetode | №2,3 |
| Kompleks trigonometrisk visning | Forenkle til en kendt form ved hjælp af trigonometriformler | №4,5 |
| Homogen første grad | Divider et ligningsled for led med cosinus af en variabel | №6 |
| Homogen anden grad | Divider ligningsled for led med kvadratet af variablens cosinus | №7 |
Problematisering.
Mens de udfylder tabellen, står eleverne over for et problem. De kan ikke bestemme typen og metoden til at løse tre ligninger: nr. 8,9,10.
Lærer. Er det lykkedes dig at klassificere alle ligningerne efter deres form og løsningsmetode?
Elevens svar. Nej, tre ligninger kunne ikke placeres i tabellen.
Lærer. Hvorfor?
Elevens svar. De ligner ikke kendte arter. Løsningsmetoden er uklar.
Målopnåelse.
Lærer. Hvordan formulerer vi så formålet med vores lektion?
Eleverne svarer. Bestem den opdagede nye type ligninger og find en metode til at løse dem.
Lærer. Er det muligt at formulere lektionens emne, hvis vi ikke kender typen af opdagede ligninger og metoden til at løse dem?
Elevens svar. Nej, men vi kan gøre det senere, når vi finder ud af, hvad vi har med at gøre.
Aktivitetsplanlægning.
Lærer. Lad os planlægge vores aktiviteter. Vi bestemmer normalt typen og leder derefter efter en metode til at løse trigonometriske ligninger. Er det i vores nuværende situation muligt at give et specifikt navn til den type ligninger, der er opdaget? Og i det hele taget tilhører de samme art?
Elevens svar. Det er svært at gøre.
Lærer. Tænk så, måske har de noget til fælles, eller ligner de en eller anden type?
Elevens svar. Venstre side af disse ligninger er den samme som homogene ligninger, men deres højre side er ikke lig med nul. Det betyder, at division med cosinus kun vil komplicere løsningen.
Lærer. Lad os måske starte med at finde en løsningsmetode, og så bestemme typen af ligning? Hvilken af de 3 ligninger forekommer dig den enkleste?
Eleverne svarer, men der er ingen konsensus. Måske vil nogen gætte på, at koefficienterne i ligning nr. 8 skal udtrykkes som sinus og cosinus for tabelvinklen. Og så vil klassen bestemme den ligning, der først kan løses. Hvis ikke, foreslår læreren at overveje en ekstra ligning (se ligning nr. 11 i bilaget - sidst i resuméet i PDF-form). I den er koefficienterne lig med sinus og cosinus for en kendt vinkel, og det skal eleverne bemærke.
Læreren foreslår rækkefølgen af aktivitetspunkter. ( Se ligninger i appendiks - i PDF-form i slutningen af resuméet).
- Løs den første ligning (№11), at erstatte koefficienterne med værdierne af sinus og cosinus af en kendt vinkel og anvende sinus af sumformlen.
- Prøv at konvertere andre ligninger til formen af den første og anvend den samme metode. ( se ligning nr. 8,9, 12)
- Generaliser og udvid metoden til alle koefficienter og konstruer en generel handlingsalgoritme (se ligning #10).
- Anvend metoden til at løse andre ligninger af samme type. (se ligning nr. 12, 13, 14).
Implementering af planen.
Lærer. Nå, vi har lavet en plan. Lad os begynde at implementere det.
Ved tavlen løser eleven ligning nr. 11.
Den anden elev løser følgende ligning nr. 8, idet den først har divideret den med et konstant tal og derved reduceret situationen til den allerede fundne løsning.
Læreren foreslår at løse ligning nr. 9 og 12 selvstændigt. Kontrollerer rigtigheden af transformationer og flere løsninger.
Lærer. Gutter, hvad kan vi kalde den vinkel, der vises i stedet for ligningens koefficienter og hjælper os med at nå en løsning?
Elevens svar. Ekstra. (Mulighed: ekstraudstyr).
Lærer. Det er ikke altid let at vælge sådan en hjælpevinkel. Er det muligt at finde det, hvis koefficienterne ikke er sinus og cosinus af de kendte vinkler? Hvilken identitet skal sådanne koefficienter opfylde, hvis vi ønsker at repræsentere dem som sinus og cosinus for hjælpevinklen?
Svar. Grundlæggende trigonometrisk identitet.
Lærer. Godt klaret! Højre! Det betyder, at vores opgave er at opnå sådanne koefficienter, at summen af deres kvadrater er lig med én! Prøv at finde et tal, som du kan dividere ligningen med, så den betingelse, vi har angivet, er opfyldt.
Eleverne tænker og foreslår måske at dividere alt med kvadratroden af summen af kvadraterne af ligningens koefficienter. Hvis ikke, så leder læreren dem til denne idé.
Lærer. Vi skal blot vælge, hvilken af de nye koefficienter, der skal betegnes med sinus for hjælpevinklen, og hvilke med cosinus. Der er to muligheder. Valget afhænger af overgangen til den simpleste ligning med sinus eller cosinus.
Studerende De tilbyder en løsning, og læreren afslutter den, idet de er opmærksom på formen for optagelse af ræsonnement og svar. Løs ligning nummer 10.
Lærer. Har vi fundet en metode til at løse en ny type ligning? Hvad skal vi kalde denne type?
Svar. Vi arbejdede ved at søge efter en hjælpevinkel. Måske skal ligningerne hedde ligninger, der kan løses ved hjælp af hjælpevinkler?
Lærer. Selvfølgelig kan du. Kan du komme med en formel for deres type? Dette bliver kortere.
Svar. Ja. Ligninger med koefficienterne A, B og C.
Lærer. Lad os generalisere metoden for vilkårlige koefficienter.
Læreren diskuterer og skriver på tavlen hjælpevinkelsinus- og cosinusformlerne for generaliserede koefficienter. Derefter løser du med deres hjælp ligning nr. 13 og 14.
Lærer. Har vi mestret metoden godt nok?
Svar. Ingen. Det er nødvendigt at løse sådanne ligninger og konsolidere evnen til at bruge hjælpevinkelmetoden.
Lærer. Hvordan vil vi forstå, at vi har mestret metoden?
Svar. Hvis vi selv løser flere ligninger.
Lærer. Lad os etablere en kvalitativ skala til at mestre metoden.
Lær niveauernes karakteristika at kende og placer dem på en skala, der afspejler færdighedsniveauet i denne færdighed. Match niveaukarakteristikken og scoren (fra 0 til 3)
- Jeg kan løse ligninger med forskellige koefficienter
- Jeg kan ikke løse ligninger
- Jeg kan løse komplekse ligninger
- Jeg kan løse ligninger med tabelkoefficienter
Lærer.(Efter elevernes svar) Så vores vurderingsskala er som følger:
Ud fra samme princip vil vi evaluere selvstændigt arbejde med emnet i næste lektion.
Løs nu ligning nr. 1148 g, 1149 g, 1150 g og bestem dit niveau af beherskelse af emnet.
Glem ikke at udfylde indtastningerne i tabellen og navngive emnet: "Introduktion af en hjælpevinkel til løsning af trigonometriske ligninger."
Refleksion over vejen til at nå målet.
Lærer. Gutter, har vi nået målet med lektionen?
Eleven svarer. Ja, vi har lært at genkende en ny type ligning.
Vi fandt en metode til at løse dem ved hjælp af en hjælpevinkel.
Vi lærte at anvende metoden i praksis.
Lærer. Hvordan handlede vi? Hvordan kom du til at forstå, hvad vi skal gøre?
Svar. Vi undersøgte flere specielle tilfælde af ligninger med "genkendelige" koefficienter og udvidede denne logik til alle værdier af A, B og C.
Lærer. Dette er en induktiv måde at tænke på: På baggrund af flere cases udledte vi en metode og anvendte den i lignende tilfælde.
Perspektiv. Hvor kan vi anvende denne form for tænkning? (elevernes svar)
Du gjorde et godt stykke arbejde i klassen i dag. Derhjemme skal du læse beskrivelsen af hjælpevinkelmetoden i lærebogen og løse nr. 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Jeg håber, at I alle i den næste lektion vil have det godt med at bruge denne metode til at løse trigonometriske ligninger.
Tak for dit arbejde i klassen!