Hvad er den aritmetiske middelværdi
Det aritmetiske gennemsnit af flere størrelser er forholdet mellem summen af disse størrelser og deres antal.
Det aritmetiske middelværdi af en bestemt række tal er summen af alle disse tal divideret med antallet af led. Det aritmetiske middel er altså gennemsnitsværdien af en talserie.
Hvad er det aritmetiske middelværdi af flere tal? Og de er lig med summen af disse tal, som er divideret med antallet af led i denne sum.
Sådan finder du det aritmetiske middelværdi
Der er intet kompliceret i at beregne eller finde det aritmetiske middelværdi af flere tal; det er nok at tilføje alle de præsenterede tal og dividere den resulterende sum med antallet af led. Det opnåede resultat vil være det aritmetiske gennemsnit af disse tal.
Lad os se på denne proces mere detaljeret. Hvad skal vi gøre for at beregne det aritmetiske middelværdi og opnå det endelige resultat af dette tal.
Først, for at beregne det skal du bestemme et sæt tal eller deres antal. Dette sæt kan indeholde store og små tal, og deres antal kan være hvad som helst.
For det andet skal alle disse tal lægges sammen, og deres sum opnås. Naturligvis, hvis tallene er enkle, og der er et lille antal af dem, så kan beregningerne foretages ved at skrive dem i hånden. Men hvis antallet af tal er imponerende, så er det bedre at bruge en lommeregner eller regneark.
Og for det fjerde skal mængden opnået ved addition divideres med antallet af tal. Som et resultat vil vi få et resultat, som vil være det aritmetiske gennemsnit af denne serie.
Hvorfor har du brug for det aritmetiske middelværdi?
Det aritmetiske middelværdi kan være nyttigt ikke kun til at løse eksempler og problemer i matematiktimerne, men til andre formål, der er nødvendige i en persons hverdag. Sådanne mål kan være at beregne det aritmetiske gennemsnit for at beregne de gennemsnitlige økonomiske udgifter om måneden, eller at beregne den tid, du bruger på vejen, også for at finde frem til fremmøde, produktivitet, bevægelseshastighed, udbytte og meget mere.
Så lad os for eksempel prøve at beregne, hvor meget tid du bruger på at rejse i skole. Når man skal i skole eller hjem, bruger man forskellig tid på vejen hver gang, for når man har travlt, går man hurtigere, og derfor tager vejen kortere tid. Men når du vender hjem, kan du gå langsomt, kommunikere med klassekammerater, beundre naturen, og derfor vil rejsen tage mere tid.
Derfor vil du ikke præcist kunne bestemme den tid, du bruger på vejen, men takket være det aritmetiske gennemsnit kan du cirka finde ud af den tid, du bruger på vejen.
Lad os antage, at du den første dag efter weekenden brugte femten minutter på vej fra hjem til skole, på den anden dag tog din rejse tyve minutter, om onsdagen tilbagelagde du afstanden på femogtyve minutter, og din rejse tog det samme tid om torsdagen, og fredag havde du ikke travlt og vendte tilbage i en hel halv time.
Lad os finde det aritmetiske middelværdi, tilføje tid, for alle fem dage. Så,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Divider nu dette beløb med antallet af dage
Takket være denne metode lærte du, at rejsen fra hjem til skole tager cirka treogtyve minutter af din tid.
Lektier
1.Brug simple beregninger til at finde det aritmetiske gennemsnit af tilstedeværelsen af elever i din klasse for ugen.
2. Find det aritmetiske middelværdi:
3. Løs problemet:
) og prøvegennemsnit(er).
Encyklopædisk YouTube
-
1 / 5
Lad os betegne datasættet x = (x 1 , x 2 , …, x n), så er prøvegennemsnittet normalt angivet med en vandret streg over variablen (udtales " x med en streg").
Det græske bogstav μ bruges til at betegne hele befolkningens aritmetiske middelværdi. For en stokastisk variabel, for hvilken middelværdien er bestemt, er μ probabilistisk gennemsnit eller matematisk forventning om en stokastisk variabel. Hvis sættet x er en samling af tilfældige tal med en probabilistisk middelværdi μ, derefter for enhver prøve x jeg fra dette sæt μ = E( x jeg) er den matematiske forventning til denne prøve.
I praksis er forskellen mellem μ og x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) er, at μ er en typisk variabel, fordi du kan se en stikprøve i stedet for hele populationen. Derfor, hvis stikprøven er tilfældig (i form af sandsynlighedsteori), så x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(men ikke μ) kan behandles som en stokastisk variabel med en sandsynlighedsfordeling over stikprøven (sandsynlighedsfordeling af middelværdien).
Begge disse mængder beregnes på samme måde:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)Eksempler
- For tre tal skal du tilføje dem og dividere med 3:
- For fire tal skal du tilføje dem og dividere med 4:
Eller enklere 5+5=10, 10:2. Fordi vi tilføjede 2 tal, hvilket betyder, hvor mange tal vi tilføjer, dividerer vi med så mange.
Kontinuerlig tilfældig variabel
f (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)Nogle problemer med at bruge gennemsnittet
Mangel på robusthed
Selvom aritmetiske middelværdier ofte bruges som gennemsnit eller centrale tendenser, er dette begreb ikke en robust statistik, hvilket betyder, at det aritmetiske middel er stærkt påvirket af "store afvigelser". Det er bemærkelsesværdigt, at for fordelinger med en stor skævhedskoefficient svarer det aritmetiske gennemsnit muligvis ikke til begrebet "middel", og værdierne af middelværdien fra robust statistik (f.eks. medianen) kan bedre beskrive den centrale tendens.
Et klassisk eksempel er beregning af gennemsnitsindkomst. Det aritmetiske gennemsnit kan fejlfortolkes som en median, hvilket kan føre til den konklusion, at der er flere mennesker med højere indkomster, end der faktisk er. "Gennemsnitlig" indkomst fortolkes således, at de fleste mennesker har indkomster omkring dette tal. Denne "gennemsnitlige" (i betydningen af det aritmetiske gennemsnit) indkomst er højere end indkomsten for de fleste mennesker, da en høj indkomst med en stor afvigelse fra gennemsnittet gør det aritmetiske gennemsnit meget skævt (i modsætning hertil er den gennemsnitlige indkomst ved medianen "modstår" sådan skævhed). Denne "gennemsnitlige" indkomst siger dog intet om antallet af personer i nærheden af medianindkomsten (og siger intet om antallet af personer i nærheden af den modale indkomst). Men hvis man tager let på begreberne "gennemsnit" og "de fleste mennesker", kan man drage den forkerte konklusion, at de fleste mennesker har højere indkomster, end de faktisk er. For eksempel ville en rapport over den "gennemsnitlige" nettoindkomst i Medina, Washington, beregnet som det aritmetiske gennemsnit af alle indbyggeres årlige nettoindkomst, give et overraskende stort tal på grund af Bill Gates. Overvej prøven (1, 2, 2, 2, 3, 9). Det aritmetiske gennemsnit er 3,17, men fem ud af seks værdier er under dette middel.
Renters rente
Hvis tallene formere sig, men ikke folde, skal du bruge den geometriske middelværdi, ikke den aritmetiske middelværdi. Oftest opstår denne hændelse ved beregning af afkastet af investeringer i finansiering.
For eksempel, hvis en aktie faldt 10% i det første år og steg 30% i det andet, så er det forkert at beregne den "gennemsnitlige" stigning over disse to år som det aritmetiske gennemsnit (−10% + 30%) / 2 = 10%; det korrekte gennemsnit i dette tilfælde er givet af den sammensatte årlige vækstrate, som giver en årlig vækstrate på kun omkring 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Grunden til dette er, at procenter har et nyt udgangspunkt hver gang: 30 % er 30 % fra et antal mindre end prisen ved begyndelsen af det første år: hvis en aktie startede ved $30 og faldt 10%, er den $27 værd i starten af det andet år. Hvis aktien steg 30%, ville den være $35,1 værd ved udgangen af det andet år. Det aritmetiske gennemsnit af denne vækst er 10%, men da aktien kun er steget med $5,1 over 2 år, giver den gennemsnitlige vækst på 8,2% et slutresultat på $35,1:
[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Hvis vi bruger det aritmetiske gennemsnit på 10 % på samme måde, får vi ikke den faktiske værdi: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].
Rentesammensat ved udgangen af 2 år: 90% * 130% = 117%, det vil sige, den samlede stigning er 17%, og den gennemsnitlige årlige rentes rente 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\ca. 108,2\%), det vil sige en gennemsnitlig årlig stigning på 8,2 % Dette tal er forkert af to grunde.
Gennemsnitsværdien for en cyklisk variabel beregnet ved hjælp af ovenstående formel vil blive kunstigt forskudt i forhold til det reelle gennemsnit mod midten af det numeriske område. På grund af dette beregnes gennemsnittet på en anden måde, nemlig tallet med den mindste varians (midtpunktet) vælges som gennemsnitsværdi. I stedet for subtraktion bruges også den modulære afstand (det vil sige den perifere afstand). For eksempel er den modulære afstand mellem 1° og 359° 2°, ikke 358° (på cirklen mellem 359° og 360°==0° - en grad, mellem 0° og 1° - også 1° i alt -2°).
- Tilføj først disse tal (1+3+5+7) og få 16
- Vi skal dividere det resulterende resultat med 4 (antal): 16/4 og få resultatet 4.
- vi leder efter den samlede vægt af alle æbler (summen af alle indikatorer) - det er lig med 1080 gram,
- divider den samlede vægt med antallet af æbler 1080:5 = 216 gram. Dette er det aritmetiske gennemsnit.
Det aritmetiske gennemsnit er summen af tal divideret med antallet af de samme tal. Og det er meget simpelt at finde det aritmetiske gennemsnit.
Som det følger af definitionen, skal vi tage tallene, lægge dem sammen og dividere med deres tal.
Lad os give et eksempel: Vi får tallene 1, 3, 5, 7, og vi skal finde det aritmetiske middelværdi af disse tal.
Så det aritmetiske gennemsnit af tallene 1, 3, 5 og 7 er 4.
Aritmetisk middelværdi - gennemsnitsværdien blandt de givne indikatorer.
Det findes ved at dividere summen af alle indikatorer med deres antal.
For eksempel har jeg 5 æbler, der vejer 200, 250, 180, 220 og 230 gram.
Vi finder gennemsnitsvægten af 1 æble som følger:
Dette er den mest brugte indikator i statistik.
Det aritmetiske middel er tal lagt sammen og divideret med deres tal, det resulterende svar er det aritmetiske middelværdi.
For eksempel: Katya lagde 50 rubler i sparegrisen, Maxim 100 rubler, og Sasha lagde 150 rubler i sparegrisen. 50 + 100 + 150 = 300 rubler i sparegrisen, nu deler vi dette beløb med tre (tre personer sætter penge ind). Så 300: 3 = 100 rubler. Disse 100 rubler vil være det aritmetiske gennemsnit, hver af dem sat i sparegrisen.
Der er et så simpelt eksempel: en person spiser kød, en anden person spiser kål, og det aritmetiske gennemsnit spiser de begge kålruller.
Gennemsnitslønnen beregnes på samme måde...
Det aritmetiske middel er summen af alle værdier og divideret med deres antal.
For eksempel tallene 2, 3, 5, 6. Du skal lægge dem sammen 2+ 3+ 5 + 6 = 16
Vi deler 16 med 4 og får svaret 4.
4 er det aritmetiske gennemsnit af disse tal.
Det aritmetiske middelværdi af flere tal er summen af disse tal divideret med deres antal.
x gennemsnitlig aritmetisk middelværdi
S sum af tal
n antal numre.
For eksempel skal vi finde det aritmetiske middelværdi af tallene 3, 4, 5 og 6.
For at gøre dette skal vi lægge dem sammen og dividere den resulterende sum med 4:
(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.
Jeg kan huske, at jeg tog den afsluttende prøve i matematik
Så der var det nødvendigt at finde det aritmetiske gennemsnit.
Det er godt, at venlige mennesker foreslog, hvad de skulle gøre, ellers ville der være ballade.
For eksempel har vi 4 numre.
Læg tallene sammen og divider med deres tal (i dette tilfælde 4)
For eksempel tallene 2,6,1,1. Tilføj 2+6+1+1 og divider med 4 = 2,5
Som du kan se, intet kompliceret. Så det aritmetiske middel er gennemsnittet af alle tal.
Det kender vi fra skolen. Enhver, der havde en god matematiklærer, kunne huske denne enkle handling første gang.
Når du finder det aritmetiske middelværdi, skal du lægge alle de tilgængelige tal sammen og dividere med deres tal.
For eksempel købte jeg 1 kg æbler, 2 kg bananer, 3 kg appelsiner og 1 kg kiwi i butikken. Hvor mange kilo frugt købte jeg i gennemsnit?
7/4= 1,8 kg. Dette vil være det aritmetiske gennemsnit.
Det aritmetiske middel er det gennemsnitlige antal mellem flere tal.
For eksempel, mellem tallene 2 og 4, er gennemsnitstallet 3.
Formlen til at finde det aritmetiske middel er:
Du skal lægge alle tallene sammen og dividere med antallet af disse tal:
For eksempel har vi 3 tal: 2, 5 og 8.
Find den aritmetiske middelværdi:
X=(2+5+8)/3=15/3=5
Anvendelsesområdet for det aritmetiske gennemsnit er ret bredt.
Hvis du for eksempel kender koordinaterne til to punkter på et segment, kan du finde koordinaterne for midten af dette segment.
For eksempel segmentets koordinater: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).
Lad os betegne midten af dette segment med koordinaterne X3,Y3,Z3.
Vi finder hver for sig midtpunktet for hver koordinat:
Det aritmetiske middel er gennemsnittet af den givne...
De der. Vi har ganske enkelt en række pinde af forskellig længde og vil gerne finde ud af deres gennemsnitsværdi.
Det er logisk, at vi for dette bringer dem sammen, får en lang pind og derefter opdeler den i det nødvendige antal dele..
Her kommer det aritmetiske middelværdi...
Sådan udledes formlen: Sa=(S(1)+..S(n))/n..
Aritmetik betragtes som den mest elementære gren af matematik og studerer simple operationer med tal. Derfor er det aritmetiske gennemsnit også meget let at finde. Lad os starte med en definition. Det aritmetiske middelværdi er en værdi, der viser, hvilket tal der er tættest på sandheden efter flere på hinanden følgende operationer af samme type. For eksempel, når man løber hundrede meter, viser en person en anden tid hver gang, men gennemsnitsværdien vil være inden for for eksempel 12 sekunder. At finde det aritmetiske middelværdi på denne måde kommer til at sekventielt summere alle tallene i en bestemt serie (løbsresultater) og dividere denne sum med antallet af disse racer (forsøg, tal). I formelform ser det sådan ud:
Sarif = (Х1+Х2+..+Хn)/n
Som matematiker er jeg interesseret i spørgsmål om dette emne.
Jeg starter med historien om problemet. Gennemsnitsværdier er blevet tænkt over siden oldtiden. Aritmetisk middelværdi, geometrisk middelværdi, harmonisk middelværdi. Disse begreber blev foreslået i det antikke Grækenland af pythagoræerne.
Og nu spørgsmålet, der interesserer os. Hvad menes med aritmetisk middelværdi af flere tal:
Så for at finde det aritmetiske middelværdi af tal, skal du tilføje alle tallene og dividere den resulterende sum med antallet af led.
Formlen er:
Eksempel. Find det aritmetiske gennemsnit af tallene: 100, 175, 325.
Lad os bruge formlen til at finde det aritmetiske middelværdi af tre tal (det vil sige, i stedet for n vil der være 3; du skal lægge alle 3 tal sammen og dividere den resulterende sum med deres tal, dvs. med 3). Vi har: x=(100+175+325)/3=600/3=200.
For at finde gennemsnitsværdien i Excel (uanset om det er en numerisk, tekst, procent eller anden værdi), er der mange funktioner. Og hver af dem har sine egne egenskaber og fordele. I denne opgave kan der faktisk stilles visse betingelser.
For eksempel beregnes gennemsnitsværdierne af en række tal i Excel ved hjælp af statistiske funktioner. Du kan også manuelt indtaste din egen formel. Lad os overveje forskellige muligheder.
Hvordan finder man det aritmetiske middelværdi af tal?
For at finde det aritmetiske middelværdi skal du lægge alle tallene i sættet sammen og dividere summen med mængden. For eksempel en elevs karakterer i datalogi: 3, 4, 3, 5, 5. Hvad indgår i kvartalet: 4. Vi fandt det aritmetiske middelværdi ved hjælp af formlen: =(3+4+3+5+5) /5.
Hvordan gør man det hurtigt ved hjælp af Excel-funktioner? Lad os for eksempel tage en række tilfældige tal i en streng:
Eller: lav den aktive celle og indtast blot formlen manuelt: =MIDDEL(A1:A8).
Lad os nu se, hvad AVERAGE-funktionen ellers kan gøre.
Lad os finde det aritmetiske middelværdi af de to første og sidste tre tal. Formel: =MIDDEL(A1:B1,F1:H1). Resultat:
Tilstand gennemsnitlig
Betingelsen for at finde det aritmetiske middelværdi kan være et numerisk kriterium eller et tekstkriterium. Vi vil bruge funktionen: =AVERAGEIF().
Find det aritmetiske middelværdi af tal, der er større end eller lig med 10.
Funktion: =MIDDELHVIS(A1:A8,">=10")
Resultatet af at bruge AVERAGEIF-funktionen under betingelsen ">=10": Det tredje argument - "Gennemsnitlig rækkevidde" - er udeladt. Først og fremmest er det ikke påkrævet. For det andet indeholder området analyseret af programmet KUN numeriske værdier. De celler, der er angivet i det første argument, vil blive gennemsøgt i henhold til den betingelse, der er angivet i det andet argument.
Opmærksomhed! Søgekriteriet kan angives i cellen. Og lav et link til det i formlen.
Lad os finde gennemsnitsværdien af tallene ved hjælp af tekstkriteriet. For eksempel det gennemsnitlige salg af produktet "tabeller".
Funktionen vil se sådan ud: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Range – en kolonne med produktnavne. Søgekriteriet er et link til en celle med ordet "tabeller" (du kan indsætte ordet "tabeller" i stedet for link A7). Gennemsnitsområde - de celler, hvorfra data vil blive taget for at beregne gennemsnitsværdien.
Som et resultat af at beregne funktionen får vi følgende værdi:
Opmærksomhed! For et tekstkriterium (betingelse) skal gennemsnitsintervallet angives.
Hvordan beregner man den vægtede gennemsnitspris i Excel?
Hvordan fandt vi ud af den vægtede gennemsnitspris?
Formel: =SUMPRODUKT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).
Ved hjælp af SUMPRODUCT-formlen finder vi ud af den samlede omsætning efter at have solgt hele mængden af varer. Og SUM-funktionen opsummerer mængden af varer. Ved at dividere den samlede omsætning fra salg af varer med det samlede antal vareenheder, fandt vi den vægtede gennemsnitspris. Denne indikator tager højde for "vægten" af hver pris. Dens andel i den samlede masse af værdier.
Standardafvigelse: formel i Excel
Der er standardafvigelser for den generelle befolkning og for stikprøven. I det første tilfælde er dette roden til den generelle varians. I den anden, fra prøvevariansen.
For at beregne denne statistiske indikator er der udarbejdet en spredningsformel. Roden udvindes fra den. Men i Excel er der en færdig funktion til at finde standardafvigelsen.
Standardafvigelsen er knyttet til skalaen af kildedataene. Dette er ikke nok til en figurativ fremstilling af variationen af det analyserede område. For at opnå det relative niveau af dataspredning beregnes variationskoefficienten:
standardafvigelse / aritmetisk middelværdi
Formlen i Excel ser sådan ud:
STDEV (værdiområde) / AVERAGE (værdiområde).
Variationskoefficienten beregnes som en procentdel. Derfor indstiller vi procentformatet i cellen.
Emnet aritmetisk middelværdi og geometrisk middelværdi indgår på matematikuddannelsen for 6.-7. Da paragraffen er ret let at forstå, bliver den hurtigt forbigået, og ved skoleårets slutning har eleverne glemt den. Men viden i grundlæggende statistik er nødvendig for at bestå Unified State Exam, såvel som for internationale SAT-eksamener. Og til hverdag skader udviklet analytisk tænkning aldrig.
Sådan beregnes det aritmetiske middelværdi og geometriske middelværdi af tal
Lad os sige, at der er en række tal: 11, 4 og 3. Det aritmetiske gennemsnit er summen af alle tal divideret med antallet af givne tal. Det vil sige, at i tilfælde af tallene 11, 4, 3 vil svaret være 6. Hvordan får man 6?
Løsning: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Nævneren skal indeholde et tal svarende til antallet af tal, hvis gennemsnit skal findes. Summen er delelig med 3, da der er tre led.
Nu skal vi finde ud af den geometriske middelværdi. Lad os sige, at der er en række tal: 4, 2 og 8.
Den geometriske middelværdi af tal er produktet af alle givne tal, placeret under roden med en potens lig med antallet af givne tal. Det vil sige, at i tilfælde af tallene 4, 2 og 8 vil svaret være 4. Sådan gør du det viste sig:
Løsning: ∛(4 × 2 × 8) = 4
I begge muligheder fik vi hele svar, da der blev taget specielle tal til eksemplet. Dette sker ikke altid. I de fleste tilfælde skal svaret være afrundet eller efterladt ved roden. For eksempel for tallene 11, 7 og 20 er det aritmetiske gennemsnit ≈ 12,67, og det geometriske middel er ∛1540. Og for tallene 6 og 5 vil svarene være henholdsvis 5,5 og √30.
Kunne det ske, at den aritmetiske middelværdi bliver lig med den geometriske middelværdi?
Selvfølgelig kan det. Men kun i to tilfælde. Hvis der er en række tal, der kun består af enten enere eller nuller. Det er også bemærkelsesværdigt, at svaret ikke afhænger af deres antal.
Bevis med enheder: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetisk middelværdi).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(geometrisk middelværdi).
Bevis med nuller: (0 + 0) / 2=0 (aritmetisk middelværdi).
√(0 × 0) = 0 (geometrisk middelværdi).
Der er ingen anden mulighed og kan ikke være det.